Gabarito de Matemática do 6º ano do E.F. Lista de Exercícios (L11) Querido(a) aluno(a), vamos retomar nossos estudos relembrando os conceitos de divisores, múltiplos, números primos, mmc e mdc. Divisor de um número natural Um número é divisor de outro quando o resto da divisão for igual a 0. Portanto, 12 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6 e 12. 36 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e 36. 48 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 e 48. a Observações importantes: O menor divisor natural de um número é sempre o número 1. O maior divisor de um número é o próprio número. O zero não é divisor de nenhum número. Os divisores de um número formam um conjunto finito. Alguns números têm apenas dois divisores: o 1 e ele mesmo. Esses números são chamados de primos. Observe os números primos de 1 a 100 destacados no crivo de Eratóstenes feito em sala de aula: Múltiplos de um número Um número natural é múltiplo de um outro, quando a sua divisão por esse outro é exata. Assim, 21 é múltiplo de 3 e 7 pois: a) 21 : 3 = 7 b) 21 : 7 = 3 Observações importantes Todo número tem uma infinidade de múltiplos. Excluindo o zero,o menor múltiplo de um número é o próprio número. Exemplos:
Os múltiplos de 2 são : M (2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10...} Os múltiplos de 5 são : M (5) = {0, 5, 10, 15, 20,...} Bom trabalho! Profª Luciana 1) Um conjunto possui 18 elementos. Quantas são as possibilidades existentes para se dividir esse conjunto em grupos com quantidades iguais de elementos? a) 6 X b) 5 c) 4 d) 3 2) O número cuja fatoração completa é igual a 2 x 3 x 5 é divisível pelo números abaixo, exceto : a) 2 b) 6 c)15 d)18 X 3) Utilizando a fatoração completa do número 204 podemos dizer que ele é divisível pelos números abaixo, exceto : b) 12 c) 17 d) 9 X 4) Todas as afirmativas abaixo são verdadeiras, EXCETO: a) Todo número natural é múltiplo de 1. b) O número 1 só não é múltiplo de si mesmo. X c) Todo número natural é múltiplo de si mesmo. d) O Zero é múltiplo de qualquer número natural 5) Determine: a) A soma dos 5 menores múltiplos de 7 0 + 7 + 14 + 21 + 28 = 70 b) A soma dos 7 menores múltiplos de 10 0 + 10 + 20 + 30 + 40 + 50 + 60 = 210 c) A soma dos 5 menores múltiplos ímpares de 7 7 + 21 + 35 + 49 + 63 = 175 d) A diferença entre a soma dos 5 primeiros múltiplos pares de 6 e a soma dos 4 primeiros múltiplos ímpares de 6. 60 0 = 60 6) Dentre os múltiplos de 3 inferiores a 200. Determine quantos terminam em 5. São 7: 15, 45, 75, 105, 135,165 e 195 7) O produto de 3 múltiplos consecutivos de um número é 30 720. Determine esses 3 números. 24, 32 e 40 8) A soma de 4 múltiplos consecutivos de um número é 350. Determine todas as respostas possíveis para esses 4 números. 80-85 - 90-95 ou 77-84 - 91-98 ou 50-75 - 100-125 ou 35-70 - 105-140
9) Para obter os divisores de um número natural a, basta saber quais os elementos que, multiplicados entre si, têm por resultado o número a. Com base nessa afirmação, obtenha o conjunto de divisores de cada um dos números: 13, 18. 25, 32 e 60. D(13)={1,13}, D(18)={1,2,3,6,9,18}, D(25)={1,5,25}, D(60)={1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60} e D(32)={1,2,4,8,16,32}. 10) O número 5 é divisor do número 16? Justifique a sua resposta. 5 não é divisor de 16, pois 16 não termina nem em zero nem em 5. 11) Escreva os divisores de cada número natural representado abaixo: a) 36 = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e 36 b) 54 = 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27 e 54 c) 15 = 1, 3, 5, 15 d) 60= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60 e) 90 = 1, 2, 3, 5, 9, 10, 18, 30, 45 e 90 f) 28 = 1, 2, 4, 7, 14 e 28 g) 12 = 1, 2, 3, 4, 6 e 12 h) 24 = 1, 2, 3, 4, 6, 12 e 24 i) 30 = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 e 30 j) 25 = 1, 5 e 25 12) Represente o conjunto dos divisores de cada número: a) D (6) = { 1, 2, 3, 6} b) D (9) = {1, 3, 9} c) D (8) = {1, 2, 4, 8} d) D (14) = {1, 2, 7, 14} e) D (15) = {1, 3, 5, 15} f) D (18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18} g) D (20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20} h) D (30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} i) D (24) = {1, 2, 3, 4, 6, 12, 24} 13) Escreva todos os números divisíveis por 2 que estão entre 25 e 49. 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48
14) Dentre os números: 60 531 123 120 36 13 540-27 Quais são divisíveis: a) por 2: 60, 120, 36 e 540 b) por 3: 60, 531, 123, 120, 36, 540 e 27 c) por 4: 60, 120, 36 e 540 d) por 5: 60, 120, e 540 e) por 6: 60, 120, 36 e 540 f) por 9: 531, 36, 540 e 27 g) por 10: 60, 120 e 540 15) Pinte os números divisíveis por: 8 31 40 64 125 128 146 9 15 27 44 54 80 63 5 56 95 70 83 75 20 Regra prática para a fatoração OU DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS Existe um dispositivo prático para fatorar um número. Acompanhe, no exemplo, os passos para montar esse dispositivo: 1º) Dividimos o número pelo seu menor divisor primo; 2º) a seguir, dividimos o quociente obtido pelo menor divisor primo desse quociente e assim sucessivamente até obter o quociente1. Ao lado temos a fatoração do número 630. Então 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7. 630 = 2 x 3 2 x 5 x 7. 16) Decomponha, em fatores primos, os números a seguir: a) 64 = 2 6 b) 100 = 2 2. 5 2 c) 125 = 5 d) 135 = 3 3. 5 e) 284 = 2 f) 343 = 7 3 2 3. 71 g) 360 = 2 3. 3 2. 5 h) 1000 = 2 3. 5 3 i) 540 = 2 2. 3 3. 5 j) 2700 = 2 2. 3 3. 5 2 k) 81 = 3 4 l) 729 = 3 m) 90 = 2. 3 2. 5 n) 42 = 2. 3.7 o) 820 = 2 2. 5. 41 p) 780 = 2 6 2.3.5.13 q) 1200 = 2 4.3.5 2 r) 160 = 2 5.5 s) 980 = 2 2.5.7 2 t) 650 = 2.5 2.13 u) 560 = 2 v) 160 = 2 4 5.5.7.5 w) 2800 = 2 4.5 2.7 x) 625 = 5 4 y) 850 = 2. 5 z) 729 = 3 6 2.17
PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA PARA O CÁCULO DO MMC Neste processo decompomos todos os números ao mesmo tempo, num dispositivo como mostra a figura ao lado. O produto dos fatores primos que obtemos nessa decomposição é o m.m.c. desses números. Ao lado vemos o cálculo do m.m.c.(15,24,60) Portanto, m.m.c.(15,24,60) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120 17. Calcule o m.m.c. fazendo a decomposição simultânea em fatores primos: a) m.m.c. (10,12,15) = 60 k) m.m.c. (30,75) = 150 b) m.m.c. (10,18,30) = 90 l) m.m.c. (18, 60) = 180 c) m.m.c. (25,30,40) = 600 m) m.m.c. (66,102) = 1122 d) m.m.c. (108,120) = 1080 n) m.m.c. (48,20,40,36) = 720 e) m.m.c. (64,128) = 128 o) m.m.c. (36,54,90) = 540 f) m.m.c. (88,100) = 2200 p) m.m.c. (72,120) = 360 g) m.m.c. (110,55) = 110 q) m.m.c. (85,100) = 1700 h) m.m.c. (150,350) = 1050 r) m.m.c. (400,500) = 2000 i) m.m.c. (100,120,150) = 600 s) m.m.c. (180,720) = 720 j) m.m.c. (40,52) = 520 t) m.m.c. (1000,1200) = 6000 18) Calcule o MMC e o MDC dos números abaixo: a) 18 e 60 mmc = 180 e mdc = 6 b) 210 e 462 mmc = 2310 e mdc = 42 19) Marcos e Daniel são universitários. O máximo divisor comum (mdc) dos números escritos nas camisetas é a idade de cada um, e o mínimo múltiplo comum (mmc) corresponde a quanto cada um ganhou trabalhando nas últimas férias escolares. Calcule o mdc e o mmc e responda às perguntas: mdc(100,120)=20 e mmc(100,120)=600 mdc(84,105)=21 e mmc(84,105)=420 a) Quem é o mais velho? Daniel b) Quem ganhou mais trabalhando nas últimas férias? Quanto a mais? Marcos ganhou 180 reais a mais. 20) O Sr. Vicente tem uma banca de frutas na feira. Nela há uma penca com 18 bananas e outra com 24 bananas. Ele quer dividir as duas em montes iguais. Qual deve ser o maior número possível de bananas em cada monte? 6 bananas
21) Regina possui 3 pedaços de fita, como os apresentados abaixo, que serão utilizados na confecção de alguns enfeites. Ela pretende cortá-los em pedaços do maior tamanho possível, de forma que não haja sobras e que todos os pedaços tenham o mesmo tamanho. a) Qual será o tamanho de cada pedaço de fita após o corte? 90 cm b) Quantos pedaços de fita serão obtidos ao todo? 22 pedaços