CINEMÁTICA DE MÁQUINAS CAPITULO I
Rotação em torno de um eixo fixo 1. A barra dobrada ABCDE mostrada na figura 1, roda com velocidade angular constante de 9 rad/s em torno do eixo que liga as extremidades A e E. Sabendo que a rotação é no sentido horário quando observada de E, determine: 1.1. a velocidade do canto C; 1.2. a aceleração do canto C. 200 mm 250 mm 150 mm 400 mm 150 mm Figura 1 2. A correia mostrada na figura 2, move-se sobre duas polias sem deslizar. No instante mostrado, as polias rodam no sentido horário e a velocidade do ponto B sobre a correia é de 4m/s, aumentando a uma taxa de 32m/s 2. Determine nesse instante: 2.1. a velocidade angular de cada uma das polias; 2.2. a aceleração angular de cada uma das polias; 2.3. a aceleração do ponto P sobre a polia C. Figura 2-2 -
3. Um sistema de redução de velocidades consiste em duas engrenagens A e B no plano xy e rodam em torno dos eixos perpendiculares a esse plano e que passam pelos seus centros. Sabendo que a velocidade angular da engrenagem B é constante, ω B = - 30 k (rad/s), e que não existe escorregamento no ponto de contacto das engrenagens, determine: 3.1. a velocidade angular da engrenagem A; 3.2. as acelerações dos pontos das engrenagens que estão em contacto. 50 mm ω B B A B A A B 100 mm 150 mm Figura 3 4. Um sistema de redução de velocidades consiste em três engrenagens A e B e C. Sabendo que a engrenagem A gira no sentido horário com velocidade angular constante, ω A = - 30 k (rad/s), e que não existe escorregamento no ponto de contacto das engrenagens, determine: 4.1. as velocidades angulares das engrenagens B e C; 4.2. as acelerações dos pontos sobre as engrenagens B e C que estão em contacto. Figura 4-3 -
5. O cilindro A move-se no sentido descendente com uma velocidade de 3m/s quando o travão é subitamente aplicado ao tambor. Sabendo que o cilindro se desloca 6 m para baixo antes de atingir o repouso e admitindo um movimento uniformemente variado, determine: 5.1. a aceleração angular do tambor; 5.2. o tempo necessário para o cilindro chegar ao repouso. Figura 5-4 -
Cinemática de Mecanismos 1. A engrenagem dupla mostrada na figura 1 rola sobre a cremalheira inferior estacionária; a velocidade de seu centro A é de 1.2 m/s para a direita. Determine: 1.1. a velocidade angular da engrenagem ; 1.2. as velocidades da cremalheira superior R e do ponto D da engrenagem. Figura 1 2. A manivela BC do mecanismo mostrado na figura 2 gira a uma velocidade angular constante de 45 RPM no sentido horário, calcule determine a velocidade e aceleração do ponto A da barra AD; D 200 mm B 100 mm C 200 mm A Figura 2-5 -
3. O mecanismo da figura 3 é composto por três barras: AB, BC e CD que são articuladas em A, B, C e D. O comprimento da barra AB é r = 500 mm e o da barra BC é 600 mm. A articulação no ponto C segue por uma ranhura em forma de circunferência com raio R=700 mm. Determine a velocidade e a aceleração angulares da barra CD, para o instante representado na figura 3 (θ=60º), de modo que a barra AB tenha uma velocidade angular constante ω = 3 rad/s. r θ=60º A L ω AB B D R C Figura 3 4. A figura 4 mostra um mecanismo projectado para pulverizar água sobre um viveiro de plantas. As sementes colocadas em recipientes no transportador descrevem um movimento rectilíneo alternado sob pulverizadores de água fixos. O transportador é accionado pela manivela OB de raio R que tem uma velocidade angular constante ω e pelo elemento de ligação AB de comprimento L. 4.1. Determine as equações matemáticas que permitam calcular a posição, velocidade e aceleração do transportador em função da posição angular da manivela θ 4.2. Implemente uma folha de cálculo, obtenha os valores de posição, velocidade e aceleração durante um ciclo de 360º da manivela OB. Apresente sob a forma gráfica os resultados obtidos (em função do ângulo θ). r L ω ω AB θ R Figura 4-6 -
5. A figura representa esquematicamente um mecanismo constituído por: motor, redutor de velocidades, manivela AB com 2 kg de massa, haste uniforme BD de 300 mm de comprimento e 3 kg de massa, anel D de massa 350 g. Este mecanismo transforma o movimento contínuo do rotor do motor no movimento rectilíneo de vai-vem do anel D, convertido a partir da acção do redutor, manivela AB e haste BD. Sabendo que a engrenagem motora C roda no sentido horário á taxa constante de 720 rpm, calcule para o instante em que o cursor D se encontra no ponto morto superior (P.M.S.): o curso do anel D e os valores da velocidade e aceleração do centro de massa G. P.M.I. Curso P.M.S. G 60 Vista esquemática do redutor A r A r C C Figura 5 Dados e Simplificações: O rotor (parte móvel do motor) tem velocidade constante de 720 rpm. O redutor transmite o movimento de rotação do rotor à manivela. A manivela tem comprimento L AB = 60mm. A haste uniforme BD tem comprimento L=300mm. Raio da engrenagem motora é igual a 100 mm. Raio da engrenagem movida A é igual a 240 mm. O atrito em toda a cadeia cinemática do mecanismo é irrelevante. - 7 -
6. Na figura está representado um mecanismo triturador de pedras. No instante representado (barra AB horizontal, Φ=90º e θ=30º) a velocidade angular da barra AB é constante e igual a 4 rad/s. Determine para este instante, a velocidade angular e aceleração angular da placa CD. 1,2m 0,9m 0,6m Figura 6 7. O mecanismo representado na figura 7 é composto por três barras esbeltas: AB, BC e DC que são articuladas em A, B, C e D. As barras AB e CD têm 2 kg de massa cada e a barra BC tem 4 kg. Sabendo que a barra AB roda com uma velocidade angular constante ω AB = 15 rad/s, calcule, para o instante representado na figura, as velocidades e acelerações angulares da barra CD e a aceleração do ponto C. 0,20 m 0,50 m 0,20 m A M D 0,15 m ω AB B C Figura 7-8 -
8. A figura representa esquematicamente um sistema de bombagem composto por: motor, redutor de velocidades, manivela OA, barra AB, barra BCE, contrapeso E, haste de ligação DE e bomba. A polia motora com velocidade de rotação constante de 200 rpm no sentido horário, acciona a haste de ligação DE animando-a de um movimento rectilíneo vertical de vai-vem. Para o instante representado na figura a manivela OA e a barra BCE encontram-se na horizontal, calcule, os valores da velocidade v D e aceleração a D da haste de ligação DE. Figura 8 Dados e Simplificações: O rotor (parte móvel do motor) tem velocidade constante de 200 rpm Raio da polia motora é igual a 50 mm Raio da polia movida é igual a 200 mm O atrito em toda a cadeia cinemática do mecanismo é irrelevante - 9 -
9. As extremidades da barra AB do mecanismo mostrado na figura estão limitadas a moverem-se ao longo das trajectórias representadas. Para o instante mostrado, o ponto A tem uma velocidade de 2.4 m/s e uma aceleração de 0.9 m/s 2, nos sentidos indicados. Determine a velocidade e aceleração do ponto B. Figura 9 10. O mecanismo mostrado na figura é constituído por uma manivela OB e um elemento AB que se desloca ao longo da ranhura do corpo C. A manivela OB tem uma velocidade angular constante no sentido horário ω OB = 0,8 rad/s, encontrando-se para o instante mostrado na figura na posição horizontal. Determine a velocidade e aceleração do ponto A do elemento AB. Figura 10 A C - 10 -
11. No mecanismo Pistão - Biela - Manivela mostrado na figura, a manivela AB roda no sentido anti-horário em torno do ponto A com velocidade angular constante correspondente a 1500 rpm. Para a posição, θ = 30º determine A velocidades e aceleração do pistão. 200 mm Figura 11 75mm 12. A figura mostra um mecanismo Biela- Manivela usado num motor maritimo. O mecanismo é composto por uma única manivela AB, duas bielas BC e BD de massas desprezáveis e os pistões C e D com massas de 700 g. Sabendo que a manivela AB roda com uma velocidade angular constante ω AB = 5 rad/s, calcule, para as dimensões e instante representado na figura, os valores das velocidades e acelerações dos pistões C e D; M Figura 12-11 -
13. O cilindro hidráulico impõe uma velocidade constante v A = 1,2m/s como indicado na figura. Para o instante β = θ = 60º determine a velocidade angular e aceleração angular do elemento BC. Figura 13 14. O mecanismo representado na figura é constituído por duas barras, AB e BC e um disco. Para o instante representado, determine a velocidade angular e a aceleração angular da barra AB. Figura 14-12 -
15. As engrenagens ilustradas A e B têm, respectivamente, raios 0,24 m e 0,32 m e apresentam eixos fixos. A haste de secção constante CD é accionada pela engrenagem B através de uma articulação em C e o anel D desliza encaixado num eixo horizontal igualmente fixo. A engrenagem A roda com velocidade angular constante ω= 5 rad/s no sentido horário, determine o vector aceleração do centro de massa G (ponto médio) da haste CD. Figura 15 16. No sistema mecânico representado o movimento plano da biela AB é condicionado pelos movimentos das articulações cilíndricas A e B. Os pontos O e P são eixos fixos de rotação. A biela e o braço OA podem considerar-se como barras esbeltas de secção constante. Sabendo que o volante gira a 500rpm (com movimento uniforme), calcule: 16.1. a velocidade angular do braço; 16.2. as acelerações angulares do braço e da biela; Dados: m OA = 3 kg (massa do braço) m AB = 15 kg (massa da biela) L = 1.2 m (comprimento da biela) r OA = 0.4 m (comprimento do braço) r PB = 0.2 m (raio da trajectória de B) Nota: Despreze o peso dos componentes Figura 16-13 -
17. O mecanismo da figura é composto por: barras articuladas AB e BC, cursor C e haste fixa horizontal. O movimento de rotação barra AB com frequência constante de 950 r.p.m, é transmitido através da barra BC ao cursor C que desliza sobre a haste fixa. Determine para o instante representado, as intensidades dos vectores velocidade e aceleração do centro de massa G (ponto médio da barra BC). G Figura 17 18. Na figura está representada uma serra de corte destinada ao corte de materiais. O mecanismo é composto por: motor, redutor (engrenagens O e P); barra esbelta AB de 1,8 kg (articulada em A e B) e um quadro de 5,4 kg (centro da massa em A). O quadro suporte da lâmina desliza ao longo de uma guia horizontal como mostra a figura. O processo de corte é feito pela energia debitada pelo motor em duas fases: arranque do rotor, com movimento uniformemente variado e a fase em que este atinge uma velocidade de rotação constante. Calcule a velocidade e aceleração do centro de massa G, para o instante θ=60º, na fase em que o rotor atinge a velocidade de rotação constante de 1200 rpm. Vista esquemática do redutor w r OB B O P w r P Representação do motor M P Dados e simplificações: Figura 18 na segunda fase do movimento (uniforme), a velocidade do rotor é de 1200 rpm; o redutor apresenta uma relação de transmissão global de 12:1; o atrito em toda a cadeia cinemática é irrelevante. - 14 -