Introdução à Otimização em Engenharia Problemas de Engenharia ANÁLISE Definido o sistema, determinar o desempenho Sérgio Haffner Conceitos Conceitos fundamentais 30.07.008 SÍNTESE Projetar um sistema para que realize uma determinada tarefa OTIMIZAÇÃO (pesquisa operacional) Planejar ou operar um sistema de modo que seu desempenho seja máximom Histórico Histórico (cont.) Até 930 Matemática, tica, Física, F Engenharia: Pesquisa Operacional (Otimização): Após 930: Inicia a OR (ª Guerra) OR = operational research = RESEARCH into military OPERATIONS Julho de 008: word count: optimization: 9.300.000 optimisation: : 0.500.000 94: a 3% de sucesso (U-boat) U-boat =, a,7 milhões homens-hora 945: 40% de sucesso hora word count: Cláudia Leitte: : 749.000 Cláudia Leite: 64.000
Histórico (cont.) Processo de Otimização ~940 Gradiente e Newton 947-949 949 Programação Linear (George( Dantzig,94,94-005) 95-959 959 Condições de otimalidade (Kuhn-Tucker) Atualmente Pontos interiores; processamento paralelo; algoritmos evolutivos Problema Decisões Modelagem Inferência Modelo Conclusão Processo de Otimização Problema de Otimização Modelagem: Definir variáveis Quantificar Problema relações (entre Modelagem variáveis) descrever comportamento Modelo Determinar objetivo a ser otimizado Ingredientes básicos: b Função objetivo (0, ou +): MIN Custo / MAX Lucro Conjunto de variáveis veis Conjunto de restrições (relações entre variáveis, veis, limites) Avaliação: Aplicação da solução ao problema alterações no modelo Análise: Ferramentas matemáticas Observar comportamento do modelo Inferência: Decisões Resultados do Inferência modelo solução Conclusão para problema Equacionamento matemático: tico: Min s.a. z h ( x) ( x) ( x) g x S = 0 0 Função Objetivo Igualdade (relações) Desigualdade (limites)
Árvore da otimização Aplicações freqüentes entes Mínimos quadrados Equações Não-lineares Irrestrita Otimização Global Otimização Não-diferenciável Programação Linear Contínua Restrições Não-lineares Otimização Canalização nas variáveis Restrita Discreta Fluxo em redes Programação Estocástica Programação Inteira Ajuste de curvas (mínimos quadrados) Definição de investimentos (PL, PI) Minimização dos custos (PL) Definição da geometria: dispositivos/equipamentos Despacho de geração (MW) Planejamento da expansão (PI) Minimização das perdas (z(x)( não-linear) Teoria da decisão (um contra natureza) Teoria de jogos (um contra um ou mais) Exemplo : Refinaria com fornecedores Exemplo : Refinaria com fornecedores (cont.) Variáveis de decisão:, o x x : N de barris forn.e Restrições principais: Função objetivo: Minimizar Min Min ( Custo por barril)( Barris comprados) 0x + 5x Custo dos insumos Restrições nas variáveis: veis: x, x 0 Relações entre variáveis: veis: Produção 0,3x 0,4x 0,x ( por barril)( Barris comprados) ( Necessidades) + 0,4x + 0,x + 0,3x,5 0,5 Disponibilidade: x 9 ( Arábia Saudita) x 6 ( Venezuela) ( Gasolina) ( Combustível para avião) ( Lubrificante)
Exemplo : Refinaria com fornecedores (cont.) Exemplo : Refinaria com fornecedores (cont.) Formulação matemática: tica: Min s.a. 0x 0,3x 0,4x 0,x x 6 x, x + 5x x 9 + 0,4x + 0,x + 0,3x 0,5 0,5 ( Custo total) ( Gasolina) ( Combustível para avião) ( Lubrificante) ( Disp. Arábia) ( Disp. Venezuela) ( Positividade) 0,x + 0,3x x 0,5 Região viável x 9 x 6 FO + REST. Lineares Problema Linear (PL) 0,4x + 0,x,5 0,3x + 0,4x x Exemplo : Refinaria com fornecedores (cont.) Exemplo : Minimização da Potência x Solução ótima Provão 00 (Engenharia Elétrica) 3,5 x = x = 3, 5 * * x
Solução ótima Métodos de solução Definição melhor solução possível (viável) não existe melhor Otimizar, minimizar, maximizar, etc. Otimização clássica ssica: PL: Simplex e pontos interiores PI: Enumeração, B&B PNL: Newton, Quase-Newton, Lagrange, Penalidades, Gradiente reduzido = Processo para obtenção do ótimo garantia Melhorar, ajustar parametricamente Meta-heur heurísticas: Resfriamento/Têmpera Simulada (Simulated( Annealing) Busca Tabu (Tabu( Search) Algoritmos Genéticos / Programação Evolucionária Definições Definições (cont) Valor ótimo: Valor da função objetivo de qualquer solução ótima. Um modelo de otimização possui apenas um valor ótimo. Solução ÚNICA ou ALTERNATIVA: Um modelo de otimização pode ter solução ótima única ou várias v soluções alternativas. Modelo infactível: Quando não existem escolha para as variáveis veis de decisão que satisfaçam am todas as restrições. Modelo ilimitado: Quando a escolha das variáveis veis de decisão podem produzir uma solução arbitrariamente boa. Forma geral da programação matemática: tica: min s.a. ou max f g ( x, x, L, x ) i n ( x, x, L, x ) = b i =,, L, m Programação Linear: Se a função objetivo (única)( e todas as restrições são lineares com variáveis veis de decisão reais. Programação Não-Linear: Se a função objetivo (única)( ou qualquer restrição é não linear em relação às s variáveis veis de decisão reais. Programação inteira ou discreta: Quando algumas variáveis veis de decisão são discretas. n i
Referências David Luenberger, Linear and nonlinear programming, Addison- Wesley Publishing Company,, Inc., 984. Ronald Rardin, Optimization in Operations Research,, PH, 998. Gerard Cornuejols & Michael Trick, Quantitative methods for the management sciences,, 998. Disponível em: http://mat.gsia.cmu.edu/quant/ http://www-fp.mcs.anl.gov/otc/guide/index.html http://mscmga.ms.ic.ac.uk/jeb/or/intro.html http://en.wikipedia.org/wiki/george_dantzig