Ensino de problemas de combinatória: considerações de orientações curriculares

ENSINO DE PROBLEMAS COMBINATÓRIOS: ASPECTOS TEÓRICOS E PRÁTICOS 1 Cristiane de Arimatéa Rocha Universidade Federal de Pernambuco tiane_rocha@yahoo.com.br Martha Cornélio Ferraz Secretaria de Educação de Pernambuco marthatrabalhos@gmail.com Resumo: Esse mini-curso visa discutir sobre as diferentes concepções de professores sobre o ensino e a aprendizagem de problemas de combinatória e como essa compreensão pode interferir em suas práticas docentes desde os anos iniciais do Ensino Fundamental. A partir da discussão sobre pesquisas e atividades analisaremos situações à luz da Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud (1991), visando entender e desmistificar algumas das dificuldades existentes na construção do desenvolvimento do Raciocínio Combinatório em especial dos problemas de combinatória (produto cartesiano, arranjo, permutação e combinação), apresentando situações que promova a discussão dos significados envolvidos, propriedades invariantes e representações simbólicas que permeiam cada situação. Além disso, buscaremos situações que possibilitem a avaliação de erros e acertos dos alunos e o debate em relação as estratégias utilizadas por alunos dos diferentes anos de escolaridade. Como público-alvo adotaremos professores que ensinam matemática no Ensino Fundamental II. Palavras-chave: Raciocínio Combinatório; Concepções de Professores; Ensino Fundamental II Ensino de problemas de combinatória: considerações de orientações curriculares A Combinatória pode ser definida como ramo da Matemática que estuda coleções finitas de objetos que satisfaçam certos critérios específicos, e podem se apresentar através de situações que solicitem a contagem de elementos, ou a enumeração desses elementos, além de situações que promovam a elaboração de uma solução ótima, ou a classificação de elementos de um determinado conjunto e situações que requeiram questionamentos sobre a existência ou não de elementos que satisfaçam a mesma. 1 Pesquisa financiada pela FACEPE (APQ - 1095-7.08/08), CNPq (476665/2009-4) e CAPES (Bolsa de Mestrado); Parte da pesquisa realizada no Grupo de Estudos em Raciocínio Combinatório do Centro de Educação da UFPE (GERAÇÃO) sob a coordenação da Professora Dra. Rute Borba 1

Batanero et al.(1996) reafirmam o papel fundamental da Combinatória no desenvolvimento de outros ramos da Matemática e enfatizam sua relação com diversas disciplinas como a Física (na mecânica de partículas), a Química (busca de isômeros), a Biologia (difusão das epidemias, Genética), a Economia e Gestão (estudos de armazenamento e otimização), entre outras. Sabemos que a construção de um conceito pelos alunos, envolve diferentes características e necessidades específicas, principalmente no momento em que professores começam a refletir sobre a aquisição do mesmo pelos alunos. Com a Combinatória não é diferente. Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) das séries iniciais do Ensino Fundamental reconhecem a importância da Combinatória e indicam a necessidade dos alunos aprenderem a lidar com situações-problema que envolvam combinações, arranjos, permutações e, especialmente, o princípio multiplicativo da contagem (BRASIL, 1997, p.40). Nas séries finais do Ensino Fundamental, os PCN afirmam que o trabalho com problemas de Combinatória auxilia os alunos a desenvolver alguns procedimentos básicos de organização de dados e também a classificação de elementos segundo critérios préestabelecidos. No Ensino Médio, os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) advertem para o crescimento das questões mundiais que priorizam as noções de descrever e analisar um grande número de dados, realizar inferências e fazer predições com base numa amostra de população, aplicar as idéias de Probabilidade e Combinatória a fenômenos naturais e do cotidiano (BRASIL, 2006, p.44). Este documento indica, ainda, novas possibilidades para o ensino da Combinatória apresentando como uma nova forma de pensar em Matemática, denominada raciocínio combinatório (BRASIL, 2006, p.126). Nesse sentido, para auxiliar na construção do raciocínio combinatório, os PCN do Ensino Médio advertem sobre a função das fórmulas como conseqüência do raciocínio combinatório, promovendo a simplificação das listagens de possibilidades. A Base Curricular Comum do Estado de Pernambuco (BCC), orientação feita para as escolas públicas desse estado, considera uma oportunidade privilegiada a conexão do campo das operações numéricas com as idéias combinatórias para as séries iniciais do 2

Ensino Fundamental e propõe ao professor desse nível do ensino a criação de situações em que o aluno seja levado a realizar diferentes combinações (PERNAMBUCO, 2008, p 92). O Plano Nacional do Livro Didático (PNLD 2010) que recentemente analisou os livros de Alfabetização Matemática e Matemática das séries iniciais do Ensino Fundamental acrescenta a necessidade de nessa fase iniciar as primeiras idéias em Combinatória e adverte sobre a possibilidade de indução ao erro durante a apresentação desses conceitos. Nas séries finais do Ensino Fundamental, a BCC sugere atividades para exploração da representação e a contagem em problemas combinatórios, a fim de proporcionar ao aluno a construção do conceito do princípio multiplicativo como recurso fundamental, mas não único, na resolução de diversos problemas (PERNAMBUCO, 2008, p.103). Segundo o PNLD (2008), quase todas as coleções de livros didáticos das séries finais do Ensino Fundamental apresentam atividades relacionadas ao ensino de Combinatória. Apesar disso, o PNLD (2008) alerta para a necessidade de mudanças nestas obras, devido a exploração superficial das atividades. No Ensino Médio, a indicação da BCC é a consolidação de noções combinatórias na qual para o aluno se faz necessária a ampliação das estratégias básicas de contagem, evitando-se o ensino restrito a uma extensa lista de fórmulas que não apresentem significado para o aluno (PERNAMBUCO, 2008, p.111) Portanto, observamos que o ensino de Combinatória está presente em diferentes propostas curriculares ao longo de toda a Escola Básica e também em outros documentos oficiais como os Guias do PNLD, nos quais apresenta-se a importância deste conteúdo para o desenvolvimento de noções, habilidades e de raciocínio crítico em Matemática. Dessa maneira, tem-se defendido que antes do ensino de Combinatória ser formalizado, o que geralmente acontece no Ensino Médio, outras práticas devem ser integradas ao Ensino Fundamental para que haja uma melhor compreensão dessa temática por alunos e professores. Por serem, na maioria das vezes questões práticas e associadas ao cotidiano extraescolar, os alunos podem se desinibir mais e opinarem sobre formas de analisar e resolvêlas. É importante ressaltar que as diferentes formas de organizar e resolver problemas 3

combinatórios gera estratégias que não são apenas aplicáveis à Combinatória, auxiliando na aprendizagem de técnicas gerais de resolução de problemas, todavia para isso se faz necessário conhecer as características de cada um dos tipos de problemas combinatórios. Batanero et al (1996) sugerem a seguinte classificação para os problemas combinatórios: problemas de existência, de enumeração, de contagem, de classificação e de otimização. Dessa forma, pode-se solicitar a verificação se determinadas tipo de estruturas discretas existem; pode-se requerer que sejam listadas (enumeradas) possibilidades dentro de situações propostas; pode-se pedir que se determine (se conte) o número total de possibilidades de um evento; pode-se solicitar que sejam classificados os diferentes casos possíveis; ou, ainda, que se possa escrever uma função que represente conjuntos soluções de maneira ordenada (otimizados) para determinar valores máximos e mínimos. Os problemas de produto cartesiano, arranjo, combinação e permutação podem, assim, dependendo da situação ou da questão elaborada, pertencer a qualquer uma das categorias apontadas. Dessa forma, Batanero et al (1996) acreditam que os problemas de Combinatória são um excelente meio para que os alunos realizem atividades Matemáticas e que muitas vezes as situações combinatórias dão sentido a outros conceitos básicos da Matemática atual. Pessoa e Borba (2007) advogam que a tomada de consciência sobre o que vai ser contado influi na escolha da maneira de contar. Nesse sentido, tais tipos de problemas requerem dos alunos diferentes intuições e estratégias para resolvê-los, e dos professores, a capacidade de acompanhar esses procedimentos e criar atividades que auxiliem na compreensão de propriedades e na sistematização dessas estratégias. Todavia, professores e alunos apresentam dificuldades no tratamento de conceitos combinatórios, pois muitas vezes são priorizadas abordagens tradicionais de ensino, recorrendo apenas à aplicação de fórmulas, na qual não há a genuína preocupação com a construção de conceitos, nem de relações existentes entre esses conceitos. Esse ensino mecanizado, segundo Morgado et al (1991), prioriza situações padronizadas e transforma a Combinatória em apenas um jogo de fórmulas complicadas (p.2). Outro possível problema para o ensino de Combinatória é apontado por Batanero et al (1996), quando adjudicam que no Ensino Médio o seu tratamento é realizado como um tópico separado do restante dos conteúdos e problemas matemáticos (p.28). A relação 4

entre o ensino de Combinatória e o ensino de outros assuntos de Matemática, como probabilidade, é uma das relações que deve ser enfatizada. Lima, Carvalho, Wagner e Morgado (2004) defendem que a Combinatória precisa de técnicas diferenciadas, sendo necessário aos alunos colocar em jogo seu raciocínio crítico e criativo com muito mais freqüência do que nas séries anteriores (prefácio). Para isso advertem os professores sobre a necessidade de um bom domínio, mas também uma orientação adequada na escolha das atividades. Ao explicitarmos a preocupação existente ao domínio do conteúdo pelo professor, acreditamos, como foi dito anteriormente, que esse não é o único saber utilizado na ação docente, mas ainda é o mais avaliado em alguns cursos de licenciatura. Nesse sentido, o ensino de Combinatória, a partir do exposto, precisa desses olhares, dessas direções, dessas perspectivas e apresenta a necessidade de reconfigurar os sentimentos envolvidos nesse processo. Apesar dessas contribuições, ainda necessitamos de mais pesquisas que abordem o ensino de Combinatória na Educação Básica e, principalmente, que se tornem conhecidas pelos professores que ensinam Matemática, para que estes tenham condições de provocar mudanças no aprendizado de seus alunos. Ou ainda que professores que lidem com a formação de futuros professores comecem a promover mudanças deste ensino desde a graduação, para que a Matemática possa ser vista com novas perspectivas e não apenas como tediosa e desinteressante. Diante do exposto consideramos os seguintes objetivos para o mini-curso: Examinar como professores analisam algumas dificuldades que alunos apresentam na resolução de problemas combinatórios; Discutir como professores de diferentes níveis de ensino propõem estratégias para a elaboração de ferramentas necessárias a compreensão dos diferentes tipos de problemas combinatórios. A Teoria dos Campos Conceituais e a tipologia de Problemas Combinatórios A aprendizagem de conceitos dentro de um campo conceitual não ocorre em meses ou mesmo em anos. Para que isso aconteça, torna-se necessário estudar novos problemas e 5

novas propriedades ao longo de vários anos. A construção de conceitos matemáticos se dá por meio da proposta de uma gama de situações que proporcionem a oportunidade para os alunos reconhecerem os invariantes e utilizaram variadas representações simbólicas, permitindo aos mesmos a visão do conhecimento matemático com sentidos e significados. Vergnaud (1991) apresenta, ainda, importantes abordagens para os processos de ensino e de aprendizagem da Matemática, ressaltando a organização de conceitos aritméticos nos campos conceituais das estruturas aditivas e estruturas multiplicativas, nos quais considera diferentes tipos de situações com suas especificidades. Um dos aspectos básicos na formação de conceitos combinatórios diz respeito à própria aprendizagem das estruturas multiplicativas e sobre o aprendizado de problemas de multiplicação, divisão e outros conceitos relacionados. Sobre o campo conceitual das estruturas multiplicativas, Vergnaud (1991) explica que é constituído de situações que podem ser analisadas como proporções simples e múltiplas para as quais, normalmente, é preciso multiplicar e/ou dividir. Ele afirma, ainda, que diferentes conceitos matemáticos estão relacionados a estas situações, como as funções lineares e não-lineares, espaços vetoriais, análise dimensional, fração, razão, proporção, números racionais, além da multiplicação e divisão, dentre outros conceitos. Vergnaud (1991) descreve classes de problemas multiplicativos, identificando os problemas de isomorfismo de medidas (os quais abrangem uma relação quaternária entre quantidades, que envolvem uma proporção direta simples), os problemas de produtos de medidas (os quais detêm uma relação entre três variáveis sendo uma quantidade é o produto das outras duas) e os problemas de proporções múltiplas (nos quais as medidas de quantidade em um campo são proporcionais as medidas em dois tipos de quantidades independentes). Problemas como esses se resolvem por multiplicação ou divisão, dependendo da situação que os envolve, entretanto a estrutura do problema é o que causa a dificuldade do problema e não o surgimento de uma ou outra operação. Os Parâmetros Curriculares Nacionais (Brasil, 1997) também apresentam outra classificação para os problemas multiplicativos: comparativa (na qual se estabelece uma comparação entre as quantidades), proporcionalidade (que compara razões a partir da idéia 6

de proporção), configuração retangular (que associa a uma distribuição espacial) e Combinatória (que consistem em escolher e agrupar elementos de um conjunto). Pessoa e Borba (2007) apresentam uma nova abordagem para a compreensão dos problemas de Combinatória na qual foram estudadas as estratégias de alunos na resolução de problemas combinatórios, incluindo-se o produto cartesiano (apontado nas classificações anteriormente apresentadas), bem como o arranjo, a permutação e a combinação (tipos de problemas combinatórios trabalhados explicitamente no Ensino Médio). Esses tipos de problemas combinatórios são freqüentes em livros didáticos e se apresentam nas diferentes séries do Ensino Fundamental e Médio. Segundo Pessoa (2007), em tese recentemente defendida na qual estudou o desenvolvimento do raciocínio combinatório em alunos do 2º ano do Ensino Fundamental até o 3º ano do Ensino Médio, a partir da Combinatória existe a possibilidade de uma contagem que se fundamentam no raciocínio multiplicativo, de grupos de possibilidades, a partir de uma ação sistemática, seja pelo uso de fórmula, seja pelo desenvolvimento de uma estratégia que dê conta de atender aos requisitos desses tipos de problemas, como a constituição de agrupamentos, a determinação de possibilidades e sua contagem (p.72). Questões de Combinatória têm que ser entendidas enquanto possuindo aspectos comuns, mas também diferenciadores em suas particularidades. Explanaremos, nas próximas seções sobre o que constitui a Combinatória e alguns aspectos diferentes deste conteúdo matemático ATIVIDADES PROPOSTAS Resolver com estratégias diversificadas as seguintes situações-problemas. Lembre-se de registrar suas dificuldades. 1) Anna perguntou para Bia com que roupa ela iria à festa da Escola. Bia respondeu que ainda não sabia, pois tinha separado 4 blusas de cores diferentes: amarela, branca, vermelha e preta; 3 saias: uma jeans, uma de flores e uma estampada, e ainda 2 calças: uma preta e outra branca. Ela já decidiu que não vai de calça. a) De quantas maneiras diferentes Bia pode se vestir? b) Se Bia separasse 9 blusas diferentes e 5 saias, de quantas maneiras diferentes ela poderia se vestir? 2) Arthur, Matheus, Pedro e Lucas disputam um torneio de pingue-pongue. Cada um enfrenta os demais apenas uma vez. a) Quantas são as partidas desse torneio? 7

b) Imagine um torneio como esse com 10 jogadores: Camila, Eduarda, Elisa, João, Laís, Lua, Maria, Paula, Paloma e Penélope. Quantas partidas haverá? 3) Quantas palavras diferentes (com ou sem sentido) poderei formar usando todas as letras: a) Da palavra LUA? b) E com a palavra NUMERO? 4) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6; sem repeti-los. a) Quantos números de dois algarismos podem ser formados? b) Quantos números de quatro algarismos podem ser formados? 5) Numa festa cada menino vai dançar com uma menina: a) Estavam Pedro Mendes, Elisa, Lua, Penélope, Mª Joanna e Matheus. Quantos são os pares possíveis? b) Se todos os alunos da 6ª série do IC estivem presentes ( 11 meninas e 8 meninos), quantos pares diferentes poderiam ser formados? 6) Quando 4 pessoas se encontram: a) Quantos apertos de mão são possíveis sem que os cumprimentos se repitam? b) E se fossem 15 pessoas? 7) As semifinais da Copa do Mundo serão disputadas pelas seguintes seleções: Brasil, França, Espanha e Inglaterra. a) De quantas maneiras diferentes podemos ter os três primeiros colocados? b) Sabendo que, nas quartas de final, estavam as seleções do Brasil, França, Alemanha, Argentina, Japão, Inglaterra, Senegal e Espanha. De quantas maneiras diferentes podemos ter o 1º, o 2º, o 3º e o 4º colocados? 8) Quantas senhas podem ser feitas: a) Com números de três algarismos usando apenas o 1, o 2 e o 3? b) Com números de cinco algarismos usando apenas o 4, o 5, o 6, o 7 e o 8? Identifique problemas que possuam as mesmas características. Quais são as diferenças e semelhanças dos problemas apresentados? A partir de que ano de ensino problemas como esses podem ser apresentados e trabalhados com os alunos? Que adaptações podem ser feitas nesse trabalho? Discuta sobre se existe melhor estratégia para cada problema acima proposto Como você avaliaria as seguintes respostas dos alunos a respeito de cada problema proposto? Qual teve a melhor estratégia? Justifique. REFERÊNCIAS BATANERO,C.; GODINO, J. & NAVARRO-PELAYO, V. Razonamiento combinatorio. Madri: Ed. Sintesis, 1996. BRASIL. Ministério da Educação, Secretaria da Educação Básica. Orientações Curriculares para o Ensino Médio: Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias, Vol 2, Brasília: SEF/MEC. 2006 8

BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1998. BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares Nacionais, 1. Bases Legais. Brasília: 1997. LIMA, E.L; CARVALHO, P.C.P; WAGNER, E. & MORGADO, A.C. A Matemática para o Ensino Médio, vol 2. Rio de Janeiro: SBM, 2004. MORGADO, A.C.; PITOMBEIRA, J.C.; CARVALHO, P.C.P. & FERNADEZ, P. Análise. Combinatória e Probabilidade. IMPA/SBM, Rio de Janeiro, 1991. PERNAMBUCO. Secretária de Educação. Base Curricular Comum para as Redes públicas de Ensino Pernambuco: matemática. Recife: SE, 2008. PESSOA, C. & BORBA, R. Estratégias de Resolução de Problemas de Raciocínio Combinatório por Alunos de 1ª À 4ª série. Anais do IX Encontro Nacional de Educação Matemática, Belo Horizonte, 2007. VERGNAUD, G. El niño, las Matemáticas y la realidad - Problemas de la enseñanza de las Matemáticas en la escuela primaria. Mexico : Trillas, 1991. 9