Texto 07 - Sistemas de Partículas Um ponto especial A figura ao lado mostra uma bola lançada por um malabarista, descrevendo uma trajetória parabólica. Porém objetos que apresentam uma geometria, diferenciada, com mais detalhes e com centro geométrico, a princípio não tem bem definido visualmente como o caso de uma bola, se apresentam como problemas mais complexos a serem estudados, quando em movimento. Por quê então, ainda assim podemos descrever com certa facilidade a trajetória que eles descreverão? Centro de massa Seja uma distribuição de massa discreta conforme, figuras (a) e (b) ao lado. Podemos determinar o centro de massa, situação da figura (b), fazendo:, Observe que se tomarmos x 1 = 0, em (b) encontraremos o centro de massa para a situação da a figura (a). De uma forma mais geral, se temos uma situação onde existem N partículas de massa m 1, m 2,... m N. A massa total M deste sistema será: Suponha que estas massas estejam sobre a ação da força gravitacional, podemos falar então em força resultante, sobre cada uma delas. Assim tem-se: sobre O que fornece 1
Pois são forças de mesma direção e sentido. A questão a ser respondida agora é, onde está aplicada a resultante das forças? Usando um sistema de eixo coordenados como mostrado abaixo tem-se: Cada massa possui um par de coordenadas que identifica sua posição (x i, y i ). Seja (x cm, y cm ) a posição da resultante, aplicando o teorema de Varignou em relação á origem do sistema de coordenadas obtém-se: Para a ordenada y tem-se: Para o eixo-z O ponto do espaço cuja posição é dado por: (x cm, y cm, z cm ) é denominado o centro de massa do sistema de partículas. É como se todo a massa estivesse ali concentrada. Para a situação tridimensional devemos considerar o vetor posição da i-ésima massa que será dado por: Então o vetor posição do centro de massa será 2
Exemplo 1. Seja agora o exemplo mostrado na figura abaixo onde três partículas de massas m 1 =1,2 kg, m 2 = 2,5 kg e m 3 = 3,4 kg, estão posicionadas nos vértices de um triângulo eqüilátero, de lado a = 140cm. Onde está o seu centro de massa? Sabemos que: Para a situação onde não temos distribuição discreta de partículas mas sim uma distribuição uniforme de massa. Por exemplo um asteróide, um carro, um avião, etc. Nestes casos o somatório: Se torna uma função integral onde cada um de seus pontos devem está contido na função que representa a sua geometria, assim temos: Ou em coordenadas ortogonais Usando que Teremos: 3
Em coordenadas retangulares fica: Exemplo 2. Seja o disco de metal, o objeto ao lado de raio 2R com um furo de raio R; o seu centro de massa fica em X x, o objeto (b) figura abaixo, é um disco de metal com a mesma posição e as mesmas dimensões que o furo do objeto X; o seu centro de massa fica em X D = - R. O objeto C figura abaixo é constituído pelos objetos X e D; o seu centro de massa fica na origem do sistema de coordenadas. (c) Representa os centros de massa dos três objetos, onde X D e X x são as posições dos centros de massa dos objetos D e X, respectivamente. Levando em conta o fato de que X C = 0 e calculando o valor X X temos: Tomando ρ = densidade do material da placa e E = espessura tem-se: Segunda lei de Newton para um sistema de partículas Podemos escrever: 4
Exemplo 3. Três partículas, inicialmente em repouso nas posições indicadas na figura (a) abaixo, são submetidas a forças externas. O centro de massa do sistema está indicado na figura (b). As forças são transferidas para o centro de massa do sistema, que se comporta como uma partícula cuja massa M é igual à massa total do sistema. A força resultante e a aceleração do centro de massa estão indicadas na figura, e faz um ângulo com o eixo dos x dado por: Esta é também a direção do vetor aceleração a cm do centro de massa. Conforme a Equação Momento linear O momento linear de um objeto físico é dado por: p = mv, grandeza essa que se mantém constante para um sistema isolado. Os vetores; momento p e a velocidade v têm sempre a mesma direção e sentido. É interessante observar que a segunda lei de Newton pode também ser derivada dessa quantidade, como se segue:, assim as expressões: 5
, são equivalentes. por: Para altas velocidades o momento linear de uma partícula deve sofrer uma correção relativística dada onde c é a velocidade da luz no vácuo. c = 2,97 x 10 8 m/s Momento linear de um sistema de partículas Seja um sistema de n partículas, Esta última equação, é a generalização da segunda lei de Newton para um sistema de n corpos. Conservação do momento linear Suponha que a soma das forças que agem sobre um sistema de partículas seja zero (isto é, o sistema é isolado) e que o número de partículas que compõem o sistema seja constante (isto é, sistema fechado). Assim podemos escrever: O que isto quer nos dizer é, que para uma situação como a descrita acima o momento P não varia com o tempo. Assim estabelecemos a lei de conservação do momento linear. P é constante, em outras palavras fazemos: Para um sistema isolado e fechado. A importância desses resultados é que eles se aplicam para qualquer situação conhecida na natureza, estejam eles isolados ou em grupo, atuando no mundo de baixas velocidades ou em altas. Isto é, essas leis são no mundo clássico ou quântico. 6
Exemplo 4 Um bloco de massa M = 12 Kg, sobre uma mesa sem atrito, é atingido por 8 balas de massa m = 3,8g e velocidade de 1100 m/s. Qual a velocidade do bloco, depois de ser atingido pelas balas? Solução: 1ª. condição o sistema deve ser fechado, isto é, devemos incluir o bloco e as balas. As forças envolvidas no sistema, são verticais, e não influenciam na análise, do problema que está sendo tomada apenas na horizontal (unidimensional, eixo x ). As forças envolvidas na colisão, são forças internas ao sistema, logo não produzem nenhum efeito adicional. Assim o momento linear inicial, isto é, antes do choque é: aqui n = 8, balas, e v xi a velocidade. Para o momento final, isto é, após as balas atingirem o bloco é: A lei de conservação do momento linear fornece: Ou Sistemas com massa variável: Por exemplo um foguete Todos os casos estudados até agora o sistema mantinha a sua massa constante. Mas sistemas como por exemplo este mostrado na figura ao lado, está continuamente variando a sua massa ao longo de seu percurso. 7
Assim ao aplicarmos as leis de Newton para determinarmos algumas das grandezas envolvidas no sistema temos que fazê-lo de uma maneira que ainda tenhamos válidos resultados. Cálculo da aceleração Ponha-se em um referencial inercial, veja o foguete se deslocando sem a ação da força gravitacional ou de atrito. Seja M a massa do foguete e v a sua velocidade em um tempo t, figura (a) abaixo. A figura (b) mostra um instante dt após onde uma quantidade de massa -dm, com velocidade U ter escapado do foguete, o qual passa então a uma velocidade v + dv. Aqui o cuidado que deve ser tomado é quanto à definição do sistema a ser trabalhado. Assim nosso sistema é constituído pela massa do foguete e pela massa de combustível ejetado para fora, assim temos um sistema isolado e fechado, onde podemos aplicar a lei de conservação do momento linear, isto é, P i = P f Esta equação pode então ser re-escrita na forma: Onde o dm é o produto ejetado pelo foguete e os termos entre parênteses é o momento linear do foguete após ter ejetado combustível queimado. Podemos simplificar a equação anterior usando a velocidade u dos produtos de combustão em relação ao foguete. Para obter o valor de u, subtraímos a velocidade U dos produtos ejetados da velocidade v + dv do foguete no final do tempo dt, isto é, O que fornece: Levando na equação do momento acima temos: -dm = Mdv Que dividindo por dt fornece: 8
substituindo dm/dt por -R, chegamos a Ru = Ma, a quantidade Ru é conhecida como empuxo E do foguete de forma que podemos então colocar: Cálculo da velocidade Da equação Tiramos Que integrando fornece: Onde Mi é a massa inicial do foguete e Mf sua massa final, resolvendo obtemos: 9