Nome: Ano: º Ano do E.M. Escola: Data: / / 3º Ano do Ensino Médio Aula nº09 Prof. Paulo Henrique Assunto: Interpretação e Análise de gráficos 1. O que é importante na hora de analisar um gráfico? Atenção ao que está sendo representado: quando trabalhamos com gráficos, devemos observar alguns pontos importantes e que nos ajudarão a solucionar problemas: Identificar e relacionar eixos e legendas: Para os gráficos abaixo, identifique a relação entre os eixos e as informações apresentadas. Como se dá esta relação entre as variáveis? 1
Observar a natureza do gráfico e seu comportamento: Para os gráficos abaixo, algum deles representa uma função conhecida? Caso sim classifique conforme as funções vistas em aulas anteriores. Identifique o comportamento destas funções (crescente e decrescente) e se há pontos notáveis. 2
2. Domínio e Imagem de uma função Domínio: É o conjunto dos valores possíveis das abscissas (x), ou seja, a condição necessária e suficiente para que a função exista. [Condição de existência] Imagem: Dado que existem os valores possíveis de x (domínio), a cada um deles serão atribuídos valores que constituem o conjunto imagem. [Regra da lanterna] Identifique o domínio e a imagem das seguintes funções: 4 PARA PENSAR: Um jogador de futebol, a partir de um ponto 0, dá um bico na bola, que toca o solo a uma distância de 10 metros. Sabendo que a trajetória da bola pode ser dada pela função ²10, determine o domínio e a imagem desta função. 3
Exemplos de Sala Estudos de caso A função quadrática Na matemática, sabemos que a função do segundo grau tem como domínio os reais, porém, quando nos deparamos com a função do espaço (na física) de um movimento retilíneo uniformemente variado, qual o seu domínio? StS v t αt 2 Vamos estudar o movimento de uma partícula em linha reta inicialmente em repouso, numa distância de 2 m em relação a um referencial e acelera a 2 m.s. Qual a sua posição no instante t = 4 s? O que podemos afirmar sobre a posição dessa partícula em relação ao tempo? Obtenha a resposta graficamente e justifique. 4
A função exponencial e logarítmica Na termodinâmica das reações, sabemos que para que um determinado caminho de reação seja espontâneo, é necessário que a reação tenha a variação da sua energia livre de Gibbs negativa (Δ<0). Sabe-se também que a constante de equilíbrio de uma reação (K), quanto maior ela for, maior é a capacidade de transformar os reagentes nos produtos. Suponha a reação + "+# e que você sabe que ela é espontânea. Caso você seja um engenheiro químico e seu objetivo seja converter o máximo dos reagentes em produtos, o que você pode sugerir ao observar que a constante de equilíbrio desta reação é: $=% &' () Observe que e, é o número de Euler que vale aproximadamente 2,78, e também que R é a constante universal dos gases, cujo valor é 0,082,-../. Qual o domínio da função K(T) sabendo que T é a temperatura em Kelvin? Qual o 0..12 domínio desta função levando em conta apenas seus conhecimentos matemáticos? Qual a imagem dessa função? Se você definisse uma outra variável L, onde 3= 4. Esboce o gráfico de K(L). ) 5
Os estudos de máximos e mínimos As funções podem apresentar máximos e mínimos, que, no caso de parábolas poderiam ser obtidas através das relações 5 6 % 7, 5 &. Porém existem diversos tipos de função e nem sempre temos uma fórmula para 8, calcular seu máximo ou mínimo, nestes casos, devemos observar o gráfico quando representado ou utilizar de nossos conhecimentos para prever algum máximo ou mínimo. Vamos estudar um caso deste. As enzimas são substâncias orgânicas com natureza proteica que tem a função de catalisar as reações químicas no metabolismo de um organismo. Sabendo que estas moléculas orgânicas tem sua atividade influenciada pelo ph e pela temperatura de um organismo: apresentamos as curvas da atividade de uma enzima específica na corrente sanguínea de um organismo. Caso você seja um bioquímico enzimologista e que deseja estudar o comportamento da enzima pepsina, que é secretada no estômago, como você espera que sejam os gráficos da atividade enzimática em função da temperatura e do ph? Desenhe identificando os pontos de temperatura ótima e ph ótimo. Observação: o ph no estômago varia entre 0,9 e 2,0 e a temperatura média de um ser Humano é entre 36 e 36,5. 6
Os estudos de máximos e mínimos Quando projetamos um sistema de tubulações numa indústria por exemplo, devemos correlacionar não só a energia que a bomba consegue transferir ao fluido (que tem relação com a altura manométrica) como também a energia que esta bomba consome. De modo que consigamos obter o máximo de rendimento. Neste estudo, obtivemos as seguintes curvas: Qual seria a vazão ideal imprimida ao fluido na qual o rendimento seria máximo? Como você espera que seja a curva de energia fornecida ao fluido? Lembre-se que 9:%;<=%;>? @ ABCDEFGHI @ FBDJKLGHI? 7
O estudo de patamares As vezes é interessante percebermos regiões onde notamos um patamar ou então um crescimento e decrescimento. Para percebermos a importância disso, vamos trabalhar mais uma vez, com o equilíbrio químico. Num reação química, como por exemplo M N, onde R são os reagentes e P são os produtos, dizemos que o equilíbrio foi atingido quando a velocidade da reação no sentido M N, P 4, é igual a velocidade da reação no sentido N M, P. Isso pode ser representado, quando colocamos somente reagentes e não há produtos no meio reacional, por: O que este gráfico quer dizer no tempo > Q 0? O que acontece a partir de > R? Onde está o patamar deste gráfico? O que acontece com P 4 % P? Por quê? A partir destas informações, podemos representar um gráfico das concentrações de reagentes e produtos, mas isso requer também o uso da constante de equilíbrio $ T@U onde [ ] indica a concentração. Se a constante de equilíbrio T(U K for igual a 1, o gráfico da concentração de produto/reagente em função do tempo será: E se esta constante for menor que 1? E se ela for maior que 1? 8
Velocidade (ou taxa) de crescimento ou decrescimento Podemos estudar se um fenômeno ocorre cada vez mais rápido ou cada vez mais devagar de acordo com o ângulo que a curva forma com uma horizontal. Exemplo: 9
Exercícios de Casa 1. O Índice de Desenvolvimento Humano (IDH) é um indicador do nível de desenvolvimento socioeconômico de um dado país que leva em conta, simultaneamente, diversos aspectos, tais como expectativa de vida, índice de mortalidade infantil, grau de escolaridade e poder de compra da população. A relação entre o consumo anual de energia per capita (TEP) e o IDH, em vários países, está indicada no gráfico abaixo, no qual cada ponto representa um país. Com base nesse conjunto de dados, pode-se afirmar que: a) O IDH cresce linearmente com o aumento da TEP b) O IDH aumenta quando se reduz o consumo anual de Energia per capita c) A variação de IDH entre dois países é inferior a 0,2, dentre aqueles, cujo consumo anual de energia per capita é maior que 4 TEP d) A obtenção de IDH superior a 0,8 requer consumo anual de energia per capita superior a 4 TEP e) O IDH é inferior a 0,5 para todos os países com consumo de energia per capita menor que 4 TEP 2. A maioria dos seres autotróficos capta a energia da radiação luminosa que recebem. No entanto, seus pigmentos fotossintetizantes são capazes de absorver essa radiação, com eficiência, apenas para determinadas frequências. O gráfico abaixo mostra o espectro de absorção de luz desses pigmentos, encontrados em um determinado fitoplâncton: Uma mesma quantidade desse fitoplâncton foi adicionada a cada um de quatro recipientes, contendo meio de crescimento adequado. Durante determinado tempo, os recipientes foram mantidos sob temperatura constante e iluminados com a mesma quantidade de energia. Foram usados, porém, comprimentos de ondas diferentes, como mostra a tabela: 10
Ao final do experimento, o número de células em cada um foi contado. A maior e a menor quantidade de células foram encontradas, respectivamente, nos recipientes de números: a) 1 e 4 b) 2 e 3 c) 2 e 4 d) 3 e 1 e) 1 e 2 3. Acompanhando o crescimento do filho, um casal constatou que, de 0 a 10 anos, a variação da sua altura se dava de forma mais rápida do que dos 10 aos 17 anos e, a partir de 17 anos, essa variação passava a ser cada vez menor, até se tornar imperceptível. Para ilustrar essa situação, esse casal fez um gráfico relacionando as alturas do filho nas idades consideradas. Que gráfico melhor representa a altura do filho desse casal em função da idade? 4. As frutas que antes se compravam por dúzias, hoje em dia, podem ser compradas por quilogramas, existindo também a variação dos preços de acordo com a época de produção. Considere que, independente da época ou variação de preço, certa fruta custa R$ 1,75 o quilograma. Dos gráficos a seguir, o que representa o preço m pago em reais pela compra de n quilogramas desse produto é: 11
5. O gráfico mostra a variação da extensão média de gelo marítimo, em milhões de quilômetros quadrados, com - parando dados dos anos 1995, 1998, 2000, 2005 e 2007. Os dados correspondem aos meses de junho a setembro. O Ártico começa a recobrar o gelo quando termina o verão, em meados de setembro. O gelo do mar atua como o sistema de resfriamento da Terra, refletindo quase toda a luz solar de volta ao espaço. Águas de oceanos escuros, por sua vez, absorvem a luz solar e reforçam o aquecimento do Ártico, ocasionando derretimento crescente do gelo. Com base no gráfico e nas informações do texto, é possível inferir que houve maior aquecimento global em: a) 1995. b) 1998. c) 2000. d) 2005. e) 2007. 6. Existem no mercado chuveiros elétricos de diferentes potências, que representam consumos e custos diversos. A potência (P) de um chuveiro é dada pelo produto entre sua resistência elétrica (R) e o quadrado da corrente elétrica (i) que por ele circula. O consumo de energia elétrica (E), por sua vez, é diretamente proporcional a potência do aparelho. Considerando as características apresentadas, qual dos gráficos a seguir melhor representa a relação entre a energia consumida (E) por um chuveiro elétrico e a corrente elétrica (i) que circula por ele? 12
7. O gráfico mostra a temperatura média e a precipitação de chuva em Quixajuba em cada um dos meses de 2009. Qual das afirmativas abaixo está correta? a) O mês mais chuvoso foi também o mais quente. b) O mês menos chuvoso foi também o mais frio. c) De outubro para novembro aumentaram tanto a precipitação quanto a temperatura. d) Os dois meses mais quentes foram também os de maior precipitação. e) Os dois meses mais frios foram também os de menor precipitação. RESPOSTAS 1. C) 2. C) 3. A) 4. E) 5. E) 6.D) 7. E) 13
Raciocínio Lógico Assunto: Módulo de um número 1. A função módulo Definição: A função módulo é representada por duas barras paralelas e indica que, quando o valor no interior das barras é negativo, este valor será multiplicado por (-1), ou seja, sairá positivo. Veja: YZ W[\ W W W X Exemplo: -2 = 2 YZ W<\ W W Quando temos uma equação que envolve módulo, obteremos duas soluções diferentes. Para resolver isso, devemos avaliar caso a caso: 4 5 _ 4<0 <4 45 1 4[0 [4 45 9 E neste caso, tanto -1 quanto 9 são soluções. Gráfico da função modular Há situações que há dentro do próprio módulo, uma outra função. Ex: g(x) = x-3. Neste caso, quando quisermos representar essa função g(x), devemos decompor o módulo seguindo um processo parecido com o que obtivemos na definição: Perceba que 3-x = -(x-3). 3 X 3[0 [3 3 3 3<0 <3 3 3 Depois de ter obtido as partes da função podemos desenhá-las cada uma na mesma representação gráfica e, como a função módulo é sempre maior que zero, então o gráfico de g(x) será toda parte com y > 0: Como começamos a montagem de g(x) A g(x) propriamente dita 14
Exercícios de Casa 1. Resolva as equações seguindo o exemplo: 3 8=9 +3 =17 _ +3>0 > 3 +3=17 =14 +3<0 < 3 +3= 17 = 20 c=d R =14?g = 20} a) x+4 =7 b) x+2 +1=3 c) 3x+3 =3 d) 4x+5 + 1 = - 8 2. Decomponha a função modular +6 em duas funções uma para quando x+6 é positivo e outra para quando x+6 é negativo. Agora faça o mesmo para 3x+3, explicitando sempre a partir de quais valores de x vale este pedaço de função. 3. Esboce o gráfico da função 5x-10 4. A função x²+4 é o mesmo que dizer x²+4 independentemente do valor de x? E a função -x² é equivalente a o que? Por fim, com base em seus conhecimentos a respeito do módulo, tente desenhar o gráfico da função x² - 16, lembrando que o módulo não altera a forma do gráfico, apenas o espelha para os valores positivos de y (vide aula). 15