INTEGRAÇÃO DE UM SOFTWARE PARA A APRENDIZAGEM DA ÁLGEBRA: APLUSIX. Marilena Bittar. Departamento de Matemática e Mestrado em Educação UFMS Brasil

INTEGRAÇÃO DE UM SOFTWARE PARA A APRENDIZAGEM DA ÁLGEBRA: APLUSIX Marilena Bittar Departamento de Matemática e Mestrado em Educação UFMS Brasil marilena@dmt.ufms.br Hamid Chaachoua Equipe DidaTIC Laboratoire Leibniz Grenoble - França hamid.chaachoua@imag.fr Diversas pesquisas têm mostrado as dificuldades dos alunos para a aprendizagem da álgebra. Alguns pesquisadores estudaram dificuldades a partir de um ponto de vista epistemológico (Chevallard, 1985) e (Kieran 1991, 1992, 1994). Eles colocaram em evidência uma ruptura entre o raciocínio em aritmética e em álgebra. Vergnaud e Cortes (1987, ) falam sobre uma dupla ruptura epistemológica : por um lado a introdução de um desvio formal para o tratamento dos problemas habituais tratados intuitivamente, por outro lado, introdução de objetos matemáticos novos como equação e incógnita, ou função e variável. No plano cognitivo, A. Sfard (1991) mostrou que a passagem de concepções procedurais a concepções estruturais constitui um salto importante, colocando em evidência concepções, qualificadas de pseudo-estruturais, que conduzem os alunos a olhar expressões algébricas como cadeias de símbolos que não se decompõem. B. Grugeon (1995), afirma que as competências algébricas são estruturadas segundo duas dimensões : instrumento (capacidade de produzir expressões algébricas que traduzem um problema) e objeto (aspecto sintáxico e semântico das expressões algébricas para manipulá-las formalmente). Para superar essas dificuldades, várias pesquisas propuseram situações de aprendizagem da álgebra. Certas situações fazem uso de instrumentos diferentes do

2 papel e lápis, como por exemplo, a calculadora gráfica para dar sentido à noção de variável (Sutherland et Rojeno, 1993). A perspectiva construtivista da aprendizagem considera que o aluno aprende se adaptando a um meio que é produtor de contradições, de dificuldades, de desequilíbrios, um pouco como o faz a sociedade humana. Esse saber, fruto da adaptação do aluno, se manifesta por meio de respostas novas que são a prova da aprendizagem (Brousseau, 1986, p. 48). A construção do conhecimento é o resultado da interação do sujeito com um meio, que deve ser organizado pelo professor a partir de escolhas judiciosas de problemas, dos tipos de ações possíveis do aluno sobre esse meio, e os tipos de retroações que o meio oferece. Os ambientes informatizados podem constituir, sob certas condições, um meio para a aprendizagem no sentido descrito acima (Laborde C. Capponi B., 1994). Isso depende dos tipos de ações e retroações que ele oferece para a resolução do problema. Além disso, esses ambientes podem ser considerados como ambientes de experimentações: Como em toda situação, as retroações do meio podem ser solicitadas pelo sujeito que decide se dedicar a certas ações cuja sansão pelo meio fornecerá elementos de informação sobre sua produção. Trata-se, de certo modo, de uma experimentação dentro do modelo fornecido pelo ambiente informatizado" (Laborde C. e Capponi B. 1994, p. 177). Propomos, a seguir, estudar o caso do software Aplusix para mostrar que ele tem características para constituir um meio para a aprendizagem da álgebra. I. O SOFTWARE APLUSIX 1 CONSTITUINDO UM MEIO PARA A APRENDIZAGEM Aplusix é um micro mundo 2 de álgebra destinado à realização de cálculos algébricos que possui um editor avançado de expressões algébricas e de resoluções. O aluno pode resolver exercícios preparados pelo professor e gravá-los em arquivos, o que é feito automaticamente, a partir do momento em que o aluno começa a trabalhar. A sintaxe utilizada é bastante simples, sendo de fácil familiarização tanto para alunos quanto para professores, como tem sido comprovado nas várias experiências já realizadas em diversos países, com Aplusix. 1 Aplusix é desenvolvido por pesquisadores da equipe DidaTIC, do Laboratório Leibniz, em Grenoble-França. Uma primeira versão em português já se encontra disponível no site http://aplusix.imag.fr 2 Um micromundo é um sistema que permite simular ou reproduzir um domínio do mundo real, e que tem como objetivo abordar e resolver uma classe de problemas (Bellemain, 2002).

3 Figura 1 : Tela do Aplusix A ações e retroações que Aplusix oferece ao usuário permite considerá-lo como um instrumento que pode, efetivamente, constituir em um meio pertinente para a aprendizagem da álgebra. As ações são relativas às edições de expressões algébricas e aos cálculos automáticos disponíveis. Para as retroações próprias do software, distinguimos essencialmente três categorias: Equivalência ou não das expressões de duas etapas consecutivas; Indicadores sobre o estado da expressão corrente (grau de desenvolvimento, fatoração,...); Mensagens de texto (editadas pelo software e que podem ser relativas à resolução final, à boa formação das expressões,...). Em função dos objetivos de aprendizagem, o professor pode personalizar as ações e retroações de modo a programar uma seqüência didática constituída por uma lista de exercícios em que cada um deles tenha diferentes opções. Para melhor compreensão dessas potencialidades do Aplusix, será feita a seguir uma breve apresentação dos principais pontos citados. A versão atual 3 do Aplusix oferece ao usuário, quatro modos diferentes de trabalho: micro mundo, exercícios, lista de exercícios e videocassete. No modo micro mundo, o software funciona como uma folha em branco, na qual o aluno vai resolver o 3 Aplusix possui atualmente uma versão quase estável porém modificações ainda têm sido feitas com base nas experimentações realizadas.

4 exercício que quiser. Assim, o aluno pode, por exemplo, copiar um exercício do livro e resolvê-lo no computador. A grande vantagem em usar Aplusix para realizar esse trabalho está no fato de que aqui o aluno terá retorno imediato sobre seu trabalho, via a verificação automática que o software oferece, como veremos mais adiante. No modo exercícios o aluno resolverá uma lista de exercícios previamente preparada pelo professor. Dessa vez, o professor decidirá sobre os tipos de retroações que deseja tornar disponíveis ao aluno. Esses exercícios o professor elabora usando o modo lista de exercícios. Finalmente, temos o modo videocassete, que permite visualizar todas as ações realizadas com o mouse ou com o teclado, durante a resolução do exercício. Quando um aluno resolve um exercício, sua resolução é automaticamente gravada e poderá ser vista pelo professor, com a ajuda do videocassete. É importante observar que todas as ações realizadas pelo aluno, inclusive o que ele apaga e quanto tempo demorou para realizar um cálculo, ficam registradas. Desse modo, tem-se acesso também à parte da componente privada do trabalho do aluno, que não é o caso no papel e lápis, o que permite um estudo mais fino sobre o estado de conhecimento do aluno. Essa funcionalidade do software tem sido bastante explorada quando desejamos fazer um trabalho de sondagem com alunos. No ambiente papel e lápis, é comum pedirmos que usem caneta para que não apaguem o que escreveram, na intenção de se ter acesso à maior parte possível do trabalho do aluno, evitando perder o que eventualmente ele decidiria apagar, como tentativas frustradas de resolução do problema proposto. Porém, nesse caso o aluno sabe que tudo o que ele escreve será visto por uma terceira pessoa (professor ou pesquisador) e se policiará sobre essa escrita. Assim sendo, se o teste for elaborado para ser resolvido com o Aplusix, o aluno pode trabalhar como quiser e seu trabalho poderá ser visto, posteriormente, pelo professor. O aluno trabalha assim, mais a vontade, sem se preocupar com o que está escrevendo, pois quando ele muda de idéia, por exemplo, ele apaga o que estava fazendo e deixa, na tela final, somente o que deseja. Efetivamente, em experimentações realizadas com Aplusix, encontramos alunos que chegam até mesmo a escrever frases expressando o que pensam ( estou cansado, não estou com vontade,...) o que extrapola inclusive a esfera específica do conhecimento visado. Além disso podemos ver exatamente quanto tempo o aluno demorou entre cada ação que realizou, o que também é importante para perceber o grau

5 de dificuldade da atividade. Para melhor compreender essa afirmação, daremos alguns exemplos mais adiante 4. Aplusix oferece vários tipos de personalizações que podem ser definidas pelo professor ao elaborar suas atividades, de acordo com o tipo de trabalho a ser realizado e com os objetivos de aprendizagem. Essas personalizações, exploradas convenientemente, constituem, assim, elementos chave na elaboração de situações didáticas que favoreçam a aprendizagem da álgebra. Um tipo de personalização fundamental tanto para o trabalho do aluno, quanto para o estudo de suas dificuldades é o tipo de verificação automática a ser disponibilizada quando elaboramos uma lista de exercícios. É possível personalizar Aplusix de forma que ele mostre a equivalência, ou não equivalência, entre duas etapas consecutivas, além de fornecer indicadores sobre a expressão que o aluno está trabalhando tais como expressão completamente desenvolvida ou fatorada. Nesse texto, centraremos atenção sobre o tipo de verificação automática que pode ser disponibilizada pelo software pois acreditamos ser essa uma das funcionalidades que mais pode contribuir com o trabalho pedagógico do professor. Aplusix permite que, ao elaborar uma lista de exercícios, se opte por um dos três casos seguintes de verificação: sem verificação com esse tipo de personalização o trabalho é realizado como se o aluno estivesse resolvendo o exercício no ambiente papel e lápis. Isso significa que o aluno resolve um problema mas não tem nenhuma indicação da validade de suas afirmações. Quando se deseja estudar dificuldades dos alunos, ou suas concepções acerca de um determinado conteúdo, pode-se elaborar um teste a ser resolvido pelos alunos sem que eles tenham alguma retroação que lhes indiquem se o que fizeram está correto ou não 5. verificação a pedido dessa vez o aluno tem a possibilidade de pedir ao software que verifique se seu trabalho está correto, o que pode ser feito várias vezes ao longo de seu trabalho ou somente ao final do mesmo. Ou 4 Durante o mini curso, proporemos alguns exercícios resolvidos pelos alunos, para que os participantes analisem, com a ajuda do videocassete, as resoluções fornecidas. 5 Está sendo desenvolvido um software que permite fazer uma análise automática do trabalho do aluno, o que torna possível analisar, de forma bastante rápida, um teste realizado por um grande número de alunos. Esse software chama-se Anaïs, e está sendo desenvolvido por Jean-François Nicaud, da equipe DidaTIC.

6 seja, cabe ao aluno a decisão de pedir a verificação de seus cálculos. No exemplo abaixo, o aluno resolveu um problema e ao final pediu a verificação da equivalência entre as etapas realizadas: Figura 2: modo de verificação a pedido Nesse momento, o software lhe indicou a equivalência (ou a não equivalência) entre as etapas realizadas. É importante saber que nesse modo, quando o aluno está resolvendo o exercício, ele pode passar de uma etapa à outra mesmo se a etapa precedente estiver incorreta, como foi o caso no exemplo acima, onde ele pediu a verificação ao final do exercício. Ele pode também pedir essa verificação a cada vez que julgar que terminou uma passagem entre duas etapas, tendo assim, retorno imediato sobre seu trabalho. O professor pode usar esse modo de verificação com seus alunos, estimulando-os a desenvolverem autonomia, buscando ajuda do software após reflexão sobre o trabalho realizado. Nesse sentido, um tipo de atividade que pode ser feita, é de permitir que eles usem a verificação um número fixo de vezes, o que lhes obrigará a estabelecer uma estratégia para tal, desenvolvendo sua autonomia e espírito crítico. verificação permanente - Nesse último modo, não é possível passar de uma etapa à outra sem que os cálculos estejam corretos, ou seja, sem que haja equivalência entre duas etapas. O sistema indica, a cada ação realizada pelo usuário, se há ou não equivalência entre a etapa precedente e a que ele está trabalhando, porém, é importante observar que não será dito ao aluno

7 o quê está errado, mas sim que as etapas não são equivalentes, o que permite concluir que algo está errado. Assim, o software ajuda o aluno a superar suas dificuldades na medida em que ele impede que o aluno continue a resolver o problema caso tenha efetuado uma passagem errada. Nesse modo de trabalho, a resolução final do aluno será sempre correta pois se ele realizar um cálculo errado, o software lhe indicará a não equivalência entre as etapas, obrigando-o a refazer seus cálculos. Nesse caso, se analisarmos a produção final do aluno, veremos uma solução correta, como na figura 3, quadro 1, porém, com o auxílio do videocassete, poderemos observar que o aluno teve dificuldade em produzir a resposta final, como vemos na figura 4, quadro 1. Figura 4 O aluno adiciona duas linhas de um sistema acreditando obter uma equivalência entre as duas etapas de resolução, apesar de ter o sistema reduzido a uma equação no lugar das duas que o definiam. Figura 3 Quadro 1: resolução de um exercício usando modo de verificação permanente. Podemos observar aqui que o uso do videocassete permitiu identificar um erro conceitual importante que apareceu durante a resolução do problema proposto. É importante saber que quando o aluno está trabalhando no modo micro mundo, ele pode optar pelo tipo de verificação que desejar.

8 Finalmente, quando o aluno termina um exercício e tenta passar ao próximo, ele pode receber mensagens de texto indicando se a resposta está correta, se falta simplificar a expressão, reduzir termos semelhantes, se há não equivalência entre duas etapas e etc. Outras mensagens de texto são ainda possíveis, como quando o aluno tenta mudar o enunciado do problema ou passar de uma etapa a outra, sem que haja equivalência entre a etapa que está trabalhando e a anterior, caso esteja trabalhando como modo de verificação permanente dos cálculos. A retroação que consideramos fundamental, fornecida por Aplusix, é a possibilidade de mostrar ao aluno a equivalência entre duas expressões algébricas de duas etapas consecutivas. Essa equivalência se apóia sobre a semântica matemática das expressões algébricas, quer dizer a notação (Arzarello F. al. 2001). Por exemplo, duas equações são equivalentes se elas têm mesmo conjunto de soluções. As modalidades dessa retroação são personalizáveis : de uma verificação escondida (que o aluno não vê) à uma verificação mostrada em permanência a cada modificação da expressão, passando por uma verificação a pedido do aluno. No caso em que o software não mostra a equivalência (sem verificação), um traço preto liga as duas etapas (mãe e filha). Aplusix funciona então, essencialmente como um editor matemático, com uma característica algébrica de boa formação de expressões. A verificação realizada por Aplusix para a transformação de expressões algébricas, não é suficiente para tratar os problemas da álgebra. De fato, o aluno deve ter a capacidade de interpretar as expressões algébricas em função do uso que ele quer fazer delas (Sfard, 1991), (Harper, 1987). Em particular, o aluno deve ter um meio de controle sobre o estado de uma expressão com relação aos aspectos: fatoração, redução, resolução de uma equação... Os indicadores de Aplusix, fornecem informações sobre a expressão em que se está trabalhando. O modo de verificação, a presença de indicadores sobre o estado das expressões e os comandos de cálculos são personalizáveis (Nicaud J.F. et al., 2003), o que permite adaptar, de modo mais preciso, a interface ao nível cognitivo e didático que se deseja. Assim, em função dos objetivos pretendidos, o professor pode personalizar as ações possíveis para o aluno e as retroações oferecidas pelo software.

9 II. ESTUDO DE UMA ENGENHARIA DIDÁTICA Nesse parágrafo apresentamos resultados de uma engenharia didática (Artigue, 1990) realizada na França com 33 alunos de uma classe do primeiro ano do Ensino Médio. Nós trabalhamos com essa classe durante todo o ano escolar (2002-2003). A primeira etapa do trabalho consistiu de um teste, sobre diferentes problemas algébricos presentes no Ensino Fundamental, e foi realizado com o Aplusix. Esse teste foi aplicado em setembro de 2002, ou seja, no início do ano letivo, antes que os alunos tivessem aula sobre álgebra. A análise desse teste, realizada com o auxílio do videocassete do Aplusix, permitiu identificar dificuldades dos alunos relativas a conteúdos do Ensino Fundamental. A partir desse resultado, foi elaborada uma seqüência de ensino sobre o tema: fatoração e equações. Em seguida, o professor usou o Aplusix de forma livre, durante o curso, ou seja, coube a ele decidir quando usar o software, e constatamos que o usou, alternando com o papel e lápis, a cada vez que tratou de álgebra com seus alunos, no estudo de ineqüações e de sistemas de equações lineares com duas incógnitas. O tempo de uso do software por aluno, foi estimado entre 2 e 3 horas para cada tema, ou seja, um total de 8 horas, em média, por aluno, de uso do Aplusix, durante as aulas. Os alunos trabalharam individualmente durante essa fase. Além disso, o professor convidou 5 alunos que estavam em grande dificuldade de aprendizagem, para trabalhar com Aplusix de forma livre e autônoma, como um auxílio para superar essas dificuldades. Desses 5 alunos, 4 aceitaram participar da experiência e trabalharam sobre listas de exercícios propostas pelo professor e também sobre exercícios que escolhidos por eles, extraídos do livro texto. Esse trabalho foi realizado no laboratório de informática, durante o período em que esse estava livre, ou na própria casa dos alunos, o que lhes dava autonomia para estudar quando e como quisessem. Apresentamos, no parágrafo seguinte, os elementos de análise da primeira seqüência sobre o tema resolução de equações, para colocar em evidência aspectos do Aplusix como constituindo um meio para a aprendizagem. Finalmente, terminaremos com uma análise geral sobre o software do ponto de vista do professor. II.1 Seqüência «resolução de equações» Na França, o ensino de álgebra desde o Ensino Fundamental até o primeiro ano do Ensino Médio estuda as equações do primeiro grau do tipo ax+b=0 e as equações que

10 podem ser reduzidas ao primeiro grau. Ou seja, nesse momento não é possível resolver uma equação do segundo grau usando a fórmula de Baskara, pois os alunos ainda não a conhecem. As equações estudadas são das formas seguintes : T0 : ax+b=0 T1 : A(x)=B(x), com grau A = grau B = 1 T2 : A(x).B(x)=0, com grau A = grau B = 1 T3 : A(x).B(x) = C(x).D(x), com grau A = grau B = grau C = grau D = 1 T3a : Após desenvolvimento, os termos em x 2 são eliminados. A fatoração não se constitui uma técnica eficiente, sendo necessário que se faça o desenvolvimento do produto. T3b : Após desenvolvimento, os termos em x 2 são eliminados. Após a fatoração, temos uma equação do tipo T2. As duas técnicas, desenvolvimento e fatoração, são possíveis de serem usadas para se resolver a equação. T3c : Após desenvolvimento, os termos em x 2 não são eliminados. Após fatoração, temos uma equação do tipo T2. A técnica da fatoração é, assim, necessária. T3 : A(x).B(x) = C(x) com grau A = grau B = 1 e grau C = 2 T3 a: Após desenvolvimento, os termos em x 2 são eliminados. A fatoração não se constitui uma técnica eficiente, sendo necessário realizar o desenvolvimento do produto. T3 b: Após desenvolvimento, os termos em x 2 são eliminados. Após fatoração temos uma equação do tipo T2. As duas técnicas «desenvolvimento» e «fatoração» são possíveis de serem usadas para se obter uma solução. T3 c: Após desenvolvimento do produto, os termos em x 2 não são eliminados. Fazendo a fatoração, obtém-se uma equação do tipo T2. A fatoração é, assim, necessária. T4 : A(x)=B(x), com A(x) e B(x) polinômios de grau menor ou igual a 2, escritos na forma desenvolvida (supomos que ao menos um dos dois polinômios tem grau igual a 2). Após redução e passagem de todos os termos para um único membro da equação, obtém-se uma equação do tipo ax 2 + bx +c. Para a resolução dessa equação, é necessário

11 fatorá-la (pois ainda não se conhece a fórmula de Baskara) e, para tal, utiliza-se produtos notáveis. T5 : x 2 = a sendo a um real positivo não nulo. T6 : (ax+b) 2 = 0 T7 : Outras. Trata-se de equações com escritas fracionárias, que podem ser reduzidas a um dos tipos de equações acima descritos. Os problemas do tipo T0, T1, T2, T3a e T3b são amplamente estudados no Ensino Fundamental, e os do tipo T3c, T 3, T4 e T5 são estudados essencialmente no primeiro ano do Ensino Médio (classe de Seconde). Tendo em vista isso, escolhemos realizar uma experimentação cujo objetivo era mostrar como o uso da fatoração para a resolução de problemas de equações pode ser útil. Metodologia Nós analisamos os resultados do pré-teste geral, nos limitando aos problemas sobre resolução de equações do tipo T1, T2 e T3. Em seguida, elaboramos e realizamos uma seqüência didática desenvolvida em 3 fases, durante as quais os alunos trabalharam individualmente e exclusivamente com o Aplusix. Fase 1 : Seqüência de aprendizagem Para a personalização dessa fase, escolhemos a verificação a pedido, com os indicadores dos estados da etapa sendo mostrados aos alunos. Lembramos que o objetivo, nesse momento, era mostrar a utilidade da técnica de fatoração para resolver problemas do tipo T3c. Para isso, organizamos a aprendizagem em três etapas : - Sessão 1 (1 hora) : Resolução de equações do primeiro grau e do segundo grau que podem ser resolvidas sem a técnica da fatoração. Ou seja, equações do tipo T1, T2, T3a e T3b. Os exercícios propostos nessa sessão foram os seguintes:

12 - Sessão 2 (1 hora): Resolução de equações do segundo grau em que o uso da fatoração é necessário. Eis os exercícios propostos nessa sessão: Cada uma das duas etapas 1 e 2, foi seguida de um momento de síntese sobre as regras de fatoração e as técnicas de resolução de equações. - Sessão 3 (1 hora) : Exercícios gerais sobre os tipos de equações anteriormente vistos. Os alunos deveriam resolver uma lista de exercícios contendo equações dos três tipos : T1, T2 e T3. Para o tipo T3, os alunos deviam decidir a técnica de resolução a ser utilizada. Os exercícios propostos nessa sessão foram os seguintes:

13 Fase 2 : Pós-teste O pós-teste teve por objetivo avaliar a evolução dos alunos relativamente ao préteste, para equações do tipo T1, T2 e T3c. Esse teste foi realizado no modo sem verificação e sem indicadores sobre o estado de cada etapa e continha os seguintes exercícios:

14 Fase 3 : Ajuda individual Os resultados do pós-teste permitiram identificar alunos em dificuldades de aprendizagem. A partir desses resultados foram elaboradas seqüências de exercícios adaptadas para cada aluno, na intenção de ajudá-los a superar essas dificuldades. A participação desses alunos nessa fase era voluntária. II.2 Análise dos resultados Nessa parte vamos nos restringir aos problemas de tipo T1, T2 e T3c, fazendo uma comparação entre os resultados obtidos no pré-teste e no pós-teste para avaliar a evolução dos alunos após a realização da seqüência. Na tabela 1, apresentamos a porcentagem de acerto dos alunos para cada tipo de problema. Tipo de problema Pré-teste Pós-teste T1 46% 74% T2 3% 63% T3c 27% 71% Total 18% 68% Tabela 1 : Comparação dos resultados entre pré-teste e pós-teste. Esses resultados mostram uma evolução do índice de êxito dos alunos entre o pré-teste e o pós-teste. Salientamos que os resultados não são os mesmos para cada tipo de exercício. Por exemplo, para problemas do tipo T1, os exercícios em que as equações tinham coeficiente inteiros tiveram 100% no pós-teste, contra 30% de êxito para os exercícios em que os coeficientes eras frações. Lembramos que os alunos trabalharam exclusivamente com o Aplusix. Podemos assim considerar que a melhora dos resultados obtidos nos dois testes pode ser atribuída às características do software e às escolhas das situações. Os dois parágrafos seguintes ilustram como o Aplusix pode ser considerado como um meio para a aprendizagem.

15 Aplusix como instrumento para experimentação Durante a fase 1, a verificação dos cálculos foi feita a pedido, portanto cabia ao aluno decidir sobre seu uso para validar e/ou controlar seu trabalho em uma determinada etapa. Essa possibilidade dá ao Aplusix a dimensão de um ambiente de experimentação. De fato, para uma sucessão de ações do aluno e de retroações do software, o aluno é levado a desenvolver meios de controle, modificar suas estratégias e corrigir seus erros, como mostra o quadro 2: Aluno E1 1) O aluno E1 simplifica o fator (x+2) 2) pede a verificação dos cálculos. E vê que não há equivalência entre as duas etapas. 3) Retoma a segunda etapa e desenvolve os membros da igualdade. 4) pede a verificação dos cálculos observando que ainda não há equivalência entre as duas etapas. 5)Substitui 5 por 6 6) pede novamente a verificação dos cálculos verificando que agora estão corretos. Quadro 2 : Evolução do trabalho de um aluno. Evolução das estratégias para a resolução das equações do tipo T3 Durante a realização da sessão 1, fase 1, os alunos utilizaram a técnica do desenvolvimento do produto para a resolução de equações do tipo T3a e T3b. As retroações do Aplusix permitiram aos alunos, trabalhar as regras do desenvolvimento e certos erros, como a simplificação por (x+2) do aluno E1.

16 Durante a realização da sessão 2, foi observado que os alunos reproduziram a mesma técnica, quer dizer, desenvolveram o produto para equações do tipo T3c. Desse modo obtiveram a expressão ax 2 +bx+c. O professor fez, então, uma intervenção para explicar a técnica da fatoração, usada, em seguida, pelos alunos nos exercícios em que o fator aparecia de forma visível, ou seja, sem precisar efetuar qualquer outro tipo de operação para então visualizá-lo. Vejamos o exemplo do aluno E2: Aluno E2 Primeiramente, E2 efetuou a fatoração e, em seguida, após adicionar termos semelhantes, utilizou a técnica do desenvolvimento para resolver a equação. Em seguida, para outra equação ele utilizou a técnica do desenvolvimento (cf. estratégia 1, Quadro 3) para resolver a equação. Duas explicações podem ser pensadas: a (nova) técnica da fatoração não era ainda estável ou o fator comum não era visível, pois era preciso, inicialmente colocar o número 2 em evidência para então encontrar o fator (x-1) como fator comum. Quando ele obteve uma expressão do segundo grau, ele retomou as etapas usando, dessa vez, a técnica da fatoração (cf. estratégia 2, Quadro 3).

17 Aluno E2 Estratégia 1 Estratégia 2 Quadro 2 : Evolução do trabalho do aluno E2, relativamente à técnica da fatoração. O professor constatou que os alunos modificam mais facilmente suas respostas quando estão trabalhando com o Aplusix do que quando trabalham no ambiente papel e lápis. Além disso, eles não hesitam em testar novas estratégia para resolver o problema. Acreditamos que isso se deve ao fato de que o aluno dispõe, quando está resolvendo o exercício com o Aplusix, da possibilidade de verificar seu trabalho ou de validá-lo sem a intervenção do professor. CONCLUSÃO Após análise final das sessões realizadas, podemos concluir que Aplusix pode se integrar na Educação Básica, para o ensino de matemática. Fora a primeira seqüência, que foi proposta por nós ao professor, ele não teve nenhuma dificuldade em usar o software em todos os outros capítulos sobre álgebra. A análise feita pelo professor foi bastante positiva do ponto de vista da aprendizagem, da autonomia e da individualização. Esse resultados confirmam nossa análise didática que coloca em evidência as especificadades do software como constituindo um meio pertinente para a aprendizagem da álgebra. Nesse texto, centramos nossa análise sobre a dimensão de verificação das equivalências e das igualdades disponíveis no Aplusix.

18 Concluímos assim, que Aplusix pode ser considerado como um meio de validação, no sentido de Brousseau (1986), na medida em que o aluno pode saber se sua resposta é correta ou não sem a intervenção do professor. Essa funcionalidade do software permite reduzir os efeitos do contrato didático quando os alunos tentam adivinhar o que o professor espera que façam quando pede que validem seu trabalho. Consideramos também o software Aplusix como um ambiente de experimentação uma vez que as interações entre sujeito e meio permitem a exploração e a evolução das estratégias. Palavras chave: Aplusix, ensino de álgebra. III - REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS ARTIGUE, M.: Ingénierie didactique. Recherches en Didactique des Mathématiques. Grenoble: La Pensée Sauvage, 1990, vol. 9, n 3, pp. 281-307. ARZARELLO F., L. BAZZINI, CHIAPPINI G.. A model for analysing algebraic process of thinking. Perspectives on School Algebra, London: Mathematics Education Library, 2001, v. 22. BELLEMAIN F., O paradigma micromundo. História e Tecnologia no Ensino de Matemática. Carvalho, L. M. & Guimarães L. C. (organizadores), Editora: Rio de Janeiro, IME-UERJ, 2002, volume 1, págs: 49:60. BOUHINEAU D., NICAUD J.F., PAVARD X., SANDER E. A Microworld for Helping Students to Learn Algebra. In proceddings of ICTMT'5, Schriftenreihe Didaktik der Mathematik v.25. öbv&hpt, Vienna, 2002. BOUHINEAU, D. at all. Analyse didactique des protocoles obtenus dans un EIAH. Actes du Colloque EIAH. Strasbourg, 2003. BROUSSEAU, G. Fondements et Méthodes de la Didactique des Mathématiques. Recherches en Didactique des Mathématiques. Grenoble : La Pensée Sauvage, 1986, vol. 7, nº2, p. 33-115. CHEVALARD Y. Le passage de l'arithmétique à l'algébrique dans l'enseignement des mathématiques au collège - première parte : l'évolution de la transposition didactique. Petit x. Grenoble : IREM de Grenoble, 1985, N 5, pp51-94.

19 GRUGEON B. Etude des rapports institutionnels et des rapports personnels des élèves à l'algèbre élémentaire dans la transition entre deux cycles d'enseignement : BEP et Première G. Thèse de doctorat. Université Paris VII, 1995. HARPER (1987), Ghosts of Diophanutus. Educational Studies in Matematics, 1987, n 18, pp. 75 90. KIERAN C. A Procedural-Structural Perspective on Algebra Research. Proceedings of Psychology of Mathematics Education, Furinghetti F (eds), Assise, Italy, 1991. KIERAN C. (1992), The learning and teaching of school algebra. In Handbook of Resarch on Mathematics Teaching and learning. Douglas A. Grows (ed), New York Macmillan, 1992, pp. 390-419, KIERAN C. A functional approch to the introduction of algebra Some Pros and Cons. Proceedings of PME 18, Lisbon: University of Lisbon, 1994, Vol I, pp.157 175 LABORDE C. E CAPPONI B. Cabri-Géomètre constituent d'un milieu pour l'apprentissage de la notion de figure géométrique. In Didactique et Intelligence Artificielle (Balacheff N., Vivet M. eds). Recherche en Didactique des Mathématiques. Grenoble : La Pensée Sauvage, 1994, 14 (12), 165-210. NICAUD J.F., BOUHINEAU D. Syntax and semantics in algebra. Proceedings of the 12th ICMI Study Conference. The University of Melbourne, 2001. NICAUD, J-F at all. The APLUSIX-Editor, a new kind of software for the learning of algebra. Intelligent Tutoring Systems, 6th International Conference. Biarritz, 2002. NICAUD J.F., BOUHINEAU D., CHAACHOUA H., HUGUET T., BRONNER A. A computer program for the learning of algebra: description and first experiment. In proceedings of PEG2003, Saint Petersburg, 2003. SFARD A. On dual nature of mathematics conceptions: Reflections on processes and objects as different sides of the same coin. Educational Studies in Mathematics, 1991, n 22, pp. 1 36. SUTHERLAND R., ROJANO T.. Bridging the Gap between non-algebraic and Algebraic Approaches to Problem Solving in Mathematics, In R. Sutherland (Org.): Algebraic Processes and the Role of Symbolism, Working Conference of the ESRC Seminar Group, Institue of Education, London, 1993.

20 VERGNAUD G., CORTÈS A. Apprentissage de l'algèbre par des élèves faibles: 4ème et 3ème de LEP. Colloque de la Société Française de Psychologie. Les apprentissages Perspectives actuelles. Saint-Denis, 1987, 30/31.