SIMULAÇÃO NUMÉRICA DE ESCOAMENTO SOBRE AEROFÓLIO UTILIZANDO MODELO DE TURBULÊNCIA DE UMA EQUAÇÃO

Tese apresentada à Pró-Reitoria de Pós-Graduação e Pesquisa do Instituto Tecnológico de Aeronáutica como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Ciências do Programa de Estudos de Mestrado no Curso de Engenharia Aeronáutica e Mecânica Área de Aerodinâmica Propulsão e Energia. Marco Antonio Sampaio Ferraz de Souza SIMULAÇÃO NUMÉRICA DE ESCOAMENTO SOBRE AEROFÓLIO UTILIZANDO MODELO DE TURBULÊNCIA DE UMA EQUAÇÃO Tese aprovada em sua versão final pelos abaixo assinados Prof. Dr. Nide Geraldo do Couto Ramos Fico Jr. Orientador Prof. Dr. Celso Massaki Hirata Pró-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa Campo Montenegro São José dos Campos SP Brasil. 2009 i

Dados Internacionais de Catalogação-na-Publicação (CIP) Divisão Biblioteca Central do ITA/CTA Souza Marco Antonio Sampaio Ferraz de Simulação numérica de escoamento sobre aerofólio utilizando modelo de turbulência de uma equação / Marco Antonio Sampaio Ferraz de Souza. São José dos Campos 2009. 125f. Tese de mestrado Curso de Engenharia Aeronáutica e Mecânica Área de Aerodinâmica Propulsão e Energia--Instituto Tecnológico de Aeronáutica 2009. Orientador: Dr. Nide Geraldo do Couto Ramos Fico Júnior. 1. Dinâmica dos Fluidos Computacional. 2. Método de Volumes Finitos. 3. Modelo de Turbulência. I. Comando-Geral de Tecnologia Aeroespacial. Instituto Tecnológico de Aeronáutica. Divisão de Engenharia Aeronáutica. II. Simulação numérica de escoamento sobre aerofólio utilizando modelo de turbulência de uma equação. REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA SOUZA Marco Antonio Sampaio Ferraz de. Simulação numérica de escoamento sobre aerofólio utilizando modelo de turbulência de uma equação. 2009. 125 f. Tese de mestrado Área de Aerodinâmica Propulsão e Energia Instituto Tecnológico de Aeronáutica São José dos Campos. CESSÃO DE DIREITOS NOME DO AUTOR: Marco Antonio Sampaio Ferraz de Souza TÍTULO DO TRABALHO: Simulação numérica de escoamento sobre aerofólio utilizando modelo de turbulência de uma equação TIPO DO TRABALHO/ANO: Tese de Mestrado / 2009 É concedida ao Instituto Tecnológico de Aeronáutica permissão para reproduzir cópias desta tese e para emprestar ou vender cópias somente para propósitos acadêmicos e científicos. O autor reserva outros direitos de publicação e nenhuma parte desta tese pode ser reproduzida sem a sua autorização (do autor). Marco Antonio Sampaio Ferraz de Souza Rua Jaime Ribeiro 84 apto. 01 Aparecida SP. marco07@fem.unicamp.br ii

SIMULAÇÃO NUMÉRICA DE ESCOAMENTO SOBRE AEROFÓLIO UTILIZANDO MODELO DE TURBULÊNCIA DE UMA EQUAÇÃO Marco Antonio Sampaio Ferraz de Souza Composição da Banca Examinadora: Prof. Amilcar Porto Pimenta Prof. Nide G. C. R. Fico Jr. Prof. Ézio Casteon Garcia Prof. Breno Moura Castro Presidente - ITA Orientador - ITA Membro Interno - ITA Membro Externo - IAE ITA iii

AGRADECIMENTOS Em primeiro lugar a Deus. Aos meus pais Sonia e José Antonio minha irmã Soninha meus sobrinhos Lívia Maria João Vitor e Luis Otávio e um agradecimento especial a minha tia Wanda que no alto de sua experiência me audou a chegar aqui. A meu professor e orientador Nide pelos detalhes precisos em suas orientações. Aos amigos do ITA em especial a José Cáceres e Oscar Arias que tantas horas se dedicaram ao desenvolvimento do programa. Ao João Falcão do IAE que contribuiu de forma decisiva para a implementação do modelo de turbulência a partir da versão do Breno Castro. Aos Mestres e Doutores do Grupo de Simulação e Transferência de Calor GSET Flávia Rosiane Valdirene Jéferson Capitão Porto. A todos do Laboratório de Computação em Fenômenos de Transporte - LCFT e ao Professor Marcelo Lemos sempre com contribuições de alto nível. Um agradecimento final a todos os funcionários do ITA dos Professores aos bibliotecários muito obrigado pela fineza no tratamento. iv

Eu sou um homem velho atualmente e quando eu morrer e for para o céu há duas coisas em que eu espero por esclarecimentos. Uma é eletrodinâmica quântica e a outra é o movimento turbulento dos fluidos. E sobre a anterior eu sou mais otimista. SIR HORACE LAMB v

RESUMO Simulações numéricas foram realizadas utilizando-se um código computacional desenvolvido para resolver o sistema de equações de Navier-Stokes com média de Reynolds que modela o escoamento compressível turbulento em torno de um aerofólio NACA 0012. Foram utilizadas malhas estruturadas tipo O geradas algebricamente e diversos refinamentos puderam ser feitos. O método de volumes finitos foi empregado para a discretização do sistema de equações diferenciais parciais e os esquemas explícitos de MacCormack e Jameson foram implementados. Termos de viscosidade artificial foram adicionados explicitamente através de um modelo não-linear. O modelo de turbulência de uma equação de Spalart e Allmaras foi implementado para resolver o problema de fechamento da turbulência. Inicialmente a formulação de Euler foi usada e resultados para a distribuição de pressão e coeficientes aerodinâmicos foram obtidos para quatro casos de escoamentos transônicos não-viscosos sobre o aerofólio. As soluções foram comparadas com os resultados de outros métodos numéricos disponíveis na literatura. Em seguida um dos casos foi utilizado para avaliar a influência dos parâmetros numéricos como a viscosidade artificial e o refinamento da malha. Outro caso foi utilizado para comparar os esquemas explícitos de MacCormack e Jameson. Por último o modelo de turbulência de uma equação de Spalart e Allmaras foi utilizado para a formulação de Navier- Stokes e as soluções foram comparadas com os dados experimentais de Harris e outros resultados numéricos obtidos com o modelo de turbulência algébrico de Baldwin e Lomax. vi

ABSTRACT Numerical simulations were performed using a computer code developed to solve the Reynolds averaged Navier-Stokes equations system that models the compressible turbulent flow over a NACA 0012 airfoil. An O type algebraic structured mesh was used and various refinements were made. The finite volume method was used for discretization of the system of partial differential equations and the explicit schemes of MacCormack and Jameson were implemented. Artificial viscosity terms were added explicitly using a non-linear model. The one equation turbulence model of Spalart and Allmaras was implemented to resolve the turbulence closing problem. Initially the formulation of Euler was used to obtain the distribution of pressure and aerodynamic coefficients for four cases of transonic inviscid flow over the NACA 0012 airfoil. The solutions were compared with results of other numerical methods available in the literature. Then one of the cases was used to assess the influence of numerical parameters such as artificial viscosity and the mesh refinement. Another case was used to compare the explicit schemes of MacCormack and Jameson. Finally the one equation turbulence model of Spalart and Allmaras was used for the Reynolds-averaged Navier-Stokes equations and the solutions were compared with experimental data of Harris and other numerical results obtained with the algebraic turbulence model of Baldwin and Lomax. vii

SUMÁRIO Lista de figuras Lista de tabelas Lista de abreviaturas e siglas Lista de símbolos 1. Introdução 1.1 Obetivo 1.2 Motivação 1.3 Posicionamento do Trabalho 1.4 Organização do Trabalho 2. Formulação Teórica 2.1 Equações fundamentais 2.1.1 Equação da continuidade 2.1.2 Equação de quantidade de movimento 2.1.3 Equação da energia 2.1.4 Equação de estado 2.2 Equações de Navier-Stokes 2.3 Equações de Navier-Stokes na forma conservativa 2.4 Equações de Reynolds para escoamentos turbulentos 2.5 Forma vetorial das equações 2.6 Adimensionalização das equações de Navier-Stokes 3. Implementação Numérica 3.1 Introdução 3.1.1 Formulação do volume de controle xi xiv xv xvi 19 22 22 24 29 30 30 30 31 33 34 36 37 37 42 44 46 46 46 viii

3.1.2 O método de volumes finitos 3.2 Equações de Navier-Stokes na forma integral 3.3 Cálculo dos volumes e áreas das células 3.4 O esquema de MacCormack 3.5 O esquema de Jameson 3.6 Condições iniciais 3.7 Condições de contorno 3.7.1 Parede 3.7.2 Fronteira remota 3.7.3 Fronteira simétrica 3.8 Termos de viscosidade artificial 3.9 Cálculo das derivadas 3.10 Modelagem da turbulência 3.10.1 Introdução 3.10.2 Modelo de Spalart-Allmaras 3.11 Verificação do código computacional 3.11.1 Escoamentos transônicos sobre o aerofólio NACA 0012 3.11.1.1 Caso 1 Mach=0.63 e α=2.0 3.11.1.2 Caso 2 Mach=0.8 e α=0 3.11.1.3 Caso 3 Mach=0.8 e α=1.25 3.11.1.4 Caso 4 Mach=0.85 e α=1.0 3.11.2 Influência dos parâmetros numéricos 3.11.2.1 Coeficientes de dissipação artificial 47 47 48 51 54 55 55 55 58 59 60 61 62 62 64 67 68 69 73 76 80 83 83 ix

3.11.2.2 Influência do refinamento da malha 3.11.3 Comparação entre os esquemas de Jameson e MacCormack 84 86 4. Resultados 88 4.1 Reynolds 4.2 Reynolds 4.3 Reynolds 4.4 Reynolds 6 3 10 Mach=0.3 e α=1.86 6 3 10 Mach=0.5 e α=5.86 6 9 10 Mach=0.5 e α=3.86 6 9 10 Mach=0.74 e α= 0.14 89 92 95 97 5. Conclusão 100 Referências bibliográficas 102 Apêndice A 106 Apêndice B 113 Apêndice C 116 Apêndice D 121 x

Lista de figuras Figura 1: Vetores de áreas apontando nas direções i e positivas. Figura 2: As componentes do vetor de área S. Figura 3: Passo Predictor. Figura 4: Passo Corrector. Figura 5: Update. Figura 6: Vetores de velocidade próximos à parede. Figura 7: Tipos de fronteiras usadas nas condições de contorno. Figura 8: Célula auxiliar usada para cálculo das derivadas. Figura 9: Malha estruturada tipo O em torno do aerofólio NACA 0012. 49 50 52 52 53 56 59 61 68 Figura 10: Comparação do Cp ao longo da corda do aerofólio para M = 0.63 e α =2.0. 70 Figura 11: Contornos de pressão para M = 0.63 e α=2.0. Figura 12: Contornos do número de Mach para M = 0.63 e α=2.0. Figura 13: Curva de convergência numérica para M = 0.63 e α=2.0. Figura 14: Comparação do Cp ao longo da corda do aerofólio para M = 0.8 e α =0. Figura 15: Contornos de pressão para M = 0.8 e α=0. Figura 16: Contornos do número de Mach para M = 0.8 e α=0. Figura 17: Curva de convergência numérica para M = 0.8 e α=0. 71 72 72 73 74 75 75 Figura 18: Comparação do Cp ao longo da corda do aerofólio para M = 0.8 e α=1.25. 76 Figura 19: Contornos de pressão para M = 0.8 e α=1.25. 77 Figura 20: Contornos de pressão para M = 0.8 e α=1.25. (a) Kudinov xi

e (b) Arias Garcia. Figura 21: Contornos do número de Mach para M = 0.8 e α=1.25. 77 78 Figura 22: Contornos do número de Mach para M = 0.8 e α=1.25. (a) Kudinov e (b) Arias Garcia. Figura 23: Curva de convergência numérica para M = 0.8 e α=1.25. Figura 24: Comparação do Cp ao longo da corda do aerofólio para M = 0.85 e α=1.0. Figura 25: Contornos de pressão para M = 0.85 e α=1.0. Figura 26: Contornos do número de Mach para M = 0.85 e α=1.0. Figura 27: Curva de convergência numérica para M = 0.85 e α=1.0. 78 79 80 81 82 82 Figura 28: Influência de K 2 e K 4 sobre a distribuição de pressão para o caso 4. (a) K 2 = 0.25e K 4 = 0.0117. (b) K 2 = 2.0 e K 4 = 0.035. 83 Figura 29: Influência de K 2 e K 4 sobre a convergencia numérica para o caso 4. (a) K 2 = 0.25e K 4 = 0.0117. (b) K 2 = 2.0 e K 4 = 0.035. 84 Figura 30: Influência do refinamento da malha sobre a distribuição de pressão para o caso 3. 85 Figura 31: Influência do refinamento da malha sobre a convergência numérica para o caso 3. 85 Figura 32: Distribuição de pressão sobre o aerofólio para o caso 3. (a) Jameson (b) MacCormack. 86 Figura 33: Curva de convergência numérica para o caso 3. (a) Jameson (b) MacCormack. 87 xii

Figura 34: Refinamento da malha próximo ao bordo de ataque do aerofólio NACA 0012. 89 Figura 35: Refinamento da malha próximo ao bordo de fuga do aerofólio NACA 0012. Figura 36: Distribuição do coeficiente de pressão para M =0.3 e α =1.86. Figura 37: Contornos de pressão para M =0.3 e α =1.86. Figura 38: Contornos do número de Mach para M =0.3 e α =1.86. Figura 39: Curva de convergência numérica para M =0.3 e α =1.86. Figura 40: Distribuição do coeficiente de pressão M =0.5 e α =5.86. Figura 41: Contornos de pressão para M =0.5 e α =5.86. Figura 42: Contornos do número de Mach para M =0.5 e α =5.86. Figura 43: Curva de convergência numérica para M =0.5 e α =5.86. Figura 44: Distribuição do coeficiente de pressão para M =0.5 e α =3.86. Figura 45: Contornos de pressão para M =0.5 e α =3.86. Figura 46: Contornos do número de Mach para M =0.5 e α =3.86. Figura 47: Curva de convergência numérica para M =0.5 e α =3.86. Figura 48: Distribuição do coeficiente de pressão para M =0.74 e α = -0.14. Figura 49: Contornos de pressão para M =0.74 e α = -0.14. Figura 50: Contornos do número de Mach para M =0.74 e α = -0.14. Figura 51: Curva de convergência numérica para M =0.74 e α =-0.14. 89 90 91 91 91 93 93 94 94 96 96 97 97 98 99 99 99 xiii

Lista de tabelas Tabela 1: Coeficientes aerodinâmicos para o aerofólio NACA 0012 CASO 1 Tabela 2: Coeficientes aerodinâmicos para o aerofólio NACA 0012 CASO 2 Tabela 3: Coeficientes aerodinâmicos para o aerofólio NACA 0012 CASO 3 Tabela 4: Coeficientes aerodinâmicos para o aerofólio NACA 0012 CASO 4 70 74 79 81 xiv

Lista de abreviaturas e siglas NACA MDF MEF MVF CFD CFL RANS National Advisory Committee for Aeronautics Método de Diferenças Finitas Método de Elementos Finitos Método de Volumes Finitos Computational Fluid Dynamics Courant Friedrichs Lewy Reynolds-averaged Navier Stokes xv

Lista de símbolos a c c b1 etc. Velocidade do som Corda do aerofólio Constantes empíricas no modelo de turbulência C D Coeficiente de arrasto C L Coeficiente de sustentação C N Coeficiente de força normal C P Coeficiente de pressão c p Calor específico a pressão constante c v Calor específico a volume constante d d Da e i Distância para a parede Magnitute do vetor de área Termo de viscosidade artificial Energia interna por unidade de massa E t Energia total por unidade de volume E F Vetores de fluxo nas direções x e y E F e e Vetores de fluxo não-viscosos nas direções x e y E F Vetores de fluxo viscosos nas direções x e y v v f v2 etc. Funções empíricas no modelo de turbulência f Força de campo por unidade de volume xvi

g r S Variáveis intermediárias no modelo de turbulência h H k k t Entalpia específica Entalpia total Condutividade térmica Condutividade térmica turbulenta L M Comprimento característico Número de Mach na corrente livre p Pressão estática P i Super vetor contendo os fluxos viscosos e não-viscosos Pr Pr t q q x q y Número de Prandtl Número de Prandtl turbulento Vetor de fluxo de calor por condução Componentes do vetor de fluxo de calor Q Re S Vetor das variáveis conservadas coordenadas cartesianas Número de Reynolds Magnitude da vorticidade S i Superfície do volume elementar t T i Tempo Fluxo total através dos volumes de volume T U u Temperatura absoluta Vetor de velocidade Componente de velocidade na direção x xvii

v Componente de velocidade na direção y V i Volume da célula x i Coordenadas cartesianas y + Medida da resolução na sub-camada viscosa α δ i Ângulo de ataque Função de Kronecker t γ Intervalo de tempo Razão de calores específicos µ Coeficiente de viscosidade dinâmica laminar µ t Viscosidade turbulenta ν ν t Viscosidade cinemática Viscosidade cinemática turbulenta ν Variável de trabalho do modelo de Spalart e Allmaras Ω i Tensor de rotação ρ τ Densidade Tensor de tensões viscosas τ xx τ xy τ Componentes do tensor de tensões viscosas yy η ξ χ ω Direções coordenadas curvilíneas generalizadas Variável intermediária do modelo de Spalart e Allmaras Vorticidade xviii

19 1 Introdução Cada vez mais o uso de simulações e ferramentas computacionais em aerodinâmica vem reduzindo a quantidade de proetos que utilizam protótipos em situações físicas reais que tendem a ter seus custos elevados como os testes em túnel de vento. O crescente aumento da capacidade de processamento e armazenamento dos computadores nos últimos anos vem possibilitando uma modelagem mais detalhada dos problemas e a utilização de malhas mais refinadas. A solução numérica em processos que envolvem escoamentos aerodinâmicos começa quando as leis que governam tais processos são expressas na forma matemática em termos de equações diferenciais. As equações diferenciais expressam princípios de conservação. Cada equação emprega uma quantidade física como sua variável dependente e significa que deve haver um balanço entre os vários fatores que influenciam a variável. As variáveis dependentes destas equações representam normalmente propriedades específicas e os termos em uma equação diferencial deste tipo denotam influência em uma base volumétrica [1]. Uma equação diferencial é uma compilação de tais termos cada qual representando uma influência em uma base volumétrica e todos os termos untos significando um balanço ou conservação. A previsão teórica dos fenômenos físicos de interesse é governada por equações diferenciais sendo representada por uma equação geral. Portanto é necessário desenvolver maneiras de resolver esta equação.

20 A solução numérica de uma equação diferencial consiste de um conunto de números a partir dos quais a distribuição da variável dependente pode ser construída. A análise numérica deve conter somente um número finito de valores numéricos como resultado embora esse número possa ser grande o suficiente para os propósitos práticos. Representando o comportamento da variável dependente por um polinômio pode-se empregar um método numérico para encontrar o número finito de coeficientes. Isto permitirá avaliar a variável dependente em qualquer posição. Dessa forma um método numérico trata como sua incógnita básica os valores da variável dependente em um número finito de posições chamados de pontos da malha. O método inclui as tarefas de fornecer um conunto de equações algébricas para estas incógnitas e de prescrever um algoritmo para resolver as equações [1]. As equações numéricas denominadas equações de discretização envolvem os valores desconhecidos da variável dependente nos pontos da malha e são obtidas a partir da equação diferencial relativa a cada variável dependente. Uma equação de discretização é uma relação algébrica associando os valores da variável dependente para um grupo de pontos da malha. Tal equação é obtida da equação diferencial e deste modo expressa a mesma informação física que a equação diferencial original. O valor da variável dependente em um ponto da malha influência a distribuição da variável dependente somente em sua vizinhança. Como o número de pontos da malha torna-se muito grande esperase que a solução das equações de discretização se aproxime da solução exata da correspondente equação diferencial. Para uma dada equação diferencial as possíveis equações de discretização não são únicas embora todos os tipos de equações de discretização devam no limite de um número muito grande de pontos da malha levar à mesma solução.

21 Os diferentes tipos surgem das diferenças nos perfis de interpolação utilizados e nos métodos de obtenção das mesmas. Existem então diferentes métodos de discretização sendo os mais conhecidos os Método de Diferenças Finitas (MDF) o Método de Elementos Finitos (MEF) e o Método de Volumes Finitos (MVF). Historicamente o MDF foi sempre empregado na área de mecânica dos fluidos enquanto o MEF o foi para a área estrutural na solução de problemas de elasticidade. A possibilidade de se associar a interpretação física à matemática influi de modo considerável para que parte dos analistas envolvidos com o MDF passassem a usar o MVF. Esses dois métodos por serem semelhantes para algumas situações são muitas vezes confundidos. Deve ficar claro que o MDF é simplesmente a substituição do operador diferencial pelo seu correspondente numérico enquanto que o MVF para obter a correspondente equação de discretização realiza um balanço de conservação da propriedade para cada volume elementar [2]. Portanto tanto o MDF como o MEF não trabalham com volumes de controle e sim apenas com pontos da malha e como conseqüência não são conservativos em nível discreto. A distinção entre os métodos resulta dos modos de escolher os perfis e as formas de obtenção das equações de discretização. Para uma dada equação diferencial as equações de discretização podem ser obtidas de várias maneiras como a Formulação da Série de Taylor (MDF) a Formulação Variacional (MEF) o Método dos Resíduos Ponderados (MEF) e a Formulação do Volume de Controle (MVF) que será a utilizada neste trabalho.

22 1.1 Obetivo O obetivo principal deste trabalho é a simulação numérica do escoamento compressível turbulento em torno de um aerofólio NACA 0012 utilizando-se o modelo de turbulência de uma equação de Spalart e Allmaras. 1.2 Motivação A previsão de resultados de processos que envolvem escoamentos aerodinâmicos pode ser obtida por dois métodos principais: investigação experimental e cálculo teórico que por sua vez é formado pelos métodos analíticos e os métodos numéricos. A informação mais confiável sobre um escoamento aerodinâmico é frequentemente dada por uma medida real obtida em testes em túnel de vento. Uma investigação experimental envolvendo um aerofólio de escala completa pode ser usada para prever como cópias idênticas do aerofólio se comportariam sob as mesmas condições. Na maioria dos casos testes com aerofólios de escala completa são de alto custo e frequentemente impossíveis de se realizar. A alternativa então é realizar experimentos com modelos em escala reduzida. A informação resultante deve ser extrapolada para uma escala completa e a regra geral para se fazer isso normalmente não está disponível. Os modelos em escala reduzida nem sempre simulam todas as características do aerofólio de escala completa e características importantes são omitidas. Existem também sérias dificuldades de medidas em muitas situações e os instrumentos de medidas não estão livres de erros. Para os processos físicos em questão o modelo matemático consiste de um conunto de equações diferenciais. Infelizmente os métodos da matemática clássica disponíveis só conseguem resolver equações simplificadas o que não permite estudar muitos dos fenômenos de

23 interesse prático. Essas soluções via de regra contêm séries infinitas funções especiais equações transcendentais e suas avaliações numéricas demandam grande esforço. Entretanto algumas características dos métodos numéricos são construídas pelo uso de soluções analíticas simples. Além disso não há melhor maneira para se verificar a precisão de um método numérico que a comparação com uma solução analítica exata [1]. A principal vantagem de uma previsão computacional é seu baixo custo. Na maioria das aplicações em aerodinâmica o custo de uma simulação computacional é muitas vezes menor do que o custo de um teste em túnel de vento. Esse fator assume crescente importância em situações físicas mais complexas. Uma investigação computacional pode dar aos proetistas centenas de diferentes configurações em poucas horas e então pode-se escolher o proeto mais próximo do ótimo. Comparativamente a correspondente investigação experimental levaria muito mais tempo. Uma solução computacional pode fornecer informações completas e detalhadas. Ela pode fornecer os valores de todas as variáveis relevantes tais como temperatura e velocidade em todo o domínio de interesse. Diferentemente da situação experimental há poucos locais inacessíveis em uma análise computacional. Obviamente em nenhum estudo experimental espera-se medir as distribuições de todas as variáveis de interesse. Por essa razão mesmo quando um experimento é realizado há grande valor em obter uma solução computacional para complementar a informação experimental. Esta breve discussão sobre o mérito relativo da análise computacional em relação à investigação experimental não significa excluir a experimentação. O método experimental é o único método capaz de investigar um novo fenômeno básico. Além disso a validação dos resultados computacionais pela comparação com dados experimentais é sempre necessária. Por outro lado para o proeto dos aparatos experimentais

24 análises computacionais são frequentemente úteis e a quantidade de experimentos pode ser significativamente reduzida se a investigação for complementada por computação [1]. 1.3 Posicionamento do trabalho A simulação numérica em mecânica dos fluidos e transferência de calor conhecida como CFD (Computational Fluid Dynamics) teve um desenvolvimento impressionante nos últimos anos. Inicialmente como uma ferramenta para análise de problemas físicos em nível de investigação científica e atualmente como uma ferramenta poderosa para a solução de importantes problemas aplicados à engenharia [2]. CFD complementa tanto a teoria pura quanto a experimentação pura fornecendo uma alternativa para simular escoamentos complexos. É frequentemente usada antes de testes em túnel de vento. Este procedimento faz o ciclo de proeto mais curto e muito mais eficiente [3]. Um dos maiores interesses por CFD em aeronáutica é a necessidade de se obter soluções confiáveis e práticas de modelos aerodinâmicos. Grandes avanços estão sendo alcançados e aplicações de CFD na indústria aeronáutica tornaram-se fundamentais. O desenvolvimento de métodos de modelagem de escoamentos aerodinâmicos em regime transônico é de suma importância para a engenharia aeronáutica. A maior dificuldade no tratamento desses escoamentos está na sua característica não-linear devido aos efeitos de compressibilidade e formação de ondas de choque. Os proetos aeronáuticos de aeronaves enfrentam grandes dificuldades devido aos efeitos de compressibilidade e o regime transônico é o maior desafio. A maioria dos autores atribui o primeiro trabalho definitivo de importância em CFD a Richardson (1910) que introduziu esquemas de ponto iterativo para resolver numericamente a

25 equação de Laplace e a equação bi-harmônica. Richardson também desenvolveu a técnica de relaxação para resolver a equação de Laplace. Algumas vezes o início da análise numérica moderna é atribuído ao famoso paper de Courant Friedrichs and Lewy (1928). Prova da importância deste paper é a sua republicação em 1967 no Jornal de Pesquisa e Desenvolvimento da IBM [4]. Desde a invenção do computador digital os métodos numéricos foram usados para resolver problemas em dinâmica dos fluidos. Entretanto estes eventos sozinhos não revolucionaram a prática de engenharia. A explosão na atividade computacional não começou antes de um terceiro ingrediente a disponibilidade de computadores de alta velocidade ocorrido nos anos sessenta. Os primeiros métodos computacionais começaram a ter impacto significante na análise aerodinâmica no período de 1965-75 no qual foi introduzido o método dos painéis que permitiu resolver modelos de escoamento linear para geometrias complexas arbitrárias tanto em escoamentos subsônicos quanto supersônico. Também apareceu o primeiro método satisfatório para tratamento de equações não lineares para escoamento transônico [5]. A maioria dos trabalhos apresentados para solução de escoamentos em regime transônico durante as décadas de setenta e oitenta utilizou as formulações aerodinâmicas baseadas nas equações de pequenas perturbações ou do potencial completo. No início da década de setenta Murman e Cole [6] desenvolveram um algoritmo numérico consistente para resolver escoamentos transônicos usando aproximação de pequenas perturbações. Pouco tempo depois Jameson [7] estendeu a formulação de Murman e Cole através de um esquema rodado possibilitando a solução da equação do potencial completo para problemas tridimensionais. Os trabalhos de Boppe [8] e MacCroskey [9] também utilizaram a formulação de pequenas perturbações e desenvolveram o método para três dimensões. No mesmo período

26 surgiram os primeiros trabalhos para solução das equações de Euler como Kutler e Lomax [10] Beam e Warming [11] Steger e Warming [12]. Nestes trabalhos foram desenvolvidos métodos com abordagens implícitas e explícitas. Entretanto soluções invíscidas são aceitáveis enquanto os efeitos viscosos são relativamente pequenos. Quando tais efeitos crescem em importância como em regiões com escoamento separado resultados obtidos com semelhante formulação á não apresentam a acurácia deseada [13]. Em 1978 Ballhaus Jameson e Albert [14] apresentaram resultados de escoamento sobre aerofólios usando um algoritmo de fatorização aproximada implícita com um tempo de processamento otimizado. Na década de oitenta novos métodos viscosos foram desenvolvidos acoplando-se um esquema para a solução de camada limite com um esquema invíscido para a solução do potencial completo gerando códigos como o GRUMFOIL [15]. A partir do final dos anos oitenta com o aparecimento dos supercomputadores e o constante aumento da capacidade de armazenamento e velocidade computacional foi possível o desenvolvimento de códigos capazes de resolver as equações de Navier-Stokes com média de Reynolds. O processo de média das variáveis dependentes consiste em dividi-las em duas parcelas uma sendo a média no tempo e outra a flutuação sobre a média gerando novos termos conhecidos como tensões de Reynolds. Para fechar o problema é necessário desenvolver maneiras de avaliar essas novas quantidades. Dessa forma foram criados os modelos de turbulência.

27 A maioria dos modelos de turbulência é baseada na hipótese de Boussinesq (1877) na qual o autor sugeriu que as tensões cisalhantes turbulentas podem ser relacionadas à taxa de cisalhamento média por intermédio de uma viscosidade turbulenta aparente. Os modelos de turbulência podem ser divididos em duas categorias de acordo com o uso ou não da hipótese de Boussinesq. Outra classificação comum dos modelos é de acordo com o número de equações diferenciais suplementares que devem ser resolvidas. Os modelos algébricos mais simples são considerados modelos de zero equação. A simplicidade e o baixo custo computacional levou a popularização dos modelos algébricos como o de Cebeci e Smith [16] onde a viscosidade turbulenta é obtida a partir de uma escala de velocidade determinada pelo perfil de velocidade média e de uma escala de comprimento gerada algebricamente. A grande dificuldade desse modelo é a obtenção dessa escala de comprimento em escoamentos mais complexos onde ocorre separação. Para resolver esse problema foi desenvolvido o modelo de Baldwin e Lomax [17] derivado do modelo de Cebeci e Smith porém exibindo uma grande vantagem do ponto de vista computacional á que ele não exige o cálculo da espessura da camada limite em cada estação. O modelo de Johnson e King [18] propõe a utilização em escoamentos com camada limite turbulenta com pressão adversa e conseqüente separação. Os efeitos do transporte turbulento são computados através de uma equação diferencial ordinária para a máxima tensão aparente de Reynolds no campo de escoamento. Dessa forma a tensão máxima é utilizada como escala para a viscosidade turbulenta determinada previamente com um modelo algébrico. Para alcançar uma aplicação mais geral foram desenvolvidos os modelos de turbulência de uma equação que acrescentam uma equação de transporte turbulento às equações de Navier- Stokes com média de Reynolds como os modelos de Bradshaw Ferris e Atwell [19] Nee e Kovasznay [20] Secundov Smirnova Kozlov e Gulyaev [21] Mitcheltree Salas e Hassan [22]

28 Johnston [23] Baldwin e Barth [24] e Spalart e Allamaras [25] e os modelos de duas equações que acrescentam mais duas equações de transporte uma para a escala de velocidade e outra para a escala de comprimento como o q-ω de Coakley [26] e os k-ε de Jones e Launder [27] e Launder e Spalding [28]. Todos os modelos de turbulência conhecidos têm limitações sendo essa área um grande desafio dentro da Dinâmica dos Fluidos Computacional. Dessa forma as expectativas de chegar a um modelo de turbulência universal devem ser substituídas pela realidade de que será possível somente criar-se modelos adequados a determinadas condições de escoamento [29]. Os últimos trabalhos desenvolvidos no Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA) para simular numericamente escoamentos compressíveis turbulentos sobre aerofólios utilizaram modelos de turbulência algébricos. Menezes [30] em 1994 aplicando um método de diferenças finitas utilizou dois modelos de turbulência algébricos e Arias Garcia [31] em 2006 que desenvolveu um código de CFD baseado no método de volumes finitos aplicou um modelo de turbulência algébrico. Isto motivou o autor a seguir com o código baseado no método de volumes finitos utilizando os esquemas explícitos de MacCormack [32] e Jameson [33] e implementar o modelo de turbulência de uma equação de Spalart-Allmaras [25][34] para resolver o sistema de equações de Navier-Stokes com média de Reynolds. O método de volumes finitos tem a aparência de um método de diferenças finitas mas emprega muitas idéias que são típicas da metodologia de elementos finitos [1]. O esquema de MacCormack utiliza os passos predictor e corrector para avançar no tempo enquanto o método de Jameson utiliza um esquema de cinco passos de Runge-Kutta. Em ambos os esquemas foram acrescentados termos de viscosidade artificial através de um modelo não-linear. Um passo no

29 tempo variável no espaço foi utilizado para acelerar a convergência mantendo-se o número de CFL constante em todo o domínio de cálculo. Um estudo utilizando CFD consiste basicamente de três etapas: geração da malha desenvolvimento de algoritmo e modelo de turbulência. O autor pretende neste trabalho cumprir todas essas etapas. 1.4 Organização do trabalho O trabalho foi dividido em cinco capítulos. Neste capítulo encontram-se a introdução com o obetivo principal a motivação e a revisão da literatura no estudo de técnicas de CFD para a análise de escoamentos aerodinâmicos. O capítulo 2 apresenta a formulação teórica do escoamento modelado pelas equações de Navier-Stokes com média de Reynolds. O capítulo 3 apresenta a implementação numérica discutindo o Método de Volumes Finitos descrevendo os esquemas de MacCormack e Jameson as formas de implementação das condições de contorno dos termos de viscosidade artificial do modelo de turbulência e incluindo também a verificação do código computacional desenvolvido. No capítulo 4 apresentam-se os resultados obtidos sendo analisados e comparados com outros resultados numéricos e experimentais. No capítulo 5 são apresentadas as conclusões finais e sugestões para trabalhos futuros. Para facilitar a leitura os desenvolvimentos mais prolongados encontram-se nos apêndices.

30 2 Formulação Teórica 2.1 Equações Fundamentais As equações fundamentais da dinâmica dos fluidos são baseadas nas leis universais de conservação [3] : 1. Conservação de massa 2. Conservação de quantidade de movimento 3. Conservação de energia. A equação resultante da aplicação da lei de conservação de massa a um escoamento de fluido é chamada equação da continuidade. A lei de conservação de quantidade de movimento é nada mais que a segunda lei de Newton. A lei de conservação de energia é idêntica à primeira lei da termodinâmica e a equação da dinâmica dos fluidos resultante é chamada equação da energia. Em adição às equações desenvolvidas para estas leis universais é necessário estabelecer relações entre as propriedades do fluido de maneira a fechar o sistema de equações. 2.1.1 Equação da continuidade A lei de conservação de massa aplicada a um fluido passando através de um volume de controle fixo infinitesimal produz a seguinte equação da continuidade: ρ +.( ρu ) = 0 t (1)

31 onde ρ é a densidade do fluido e U é a velocidade do fluido. A equação (1) foi derivada usando a aproximação Euleriana em que um volume de controle fixo é utilizado e as variações no fluido são registradas quando o fluido passa através do volume de controle. A aproximação Euleriana é a escolha mais apropriada para Mecânica dos Fluidos [3]. O primeiro termo nesta equação representa a taxa de aumento da densidade no volume de controle e o segundo termo representa a taxa de fluxo de massa atravessando a superfície de controle por unidade de volume. É conveniente usar a derivada substancial: D ( ) ( ) Dt = + U ( ) t (2) e mudar a equação (1) para a forma: Dρ + ρ( U ) = 0. Dt (3) Para um sistema de coordenadas cartesianas bidimensional onde u e v representam as componentes x e y do vetor velocidade a equação (1) na forma conservativa torna-se: ρ + = t x y ( ρu) + ( ρv) 0. (4) 2.1.2 Equação de quantidade de movimento A segunda lei de Newton aplicada a um fluido passando através de um volume de controle fixo infinitesimal produz a seguinte equação de quantidade de movimento: t ( ρu ) +. ρuu = ρ f p + τ onde f representa as forças de campo por unidade de volume p é a pressão termodinâmica eτ representa o tensor das tensões viscosas dado por: (5)

32 u u i 2 uk τ i = µ + µ δi x x i 3 xk (6) onde µ é o coeficiente de viscosidade dinâmica δ i é função de Kronecker e foi considerada a hipótese de Stokes na qual o segundo coeficiente de viscosidade µ é igual a -(2/3) µ. O primeiro termo da equação (5) representa a taxa de aumento de quantidade de movimento por unidade de volume. O segundo termo representa a taxa de quantidade de movimento perdida por convecção por unidade de volume através da superfície de controle. Substituindo a equação (6) na equação (5) e utilizando a derivada substancial a equação de Navier-Stokes é obtida: DU u u i 2 u k ρ = ρ f p + µ + µ δi. Dt x x x i 3 xk (7) Para um sistema de coordenadas cartesianas bidimensional a equação (7) pode ser separada nas seguintes equações de Navier-Stokes escalares: Du p 2 u v u v ρ = ρ fx + µ 2 + µ + Dt x x 3 x y y y x (8) Dv p v u 2 v u ρ = ρ f y + µ + + µ 2. Dt y x x y y 3 y x (9) Utilizando a equação (5) estas equações podem ser reescritas na forma conservativa como: ρu = ρ f ρu + p τ ρuv τ t x y 2 ( ) ( ) x xx xy (10) ρv = ρ f ρuv τ ρv + p τ t x y 2 ( ) ( ) y xy yy (11)

33 onde os componentes do tensor de tensões viscosas são dados por: τ 2 u v xx = 2 3 µ x y τ 2 v u yy = 2 3 µ y x (12) (13) τ µ u v y x τ xy = + =. yx (14) 2.1.3 Equação da energia A primeira lei da termodinâmica aplicada a um fluido passando através de um volume de controle fixo infinitesimal produz a seguinte equação da energia: Et t Q.( EtU ). q ρ f. U + = + + τ U q t (15) onde E t é a energia total por unidade de volume dada por: 1 Et ρ = ei + U 2 2 (16) e ei é a energia interna por unidade de massa. O primeiro termo do lado esquerdo da equação (15) representa a taxa de aumento da energia total (por unidade de volume) no volume de controle enquanto o segundo termo representa a taxa de energia total perdida por convecção (por unidade de volume) através da superfície de controle. O primeiro termo no lado direito da equação é a taxa de calor produzido (por unidade de volume) por agentes externos enquanto o segundo termo (.q ) é a taxa de calor perdida por condução (por unidade de volume) através da superfície de

34 controle. A lei de Fourier para transferência de calor por condução será assumida de forma que a transferência de calor q possa ser representada por: q = k ( T ) (17) onde k é o coeficiente de condutividade térmica e T é a temperatura. O terceiro termo no lado direito da equação (15) representa o trabalho realizado no volume de controle (por unidade de volume) pelas forças de campo enquanto o quarto termo representa o trabalho realizado no volume de controle (por unidade de volume) pelas forças de superfície. Deve ficar claro que a equação (15) é simplesmente a primeira lei da termodinâmica aplicada a um volume de controle. Para um sistema de coordenadas cartesianas bidimensional a equação (15) torna-se: Et Q + E u + E v = + ρ f u + f v pu uτ vτ + q pv uτ vτ + q t x y t x y ( ) ( ) ( ). t t x y xx xy x xy yy y (18) Usando a definição de entalpia: p h = ei + ρ (19) e a equação da continuidade (1) a equação (15) pode ser reescrita como: Dh Dp Q ρ = + + τ U q. Dt Dt t (20) 2.1.4 Equação de estado Para fechar o sistema de equações da dinâmica dos fluidos é necessário estabelecer relações entre as variáveis termodinâmicas (p ρ T e h) assim como relacionar as propriedades de transporte (µ k) às variáveis termodinâmicas. A equação de estado para um gás perfeito é: p = ρrt (21)

35 onde R é a constante do gás. Também para um gás caloricamente perfeito existem as seguintes relações: e i cp R γ R = cvt h = cpt γ = cv = cp = c γ 1 γ 1 v (22) onde c v é o calor específico a volume constante cp é o calor específico a pressão constante e γ é a razão dos calores específicos. Como foi considerado um gás térmico e caloricamente perfeito é possível obter as seguintes relações: ( ) p = ρrt = γ 1 ρe i T = ( γ 1) R e i. (23) Os coeficientes de viscosidade e condutividade térmica podem ser relacionados às variáveis usando a teoria cinética. A fórmula de Sutherland para viscosidade é dada por [3] : T 3 2 µ = C1 T + C 2 (24) onde C 1 e C 2 são constantes para um dado gás. Para ar em temperaturas moderadas ( ) 6 1/2 = e C2 110 4 C1 1 458 10 kg / msk = K. O número de Prandtl: c p µ Pr = k (25) é frequentemente usado para determinar o coeficiente de condutividade térmica k uma vez que µ é conhecido. Para ar em condições padrões Pr = 0.72. A nomenclatura da Mecânica dos Fluidos clássica refere-se às equações de Navier-Stokes como as equações de quantidade de movimento para um fluido Newtoniano. Entretanto em CFD a terminologia Navier-Stokes inclui todo o sistema de equações diferenciais parciais que modelam o campo de escoamento mais as relações constitutivas necessárias.

36 2.2 Equações de Navier-Stokes Para modelar o escoamento compressível turbulento a ser estudado neste trabalho é necessário fazer algumas simplificações nas equações fundamentais. Para um gás perfeito sem geração de calor e desconsiderando forças de campo o sistema de equações de Navier-Stokes pode ser escrito como: equação da continuidade Dρ + ρ U = 0 Dt (26) equações de quantidade de movimento equação da energia DU ρ Dt = p + τ (27) Dh p ρ = + τ U q Dt t (28) e as relações constitutivas equação de estado ( ) p = ρrt = γ 1 ρe i (29) lei de Fourier q = k ( T ) (30) relação tensão-deformação u u i 2 uk τ i = µ + µ δi. x x i 3 xk (31)

37 2.3 Equações de Navier-Stokes na forma conservativa Formulações baseadas nas equações diferenciais parciais na forma não-conservativa podem levar a dificuldades numéricas em situações onde os coeficientes podem ser descontínuos como ocorre em escoamentos contendo ondas de choque. Portanto deve-se desenvolver as equações diferenciais parciais na forma conservativa - ou divergente - que tem a propriedade que os coeficientes são todos constantes ou se variável suas derivadas não aparecem na equação [4]. A forma conservativa das equações de Navier-Stokes usando a notação indicial de Einstein pode ser escrita como: ( ρ ) 0 ρ + u = t x i i ( u ) ( u u ) p ρ i + ρ i = + τi t x x x i ( eu ) ( pu τ i u i q ) e + = + t x x. (32) (33) (34) 2.4 Equações de Reynolds para escoamentos turbulentos Apesar das equações de Navier-Stokes modelarem toda a física do problema a ser estudado capturar todas as escalas de turbulência que ocorrem no escoamento necessitaria de malhas computacionais tão finas que tornaria a solução numérica proibitiva. O que normalmente se faz é abandonar os detalhes e concentrar nos valores médios das propriedades. O resultado desse processo é um sistema de equações conhecidas como equações de Navier-Stokes com

38 média de Reynolds - RANS. Dada uma variável genérica φ a definição de um valor médio φ sobre o período de integração T é: t+ T 1 = T φ φdt. t (35) É necessário que T sea pequeno com respeito à escala de tempo das variações das quantidades médias mas grande comparado ao período das flutuações associadas com a turbulência. Portanto pode-se escrever que o valor instantâneo de φ é dado por: φ = φ + φ '. (36) Deve-se observar que φ é o valor da flutuação turbulenta cuo valor médio φ é igual a zero e a restrição que: φ = 0. t (37) Na decomposição convencional de Reynolds as variáveis do escoamento são escritas da seguinte forma: ui = ui + ui ' ρ = ρ + ρ ' ρu = ρu + ( ρu )' i i i p = p + p ' τ i = τ i + ( τ i )' (38) e = e + ( e)'

39 qi = qi + qi h = h + h ' ' ρh = ρh + ( ρh)' T = T + T '. Os termos de flutuações em outras propriedades do fluido tais como viscosidade condutividade térmica e calor específico são normalmente pequenos e serão desconsiderados. Aplicando a técnica de Reynolds à forma compressível das equações de Navier-Stokes aparecem novos termos envolvendo produtos de flutuações chamados momentos turbulentos [35]. Para evitar isto e simplificar a forma final das equações utiliza-se o conceito de média ponderada pela massa introduzido por Favre [36] onde φ = ρφ ρ (39) de forma que as variáveis do escoamento passam a ser escritas como: ρui h u i = h ρ T = T ρ = ρ ρ ρ. (40) Somente as componentes de velocidade e variáveis térmicas são médias ponderadas pela massa. Propriedades do fluido tais como densidade e pressão são tratadas como antes. Para substituir nas equações de conservação é necessário separar as variáveis dependentes outra vez em partes média e flutuação u = u + u h = h + h T = T + T. i i i (41) É importante notar que as médias das flutuações u i e h não são iguais a zero.

40 Finalmente pode-se substituir cada variável dependente pelas suas duas parcelas nas equações de Navier-Stokes e tirando-se a média de cada equação resulta o sistema de equações de Navier-Stokes com média de Reynolds: equação da continuidade ρ t ( ρ u ) 0 + = x (42) equações de quantidade de movimento p ( ρu '' '' ) + ( ρu u ) = + τi ρ ui u t i x i xi x (43) equação da energia '' '' e '' '' '' ρui u q '' + ( e+ p) u ui τi ρui u u i τ = + i ρu h. t x x 2 x x (44) O procedimento de média de Reynolds é tratado de maneira mais detalhada no apêndice A. Comparando com as equações de Navier-Stokes na forma original os novos termos que aparecem correspondem à influencia das flutuações turbulentas sobre o escoamento médio. Eles são conhecidos como: ρ u '' u '' i termos de tensões de Reynolds; '' '' '' ρu i u u i τ i 2 termos de dissipação de Reynolds; ρ u h termos de fluxo de calor de Reynolds. Portanto é necessário modelar os novos termos para fechar o sistema de equações. A maioria dos modelos de turbulência baseia-se no conceito de viscosidade efetiva de Boussinesq.

41 A idéia fundamental é acrescentar à viscosidade molecular um coeficiente de viscosidade turbulenta da seguinte forma: µ = µ + µ. Admite-se que os termos de tensões de Reynolds podem ser relacionados com o escoamento médio da mesma forma que o tensor das tensões viscosas é relacionado com as taxas de deformação de um fluido Newtoniano. Pode-se então escrever a seguinte relação: l t u u i 2 u k ρ u iu = µ t + µ t δi. x x i 3 xk (46) Da mesma maneira acrescenta-se à condutividade térmica molecular um coeficiente de condutividade térmica turbulenta k = k + k. l t (47) A condutividade térmica turbulenta k t é relacionada com a viscosidade turbulenta µ t pela relação: cpµ t Pr t = k t (48) onde Pr t é o número de Prandtl turbulento que para ar tem um valor Prt 09 [37]. Normalmente escreve-se c pµ l c pµ t k = kl + kt = +. Pr Pr t (49) A viscosidade turbulenta µ t e a condutividade térmica turbulenta k t não são propriedades do fluido ao contrário da viscosidade e condutividade térmica molecular. A dependência de µ t e k t sobre o escoamento é a grande dificuldade de modelar a turbulência. Os modelos de turbulência serão discutidos no próximo capítulo.

42 Introduzindo-se a hipótese de Boussinesq as equações (42) (43) e (44) podem ser escritas em termos das quantidades médias. t ( ρu ) 0 ρ + = t x ( ρu ) + ( ρu u + δ τ i ) = 0 i i x p i e + τi i = t x ( e + p ) u u + q 0 (50) (51) (52) e o tensor das tensões viscosas e o vetor de fluxo de calor são agora dados por: u u i 2 u k τ i = ( µ l + µ t ) + ( µ l + µ t ) δi x x i 3 xk (53) q cpµ l cpµ t T = +. Pr Prt xi (54) 2.5 Forma vetorial das equações Antes de aplicar um algoritmo de volumes finitos às equações da dinâmica dos fluidos é conveniente escrever as equações em uma forma vetorial compacta. Portanto as equações de Navier-Stokes com média de Reynolds na forma conservativa bidimensional em coordenadas cartesianas podem ser escritas na seguinte forma: Q E F + + = 0 t x y (55) onde Q é o vetor das variáveis conservadas e E e F são os vetores de fluxo nas direções x e y respectivamente dados por:

43 Q ρ ρu = ρv e (56) E = ( ) 2 ρu ρu + p τ xx ρu v τ xy e + p u u τ v τ + q xx xy x (57) F = ( ) ρv ρu v τ xy 2 ρv + p τ yy e + p v v τ u τ + q yy xy y Costuma-se separar os vetores de fluxo E e F nas partes invíscida e viscosa da seguinte. (58) forma: E = E e Ev F = Fe Fv. (59) Sendo que o subscrito e representa os componentes invíscidos referentes às equações de Euler e o subscrito v representa os componentes viscosos para serem usados nas equações de Navier- Stokes.

44 2.6 Adimensionalização das equações de Navier-Stokes As equações da dinâmica dos fluidos são frequentemente colocadas na forma adimensional. A vantagem é que as variáveis do escoamento são normalizadas de forma que seus valores se encontram entre certos limites prescritos tais como zero e um. Do ponto de vista numérico isso tende a reduzir a propagação de erros uma vez que todas as variáveis passam a ser da mesma ordem de grandeza. Além disso os parâmetros característicos tais como número de Mach número de Reynolds número de Prandtl podem ser variados independentemente. Muitos diferentes procedimentos de adimensionalização são possíveis. Neste trabalho as variáveis adimensionais serão definidas como: t * a = t L (60) x * = x L y * = y L (61) u = * u a v * = v a (62) ρ = * ρ ρ (63) p * p = a 2 ρ (64) µ = * µ µ (65) onde a é a velocidade do som na região de corrente livre L é o comprimento característico e µ é a densidade e viscosidade dinâmica do fluido na região de corrente livre respectivamente. ρ

45 Finalmente pode-se escrever o sistema de equações de Navier-Stokes com média de Reynolds na forma conservativa adimensional em duas dimensões e em coordenadas cartesianas para um escoamento turbulento compressível na seguinte forma vetorial compacta: ( E E ) ( F F ) Q e v e v + + = 0 t x y (66) onde os vetores de fluxo E e F foram separados nas suas componentes invíscida e viscosa. Q = ρ ρ u ρ v e (67) E = e ρ u 2 ρ u + p ρ u v ( + ) e p u E v 0 τ M xx = Re τ xy u τ + v τ q xx xy x (68) ρ v ρ u v F = e 2 ρ v + p ( + ) e p v F v 0 τ xy M = Re τ yy u τ + v τ q xy yy y. (69)

46 3 Implementação Numérica 3.1 Introdução Para obter as equações de discretização a partir do sistema de equações diferenciais parciais o método de volumes finitos utiliza a formulação do volume de controle. 3.1.1 Formulação do volume de controle A idéia básica da formulação de volumes de controle é se utilizar de uma interpretação física direta do fenômeno estudado. O domínio de cálculo é dividido em um número de volumes de controle não sobrepostos tal que haa um volume de controle ao redor de cada ponto da malha. A equação diferencial é integrada sobre cada volume de controle. Perfis expressando a variação da variável dependente entre os pontos da malha são usados para avaliar as integrais. O resultado é o conunto de equações de discretização contendo os valores da variável dependente para os pontos da malha. A característica mais importante da formulação do volume de controle é que a solução resultante deve implicar que a conservação integral das quantidades tais como massa e energia sea exatamente satisfeita sobre qualquer grupo de volumes de controle e é claro em todo o domínio de cálculo. Esta característica independe do número de pontos da malha. Dessa maneira mesmo a solução em malhas grosseiras preserva o balanço integral [1].

47 A tarefa do método numérico é resolver o sistema de equações diferenciais substituindo as derivadas existentes por expressões algébricas que envolvem as variáveis dependentes. 3.1.2 O Método de volumes finitos A equação de discretização obtida pelo método de volumes finitos expressa o princípio de conservação da variável dependente para o volume de controle finito exatamente como a equação diferencial expressa para um volume de controle infinitesimal. 3.2 Equações de Navier-Stokes na forma integral Define-se um vetor P como: P = Ei + Fi x y (70) onde E e F são os vetores de fluxo definidos pelas equações (68) e (69) respectivamente e i x e i y são os vetores unitários cartesianos. A equação (66) pode então ser escrita como: Q +. P = 0 t (71) onde i + x y x i. y (72) obtém-se: Integrando-se a equação (71) para cada face de um volume de controle V (ver figura 1) Q 1 = ( P n) ds. t V S (73)

48 O desenvolvimento detalhado para a obtenção da equação (73) a partir da equação (71) pode ser encontrado no apêndice B. Em geral há duas maneiras de conectar os valores das propriedades e a posição geométrica na malha para o caso de esquemas de volumes finitos. Os valores das propriedades podem ser armazenados nos vértices ou nos centros dos volumes de controle elementares [38]. Neste trabalho será considerado o conceito de célula centrada isto é os valores das propriedades serão armazenados no centro de massa de cada célula da malha. Cada célula e seu volume de controle elementar correspondente serão reconhecidos por índices (i ) como mostrados na figura 1. A equação (73) escrita para todos os volumes de controle elementares é: Q i t 1 = ( P n) ds V Si i (74) onde V i é volume de uma célula e S i é a superfície do volume de controle correspondente. 3.3 Cálculo dos volumes e áreas das células O volume de cada célula é calculado usando a seguinte expressão [38] : V 1 = ( x 2 x ) y + ( x x ) y + ( x x ) y 1 + ( x 2 x ) y + ( x x ) y + ( x x ) y i i+ 1 + 1 i+ 1 i i i+ 1 + 1 i+ 1 i+ 1 i i+ 1 + 1 i + 1 i+ 1 + 1 i i+ 1 + 1 i i + 1 i i + 1 i+ 1 + 1. (75)

49 No caso da malha estruturada bidimensional utilizada neste trabalho as superfícies de controle consistem de quatro segmentos de linha sendo que cada segmento representando a superfície da célula tem um vetor de área associado a ela. Conforme a figura 1 os vetores estão apontando nas direções i e positivas. A vantagem de se fazer isso é que para cada face do volume de controle elementar há somente um vetor de área para armazenar. Figura 1: Vetores de áreas apontando nas direções i e positivas. Conforme mostra a figura 2 o vetor de área S é dado por: (76) S = S i + S i x x y y.

50 Figura 2: As componentes do vetor de área S. As componentes dos vetores de área para as quatro faces da célula são: ( S x ) = ( y y i+ 1 + 1 i+ 1 ) ( S y ) = ( x x i+ 1 + 1 i+ 1 ) i+ 1/2 i+ 1/2 ( S x ) = ( y y i + 1 i ) ( S y ) = ( x x i + 1 i ) i 1/2 i 1/2 ( S x ) = ( y y i+ 1 + 1 i + 1) ( S y ) = ( x x i+ 1 + 1 i + 1) i + 1/2 i + 1/2 ( S x ) = ( y y i+ 1 i ) ( S y ) = ( xi + 1 xi ) i 1/2 i 1/2. (77) (78) (79) (80) Dessa forma a equação (74) que representa todos os fluxos nos volumes V i é escrita como: dqi 1 = ( P S ) + ( P S ) ( P S ) ( P S ) dt V + + 1 1 1 1 i i i i i 2 2 2 2. (81) É conveniente escrever a equação (81) na seguinte forma:

51 onde T ( Qi ) V dq ( i ) i i = T Q dt representa todos os fluxos atravessando as superfícies dos volumes de controle elementares V i. Substitui-se a equação (82) na equação (81) e obtém-se: (82) T Q P S P S P S P S ( i ) = ( ) + ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 i+ i + i i 2 2 2 2. (83) 3.4 O esquema de MacCormack Neste trabalho foi utilizado a versão explícita do esquema de MacCormack [32] que emprega o método de Euler explícito para avançar no tempo. Este esquema é de segunda ordem de precisão tanto no tempo quanto no espaço. O algoritmo explícito de MacCormack usa dois passos para passar do nível de tempo n para o nível (n+1): os passos predictor e corrector. Conforme as figuras 3 e 4 no passo predictor o vetor de fluxo em uma face é calculado usando os valores das propriedades em uma célula à frente relativa à face enquanto que no passo corrector os valores das propriedades são relativas a uma célula atrás à face. As equações de discretização de todos os fluxos atravessando as superfícies dos volumes de controle são dadas por: passo predictor: n+ 1 n t n n n n Qi = Qi P S P S P S P 1 1 1 1 1 1 i i i i S + + + V i+ i i + i i 2 2 2 2 (84) passo corrector: n+ 1 n t n+ 1 n+ 1 n+ 1 n+ 1 Qi = Qi Pi S 1 Pi 1 S P 1 + i S P 1 i 1 S 1 V i+ i i + i i 2 2 2 2 (85)

52 e update: 1 Q = Q + Q 2 n+ 1 n+ 1 n+ 1 i i i. (86) Figura 3: Passo Predictor. Figura 4: Passo Corrector.

53 Figura 5: Update. A figura 5 mostra a atualização dos passos predictor e corrector. Para controlar as instabilidades numéricas do esquema de MacCormack é necessário adicionar explicitamente termos de viscosidade artificial para garantir a convergência. Assim obtém-se: Predictor: + t Q = Q T ( Q ) Da ( Q ) n 1 n n n p V i (87) Corrector: ( ) ( ) t Q = Q T Q Da Q n+ 1 n n+ 1 n+ 1 c V i (88) Update: 1 Q = Q + Q 2 n+ 1 n+ 1 n+ 1 (89)

54 onde Da( Q ) representa o termo de viscosidade artificial que será analisada no item 3.8. 3.5 O esquema de Jameson A formulação de volumes finitos de Jameson [33] utilizada neste trabalho usa um esquema de integração de Runge-Kutta de cinco estágios para avançar no tempo. O método é de quarta ordem de precisão no tempo e de segunda ordem no espaço. As propriedades são avaliadas como a média dos valores nas células nos dois lados da face. Dessa forma o esquema reduz-se a uma aproximação de diferença centrada no espaço em uma malha cartesiana. Como consequência ele necessita do uso de termos de dissipação numérica para garantir estabilidade [39]. Os termos de viscosidade artificial são avaliados em todos os estágios do esquema de Runge-Kutta para aumentar a estabilidade [31]. Assim adicionando os termos de viscosidade artificial à equação (74) obtém-se: dq + 1 = 0 ( ) ( ) i Te Qi Da Qi dt V i (90) onde ( i ) Da Q representa o termo de viscosidade artificial. Então para passar do nível de tempo n para o nível (n+1) escreve-se: Q ( 0) = Q n i i ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t ( ) Q Q α T Q Da Q 1 0 0 0 i = i 1 e i i V i ( ) ( ) ( ) 2 0 1 1 i i 2 e i i V i ( ) ( ) t ( ) Q = Q α T Q Da Q ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t ( ) Q = Q α T Q Da Q 3 0 2 2 i i 3 e i i V i (91) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t ( ) Q = Q α T Q Da Q 4 0 3 3 i i 4 e i i V i

55 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t ( ) Q = Q α T Q Da Q 5 0 4 4 i i 5 e i i V i ( 5) Q + = Q. n 1 i i 1 1 3 1 Os valores padrões para os coeficientes sãoα 1 = α 2 = α 3 = α 4 = e α 5 = 1. [11] 4 6 8 2 3.6 Condições Iniciais As condições iniciais precisam ser definidas para começar o processo iterativo. Nesse caso utilizam-se os valores das propriedades do escoamento não-perturbado em toda a malha computacional. 3.7 Condições de Contorno Uma das tarefas mais importantes de uma simulação numérica é a implementação correta das condições de contorno. Basicamente podem ser definidos três tipos de fronteiras para os escoamentos em torno do aerofólio NACA 0012 que serão resolvidos neste trabalho: parede sólida fronteiras remota e simétrica. Como se trata de casos bidimensionais quatro condições de contorno em cada fronteira são necessárias para equacionar o problema. 3.7.1 Parede Na parede há dois tipos de condições de contorno para as componentes de velocidade uma para escoamentos não-viscosos e outro para escoamentos viscosos. A condição de contorno

56 para a formulação de Euler é a condição de escorregamento isto é o escoamento é tangente à parede. Na figura 6 o vetor de velocidade V 1 na célula (i 1) próximo à parede é formado pelas componentes V 1t e V 1n tangente e normal à parede respectivamente. O vetor de velocidade V 0 da célula fantasma (i 0) correspondente à célula (i 1) é formado pelas componentes V 0t e V 0n tangente e normal à parede respectivamente. Figura 6: Vetores de velocidade próximo à parede. Um desenvolvimento detalhado para as componentes u 0 e v 0 do vetor de velocidade V 0 encontra-se no apêndice C. Assim: 2 2 ( ) u = u n n 2 v n n (92) 0 1 y x 1 x y

57 2 2 ( ) v = v n n 2 u n n 0 1 x y 1 x y onde os componentes do vetor unitário normal à superfície n são dados por: n n x y = = ( sx i ) 1 1 / 2 d ( sy i ) 1 1 / 2 d (93) (94) (95) e a magnitude d do vetor de área é dada por: d = s + s 2 ( x ) ( y ) i 1/ 2 i 1/ 2 2 1/ 2. (96) Para a formulação de Navier-Stokes a condição de não-escorregamento é necessária isto é a velocidade deve ser zero na superfície sólida. Portanto u p = vp = 0. Esta condição é obtida fazendo o vetor de velocidade V 0 na célula fantasma (i 0) igual ao vetor de velocidade V 1 da célula (i 1) mas em direções contrárias assim: V 0 = V. 1 (97) Escrevendo V0 = u0i + v0 tem-se: u = v = v. i 0 ui 1 i 0 i 1 (98) Para a condição da pressão na parede pode-se admitir que a derivada da pressão na direção normal à parede é nula. Dessa forma p = 0. n p (99) Portanto p = p pi 1. (100)

58 Admite-se que a pressão na parede é a média aritmética entre pi 1 e p i 0 então: p p = p + p i 1 i 0 2 (101) e o resultado para p i 0 é: p 2 p p i 0 = p i 1. (102) Como pp = pi 1 então: p i 0 = pi 1. (103) A última condição é de parede adiabática isto é Portanto 3.7.2 Fronteira remota T = 0. n T p i 0 = Ti 1. (104) (105) Uma fronteira remota deve estar localizada a uma distância que as perturbações no escoamento causadas pela presença do corpo não seam ali percebidas. Vários testes foram feitos e nos casos estudados foi estabelecido max=20 cordas do aerofólio. Uma forma de diminuir o domínio de cálculo é a utilização de uma condição não-reflexiva na fronteira remota que não será tratada neste trabalho. Utilizam-se as condições de escoamento não-perturbado em todas as propriedades do escoamento na fronteira remota. Assim V = V p T ρ max max max max = p = T = ρ. (106)

59 3.7.3 Fronteira simétrica Nas malhas tipo O utilizadas neste trabalho há uma condição de simetria a partir do bordo de fuga do aerofólio até a fronteira remota onde o fluxo de todas as variáveis deixando a fronteira de saída é igualado ao fluxo entrando na fronteira de entrada. Portanto para qualquer propriedade φ do escoamento tem-se: φ φ φ φ = φ i= 0 i max 1 = φ i= 1 i max 2 = φ i max i= 1 = φ i max + 1 i= 2. (107) Na figura 7 são apresentados os três tipos de fronteiras para os escoamentos em torno do aerofólio NACA 0012 que serão resolvidos. Figura 7: Tipos de fronteiras usadas nas condições de contorno.

60 3.8 Termos de Viscosidade Artificial Os esquemas de MacCormack e Jameson utilizam uma aproximação de diferença centrada no espaço. Como consequência eles necessitam do uso de termos de dissipação numérica para garantir estabilidade [39]. Para controlar as instabilidades numéricas dos esquemas é necessário adicionar explicitamente termos de viscosidade artificial para garantir a convergência. Foi implementado então o esquema de viscosidade artificial não-linear. Para construir os termos de viscosidade artificial não-linear para uma variável genérica φ define-se a seguinte expressão: Dφ = D φ + D φ. x y (110) onde Dxφ e Dyφ são contribuições correspondentes às duas direções coordenadas. Escrita na forma conservativa: Dxφ = di+ 1/ 2 di 1/ 2 e Dyφ = di + 1/2 di 1/2. (111) Os termos do lado direito destas equações podem ser escritos da seguinte forma: d V ( ) ( 3 3 ). i+ 1/2 (2) (4) i+ 1/2 = ε φi + 1 φi ε φi+ 2 φi + 1 + φi φi 1 1 1 t i+ i+ 2 2 (112) onde V i é o volume da célula e os coeficientes ( 2) ε e ( 4) k definidas pelo usuário e em um sensor de pressão definido como: ( 4) ε são dependentes das constantes ( 2) k e δ p i = p 2 p + p i+ 1 i i 1 p + 2 p + p i+ 1 i i 1. (113) Então ( 2) ( 2) 1 = k ( pi+ 1 pi ) ε max δ δ i+ 2 (114) e

61 ε = max 0 k ε ( 4) ( 4) ( 2) 1 1 i+ i+ 2 2. (115) Os valores padrões das constantes ( 2) k e ( 4) k são [33] : ( 2) 1 k = e 4 ( ) k =. 256 4 1 3.9 Cálculo das derivadas Muitos termos das equações de Navier-Stokes contêm derivadas. Além disso a rotina do modelo de Spalart e Allmaras necessita dos valores das derivadas para o cálculo da vorticidade. No método de volumes finitos as derivadas são calculadas usando o teorema da divergência [38]. Para calcular as derivadas nos vértices da célula de uma variável genérica φ em relação às variáveis independentes x e y é necessário utilizar uma célula auxiliar como mostra a figura 8. Figura 8: Célula auxiliar usada para cálculo das derivadas.

62 Os vértices adacentes a ( i ) são os vértices da célula auxiliar. Os valores das propriedades nas faces da célula auxiliar serão exatamente os mesmos do volume correspondente isto é: φ1 = φi 1 φ2 = φi 1 φ3 = φ i φ4 = φi 1 1. Os novos valores para x e y são dados por: x1 = xi+ 1 xi 1 x2 xi 1 xi + 1 y1 = yi+ 1 yi 1 y2 yi 1 yi + 1 = x3 = xi + 1 xi+ 1 x4 = xi 1 xi 1. = y3 = yi + 1 yi+ 1 y4 = yi 1 yi 1. (116) Aplicando o teorema da divergência para o vértice (i ) obtém-se: φ 1 = x V 4 φk yk a c k= 1 (117) 4 φ 1 k xk y = φ Va c k= 1 (118) onde V a c é o volume da célula auxiliar dado por: 1 Vac = ( Vi 1 + Vi 1 + Vi + Vi 1 1 ). 2 (119) 3.10 Modelagem da turbulência 3.10.1 Introdução A comunidade aerodinâmica está pronta para investir em uma nova geração de modelos de turbulência mais onerosos do que os modelos algébricos mas com um conunto mais amplo em termos de complexidade do escoamento e da malha [34].

63 O modelo de Baldwin-Lomax torna possíveis os cálculos das equações de Navier-Stokes que são difíceis para os modelos de Cebeci-Smith porque a espessura da camada limite não é bem definida. O modelo de Johnson-King tem dado conta da demanda para mais precisão prevendo interações de choque e camada limite comparada com os modelos puramente algébricos. Entretanto estes modelos mesmo quando usados em códigos de Navier-Stokes são modelos de camada limite. Fisicamente eles tratam toda a camada limite como um único módulo firmemente acoplado que tornam-se incorretos quando muitas camadas cisalhantes estão presentes. Eles contam com o levantamento do perfil de velocidades ou vorticidades em uma linha da malha aproximadamente ortogonal à superfície assim sendo não local. Modelos de equação de transporte tais como K-ε e modelos de ordem mais alta são normalmente locais embora alguns tenham termos não locais próximo à parede. Entretanto eles estão longe de ter mostrado uma vantagem decisiva para a previsão de interações de choque e camada limite ou separação suave da superfície. Eles também são mais difíceis para usar. Isto não é tanto por memória extra mas porque eles necessitam de malhas mais finas próximas à parede envolvendo grandes termos fontes que frequentemente degradam a convergência e condições de escoamento não-perturbado para as variáveis turbulentas. Os problemas próximos à parede frequentemente levam ao uso de funções de parede que são impraticáveis e perdem qualquer ustificativa em situações que mais importa como em região com separação. O modelo de Baldwin-Barth é um atrativo intermediário. Ele tem somente uma equação e é local exceto para a dependêcia de y + que ele dispõe de um grande termo. Ele é derivado do modelo K-ε através de algumas considerações adicionais. Próximo à parede ele não necessita de

64 resoluções mais finas que o próprio campo de velocidades. Dependendo da versão ele prevê casos de gradiente de pressão adverso e interações de choque melhor do que Baldwin-Lomax mas não consistentemente como Johnson-King. Sua precisão aumenta no tempo e ele é mais prático que modelos de duas equações. O modelo de Spalart-Allmaras foi orientado pelo trabalho de Baldwin-Barth e acredita que gerar um modelo de uma equação a partir de uma versão simplificada do modelo K-ε não sea o ideal. Um modelo de uma equação é simples o suficiente que ele pode ser gerado de improviso que deve levar a um desempenho melhor e certamente dar controle mais completo sobre seus mecanismos [25] [34]. Um caso neste ponto é o termo de difusão de Baldwin-Barth que é forçado pelo modelo K-ε e considerações adicionais devem ser feitas. O modelo de Spalart- Allmaras também permite um termo próximo à parede semi-local. A estratégia de calibração que é diferente. Exceto os modelos de Secundov Baldwin-Barth e Spalart-Allmaras os modelos de uma equação são todos não locais á que eles usam modelos de comprimento de escala em relação a espessura da camada limite. 3.10.2 Modelo de Spalart-Allmaras O modelo de turbulência de Spalart-Allmaras surgiu no início da década de 90 a partir de um arrazoado empírico sobre um modelo de turbulência que com uma única equação fosse capaz de resolver diretamente a questão do principal parâmetro representativo do comportamento turbulento: a viscosidade turbulenta sem passar pelos cálculos da energia turbulenta nem da dissipação ou vorticidade em modelos em que são necessários dois parâmetros característicos para definir o comportamento turbulento. Assim o modelo de Spalart-Allmaras

65 embora sendo um modelo de uma equação consegue refletir com um único parâmetro o comportamento turbulento sendo classificado como um modelo fechado [46]. No modelo de uma equação de Spalart-Allmaras uma equação de transporte para viscosidade turbulenta é montada usando empirismo e argumentos de análise dimensional invariância de Galilean e uma seletiva dependência na viscosidade molecular [25] [34]. A equação inclui um termo de destruição não viscosa que depende da distância para a parede. A recomendação para o uso da rotina de Spalart e Allmaras é que o ponto mais próximo da parede sea tal que se tenha y + = 1. Diferentemente de modelos algébricos e os primeiros modelos de uma equação o modelo é local no sentido que a equação em um ponto não depende na solução em outros pontos. Ela é portanto compatível com malhas de qualquer estrutura. A solução próxima à parede é menos difícil. As condições de parede e escoamento não-perturbado são triviais. O modelo produz transição laminar-turbulenta relativamente suave em pontos especificados pelo usuário. Um simples índice de turbulência é fornecido para determinar as regiões da camada limite em que o modelo é ativado. O modelo foi calibrado em camadas limites com gradientes de pressão. A viscosidade turbulenta é dada por: ν = t ρν f v1 (120) onde f = 3 χ v1 3 3 χ + cv 1 ν χ ν (121) ν é a viscosidade molecular e ρ é a densidade local. A variável de Spalart-Allmarasν obedece a seguinte equação de transporte: ( ν u ) ν 1 [ ] (( ) ) ( ) 2 cb 1 ν 2 cb 1 1 ft 2 Sν. ν ν ν cb 2 ν + = + + + cw 1 fw f 2 t 2 + ft1 U. t x σ k d (122)

66 Onde cb 1 ν cw1 fw f 2 t 2 k d (123) é o termo de destruição que depende da distância para a parede [ 1 ] c f Sν b1 t 2 (124) é o termo de produção viscosa e ( ν u ) x 1.( ν ν ν ) c ( ) 2 b2 ν σ + + e ( ) (125) são os termos convectivos e difusivos respectivamente. Sendo que ν S S f v k d + 2 2 2 fv 2 χ = 1 1 + χ f v1 (126) d é a distancia para a parede mais próxima e S é a magnitude da vorticidade dada por: ( ) 1 2 i i S 2 Ω Ω (127) onde 1 u u i Ω i =. 2 x x i (128) A função f é dada por: w 1 1+ c fw = g g c 6 6 w3 6 6 + w3 (129) onde w2 6 ( ) g = r + c r r e r ν. 2 2 Sk d (130) E os termos de transição são:

67 w f c g c d g dt U 2 t 2 2 2 t1 = t1 t exp t 2 + 2 t 2 e ft 2 = ct 3 ( ct 4χ ) exp. (131) As constantes usadas no modelo são: 2 σ = 3 c = 0.1355 c b1 b2 = 0.622 k = 0.41 c c c c b1 w1 2 w2 w3 v1 c = + k = 0.3 = 2 = 7.1 ( 1+ c ) σ b2 c c c c t1 t 2 t3 t 4 = 1 = 2 = 1.1 = 2. (132) As condições de contorno são estabelecidas definindo valores de ν. A condição de parede é ν = 0. O modelo de turbulência de Spalart e Allmaras empregado foi desenvolvido a partir da versão do modelo empregada no trabalho de Castro [47]. A versão utilizada aqui não contempla os termos de transição pois o problema a ser estudado é considerado plenamente turbulento. No apêndice D a implementação numérica da rotina de Spalart e Allmaras usada neste trabalho é tratada de maneira mais detalhada. 3.11 Verificação do código computacional Foi desenvolvido um código computacional baseado no método de volumes finitos utilizando-se os esquemas explícitos de MacCormak e Jameson e o modelo de turbulência de uma equação de Spalart e Allmaras para resolver o escoamento compressível turbulento sobre o aerofólio NACA 0012. Antes de aplicar o programa desenvolvido ao caso a ser estudado é necessário proceder a sua verificação. Inicialmente a formulação de Euler foi usada e resultados foram obtidos para quatro casos de escoamentos transônicos não-viscosos sobre o aerofólio. As soluções foram comparadas com resultados de outros métodos numéricos disponíveis na literatura. Em seguida um dos casos foi utilizado para avaliar a influência dos parâmetros

68 numéricos como a viscosidade artificial e o refinamento da malha. Por último outro caso foi empregado para comparar os esquemas explícitos de MacCormack e Jameson. 3.11.1 Escoamentos transônicos sobre o perfil do aerofólio NACA 0012 O problema foi resolvido utilizando-se uma malha estruturada tipo O em torno do aerofólio conforme mostra a figura 9. A malha contém 189x43 pontos. A fronteira externa está localizada a uma distância de 20 cordas do perfil e todos os comprimentos foram adimensionalizados pela corda do aerofólio. Figura 9: Malha estruturada tipo O em torno do aerofólio NACA 0012. Em todos os casos estudados as condições iniciais foram consideradas os valores das propriedades do escoamento não-perturbado definidas como:

69 p ρ a γ = 2 101325 N/m 3 = 1.223 kg/m = 340.2 m/s = 1.4. A condição de contorno na parede do aerofólio é a condição de escorregamento para o caso da formulação de Euler como descrito na seção 3.7.1 do capítulo 3 e de forma mais detalhada no apêndice C. O modelo de viscosidade artificial não-linear foi usado para todos os casos. Os valores dos coeficientes K 2 e K 4 foram definidos como 0.25 e 0.0117 respectivamente. O critério de convergência numérica foi estabelecido para uma variação máxima da densidade igual a 1 10 9. Os resultados obtidos para os valores dos coeficientes de pressão C p coeficientes de arrasto C D e sustentação C L são comparados com outros resultados numéricos disponíveis na literatura. São apresentados os contornos de pressão e do número de Mach em torno do aerofólio para cada caso. Nesta etapa o ângulo de ataque α foi variado até o máximo de dois graus para garantir que o escoamento sea sempre colado à superfície do aerofólio e não ocorram regiões de separação. 3.11.1.1 Caso 1 M = 0.63 e α = 2.0 A primeira simulação foi realizada para um escoamento com número de Mach relativamente baixo M = 0.63 mas com um alto ângulo de ataque onde uma fraca onda de choque próxima ao bordo de ataque aparece no extradorso do aerofólio. A distribuição de pressão mostrada na figura 10 é comparada com os trabalhos de Oliveira [40] e Kroll e Jain [41] apud Oliveira e apresenta boa concordância entre os resultados. Em relação aos coeficientes de sustentação e arrasto há também uma boa concordância entre os resultados como mostra a tabela 1.

70 Figura 10: Comparação do Cp ao longo da corda do aerofólio para M = 0.63 e α =2.0. Tabela 1: Coeficientes aerodinâmicos para o aerofólio NACA 0012. Presente trabalho Oliveira [40] Kroll e Jain [41] C L 0.3382 0.3275 0.3339 C D 0.0012 0.0033 0.00001

71 Figura 11: Contornos de pressão para M = 0.63 e α=2.0. Uma maneira de se complementar os resultados obtidos é a apresentação dos contornos de pressão e número de Mach para uma região próxima ao aerofólio conforme mostra as figuras 11 e 12 respectivamente. Embora estas figuras tenham um valor meramente qualitativo elas são uma forma útil de se observar as características da solução numérica próximo ao aerofólio. Na figura 13 é apresentada a curva de convergência numérica onde se atingiu o critério de parada do programa em 35749 iterações.

72 Figura 12: Contornos do número de Mach para M = 0.63 e α=2.0. Figura 13: Curva de convergência numérica para M = 0.63 e α=2.0.

73 3.11.1.2 Caso 2 M = 0.8 e α = 0 Em seguida foi realizada a simulação para um escoamento transônico com número de Mach M = 0.8 e ângulo de ataque nulo. A distribuição de pressão mostrada na figura 14 é comparada com os trabalhos de Oliveira e Kroll e Jain apud Oliveira. Os coeficientes aerodinâmicos são apresentados na tabela 2. Nas figuras 15 e 16 estão apresentados os contornos de pressão e número de Mach respectivamente. Novamente há uma boa concordância entre os resultados apresentados no presente trabalho e aqueles obtidos por Oliveira e Kroll e Jain. Na figura 17 é apresentada a curva de convergência numérica onde se atingiu o critério de parada do programa em 22715 iterações. Figura 14: Comparação do Cp ao longo da corda do aerofólio para M = 0.8 e α =0.

74 Tabela 2: Coeficientes aerodinâmicos para o aerofólio NACA 0012. Presente trabalho Oliveira Kroll e Jain C L 0.0058 0.0020 0.00003 C D 0.0163 0.0103 0.00848 Figura 15: Contornos de pressão para M = 0.8 e α=0.

75 Figura 16: Contornos do número de Mach para M = 0.8 e α=0. Figura 17: Curva de convergência numérica para M = 0.8 e α=0.

76 3.11.1.3 Caso 3 M = 0.8 e α = 1.25 No terceiro caso foi realizada uma simulação para um escoamento transônico com o mesmo número de Mach do caso 2 M = 0.8 mas agora com um ângulo de ataque α = 1.25. Uma forte onda de choque aparece no extradorso do aerofólio e outra mais fraca aparece no intradorso. A distribuição de pressão mostrada na figura 18 é comparada com os trabalhos de Oliveira Kroll e Jain apud Oliveira. Os coeficientes aerodinâmicos são apresentados na tabela 3. Mais uma vez os resultados apresentados neste trabalho estão em boa concordância com aqueles apresentados por Oliveira e Kroll e Jain. Os contornos de pressão e número de Mach para uma região próxima ao aerofólio foram comparados com as soluções obtidas por Arias Garcia [31] e Kudinov [42] apud Arias Garcia. Conforme mostra as figuras 19 20 21 e 22 os resultados qualitativos obtidos no presente trabalho também estão em boa concordância com aqueles apresentados por Arias Garcia e Kudinov. Figura 18: Comparação do Cp ao longo da corda do aerofólio para M = 0.8 e α=1.25.

77 Figura 19: Contornos de pressão para M = 0.8 e α=1.25. Figura 20: Contornos de pressão para M = 0.8 e α=1.25. (a) Kudinov [42] e (b) Arias Garcia [31]

78 Figura 21: Contornos do número de Mach para M = 0.8 e α=1.25. Figura 22: Contornos de Mach para M = 0.8 e α=1.25. (a) Kudinov [42] e (b) Arias Garcia [31]

79 Tabela 3: Coeficientes aerodinâmicos para o aerofólio NACA 0012 Presente trabalho Oliveira Kroll e Jain C L 0.3627 0.3509 0.3573 C D 0.0244 0.0243 0.0229 A figura 23 apresenta a curva de convergência numérica onde se atingiu o critério de parada do programa em 35424 iterações. Figura 23: Curva de convergência numérica para M = 0.8 e α=1.25.

80 3.11.1.4 Caso 4 M = 0.85 e α = 1.0 A última simulação foi realizada para um escoamento transônico com número de Mach M = 0.85 e com um ângulo de ataque α = 1.0. Uma forte onda de choque aparece no extradorso do aerofólio e outra mais fraca aparece no intradorso. A distribuição da pressão sobre o aerofólio mostrada na figura 24 é comparada com os trabalhos de Oliveira e Kroll e Jain. Os coeficientes aerodinâmicos são apresentados na tabela 4. Os contornos de pressão e número de Mach são mostrados nas figuras 25 e 26 respectivamente. Mais uma vez os resultados apresentados neste trabalho estão em boa concordância com aqueles apresentados por Oliveira e Kroll e Jain. A figura 27 apresenta a curva de convergência numérica onde o critério de parada do programa foi alcançado em 40660 iterações. Figura 24: Comparação do Cp ao longo da corda do aerofólio para M = 0.85 e α=1.0.

81 Tabela 4: Coeficientes aerodinâmicos para o aerofólio NACA 0012. Presente trabalho Oliveira Kroll e Jain C L 0.3585 0.3567 0.3521 C D 0.0591 0.0585 0.0554 Figura 25: Contornos de pressão para M = 0.85 e α=1.0.

82 Figura 26: Contornos do número de Mach para M = 0.85 e α=1.0. Figura 27: Curva de convergência numérica para M = 0.85 e α=1.0.

83 3.11.2 Influência dos parâmetros numéricos 3.11.2.1 Coeficientes de dissipação artificial não-linear Foram feitas modificações nos valores dos coeficientes de viscosidade artificial não-linear do caso 4. A influência sobre a solução foi analisada em termos da distribuição de pressão sobre o aerofólio e da convergência numérica. Como sugerido por Arias Garcia [31] para escoamentos transônicos aumentar K 2 para 2.0 e K 4 para 0.035 aumenta a taxa de convergência numérica em relação aos valores padrões [43][44]. De forma geral observa-se que embora os coeficientes influenciem levemente a distribuição de pressão como mostra a figura 28 a convergência numérica foi alcançada em um número significativamente menor de iterações de 40660 para 28057 como mostra a figura 29. Isto levou a uma redução do tempo de processamento computacional sem degradar a qualidade da solução. Figura 28: Influência de K 2 e K 4 sobre a distribuição de pressão para o caso 4. (a) K 2 = 0.25 e K 4 = 0.0117. (b) K 2 = 2.0 e K 4 = 0.035.

84 Figura 29: Influência de K 2 e K 4 sobre a convergencia numérica para o caso 4. (a) K 2 = 0.25 e K 4 = 0.0117. (b) K 2 = 2.0 e K 4 = 0.035. 3.11.2.2 Influência do refinamento da malha Foi avaliada a sensibilidade dos resultados à variação do número de volumes da malha. O caso 3 foi simulado utilizando-se uma malha mais refinada com 189x83 volumes ao invés dos 189x43 do caso original. A influência sobre a solução foi analisada em termos da distribuição de pressão sobre o aerofólio e da convergência numérica. Como mostra a figura 30 com a utilização de uma malha mais refinada foi possível capturar com mais precisão tanto a formação da onda de choque mais fraca no intradorso do aerofólio quanto a forte onda de choque do extradorso. A utilização de malhas mais grosseiras é um bom ponto de partida para sentir as características do escoamento e a quantidade de pontos na malha não deve influênciar a qualidade da solução. Pode-se observar na figura 31 que a curva de convergência numérica mostra um comportamento semelhante entre as duas malhas utilizadas onde a malha mais refinada atingiu o critério de parada do programa em 36121 iterações enquanto a malha mais grosseira atingiu em 35424

85 iterações. Entretanto o tempo de processamento computacional foi 45% maior no caso da malha com maior número de pontos. Figura 30: Influência do refinamento da malha sobre a distribuição de pressão para o caso 3. (a) Malha com 189x43 volumes. (b) Malha com 189x83 volumes. Figura 31: Influência do refinamento da malha sobre a convergência numérica para o caso 3. (a) Malha com 189x43 volumes. (b) Malha com 189x83 volumes.

86 3.11.3 Comparação entre os esquemas de Jameson e MacCormack O esquema explícito de MacCormack foi utilizado para simular o caso 3 e os resultados obtidos para a distribuição de pressão sobre o aerofólio e a curva de convergência numérica foram comparados com a solução obtida pelo esquema explícito de Jameson. Foi analisado inicialmente o máximo valor do número de CFL para cada esquema. Enquanto o esquema de Jameson pôde rodar com CFL igual a 0.2 o esquema de MacCormack só foi estabilizado com CFL igual a 0.06. Isto influenciou diretamente a convergência numérica como pode ser observado na figura 33. Enquanto o esquema de Jameson atingiu o critério de convergência em 35424 iterações o esquema de MacCormack precisou rodar 71870. Quanto à distribuição de pressão sobre o aerofólio observa-se na figura 32 que o esquema de Jameson capturou com mais precisão as ondas de choque formadas no extradorso e intradorso do aerofólio. Esta comparação foi decisiva para escolher o esquema de Jameson para rodar os casos viscosos turbulentos. Figura 32: Distribuição de pressão sobre o aerofólio para o caso 3. (a) Jameson. (b) MacCormack.

Figura 33: Curva de convergência numérica para o caso 3. (a) Jameson. (b) MacCormack. 87

88 4 Resultados Para simular os escoamentos viscosos turbulentos sobre o aerofólio NACA 0012 foi adicionado o modelo de turbulência de uma equação de Spalart e Allmaras ao código desenvolvido. O programa foi escrito em linguagem FORTRAN e sua compilação foi feita no Microsoft Developer Studio. As simulações foram realizadas em um computador HP com processador Intel Core 2 Duo de 2000 MHz e 2 GB de RAM. Os gráficos contornos de pressão e número de Mach foram visualizados no software Tecplot 10.0. As malhas foram refinadas próximas à parede do aerofólio como mostra as figuras 34 e 35 para capturar os efeitos viscosos na região de camada limite. A malha utilizada contém 189x43 pontos. 189 pontos distribuídos na superfície do aerofólio em ( =1) numerados no sentido horário com os pontos (1 1) e (imax 1) localizados no bordo de fuga do aerofólio e 43 pontos na direção radial da malha. A fronteira externa está localizada a 20 cordas do aerofólio nos pontos (i max). O código do modelo de Spalart e Allmaras requer que o ponto mais próximo a parede sea y + 1 em = 2. O esquema explícito de Jameson foi utilizado para todos os casos com um número de CFL igual a 0.2. Os valores para os coeficientes de viscosidade artificial foram K 2 = 1.0 e K 4 = 0.05. O critério de convergência numérica foi estabelecido para uma variação máxima da densidade igual a 1 10 9. Escoamentos sobre o aerofólio NACA 0012 são bastante utilizados como referência em CFD devido ao grande número de dados experimentais existentes. Quatro casos foram simulados para diferentes números de Reynolds números de Mach e ângulos de ataque. As soluções foram

89 comparadas com os dados experimentais de Harris [45] e os resultados numéricos obtidos por Arias Garcia [31] que utilizou o modelo algébrico de Baldwin e Lomax. Figura 34: Refinamento da malha próximo ao bordo de ataque do aerofólio NACA 0012. Figura 35: Refinamento da malha próximo ao bordo de fuga do aerofólio NACA 0012. 4.1 Número de Reynolds 6 3 10 M = 0.3 e α = 1.86 A primeira simulação para o caso viscoso foi realizada para um escoamento incompressível com número de Mach M = 0.3 ângulo de ataque α =1.86 e número de Reynolds igual a 6 3 10. A corda para estes números de Reynolds e de Mach é 0.4612 m. A distribuição de pressão mostrada na figura 36 é comparada com os resultados experimentais de Harris [45] e as soluções

90 numéricas obtidas por Arias Garcia que utilizou o modelo algébrico de Baldwin e Lomax. Como mostra a figura 36 a distribuição do coeficiente de pressão ao longo do aerofólio usando o modelo de turbulência de Spalart e Allmaras esta um pouco mais próximo dos dados experimentais de Harris do que o modelo algébrico de Baldwin e Lomax. Comparando com os dados experimentais C n =0.182 o coeficiente de força normal obtido com o modelo de Spalart e Allmaras foi C n =0.179. Isso é próximo a 1% de erro mesma precisão obtida com o modelo de Baldwin e Lomax C n =0.1869. As curvas de pressão e número de Mach para uma região próxima ao aerofólio são comparadas com o trabalho de Arias Garcia nas figuras 37 e 38 e apresentam boa concordância entre os resultados. A figura 39 mostra a curva de convergência numérica onde o critério de parada do programa foi alcançado em 41342 iterações. Figura 36: Distribuição do coeficiente de pressão para M =0.3 e α =1.86.

91 Figura 37: Contornos de pressão para M =0.3 e α =1.86. (a) Presente trabalho e (b) Arias Garcia [31]. Figura 38: Contornos do número de Mach para M =0.3 e α =1.86. (a) Presente trabalho e (b) Arias Garcia [31]. Figura 39: Curva de convergência numérica para M =0.3 e α =1.86.

92 4.2 Número de Reynolds 6 3 10 M = 0.5 e α = 5.86 A segunda simulação para o caso viscoso foi realizada para um escoamento com número de Mach M = 0.5 ângulo de ataque α =5.86 e número de Reynolds igual a 6 3 10. A corda para estes números de Reynolds e de Mach é 0.2767 m. A distribuição de pressão mostrada na figura 40 é comparada com os resultados experimentais de Harris [45] e as soluções numéricas obtidas por Arias Garcia utilizando o modelo algébrico de Baldwin e Lomax. Como mostra a figura 40 a distribuição do coeficiente de pressão ao longo do aerofólio usando o modelo de turbulência de Spalart e Allmaras está mais próxima dos dados experimentais de Harris do que o modelo algébrico de Baldwin e Lomax. Comparando com os dados experimentais C n =0.626 o coeficiente de força normal obtido com o modelo de Spalart e Allmaras foi C n =0.629. Isso é menor que 0.5% de erro enquanto que o erro obtido com o modelo de Baldwin e Lomax ficou próximo a 1%. As curvas de pressão e número de Mach para uma região próxima ao aerofólio são comparadas com o trabalho de Arias Garcia nas figuras 41 e 42 e apresentam boa concordância entre os resultados. A figura 43 mostra a curva de convergência numérica em que o critério de parada do programa foi alcançado em 24951 iterações.

93 Figura 40: Distribuição do coeficiente de pressão M =0.5 e α =5.86. Figura 41: Contornos de pressão para M =0.5 e α =5.86. (a) Presente trabalho e (b) Arias Garcia [31].