ANÁLISE LINEAR COM REDISTRIBUIÇÃO E ANÁLISE PLÁSTICA DE VIGAS DE EDIFÍCIOS

Anai do 47º Congreo Braileiro do Concreto - CBC005 Setembro / 005 ISBN 85-98576-07-7 Volume XII - Projeto de Etrutura de Concreto Trabalho 47CBC06 - p. XII7-85 005 IBRACON. ANÁLISE LINEAR COM REDISTRIBUIÇÃO E ANÁLISE PLÁSTICA DE VIGAS DE EDIFÍCIOS Reumo LINEAR ANALYSIS WITH REDISTRIBUTION AND PLASTIC ANALYSIS OF BUILDING BEAMS Fernando Fernande Fonte (); Libânio Miranda Pinheiro () () Metre em Engenharia de Etrutura Ecola de Engenharia de São Carlo, Univeridade de São Paulo email: faocubo@yahoo.com.br () Profeor Doutor, Departamento de Engenharia de Etrutura Ecola de Engenharia de São Carlo, Univeridade de São Paulo email: libanio@c.up.br Departamento de Engenharia de Etrutura, Av. Trabalhador São-carlene, 400 São Carlo SP, CEP: 3566-590, Tel: (6) 3373-9455, Brail. A análie etrutural é uma da parte mai importante no projeto de edifício, uma vez que fornece o eforço na etrutura, permitindo a verificaçõe de etado limite último e de erviço. A NBR 68:003 conidera diferente tipo de análie, dentre o quai a análie linear com reditribuição e a análie plática, que permitem a reditribuição de eforço, de acordo com a dutilidade da eçõe crítica. Ea dutilidade etá ligada à poição relativa da linha neutra, que pode er controlada pelo uo de armadura dupla. Motrae, nete trabalho, como realizar ee doi tipo de análie em viga, que, dentre o elemento lineare, ão o que mai ofrem o efeito da reditribuiçõe. Em um exemplo de viga com doi tramo imétrico, apreentam-e a vantagen de aociar reditribuição do eforço ao emprego de eção T. Motra-e como coniderar a reditribuição deejada, com poterior cálculo da armadura, que forneça a poição adequada da linha neutra e a decorrente capacidade de rotação neceária. Finalmente, comparam-e o conumo de armadura com o obtido na análie linear de uma viga emelhante, com eção retangular. Palavra-Chave: concreto armado; análie etrutural; viga; reditribuição; análie plática. Abtract The tructural analyi i one of the main part of a building deign, ince it give the tree and the train of the tructure, and therefore allow verification of the ultimate limit tate and erviceability. The Brazilian Code NBR 68:003, for deign of concrete tructure, preent different kind of analyi, among which are the linear with reditribution and the platic analyi. Both of them permit the moment reditribution according to the ductility of the critical ection. Thi ductility depend of the neutral axi relative poition, that may be adjuted by the ue of compreion reinforcement. Thi paper preent how to perform thee kind of analyi for beam that, among the linear tructural element, are the mot affected by the reditribution. An example of a two pan ymmetrical beam i done, in order to demontrate the advantage of aociating moment reditribution with the ue of a T-ection. How to conider the deired reditribution i alo preented, a well a the reinforcement that give appropriate value for the neutral axi relative poition, in order to reach the neceary rotation capacity. Finally, the reinforcement conumption i compared with that relative to a linear analyi of a imilar beam, with rectangular ection. Keyword: reinforced concrete; tructural analyi; beam; reditribution; platic analyi. Anai do 47º Congreo Braileiro do Concreto - CBC005. 005 IBRACON. XII.7

Introdução A análie de uma etrutura conite em determinar o eu eforço olicitante e delocamento, por meio de modelo matemático, apó a idealização de divero fatore, como o comportamento da açõe, do material contituinte, da ligaçõe entre o divero elemento em que a etrutura pode er dividida, e da repota dee elemento frente à açõe. Segundo a NBR 68:003, o objetivo da análie etrutural é determinar o efeito da açõe em uma etrutura, com a finalidade de efetuar verificaçõe de etado limite último (ELU) e de erviço (ELS). A NBR 68:003 trouxe inovaçõe ignificativa para o projeto de etrutura de concreto, incluive na análie etrutural. Houve um avanço do conhecimento obre reditribuição de eforço, eja via análie linear com reditribuição ou via análie plática, e obre não-linearidade do comportamento do materiai e da etrutura, como no cao do cálculo do delocamento, em que e utiliza uma rigidez equivalente no cálculo da flecha, para coniderar a fiuração do concreto. A NBR 68:003 traz indicaçõe acerca dea análie mai requintada, bem como fornece diretrize obre o campo de validade e a condiçõe epeciai para aplicação de cada uma dela. Portanto, é importante conhecer o diferente tipo de análie, com relação ao comportamento admitido para o materiai da etrutura, principalmente o que permitem o cálculo analítico, ituação que correponde à mai uual, na prática de projeto. Além dio, conceito como o de largura colaborante da laje junto à viga, quando aociado com análie do tipo linear, linear com reditribuição e plática, ão muito útei na concepção de projeto. Tipo de análie etrutural A NBR 68:003 permite cinco tipo de análie, quanto ao comportamento do material concreto armado, e exige que o projeto apreente conformidade com pelo meno um dele. A eguir ão apreentado algun apecto da análie linear com reditribuição e da análie plática, bem como comentário acerca do vário tipo de análie permitido.. Análie linear com reditribuição Uma vez realizada a análie linear de uma etrutura, pode-e proceder uma reditribuição do eforço calculado, decorrente da variação de rigidez do elemento etruturai. A fiuração, e a coneqüente entrada no etádio II, de determinada eçõe tranverai, provoca um remanejamento do eforço olicitante, para regiõe de maior rigidez. Segundo PRADO & GIONGO (997), ea fiuração pode diminuir de 0 a 70% a rigidez à flexão da eção de concreto, dependendo da taxa de armadura. Em uma, a análie linear com reditribuição promove a redução de momento fletore obre o apoio de viga contínua, e o repectivo aumento do momento no vão. A reditribuição e dá pela multiplicação do momento no apoio por um coeficiente de reditribuição δ, e poterior correção do momento no vão (ver Figura ). A NBR 68:003 permite, para elemento lineare, redução de até 5% (δ = 0,75) para etrutura de nó fixo, e de até 0% (δ = 0,90) para etrutura de nó móvei, dependendo de x/d e de f ck, como indicado na equaçõe e : δ 0,44 +,5 x/d para concreto com f ck 35 MPa (Equação ) δ 0,56 +,5 x/d para concreto com f ck > 35 MPa (Equação ) Anai do 47º Congreo Braileiro do Concreto - CBC005. 005 IBRACON. XII.73

p M' M M M δ.m' Mc Mc Mc Figura - Reditribuição de momento fletore em viga contínua Quanto menor o valor de x/d calculado no ELU, menor a área de concreto comprimido, e mai o aço, material mai dúctil que o concreto, paa a er o limitante da reitência da eção. A NBR 68:003 limita o valor de x/d, no apoio e na regiõe de ligação entre elemento etruturai lineare, memo que não ejam realizada reditribuiçõe de eforço olicitante, ao eguinte valore: x/d 0,50 para concreto com f ck 35 MPa (Equação 3) x/d 0,40 para concreto com f ck > 35 MPa (Equação 4) Em pilare, conolo e elemento lineare com preponderância de compreão, a reditribuição de eforço ó deve er feita e ela for coneqüência de reditribuiçõe em viga ligada a ele, uma vez que ea peça comprimida não apreentam grande dutilidade. A NBR 68:003 precreve ainda que não é deejável que haja reditribuição de eforço em erviço, e que a verificaçõe de etado limite de erviço podem er baeada na análie linear. No cao de viga T, o efeito da reditribuição é ainda mai benéfico, já que no vão a área de concreto comprimido é maior, poi conta com a mea da eção T. LEONHARDT & MÖNNIG (979) motram que é poível reduzir em até 50% o momento no apoio, em viga com a largura da mea em torno de trê veze a largura da alma, e com io aumentar a capacidade de carga da viga. PARK & PAULAY (975) citam, como vantagen da reditribuição de momento, o fato do projetita poder elecionar ditribuiçõe de momento que evitem congetionamento de armadura no apoio, e a poibilidade de reduzir o pico do diagrama de momento fletore, para a diferente ituaçõe de carregamento acidental (envoltória). Com bon ajute de momento máximo, quanto maior a relação entre a ação variável e a permanente, maior a economia de armadura.. Análie plática A propriedade do material de guardar deformaçõe reiduai é chamada de platicidade. A principai teoria envolvida em projeto, que permitem que elemento etruturai ofram certa deformaçõe permanente, ão a teoria da rótula plática, para elemento lineare, e a teoria da charneira plática, para elemento de uperfície que trabalhem como placa. Anai do 47º Congreo Braileiro do Concreto - CBC005. 005 IBRACON. XII.74

Ao e aumentar continuamente o carregamento de uma viga, por exemplo, um ou mai ponto crítico de momento máximo poderão entrar em ecoamento, dando origem a articulaçõe, ou rótula plática. A rótula plática é caracterizada por um aumento plático da curvatura, que pode ter o eu valor de dua a trê veze uperior àquele calculado elaticamente. Ee efeito retringe-e a um comprimento de platificação, em torno do ponto de momento máximo, no quai o momento fletor não aumenta mai e paa a er chamado de momento totalmente plático, M p. A mínima carga capaz de provocar na etrutura um ecoamento em contenção, ou reponável pela formação de um determinado número de rótula plática, que torne a etrutura, ou parte dela, em um itema hipotático, dá origem a um mecanimo de colapo, e é chamada de carga limite. Em etrutura hiperetática, exite uma reerva de capacidade reitente, vito que, geralmente, é neceária a formação de mai de uma rótula plática, para que e forme um mecanimo de colapo. No cao do concreto armado, o momento de platificação pode er coniderado como aquele que provoca o aparecimento do etado limite último (ε c = -0,35% ou ε = %). Por er um material de natureza frágil, para a ocorrência de um tal número de rótula plática, até que e forme um mecanimo de colapo, é neceária a verificação da capacidade de rotação. A rotação neceária de uma rótula plática pode er quantificada pela diferença entre a ua rotação total no colapo e aquela que dá início à ua platificação. A NBR 68:003 traz a conideração de que, quanto menor for a poição relativa da linha neutra x/d, maior a capacidade de rotação do elemento etrutural. Em função dee parâmetro, é fornecido um gráfico (ver Figura ) de capacidade de rotação da rótula plática, θ pl. Ee gráfico é válido para uma relação a/d igual a 6 (a é a ditância entre ponto de momento nulo, da região que contém a eção platificada). Para outra relaçõe a/d, deve-e multiplicar o valore extraído do gráfico por ( a / d) / 6. A rotação neceária à rótula plática deve er menor ou igual à capacidade de rotação dada pela Norma. -3 θpl(x0 ) 30 0 0 aço CA-60 (curva ) demai aço (curva ) 0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 x/d Curva : θpl = 0,% d/x p/ x/d 0,7 Curva : θpl = 0,35% d/x p/ x/d 0,5 Figura - Capacidade de rotação de rótula plática (Adaptada da NBR 68:003) A platificação em concreto armado e dá pelo ecoamento da armadura, elevando a linha neutra e aumentando o braço de alavanca obtido em regime elático. No entanto, o momento reitente permanece praticamente contante até a ruptura, poi o aumento do braço de alavanca apena compena a diminuição da zona de concreto comprimido. A partir dea conideraçõe, MORETTO (970) oberva que o diagrama momento curvatura do concreto armado pode, implificadamente, er aproximado para dua reta, como no aço, com o momento de platificação igual ao momento último. Anai do 47º Congreo Braileiro do Concreto - CBC005. 005 IBRACON. XII.75

A reditribuição de eforço pode er feita com maior intenidade que na análie linear com reditribuição, dede que a rótula plática apreentem a devida capacidade de rotação plática. Nota-e que o cálculo plático tem boa aplicabilidade na etrutura imple de elemento lineare, em que e conhece previamente a poição preferencial de formação da rótula plática (ea poição pode er impota pela dipoição da armadura). A análie plática de etrutura reticulada não é permitida quando e conideram o efeito de egunda ordem globai. Na análie plática, preocupa-e com o etado limite último e não e conhece o comportamento em erviço. A verificação de ELS deve er efetuada com uma análie linear ou não-linear..3 Comentário Deve-e ter em mente que cada etrutura merece um etudo individual, à qual e deve aplicar a teoria que mai lhe convierem para a ua reolução. Buca por análie mai realita devem etar empre preente no projeto etruturai, tomando-e empre precauçõe quanto à egurança. A utilização de uma análie plática, ou linear com reditribuição, ó deve er realizada e amparada pelo amplo domínio do aunto. A Tabela motra o vário tipo de análie etrutural, permitido pela NBR 68:003, e indica a que verificação e detina cada um dele, quanto ao etado limite. Tabela - Tipo de análie etrutural e ua aplicaçõe Análie Verificação Linear ELU* e ELS Linear com Reditribuição ELU Plática ELU Não-Linear ELU e ELS Atravé de Modelo Fíico ELU e ELS * e garantida a dutilidade do elemento etruturai Não ocorrem platificaçõe para o carregamento de erviço. Portanto, para verificar o ELS-DEF e o ELS-W, devem er utilizado outro tipo de análie que não ejam a linear com reditribuição e a plática. Todavia, a armadura a er coniderada nea verificaçõe é aquela encontrada para ELU, com a análie upracitada, como erá vito no exemplo a eguir. 3 Exemplo de viga Há um epecial interee na combinação de eçõe T em viga com a reditribuição de momento, uma vez que, com a tranferência para o vão, de parte do momento localizado no apoio, a eção T é melhor aproveitada e proporciona uma economia de armadura. Será analiada a viga V do pavimento da Figura 3, com análie linear e eção retangular, com análie linear e eção T, com análie linear com reditribuição e eção T, e com análie plática e eção T. Conidera-e que a viga V etá localizada em ambiente interno (Clae de Agreividade Ambiental I para ambiente urbano), participa de uma etrutura de nó fixo, com concreto C5, aço CA-50 para a armadura longitudinal e CA-60 para a armadura tranveral. O cobrimento é de,5cm e a ditância d, do centro de gravidade da armadura longitudinal à borda mai próxima, foi inicialmente admitida igual a 4cm. Coniderou-e na laje uma carga de uo de,0kn/m² e revetimento de,0kn/m², pédireito de,80m e alvenaria obre a viga com,5kn/m² de parede pronta. Na Figura 4 tem-e o equema etático para a viga V, no qual erá analiada omente a combinação última de carregamento,4(g+q), em que g = 7,8kN/m e q = 3,70kN/m. A eçõe 4 e 5 ão a do primeiro e do egundo vão, repectivamente, em que o momento poitivo é máximo. Anai do 47º Congreo Braileiro do Concreto - CBC005. 005 IBRACON. XII.76

V 5 x 80 P 30x50 L h= V 5 x 50 P3 30x50 L h= P 30x50 5 470 30 V4 5 x 80 P4 30x50 L3 h= V3 5 x 80 V5 5 x 50 L4 h= V6 5 x 80 P5 30x50 30 470 50 450 5 450 50 Figura 3 - Pavimento ao qual pertence a viga V,4(g+q) = 45,57kN/m 500cm 500cm 3 Figura 4 - Equema etático da V Nete exemplo adota-e uma etratégia de reolução em que erá impota a reditribuição deejada e, cao a armadura imple não eja uficiente para e ter o valor de x/d neceário, erá utilizada armadura dupla, a fim de diminuir a ditância da linha neutra, conforme o pao a eguir: Define-e o valor de x/d neceário e com ele calcula-e o valor limite de k c para armadura imple (limite entre o domínio 3 e 4) e o valore de k, k e k. kclim = (Equação 5) x x 0,68 fcd - 0,4 d d k = x (Equação 6) - 0,4 fyd d Anai do 47º Congreo Braileiro do Concreto - CBC005. 005 IBRACON. XII.77

k = (Equação 7) f yd k' = (Equação 8) σ' Conidera-e a armadura tracionada com tenão de ecoamento f yd, porém a armadura comprimida pode ter uma tenão (σ ) menor que a de ecoamento. ( ε' E ) fyd σ' fyd ( ε' E ) < fyd σ' ε' E Se = Se = O valor da deformação da armadura comprimida, ε, depende do domínio em que e encontra a eção. Para que haja a poibilidade de reditribuição, o domínio deve er o ou o 3, até certo valor de x/d. Se 0 x x d d ε' x d' 0,00 d d = x d,3 x Se d,3 x x d d 3,4 ε' x d' 0,0035 d d = x d Calculam-e então a parcela do momento olicitante M d, denominada M e M, cuja oma erá reitida pela armadura tracionada, com tenão de ecoamento, enquanto a armadura comprimida reite à parcela M, com tenão σ : inf b d M = (Equação 9) k clim M Md M = (Equação 0) A armadura tracionada e comprimida ão, então, dada repectivamente pela equaçõe e. k M k M = + (Equação ) d d d' A 3. Análie linear - eção retangular k' M A' = (Equação ) d d' Para análie linear, o diagrama de eforço de cálculo ão indicado na Figura 5 e na Figura 6. Anai do 47º Congreo Braileiro do Concreto - CBC005. 005 IBRACON. XII.78

454,93 87,5cm 4 5 3 55,88 5cm 55,88 Figura 5 - Momento fletore de cálculo para a análie linear (kn.m) a) Flexão Figura 6 - Eforço cortante de cálculo para a análie linear (kn) Realta-e a importância de, no cálculo da armadura de flexão da eção, limitar o valor de x/d a no máximo 0,500, como precreve a NBR 68:003, para apoio. M d = 454,93kN.m; x/d = 0,500; A = 6,90cm (6 φ 5); A = 0,84cm² (4 φ 0); M 4d = M 5d = 55,88kN.m; x/d = 0,497; A = 5,97cm (4 φ 5). b) Cialhamento Trecho de 83cm: V Sd,min = 34,66 kn a w / =,8cm²/m φ 6,3 c/ 4 Trecho de 95cm: V Sd = 4,90 kn a w / = 3,79cm²/m φ 6,3 c/ 8 Trecho de 444cm: V Sd = 385,04 kn a w / = 8,4cm²/m φ 0 c/ 9 c) Etado limite de erviço ELS-F (combinação rara): Na eção tem-e um momento de 3495 kn.cm, maior, portanto, que o momento de fiuração M r = 805 kn.cm, calculado com o f ctk,inf. Portanto, há a formação de fiura. ELS-DEF (combinação quae-permanente): A flecha final, calculada com a inércia equivalente de Branon e a conideração implificada da fluência, é a t =,75cm (< L/50 =,00cm). ELS-W (combinação freqüente): Na eção tem-e uma abertura de fiura w = 0,8mm (< w lim = 0,40mm). Anai do 47º Congreo Braileiro do Concreto - CBC005. 005 IBRACON. XII.79

3. Análie linear - eção T A definição da eção T (ver item 4.6.. da NBR 68:003) é feita para o tramo da viga que fornece a menor largura colaborante. No cao da viga V, pode er qualquer um do doi tramo, já que ão imétrico. O diagrama de eforço olicitante ão o memo apreentado para a eção retangular, na Figura 5 e na Figura 6. Portanto, a ditância a entre o ponto de momento nulo, em um do tramo da viga, é igual a 3,75m. A largura colaborante b f é dada pela Equação 3. b = b + (0,0 a) = 5 + (0,0. 375) 00cm (Equação 3) f w = Conidera-e a viga V (igual à viga V3) ervindo de apoio à viga V, e com momento em amba a extremidade, por etar apoiada em pilare. Portanto, ela pode ter a ua ditância a etimada por 0,60, ou eja, 600cm. Sua largura colaborante é calculada na Equação 4. b = b + (0,0 a) = 5 + (0,0. 600) 85cm (Equação 4) f w = Com a largura colaborante da viga V, podem er realizada a demai verificaçõe relativa à geometria, exigida pela Norma, para a viga V, indicada na Figura 7 e na equaçõe 5 e 6. bv = 60cm bv = 37,5cm V ( b V 0, 60m) b = 475cm V Figura 7 - Verificaçõe exigida pela NBR 68:003 = < (b / =,375m) ok (Equação 5) ( b V 0, 375m) = < (b / =,375m) ok (Equação 6) Dea maneira, tem-e a eção T da Figura 8, que e fará notar, para análie linear, no cálculo da armadura poitiva no vão, com maior área de contribuição de concreto comprimido, e na verificação do ELS-DEF, com a contribuição de maior inércia à flexão. 50cm 00cm cm 5cm Figura 8 - Seção T da viga V com largura colaborante da laje No dimenionamento da eçõe 4 e 5 tem-e: M d = 55,88kN.m; x/d = 0,04; A = 3,35cm (5 φ 0) Anai do 47º Congreo Braileiro do Concreto - CBC005. 005 IBRACON. XII.80

Nea eçõe, a linha neutra paa pela mea da eção. Portanto, pode-e coniderar, no cálculo, uma eção retangular de 00cm x 50cm. No cálculo da armadura de flexão da eção e da armadura tranveral, tem-e a eção retangular de 5cm x 50cm. Portanto, o reultado ão o memo da análie linear com eção retangular. Conidera-e ainda, nete exemplo, que a armadura de flexão da laje vizinha à viga V, que corta a mea, é uficiente para atender à epecificaçõe de armadura de ligação mea-alma, do item 8.3.7 da NBR 68:003. Ea armadura de ligação deve ter no mínimo,5cm²/m. 3.3 Análie linear com reditribuição - eção T Como e pode ver no diagrama de momento fletore da Figura 5, o momento de apoio da eção é bem maior que o momento máximo no vão. Além dio, há o interee em e aproveitar ao máximo a eção T, e por io erá utilizada a máxima reditribuição permitida pela análie linear com reditribuição, para etrutura de nó fixo, ou eja, δ igual a 0,75. Para tal, o valor de x/d neceário é dado pela equaçõe 7 e 8. δ 0,44 +,5 (x/d) (Equação 7) x/d = (0,75-0,44) /,5 = 0,50 (Equação 8) Na Figura 9 tem-e o diagrama de momento reditribuído, com o momento negativo reduzido e o momento poitivo corrigido por meio da análie do tramo iolado. O eforço cortante também ão modificado, com a reditribuição de momento. A ditância a entre ponto de momento nulo no tramo, para o cálculo da largura b f da eção T, muda com a reditribuição. Porém, pode-e manter o valor previamente calculado de b f = 00cm (a favor da egurança). 454,93 0,75 x 454,93 = 34,0 03cm 94cm 3 55,88 300,9 Figura 9 Momento fletore de cálculo para a análie linear com reditribuição (kn.m) 47,6 36,3 Vd,mín 3 36,3 47,6 0,5cm 85cm 409cm 85cm 0,5cm Figura 0 - Eforço cortante de cálculo para a análie linear com reditribuição (kn) Anai do 47º Congreo Braileiro do Concreto - CBC005. 005 IBRACON. XII.8

a) Seção (5x50) M d = 34,0kN.m; x/d = 0,50; A = 8,80cm (4 φ 5); A = 0,77cm² (4 φ 0) b) Seção 4 = Seção 5 (00x50) M d = 300,9kN.m; x/d = 0,3 (linha neutra na mea); A = 5,79cm (4 φ 5) Lembra-e, aqui, que o etado limite de erviço foram verificado com a combinaçõe rara (ELS-F), quae-permanente (ELS-DEF) e freqüente (ELS-W), em reditribuição (ver Tabela 4). 3.4 Análie plática - eção T A análie plática pode er aplicada como uma análie linear com reditribuição, apena com uma modificação no tipo de verificação a er feita com o valor de x/d, e tendo o cuidado de conhecer em quai eçõe formam-e a rótula plática. Na viga em quetão, erá reduzido o momento do apoio da eção, onde paa a er neceária a verificação da capacidade de rotação. Uma vez reduzido o valor de M, tem-e o valor de M p, que erá atingido com a formação da primeira rótula, e permanecerá contante até a formação da egunda rótula. M p = δm (Equação 9) Para a viga em quetão, em que L = 5m e p d é o valor de cálculo do carregamento (45,57kN/m), a ação ditribuída reponável pela formação da primeira rótula, e o eu acrécimo, reponável pela formação da egunda rótula, ão dado pela equaçõe 0 e, repectivamente. 8 Mp p r = (Equação 0) L p r = p d p r (Equação ) Iolando um do tramo, aplica-e o carregamento total p d (p r + p r ) ao longo da barra e o momento M p junto ao apoio, para obter o eguinte momento plático para a eçõe 4 e 5, quando e formam a egunda rótula plática: p M 4p M5p = + p p L M M = (Equação ) 8 p L A rotação neceária do apoio da eção, para a formação do mecanimo de colapo, é calculada com o acrécimo de carregamento p r, poi ela é a diferença entre a rotação total no colapo e rotação quando tem início a platificação. Devido à primeira rótula plática, conideram-e o doi tramo biapoiado e calcula-e a rotação à equerda e à direita da eção. Para açõe uniformemente ditribuída, tem-e: 3 p r L θ = + = p θ pe θ pd (Equação 3) 4 EI Anai do 47º Congreo Braileiro do Concreto - CBC005. 005 IBRACON. XII.8

Coniderou-e o produto de inércia EI no etádio II, uma vez que na iminência da platificação a eção encontra-e fiurada. Ea medida etá a favor da egurança, uma vez que a inércia eria melhor repreentada com a conideração da contribuição do concreto entre fiura, de acordo com BUCHAIM (00) por exemplo. Portanto, EI depende da armadura calculada para a eção. Já a armadura depende do valor fixado de x/d e do valor de M p. A capacidade de rotação, θ p, depende também do valor de x/d e da ditância a entre ponto de momento nulo, da região que contém a eção. Deve-e tomar cuidado para não confundi-la com a ditância a entre ponto de momento nulo no tramo, utilizada no cálculo da largura b f da eção T, que erá mantida igual a 00cm. A altura útil da eção erá mantida igual a 46cm. 4 Mp a = (Equação 4) p L ( a / d) d θ p = 0,0035 (Equação 5) x 6 A Tabela traz combinaçõe de reultado para valore pré-fixado de x/d, a partir do quai e procura o mínimo valor poível de δ (maior reditribuição poível), em que θ p ultrapae θ p. O valor de x/d igual a 0,50, para o aço CA-50, é o que garante a maior capacidade de rotação plática, de acordo com a Figura. No entanto, pode não er o mai econômico. Tabela - Combinaçõe de valore de x/d e δ x/d - Seção 0,50 0,70 0,90 0,0 0,30 0,50 0,70 0,90 0,30 0,330 0,350 δ 0,56 0,60 0,63 0,65 0,67 0,69 0,7 0,7 0,73 0,74 0,75 p r (kn/m) 8,5 87,34 9,7 94,6 97,53 00,44 03,35 04,8 06,7 07,7 09,8 p r (kn/m) 64,05 58,3 53,86 50,95 48,04 45,3 4, 40,76 39,30 37,85 36,39 M p (kn.m) -54,75-7,94-86,59-95,69-304,79-33,89-3,98-37,53-33,08-336,63-34,8 A (cm²) - Seção 3,8 4,83 5,6 6,7 6,73 7,30 7,89 8,3 8,59 8,96 9,34 A' (cm²) - Seção 5,0 9,40 5,49,53 0,4 9,7 9, 8,9 8,63 8,36 8,0 M 4p (kn.m) 336,45 38,67 3,90 39,07 35,8 3,50 307,75 305,88 304,0 30,6 300,3 A (cm²) - Seção 4 7,8 7,37 7,05 6,84 6,6 6,4 6, 6,0 6,00 5,89 5,79 Soma da área de armadura (cm²) 56,7 5,60 48,6 45,54 43,76 4,98 43,3 43,5 43, 43, 43, a (m),40,50,58,63,68,73,78,80,83,85,88 θ p (x0-3 rad) 6,60 4,65 3,3,50,67 0,79 9,86 9,4 8,97 8,54 8, θ p (x0-3 rad) 6,6 5,8 3,9,79,85,07 0,40 9,75 9,8 8,68 8,4 3.5 Conumo de aço O conumo de aço, obtido para o divero tipo de análie aqui coniderado, encontrae indicado na Tabela 3, onde e têm também a diferença em relação ao conumo relativo a eção retangular e análie linear. Anai do 47º Congreo Braileiro do Concreto - CBC005. 005 IBRACON. XII.83

Tipo de análie Tabela 3 - Conumo de aço Seção tranveral Conumo (kg) Diferença em relação à análie linear com eção retangular (%) Análie linear Retangular 78, 0 Análie linear T 59,7-6,7 Análie linear com reditribuição (δ = 0,75) T 4,5-3, Análie plática (δ = 0,69) T 4,9 -,7 Análie plática (δ = 0,75) T 37,0-4,8 4 Concluõe Vê-e que, para etrutura imple como a do exemplo ora indicado, a análie linear com reditribuição e plática têm fácil aplicação. No cao de e utilizarem modelo etruturai como pórtico plano ou epaciai, ão neceário programa computacionai. De acordo com FONTES (005), a reditribuição realizada em viga de eção retangular pode apreentar uma irriória economia de armadura, retando como vantagem apena a poibilidade de melhorar a ditribuição da armadura, evitando aim o acúmulo de barra em uma mema eção. Já a utilização conjunta da eção T com uma análie que permita a reditribuição de momento, eja a análie linear com reditribuição, eja a análie plática, trouxe uma economia coniderável ( a 5%), em relação à análie linear com eção retangular. Somente a utilização da eção T junto à análie linear já traz uma certa economia, próxima de 7%. Por meio da Tabela, vê-e que a menor área de armadura é dada para x/d = 0,5 e δ = 0,69. No entanto, apear da pequena diferença, a análie plática com δ = 0,75 apreentou um menor conumo de armadura, poi exige uma menor área de armadura no vão, que, devido à neceidade de ua ancoragem no apoio, acaba por ter maior comprimento e influencia o conumo total de aço de maneira mai inciiva. Alerta-e, portanto, para a neceidade de etudar, cao a cao, qual par de valore de x/d e de δ fornece o menor conumo de armadura. A análie linear com reditribuição permite menore reditribuiçõe do que a análie plática, porém ua utilização é mai imple. Com a reditribuição, a flecha paam a er menore (ver Tabela 4), poi continuam endo verificada com o eforço da combinação quae-permanente, e a armadura no vão aumenta com a tranferência de momento. Por outro lado, a importância da verificação da abertura de fiura no apoio paa a er maior, já que é verificada ainda com a combinação freqüente, e nee ponto a armadura diminui. Tabela 4 - Flecha e abertura de fiura (diferença em relação à análie linear e eção retangular) Tipo de análie Seção tranveral Flecha na eção 4 ou 5 (cm) Diferença (%) Abertura de fiura na eção (mm) Diferença (%) Análie linear Retangular,66 0 0,8 0 Análie linear T,43-3,9 0,8 0 Análie linear com reditribuição (δ = 0,75) T,4-5,3 0,4 33,3 Análie plática (δ = 0,69) T,0-7,7 0,6 44,4 Análie plática (δ = 0,75) T,4-5,3 0,3 7,8 5 Agradecimento Ao CNPq, pela bola de metrado e de pequiador. Anai do 47º Congreo Braileiro do Concreto - CBC005. 005 IBRACON. XII.84

6 Referência ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 68:003. Projeto de etrutura de concreto Procedimento. Rio de Janeiro. BUCHAIM R. (00). A influência da não-linearidade fíica do concreto armado na rigidez à flexão e na capacidade de rotação plática. Tee (Doutorado). São Paulo, Ecola Politécnica da Univeridade de São Paulo, Univeridade de São Paulo. FONTES F.F. (005). Análie etrutural de elemento lineare egundo a NBR 68:003. Diertação (Metrado). São Carlo, Ecola de Engenharia de São Carlo, Univeridade de São Paulo. LEONHARDT, F.; MÖNNIG, E. (979). Contruçõe de concreto, volume 4: verificação da capacidade de utilização. Rio de Janeiro, Interciência. MORETTO, O. (970). Curo de hormigón armado..ed. Bueno Aire, Libreria EL ATENEO. PARK, R.; PAULAY, T. (975). Reinforced concrete tructure. New York, John Wiley & Son. PRADO, J.F.M.A.; GIONGO, J.S. (997). Reditribuição de momento fletore em viga de edifício. In: Jornada Sul-Americana de Engenharia Etrutural, 8, São Carlo, -5 et. Anai. p. 555-564. Anai do 47º Congreo Braileiro do Concreto - CBC005. 005 IBRACON. XII.85