Uma nova abordagem para o calculo do Capital Regulatório Operacional via Cópula de Frank Débora Delbem 1 Guaraci Requena 2 Carlos Diniz 3 Resumo O Risco Operacional foi mencionado pela primeira vez na década de 1990, com a falência de um grande banco Londrino. Com isso, o Comitê da Basileia criou modalidades onde as instituições financeiras pudessem se proteger de tal risco. Atualmente, os bancos guardam um capital, o qual é chamado Capital Regulatório, para gastos que envolvam esse tipo de risco. O presente trabalho tem por objetivo apresentar uma proposta de uma nova metodologia de cálculo desde capital dentro do Modelo de Distribuição de Perdas (LDA), via cópula Arquimediana de Frank. 1 Introdução Em setembro de 2001, o Comitê de Basileia definiu o Risco Operacional como sendo: O risco de perdas resultantes de processos internos falhos ou inadequados, pessoas e sistemas, ou de eventos externos. Fraudes externas e internas, roubos, falhas em sistemas computacionais, são exemplos de Risco Operacional. Atualmente, as instituições financeiras guardam um capital, o qual é chamado de Capital Regulatório, para gastos que envolvam o Risco Operacional. A forma de como é calculado este capital foi definida pelo Comitê da Basileia. Para o cálculo deste capital é considerado que cada par, linha de negócio/tipo de perda, sejam perfeitamente correlacionados, tornando a instituição financeira conservadora. Neste caso, utiliza-se o método do somatório para obter o Capital Regulatório, o qual é superestimado. Neste trabalho, utilizamos a cópula de Frank para captar vários tipos de dependência, variando seu coeficiente, e comparar os valores dos capitais obtidos em cada caso. 1 Departamento de Estatística - UFSCar e-mail: deboradelbemg@hotmail.com 2 Departamento de Estatística - UFSCar. 3 Departamento de Estatística - UFSCar. 1
2 Material e Métodos 2.1 Modelo de Distribuição de Perdas Agregadas - LDA O Modelo de Distribuição de Perdas Agregadas - LDA é a modalidade mais sensível ao risco, pois dados internos são usados para calibrar o processo tornando essa métrica mais ligada ao risco real de cada banco. O LDA baseia-se em modelos preditivos para a distribuição de probabilidade da severidade (valor monetário da perda dado o evento) e da frequência (número de vezes que o evento de perda ocorreu), um ano à frente, para cada unidade de negócio - par linha de negócio/tipo de perda. O modelo LDA é obtido, compondo-se essas duas distribuições de probabilidade. 2.2 Capital Regulatório Atualmente, o cálculo do Capital Regulatório, considerando o par linha de negócio/tipo de perda, é feito da seguinte maneira: CapReg = OPVar E(L), sendo OPVar = F 1 (0.999), em que F é a função de distribuição acumulada da variável perda agregada L e E(L) é a esperança de L. 2.3 Cópulas Arquimedianas Definição 2.1 (Função pseudo-inversa) Seja ϕ : I [0, ] uma função contínua e estritamente decrescente tal que ϕ(1) = 0. A pseudo-inversa de ϕ é a função ϕ [ 1] : [0, ] I dada por: ϕ [ 1] ϕ 1, se 0 t ϕ(0) (t) = 0, se ϕ(0) t Note que ϕ [ 1] é contínua e não crescente em [0, ] e estritamente decrescente em [0,ϕ(0)]. Além disso, ϕ [ 1] (ϕ(u)) = u, u I. e ϕ(ϕ [ 1] (t)) = t, se 0 t ϕ(0) ϕ(0), se ϕ(0) t Finalmente, se ϕ(0) =, então ϕ [ 1] = ϕ 1. 2
Teorema 2.1 Seja ϕ uma função contínua e estritamente decrescente de [0,1] para [0, ] tal que ϕ(1) = 0, e seja ϕ [ 1] a função pseudo-inversa de ϕ. Seja C uma função de [0,1] 2 para [0,1] dada por: Então C é uma cópula se e somente se ϕ é convexa. C(u,v) = ϕ [ 1] (ϕ(u) + ϕ(v)) (1) Definição 2.2 (Cópula Arquimediana) Uma cópula é chamada Arquimediana se pode ser escrita da forma??. A função ϕ é denominada função gerador. Definição 2.3 (Cópula de Frank) A Cópula de Frank é dada por: C θ (u,v) = 1 θ ln(1 + (e θu 1)(e θv 1) e θ ),θ (,+ ) \ 0}. 1 O gerador da cópula é definido por: Propriedades: ϕ θ (t) = ln e θt 1 e θ 1. 1 C = W(u,v) = max(u + v 1), que é chamada de Limite inferior de Fréchet; 3 C = M(u,v) = min(u,v), que é chamada de Limite superior de Fréchet. 2.4 Metodologia Proposta Neste método devemos determinar a probabilidade das perdas inesperadas, OPVar E(L), de duas classes de risco ocorrerem conjuntamente. Sabemos que a probabilidade máxima ocorre quando obtemos o Limite Superior de Fréchet - LSF (no caso da cópula de Frank, obtemos este limite quando θ ). Por definição, a probabilidade das perdas inesperadas marginais ocorrerem conjuntamente é dada por: P(EL 1 L 1 OPL 1 ;EL 2 L 2 OPL 2 ) = H C (OPL 1,OPL 2 ) H C (EL 1,OPL 2 ) H C (OPL 1,EL 2 ) + H C (EL 1,EL 2 ), em que H C é a distribuição conjunta de L 1 e L 2 através da cópula C. Vale ressaltar que quanto maior for essa probabilidade maior será o capital a ser alocado. Ou seja, atualmente considera-se a probabilidade máxima, alocando-se então um capital superestimado. Existe uma relação linear entre a probabilidade de ocorrência das perdas inesperadas marginais conjuntamente e o Capital Regulatório. Esta relação é expressa por: 3
PRC = a q + b, em que PRC é o Capital Regulatório Proposto, q é a probabilidade de ocorrência do evento, a e b são os coeficientes da reta. Quando θ, obtemos q = 0, pois temos dependência perfeitamente negativa, sendo impossível ocorrer os dois eventos simultaneamente. Assim, o capital a ser alocado será o máximo entre os capitais marginais. Além disso, quando q assumir a probabilidade máxima (correlação perfeita), obtemos q = p max, então: Resolvendo o seguinte sistema: Assim, a relação será expressa por: PRC = CR SUM = a p max + b. max(crl 1,CRL 2 ) = a 0 + b CR SUM = a p max + b PRC = CR SUM max(crl 1,CRL 2 ) p max q + max(crl 1,CRL 2 ). (2) 3 Resultados e Discussões Nesta simulação foram utilizadas distribuições teóricas com parâmetros fixados. Consideremos duas distribuições de perdas, L 1 Gama(1,2) e L 2 Pareto(1,2.5). A distribuição conjunta é construída via cópula de Frank usando vários valores para θ. Neste caso, a relação 2 é: PRC = 26.03307 q + 14.18227 Na tabela?? apresentamos o valor do Capital Regulatório Proposto (PRC) para diferentes valores de θ. Tabela 1: Capital Regulatório Proposto variando θ θ 20 5 1 0 1 5 20 PRC 14.18227 14.18464 14.84468 16.50241 17.11184 17.73803 19.72115 21.2921 21.4156 Na figura??, podemos ver o comportamento exato do método proposto. 4
Figura 1: θ x PRC 4 Conclusões Estudos sobre o Risco Operacional vem crescendo a cada dia, para que instituições financeiras possam se proteger, evitando prejuízos. A criação de novas metodologias para que o cálculo do Capital Regulatório seja minimizado vem sendo alvo de estudo de muitos profissionais. O método apresentado neste trabalho comprova o quanto as instituições financeiras são conservadoras em relação ao calculo do Capital Regulatório. Neste estudo, podemos ver que quando consideramos correlações perfeitas (ou correlação máxima) o capital a ser alocado é o maior, além disso, ao considerarmos correlações não-perfeitas, vemos que o capital a ser alocado é menor. Na figura 2(a), podemos ver o comportamento da Cópula de Frank aplicada a este tipo de problema. Para valores de θ temos um capital estacionado, já quando θ 0 o capital cresce rapidamente e para θ aumenta lentamente. Podemos ver também que quando obtemos a correlação perfeita o capital é igual ao obtido pelo método do somatório. Na prática obtém-se valores menores para θ, neste caso o comportamento é mostrado na figura 2(b). Referências [1] NELSEN, R. An Introduction to Copulas. Lecture Notes in Statistics 139. New York, USA: Springer-Verlag, 1999. [2] FRANCHOT A., GEORGES P., RONCALLI T. Loss Distribution Approach for operational risk Groupe de Recherche Opérationnelle, Crédit Lyonnais, France, 2001. [3] CRUZ M. Modeling, Measuring and Heding Operational Risk. Londres, John Wiley & Sons, Ltd, 2002. 5