NÚMEROS ALGÉBRICOS E TRANSCENDENTES

Luis Eduardo Fritsch NÚMEROS ALGÉBRICOS E TRANSCENDENTES Florianópolis 2018

Luis Eduardo Fritsch NÚMEROS ALGÉBRICOS E TRANSCENDENTES Artigo científico desenvolvido para apresentação na disciplina de Introdução à Teoria de Galois (MTM5263) do curso de Bacharelado em Matemática da Universidade Federal de Santa Catarina, sob orientação do Prof. Dr. Eliezer Batista. Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciências Físicas e Matemática Departamento de Matemática Bacharelado em Matemática Introdução à Teoria de Galois Orientador: Dr. Eliezer Batista Florianópolis 2018

Sumário 1 INTRODUÇÃO............................. 3 2 RESULTADOS SOBRE O ANEL DE POLINÔMIOS......... 4 2.1 O Anel de Polinômios........................... 4 2.2 Irredutibilidade no Anel de Polinômios................. 5 3 EXTENSÕES DE CORPOS, NÚMEROS ALGÉBRICOS E TRANS- CENDENTES.............................. 9 3.1 Extensões de Corpos............................ 9 3.2 A Extensão Q C............................. 10

3 1 Introdução Neste artigo, trabalharemos um pouco as noções de números algébricos e transcendentes. Verificaremos alguns resultados e tentaremos estabelecer relações importantes entre ambos. No Capítulo 1, relembraremos algumas definições e proposições de Álgebra Elementar a respeito dos Anéis de Polinômios. Essa parte basilar é que possibilitará a construção da nossa teoria posterior. No Capítulo 2, introduziremos o conceito de extensão de um corpo e do que são números algébricos ou transcendentes. Também obteremos as principais propriedades deles pertinentes ao escopo deste trabalho. No Capítulo 3, enfim, perceberemos algumas relações fundamentais entre os números algébricos e transcendentes. Para a leitura desse artigo, supõe-se certa familiaridade do leitor para com a Teoria Básica de Anéis, Domínios e Corpos, bem como de suas propriedades particulares.

4 2 Resultados sobre o Anel de Polinômios 2.1 O Anel de Polinômios Nessa primeira parte, relembraremos a estrutura do Anel de Polinômios e algumas de suas propriedades. Como trata-se de um trabalho dirigido, caracterizaremos certos conceitos já particularmente em D[x]. Definição 2.1.1. Seja A um anel. Definimos A[x] como o conjunto formado por todos os polinômios f(x) tais que seus coeficientes estão em A, ou seja, A[x] = {f(x) : f(x) = a 0 + a 1 x 1 + + a n 1 x n 1 + a n x n, n N, a i A, i {1, 2,.., n}} Proposição 2.1.1. Sejam p(x) = a 0 +a 1 x 1 +a 2 x 2 +..., q(x) = b 0 +b 1 x 1 +b 2 x 2 + A[x]. Definidas as operações: p(x) + q(x) = (a 0 + b 0 ) + (a 1 + b 1 )x 1 + (a 2 + b 2 )x 2 + A[x] p(x) q(x) = c 0 + c 1 x 1 + c 2 x 2 + A[x], c k = a i b j = a 0 b k + a 1 b k 1 + + a k b 0 Daremos como sabidas as seguintes propriedades: i+j=k 1. A[x] é anel. 2. Se D é domínio, então D[x] é domínio. Demonstração. Supõe-se de conhecimento do leitor. Observação 2.1.1. Nessas condições, A[x] é conhecido como o Anel de Polinômios na indeterminada x, com coeficientes em A. Observação 2.1.2. O Anel de Polinômios com coeficientes em D denotará sempre um domínio, a menos que explicitamente diga-se o contrário. Observação 2.1.3. Denotaremos por U(D) o conjunto dos elementos inversíveis de D e por f(x), o grau do polinômio f(x). Verificaremos, em seguida, uma relação importante entre os elementos inversíveis de D e D[x]. Proposição 2.1.2. Seja D um domínio de integridade. Então, temos que U(D) = U(D[x]).

Capítulo 2. Resultados sobre o Anel de Polinômios 5 Demonstração. ( ) Pela identificação dos elementos de D com os polinômios constantes em D[x], segue que D D[x] e, por consequência, U(D) U(D[x]). ( ) Seja f(x) U(D[x]). Logo, existe g(x) (D[x]) tal que f(x)g(x) = 1. Como D é domínio, D[x] também o é. Daí, temos que g(x) 0 e f(x) 0. Como estamos trabalhando num domínio, vale que 0 = (1) = (f(x)g(x)) = (g(x)) + (f(x)). Do que se segue: (f(x)) = (g(x)) = 0, ou seja, f(x) = a e g(x) = b, para alguns a, b D = f(x)g(x) = ab = 1. Portanto, f(x) U(D). 2.2 Irredutibilidade no Anel de Polinômios Como uma particularidade da definição de elemento irredutível num domínio qualquer, daremos aqui a noção da irredutibilidade e redutibilidade em D[x]. Definição 2.2.1. Seja D um domínio. Dizemos que p(x) D[x] é irredutível em D[x] (ou irredutível sobre D) se: 1. p(x) não é o polinômio nulo. 2. p(x) U(D[x]) (p(x) não é inversível). 3. Se p(x) = f(x)g(x), com f(x) D[x] e g(x) D[x], então f(x) U(D[x]) ou g(x) U(D[x]) (f(x) é inversível ou g(x) é inversível). Observação 2.2.1. Pela Proposição 2.1.2, podemos reescrever as duas últimas condições da definição anterior como: p(x) U(D) e Se p(x) = f(x)g(x), então f(x) U(D) ou g(x) U(D). Definição 2.2.2. Seja D um domínio. Dizemos que p(x) D[x] é redutível em D[x] (ou redutível sobre D) se: 1. p(x) não é o polinômio nulo. 2. p(x) U(D[x]) (p(x) não é inversível). 3. Existem f(x) e g(x) não inversíveis em D[x] tais que p(x) = f(x)g(x). Observação 2.2.2. Note que, pelo já exposto, dado um polinômio, se não for nulo ou inversível, então é redutível ou irredutível. Deste modo, tais polinômios podem ser classificados de acordo com uma, e somente uma, das definições acima. Observação 2.2.3. Se supormos que D possui a estrutura de corpo, notaremos que os polinômios constantes (p(x) = c) não são irredutíveis nem redutíveis, pois, todo elemento de D = D {0} é inversível.

Capítulo 2. Resultados sobre o Anel de Polinômios 6 Vale lembrar que nem sempre é fácil verificar se um polinômio é irredutível ou não. Porém, de acordo com o seu grau, temos alguns resultados interessantes sobre sua irredutibilidade. Proposição 2.2.1. Sejam K corpo e p(x) K[x]. Se p(x) = 1, então p(x) é irredutível. Demonstração. Suponhamos p(x) = f(x)g(x). Como K é domínio, temos que (f(x)g(x)) = g(x) + f(x) = 1. Disso, segue que g(x) = 0 ou f(x) = 0. Logo, f(x) é um polinômio constante ou g(x) o é. Como K também é corpo, todo elemento não-nulo é inversível e, portanto, segue que p(x) é irredutível. Observação 2.2.4. Note que, se p(x) > 1 e p(x) D[x] possuir uma raiz em D, digamos α, então ele pode ser decomposto como p(x) = (x α)g(x). Logo, g(x) 1, pois, (x α) = 1. Assim, segue que o polinômio p(x) não é irredutível, pois, pode ser decomposto como produto de dois polinômios não inversíveis. Entretanto, como veremos a seguir, também temos certas condições para determinar os casos de irredutibilidade nos polinômios p(x) com p(x) = 2 ou p(x) = 3. Proposição 2.2.2. Sejam K corpo, p(x) K[x] um polinômio que não tenha raízes em K e tal que p(x) = 2 ou p(x) = 3. Então, p(x) é irredutível. Demonstração. Em ambos os casos, suponha, por absurdo, p(x) redutível. Se p(x) = 2, pela nossa suposição, podemos decompor p(x) = f(x)g(x), polinômios não-constantes. Segue que f(x) = g(x) = 1. Logo, f(x) = ax + b e g(x) = cx + d, para alguns a, b, c, d K. Mas, se assim o for, temos que ba 1 é raiz de f(x) e cd 1 é raiz de g(x). Absurdo, pois, por hipótese, p(x) não possui raízes. Se p(x) = 3, podemos decompor p(x) = f(x)g(x). Sem perda de generalidade, suponha f(x) = 2 e g(x) = 1. Novamente aqui, pelo que vimos no caso anterior, teremos uma raiz em g(x). Logo, chegamos também numa raiz de p(x). Absurdo, do qual segue o resultado. Para os próximos resultados, precisaremos de mais algumas definições acerca de polinômios. Em seguida, a demonstração do Lema de Gauss, dada a importância que ele tem para este trabalho. Definição 2.2.3. Um polinômio p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a n x n, com coeficientes em um domínio D e a n = 1, é chamado de mônico.

Capítulo 2. Resultados sobre o Anel de Polinômios 7 Definição 2.2.4. Dizemos que o polinômio p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a n x n Z[x] é primitivo quando o mdc(a 0, a 1,..., a n, ) = 1. Proposição 2.2.3 (Lema de Gauss). O produto entre dois polinômios primitivos é um polinômio primitivo. Demonstração. Suponha, por absurdo, que existam dois polinômios primitivos f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n e g(x) = b 0 + b 1 x + + b m x m tais que f(x)g(x) = c 0 + c 1 x + + c n+m x n+m não seja primitivo. Deste modo, existe um número primo p tal que p c i, i {0, 1, 2,..., n + m}. Agora, considere o morfismo: ϕ : Z[x] Z p [x] n a i x i i=0 n a i x i i=0 Note que, por ser morfismo e p ser divisor de todos os coeficientes, ϕ(f(x)g(x)) = ϕ(f(x))ϕ(g(x)) = 0. Disso, como Z p [x] é um domínio, temos que ϕ(f(x)) = p = 0 ou ϕ(g(x)) = p = 0. Sem perda de generalidade, consideremos ϕ(f(x)) = 0. Logo, f(x) quando visto, via morfismo, como polinômio em Z p [x], é o polinômio identicamente nulo. Mas, disso decorre que, ao ver p(x) em Z[x], todos os seus coeficientes são múltiplos de p. Absurdo, pois, f(x) é primitivo. Portanto, segue o resultado. Dado isso, já somos capazes de provar um teorema crucial sobre irredutibilidade: Teorema 2.2.1. Seja p(x) Z[x] um polinômio irredutível sobre Z, com p(x) 1. Então, p(x) é irredutível sobre Q. Demonstração. Suponha, por absurdo, que p(x) seja redutível sobre Q. Logo, p(x) = f(x)g(x), f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n e g(x) = c 0 + c 2 x + c 2 x 2 + + c m x m, b 0 b 1 b 2 b n d 0 d 1 d 2 d m onde f(x) 1 e g(x) 1. Seja α = mmc(b 0, b 1, b 2,..., b n ) e β = mmc(d 0, d 1, d 2,..., d n ). Deste modo, αf(x) e βg(x) são primitivos, do que decorre, pelo Lema de Gauss, αf(x)βg(x) = αβf(x)g(x) = αβp(x) também o é. Porém, como f(x), g(x) Z[x], os únicos casos possíveis disso ocorrer são α = ±1 e β = ±1. Assim, p(x) Z[x], mas, por hipótese, p(x) é irredutível sobre Z. Absurdo. Portanto, p(x) é irredutível sobre Q.

Capítulo 2. Resultados sobre o Anel de Polinômios 8 não. Mas, e a recíproca desse teorema? É válida? Como veremos abaixo, em geral, Exemplo 2.2.1. Note que o polinômio 2x + 2 é irredutível em Q[x] mas não é irredutível em Z[x]. De fato, podemos fatorá-lo da seguinte forma: 2x + 2 = 2(x + 1). Embora seja inversível em Q, 2 não o é em Z. Agora, respeitando certas condições, poderemos chegar perto disso. Teorema 2.2.2. Seja p(x) Z[x] um polinômio irredutível e primitivo sobre Z, p(x) 1. Então, p(x) é irredutível sobre Z, se e só se, é irredutível sobre Q. Demonstração. O Teorema 2.2.1 nos garante que, se o polinômio for irredutível sobre Z, então também o é sobre Q. Por outro lado, suponha que p(x) seja irredutível em Q. Decompondo p(x) = f(x)g(x), com f(x), g(x) Z[x] (também podem ser vistos como elementos em Q[x]), temos que f(x) ou g(x) são inversíveis, ou seja, um dos dois é um polinômio constante. Sem perda de generalidade, assuma f(x) = α, α Z. Então, p(x) = αg(x) e, assim, α divide todos os coeficientes de p(x). Mas, p(x) é primitivo, ou seja, α = ±1. Desse modo, f(x) = ±1 é inversível em Z[x]. Logo, p(x) é irredutível sobre Z. Mas, e se p(x) Z[x] for um polinômio qualquer? Como uma resposta para isso, segue o próximo critério. Teorema 2.2.3 (Critério de Eisenstein). Seja p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n Z[x], p(x) = n 1. Se existe um número primo p tal que: p a i, i {0, 1, 2,..., n 1}; p a n ; p 2 a 0. Então, p(x) é irredutível em Q[x]. Demonstração. Suponha, por absurdo, que p(x) seja redutível sobre Q. Assim, uma decomposição possível é: p(x) = f(x)g(x) = (b 0 + b 1 x + b 2 x 2 + + b j x j )(c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + + c k x k ), com b j, c k 0, f(x), g(x) 1 e p(x) = j + k = n. Note que o termo livre da indeterminada x é dado por a 0 = b 0 c 0. Como p 2 a 0, p não pode dividir b 0 e c 0, simultaneamente. Porém, como p a 0 = b 0 c 0, sem perda de generalidade, suponha que p c 0.

Capítulo 2. Resultados sobre o Anel de Polinômios 9 Seja m o menor valor de l para o qual p c l. Logo, m 1 e a m = b 0 c m + b 1 c m 1 + b 2 c m 2 + + b m 1 c 1 + b m c 0. Enfim, temos que p a m, p c m 1,..., p c 0 e, assim, p b 0 c m, absurdo, pois, p b 0, p c m e p é um número primo. Portanto, segue o resultado.

10 3 Extensões de Corpos, Números Algébricos e Transcendentes O nosso objetivo aqui, além de entender o conceito de corpo estendido, é garantir sobre a existência e a proporção que se aparecem números algébricos e transcendentes. 3.1 Extensões de Corpos Definição 3.1.1. Uma extensão de um corpo F é um par (i, F ), onde i : F E é um homomorfismo injetor. Observação 3.1.1. Note que i(f ) E é um subcorpo de E. Por este motivo, cometeremos um abuso de notação ao escrever F E para nos referirmos a extensão. Observação 3.1.2. Podemos também abrir mão da estrutura multiplicativa do corpo E e pensá-lo como um F -espaço vetorial. Nesse caso, denotaremos por [E : F ] = dim F E, a dimensão de E como um F -espaço vetorial. Definição 3.1.2. Dizemos que uma extensão F E é finita se, e só se, [E : F ] = n <. Definição 3.1.3. Sejam F E uma extensão de corpos e α E. Se existir um polinômio p(x) F [x] tal que p(α) = 0, dizemos que α é um elemento algébrico sobre F. Definição 3.1.4. Se α não for algébrico sobre F, dizemos que α é transcendente sobre F. Definição 3.1.5. Seja α E um elemento algébrico sobre F e p(x) F [x] um polinômio mônico de grau mínimo tal que p(α) = 0. Então, p(x) é dito um polinômio minimal de α sobre F. Proposição 3.1.1. Sejam F E uma extensão de corpos, α E um elemento algébrico sobre F com polinômio minimal p(x) F [x] e f(x) F [x]. Então: f(α) = 0 p(x) f(x) Demonstração. ( ) Por hipótese, f(α) = 0. Pela divisão euclidiana, existem q(x), r(x) F [x] tais que f(x) = p(x)q(x) + r(x) com 0 r(x) < p(x). Disso, segue que f(α) = p(α)q(α)+r(α) = 0 r(α) = 0. Porém, p(x) é o polinômio minimal de α sobre F. Logo, r(x) 0, ou seja, r(x) é o polinômio identicamente nulo. Portanto, p(x) f(x). ( ) Por hipótese, p(x) f(x). Então, existe g(x) F [x] tal que f(x) = p(x)g(x). Em

Capítulo 3. Extensões de Corpos, Números Algébricos e Transcendentes 11 particular, quando x = α, temos que f(α) = p(α)g(α) = 0. Mas, quantos polinômios minimais um elemento algébrico pode admitir? Que características apresentam? Proposição 3.1.2. Sejam F E uma extensão de corpos, α E um elemento algébrico sobre F com polinômio minimal p(x) F [x]. Então, α possui um único polinômio minimal sobre F e o mesmo é irredutível. Demonstração. Sejam p 1 (x) e p 2 (x) polinômios minimais de α sobre F. Pela Proposição 3.1.1, p 1 (x) = p 2 (x)g(x) e p 2 (x) = p 1 (x)h(x), g(x), h(x) F [x]. Daí, p 1 (x) = g(x)p 1 (x)h(x) = p 1 (x)g(x)h(x) (g(x)h(x)) = 0 g(x) = h(x) = 0 Desse modo, temos que g(x) e h(x) são polinômios constantes. Pela nossa suposição, p 1 (x) e p 2 (x) são mônicos, logo, g(x) = h(x) 1. Portanto, p 1 (x) = p 2 (x). Para mostrarmos que é irredutível, basta notar que, se o polinômio minimal p(x) fosse redutível, teríamos p(x) = g(x)h(x), com g(x), h(x) 1. Daí, x = α g(α)h(α) = 0 g(α) = 0 ou h(α) = 0. Absurdo, pois, g(x), h(x) < p(x) contradizem a minimalidade de p. Portanto, segue o resultado. 3.2 A Extensão Q C Embora nossas definições e resultados nos permitam trabalhar com corpos quaisquer, precisaremos de resultados mais particulares. De agora em diante, verificaremos mais de perto as propriedades da extensão Q C. Observação 3.2.1. Quando α C for algébrico sobre Q, diremos simplesmente que α é algébrico, ficando o restante subentendido. O mesmo raciocínio se empregará quando α C for transcendente sobre Q. Observação 3.2.2. Denotaremos o conjunto dos números algébricos por Q e o conjunto dos números transcendentes por T. Pode-se dizer que é relativamente simples encontrar e citar exemplos de números algébricos, o mesmo não ocorre com números transcendentes. De fato, o que nos garante que esses números transcendentes realmente existem? Embora não possamos ainda determinar muito bem ainda quem são, abaixo conseguiremos algumas informações sobre a natureza quantitativa de cada um desses dos conjuntos.

Capítulo 3. Extensões de Corpos, Números Algébricos e Transcendentes 12 Teorema 3.2.1. O conjunto Q, dos números algébricos, é enumerável. Demonstração. Considere o polinômio p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n, p(x) = n. Denote por R p o conjunto das raízes de p. Como Q é corpo, R p n. Afirmação: n N, existe apenas uma quantidade enumerável de polinômios p(x) Q[x] tais que p(x) = n. De fato, considere o conjunto X n = {p(x) Q[x] : p(x) = n} e a função: ϕ : Q x Q x Q x... x Q }{{} X n n+1 vezes (a 0, a 1, a 2,..., a n ) a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n A necessidade de Q é a garantia de termos o p(x) = n. Temos que ϕ é injetora, pois, dados dois elementos da Im(ϕ), se a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n = b 0 + b 1 x + b 2 x 2 + + b n x n, então, por igualdade de polinômios, temos a 0 = b 0, a 1 = b 1,..., a n = b n. Também é sobrejetora, pois, se p(x) = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + + c n x n X n, é notório que p(x) = ϕ(c 0, c 1, c 2,..., c n ). Logo, ϕ é uma bijeção. Além disso, o domínio da função ϕ é enumerável, pois, Q é enumerável. Portanto, segue que X n também o é. Defina: A n = p : p=n R p Note que Q = n N A n. Perceba também que A n é enumerável, pois, pode ser escrito como uma união enumerável de conjuntos finitos. Donde, segue o resultado. Teorema 3.2.2. O conjunto T, dos números transcendentes, não é enumerável. Demonstração. Note que podemos identificar o conjunto R, dos números reais, com a união entre os reais algébricos e transcendentes, ou seja, (Q R) (T R). Como R não é enumerável e Q é enumerável, podemos concluir que T não é enumerável. Em outras palavras, temos que Q é pequeno, comparado a T. Poderíamos também ter usado C na demonstração, ao invés de R.