CAPÍTULO 17.1 Vetores e Escalares Uma partícula movendo-se ao longo de uma linha reta pode se deslocar em apenas dois sentidos. Podemos arbitrar o seu movimento como positivo em um destes sentidos e negativo no outro. Para uma partícula que se movimenta em três dimensões, no entanto, um sinal de mais ou um sinal de menos não é mais suficiente para definir a direção e o sentido do movimento. No lugar dos sinais devemos usar um vetor. Um vetor possui módulo, direção e sentido, e os vetores seguem certas regras (vetoriais) de combinação, que eaminaremos neste capítulo. Uma grandea vetorial é uma grandea que possui módulo, direção e sentido e, portanto, pode ser representada por um vetor. Como eemplos de algumas grandeas físicas que são grandeas vetoriais podemos citar o deslocamento, a velocidade e a aceleração. Nem todas as grandeas físicas envolvem direção e sentido. Temperatura, pressão, energia, massa e tempo, por eemplo, não apontam para nenhum lugar. Chamamos tais grandeas de escalares, e lidamos com elas usando as regras da álgebra elementar. Um único valor, com um sinal (como em uma temperatura de 40 F), especifica um escalar. A grandea vetorial mais simples é o deslocamento, ou mudança de posição. Um vetor que representa um deslocamento é chamado de vetor deslocamento. Na figura.1a, as setas de A para B, de A para B e de A para B possuem o mesmo módulo, direção e sentido. Portanto, elas especificam vetores deslocamento idênticos e representam a mesma mudança de posição para a partícula. Figura.1 (a) Todas as três setas possuem o mesmo módulo, direção e sentido e, conseqüentemente, representam o mesmo deslocamento. (b) Todas as três trajetórias que ligam os dois pontos correspondem ao mesmo vetor deslocamento. Um vetor deslocamento não nos di nada a respeito da trajetória que a partícula realmente segue. Na figura.1b, por eemplo, todas as três trajetórias que ligam os pontos A e B correspondem ao mesmo vetor deslocamento, o da fig..1a. Vetores deslocamento representam apenas o efeito resultante do movimento, não o movimento propriamente dito.
18. Somando Vetores Geometricamente Suponha que, como no diagrama vetorial da figura.a, uma partícula se mova de A para B e depois de B para C. Podemos representar seu deslocamento resultante (independente de qual seja seu deslocamento real) por dois vetores deslocamento sucessivos, AB e BC. O deslocamento resultante destes dois deslocamentos é um único deslocamento de A para C. Chamamos de AC a soma (ou resultante) vetorial dos vetores AB e BC. Esta soma não é a soma algébrica usual. Na figura 3.b, redesenhamos os vetores da figura.a e mudamos a maneira de representalos para a forma que usaremos daqui por diante, que consiste em usar uma seta sobre um símbolo, como em a. Figura. (a) AC é a soma vetorial dos vetores AB e BC. (b) Os mesmos vetores com novos símbolos. Se quisermos indicar apenas o módulo do vetor (uma grandea que não possui sinal nem direção), usaremos o símbolo, como em a, b e s. Podemos representar a relação entre os três vetores da figura.b com a equação vetorial s = a + b.1 que di que o vetor s é o vetor soma dos vetores a e b. O símbolo + na equação.1 e as palavras soma e somar possuem significados para vetores diferentes dos que eles têm na álgebra usual porque eles envolvem módulo, direção e sentido. A figura. sugere um procedimento para se somar vetores bidimensionais a e b geometricamente. (a) Faça um esboço no papel do vetor a em alguma escala conveniente e com o ângulo verdadeiro. () Faça um esboço do vetor b na mesma escala, com a sua origem na etremidade do vetor a, novamente com o ângulo verdadeiro. (3) O vetor soma s é o vetor que se estende da origem de a até a ponta de b. A soma de vetores, definida desta maneira, possui duas propriedades importantes. Primeiro, a ordem da soma é irrelevante. Somar a com b fornece o mesmo resultado que somar b com a (figura.3); ou seja, a + b = b + a (lei comutativa).
19 Figura.3: Os dois vetores a e b podem ser somados tanto numa ordem como na outra. Segundo, quando há mais do que dois vetores, podemos agrupa-los em qualquer ordem ao faermos a soma deles. Portanto, se quisermos somar os vetores a, b e c, podemos somar a com b primeiro e depois somar a sua soma vetorial com c. Podemos também somar b com c primeiro e depois somar essa soma com a. Obtemos o mesmo resultado de uma maneira ou de outra, como mostrado na figura.4. Ou seja, ( a b) + c = a + ( b + c) + (lei associativa).3 Figura.4: Os três vetores a, b e c podem ser agrupados de qualquer maneira ao serem somados. O vetor b é um vetor com o mesmo módulo de b, mesma direção, mas sentido contrário (veja a figura.5), é também chamado de vetor oposto. Somando os dois vetores da figura.5, obteríamos ( b) 0 b + =. Figura.5: Os vetores a e b possuem o mesmo módulo, a mesma direção, mas sentidos contrários. Portanto, somar b tem o mesmo efeito que subtrair b. Usamos esta propriedade para definirmos a diferença entre dois vetores: seja d = a b. Então, ( b) ou seja, acharmos o vetor diferença d somando o vetor isso é feito geometricamente. d = a b = a + (subtração de vetores).4 b ao vetor a. A figura.6 mostra como
0 Figura.6: (a) Vetores a, b e b. (b) Para subtrair o vetor b do vetor a, some o vetor b ao vetor a..3 Componentes de Vetores A soma algébrica de vetores pode ser tediosa. Uma técnica mais organiada e mais fácil envolve álgebra, mas eige que os vetores sejam colocados em um sistema de coordenadas retangulares. Os eios e são normalmente desenhados no plano da página, como na figura.7a. O eio aponta para fora da página (sai na direção perpendicular à página) e passa pela origem; por enquanto ignoramos este eio e tratamos apenas de vetores bidimensionais. Uma componente de um vetor é a projeção do vetor sobre um eio. Na figura.7a, por eemplo, a é a componente do vetor a sobre o (ou ao longo do ) eio e a é a componente ao longo do eio. Para acharmos a projeção de um vetor ao longo de um eio, desenhamos linhas perpendiculares partindo das duas etremidades do vetor (origem e ponta) até o eio, como mostrado. A projeção de um vetor sobre um eio é a componente ; analogamente, a projeção sobre o eio é a componente. O processo de achar as componentes de um vetor é chamado de decomposição do vetor (em componentes). Uma componente de um vetor possui o mesmo sentido (ao longo de um eio) que o vetor. Na figura.7, a e a são ambos positivos porque a se estende no sentido positivo dos dois eios. (Observe as pequenas pontas de seta nas componentes, para indicar o seu sentido). Se tivéssemos que inverter o vetor a, então as duas componentes seriam negativas e as duas pontas de setas apontariam no sentido negativo de e de. Figura.7 (a) As componentes a e a do vetor a. (b) As componentes não se alteram se o vetor for transladado, contanto que o módulo e a orientação sejam mantidos. (c) As componentes formam os catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é o módulo do vetor. A decomposição do vetor b na figura.8 produ uma componente positiva b e uma componente negativa b.
1 Figura.8: A componente de b sobre o eio é positiva e a componente sobre o eio é negativa. Em geral, um vetor possui três componentes, embora no caso da figura.7a a componente ao longo do eio seja nula. Como as figuras.7a e b mostram, se você transladar um vetor sem mudar sua direção e seu sentido suas componentes não se alterarão. Podemos achar as componentes de a na figura.7a geometricamente a partir do triângulo retângulo da figura: a = a cosθ e a = a sen θ,.5 onde θ é o ângulo que o vetor a fa com o sentido positivo do eio, e a é o módulo de a. A figura.7c mostra que a e suas componentes e formam um triângulo retângulo. Ela também mostra como podemos reconstruir um vetor a partir das suas componentes: dispomos essas componentes da origem para a etremidade. Então completamos um triângulo retângulo com o vetor que forma a hipotenusa, da etremidade de uma componente para a etremidade da outra componente. Essa é a conhecida regra do paralelogramo. Uma ve decomposto um vetor nas suas componentes ao longo de um conjunto de eios, as próprias componentes podem ser usadas no lugar do vetor. Por eemplo, a na figura.7a é dado (completamente determinado) por a e θ. Ele também pode ser dado pelas suas componentes a e a. Os dois pares de valores contêm a mesma informação. Se conhecermos um vetor em notação de componentes (a e a ) e quisermos que ele seja epresso em módulo e direção (a e θ), podemos usar as equações a = a a tgθ = a + a e θ = tg 1 a a.6 para transforma-lo. No caso mais geral de três dimensões, precisamos de um módulo e de dois ângulos (digamos a, θ e φ) ou três componentes (a, a e a ) para especificar um vetor.
Eemplo -1. Um pequeno avião parte de um aeroporto em um dia de céu encoberto sendo depois avistado a uma distância de 15 km, na direção nordeste a a partir da direção norte. A que distância a leste e a norte do aeroporto está o avião quando ele é avistado? Figura.9: Eemplo -1. Um avião decola de um aeroporto na origem e depois é avistado em P. Solução: Nos dão o módulo (15 km) e o ângulo ( para leste a partir da direção norte) de um vetor e precisamos achar as componentes deste vetor. Desenhamos um sistema de coordenadas com o sentido positivo de voltado para leste e o de voltado para o norte (figura.9). Por conveniência, colocamos a origem no aeroporto. O vetor deslocamento do avião d aponta da origem para onde o avião foi avistado. Para acharmos as componentes de d, usamos a equação.5 com θ = 68 (=90 - ): d = d cos θ = (15 km) (cos 68 ) = 81 km d = d sen θ = (15 km) (sen 68 ) = 199 km Assim, o avião está a 81 km ao leste e a 199 km ao norte do aeroporto. Eemplo -. A equipe de 197 que fe a ligação do sistema de cavernas de Mammoth-Flint Cave foi da Entrada Austin, no sistema de Flint Ridge, até Echo River, na Mammoth Cave (figura.10a), viajando efetivamente,6 km na direção oeste, 3,9 km na direção sul e 5 m para cima. Qual foi o vetor deslocamento da equipe desde a partida até a chegada? Solução: Temos as componentes de um vetor tridimensional e precisamos determinar o módulo do vetor e dois ângulos para especificarmos a direção e o sentido do vetor. Primeiro desenhamos as componentes como na figura.10b. As componentes horiontais (,6 km para oeste e 3,9 km para o sul) formam os catetos de um triângulo retângulo horiontal. O deslocamento horiontal da equipe forma a hipotenusa do triângulo, e seu módulo d h é dado pelo teorema de Pitágoras: d (,6 km) + ( 3,9 km) 4,69 km h = =
3 Figura.10: Eemplo -. (a) Parte do sistema de cavernas de Mammoth_Flint, com o percurso da equipe de espeleologistas desde a Entrada Austin até Echo River indicado em linha mais escura. (b) As componentes do deslocamento total da equipe e seu deslocamento horiontal d h. (c) Uma vista lateral mostrando d h e o vetor deslocamento total da equipe d. Também do triângulo horiontal da figura.10b, vemos que este deslocamento horiontal está dirigido para o sudoeste, faendo com a direção oeste um ângulo θ h dado por então 3,9 km tgθ h =,,6 km 3,9 km θ = arctg = 56,6 km h, que é um dos dois ângulos que precisamos para especificarmos a direção do deslocamento total. Para incluirmos a componente vertical (5 m = 0,05 km), consideramos agora uma vista lateral da figura.10b, olhando para o noroeste. Obtemos a figura.10c, na qual a componente vertical e o deslocamento horiontal, d h, formam os catetos de outro triângulo retângulo. Agora o deslocamento total da equipe forma a hipotenusa daquele triângulo, com um módulo d dado por ( 4,69 km) + ( 0,05 km) = 4,69 km 4,7 km d =.
4 Este deslocamento está dirigido para cima a partir do deslocamento horiontal faendo um ângulo 0,05 km θ v = arctg = 0,3. 4,69 km Assim, o vetor deslocamento da equipe tinha um módulo igual a 3,7 km e faia um ângulo de 56 para o sudoeste a partir do oeste e um ângulo de 0,3 para cima. O movimento vertical resultante era, obviamente, insignificante comparado com o movimento horiontal. Entretanto, esse fato não seria nenhum consolo para a equipe, que teve que subir e descer escalando inúmeras vees para atravessar a caverna. O percurso que eles percorreram foi na verdade bem diferente do vetor deslocamento que simplesmente aponta em linha reta da partida para a chegada. Revisão para a solução de Problemas 1. Ângulos Graus e Radianos Ângulos medidos a partir do sentido positivo do eio dos são positivos se eles forem medidos no sentido anti-horário e negativos se medidos no sentido horário. Por eemplo, 10 e 150 são o mesmo ângulo. Ângulos podem ser medidos em graus ou em radianos (rad). Você pode relacionar as duas medidas lembrando-se de que um círculo completo é equivalente a 360 e a π rad. Se fosse preciso converter, digamos, 40 em radianos, você escreveria. Funções Trigonométricas π rad 40 = 0,70 rad 360 Você precisa conhecer as definições das funções trigonométricas usuais seno, cosseno e tangente porque elas faem parte da linguagem da ciência e da engenharia. Elas são dadas na figura.11 em uma forma que independe de como se nomeiam os vértices do triângulo. Você também deveria ser capa de esboçar como as funções trigonométricas variam com o ângulo, como na figura.1, a fim de ser capa de decidir se um resultado obtido usando uma calculadora é raoável. Mesmo saber os sinais das funções nos vários quadrantes pode ser útil. 3. Funções Trigonométricas Inversas Quando as funções trigonométricas inversas arc sen, arc cos e arc tg são obtidas em uma calculadora, você deve considerar se a resposta que você obtém é raoável, porque eiste normalmente outra resposta possível que a calculadora não fornece. A faia de operação para uma calculadora ao obter cada função trigonométrica inversa é indicada na figura.1. Como um eemplo, arc sen 0,5 possui os ângulos associados de 30 (que é eibido pela calculadora) e 150. Para ver os dois valores, desenhe uma reta horiontal passando por 0,5 m na figura.1a e observe onde ela intercepta a curva do seno. Como você distingue uma resposta correta? É através da análise dos sinais das componentes e, e através da localiação do vetor resultante no quadrante correto.
5 Figura.11: Um triângulo usado para definir as funções trigonométricas. Figura.1: Três curvas úteis que não se deve esquecer. A faia de operação de uma calculadora para obter funções trigonométricas inversas é indicada pelos trechos mais escuros das curvas. 4. Medindo o Ângulo de Vetores As equações para cos θ e sen θ na equação.5 e a equação para tg θ na equação.6 são válidas somente se o ângulo for medido em relação ao sentido positivo do eio. Se ele for medido em relação a alguma outra direção, então as funções trigonométricas da equação.5 podem ter que ser trocadas uma com a outra, e a raão na equação.6 pode ter que ser invertida. Um método mais seguro consiste em converter o ângulo dado em um que seja medido a partir do sentido positivo do eio.
6.4 Vetores Unitários Um vetor unitário é um vetor que possui um módulo eatamente igual a 1 e que aponta em uma direção particular. Ele não possui nem dimensão nem unidade. Seu único propósito é apontar ou seja, especificar uma direção e sentido. Os vetores unitários nos sentidos positivos dos eios, e são chamados de i, j e k, (figura.13). A disposição dos eios da figura.13 é chamada de sistema de coordenadas detrogiro. O sistema permanece detrogiro se ele for girado rigidamente até uma nova orientação. Figura.13: Os vetores unitários i, j e k, definem as direções e sentidos de um sistema de coordenadas detrogiro. Vetores unitários são muito úteis para epressar outros vetores; por eemplo, podemos epressar a e b das figuras.7 e.8 como a = a i + a j.7 b = b i + b j.8 Estas duas equações estão ilustradas na figura.14. As grandeas a i e a j são vetores e são chamados de componentes vetoriais de a. As grandeas a e a são escalares e são chamadas de componentes escalares de a (ou, como antes, simplesmente de componentes). Figura.14: (a) As componentes vetoriais do vetor a. (b) As componentes vetoriais de vetor b.
7 Como um eemplo, vamos escrever o deslocamento d da equipe de eploradores de cavernas do Eemplo - em termos de vetores unitários. Primeiro, superponha o sistema de coordenadas da figura.13 àquele mostrado na figura.10b. Então, as direções e os sentidos de i, j e k, estão voltados para o leste, para cima e para o sul, respectivamente. Assim, o deslocamento d da partida até a chegada é epresso de forma organiada na notação de vetor unitário como d =,6 km i + 0,05 km j + 3,9 km.9 ( ) ( ) ( ) k.5 Somando Vetores Componente a Componente Usando um esboço, podemos somar vetores geometricamente. Outra forma de somar vetores é combinando as suas componentes, eio a eio. Para começar, considere a epressão r = a + b.10 que di que o vetor r é o mesmo que o vetor ( a + b ). Se isso é verdade, então cada componente de r deve ser igual à componente correspondente de ( a + b ): r = a + b.11 r = a + b.1 r = a + b.13 Em outras palavras, dois vetores devem ser iguais se as suas componentes correspondentes forem iguais. As equações.10 a.13 nos diem que, para somar os vetores a e b, devemos (1) decompor os vetores nas suas componentes escalares; () combinar estas componentes escalares, eio a eio, para obtermos as componentes da soma r ; e (3) combinar as componentes de r para obtermos o próprio r. Temos uma escolha no passo 3. Podemos epressar r em notação de vetor unitário (como na equação.9) ou na notação de módulo ângulo (como na resposta do eemplo - ). Este procedimento para somar vetores pelas componentes também se aplica à subtração de vetores. Lembre-se de que uma subtração como d = a b pode ser reescrita como uma soma d = a + ( b).para subtrair simplesmente somamos a com b componente a componente, para obtermos onde d = a b, d a b =, e d = a b, d = d i + d j + d k.
8 Eemplo -3. A figura.15 mostra três vetores: a = b = c = ( 4, m) i ( 1,5 m) j, ( 1,6 m) i + (,9 m) ( 3,7 m) j. j, a) Qual é o seu vetor soma r, também mostrado na figura? b) Ache o módulo e a direção do vetor r. Figura.15 Eemplo -3. O vetor r é a soma vetorial dos outros três vetores. Solução: a) Podemos somar três vetores componente a componente, eio a eio. Para o eio, somamos as componentes de a, b e c para termos a componente de r : Analogamente para o eio, r = a + b + c r = 4, m 1,6 m + 0 =,6 m. r = a + b + c r = 1,5 m +,9 m,3 m =,3 m. Escrevendo r em notação de vetor unitário: r =,6 m i,3 m. b) Da equação.6, o módulo é dado por ( ) ( ) j r = (,6 m) + (,3 m) 3,5 m,3 e o ângulo é θ = arctg = 41,6 onde o sinal negativo significa que o ângulo é medido no sentido horário.
9 Do resultado do item a) vemos claramente que o vetor r se encontra no 4 quadrante (componente positiva e componente negativa). Logo, o ângulo medido a partir do sentido positivo do eio é dado por φ = 360-41 = 319.6 O Produto Escalar O produto escalar dos vetores cujo resultado é um escalar. a e b da figura.16, define um produto entre dois vetores a a b θ b O produto escalar dos vetores a e b é Figura.16: O produto escalar entre dois vetores. 0, a b = a b cosθ, se a ou b = 0 caso contrário onde a é o módulo de a, b é o módulo de b e θ é o ângulo entre as direções de a e b ). ou se a b.14 a e b ou, mais corretamente, entre Quando dois vetores estão em notação de vetor unitário, podemos escrever seu produto escalar como ( a i + a j + a k) ( b i + b j + b k) a b =.15 Como os vetores unitários são perpendiculares entre si, aplicando a definição de produto escalar teremos que i i = 1 j i = 0 k i = 0 i j = 0 j j = 1 k j = 0.16 i k = 0 j k = 0 k k = 1 Dessa forma teremos a b = a b + a b + a b.17
30 Eemplo -4: Qual é o ângulo θ entre a = 3,0 i 4,0 j e b =,0 i + 3,0 k? Solução: O ângulo entre as direções de dois vetores está incluído na definição do seu produto escalar a b a b = a b cos θ θ = arccos a b Primeiro vamos calcular o módulo dos vetores separadamente. a = b = ( 3,0) + ( 4,0) = 5,00 (,0) + ( 3,0) = 3, 61 Depois, calculamos o produto escalar Dessa forma, a b = a b = a b = 6,0 ( 3,0 i 4,0 j) (,0 i + 3,0 k) ( 3,0i ) (,0i ) + ( 3,0i ) ( 3,0k ) + ( 4,0 j) (,0i ) + ( 4,0 j) ( 3,0k ) 6,0 θ = arccos = ( )( ) 110 5,00 3,61.7 O Produto Vetorial O produto vetorial de a e b, escrito como a b, produ um terceiro vetor c cujo módulo é dado por c = a b = absen θ.18 onde θ é o menor dos ângulos entre a e b. Se a e b forem paralelos ou antiparalelos (mesma direção mas em sentidos contrários), a b = 0. A direção de c é perpendicular ao plano formado pelos vetores a e b. A figura.17a mostra como se determina a direção e o sentido de c = a b, com o que é conhecido como a regra da mão direita.
31 Figura.17. Ilustração da regra da mão direita para produtos vetoriais. (a) Gire o vetor a em direção ao vetor b com os dedos da sua mão direita. Seu polegar esticado mostra a direção e o sentido do vetor c = a b. (b) Vê-se que a b é o contrário de b a. A ordem da multiplicação vetorial é importante. Na figura.17b, estamos determinando a direção e sentido de c = a b, então os dedos estão dispostos para deslocarem b em direção a a descrevendo o menor ângulo. O polegar acaba na mesma direção mas no sentido contrário ao produto anterior, e assim devemos ter c = c, ou seja ( a b) b a =.19 Em outras palavras, a lei comutativa não se aplica a um produto vetorial. Na notação de vetor unitário, escrevemos ( a i + a j + a k) ( b i + b j + b k) a b =.0 que pode ser epandido de acordo com a lei distributiva; ou seja, cada componente do primeiro vetor deve ser multiplicada vetorialmente por cada componente do segundo vetor. Ou, matricialmente a a a a a a a b = det i det j + det k.1 b b b b b b Na figura.18 apresentamos um dispositivo prático para lembrar os seis produtos vetoriais possíveis com estes três vetores unitários que determinam o sistema cartesiano. Associando estes vetores a três pontos distintos de uma circunferência, e adotando o sentido anti-horário, o produto vetorial de dois vetores sucessivos quaisquer é o vetor seguinte.
3 Figura.18: Esquema para determinar os seis possíveis produtos vetoriais de vetores unitários. Assim, teremos as seguintes possibilidades i i = 0 j i = k i j = k j j = 0 i k = j j k = i k i = j k j = i k k = 0. Epandindo a equação.0 ou desenvolvendo os determinantes na equação.1, obteremos o mesmo resultado a b =.3 ( a b b a ) i ( a b a b ) j + ( a b b a ) k Eemplo -5: Na figura.19, o vetor a está contido no plano, possui um módulo igual a 18 unidades e aponta em uma direção a 50 do sentido positivo de. Além disso, o vetor b possui um módulo igual a 1 unidades e aponta no sentido positivo da direção. Qual é o produto vetorial c = a b e qual é a direção do vetor c? Figura.19: Eemplo -5. O vetor c (no plano ) é o produto vetorial dos vetores a b. Solução: Quando temos dois vetores na notação módulo ângulo, achamos o módulo do seu produto vetorial (ou seja, o vetor que resulta de tomarmos o seu produto vetorial) com a equação.18. Aqui isso significa que o módulo de c é c = a b sen θ = (18)(1)(sen 90 ) = 16. Com dois vetores na notação módulo ângulo achamos a direção e o sentido do seu produto vetorial com a regra da mão direita da figura.17. Imagine que você disponha os dedos da sua mão direita ao redor de uma reta perpendicular ao plano formado por a e b (a reta na qual c é mostrado) de tal forma que os seus dedos desloquem a até b. Seu polegar esticado então dá a direção e o sentido de c. Assim, como mostrado na figura.19, c pertence ao plano. Como a sua direção é perpendicular à direção de a, ele fa um ângulo a partir do sentido positivo da direção de 50 90 =160
Eemplo -6: Se a = 3i 4 j e b = i + 3k, qual é o vetor c = a b? 33 Solução: Quando dois vetores estão na notação de vetor unitário, podemos achar seu produto vetorial usando a lei distributiva. Aqui isto significa que podemos escrever c = c = ( 3i 4 j) ( i + 3k) 3i ( i ) + 3i 3k + ( 4 j) ( i ) + ( 4 j) 3k De acordo com as definições de produto vetorial de vetores unitários da equação., teremos Portanto c = 6 ( 0) + 9( j) + 8( k) 1i c = 1i 9 j 8k Esse vetor é perpendicular tanto a a quanto a b, um fato que você pode verificar mostrando que c a = 0 e c b = 0 ; ou seja, não há nenhuma componente de c nem ao longo da direção de a nem de b.
34 ª LISTA DE EXERCÍCIOS 1. Dois pontos no plano têm as coordenadas cartesianas (,0, -4,0) e (-3,0, 3,0), com as distâncias em metro. Determinar: a) a distância entre os dois pontos e b) as coordenadas polares dos dois pontos R: a) 8,60 m b)4,47 m a 9,7 e 4,4 m a 135. As coordenadas polares de um ponto são r = 5,50 m e θ = 40. Quais as coordenadas cartesianas deste ponto? R: (-,75 m, -4,76 m) 3. Um ponto se localia num plano pelas coordenadas polares r =,5 m e θ = 35. Achar as coordenadas e deste ponto, admitindo que os dois sistemas de coordenadas tenham a mesma origem. R: (,05 m, 1,43 m) 4. Uma mulher caminha 50 m na direção 30 a leste do norte e depois 175 m para o leste. a) Usando métodos gráficos, determine o seu deslocamento resultante a partir do ponto inicial. b) Compare o módulo do deslocamento com a distância total que a mulher percorreu. R: Módulo: 370 m Distância total: 45 m 5. Um topógrafo, para estimar a largura de um rio, procede da seguinte forma: visa uma árvore, na outra margem, que está numa direção perpendicular ao rio; depois, anda 100 m ao longo da margem, e visa, de novo, a mesma árvore. O ângulo de visada é de 35 em relação a sua linhabase. Qual a largura do rio? R: 70,0 m 6. Uma pessoa, ao longo de uma passagem circular, com 5 m de raio, percorre meia circunferência. a) Achar o módulo do vetor deslocamento. b) Qual a distância percorrida pela pessoa? c) Qual o módulo do deslocamento se a pessoa percorrer a circunferência inteira? R: a) 10,0 m b) 15,7 m c) 0 7. O carro de uma montanha-russa anda 00 ft na horiontal e depois sobe por uma rampa de 135 ft, que fa ângulo de 30 com a horiontal. Depois desce uma ladeira de 135 ft, num ângulo de 40 para baio. Qual o seu deslocamento, em relação ao ponto de partida, ao atingir o final do movimento? Usar uma técnica gráfica. R: 41 ft a 357 8. Um vetor tem uma componente de 5 unidades e uma componente de 40 unidades. Achar o módulo e a direção deste vetor. R: 47, unidades a 1 9. Dois vetores são dados por A = 3i j e B = i 4 j. Calcular: a) A+ B ; b) A B ; c) A+ B d) A B e) a direção de A + B e A B. R: a) i 6j b) 4i + j c) 6,3 d) 4,47 e) 88 e 6,6
10. Três vetores são dados por A = i + 3 j, B = i j e C = 3i + 5 j. Achar: 35 a) a soma dos três vetores; b) o módulo e a direção do vetor resultante. R: a) 6i + 7 j b) 9, 11. Três vetores têm as orientações que aparecem na figura ao lado, com A = 0, B = 40 e C = 30 unidades. Achar: a) as componentes e do vetor resultante e b) o módulo e a direção do vetor resultante. R: a) 49,5 e 7,1 b) 56,4 a 8,7 1. Uma pessoa caminha seguindo a trajetória que aparece na figura abaio. A caminhada tem quatro etapas retilíneas; ao findá-la, qual será o vetor deslocamento dessa pessoa medido em relação ao ponto inicial? R: 40m a 37 13. Duas pessoas puam um burrico empacado, como mostra a figura abaio, vista de um helicóptero. Sabendo que F 1 = 10 N e fa um ângulo de 60 com o eio dos positivos e que F = 80 N e que fa um ângulo de 75 com o eio dos negativos, achar: a) a epressão vetorial e o módulo da força única equivalente às duas forças indicadas e b) a epressão vetorial e o módulo da força que uma terceira pessoa teria que aplicar ao burrico para tornar a força resultante igual a ero. R: a) 39,3i + 181, j e 185,4 N b) 39,3i 181, j e 185,4 N
36 14. Um paralelepípedo retângulo tem as dimensões a, b e c, conforme figura abaio. a) Achar a epressão vetorial para o vetor da diagonal da face R 1. Qual o módulo desse vetor? b) Achar a epressão vetorial do vetor diagonal do paralelepípedo R. Qual é o módulo desse vetor? R: a) R1 = ai + bj e R1 = a + b b) R = ai + bj+ ck e R1 = a + b + c 15. Um ponto P se descreve pelas coordenadas (,) num sistema cartesiano de coordenadas, conforme aparece na figura ao lado. Mostrar que (, ), as coordenadas desse ponto no sistema de coordenadas,, que fa um ângulo α com o sistema inicial, estão relacionadas com (,) pelas epressões e = cosα + senα = senα + cosα
37 16. Uma estação de radar detecta um avião que vem do leste. No momento em que é observado pela primeira ve, o avião está a 400 m de distância, 40 acima do horionte. O avião é acompanhado por mais 13 no plano vertical leste-oeste e está a 860 m de distância quando é observado pela última ve. Calcule o deslocamento da aeronave durante o período de observação. R: 119 m na horiontal 17. Um vetor a de módulo 10 unidades e outro vetor b de módulo 6 unidades faem entre si um ângulo de 60. Calcule: a) o produto escalar dos dois vetores e b) o módulo do produto vetorial a b. R: a) 30 b) 5 18. Suponha que dois vetores sejam representados em termos das coordenadas como a = ai + aj+ ak e b = bi + bj + bk Mostre que a b= ab + ab + ab 19. Determine as componentes e o módulo de r = a b+ c se a = 5,0 i + 4,0 j 6,0k, b =,0 i +,0 j + 3,0 k e c = 4,0 i + 3,0 j+,0k. Calcule também o ângulo entre r e o sentido positivo dos. R: a) 11i + 5 j 7k b) 10 0. Mostre que para os vetores a e b do problema 19, a b= i a b a b + j a b a b + k a b a b. ( ) ( ) ( ) 1. O vetor a está no plano, fa um ângulo de 63 com o eio +, tem uma componente positiva e seu módulo vale 3,0 unidades. O vetor b está no plano, fa um ângulo de 48 com o eio +, tem uma componente positiva e seu módulo vale 1,40 unidades. Calcule: a) a b b) a b e c) o ângulo entre a e b. R: a),97 b)1,51i +, 67 j 1,36k c) 48