Introdução aos Métodos Numéricos Instituto de Computação UFF Departamento de Ciência da Computação Otton Teixeira da Silveira Filho
Conteúdo temático Zeros de Função
Conteúdo específico Métodos iterativos Convergência dos métodos iterativos Método de Newton-Raphson
Métodos iterativos Estes métodos tem a seguinte estrutura x i+1 =Φ ( x i ); dado x 0 Φ( x) é chamada de função de iteração
Métodos iterativos O que desejamos é que lim i x i =R
Métodos iterativos O que desejamos é que lim i x i =R o que significaria formalmente que a sequência {x 0, x 1, x 2,, x n } é uma sequência de Cachy.
Métodos iterativos Mas pensemos isto no contexto de nosso problema. Se então x i+1 =Φ ( x i ); dado x 0 lim i x i =R R=Φ(R) que é uma forma de expressar o teorema do ponto fixo.
Métodos iterativos Podemos entender isto como: se a sequência gerada pela função de iteração é de Cauchy (ou seja, é convergente), temos a garantia que acharemos R quando n tende ao infinito.
Métodos iterativos Podemos entender isto como: se a sequência gerada pela função de iteração é de Cauchy (ou seja, é convergente), temos a garantia que acharemos R quando n tende ao infinito. Mas o infinito pode ser pequeno...
Métodos iterativos Convergência Vamos entender qual a condição que teremos de satisfazer para obtermos R
Métodos iterativos Convergência Vamos entender qual a condição que teremos de satisfazer para obtermos R Se temos x 0, podemos obter x 1 pela função de iteração x 1 =Φ (x 0 ) Supondo a sequência é convergente podemos escrever x 1 R=Φ ( x 0 ) Φ ( R )
Métodos iterativos Convergência Métodos Iterativos Com isto poderíamos ter uma ideia de onde x 1 se encontra em relação a R. Necessitamos de alguma ferramenta para nos ajudarmos aqui. O nome desta ferramenta é
Métodos iterativos Convergência Métodos Iterativos Com isto poderíamos ter uma ideia de onde x 1 se encontra em relação a R. Necessitamos de alguma ferramenta para nos ajudarmos aqui. O nome desta ferramenta é Teorema do Valor Médio para Derivadas
Métodos iterativos Convergência Teorema do Valor Médio para Derivadas (TVM) Seja uma função g(x) tal que seja diferenciável no intervalo [a, b]. Então existe um ponto c dentro deste intervalo tal que g ' (c)= g(b) g(a) b a.
Métodos iterativos Convergência Teorema do Valor Médio para Derivadas (TVM) Seja uma função g(x) tal que seja diferenciável no intervalo [a, b]. Então existe um ponto c dentro deste intervalo tal que g ' (c)= g(b) g(a) b a Usaremos este teorema como g ' (c)(b a)=g(b) g(a).
Métodos iterativos Convergência Aplicamos este teorema na expressão x 1 R=Φ ( x 0 ) Φ ( R )
Métodos iterativos Convergência Aplicamos este teorema na expressão Teremos x 1 R=Φ ( x 0 ) Φ ( R ) x 1 R=( x 0 R )Φ ' (α 1 );α 1 [ x 0, R] e temos um efeito da aplicação da função de iteração Façamos o mesmo com respeito a x 2
Métodos iterativos Convergência Teremos x 2 R=Φ ( x 1 ) Φ (R) Aplicando o TVM x 2 R=( x 1 R ) Φ ' (α 2 ) ;α 2 [ x 1, R]
Métodos iterativos Convergência Teremos x 2 R=Φ ( x 1 ) Φ (R) Aplicando o TVM x 2 R=( x 1 R ) Φ ' (α 2 ) ;α 2 [ x 1, R] Usando a expressão obtida anteriormente... x 2 R=( x 0 R )Φ ' (α 1 )Φ ' (α 2 ); α 2 [x 1, R], α 1 [x 0, R]
Métodos iterativos Convergência Se fizermos este procedimento n vezes teremos x n R=( x 0 R ) Φ ' (α 1 ) Φ ' (α 2 ) Φ ' (α n ) Assim, temos o efeito de n aplicações da função de iteração. Todos os α estão nas vizinhanças de R
Métodos iterativos Convergência Se fizermos este procedimento n vezes teremos x n R=( x 0 R ) Φ ' (α 1 ) Φ ' (α 2 ) Φ ' (α n ) Assim, temos o efeito de n aplicações da função de iteração. Todos os α estão nas vizinhanças de R É hora de examinarmos se há alguma condição que garanta a convergência
Métodos iterativos Convergência Seja M o maior valor em módulo de todos os valores de Φ' (α i ), ou seja M=max i Φ'(α i )
Métodos iterativos Convergência Seja M o maior valor em módulo de todos os valores de Φ' (α i ), ou seja M=max i Φ'(α i ) Vamos agora fazer uma suposição de pior caso possível: Vamos supor que todos os valores de Φ' (α i ) sejam muito próximos de M. Então seria uma boa aproximação escrever
Métodos iterativos Convergência x n R=( x 0 R ) M n Observe que devido a esta suposição de pior condição possível, a condição que surgir daqui será suficiente mas não necessária.
Métodos iterativos Convergência x n R=( x 0 R ) M n Observe que devido a esta suposição de pior condição possível, a condição que surgir daqui será suficiente mas não necessária. Para que haja a convergência, o lado esquerdo da expressão não pode ser maior que o lado direito
Métodos iterativos Convergência Isto implica que M 1 Φ ' (α) 1 onde α está nas vizinhanças de R. Temos a condição suficiente para um método iterativo convergir, não importa qual método seja este.
Métodos iterativos Convergência Ao contrário dos métodos de partição aqui temos uma condição clara de convergência o que os torna mais confiáveis.
Métodos iterativos Convergência Ao contrário dos métodos de partição aqui temos uma condição clara de convergência o que os torna mais confiáveis. Não saber que poderão haver falhas não é vantagem mas problema...
Zeros de função Procurando um método iterativo
Zeros de função Começaremos usando a série de Taylor para ajudarmos a achar R, o zero de nossa função f(x) Sabemos que f (R)=0
Zeros de função Começaremos usando a série de Taylor para ajudarmos a achar R, o zero de nossa função f(x) Sabemos que f (R)=0 Expandido f(x) para x = R em torno de x 0 em série de Taylor teremos f (R)=f (x 0 )+f ' (x 0 )(R x 0 )+ f ' ' (x 0 ) 2! (R x 0 ) 2 + =0
Zeros de função Façamos h = R x 0. Ficaremos com f (R)=f (x 0 )+f ' (x 0 )h+ f ' ' (x 0 ) 2! h 2 + =0 Teríamos de determinar onde este polinômio em h (de grau infinito) se anula.
Zeros de função Façamos h = R x 0. Ficaremos com f (R)=f (x 0 )+f ' (x 0 )h+ f ' ' (x 0 ) 2! h 2 + =0 Teríamos de determinar onde este polinômio em h (de grau infinito) se anula. Não vai rolar...
Zeros de função Façamos h = R x 0. Ficaremos com f (R)=f (x 0 )+f ' (x 0 )h+ f ' ' (x 0 ) 2! h 2 + =0 Teríamos de determinar onde este polinômio em h (de grau infinito) se anula. Não vai rolar... Examinaremos o que podemos fazer nesta situação
Zeros de função Se ficamos apenas com o primeiro termo da série de Taylor f (x 0 ) 0 temos que este resultado que não é novidade: partimos do pressuposto que x 0 está próximo de R.
Zeros de função Se ficamos apenas com o primeiro termo da série de Taylor f (x 0 ) 0 temos que este resultado que não é novidade: partimos do pressuposto que x 0 está próximo de R. Vamos adicionar mais um termo para ver o que surge
Zeros de função Com dois termos teremos f (x 0 )+f ' (x 0 )h 0 que se torna útil pois obtemos
Zeros de função Com dois termos teremos f (x 0 )+f ' (x 0 )h 0 que se torna útil pois obtemos h f (x 0) f ' (x 0 )
Zeros de função Como h = R - x 0 R x 0 f (x 0) f ' (x 0 )
Zeros de função Como h = R - x 0 Definiremos R x 0 f (x 0) f ' (x 0 ) x 1 =x 0 f (x 0) f ' ( x 0 ) Achemos agora a série de Taylor nas vizinhaças de x 1
Zeros de função Teremos f (R)=f (x 1 )+f ' (x 1 )(R x 1 )+ f ' ' (x 1 ) (R x 2! 1 ) 2 + =0 definindo k = R x 1 teremos
Zeros de função Teremos f (R)=f (x 1 )+f ' (x 1 )(R x 1 )+ f ' ' (x 1 ) (R x 2! 1 ) 2 + =0 definindo k = R x 1 teremos f (R)=f (x 1 )+f ' (x 1 )k + f ' ' (x 1 ) 2! k 2 + =0 como anteriormente, usaremos os dois primeiros termos da série de Taylor e obteremos
Zeros de função que resulta em e daí f (x 1 )+f ' (x 1 )k 0 k f (x 1) e daremos a definição R x 1 f (x 1) f ' (x 1 ) f ' (x 1 )
Zeros de função que resulta em e daí f (x 1 )+f ' (x 1 )k 0 k f (x 1) e daremos a definição R x 1 f (x 1) f ' (x 1 ) x 2 =x 1 f (x 1) f ' (x 1 ) f ' (x 1 )
Zeros de função Algo já se esboça. Obtivemos duas aproximações de R x 1 =x 0 f (x 0) f ' ( x 0 ) x 2 =x 1 f (x 1) f ' (x 1 )
Newton-Raphson Algo já se esboça. Obtivemos duas aproximações de R x 1 =x 0 f (x 0) f ' ( x 0 ) x 2 =x 1 f (x 1) f ' (x 1 ) Fazendo o mesmo procedimento sucessivamente obteremos x i+1 =x i f (x i) f ' (x i ) que constitui o método de Newton-Raphson
Newton-Raphson Mas qual é a condição para este método convergir? A condição geral é x i+1 =Φ( x i ); Φ ' (α) 1
Newton-Raphson Mas qual é a condição para este método convergir? A condição geral é x i+1 =Φ( x i ); Φ ' (α) 1 Observando a forma do método de Newton-Raphson identificamos x i+1 =x i f (x i) f (x) Φ(x)=x f ' (x i ) f ' (x)
Newton-Raphson Derivemos Φ( X ) Φ ' (x)=[ f (x) ]' x =1 f ' (x) f ' ( x) f ' (x) + f ( x)f ' ' (x) [ f ' ( x)] 2
Newton-Raphson Derivemos Φ( X ) Φ ' (x)=[ f (x) ]' x =1 f ' (x) f ' ( x) f ' (x) + f ( x)f ' ' (x) [ f ' ( x)] 2 Supondo que a derivada de f(x) não se anula nas vizinhanças de R teremos Φ ' (x)= f (x)f ' ' ( x) [f ' (x)] 2
Newton-Raphson Então a condição de convergência será f (α)f ' ' (α) [f ' (α)] 1 2
Newton-Raphson Então a condição de convergência será f (α)f ' ' (α) [f ' (α)] 1 2 A suposição de que a derivada não se anule nas vizinhanças de R é um alerta para quando temos zeros múltiplos
Newton-Raphson Método de Newton-Raphson Seja f(x) diferenciável nas vizinhanças de R. Seja x o nas vizinhanças de R. Então, x i+1 =x i f (x i) f ' (x i )
Newton-Raphson Método de Newton-Raphson Seja f(x) diferenciável nas vizinhanças de R. Seja x o nas vizinhanças de R. Então, convergirá se x i+1 =x i f (x i) f ' (x i ) f (α)f ' ' (α) [f ' (α)] 1 2
Newton-Raphson Critérios de parada Método de Newton-Raphson, Critérios de parada Observe que podemos usar os mesmos critérios de parada que aplicamos no Método da Regula-False, afinal aqui obteremos, se houver convergência, uma sequência de valores para nossa solução. Assim aplicaremos os critérios
Newton-Raphson Critérios de parada avaliando os valores obtidos para X Seja tol x o valor o qual desejamos para a precisão da determinação de R. Então pararemos quando o módulo da diferença entre dois valores sucessivos de X dividido por um destes valores for menor que tol x, ou seja, tol x < x i+1 x i x i ou tol x < x i+1 x i x i+1
Newton-Raphson Critérios de parada avaliando o valor de f(x) Seja tol f o valor o qual desejamos para a precisão da determinação de R. Então pararemos quando o valor de f(x) for menor que tol f, ou seja, tol f <f (x i )
Newton-Raphson Critérios de parada O mais rigoroso está na utilização conjunta destes dois critérios
Newton-Raphson Um Exemplo Determine o ponto onde a função abaixo se anula e que se localiza no intervalo [0,1]. Pare quando tol x <10 3 e x 3 cos x Já que f (x)=e x 3 cos x a derivada será
Newton-Raphson Um Exemplo Determine o ponto onde a função abaixo se anula e que se localiza no intervalo [0,1]. Pare quando tol x <10 3 e x 3 cos x Já que f (x)=e x 3 cos x a derivada será e Newton-Raphson será f ' (x)=e x +3 sen x
Newton-Raphson Um Exemplo x i+1 =x i f (x i) f ' (x i ) =x i e x i 3cos xi e x i +3 sen xi Mas e o valor de x 0? A priori poderá ser qualquer um nas vizinhanças de R.
Newton-Raphson Um Exemplo x i+1 =x i f (x i) f ' (x i ) =x i e x i 3cos xi e x i +3 sen xi Mas e o valor de x 0? A priori poderá ser qualquer um nas vizinhanças de R. Aqui usaremos ½ mas poderíamos usar outros valores.
Newton-Raphson Um Exemplo Daí x 1 =x 0 ex 0 3 cos x0 e x 0 +3 sen x0 =0,5 0,984026 3,086997 =0,5+0,318764=0,818764
Newton-Raphson Um Exemplo Daí x 1 =x 0 ex 0 3 cos x0 e x 0 +3 sen x0 =0,5 0,984026 3,086997 =0,5+0,318764=0,818764 x 2 =x 1 ex 1 3cos x1 e x 1 +3 sen x1 =0,818764 0,218322 4,458601 =0,818764 0,048966=0,769797 Façamos o teste de parada
Newton-Raphson Um Exemplo x 2 x 1 = 0,818764 0,769797 0,0636 x 1 0,769797 Vamos ao próximo passo
Newton-Raphson Um Exemplo x 3 =x 2 ex 2 3 cos x 2 e x 2 +3 sen x2 =0,769797 0,005171 4,247296 =0,769797 0,001217=0,768680 Verifiquemos a condição de parada
Newton-Raphson Um Exemplo x 3 =x 2 ex 2 3 cos x 2 e x 2 +3 sen x2 =0,769797 0,005171 4,247296 =0,769797 0,001217=0,768680 Verifiquemos a condição de parada x 3 x 2 x 2 Mais um passo? = 0,768680 0,769797 0,001580 0,769797
Newton-Raphson Um Exemplo x 4 =x 3 e x 3 3 cos x3 =0,768680 6,18959 10 6 =0,768680 1,4591 10 6 =0,768578 e x 3 +3 sen x3 4,242046 Verifiquemos a condição de parada
Newton-Raphson Um Exemplo x 4 =x 3 e x 3 3 cos x3 =0,768680 6,18959 10 6 =0,768680 1,4591 10 6 =0,768578 e x 3 +3 sen x3 4,242046 Verifiquemos a condição de parada x 4 x 3 x 3 = 0,768578 0,768680 1,326 10 6 0,768680
Newton-Raphson Um Exemplo Resumo dos resultados x 2 x 1 0,0636 ; x x 1 2 =0,818764 0,218322 4,458601 =0,769797 x 3 x 2 0,001580 ; x x 2 3 =0,769797 0,005171 4,247296 =0,768680 x 4 x 3 x 3 1,326 10 6 ; x 4 =0,768680 6,18959 10 6 =0,768578 4,242046 Observe que o valor de f(x) tende a zero enquanto o valor de f '(x) vai se estabilizando
Newton-Raphson Um Exemplo Este método se mostrou extremamente rápido neste exemplo. Tal comportamento é típico dele mas lembre-se que ele tem um critério de convergência.
Newton-Raphson Outro Exemplo Determine uma aproximação para o zero da função abaixo que se encontra no intervalo [0,2]. Use tol x <10 3 x 4 + x 10
Newton-Raphson Outro Exemplo Determine uma aproximação para o zero da função abaixo que se encontra no intervalo [0,2]. Use tol x <10 3 x 4 + x 10 Se f (x)=x 4 +x 10 então a derivada será f ' (x)=4 x 3 +1 daí...
Newton-Raphson Outro Exemplo x i+1 =x i f (x i) f ' (x i ) =x i x 4 i + x i 10 4 x 3 i +1 Usaremos 1,5 como valor inicial e x 1 =x 0 x 4 0+ x 0 10 4 x 3 0 +1 = 3 2 3,4375 =1,5+0,237068=1,737068 14,5
Newton-Raphson Outro Exemplo Usaremos 1,5 como valor inicial e x i+1 =x i f (x i) f ' (x i ) =x i x 4 i + x i 10 4 x 3 i +1 x 1 =x 0 x 4 0+ x 0 10 4 x 3 0 +1 = 3 2 3,4375 =1,5+0,237068=1,737068 14,5 x 2 =x 1 x 4 1+ x 1 10 0,841802 =1,737068 4 x 3 1 +1 21,965752 =1,737068 0,038323=1,698744
Newton-Raphson Outro Exemplo x 2 x 1 x 1 Vamos ao próximo passo = 1,698744 1,737068 0,022062 1,737068 x 3 =x 2 x 4 2+ x 2 10 0,026188 =1,698744 4 x 3 2 +1 20,608474 =1,698744 0,001270=1,697473
Newton-Raphson Outro Exemplo Vamos ao próximo passo e ao teste x 2 x 1 x 1 = 1,698744 1,737068 0,022062 1,737068 x 3 =x 2 x 4 2+ x 2 10 0,026188 =1,698744 4 x 3 2 +1 20,608474 =1,698744 0,001270=1,697473 x 3 x 2 x 2 = 1,697473 1,698744 7,4819 10 4 1,698744
Newton-Raphson Outro Exemplo Experimentemos usar como valor inicial x = 0,5 para o problema anterior
Newton-Raphson Outro Exemplo x i+1 =x i f (x i) f ' (x i ) =x i x 4 i + x i 10 4 x 3 i +1 com x 0 =0,5 de valor inicial teremos x 1 =6,791666; x 2 =5,09766 ; x 3 =3,834881; x 4 =2,9076008; x 5 =2.259424 x 6 =1,870764; x 7 =1,719265; x 8 =1,697863; x 9 =1,697472; x 10 =1,697471
Newton-Raphson Outro Exemplo Vimos que a escolha do valor inicial deve ser criteriosa e não ao sabor de nossos achismos
Newton-Raphson Raiz quadrada Ache a raiz quadrada de um número a usando Newton- Raphson. Ficou enigmático?
Newton-Raphson Raiz quadrada Ache a raiz quadrada de um número a usando Newton- Raphson. Ficou enigmático? Use o que você sabe...
Newton-Raphson Raiz quadrada Ache a raiz quadrada de um número a usando Newton- Raphson. Ficou enigmático? Use o que você sabe... x 2 =a
Newton-Raphson Raiz quadrada Ache a raiz quadrada de um número a usando Newton- Raphson. Ficou enigmático? Use o que você sabe... x 2 =a x 2 a=0
Newton-Raphson Raiz quadrada Ache a raiz quadrada de um número a usando Newton- Raphson. Ficou enigmático? Use o que você sabe... x 2 =a x 2 a=0 f (x)=x 2 a
Newton-Raphson Raiz quadrada Assim teremos f (x)=x 2 a f ' (x)=2 x e a fórmula de Newton-Raphson terá a forma x i+1 =x i f (x i) f ' (x i ) =x i x 2 i a 2 x i que pode ser simplificada
Newton-Raphson Raiz quadrada x i+1 =x i x i 2 a 2 x i = 2 x i 2 x i 2 +a 2 x i
Newton-Raphson Raiz quadrada x i+1 =x i x 2 i a = 2 x 2 i x 2 i +a = x 2 i +a 2 x i 2 x i 2 x i
Newton-Raphson Raiz quadrada x i+1 =x i x 2 i a = 2 x 2 i x 2 i +a = x 2 i +a 2 x i 2 x i 2 x i = 1 2 ( x i+ a x i ) que tem um custo computacional baixo por passo.
Newton-Raphson Raiz quadrada x i+1 =x i x 2 i a = 2 x 2 i x 2 i +a = x 2 i +a 2 x i 2 x i 2 x i = 1 2 ( x i+ a x i ) que tem um custo computacional baixo por passo. Mas qual a condição de convergência?
Newton-Raphson Raiz quadrada Observe que derivando: x i+1 =Φ( x i ); x i+1 = 1 2 ( x i + a x i ) Φ( x)=1 2 ( x+ a x )
Newton-Raphson Raiz quadrada Observe que x i+1 =Φ( x i ); x i+1 = 1 2 ( x i+ a x i ) Φ( x)=1 2 ( x+ a x ) derivando: Φ ' (x)= 1 2 ( 1 a x 2 ) o que resulta na condição
Newton-Raphson Raiz quadrada Observe que x i+1 =Φ( x i ); x i+1 = 1 2 ( x i + a x i ) Φ( x)=1 2 ( x+ a x ) derivando: Φ ' (x)= 1 2 ( 1 a x 2 ) o que resulta na condição 1 ( 1 2 aα ) 1 1 aα 2 2 2
Newton-Raphson Raiz quadrada 1 aα 2 2 Observe que tanto a quanto α são positivos.
Newton-Raphson Raiz quadrada 1 aα 2 2 Observe que tanto a quanto α são positivos. Assim, esta condição (lembre-se, apenas suficiente) se dará quando a 3 a 3 α2 2 α
Newton-Raphson Raiz quadrada α 2 Como supomos estarmos próximos do valor de a logo está próximo de a. Assim podemos ler a condição como subavalie o chute inicial. Assim... a 3 α2
Newton-Raphson Raiz quadrada Algoritmo de determinação de raizes quadradas x i+1 = 1 2 ( x i+ a x i ) com a condição suficiente a 3 α2
Newton-Raphson Raiz quadrada Algoritmo de determinação de raizes quadradas x i+1 = 1 2 ( x i+ a x i ) a com a condição suficiente 3 α2 Este algoritmo é usado em todos computadores e máquinas de calcular.
Newton-Raphson Raiz quadrada Algoritmo de determinação de raizes quadradas x i+1 = 1 2 ( x i+ a x i ) a com a condição suficiente 3 α2 Este algoritmo é usado em todos computadores e máquinas de calcular. O que difere são os algoritmos para o chute inicial...
Newton-Raphson Raiz quadrada Mais um exercício Faça quatro passos da iteração de Newton-Raphson para determinar a raiz quadrada de 7. calculemos... x i+1 = 1 2 ( x i+ 7 x i ) ; x 0=2
Newton-Raphson Raiz quadrada x 1 = 1 2 ( x 0+ 7 x 0 ) = 1 2 ( 2+ 7 2 ) = 11 4 =2,75
Newton-Raphson Raiz quadrada x 1 = 1 ( 2 x 0+ 7 ) x = 1 ( 0 2 2+ 7 ) 2 = 11 4 =2,75 ; x 2= 1 ( 2 x 1+ 7 ) x 1 = 1 2 ( 11 4 + 7 11/ 4 ) =2,647727
Newton-Raphson Raiz quadrada x 1 = 1 ( 2 x 0+ 7 ) x = 1 ( 0 2 2+ 7 ) 2 = 11 4 =2,75 ; x 2= 1 ( 2 x 1+ 7 ) x 1 x 3 = 1 ( 2 x 2+ 7 ) x =2,645752 x 4 = 1 ( 2 2 x 3+ 7 ) x 3 = 1 2 ( 11 4 + 7 11/ 4 ) =2,647727 =2,645751
Newton-Raphson Raiz quadrada x 1 = 1 ( 2 x 0+ 7 ) x = 1 ( 0 2 2+ 7 ) 2 = 11 4 =2,75 ; x 2= 1 ( 2 x 1+ 7 ) x 1 x 3 = 1 ( 2 x 2+ 7 ) x =2,645752 x 4 = 1 ( 2 2 x 3+ 7 ) x 3 = 1 2 ( 11 4 + 7 11/ 4 ) =2,647727 =2,645751 Mesmo chutando muito mal, temos seis algarismos significativos coincidentes
Newton-Raphson e suas sutilezas Como qualquer criação humana, este método tem seus limites, sutilezas e fatos curiosos Vejamos isto num exemplo que foi apresentado no artigo de Thomas Dence Cubics, chaos and Newton s method na Mathematical Gazette 81, novembro de 1997, páginas 403-408
Newton-Raphson e suas sutilezas Determine as raizes do polinômio x 3 2 x 2 11 x+12 por Newton-Raphson usando os seguintes valores iniciais: 2,35287527 2.35284172 2.35283735 2.352836327 2.352836323
Newton-Raphson e suas sutilezas Ao fazer isto você verificará que cada valor convergirá para raizes diferentes 2,35287527 convergirá para 4 2.35284172 convergirá para -3 2.35283735 convergirá para 4 2.352836327 convergirá para -3 2.352836323 convergirá para 1
Newton-Raphson e suas sutilezas Isto enfatiza ainda mais a necessidade de conhecer a natureza do problema com o qual estamos usando qualquer método numérico, incluindo Newton-Raphson
Newton-Raphson A questão principal do Método de Newton-Raphson é o cálculo da derivada que, mesmo quando é fácil de determinar, exige um maior custo computacional
Newton-Raphson A questão principal do Método de Newton-Raphson é o cálculo da derivada que, mesmo quando é fácil de determinar, exige um maior custo computacional Em algumas situações pode ser de interesse calcular a derivada um passo sim, um passo não, já que o valor numérico do cálculo da derivada tende a estabilizar
Zeros de função Outra possibilidade está em calcular a derivada aproximadamente usando o
Zeros de função Teorema do Valor Médio para Derivadas Seja f(x) diferenciável no intervalo [A,B]. Então existe um ponto c dentro deste intervalo para o qual é válido f ' (c)= f (B) f ( A) B A ;c [ A, B]
Zeros de função Como a fórmula do TVM trabalha com um intervalo, voltaremos à esta situação e teremos de adaptar o Método de Newton- Raphson como abaixo x i+1 =x i f (x i ) f ' ( x i ) X=A f (x i ) B A f (B) f ( A) Mas observe que temos agora três valores: os limites do intervalo que contém c e x i.
Zeros de função Como a fórmula do TVM trabalha com um intervalo, voltaremos à esta situação e teremos de adaptar o Método de Newton- Raphson como abaixo Mas observe que temos agora três valores: os limites do intervalo que contém c e x i. Façamos x i =A x i+1 =x i f (x i ) f ' ( x i ) X=A f (x i ) B A f (B) f ( A)
Zeros de função x i+1 =x i f (x ) i B X=A f ( A) f ' ( x i ) A Af (B) Bf ( A) = f (B) f ( A) f (B) f ( A) que é a expressão obtida no Método Regula-Falsi.
Zeros de função x i+1 =x i f (x ) i B X=A f ( A) f ' ( x i ) A Af (B) Bf ( A) = f (B) f ( A) f (B) f ( A) que é a expressão obtida no Método Regula-Falsi. Observe que com isto descobrimos que Regula-Falsi: pode funcionar mesmo que R inicialmente não esteja em [A,B]; pode ter problemas de convergência com zeros múltiplos
Zeros de função Resumindo: o Método Regula-Falsi pode ser uma boa alternativa para determinar zeros de função, agora que sabemos um pouco sobre suas limitações.