A CONSTRUÇÃO DO CONCEITO DE ÁREA DE FIGURAS PLANAS COMO UMA GRANDEZA O PARALELOGRAMO Edjane Regina de Vasconcelos Universidade Federal de Pernambuco - UFPE joseanemano@bol.com.br Severino Manoel dos Santos Universidade Federal de Pernambuco - UFPE silvanoprof@gmail.com Silvano Severino da Silva Universidade Federal de Pernambuco - UFPE vascon17@gmail.com Resumo: Este trabalho apresenta os resultados de um estudo inicial que analisa a construção do conceito de área do paralelogramo em livros didáticos do 6º e 7º anos de uma coleção de matemática para o ensino fundamental, elaborada e adotada por uma rede particular de ensino. O mesmo corresponde a um extrato de um trabalho construído ao longo do curso da disciplina Tópicos em Didática das Grandezas e Medidas e objetiva especificamente mapear e analisar as atividades envolvendo área do paralelogramo nos referidos livros. A análise realizada encontra fundamentação na bibliografia discutida durante a referida disciplina, o que garante os pressupostos teóricos da Didática da Matemática Francesa, mais especificamente o conceito de área como uma grandeza autônoma, resultado da articulação entre os aspectos geométricos e numéricos desse conceito quando o aluno supera a concepção segundo a qual o cálculo é determinante para responder aos problemas, bem como a concepção geométrica que determina um amálgama entre figura e área e entre perímetro e contorno. Discute-se a proposta didática quanto à construção da área como grandeza; a posição da figura do paralelogramo; a proposta do texto para a construção da ideia de altura do paralelogramo; a construção do significado da fórmula do paralelogramo. Palavras-chave: Livro Didático; Área; Comprimento; Área do Paralelogramo. Introdução e Objetivo da Pesquisa Como resultado de análises assistemáticas, advindas da prática docente, constata-se que o texto dos livros didáticos de Matemática para a Educação Fundamental (compreendendo textos expositivos do conteúdo e os exercícios propostos) traz uma lacuna no que diz respeito ao trabalho de construção da área como grandeza. Considerando-se a importância do livro na sala de aula, seu poder de direcionamento das atividades desenvolvidas nesse espaço, opta-se, no presente trabalho por analisar os livros de uma coleção de Matemática para o Ensino Fundamental, com o Anais do 1
objetivo de verificar a proposta didática referente à abordagem da área dos polígonos, em especial do paralelogramo (não retângulo, não losango). Sob instigação do trabalho de Santos e Bellemain (2007) que estuda a área do paralelogramo no livro didático de matemática, elege-se como objetivo analisar a construção do conceito de área do paralelogramo em livros do 6º e 7º anos, de uma coleção de Matemática para o Ensino Fundamental elaborada e adotada por uma rede particular de ensino. Faz-se a análise apenas dos capítulos que tratam especificamente da área de figuras planas. Dado o caráter iniciante deste trabalho, o mesmo sugere a necessidade de aprofundamento em momento posterior. Fundamentação Teórica O presente trabalho constitui-se na atividade de conclusão da disciplina Tópicos em Didática das Grandezas e Medidas, e encontra fundamentação na bibliografia discutida durante a vivência da referida disciplina, o que garante os pressupostos teóricos da Didática da Matemática Francesa que embasam as reflexões contidas nos textos estudados. Como trabalho norteador adota-se Santos e Bellemain (2007, pp. 25 a 42) que consiste em um estudo que objetiva a identificação de regularidades em uma coleção de livros didáticos relativas à área do paralelogramo (p. 25). Toma-se o conceito de área como grandeza, explorado em vários trabalhos por Bellemain (2007) que adota, por sua vez, modelo proposto por Douady e Perrin-Glorian (1989), segundo o qual área como uma grandeza resulta da articulação entre os aspectos geométricos e numéricos desse conceito. A construção do conceito de área requer do aluno que supere a concepção numérica, segundo a qual o cálculo é determinante para responder aos problemas propostos, bem como a concepção geométrica que determina um amálgama entre figura e área e entre perímetro e contorno. A relação entre esses dois pensamentos é determinante para a construção da área como uma grandeza autônoma. Segundo Douady e Perrin-Glorian (1989, p.1) é necessário retardar Anais do 2
[ ] a identificação entre área e número devido à hipótese de que uma identificação precoce entre grandezas e números favorece o amálgama entre diferentes grandezas em jogo (no caso entre área e comprimento). As autoras propõem fazer a distinção entre área e comprimento antes mesmo de se proceder à medida da área (DOUADY e PERRIN-GLORIAN, 1989). E ainda que conceituar área como grandeza deve ser anterior à aprendizagem de sua medida, visão adotada por Melo e Bellemain (2008). Como procedimento que favorece a construção de área como grandeza, alguns autores apostam no trabalho simultâneo ao da construção do perímetro. Perrota (2005), ao fazer levantamento de estudos sobre o ensino de área e perímetro destaca que [ ] os trabalhos que enfatizam isoladamente o perímetro de figuras mostram pouco significado e seus problemas mal selecionados podem provocar o estabelecimento de relações entre perímetro e tamanho da figura Franchi apud Perrota (2005, p. 84). O texto dos Parâmetros Curriculares Nacionais (1998) vem corroborar com essa visão quando sugere, em sua orientação metodológica, que os alunos sejam colocados ante situações-problema em que as noções de área e perímetro estejam presentes (p.131). No texto referência para este trabalho (SANTOS e BELLEMAIN, 2007) as autoras estudam o desenho prototípico do paralelogramo que [ ] apresenta o lado de maior comprimento na posição horizontal e é 'inclinado para a direita' (op. cit., p.25), predominante no texto didático bem como [ ] a ênfase insuficiente em questões tais como a invariância da área com relação à escolha do lado tomado como base (op. cit., p. 25), o que as autoras apontam como possível causa de [ ] lacunas no conhecimento dos alunos acerca desse tema (op. cit., p.25). Sabe-se da divulgação por meio do texto didático, e do trabalho do próprio professor em sala de aula, do desenho do paralelogramo como uma figura fixa, cujas propriedades se escondem sob a imagem estática de um desenho que mais confunde que esclarece. Como destacam Santos e Bellemain (2007, p.26) [ ] o aluno não conhece as características do paralelogramo como figura geométrica e lida com desenhos de paralelogramos. As autoras buscam achados de pesquisas anteriores que fazem a distinção entre a Anais do 3
figura geométrica, que é um objeto geométrico, e desenho como representação gráfica de uma ideia Capponi e Laborde apud Santos e Bellemain (2007, p. 26), e reforçam a distinção entre os dois conceitos. Destacam que, no ensino da geometria, a complexidade da relação entre desenho e figura é reforçada pela ausência dessa diferenciação, que passa a parecer que não existe. Daí a importância, a relevância do livro didático no desfazer da confusão entre esses dois elementos que vêm sendo veiculados com uma identificação tal que, praticamente, sinonimiza os dois conceitos; o livro, na maior parte das vezes, trata desses conceitos distintos como se fosse uma só e a mesma coisa. O texto referido chama a atenção para a construção de conhecimentos relativos ao paralelogramo que, segundo Capponi e Laborde apud Santos e Bellemain (op. cit. p.31) [ ] se dá por meio de uma articulação entre as propriedades que são declaradas acerca dessa figura e as características dos desenhos que a representam. O texto refere-se, ainda, a dificuldades conceituais de aprendizagem relativas à área do paralelogramo como: [ ] a distinção entre área e perímetro, os efeitos da deformação do paralelogramo sobre área e perímetro e o uso de fórmulas Santos e Bellemain (op. cit. p. 28), assinala, também, que Há indícios de uma origem não apenas didática, mas também epistemológica para as lacunas, para os erros e as dificuldades dos alunos relativas a esse conteúdo[ ] Santos e Bellemain (op. cit. p. 28). E, a partir do exposto, com as autoras, questiona-se se a maneira eleita pela escola para abordar esse conteúdo, com o destaque para os livros didáticos, de conteúdo ofertado ao aluno como pronto e acabado, não tem muito mais reforçado as dificuldades apresentadas pelo aluno do que mesmo o ajudado a superá-las. Neste sentido tem-se como objetivo geral analisar a construção do conceito de área do paralelogramo em livros do 6º e 7º anos, de uma coleção de Matemática para o Ensino Fundamental e, especificamente, objetiva-se mapear e analisar atividades envolvendo área do paralelogramo nos referidos livros. Metodologia Por se tratar de um estudo realizado como atividade final da disciplina Tópicos em Didática das Grandezas e Medidas, durante as aulas ministradas se foi tomando contato Anais do 4
com os autores que produzem trabalhos sobre o tema. Nessas oportunidades o presente trabalho delineava-se e resultou na escolha por analisar os livros do 6º e 7º anos, de uma coleção de Matemática para o Ensino Fundamental elaborada e adotada por uma rede particular de ensino, objetivando estudar as contribuições dos autores para a construção da área como grandeza geométrica autônoma. Tal escolha justifica-se por se tratar de uma coleção que se constitui no material didático utilizado em sala de aula pelo grupo que desenvolve este estudo. Critérios de Análise Foi feito um mapeamento nos livros de modo a observar: - a proposta didática quanto à construção da área como grandeza (se o enfoque dos autores é no aspecto numérico ou geométrico, ou na direção da superação de ambos); - a posição da figura do paralelogramo (se o desenho do paralelogramo segue o modelo de figura prototípica); - a proposta do texto para a construção da ideia de altura do paralelogramo (que lado da figura é considerada como base para o cálculo da altura); - a construção do significado da fórmula do paralelogramo (que tipo de abordagem introduz o uso da fórmula). Análise dos Resultados Análise da abordagem da área do paralelogramo na obra estudada O texto do volume referente ao 6º ano trata em seu capítulo 16 (dos 17 que comporta) das Medidas e números decimais, prevalecendo o foco sobre os números decimais. O enfoque dado a perímetro e área é secundário, tornando estes conteúdos, em muitas atividades de operações numéricas, instrumentos, na concepção de Douady e Perrin-Glorian (1989). O perímetro é abordado separadamente da área, no início do capítulo, por um espaço de sete páginas, comportando 10 atividades. Tal posicionamento dos autores pode reforçar o surgimento de erros que traduzem a confusão entre área e perímetro sinalizada Anais do 5
por Melo e Bellemain (2008). Introduzem o tema área, cinco páginas depois, com uma atividade prática de recobrimento de superfície de algumas figuras com monominós e dominós. Esse trecho ocupa oito páginas, aproximadamente. Afastando-se dessa atividade inicial, os autores seguem alternando atividades em que a área é resultado da contagem de unidades de área, e área como produto entre o comprimento e a largura (e não entre o comprimento dos lados, expressão preferida por Bellemain (2000), conduzindo ao entendimento de que área é a medida da superfície. A precocidade da apresentação da fórmula (A = c x l, área do retângulo= comprimento X largura ) Chica e Jesus (2007, p. 338), o destaque para a medida em centímetros quadrados (cm 2 ) dos quadradinhos usados como unidade de medida, em uma das atividades iniciais (p. 336), a exposição em texto denso e pouco atrativo do sub-tópico Unidades de medidas de área (com quadro dos múltiplos e submúltiplos da unidade metro quadrado, (p.337 e 338) ), denunciam forte ênfase no aspecto numérico, pensamento que predomina no texto. Após atividades por meio das quais as unidades-padrão recebem destaque, é proposta uma atividade que retoma o raciocínio da atividade inicial em que a unidade de área foge ao padrão em cm 2 e passa a ser a superfície menor a unidade de área das superfícies maiores (Fig.1). Essa atividade, de número 35, é posta em espaço exíguo da página, seguida da questão 36, cujo nível de complexidade e direcionamento para resolução se revelam incompatíveis com o trabalho desenvolvido ao longo do texto até este ponto. Além de, a exemplo da questão 35, o espaço para e a configuração da questão serem, visivelmente, inadequados ao raciocínio requerido e à idade das crianças, com o agravante de ser uma atividade para resolução em casa. Pode-se classificar esse exercício em um dos que favorecem a superação de concepções numéricas Chica e Jesus (2007, 339). Anais do 6
Determine as áreas dos polígonos A e B, empregando as unidades de medidas Tri, Pa e Hexa. Após determinar as áreas dos polígonos, responda às questões: a) Por que existem 3 valores diferentes para a área do polígono A e do polígono B? b) O que aconteceu com a superfície dos polígonos A e B, quando você utilizou as diferentes unidades de medidas? Elas aumentaram, diminuíram ou permaneceram as mesmas? Por quê? Figura 1 Exercício 35, p.339 Livro do 6º ano. Observa-se, portanto, uma oscilação entre trabalhar com a contagem de unidades aspecto unidimensional de área e como produto de duas dimensões bidimensionalidade da área em relação ao comprimento (BELLEMAIN, 2000) como se os autores temessem se afastar do padrão de livro didático em que a medida recebe destaque e o aspecto numérico tem valor predominante sobre a relação entre o pensamento geométrico e o numérico. O livro texto do 7º ano inicia definindo área, perímetro e o ato de medir. Ou seja, os autores vão na contramão daquilo a que se propõem no manual do professor, quando definem o Iniciando a Conversa como um texto que se constitui numa Anais do 7
[ ] chamada para o tema de estudo. A idéia é que os alunos sintam-se provocados e envolvidos no conteúdo que será desenvolvido (Chica e Jesus, 2007, p. 35 ). Área é definida como a medida de uma superfície Chica e Jesus (2007, p.264), e exemplificada em cm 2 e, das atividades que se seguem, são requeridas as respostas, os cálculos sempre em cm 2, ou m 2, ou km 2. Perímetro é definido como a medida de um contorno e o [ ] comprimento da linha que separa o interior de uma figura geométrica plana do exterior, enquanto que a área é a medida do interior dessa figura Chica e Jesus (2007, p. 264), reforçando a ideia de área como um número. E, por fim, medir é definido por [ ] nada mais é do que fazer uma comparação. Chica e Jesus (2007, p. 264) ao que se contrapõem Bellemain e Teles 1 quando afirmam que o ato de medir não se encerra, não se completa na ação de comparar, mas, necessariamente, resulta em uma medida. Quanto ao conceito de área é patente o privilégio ao aspecto numérico quando confunde-se área (grandeza) e medida da área e afirma-se: A área do paralelogramo é o produto entre a medida da base e a medida da altura do paralelogramo Chica e Jesus (2007, p. 289). Uma vez que define área como um número, perde-se toda a possibilidade de construir um raciocínio geométrico-numérico, em que os dois quadros se relacionam de modo a favorecer a construção da área como uma grandeza segundo Douady e Perrin- Glorian (1989). A grande contribuição dos autores diz respeito ao esclarecimento sobre o que é a altura de uma figura geométrica, e sobre que lado definir como base da figura, desfazendo a ideia corrente nos textos didáticos sobre ser a base, necessariamente, o segmento de reta que está paralelo à horizontal da folha (embora, na exemplificação, dos seis desenhos, cinco apresentam a base nessa acepção, o que não ocorre no restante do capítulo). No texto que se propõe a construir a altura do paralelogramo, a figura perde o perfil prototípico referido por Santos e Bellemain (2007, pp. 25-42), assim também nos demais exercícios e textos sobre a área do paralelogramo. 1 Anotações de aula, em 15-09-2009, com as Professoras Paula M. B. Bellemain e Rosinalda A. M. Teles. Anais do 8
Chama, porém, a atenção o fato de a figura em destaque, o paralelogramo, aparecer na seção Organizando a conversa, pretendida pelos autores como aquela respeitante à fundamentação teórica de cada tema (CHICA e JESUS, 1989), no modelo prototípico analisado por Santos e Bellemain (2007, p.25), que assim o descrevem: [ ] apresenta o lado de maior comprimento na posição horizontal e é 'inclinado para a direita', além de trazer determinada a altura interna (Fig. 2). Figura 2 Texto explicativo, p.288 Livro do 7º ano. As referidas autoras veem como possibilidade de utilização desse desenho apenas como resgate do conhecimento prévio, no início de uma abordagem feita (SANTOS e BELLEMAIN 2007). Considerando os dois capítulos que tratam das figuras planas: Classificando quadriláteros (cap.10) e Área de paralelogramos, triângulos e trapézios (cap.12), encontram-se 51 desenhos de paralelogramos, desses, apenas 13 em modelo prototípico. Observa-se, do exposto, a contribuição positiva do texto em estudo no sentido da construção do paralelogramo como uma figura livre de estereótipos. No que diz respeito à construção do conceito de área do paralelogramo, a proposta didática encontra-se muito aquém da concepção presente nos estudos revistos para este trabalho, visto que o foco é dado estritamente ao aspecto numérico: quando elege as unidades de comprimento e de área padronizadas; quando ao tratar da altura do paralelogramo o faz como algo pronto, dado ao aluno e não construído; e quando o uso da fórmula recebe status de objetivo maior e final de toda a sequência desenvolvida ao longo do capítulo. Área como grandeza geométrica autônoma parece distante da concepção dos Anais do 9
autores que se decidem pela abordagem tradicionalmente observada nos livros didáticos. Considerações Finais Da análise feita, depreende-se que os textos didáticos passam ao largo de uma proposta que tem a construção da área como uma grandeza autônoma. O ladrilhamento como alternativa à área como produto dos comprimentos dos lados, não garante a construção de área na concepção de Douady e Perrin-Glorian (1989) e de seus seguidores. Confirma sim a ênfase no aspecto numérico dessa construção. Constata-se que no livro do 6º ano as questões que ensaiam trabalhar com a invariância da área, com a comparação de áreas são absorvidas pela tônica presente e marcante do número como resultado; parece inconcebível aos autores que a área possa ser medida sem que resulte em número ligado a uma unidade padrão. A opção por trabalhar medidas e números decimais num só capítulo redundou no privilegiamento deste tema sobre aquele, além de as medidas serem o foco em detrimento da grandeza. No sentido literal, vê-se que os autores foram coerentes com o título escolhido para o capítulo. Do livro do 7º ano, pode-se afirmar que como contribuição efetiva para a construção de conhecimentos relativos ao paralelogramo, encontra-se a definição de altura de uma figura e do que é a base dos polígonos e sólidos geométricos como ápice do texto, assim como a decisão patente de fugir à divulgação da figura descaracterizada por um desenho prototípico que induz a erros e confusões. A desvinculação da ideia de base à horizontalidade da página, ou do chão, a depender do contexto que está sendo analisado, colabora com o desfazer de estereótipos do paralelogramo, bastante divulgado e sedimentado no saber escolar pelo texto didático. Quanto à construção do conceito de área do paralelogramo como uma grandeza, o texto caminha no sentido oposto ao da construção da relação necessária entre o quadro geométrico e o numérico. Dessa forma, reafirma a supervalorização deste sobre aquele impedindo um vislumbre de mudança, muito menos oposição declarada aos textos tradicionalmente veiculados pelo livro didático. Anais do 10
Referências Bibliográficas BELLEMAIN, Paula Moreira Baltar. Um candidato a obstáculo à aprendizagem dos conceitos de comprimento e área como grandezas. In: II HTEM Colóquio História e Tecnologia no Ensino da Matemática, 2004 Rio de Janeiro. *Anais do segundo colóquio de História e Tecnologia no Ensino de Matemática*. Rio de Janeiro: IME-UERJ, 2004. pp. 183 189.. Estudo de situações-problema relativas ao conceito de área. In: X ENDIPE ENCONTRO DE DIDÁTICA E PRÁTICA DE ENSINO, 2000, Rio de Janeiro. *Ensinar e aprender: sujeitos, saberes, tempos e espaços*. 2000. CHICA, C. E JESUS, H. L. Matemática: Ensino Fundamental, 5ª série/6º ano. 3ª reimpressão. Brasília CIB Cisbrasil. Coleção RSE Rede Salesiana de Ensino. 2007 Matemática: Ensino Fundamental, 6ª série/7º ano. 2ª reimpressão. Brasília CIB Cisbrasil. Coleção RSE Rede Salesiana de Ensino).2007 DOUADY, R. e PERRIN-GLORIAN, M. J. Un processus d`apprentissage du concept d'aire de surface plane. Tradução Livre, de circulação restrita de Cavalcanti, M. S. M. de Sá; Baltar, P. M. B; Pessoa, G. S. P. e Prates, U. S. Educational studies in mathematics 20. pp. 387-424. 1989. MELO, M. A. P. e BELLEMAIN, P. M. B. Identificando concepções numéricas e geométricas na resolução de um problema de área e perímetro. 2º SIPEMAT (Simpósio Internacional de Pesquisa em Educação Matemática, 2008. PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS: Educação Fundamental. - Brasília: MEC/SEF, 1998. Matemática / Secretaria de PERROTA, R. C. Considerações sobre o ensino de área e perímetro. Dialogia, São Paulo, v. 4, pp. 81-88, 2005. SANTOS, M. R. e BELLEMAIN, P. M. B. A área do paralelogramo no livro didático de matemática: uma análise sob a ótica do contrato didático e das variáveis didáticas. Educação Matemática em Revista. Número 23 Ano 13, pp. 25-42, 2007. Anais do 11