Equações Diferenciais

Equações Diferenciais

EQUAÇÕES DIFERENCIAS Em qualquer processo natural, as variáveis envolvidas e suas taxas de variação estão interligadas com uma ou outras por meio de princípios básicos científicos que governam o processo. Quando esta relação é expressa em símbolos matemáticos, o resultado é frequentemente uma equação diferencial. Talvez a aplicação mais importante do cálculo sejam as equações diferenciais. Quando cientistas físicos ou cientistas sociais usam cálculo, muitas vezes o fazem para analisar uma equação diferencial que tenho surgido no processo de modelagem de algum fenômeno que eles estejam estudando. Embora, em geral, seja quase impossível encontrar uma fórmula explícita para a maioria das solução de uma equação diferencial, veremos que as abordagens gráficas e numéricas fornecem a informação necessária. 2

CAMPO DE DIREÇÕES Geometricamente, o conjunto de solução de uma equação diferencial ordinária de primeira ordem define um conjunto de curvas com traço no plano xy. Essas curvas designam-se por curvas integrais da equação diferencial. Cada uma das curvas integrais é solução de um determinado problema do valor inicial. Para cada ponto (x, y) a equação diferencial define y, isto é, para cada ponto (x, y) conhecemos o valor da inclinação da reta tangente ao traço da curva integral que passa nesse ponto. Dizemos que uma equação diferencial y = f(x, y) gera um campo de direções no plano xy. Se em cada ponto (x, y) representarmos a reta com inclinação f(x, y) obtemos uma representação do campo de direções associado à equação diferencial. As soluções da equação diferencial são curvas cujas tangentes em cada ponto são definidas por essas inclinações. Isto sugere um método geométrico para entender aproximadamente como deveriam ser as curvas integrais da edo. Para isto, traçamos um pequeno segmento de reta em cada ponto (x, y) com coeficiente angular m = f(x, y). 3

CAMPO DE DIREÇÕES Vejamos alguns exemplos: 1. Considere a edo y = y. Calculando alguns coeficientes angulares: 4

CAMPO DE DIREÇÕES 2. Considere a edo y = x y. Calculando alguns coeficientes angulares: 5

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ESTUDO QUALITATIVO Como vimos nos exemplos anteriores a análise do campo de direções associado a uma equação diferencial permite conhecer propriedades das soluções mesmo sem possuirmos a expressão analítica que define a solução. Designamos por estudo qualitativo ao estudo do comportamento das soluções de uma dada equação diferencial sem a resolver. Em muitas situações reais não pretendemos conhecer a lei que descreve um determinado problema mas apenas descrever o comportamento das soluções desse problema. Noutras situações não é possível por meios analíticos obter a solução e o estudo qualitativo é essencial. O esboço do campo de direções associado à equação diferencial é um instrumento importante para o estudo qualitativo. Para caracterizar o comportamento das soluções de uma equação diferencial de primeira ordem e uma vez que conhecemos uma expressão para a primeira derivada temporal, estudando a função derivada podemos descrever o comportamento das soluções da equação diferencial. Vejamos dois modelos como exemplos: 7

UM OBJETO EM QUEDA 1. Suponha que um objeto esta caindo na atmosfera, perto do nível do mar. Formule uma equação diferencial que descreva o movimento. 8

UM OBJETO EM QUEDA 1. Suponha que um objeto esta caindo na atmosfera, perto do nível do mar. Formule uma equação diferencial que descreva o movimento. Como a velocidade deve variar com o tempo, consideremos v como uma função de t. Como as unidades de medida não estão especificadas, vamos medir o tempo t em segundo (s) e a velocidade v em metros por segundo (m/s). Vamos supor também que a velocidade v é positiva quando o sentido do movimento é para baixo, isto é, quando o objeto esta caindo. Da 2ª lei de Newton: F = ma, Segue que F = m e como a = (1) 9

UM OBJETO EM QUEDA Por outro lado, as forças que agem em um objeto em queda são: mg devido à gravidade que exerce uma força igual ao peso do objeto (no sentido do movimento). Existe também uma força devido à resistência do ar que, supõese, é proporcional à velocidade kv (no sentido contrário ao movimento), isto é F = mg kv 2 Assim, das equações (1) e (2), vem: m = mg kv = g k v (3) m Para resolver a Eq.(3) precisamos encontrar uma função v = v(t) que satisfaça a equação. A seguir, vamos tomar um exemplo para esse modelo e fazer uma análise qualitativa, interpretando geometricamente, através de seu campo de direções. 10

UM OBJETO EM QUEDA Vamos supor que m = 10kg e k = 2kg/s. Assim: = g k m v = 9,8 2 10 = 9,8 v 5 Se v = 40, Se v = 50, então então = 1,8 = 0,2 11

UM OBJETO EM QUEDA Vamos supor que m = 10kg e k = 2kg/s. Assim: = g k m v = 9,8 2 10 = 9,8 v 5 Se v = 40, então = 1,8 Se v = 50, então = 0,2 Podemos pensar que se v for menor que um certo valor crítico, então todos os segmentos de reta têm coeficientes angulares positivos e a velocidade do objeto em queda aumenta enquanto ele cai. Por outro lado, se v for maior do que o valor crítico, então os segmentos de reta têm coeficientes angulares negativos e o objeto em queda vai diminuindo a velocidade à medida que cai. 12

UM OBJETO EM QUEDA Qual é esse valor crítico que separa os objetos cuja velocidade esta aumentando daqueles cuja velocidade esta diminuindo? 13

UM OBJETO EM QUEDA Qual é esse valor crítico que separa os objetos cuja velocidade esta aumentando daqueles cuja velocidade esta diminuindo? Quais valores de v farão com que seja zero? 14

UM OBJETO EM QUEDA Qual é esse valor crítico que separa os objetos cuja velocidade esta aumentando daqueles cuja velocidade esta diminuindo? Quais valores de v farão com que seja zero? A função constante v = 49, é uma solução. Como essa solução não varia o tempo, v(t) = 49 é chamada de solução de equilíbrio. Essa é a solução que corresponde a um equilíbrio entre a gravidade e a resistência do ar. Ver figura no Winplot 15

RATOS DO CAMPO E CORUJAS Considere uma população de ratos do campo que habitam uma certa área rural. Vamos supor que, na ausência de predadores, a população de ratos cresça a uma taxa proporcional à população atual. dp = rp Onde o fator de proporcionalidade r é chamada taxa de crescimento. Agora aumentemos o problema supondo que diversas corujas vivem na vizinhança e que elas matam k ratos do campo por dia. dp = rp k 16

RATOS DO CAMPO E CORUJAS Como exemplo, vamos supor que o tempo seja medido em meses e que a taxa r tem valor de 0,5 ao mês e que as corujas matam 15 ratos do campo por dia. Dessa forma, k = 450. Logo, dp = rp k dp = 0,5P 450 17

RATOS DO CAMPO E CORUJAS Como exemplo, vamos supor que o tempo seja medido em meses e que a taxa r tem valor de 0,5 ao mês e que as corujas matam 15 ratos do campo por dia. Dessa forma, k = 450. Logo, dp = rp k dp = 0,5P 450 Se P = 850 então dp = 25 Se P = 950 então dp = 25 18

RATOS DO CAMPO E CORUJAS Como exemplo, vamos supor que o tempo seja medido em meses e que a taxa r tem valor de 0,5 ao mês e que as corujas matam 15 ratos do campo por dia. Dessa forma, k = 450. Logo, dp = rp k dp = 0,5P 450 Se P = 850 então dp = 25 Se P = 950 então dp = 25 Fazendo dp igual a zero, encontramos a solução de equilíbrio P t = 900, quando as expressões para o crescimento e para a ação predatória estão perfeitamente equilibradas. Ver figura no Winplot 19