Proposta de Exame Final Nacional do Ensino Secundário Prova Escrita de Matemática A. O ANO DE ESOLARIDADE Proposta de resolução
GRUPO I. (Número de maneiras de nos lugares da fila escolher lugares para as raparigas. Os restantes 0 lugares serão ocupados pelos rapazes por ordem crescente das alturas.) Resposta: (B). P( A B) P( A B) P( A B) 0, 9 0,9 0,9 P( A B) P A B 0,9 0, P A B 0,5 P A B 0,5 P A B 0,5 P A B 0,5 P A P B P( A B) P( A) + P( B) P( A B) 0,5 P B + P B 0, P B 0, 6 P B 0, Resposta: (B). f f 0 0 g x 4x e + 5 f x 4x 4x 4x 4x e + 5 f x e + 5 f x 4e f x e + 5 f x g ( x) f ( x) f ( x) Ponto de tangência: ( 0, ), dado que g Declive: m g 4 0 e + 5 + 5 0 f 0 f 4 0 4 0 4e f 0 e + 5 0 4 6 0 f ( 0) Equação da reta tangente: x + Resposta: (A) Proposta de resolução Página
4. log b a e log b c logcc logaa logbc logba 5 log log cb ab + Resposta: (D) 5. 5 5 n> 0 n N n< n N n n Logo, u n u > n 0, n + {, } e u { } n u < n 0, + n N \, u < u < u > u > u >... 4 5 Portanto, u u, n N. omo n limitada. Resposta: () n u é uma sucessão de termos positivos, então 0 un u, n < N, ou seja, u é n 6. A( 0, ) e B( x, 0) A( 4, ) e B(, ) Sabemos que A+ A B + B. A+ A B + B 0, + 4, x, 0 +, 0+ 4 x + x 0+ 6 Assim, A ( 0, 6) e (, 0) m AB 0 6 0 B. A reta AB tem declive AB: x + 6 Resposta: (A) A. e passa em ( 0, 6) 7. Se f é derivável em R, então f é contínua em R. Logo, Em particular, limf ( x) f ( ) x. lim f x f a, a R. x a Proposta de resolução Página
omo a reta de equação x + é tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa, temos que f ( ) + (o ponto de tangência pertence à reta tangente e ao gráfico de f ). Portanto, f ( x) lim. x Resposta: (D) 8. As imagens geométricas dos números complexos z tais que z + pertencem à circunferência de centro (, 0) e raio. Im(z) A O Re(z) B A imagem geométrica do número complexo z i é o ponto B( 0, ). Seja A o ponto da circunferência cuja distância a B é máxima. Então, é um ponto de AB, pelo que: AB A + B + + + Resposta: (A) GRUPO II. 5 4 + z + i + i + i i z + tan(arg z) argz 4.º quadrante z cis u é um argumento de z z cisθ θ z + + cis ( θ ) cis cis Proposta de resolução Página 4
z Se a imagem geométrica, no plano complexo, do número complexo pertence à bissetriz z do segundo quadrante, então θ + + k, k Z. 4 θ + + k, k Z θ + k, k Z 4 4 k θ + k, k Z θ +, k Z 4 Se k 0, θ. 7 Se k, θ +. 4 5 Se k, θ +. 4 omo θ,, temos 5 θ +. 4 4 z cisθ cos + + isin + cos isin i 4 4 4 4.. Sejam os acontecimentos: A: A caixa escolhida é a A B: A caixa escolhida é a B : As duas bolas retiradas são iguais Pretende-se determinar P( B ). P ( A ) (As bolas da caixa A são iguais.) álculo de P ( B ): A caixa B tem quatro bolas pretas e quatro brancas. Número de casos possíveis: 8 8 Número de casos favoráveis: 4 4 + 6 (escolha de duas bolas brancas ou de duas bolas pretas) P ( B ) 8 7 P( B ) P( B) P ( B) P( B ) 7 P P( A ) + P( B ) + 7 4 7 4 4 7 7 0 + + + 0 4 4 7 4 4 4 A B Proposta de resolução Página 5 7
.. Número de casos possíveis (é o número de sequências com oito letras B e oito letras P): 4 70 (ou 8 8! 4! 4! 70) Número de casos favoráveis: Nas quatro primeiras posições da sequência têm de aparecer duas vezes a letra B e duas vezes a letra P (por exemplo: BPPB BPPB). Logo, o número de casos favoráveis é 4 6. A probabilidade pedida é 6 P. 70 5. f ( x) sin xsin( x), D [ 0, ] +.. f ( x) ( sin x) sin( x) sin x( sin( x) ) f sinx sinx sin x + sin x cos x sinxcosxsin x + sin x cos x sinxcosx sinxcosx + sin x cos x sin x 4sin xcos x + sin x cos x ( cos x) sin x cos x + cos x + cos x ( x ) sin x 4cos.. Ponto de tangência: P, 0 Declive:, dado que f sin sin 0 0 f ( ) sin 4cos 4 0 Equação da reta tangente: 0 x x +.. f ( x) 0 sin x( 4cos x ) 0 x [ 0, ] ( sin x 0 4cos x 0) x [ 0, ] sinx 0 cos x x [ 0, ] 4 x 0 x cosx cosx x [ 0, ] x 0 x x x Proposta de resolução Página 6
f x 0 f 0 + 0 0 + 0 f 0 ր ( 0) sin 0sin0 0 f ( ) 8 ց ր 0 8 Mín Máx Mín Máx f sin sin 8 4 f sin sin 8 f é estritamente crescente em 0, e em, e estritamente decrescente em,. f admite mínimos relativos para x 0 e x respetivamente iguais a 0 e a. 8 f admite máximos relativos para x e x respetivamente iguais a 8 e a 0..4. Área do triângulo [AB] : AB f a AB f a f a AB AB 4 4 f f ( a) A B O a x omo a reta AB é paralela ao eixo Ox e AB, temos (, ) A a f a e B a +, f ( a ), pelo + f x f x + 0. que a é a solução da equação: f ( x) f x Proposta de resolução Página 7
Recorrendo à calculadora consideraram-se, no intervalo 0,, as funções definidas por e Y sin xsin x Foi obtido o seguinte resultado: Y Y x Y x + e determinou-se o zero de Y. Y O 0,78 x A abcissa do ponto A é aproximadamente igual a 0,78. 4. g( x) x ( x ) e se x < lnx + se x x 4.. g( x) ( x ) x x x 0 lim lim e 0 e 0 e 0 0 0 lnx + ln+ 0+ limg x lim x g + x x limg x limg( x) + x x Logo, f é descontínua no ponto x. 4.. Quando x : x g( x) ( x ) e 0 lim lim x x x lim e lim e ( 0) e x x x x m x x x x b lim g( x) x lim ( x ) e x x x x e lim e lim x 0 e lim 0 0 ( ) x x x + Se x, então 0. A reta de equação x é uma assíntota ao gráfico de g quando x. Proposta de resolução Página 8
Quando x + : lnx + lnx lnx limg( x) lim lim + lim + lim 0+ 0 0 x + x + x x + x x x + x x + x A reta de equação 0 é uma assíntota ao gráfico de g quando x +. 4.. Em ], + [: lnx + + + g ( x) x ( lnx ) x ( lnx ) ( x) ( x) x ( lnx + ) x 4 4lnx 4lnx lnx 4x 4x 4x x x ( lnx) 4x lnx 4x 4x( lnx) g ( x) x 4 4 x 4x 4x ( + ) 4x lnx lnx 4 4x x lnx g ( x) 0 x ], + [ 0 x ], + [ x ] [ ] [ lnx 0 x, + lnx x, + x e g ( e) lne+ + e e e x e + g 0 + g 8 P.I. O gráfico de g tem a concavidade voltada para baixo em ], e ] e voltada para cima em [ e, + [. O ponto e, e é um ponto de inflexão do gráfico de g. 5. α : x + + 6z + 0 ; V 5,, ; S ( x ) ( ) ( z ) : + + + 5.. A reta V passa em V e é perpendicular a α. Logo, n (,, 6) e, por ser um vetor normal aα, então é um vetor diretor de V. 5 V: ( x,, z),, + k(,, 6 ), k R Proposta de resolução Página 9
5.. é a interseção de V com α : x + + 6z + 0. Um ponto da reta V é da forma 5 + k, + k, + 6 k. Substituindo x por 5 + k, por + k e z por + 6k na equação do plano α, obtemos: 5 + k + ( + k) + 6( + 6k) + 0 0 4k + 9k + 6k + + 6+ 6+ 0 49 49k k Portanto, dado que o ponto é a interseção da reta V com o plano α, as coordenadas de obtêm-se substituindo k por em 5, +, + 6 ou seja, (,, ). 5 + k, + k, + 6 k : 5.. O ponto (,, ) ( x ) ( ) ( z ) + + +. é o centro da superfície esférica de raio igual a definida por omo o plano α passa no ponto, a interseção deste plano com a superfície esférica é uma circunferência de raio. Logo, a base do cone é um círculo de raio. Altura do cone: 5 4 49 7 V + ( ) + ( + ) + + 4 9 9 7 7 V cone 9 A medida do volume do cone é 7. 9 FIM Proposta de resolução Página 0