Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I LEIC o Sem. 009/0 a FICHA DE EXERCÍCIOS I. Inequações e módulos. ) Mostre que:.. x R : x x + < =, 7, +.. x R : x x + = 7,.. x R : x + x =, 7, +.4. x R : x + x > =, 7.5. x R : x x + < =, 5, +.6. x R : x x + = 5,.7. x R : x + x =, 5, +.8. x R : x + x > =, 5.9. x R : x x + < =, +.0. x R : x x + =,.. x R : x + x =,.. x R : x + x > =, +.. x R : x x + < x =,, +.4. x R : x x + x =,,.5. x R : x + x > x =,,.6. x R : x + x x =,, +.7. x R : x + 4 x < x =,, +.8. x R : x + 4 x x =,,.9. x R : 4 x x + > x =,,.0. x R : 4 x x + x =,, +.. x R : x 7 x < x =, 7, +.. x R : x 7 x x =, 7,.. x R : x + 7 x + x =, 7,.4. x R : x + 7 x + > x =, 7, +
CDI I - LEIC FICHA ) Mostre que:.. x R : x + = = 5,.. x R : x + =,.. x R : x > =, 5, +.4. x R : < x < =,,.5. x R : < x 5 =, 5, 7.6. x R : x > x 0 = 0, 5, +.7. x R : x + x + > 0 =,.8. x R : 4x < =,.9. x R : 4x + > =,, +.0. x R : 5 x =, 7.. x R : 5 + x =, 7, +.. x R : 4x + > 5 =,, +.. x R : 4x < 5 =,.4. x R : 5x + =,, + 5.5. x R : 5x =, 5.6. x R : x 4 =, 5.7. x R : x + 4 =, 5, +.8. x R : x + > 5 =, 4, +.9. x R : x < 5 =, 4.0. x R : x < =,.. x R : + x > =,, +.. x R : 5x 4 =, 5.. x R : 5x + 4 =,, + 5.4. x R : 5 x < =,.5. x R : x + 5 > =,, +.6. x R : 5 6x =,.7. x R : 6x 5 > =,, +.8. x R : 9 x < = 4, 5.9. x R : x 9 =, 4 5, +.0. x R : 4 x < 8 = 4, 4.. x R : x 4 8 =, 4 4, +.. x R : 4x 7 =, 5.. x R : 4x > 7 =, 5, +.4. x R : 7 x =, 4.5. x R : x 7 > =, 4, +.6. x R : 5 x < 9 =, 7.7. x R : x 5 9 =, 7, +.8. x R : 5 x < = 4,.9. x R : x 5 =, 4, +.40. x R : < x + 5 = 8, 5, ) Interprete cada uma das alíneas do exercício () em termos de distâncias, e se for caso disso, vizinhanças.
CDI I - LEIC FICHA 4) Mostre que:.. x R : 4 < x < 9 =,,.. x R : 9 (x ) < 5 = 4, 4, 6.. x R : x > 0 x 0 =,,.4. x R : x 4 0 x + > 0 =,.5. x R : x x 0 =,, +.6. x R : x x > 0 =,.7. x R : x =,,.8. x R : x + x = 5 =, +.9. x R : x + x < 5 =, +.0. x R : 5 + x x 9 =, 4 7, + 7 6, +.. x R : x + x 5 < 9 = 6, 7 + 7, 4.. x R : 4x x > =, 7, + 7, +.. x R : x + 4x = 7,, + 7.4. x R : x 5x + =, 0, 5, +.5. x R : x + 5x + < = 5,, 0.6. x R : x + 4x > =, 5 5, + 5, +.7. x R : + 4x x =, 5 + 5, 5.8. x R : x 5x =,,, +.9. x R : x + 5x < =,,.0. x R : + 4x x > =, 0 0, 4 + 0.. x R : x + 4x = 0, 4 0, + 0.. x R : x + x =, 4, 0, +.. x R : + x x < =, 0, 4.4. x R : x 5x + =, 0, 4 5, +.5. x R : x + 5x + < = 5, 4, 0.6. x R : x x > =, 0,, +.7. x R : x + x =, 0,.8. x R : x + 4x > =,, 0, +.9. x R : + 4x x =, 0,.0. x R : x + x 7 =, 5 4,, +.. x R : x x 7 < =, 4, 5.. x R : 4 x x =,,, +.. x R : x x 4 < =,,.4. x R : x + x > =, 5,, +.5. x R : + x x =,, 5.6. x R : 5x + 4x > =, 4 5, 0.7. x R : 5x 4x =, 0 4, 5 5.8. x R : 5x + 4x 5 4 =, 5 9,.9. x R : 5 + 4x 5x < 4 =, 5, 9 5, + 5, + 5, +
4 CDI I - LEIC FICHA II. Axioma do Supremo. ) Seja A um subconjunto de R majorado e não-vazio, com supremo s = sup A. Mostre que para qualquer ɛ > 0 existe a A tal que a > s ɛ. ) Seja A um subconjunto de R majorado e não-vazio, com supremo s = sup A. Seja ainda m R um majorante de A distinto de s. Mostre que existe ɛ > 0 tal que a < m ɛ para todo o a A. ) Sejam A e B dois subconjuntos de R. (a) Prove que se sup A < inf B então A e B são disjuntos. (b) Mostre por meio de exemplos que se sup A inf B então A e B podem ser ou não disjuntos. 4) Sejam A e B dois subconjuntos não-vazios de R. Considere o subconjunto C R definido por C = A + B def = x R : x = a + b com a A, b B. Mostre que: (a) Se A e B têm supremo, então C também tem supremo e sup C = sup A + sup B. (b) Se A e B têm ínfimo, então C também tem ínfimo e inf C = inf A + inf B. 5) Sejam A e B dois subconjuntos não-vazios de R, tais que a b, para quaisquer a A e b B. Mostre que existem o supremo de A e o ínfimo de B, e que sup A inf B. 6) Sejam A e B dois subconjuntos de R, limitados e não-vazios, tais que inf A < sup B. Mostre que existem a A e b B com a < b. 7) Sejam A e B dois subconjuntos de R, nã o-vazios e limitados, tais que sup A = inf B. Mostre que existem a A e b B tais que a b <. 8) Sejam A e B dois subconjuntos de R, nã o-vazios e limitados, tais que sup A = inf B. Mostre que para qualquer ε > 0, existem a A e b B tais que a b < ε. 9) Sejam A, B R dois subconjuntos nã o-vazios e limitados, tais que inf B sup A =. Mostre que existem a A e b B tais que b a <. 0) Sejam A, B R dois subconjuntos nã o-vazios e limitados, tais que sup A inf B =. Mostre que existem a A e b B tais que 0 < a b. ) Seja A um subconjunto de R, limitado e nã o-vazio, tal que sup A inf A =. Mostre que existem a, a A tais que < a a. ) Seja A um subconjunto nã o-vazio de R, tal que a a < para quaisquer a, a A. Mostre que A tem supremo.
CDI I - LEIC FICHA 5 ) Sejam A e B dois subconjuntos de R, não-vazios e majorados, tais que sup A sup B. Mostre que o conjunto C = A B tem supremo e que sup C = sup B. 4) Sejam A e B dois subconjuntos não-vazios de R, tais que B é majorado e A B. Mostre que A e B têm supremo e que sup A sup B. 5) Seja A um subconjunto de R, que A 0,. nã o-vazio e majorado, tal que sup A =. Mostre