UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA PARA O ENSINO DA MATEMÁTICA PROBABILISTICA NA TERCEIRA SÉRIE DO ENSINO MÉDIO COM APOIO DE DISPOSITIVOS MÓVEIS

UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBRA Programa de Pós-Graduação Stricto Sensu Mestrado Profissional em Educação Matemática ROGÉRIO DELFINO DE SOUZA UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA PARA O ENSINO DA MATEMÁTICA PROBABILISTICA NA TERCEIRA SÉRIE DO ENSINO MÉDIO COM APOIO DE DISPOSITIVOS MÓVEIS VASSOURAS 2015

ROGÉRIO DELFINO DE SOUZA UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA PARA O ENSINO DA MATEMÁTICA PROBABILISTICA NA TERCEIRA SÉRIE DO ENSINO MÉDIO COM APOIO DE DISPOSITIVOS MÓVEIS Produto da dissertação apresentada ao Programa de Mestrado Profissional em Educação Matemática da Universidade Severino Sombra como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre em Educação Matemática. Orientador: Prof. Dr. Marco Antônio Pereira Araújo VASSOURAS 2015

LISTA DE FIGURAS Figura 1: Histograma da Probabilidade clássica de duas moedas... 16 Figura 2: Tela com par de moedas... 17 Figura 3: Histograma das Probabilidades Clássica... 20 Figura 4: Histograma das Probabilidades relativas em 50 lançamentos... 21 Figura 5 : Histograma das Probabilidades Relativas em 100 lançamentos... 21 Figura 6: Tela do Jogo de Dados... 25 Figura 7: Histograma clássico da Soma das Faces de dois Dados... 26 Figura 8:Histograma da Probabilidade Relativa em 300 lançamentos de dois dados... 26 Figura 9:Histograma clássico da soma das faces de dois Dados... 30 Figura 10:Tela do Jogo de Dados... 31 Figura 11:Histograma da Probabilidade Relativa em 250 lançamentos de dois dados... 32 Figura 12:Janela principal do Software Simulaprob... 34 Figura 13: Janela de execução dos experimentos... 35 Figura 14:Espaço amostral para o lançamento de duas moedas... 35 Figura 15:Resultados da distribuição de frequência eventos... 36 Figura 16: Histograma empírico e clássico ( teórico ) de duas moedas em 10 lançamentos... 36 Figura 17: Interseção dos histogramas empírico, clássico e evento... 37 Figura 18: Resultados da distribuição de frequência dos eventos... 40 Figura 19: Histograma empírico e clássico ( teórico ) de duas moedas em 50 lançamentos... 40 Figura 20:Interseção dos histogramas empírico e clássico evento... 40 Figura 21: Resultado da distribuição de frequência dos eventos... 41 Figura 22: Histograma empírico e clássico ( teórico ) de duas moedas em 100 lançamentos. 41 Figura 23: Interseção dos histogramas empírico e clássico do evento... 42 Figura 24: Resultados da distribuição de frequência dos eventos... 42 Figura 25: Histograma empírico e clássico ( teórico ) de duas moedas em 200 lançamentos. 43 Figura 26: Interseção dos histogramas empírico e clássico do evento... 43 Figura 27: Janela de execução dos experimentos para os dados... 46 Figura 28:Espaço amostral dos dados... 46 Figura 29:Quantidade de pontos feitos por Ísis em 400 lançamentos... 46 Figura 30:Quantidade de pontos feitos por Íasmin em 400 lançamentos... 47 Figura 31:Quantidade de pontos feitos por Ísadora em 400 lançamentos... 47 Figura 32: Histograma da distribuição de frequência dos eventos... 47 Figura 33:Janela de execução dos experimentos para os dados... 50 Figura 34:Espaço amostral dos dados... 51 Figura 35:Quantidade de pontos feitos por Ísis em 500 lançamentos... 51 Figura 36:Quantidade de pontos feitos por Íasmin em 500 lançamentos... 52 Figura 37:Quantidade de pontos feitos por Íasadora em 500 lançamentos... 52 Figura 38: Histograma da distribuição de frequência dos eventos... 53

LISTAS DE TABELAS Tabela 1: Evento de interesse suas probabilidades clássicas...16 Tabela 2:Eventos e suas probabilidades...19 Tabela 3:Lançamento virtual de duas moedas...20 Tabela 4:Espaço Amostral Ω...24 Tabela 5:Probabilidades clássicas...24 Tabela 6:Probabilidades Relativa em 300 lançamentos...25 Tabela 7:Espaço Amostral Ω...29 Tabela 8:Probabilidades clássicas...30 Tabela 9:Probabilidades Relativa em 250 lançamentos de dos dados...31

LISTA DE QUADROS Quadro 1: Sequência Para Cada Encontro em Ambas as Partes do Trabalho... 8 Quadro 2: Tutorial do aplicativo Dice 1... 10 Quadro 3: Tutorial do aplicativo Dice 2... 12 Quadro 4: Tutorial do software Simulaprob... 13

1 INTRODUÇÃO... 8 2 TUTORIAL...10 2.1 Como baixar o jogo Dice nos dispositivos móveis...10 2.2 Como baixar o simulador de jogos Simulaprob...12 3 PRIMEIRA PARTE DAS ATIVIDADES COM O JOGO DICE...14 4 SEGUNDA PARTE DAS ATIVIDADES COM SOFTWARE SIMULAPROB...33 5 QUESTIONÁRIO DE CONHECIMENTOS PRÉVIOS...54 6 QUESTIONÁRIO DE VERIFICAÇÃO DO APRENDIZADO...56 REFERÊNCIA...58

8 1 INTRODUÇÃO A proposta deste produto é disponibilizar um material de apoio para o ensino da probabilidade relativa tendendo a probabilidade clássica em função do número de experimentações (jogadas). Este produto é o resultado de uma pesquisa de mestrado na qual a sequência e os testes propostos foram aplicados a um grupo de alunos da terceira série do ensino médio. O objetivo desta sequencia didática é auxiliar os alunos no processo de ensinoaprendizagem com o apoio de dispositivos móveis, jogos e resolução de problemas. Este material está dividido em duas partes: na primeira, serão apresentados para os alunos quatro situações entre três irmãs em uma discussão sobre quem irá lavar a louça do almoço, intitulado o problema da louça, onde receberão papel milimetrado, régua de trinta centímetros, lápis e borracha. Logo após serão divididos em trio para realização das atividades. Mesmo com os dispositivos móveis sendo frequentes no cotidiano dos alunos ainda sim devemos fazer um levantamento em sala de aula da quantidade de aparelhos celulares, tablets, smarphones, etc, com sistema operacional andróide para que seja instalado através do Google play (play store)um aplicativo de jogo de dados e moedas (Dice). A segunda parte, usando laptops com o software Simulaprob, temos a sequência de ensino dividida para ambas as parte em quatro encontros em toda explanação. A sequência dos encontros na primeira e na segunda parte encontra-se conforme quadro abaixo: Quadro 5: Sequência Para Cada Encontro em Ambas as Partes do Trabalho ENCONTROS ATIVIDADES CARGA HORÁRIA 1 Aplicação do questionário sobre os conhecimentos prévios dos alunos. Duas aulas Apresentação do Aplicativo Dice ( primeira parte do trabalho), Software Simulaprob ( segunda parte do trabalho) e Orientações para Download. 2 Atividades a priori com o aplicativo Dice. Discussão entre experimentos determinísticos e Quatro aulas não determinístico, ideia de acontecimentos aleatórios e apresentação das atividades; Construção dos gráficos e tabelas. Questionário de verificação da aprendizagem a priori. 3 Implementação das atividades a posteriori com o Duas aulas Software Simulaprob. 4 Análise critica das observações e questionário da verificação da aprendizagem a posteriori. Duas aulas

9 Os conceitos trabalhados nas aulas serão vistos a partir de situações problematizadas, nas quais os alunos devem ser questionados a respeito do conteúdo de probabilidade relativa e probabilidade clássica. Durante a sequência de ensino os alunos deverão ser divididos em trio para que cada um assuma o personagem em questão nas atividades com objetivo de argumentarem socialmente a situação problema motivadora e serem levados a resolver às atividades e discutir com os outros grupos antes da explanação do professor. Por fim, propõem-se a aplicação da verificação da aprendizagem, ou teste diagnóstico a posteriori em abas as partes do trabalho, composto de nove questões objetivas que abordam todos os assuntos trabalhados na sequência de ensino, de forma a validar o trabalho efetuado.

10 2 TUTORIAL 2.1 Como baixar o jogo Dice nos dispositivos móveis Existem duas maneiras de baixarmos este jogo, a primeira seria com a liberação do wi fi da escola, a segunda baixando em computador desktop e passando para os dispositivos móveis dos alunos via cabo de transferência, tudo com a orientação do professor através dos seguintes passos conforme tutoriais abaixo. Quadro 6: Tutorial do aplicativo Dice 1 Sequencia de instalação e usabilidade do aplicativo Dice Dispositivo móvel com tela de acesso ao play store. Clicar em APPS Digitar Dice e clicar enter Clicar em cima do dado Finalmente clicar em instalar Interface do aplicativo Dice que aparecerá nos dispositivos.

11 Tela de opções dos dados e modas Escolha de quantos dados e ou modas queremos incluir no jogo. Tela de exclusão de aplicativos A segunda maneira de baixarmos o aplicativo seria para um PC comum ou laptops e instalar nos dispositivos móveis via cabo de transferência, a sugestão deste recurso seria para as escolas com dificuldades de acesso a internet e wi fi.

12 Quadro 7: Tutorial do aplicativo Dice 2 Sequencia de instalação do aplicativo Dice através do site https://apps.evozi.com/apk-downloader/ Janela de acesso para baixar aplicativos do sistema android em Pcs ou Laptops com sistema operacional Windows. Clicar e acessar diretamente o Play store Buscar o aplicativo Dice Clicar para iniciar o processo de Dowloand Copiar o URL do aplicativo na pagina do Google play Colar o URL do aplicativo na aba de busca do apk downloader e clicar em GENERATE DOWNLOAD LINK Clicar em Clik here to dowloand com.teazel now para iniciar o download Ao buscar na pasta de downloads do computador o ícone de instalação com.teazel.apk 2.2 Como baixar o simulador de jogos Simulaprob O Software Simulaprob é livre e pode ser obtido gratuitamente através do site http://pcc.uasnet.mx/~dchavira/. Produto da tese de mestrado Diego Gastélum e Santiago Inzunsa, destinado ao estudo de Probabilidade e Estatística. Pode ser utilizado no Ensino Fundamental e Médio.

13 Quadro 8: Tutorial do software Simulaprob Sequência de instalação do simulador de jogos de dados e moedas simulaprob Após entrar no site especificado acima Clicar em Simulaprob. No próprio site existe um roteiro de instalação do simulador de jogos Simulaprb. Baixando Após download aparecerá um ícone zipado do Simulaprob Clicar em cima do ícone com o mouse do lado direito e extrair o arquivo Ícone do Simulaprob em Java Ao clicar no ícone teremos a interface dos jogos disponíveis no Simulaprob e finalmente iniciar as atividades.

14 3 PRIMEIRA PARTE DAS ATIVIDADES COM O JOGO DICE AULA 1: FUNÇÕES E GRÁFICOS No início da aula, os alunos devem ser divididos em trios. Cada um dos grupos devem receber as atividades, ler e organizarem-se para solução. JOGO DICE Atividade nº 1 Conteúdo: Probabilidade Clássica. Objetivo: Pretendemos com esta atividade as noções de probabilidade na concepção clássica focando o acaso, espaço amostral, equiprobabilidade de cada evento, experimentação com objetos virtuais próximos da realidade, socialização dos resultados, construção de tabelas e confecção de histogramas. Material: celular, tablet ou smartphone com sistema Android, internet para baixar o aplicativo no Google player ou cabo de transferência para o executável, papel milimetrado para construção de histogramas, lápis, borracha, régua de trinta centímetros e folhas de ofício para construção de tabelas. Duração: Uma aula. Público - alvo: Terceira série do ensino médio. Pré-requisitos para resolução: 1. Noções básicas com tecnologias móveis. 2. Básico de conjuntos. 3. Porcentagem. 4. Introdução à combinatória. 5. Leitura e construção de gráficos. Procedimentos:

15 1. A turma será dividida em grupos de três alunos. 2. Cada aluno do grupo representará um personagem do problema. 3. Jogar as moedas virtualmente uma única vez após a solução do problema para verificação da solução. Situação Problema Adaptado - (Questão do caderno de atividades pedagógicas de aprendizagem auto-regulada 02-3ª Série 2 Bimestre atividade 1.2 - CEEDUC/RJ) Yasmin, Isadora e Ísis são três irmãs e resolveram usar duas moedas comuns, não viciadas, para decidir quem irá lavar a louça do almoço, lançando duas moedas simultaneamente, uma única vez. Se aparecerem duas coroas, Yasmin lavará a louça, se aparecerem duas caras, Isadora lavará a louça; e se aparecerem uma cara e uma coroa, Ísis lavará a louça. Responda: a) Quais as possibilidades possíveis de faces das duas moedas? OBJETIVO: Observar a importância dos eventos elementares do espaço amostral e equiprobabilidade. Solução: para resolver a situação descrita, devemos selecionar o conjunto de possibilidades para as duas moedas, totalização de eventos possíveis, chamado de espaço amostral. (Ω) = {(Cara, Cara),(Cara, Coroa),(Coroa, Cara),(Coroa, Coroa)}. b) Organize uma tabela da probabilidade clássica envolvendo os casos de Yasmin, Isadora e Ísis. OBJETIVO: Classificar o evento de interesse (cara) como referencia de forma organizada e ter uma visão geral do evento em questão. Solução: para resolver essa alternativa, devemos solicitar aos alunos a organização de uma tabela com os eventos e suas respectivas probabilidades.

16 Tabela 9: Evento de interesse suas probabilidades clássicas Ω Cara Probabilidades (Coroa,coroa) - Yasmin 0 ¼ = 0,25 ou 25% (cara,coroa);(coroa,cara) - Ísis 1 ½ = 0,5 ou 50% (cara,cara) - Isadora 2 ¼ = 0,25 ou 25% c) Construa um histograma em papel milimetrado utilizando lápis, borracha e uma régua de trinta centímetros, utilizando os dados encontrados na tabela. OBJETIVO: Utilização de gráfico e visualização da estabilidade da probabilidade clássica. Solução: esta alternativa será desenvolvida abarcando as noções básicas de plano cartesiano, porcentagem e leitura de gráficos evidenciando a maior probabilidade de Isis lavar a louça do almoço. Figura 1: Histograma da Probabilidade clássica de duas moedas d) Terá que lavar a louça quem tiver maior probabilidade nos eventos, (cara,cara), (coroa,coroa), (cara,coroa) e (coroa, cara)? Objetivos:

17 1. A análise de resultados após a resolução do problema levando os alunos a responderem e concluírem o enunciado após uma discussão da tabela e do histograma. 2. Mostrar que na probabilidade o maior grau de certeza ou incerteza pode não ocorrer, pois a mesma enfatiza o acaso. Solução: Diante de todas as evidencias podemos concluir que Isis tem 50% de chances de lavar a louça do almoço contra 25% de Isadora e 25% e Yasmin, logo lavara a louça. Para finalizar a atividade sugere-se ao professor que cada grupo faça uma única jogada virtualmente através do jogo Dice, anote a resposta e provoque uma discussão sobre a situação com o objetivo de socializar as visões encontradas quanto a solução do problema focando sempre que o menor grau de incerteza pode acontecer nos casos de experimentos aleatórios. Uma atividade como essa em uma aula expositiva tradicionalmente falando pode passar despercebido a grande injustiça probabilística de 25% de possibilidades para cada uma das duas irmãs lavarem a louça do almoço. Após o resultado do experimento virtual na figura 2 tela com par de modas em uma única jogada, consultando a tabela ou o histograma Yasmin lavara a louça do almoço. Figura 2: Tela com par de moedas em uma única jogada

18 Atividade nº 2 Conteúdos: Probabilidade Clássica e Frequência Relativa. Objetivos: 1. Mostrar uma tendência à estabilização da freqüência relativa de um evento apoiado pelo jogo virtual de dados (Dice) (instalado em dispositivos móveis com sistema Android) repetindo-se o experimento um pequeno número de vezes, fazendo uma inferência sobre sua probabilidade clássica. 2. Evidenciar a probabilidade Empírica ou pelo enfoque da frequência relativa determinada com base na proporção de vezes que ocorre um resultado favorável (pontos marcados nas jogadas) em um certo número de observações ou experimentos (número total de jogadas). P(A) = frequência do evento A frequência total 3. Levar os alunos a perceberem que mesmo com um número pequeno de experimentações os subconjuntos do espaço amostra Ω (cara,coroa) e (coroa, cara) continuarão tendo a maior probabilidade de ocorrer com uma certa proximidade da probabilidade clássica. 4. Construir, ler e interpretar histogramas. Material: celular, tablet ou smartphone com sistema Android, internet para baixar o aplicativo no Google player ou cabo de transferência para o executável, papel milimetrado para construção de histogramas, lápis, borracha, régua de trinta centímetros e folhas de ofício para construção de tabelas. Duração: uma aula.

19 Público-alvo : Terceira série do ensino médio. Pré-requisitos para resolução: 1. Noções básicas com tecnologias móveis. 2. Básico de conjuntos. 3. Porcentagem. 4. Introdução à combinatória. 5. Leitura e construção de gráficos. Procedimentos: 1. Utilizar um dispositivo móvel com sistema android em todo o experimento e instalar o jogo (Dice). 2. A partida será composta por 100 jogadas que serão disputadas por três alunos representando Yasmin, Isadora e Isis. 3. Propor aos alunos uma única forma de proceder com as jogadas (condições idênticas). 4. Análise dos resultados entre o grupo. 5. Análise dos resultados entre a turma. Situação Problema Isis questiona o resultado do jogo e resolve apelar com as irmãs dizendo que em uma única jogada seria injusto o resultado, e propõe resolver a questão repetindo o experimento 50 e 100 vezes utilizando o aplicativo Dice. O fato de aumentarem o número de jogadas, a probabilidade de Isis lavar a louça será maior, menor ou não se altera? Solução: 1. Repetir a tabela do exercício anterior. Tabela 10:Eventos e suas probabilidades Ω Cara Probabilidades (Coroa,coroa) - Yasmin 0 ¼ = 0,25 ou 25% (cara,coroa);(coroa,cara) - Ísis 1 ½ = 0,5 ou 50% (cara,cara) - Isadora 2 ¼ = 0,25 ou 25%

20 2. Repetir o histograma do exercício anterior. Figura 3: Histograma das Probabilidades Clássica 3. Organizar uma tabela com o número de jogadas, total de pontos e a frequência relativa. Tabela 11:Lançamento virtual de duas moedas Ω Número de Jogadas Total de pontos Frequência relativa ou probabilidade relativa (Coroa,coroa) - Yasmin 50 13 P(A) n A / n 13/50 0,26 ou 26% (Coroa,coroa) - Yasmin 100 23 P(A) n A /n 23/100 0,23 ou 23% (cara,coroa);(coroa,cara) - Ísis 50 22 P(A) n A /n 22/50 0,44 ou 44% (cara,coroa);(coroa,cara) - Ísis 100 52 P(A) n A /n 52/100 0,52 ou 52% (cara,cara) - Isadora 50 15 P(A) n A /n 15/50 0,3 ou 30% (cara,cara) - Isadora 100 25 P(A) n A /n 25/100 0,26 ou 25% 4. Provocar uma discussão dos resultados da tabela fazendo um paralelo a probabilidade clássica e a frequência relativa, tendo como conclusão a perda de Isis em função do número de jogadas. 5. Construir os histogramas das probabilidades relativas.

21 Figura 4: Histograma das Probabilidades relativas em 50 lançamentos Figura 5 : Histograma das Probabilidades Relativas em 100 lançamentos 6. Enfatizar a análise dos histogramas comparando-os com o histograma da probabilidade clássica mostrando as frequências como uma probabilidade a medida que o número de jogadas aumentam. Atividade nº 3 Conteúdos: Frequência Relativa Objetivos:

22 1. Distribuição de frequência focando a equiprobabilidade e a não equiprobabilidade. 2. Aprendizagem do significado de probabilidade de frequência concentrados em: (a) Capacidade de estimar a probabilidade teórica de dados de frequência. (b) Compreensão das características das sequências de resultados convergência e aleatório. (c) Estimativa de probabilidades frequência. 3. Evidenciar a probabilidade Empírica pelo enfoque da frequência relativa determinada com base na proporção de vezes que ocorrer um resultado favorável ( pontos marcados nas jogadas) em certo número de observações ou experimentos ( número total de jogadas). P(A) = frequência do evento A frequência total 4. Levar os alunos a perceberem que mesmo com um número pequeno de experimentações os subconjuntos do espaço amostra Ω continuarão tendo a maior probabilidade de ocorrer com certa proximidade da probabilidade clássica. 5. Construir, ler e interpretar histogramas. Material: celular, tablet ou smartphone com sistema Android, internet para baixar o aplicativo no Google player ou cabo transferência para executável, papel milimetrado para construção de histogramas, lápis, borracha, régua de trinta centímetros e folhas de ofício para construção de tabelas. Duração: Uma aula. Público-alvo: Terceira série do ensino médio. Pré-requisitos para resolução:

23 1. Noções básicas com tecnologias móveis. 2. Básico de conjuntos. 3. Porcentagem. 4. Introdução à combinatória. 5. Leitura e construção de gráficos. Procedimentos: 1. Utilizar um dispositivo móvel com sistema Android em todo o experimento e instalar o jogo (Dice). 2. A partida será composta por 300 jogadas que serão disputadas por três alunos representando Yasmin, Isadora e Isis. 3. Cada aluno do grupo terá uma função, por exemplo, anotar os pontos dos jogadores, anotarem as frequências relativas para cada soma das faces dos dados e jogar os dados virtualmente. 4. Propor aos alunos uma única forma de proceder com as jogadas (condições idênticas). 5. Análise dos resultados entre o grupo. 6. Análise dos resultados entre a turma. Situação problema: Isis fica sem saída no que se refere a probabilidade relativa do jogo das duas moedas e solicita as irmãs um jogo de dois dados honestos e distinguíveis, propondo a divisão da louça em três partes, panelas, frigideiras, tabuleiros e travessas,condição (A); Pratarias e talheres, condição (B);copos, taças e arrumar a mesa, condição (C). Todas entram em comum acordo, Isadora rapidamente propõe uma regra do jogo para as irmãs, todas as vezes que a soma das faces dos dados forem sete Ísis fará um ponto; todas as vezes que a soma das faces forem cinco Isadora fará um ponto; todas as vezes que a soma das faces forem doze Yasmin fará um ponto. Quem tiver a maior probabilidade relativa argumentando através de tabelas de distribuição de frequências e histogramas obedece a condição (C), a menor obedece a condição(a),intermediário a condição (B) em caso de empate ambas lavarão a louça. A vencedora será definida em 300 jogadas com a maior probabilidade.

24 Solução 1. Determinar o espaço Amostral Ω constituído por 36 resultados possíveis em uma tabela de dupla entrada. Tabela 12:Espaço Amostral Ω Dado 1 1 2 3 4 5 6 Dado 2 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 2. Representação de todos os casos de eventos equiprováveis e não equiprováveis em uma tabela e a visualização das probabilidades clássicas encontradas. Tabela 13:Probabilidades clássicas 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Subconjunto do Espaço 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 Amostral Espaço Amostral 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 Probabilidade em % 2,77 5,55 8,33 11,11 13,88 16,66 13,88 11,11 8,33 5,55 2,77 3. Em todos os lançamentos do jogo, o jogador utilizará os dois dados.

25 Figura 6: Tela do Jogo de Dados 4. A partida será composta por 300 jogadas que serão disputadas por três alunos representando Yasmin, Isadora e Isis. Tabela 14:Probabilidades Relativa em 300 lançamentos 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Número de Pontos 6 10 8 30 39 46 35 36 20 10 8 Número de Jogadas 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 Probabilidade Relativa 2 3,2 2,8 10 13,2 15,6 11,6 12,8 6,4 3,2 2,4 em % 5. Os casos equiprováveis e não equiprováveis da probabilidade clássica também ocorreram na probabilidade relativa. 6. Construir dois histogramas utilizando os dados das tabelas 4 e 5.

26 Figura 7: Histograma clássico da Soma das Faces de dois Dados Figura 8:Histograma da Probabilidade Relativa em 300 lançamentos de dois dados 7. O professor concluirá a questão pedindo aos grupos que apresentem tabelas e histogramas como argumento do resultado do jogo conduzindo para importância do número de experimentações crescente tendendo a estabilidade probabilidade clássica. 8. Podemos então concluir em função da análise de tabelas e histogramas das probabilidades clássicas e frequentista que; Isis obedecerá a condição (C), pois teve a maior probabilidade de ocorrência da soma sete em ambos os casos probabilísticos clássicos e frequentista; Yasmin ficou com a condição (A) pois teve a menor ocorrência; Isadora ficou com a condição (B) pois sua probabilidade ficou entre Isis e Yasmin.

27 Atividade nº 4 Conteúdos: Probabilidade de Eventos Mutuamente Exclusivos e Frequência Relativa Objetivos: 1. Identificar o problema como experimento aleatório e os seus eventos. Calcular e comparar as probabilidades desses eventos mutuamente exclusivos. 2. Aprendizagem do significado de probabilidade de frequência concentrados em: (a) Capacidade de estimar a probabilidade teórica de dados de frequência. (b) Compreensão das características das sequências de resultados convergência e aleatório. (c) Estimativa de probabilidades frequência. 3. Evidenciar a probabilidade Empírica ou pelo enfoque da frequência relativa determinada com base na proporção de vezes que ocorre um resultado favorável (pontos marcados nas jogadas) em certo número de observações ou experimentos (número total de jogadas). P(A) = frequência do evento A frequência total 4. Levar os alunos a perceberem que mesmo com um número pequeno de experimentações os subconjuntos do espaço amostra Ω continuarão tendo a maior probabilidade de ocorrer com certa proximidade da probabilidade clássica. 5. Construir, ler e interpretar histogramas. Material: celular, tablet ou smartphone com sistema Android, internet para baixar o aplicativo no Google player ou cabo transferência para o executável, papel milimetrado para

28 construção de histogramas, lápis, borracha, régua de trinta centímetros e folhas de ofício para construção de tabelas. Duração: Uma aula. Público-alvo: Terceira série do ensino médio. Pré-requisitos para resolução: 1. Noções básicas com tecnologias móveis. 2. Básico de conjuntos. 3. Porcentagem. 4. Introdução à combinatória. 5. Leitura e construção de gráficos. Procedimentos: 1. Utilizar um dispositivo móvel com sistema android em todo o experimento e instalar o jogo (Dice). 2. A partida será composta por 250 jogadas que serão disputadas por três alunos representando Yasmin, Isadora e Isis. 3. Cada aluno do grupo ficará responsável por anotar os pontos dos jogadores, anotarem as frequências relativas para cada soma das faces dos dados e jogar os dados virtualmente. 4. Propor aos alunos uma única forma de proceder com as jogadas (condições idênticas). 5. Análise dos resultados entre o grupo. 6. Análise dos resultados entre a turma. Situação problema: (ENEM 2006 adaptado) Ainda em relação a louça. Yasmin diz o seguinte - se temos um jogo deve haver um vencedor único? Tive uma ideia! Jogar os dados para que uma das três não lave a louça. No caso a vencedora. Ela diz que o time de ambas é o Timbucio Futebol Clube, que venceu um

29 campeonato amador. Os jogadores decidiram que o prêmio seria guardado na casa de um deles. Todos quiseram guardar a taça em sua casa. Então, sugeriu-se o seguinte: - São 11 jogadores e suas camisas estão numeradas de 2 a 12. Os dois dados têm as faces numeradas de 1 a 6. Se jogar os dois, a soma dos números das faces pode variar de 2 (1+1) a 12 ( 6+6 ). Vamos jogar os dados 250 vezes, e quem tiver a camisa com o número de pontos maior vai ficar com a taça (não lavará a louça). - Isis rapidamente escolhe o número doze. Iasmin logo diz - não sei não... Isis sempre na esperteza dês do inicio nos convencendo e não aceitando as probabilidades... acho que ela está levando alguma vantagem... mas, tudo bem por mim pode ficar com o doze.. - Iasmin diz vou ficar com o número sete, pois sete é o número da perfeição segundo a Bíblia Sagrada. - Isadora diz vou ficar com número nove, pois nove é uma raiz exata. Solução: 1. Determinar o espaço Amostral Ω constituído por 36 resultados possíveis em uma tabela de dupla entrada. Tabela 15:Espaço Amostral Ω Dado 1 1 2 3 4 5 6 Dado 2 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 2. Separar os conjuntos de eventos de interesse. Eventos de interesse para:

30 Isis - (6,6) Yasmin - (1,6); (2,5); (3,4);(5,2);(6,1) Isadora - (3,6); (4,5); (5,4); (6,3) 3. Construir a tabela da probabilidade clássica. Tabela 16:Probabilidades clássicas 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Subconjunto do Espaço 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 Amostral Espaço Amostral 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 Probabilidade em % 2,77 5,55 8,33 11,11 13,88 16,66 13,88 11,11 8,33 5,55 2,77 4. Construir o histograma da probabilidade clássica. Figura 9:Histograma clássico da soma das faces de dois Dados 5. A partida será composta por 250 jogadas que serão disputadas por três alunos representando Yasmin, Isadora e Isis.

31 Tabela 17:Probabilidades Relativa em 250 lançamentos de dos dados 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Número de Pontos 5 8 7 25 33 39 29 32 16 8 6 Número de Jogadas 250 250 250 250 250 250 250 250 250 250 250 Probabilidade Relativa em % 2 3,2 2,8 10 13,2 15,6 11,6 12,8 6,4 3,2 2,4 6. Em todos os lançamentos do jogo, o jogador utilizarão os dois dados. Figura 10:Tela do Jogo de Dados 7. Construir o histograma da probabilidade relativa.

32 Figura 11:Histograma da Probabilidade Relativa em 250 lançamentos de dois dados 8. O professor concluirá a questão pedindo aos grupos que apresentem tabelas e histogramas como argumento do resultado do jogo conduzindo para importância do número de experimentações crescente tendendo a estabilidade probabilidade clássica.

33 4 SEGUNDA PARTE DAS ATIVIDADES COM SOFTWARE SIMULAPROB Atividade nº 1 Conteúdo: Probabilidade Clássica. Objetivo: Pretendemos com esta atividade abordar noções de probabilidade na concepção clássica focando o acaso, espaço amostral, equiprobabilidade de cada um dos eventos, experimentação com objetos virtuais próximos da realidade, socialização dos resultados, construção de tabelas e confecção de histogramas. Material: Laptop com sistema operacional Windows, internet para baixar o executável do software Simulaprob ou instalar via pendrive. Duração: Uma aula. Público-alvo: Terceira série do ensino médio. Pré-requisitos para resolução: 1. Noções básicas de informática. 2. Básico de conjuntos. 3. Porcentagem. 4. Introdução à combinatória. 5. Leitura e construção de gráficos. Procedimentos: 1. A turma será dividida em grupos de três alunos. 2. Cada aluno do grupo representará um personagem do problema. 3. Simular a Jogada das moedas virtualmente uma única vez após a solução do problema. 4. No programa as faces da moeda são representadas por Sol e Aguila. Faremos uma conversão de sol para coroa e aguila para cara.

34 Situação Problema Adaptado - (Questão do caderno de atividades pedagógicas de aprendizagem auto-regulada 02-3ª Série 2 Bimestre atividade 1.2 - CEEDUC/RJ) Yasmin(A), Isadora(C) e Ísis(B) são três irmãs e resolveram usar duas moedas comuns, não viciadas, para decidir quem irá lavar a louça do almoço, lançando duas moedas simultaneamente, uma única vez. Se aparecerem duas coroas, Yasmin lavará a louça, se aparecerem duas caras, Isadora lavará a louça; e se aparecerem uma cara e uma coroa, Ísis lavará a louça. Responda: a) Quais as possibilidades possíveis para as duas moedas? OBJETIVO: Observar a importância dos eventos elementares do espaço amostral e equiprobabilidade. Solução: para resolver a situação descrita, devemos selecionar os conjuntos de possibilidades para as duas moedas, totalização de eventos possíveis chamados espaço amostral. Simular o lançamento das duas moedas honestas com o auxílio do Simulaprob. Procedimentos de resolução: 1 - Abrir a janela principal conforme figura 13. Figura 12:Janela principal do Software Simulaprob 2 - Clicar na janela indicada para determinar o espaço amostral conforme figura 14.

35 Figura 13: Janela de execução dos experimentos 3 - Espaço amostral conforme figura 15. Figura 14: Espaço amostral para o lançamento de duas moedas b) Organize a tabela da frequência relativa com 10 simulações envolvendo os casos de Yasmin, Isadora e Ísis. OBJETIVO: Classificar o evento de interesse (cara - aguila) como referencia de forma organizada e ter uma visão geral do evento em questão.

36 Solução: Demonstrar a tabela de simulação de experimentos e a expansão da árvore de distribuição de frequência do evento de interesse conforme figura 15. Figura 15:Resultados da distribuição de frequência eventos de interesse das duas moedas em 10 lançamentos c) Construa os histogramas da frequência relativa e da probabilidade clássica. OBJETIVO: Utilização de gráfico e visualização da estabilidade da probabilidade clássica. Solução: esta alternativa será desenvolvida abarcando as noções básicas de plano cartesiano, porcentagem e leitura dos gráficos evidenciando a maior probabilidade de Isis lavar a louça do almoço conforme figura 17. Figura 16: Histograma empírico e clássico ( teórico ) de duas moedas em 10 lançamentos Sobreposição da frequência relativa com a probabilidade clássica conforme figura 18.

37 Figura 17: Interseção dos histogramas empírico, clássico e evento de interesse de duas moedas em 10 lançamentos d) Terá que lavar a louça quem tiver maior probabilidade nos eventos,(cara - aguila,cara aguila),(coroa sol,coroa sol ), (cara aguila,coroa sol ) e (coroa sol, cara - aguila)? Objetivos: 1. A análise de resultados após a resolução do problema levando os alunos responderem e concluírem o enunciado após uma discussão da tabela e do histograma. 2. Mostrar que na probabilidade o maior grau de certeza ou incerteza pode não ocorrer, pois a mesma enfatiza o acaso. Solução: Diante dos fatos podemos concluir que Isis tem 50% de chances de lavar a louça do almoço contra 25% de Isadora e 25% e Yasmin, logo lavará a louça. Para finalizar a atividade sugere-se ao professor que cada grupo faça um comentário sobre os histogramas, provocar uma discussão sobre a situação com o objetivo de socializar as visões encontradas quanto a solução do problema focando sempre que o menor grau de incerteza pode acontecer nos casos de experimentos aleatórios. Atividade 2

38 Conteúdos: Probabilidade Clássica e Frequência Relativa. Objetivos: 1. Mostrar uma tendência a estabilização da frequência relativa de um evento apoiado pelo simulador de jogos virtuais de dados e moedas Simulaprob, repetindo-se o experimento um pequeno número de vezes, fazendo uma inferência sobre sua probabilidade clássica. 2. Evidenciar a probabilidade Empírica ou pelo enfoque da freqüência relativa determinada com base na proporção de vezes que ocorre um resultado favorável ( pontos marcados nas jogadas) em um certo número de observações ou experimentos ( número total de jogadas). P(A) = frequência do evento A frequência total 3. Levar os alunos a perceberem que mesmo com um número pequeno de experimentações os subconjuntos do espaço amostra Ω (cara,coroa) e (coroa, cara) continuarão tendo a maior probabilidade de ocorrer com uma certa proximidade da probabilidade clássica. 4. Construir, ler e interpretar histogramas. Material: Laptop, com sistema operacional Windows, internet para baixar o Software já citado ou instalação via pendrive. Duração: Uma aula. Público-alvo: Terceira série do ensino médio. Pré-requisitos para resolução: 1. Noções básicas com tecnologias móveis. 2. Básico de conjuntos.

39 3. Porcentagem. 4. Introdução à combinatória. 5. Leitura e construção de gráficos. Procedimentos: 1. A turma será dividida em grupos de três alunos. 2. Cada aluno do grupo representará um personagem do problema. 3. No programa as faces da moeda são representadas por Sol e Aguila. Faremos uma conversão de sol para coroa e aguila para cara. 4. Utilizar um dispositivo móvel com sistema Windows em todo o experimento e instalar o simulador de jogos Simulaprob. 5. A partida será realizada em três rodadas de 50, 100 e 200 pontos. 6. Propor aos alunos uma única forma de proceder com as jogadas (condições idênticas). 7. Análise dos resultados entre o grupo. 8. Análise dos resultados entre a turma. Situação Problema Isis questiona o resultado do jogo e resolve apelar com as irmãs dizendo que em uma única jogada seria injusto o resultado, e propõe resolver a questão repetindo o experimento 50, 100 e 200 vezes, utilizando o simulador Simulaprob. O fato de aumentarem o número de jogadas, a probabilidade de Isis lavar a louça será maior, menor ou não se altera? Procedimentos para resolução: 50 jogadas 1 - Construir a tabela de simulação de experimentos e a expansão da árvore de distribuição de frequência do evento de interesse conforme figura 19.

40 Figura 18: Resultados da distribuição de frequência dos eventos de interesse das duas moedas em 50 lançamentos 2 - Histograma das frequências relativas e probabilidade clássica com forme figura 20. Figura 19: Histograma empírico e clássico ( teórico ) de duas moedas em 50 lançamentos 3 - Sobrepor a frequência relativa com a probabilidade clássica conforme figura 21. Figura 20:Interseção dos histogramas empírico e clássico evento de interesse de duas moedas em 50 lançamentos

41 Procedimentos para 100 jogadas 1 - Construir a tabela de simulação de experimentos e a expansão da árvore de distribuição de frequência do evento de interesse conforme figura 22. Figura 21: Resultado da distribuição de frequência dos eventos de interesse das duas moedas em 100 lançamentos 2 - Histograma da frequência relativa e probabilidade clássica conforme figuras 23. Figura 22: Histograma empírico e clássico ( teórico ) de duas moedas em 100 lançamentos 3 - Sobrepor a frequência relativa com a probabilidade clássica conforme figura 24.

42 Figura 23: Interseção dos histogramas empírico e clássico do evento de interesse de duas moedas em 100 lançamentos Procedimentos para 200 jogadas 1 - Construir a tabela de simulação de experimentos e a expansão da árvore de distribuição de frequência dos eventos de interesse conforme figura 25. Figura 24: Resultados da distribuição de frequência dos eventos de interesse das duas moedas em 200 lançamentos 2 - Histograma da frequência relativa e probabilidade clássica conforme figuras 26.

43 Figura 25: Histograma empírico e clássico (teórico) de duas moedas em 200 lançamentos 3 - Sobrepor a frequência relativa com a probabilidade clássica conforme figura 27. Figura 26: Interseção dos histogramas empírico e clássico do evento de interesse de duas moedas em 200 lançamentos 4 - Para finalizar o professor pode gerar uma discussão dos resultados da tabela de distribuição de frequência fazendo um paralelo entre a probabilidade clássica e a frequência relativa ou probabilidade relativa, tendo como conclusão a perda de Isis em função do número de jogadas. 5 - Enfatizar a análise dos histogramas comparando-os com o histograma da probabilidade clássica mostrando as frequências como uma probabilidade a medida que o número de jogadas aumentam.

44 Atividade 3 Conteúdos: Frequência Relativa Objetivos: 1. Distribuição de frequência enfocando a equiprobabilidade e a não equiprobabilidade. 2. Aprendizagem do significado de probabilidade de frequência concentrados em: (a) Capacidade de estimar a probabilidade teórica de dados de frequência. (b) Compreensão das características das sequências de resultados convergência e aleatório. (c) Estimativa de probabilidades frequência. 3. Evidenciar a probabilidade Empírica ou pelo enfoque da frequência relativa determinada com base na proporção de vezes que ocorre um resultado favorável (pontos marcados nas jogadas) em um certo número de observações ou experimentos (número total de jogadas). P(A) = frequência do evento A frequência total 4. Levar os alunos a perceberem que mesmo com um número pequeno de experimentações os subconjuntos do espaço amostra Ω continuarão tendo a maior probabilidade de ocorrer com uma certa proximidade da probabilidade clássica. 5. Construir, ler e interpretar histogramas. Material: Laptop, com sistema operacional Windows, internet para baixar o Software já citado ou instalação via pendrive. Duração: Uma aula. Público-alvo : Terceira série do ensino médio. Pré-requisitos para resolução:

45 1. Noções básicas com tecnologias móveis. 2. Básico de conjuntos. 3. Porcentagem. 4. Introdução à combinatória. 5. Leitura e construção de gráficos. Procedimentos: 1. A turma será dividida em grupos de três alunos. 2. Cada aluno do grupo representará um personagem do problema. 3. No programa as faces da moeda são representadas por Sol e Aguila. Faremos uma conversão de sol para coroa e aguila para cara. 4. Utilizar um dispositivo móvel com sistema Windows em todo o experimento e instalar o simulador de jogos Simulaprob. 5. A partida será finalizada em um total de 400 pontos. 6. Propor aos alunos uma única forma de proceder com as jogadas (condições idênticas). 7. Análise dos resultados entre o grupo. 8. Análise dos resultados entre a turma. Situação problema: Isis fica sem saída no que se refere a probabilidade relativa do jogo das duas moedas e solicita as irmãs um jogo de dois dados honestos e distinguíveis, propondo a divisão da louça em três partes, panelas, frigideiras, tabuleiros e travessas,condição (A); Pratarias e talheres, condição (B);copos, taças e arrumar a mesa, condição (C). Todas entram em comum acordo, Isadora rapidamente propõe uma regra do jogo para as irmãs, todas as vezes que a soma das faces dos dados for sete Ísis fará um ponto; todas as vezes que a soma das faces for cinco Isadora fará um ponto; todas as vezes que a soma das faces for doze Yasmin fará um ponto. Quem tiver a maior probabilidade relativa argumentando através de tabelas de distribuição de frequências e histogramas obedece a condição (C), a menor obedece a condição(a),intermediário a condição (B) em caso de empate ambas lavarão a louça. A vencedora será definida em 400 jogadas com a maior probabilidade. Procedimentos de solução

46 3 - Determinar o espaço amostral conforme figuras 28. Figura 27: Janela de execução dos experimentos para os dados Figura 28:Espaço amostral dos dados 4 - Separar os conjuntos de eventos de interesse: Figura 29:Quantidade de pontos feitos por Ísis em 400 lançamentos

47 Figura 30:Quantidade de pontos feitos por Yasmin em 400 lançamentos Figura 31:Quantidade de pontos feitos por Isadora em 400 lançamentos Histograma dos resultados conforme figura 33. Figura 32: Histograma da distribuição de frequência dos eventos de interesse dos dois dados em 400 lançamentos

48 5 - O professor concluirá a questão pedindo aos grupos que apresentem tabelas e histogramas como argumento do resultado do jogo conduzindo para importância do número de experimentações crescente tendendo a estabilidade probabilidade clássica. 6 - Podemos então concluir em função da análise das tabelas e histogramas das probabilidades clássicas e frequentista que; Isis obedecerá a condição (C), pois teve a maior probabilidade de ocorrência da soma sete em ambos os casos probabilísticos clássicos e frequentista; Yasmin ficou com a condição (A) pois teve a menor ocorrência; Isadora ficou com a condição (B) pois sua probabilidade ficou entre Isis e Yasmin. Atividade nº 4 Conteúdos: Probabilidade de Eventos Mutuamente Exclusivos e Frequência Relativa Objetivos: 1. Identificar o problema como experimento aleatório e os seus eventos. Calcular e comparar as probabilidades desses eventos mutuamente exclusivos. 2. Aprendizagem do significado de probabilidade de frequência concentrados em: (a) Capacidade de estimar a probabilidade teórica de dados de frequência. (b) Compreensão das características das sequências de resultados convergência e aleatório. (c) Estimativa de probabilidades frequência. 3. Evidenciar a probabilidade Empírica ou pelo enfoque da frequência relativa determinada com base na proporção de vezes que ocorre um resultado favorável (pontos marcados nas jogadas) em certo número de observações ou experimentos (número total de jogadas). P(A) = frequência do evento A frequência total

49 4. Levar os alunos a perceberem que mesmo com um número pequeno de experimentações os subconjuntos do espaço amostra Ω continuarão tendo a maior probabilidade de ocorrer com certa proximidade da probabilidade clássica. 5. Construir, ler e interpretar histogramas. Material: Laptop, com sistema operacional Windows, internet para baixar o Software já citado ou instalação via pendrive. Duração: Uma aula. Público-alvo: Terceira série do ensino médio. Pré-requisitos para resolução: 1. Noções básicas com tecnologias móveis. 2. Básico de conjuntos. 3. Porcentagem. 4. Introdução à combinatória. 5. Leitura e construção de gráficos. Procedimentos: 1. A turma será dividida em grupos de três alunos. 2. Cada aluno do grupo representará um personagem do problema. 3. No programa as faces da moeda são representadas por Sol e Aguila. Faremos uma conversão de sol para coroa e aguila para cara. 4. Utilizar um dispositivo móvel com sistema Windows em todo o experimento e instalar o simulador de jogos Simulaprob. 5. A partida será finalizada em um total de 400 pontos. 6. Propor aos alunos uma única forma de proceder com as jogadas (condições idênticas). 7. Análise dos resultados entre o grupo. 8. Análise dos resultados entre a turma.

50 Situação problema: (ENEM 2006 adaptado) Ainda em relação à louça. Yasmin diz o seguinte - se temos um jogo deve haver um vencedor único? Tive uma ideia! Jogar os dados para que uma das três não lave a louça.. No caso a vencedora.. Ela diz que o time de ambas, o Timbúcio Futebol Clube, venceu um campeonato amador. Os jogadores decidiram que o prêmio seria guardado na casa de um deles. Todos quiseram guardar a taça em sua casa. Então, sugeriu-se o seguinte: - São 11 jogadores e suas camisas estão numeradas de 2 a 12. Os dois dados têm as faces numeradas de 1 a 6. Se jogar os dois, a soma dos números das faces pode variar de 2 (1+1) a 12 ( 6+6 ). Vamos jogar os dados 500 vezes, e quem tiver a camisa com o número de pontos maior vai ficar com a taça (não lavar a louça). - Isis rapidamente escolhe o número doze. Yasmin logo diz - não sei não... Isis sempre na esperteza dês do inicio nos convencendo e não aceitando as probabilidades... Acho que ela esta levando alguma vantagem... Mas, tudo bem por mim pode ficar com o doze.. - Yasmin diz vou ficar com o número sete, pois sete é o número da perfeição segundo a Bíblia sagrada. - Isadora diz vou ficar com número nove, pois nove é uma raiz exata. Procedimentos de solução 3 - Determinar o espaço amostral conforme figuras 34 e 35. Figura 33:Janela de execução dos experimentos para os dados

51 Figura 34:Espaço amostral dos dados 4 - Separar os conjuntos de eventos de interesse: Figura 35:Quantidade de pontos feitos por Ísis em 500 lançamentos

52 Figura 36: Quantidade de pontos feitos por Yasmin em 500 lançamentos Figura 37: Quantidade de pontos feitos por Isadora em 500 lançamentos

53 Figura 38: Histograma da distribuição de frequência dos eventos de interesse dos dois dados em 500 lançamentos 5 - O professor concluirá a questão pedindo aos grupos que apresentem tabelas e histogramas como argumento do resultado do jogo conduzindo para importância do número de experimentações crescente tendendo a estabilidade probabilidade clássica.

54 5 QUESTIONÁRIO DE CONHECIMENTOS PRÉVIOS QUESTIONÁRIO Dissertação de Mestrado Tema: Aplicação do software Simulaprob e aplicativo Dice Mestrando: Rogério Delfino de Souza INFORMAÇÕES SOBRE OS CONHECIMENTOS PRÉVIOS DOS ALUNOS Este questionário faz parte da pesquisa Jogos com Resolução de Problemas para o Estudo de Probabilidade no Ensino Médio, que está sendo desenvolvida pelo Prof. Rogério Delfino de Souza, da USS/Vassouras, e deverá ser respondido pelos alunos da terceira série do Ensino Médio. Não é necessário se identificar. Obrigado pela colaboração. 1. Qual a sua idade? anos 2. Você disponibiliza e utiliza algum dispositivo móvel como, celular, smartphone, tablet ou laptop? SIM Qual(is)? NÃO 3. Para a resposta sim, quanto tempo aproximadamente utiliza por dia? 4. Para que você utiliza? 5. Você conhece algum software educacional de probabilidade? SIM Qual(is)? NÃO 6. Como você Explicaria as palavras, aleatório e acaso? Exemplifique.

55 7. Em 100 lançamentos de cara ou coroa obtêm-se 60 coroas e 40 caras. Aumentando-se o número de lançamentos para 1000 lançamentos existirão mudanças nos números anteriores? SIM Justifique sua escolha. NÃO Justifique sua escolha. 8. Ainda em relação ao item anterior se fizermos 1000000 de lançamentos em qual eventualidade você apostaria? a) Existirão mais coroas que caras. b) Existirão mais caras que coroas. c) Caras e coroas tendem a se igualar. Explique sua escolha 9. Lançam-se ao mesmo tempo dois dados idênticos. A frase seguinte é verdadeira ou falsa? A probabilidade de aparecerem o numero 1 nas duas faces dos dados são as mesma para os números 5 e 6. Verdadeira Falsa Explique sua escolha OBRIGADO POR SUA PARTICIPAÇÃO!

56 6 QUESTIONÁRIO DE VERIFICAÇÃO DO APRENDIZADO QUESTIONÁRIO Dissertação de Mestrado Tema: Aplicação do software Simulaprob e aplicativo Dice Mestrando: Rogério Delfino de Souza QUESTIONÁRIO DE VERIFICAÇÃO DO APRENDIZADO Este questionário faz parte da pesquisa Jogos com Resolução de Problemas para o Estudo de Probabilidade no Ensino Médio, que está sendo desenvolvida pelo Prof. Rogério Delfino de Souza, da USS/Vassouras, e deverá ser respondido pelos alunos da terceira série do Ensino Médio. Não é necessário se identificar. Obrigado pela colaboração. 1) 1. A definição de probabilidade de Laplace (probabilidade clássica) é válida somente quando o Espaço Amostral possui um número finito de elementos e os Eventos Elementares são equiprováveis? 2) ( ) pouco provável; ( ) muito provável; ( ) impossível de ocorrer; ( ) Não sei. 2. Marque verdadeiro ou falso nos exemplos de experimentos aleatórios as seguintes situações: Tempo de espera na fila de um banco ( ) Horário em que irá começar a chover ( ) O resultado da face voltada para cima no lançamento de uma moeda ( ) Número de ganhadores na Mega Sena ( ) Resultado de um jogo de roleta ou dados ( ) 3. Podemos dizer que ao observar a tendência a estabilidade de um histograma em função do número de experimentos (jogadas) ele aproxima-se da probabilidade clássica? ( ) pouco provável de ocorrer; ( ) muito provável de ocorrer; ( ) impossível de ocorrer; ( ) Não sei. 4. No lançamento de uma moeda honesta a probabilidade de sair cara é igual a 1/2? ( ) pouco provável de ocorrer; ( ) muito provável de ocorrer; ( ) impossível de ocorrer; ( ) Não sei. 5. Como pensas que devem ser os resultados ao supor o lançamento de duas moedas 10 vezes seguidas? Anotar os possíveis resultados sem lançar nenhuma moeda. Escreva Ca para cara e Co para coroa. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10