Incerteza local e incerteza espacial SIMULAÇÃO Situações em que o interesse na avaliação da incerteza não se resume a um ponto, mas a um conjunto de pontos simultaneamente. Com a krigagem é possível a melhor estimativa possível para locais não amostrados, pela minimização da variância do erro Todavia não há garantia que o mapa obtido pela krigagem tenha o mesmo histograma, a mesma variância e o mesmo semivariograma dos dados originais, pois trata-se, pela própria natureza do método, de um mapa com valores suavizados. A suavização é inversamente proporcional à densidade dos pontos amostrados Para avaliar a incerteza espacial, resultante do comportamento simultâneo do conjunto de variáveis, existem os modelos geoestatísticos de simulação. Espessura da Formação Dakota/Kansas, EUA (Olea, 1999) A escolha entre adotar estimação ou simulação deve ser decidida em função do que é mais relevante para cada aplicação específica: procura pelo erro mínimo local de valores estimados ou continuidade espacial correta. 1
Espessura da Formação Dakota, por krigagem Validação cruzada da krigagem: valores subestimados acima da média e superestimados abaixo da média (tendenciosidade condicional) Modelos de simulação, ao contrário dos métodos clássicos (krigagem incluída), são capazes de reproduzir a continuidade espacial, e ainda a função de distribuição. Estes modelos geram imagens que devem cumprir três condições: i) reprodução da função de distribuição (textura); ii)capacidade de reprodução da estrutura espacial (histograma, variância); iii) reprodução exata dos valores amostrados. 2
A simulação permite infinitas realizações de mapas, cada qual com, aproximadamente, o mesmo histograma e mesmo variograma que os dados originais. Teoricamente a media de um grande número de mapas simulados deve fornecer resultados mais reais e, conseqüentemente, mais confiáveis para predições. A simulação também foi a solução adotada para modelar a incerteza associada à estimativa; isso porque a variância de krigagem foi reconhecida apenas como um índice de configuração espacial dos pontos vizinhos próximos Krigagem e Simulação Ambas baseiam-se no modelo definido pelo estudo da variabilidade espacial do atributo (variografia) e honram os valores obtidos em pontos conhecidos (estimadores exatos) A krigagem cria uma realização em que a acurácia local, mínima variância de estimação, é o mais importante. Isto gera uma superfície suavizada, mascarando a variabilidade dos dados. A simulação fornece representações globais alternativas, onde prevalece a representação de padrões de continuidade espacial. O resultado da média de um conjunto grande (>100) de imagens estocásticas é a realização de krigagem do atributo. A simulação tenta atingir realismo e a estimativa acurácia. Simulação Krigagem Saida Multiplas realizações Modelo determinístico Propriedades Imagem Dados Uso Honra pontos conhecidos, histograma, variograma, densidade espectral Com ruído, especialmente se o variograma apresentar Localização dos pontos não pode ser feita a partir da imagem Modelagem da heterogeneidade; quantificação da incerteza Honra pontos conhecidos; minimiza o erro da variância Suavizada, especialmente se o variograma apresenta ruído Localização possível dos pontos Mapeamento Métodos de simulação estocástica Os métodos de simulação existentes procuram determinar aleatoriamente a componente de erro com base no método de Monte Carlo. Como o processo é aleatório, as realizações serão diferentes entre si, mas honrando o histograma amostral e o modelo de variograma amostral. A reprodução do histograma e variograma é conhecida em geoestatística como precisão global; nesse sentido, a krigagem, que não reproduz o histograma e variograma amostrais, apresenta apenas precisão local. O método da simulação Gaussiana seqüencial (SGS) é o mais utilizado na modelagem de reservatórios devido à sua simplicidade, flexibilidade e razoável eficiência; outros algoritmos existentes não têm sido extensivamente utilizados por apresentarem restrições e problemas nos resultados. 3
Simulação sequencial gaussiana 1. Considerar a simulação de um atributo z encontrado em N nós x j de um reticulado, condicionada a um conjunto de dados {z(x ) =1,...n} 2. Transformar os dados originais para o campo gaussiano (media 0 e variância 1). 3. Definir uma grade e um único percurso aleatório para todos os nós do retículo. 4. Para cada nó x determinar a média e a variância da função de distribuição acumulada condicional/ccdf gaussiana, usando krigagem simples baseada no modelo variográfico normalizado. 5. Extrair um valor simulado de cada ccdf e adicioná-lo ao conjunto de dados; a informação condicionante (n) consiste de um número específico n(x ), o qual inclui tanto valores normalizados como valores simulados durante uma seqüencia anterior, se existir. 6. Proceder de modo idêntico no próximo nó do reticulado, segundo o percurso aleatório, para a obtenção d mais valores, segundo (4) e (5). 7. Continuar até todos os nós terem sido percorridos. 8. Após todas as realizações, retro-transformar os valores simulados no campo gaussiano para os valores simulados no campo original Se o número total de observações é n e o número de nós é N, após o processo de simulação o número da amostragem expandida passa a ser n+n-1. Como tipicamente n<n, o método precisa discriminar a favor dos dados originais para funcionar com propriedade 4
Intervalo entre quartis/ied= 317.500 281.500 = 36 Histogramas referentes à dados originais e 3 simulações. IEQ:36.0 IEQ:36.7 IEQ:35.6 IEQ:37.5 Pb: amostragem (0,06-1,25)/GS+ (IEQ K : 26.1) 5
g(h) = 0,1237 + 59,20 Sph 0,3504(h) Krigagem ordinária (0,141-0,785) Variância da krigagem Número de simulações: 1 (0,02-8,46) 6
Número de simulações: 10 (0,06-2,69) Número de simulações: 100 (0,06-1,25) Número de simulações: 1000 (0,06-1,25) Número de simulações: 10000 (0,06-1,25) 7
Krigagem Simulação Inicialmente devem ser definidos os caminhos aleatórios para as realizações. 1. Em seguida, os procedimentos podem ser: simulação gaussiana seqüencial e simulação indicadora seqüencial. Para a simulação Gaussiana seqüencial há opções por krigagem simples e krigagem ordinária, enquanto para a simulação indicadora seqüencial pode-se escolher tanto para variáveis contínuas como para variáveis categóricas. Em cada ponto da malha regular define-se a função de distribuição acumulada condicional. No caso da opção por krigagem simples, a função de distribuição acumulada condicional é uma gaussiana com média e variância calculadas. Para os demais métodos, as funções de distribuição acumulada condicional são obtidas experimentalmente. (Yamamoto e Landim, 2013) Exercício 06: Krigagem ordinária Para a realização deste exercício é necessário acessar o software de cunho didático E{Z}Kriging desenvolvido por D.J.J.Walvoort da Wageningen University/Holanda e, eventualmente, o texto explicativo que o acompanha. 8
Questões Mantendo a mesma configuração original, mas adicionando o valor 100 a cada um dos sete valores conhecidos, o que acontece com o valor estimado e a respectiva variância de estimação? Mantendo a mesma configuração original para C0 e C1, se for modificado o modelo variográfico para exponencial e, em seguida, para gaussiano, acompanhados das respectivas modificações em a, o que acontece com os valores estimado e variância da krigagem? Qual o significado disso Mantendo a mesma configuração original, inclusive o modelo esférico, mas aumentando o valor do efeito pepita o que acontece e qual a explicação? Mantendo a mesma configuração original, inclusive o modelo esférico, mas usando krigagem ordinária por blocos, a medida que aumentam as dimensões dos blocos o que acontece e porque? A partir da configuração original se o ponto 2 tiver modificada sua posição espacial para bem próximo ao ponto 0 o que acontece, com relação aos pesos? Explicar por que. Se for modificada a configuração espacial dos 7 pontos, de modo a 6 ficarem agrupados como no esquema abaixo, como ficam os pesos de cada um dos pontos? 9