UNIVESIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS ESCOLA DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA TRABALHO DE ELEMENTOS FINITOS PARA ANÁLISE ESTRUTURAL Estudo do comportamento de uma prateleira André Dias Guilherme Melo Olavo Martins Junho de 2008
SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO... 1 2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA... 3 2.1. SolidWorks COSMOS... 3 2.2. Método dos Elementos Finitos (MEF)... 3 2.3. Elemento de Casca... 4 3. METODOLOGIA... 9 3.1. Condições de Contorno... 9 3.2. Discretização... 10 3.3. Simulação... 12 4. RESULTADOS... 14 4.1. Primeira Simulação... 14 4.1. Segunda Simulação... 16 6. BIBLIOGRAFIA... 20 7. ANEXO I... 21 ii
1. INTRODUÇÃO A proposta de nosso trabalho é analisar o comportamento da peça, representada no desenho abaixo, quando submetida a um carregamento distribuído em uma de suas abas e fixada em uma parede por dois parafusos. Esta estrutura seria uma prateleira que deve resistir a um peso de 1 kn/m 2. Figura 01- Prateleira estudada Devido às descontinuidades da peça, como furos e cantos vivos, tornou-se necessária a análise via o Método de Elementos Finitos. O método consiste em discretizar a estrutura em elementos de dimensões finitas unidos por pontos chamados nós. A partir de uma hipótese razoável de deslocamento de um ponto do elemento, calcula-se as energias de deformação, cinética e de dissipação em função dos deslocamentos nos nós. A estrutura é dividida em N elementos, a energia de deformação total, a energia cinética total e a energia de dissipação total correspondem à soma das componentes de cada elemento. Os elementos podem ser divididos em diferentes tipos, como por exemplo, elementos de casca, sólido ou estado plano. 1
O elemento escolhido para o desenvolvimento da análise foi o elemento de casca. Devido a uma espessura muito fina em relação ao tamanho da peça. Para esse intuito utilizou-se o software SOLIDWORKS 2007 para digitalizar a peça e o COSMOS para a análise por elementos finitos. 2
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 2.1. SolidWorks COSMOS O COSMOS é uma poderosa ferramenta da SolidWorks para simulações, análises de resistência e testes de esforço dos produtos modelados. O software permite que o desenvolvimento do produto seja rápido, econômico e otimizado, porque examina profundamente o seu desempenho. Os benefícios do COSMOS garantem a qualidade dos produtos e permitem aos usuários detectar problemas de projeto em menos tempo do que seria possível através de um protótipo. Sistema CAE escolhido pela maior parte dos usuários de SolidWorks, o COSMOS é capaz de realizar análises estáticas, análises de freqüência e análises térmicas com grande facilidade e sem a necessidade de transferir dados, pois sua interface é totalmente integrada ao SolidWorks e trabalha com seus arquivos nativos. Cada vez mais empresas de diferentes áreas utilizam os produtos COSMOS para aperfeiçoar a qualidade de seus projetos, evitar falhas em campo, reduzir custos de material e acelerar o tempo de comercialização dos produtos. 2.2. Método dos Elementos Finitos (MEF) O método dos elementos finitos (FEM) é usado para encontrar soluções aproximadas de equações diferenciais parciais (EDP), bem como das equações integrais, tais como equações de transporte de calor. A solução abordada baseia-se tanto em eliminar completamente a equação diferencial (problemas de estado estacionário), ou tornando o EDP em um sistema aproximado de equações diferenciais ordinárias, que são então resolvidos usando técnicas padrões como método de Euler, Runge-Kutta, etc Ao resolver equações diferenciais parciais, o principal desafio é criar uma equação que se aproxima da equação a ser estudado, mas é numericamente estável, significando que erros nos dados de entrada e de cálculos intermédios não acumulam e causam a conseqüentemente diferença na precisão da saída. Há muitas maneiras de fazer isso, todas com suas vantagens e desvantagens. O método dos elementos finitos é uma boa opção para 3
resolver equações diferenciais parciais em domínios complexos (como automóveis e óleo dutos), quando o domínio muda (como a reação de um estado sólido em movimento), quando a precisão desejada varia ao longo de todo o domínio, ou quando a solução carece de maior cuidado. Por exemplo, na simulação das condições climáticas padrão na Terra, é mais importante dispor de previsões mais precisas do que ao longo dos terrenos de grande mar aberto, uma procura que é viável utilizando o método dos elementos finitos. 2.3. Elemento de Casca Elementos de casca sólidos formam uma classe intermediária de modelos de elementos finitos entre a casca fina e convencionais elementos sólidos. Eles têm o mesmo nó e liberdade de configuração dos elementos sólidos, mas seu comportamento e na direção da espessura como nos elementos de casca. Eles são úteis para a modelagem de cascas, como pedaços de uma estrutura em 3D, sem a necessidade de conectar nós de elemento sólidos com nós de elementos de casca. Veja a Figura 2. A derivação dos elementos de cascas sólidos é mais complicada do que de elementos sólidos convencionais, uma vez que são propícios a alguns problemas. Como se observa, a formulação utiliza principalmente o método da Assumed Natural Strain (ANS), Tensão Natural Assumida, com adaptações para que a cinemática do elemento funcione corretamente na construções de paredes laminadas como a que está representado na Figura 2 (b). Isto é feito assumindo uma espessura uniforme de tensão em vez de uma deformação uniforme, o que resulta em espessura integrada modificada de equações constitutivas. Figura 02. Elementos de casca sólida (em cores) ligado ao convencional elemento sólido tijolo (em cinza). Figura (b) mostra uma configuração de parede laminada. 4
O elemento de casca é formado a partir de um elemento do tipo tijolo (brick) hexagonal, como mostra a figura abaixo: Figura 03 O elemento de tijolo é deformado conforme mostra a figura 3(b), formando uma superfície na qual cada nó esta no ponto médio de uma aresta do elemento tijolo. Como a superfície gerada não é necessariamente plana, os pontos médios desta superfície são conectados novamente para formar a superfície plana mostrada na figura 3(d). As coordenadas locais e globais são relacionadas pelas seguintes equações: Onde: E a matriz T representa os senos e cosenos diretores. Os índices w representam os pontos do elemento deformado. 5
Podemos representar o elemento deformado através de uma transformação isoparamétrica, de forma que suas coordenadas são: Onde N representa as funções de forma dadas por: A derivação da matriz de rigidez é feita através do elemento planificado, porém alguns testes de verificação são realizados antes para garantir que o elemento não esteja deformado demais, causando resultados de baixa qualidade. Um teste comum foi desenvolvido pela Boeing e consiste em controlar a distancia entre dois elementos, como mostra a figura abaixo: Figura 04 Pela formulação isoparamétrica, o jacobiano é dado por: 6
E o volume do elemento é então: O vetor de deslocamento no sistema de coordenadas global e local é dado por: Que são relacionados pela seguinte expressão: Após a interpolação das funções de deslocamento, a matriz de rigidez é dada por: Onde k é uma propriedade do material, dado por: Que para um material isotrópico pode ser dado por: 7
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3. METODOLOGIA 3.1. Condições de Contorno As condições de contorno em uma análise estática se dividem em dois grupos principais: as restrições ao movimento e os esforços solicitantes. Para o modelo proposto, foi considerada uma restrição de movimento aplicada no furo do tipo imóvel, que restringe a translação e permite a rotação, uma vez que no modelo real a chapa está presa por um parafuso sem interferência geométrica. O esforço solicitante foi considerado de distribuído igualmente em uma das faces da chapa, conforme indicado na figura 05. Figura 05 Na primeira simulação o valor da carga aplicada foi de 1 kn/m 2 e na segunda de 1,58 kn/m 2. 9
3.2. Discretização A definição da malha foi feita automaticamente pelo COSMOS, seguindo alguns parâmetros definidos pelo usuário. Na primeira malha, foram definidos os seguintes parâmetros, conforme mostra o relatório gerado pelo software: Tabela 01 Mesh Information Mesh Type: Shell mesh using surfaces Mesher Used: Standard Automatic Transition: Off Smooth Surface: On Jacobian Check: 4 Points Element Size: 8.7763 mm Tolerance: 0.43881 mm Quality: High Number of elements: 1481 Number of nodes: 3104 Time to complete mesh (hh; mm; ss): 00:00:00 Computer name: MARTINS A malha gerada é mostrada na figura 06. 10
Figura 06 Para a segunda simulação, uma malha mais refinada foi gerada na região dos furos e do recorte, PR serem típicas regiões concentradoras de tensão. Os parâmetros adotados e a malha gerada são mostrados na tabela xx e figura xx respectivamente. Tabela 02 Mesh Information Mesh Type: Shell mesh using surfaces Mesher Used: Standard Automatic Transition: Off Smooth Surface: On Jacobian Check: 4 Points Element Size: 7.3136 mm Tolerance: 0.36568 mm Quality: High Number of elements: 25514 Number of nodes: 51678 Time to complete mesh (hh; mm; ss): 00:00:59 Computer name: MARTINS 11
Control-1 <chapa 2> Tabela 03 Mesh Control Mesh control on 1 Face(s) with seed 1.5 3 layers and ration 1. Figura 07 3.3. Simulação Ambas as simulações foram realizadas de forma automática pelo COSMOS utilizando uma qualidade alta de solução, do tipo FFEPlus. Os efeitos da temperatura não foram considerados, e a temperatura de referencia foi de 298 Kelvins. O material da considerado da peça foi o aço SAE1020 com as seguintes propriedades físicas, segundo a biblioteca interna do COSMOS: 12
Tabela 04 Property Name Value Units Value Type Elastic modulus 2e+011 N/m^2 Constant Poisson's ratio 0.29 NA Constant Shear modulus 7.7e+010 N/m^2 Constant Mass density 7900 kg/m^3 Constant Tensile strength 4.2051e+008 N/m^2 Constant Yield strength 3.5157e+008 N/m^2 Constant Thermal expansion coefficient 1.5e-005 /Kelvin Constant Thermal conductivity 47 W/(m.K) Constant Specific heat 420 J/(kg.K) Constant As propriedades geométricas da seção transversal da peça são apresentadas abaixo, calculadas pelo software SolidWorks: Área = 403.06 mm 2 Centróide relativo à origem do sistema de coordenadas de saída: X = -150.00 mm Y = -25.69 mm Z = 26.31 mm Momentos de inércia da área, no centróide: (mm 4 ) L xx = 857561.30 L xy = 0.00 L xz = 0.00 L yx = 0.00 L yy = 428780.65 L yz = 258153.78 L zx = 0.00 L zy = 258153.78 L zz = 428780.65 Momento polar de inércia da área, no centróide = 857561.30 mm 4 Angulo entre os eixos principais e os eixos da peça= -45.00 graus Momentos principais de inércia da área, no centróide: (mm 4 ) Ix = 170626.87 Iy = 686934.43 13
4. RESULTADOS 4.1. Primeira Simulação Os resultados padrões obtidos pela simulação são apresentados na tabela 05 Tabela 05 Name Type Min Location Max Location Stress1 VON: von Mises stress 26097.4 N/m^2 Node: 1792 (42.8571-50 102 mm) 1.92694e+008 N/m^2 Node: 18 (-125.302 18.2899 2 mm) Displacement1 URES: Resultant displacement 0 mm Node: 1 (132.5 15.6699 2 mm) 2.54542 mm Node: 1807 (- 5.96046e- 006-50 102 mm) Strain1 ESTRN: Equivalent strain 1.52237e- 007 Element: 1101 (42.8571-50 98.9727 mm) 0.000484873 Element: 632 (123.395 17.596 2 mm) Os resultados gráficos são apresentados nas figuras 08. 14
Figura 08 Figura 09 15
Figura 10 4.1. Segunda Simulação Os resultados padrões obtidos pela simulação são apresentados na tabela 06 Tabela 06 Name Type Min Location Max Location Stress1 VON: von Mises stress 83491.4 N/m^2 Node: 12514 (-47.561-50 102 mm) 3.5201e+008 N/m^2 Node: 7 (125.222 18.5262 2 mm) Displacement1 URES: Resultant displacement 0 mm Node: 1 (132.5 15.6699 2 mm) 4.23807 mm Node: 14580 (-5.96046e-006-50 102 mm) Strain1 ESTRN: Equivalent strain 2.3206e- 007 Element: 24967 (43.9024-50 99.6214 mm) 0.00133616 Element: 20044 (125.189 17.6315 2 mm) 16
Os resultados gráficos são apresentados nas figuras 11. Figura 11 17
Figura 12 Figura 13 18
5. CONCLUSÃO Com base nos resultados apresentados acima, podemos concluir que a peça atende a seu propósito inicial que é suportar um carregamento mínimo de 1 KN/m2, porém a carga máxima admissível é bem próxima deste valor, obtida através da 2ª simulação. Mesmo assim, existe uma grande área onde não há grande solicitação, podendo esta ser eliminada de acordo com os requisitos do projeto. Como já era esperado, os cantos vivos e os furos mostraram-se como concentradores de tensão, porem as tensões desenvolvidas não chegaram a comprometer o projeto. Partes das tensões desenvolvidas nos cantos vivos poderiam ser reduzidas com o arredondamento das mesmas. É importante também atentar para os valores do deslocamento que foram relativamente elevados em ambos os casos, e devem ser submetidos a uma analise do ponto de vista de aplicação do projeto. Por último, podemos avaliar ambas as malhas como satisfatórias, pois em ambos os modelos as variações de tensão e deformação mostraram-se bem comportadas e com poucos pontos de descontinuidade. Além disso, mesmo com o aumento do carregamento e com o refinamento da malha na área mais critica de tensões, as distribuições das tensões e dos deslocamentos ocorreram de forma parecida e os pontos Máximos e mínimos foram próximos. 19
6. BIBLIOGRAFIA [1] LOGAN, Daryl L.; A first Course in the Finite Element Method; 4 Edição [2] http://www.ska.com.br/ [3] http://www.set.eesc.usp.br/cadernos/nova_versao/pdf/cee22_89.pdf [4] Site de vendas de Minas Gerais do software SolidWorks; http://www.solidminas.com.br/ 20
7. ANEXO I 21
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