Exercícios de exames e provas oficiais

Exercícios de exames e provas oficiais. Na figura, está representada, num referencial ortogonal xoy, parte do gráfico da função g, segunda derivada de uma função g. Em qual das opções seguintes pode estar representada parte do gráfico da função g? (A) (B) (C) (D) matemática A º ano, exame 635, ª fase, 04 / 8

. Considere as funções f e g, de domínio,0, definidas por lnx e g x x f x f x x x Recorrendo a processos exclusivamente analíticos, estude a função g quanto à monotonia e quanto à existência extremos relativos. Na sua resposta, deve indicar o(s) intervalo(s) e, caso existam, os valores de x para os quais a função g tem extremos relativos. matemática A º ano, exame 635, ª fase, 04 3. Na figura, está representada, num referencial o.n. xoy, parte do gráfico de uma função polinomial f, de grau 3. Sabe-se que: e 3 são os únicos zeros da função f; a função f tem um extremo relativo em x ; h ', primeira derivada de uma função h, tem f x domínio e é definida por h' x ; x e lim h x 3 x Considere as afirmações seguintes. I) A função h tem dois extremos relativos. h 0. II) III) y 3 0 é uma equação da assíntota do gráfico da função h quando x tende para. Elabore uma composição, na qual indique, justificando, se cada uma das afirmações é verdadeira ou falsa. Na sua resposta, apresente três razões diferentes, uma para cada afirmação. matemática A º ano, exame 635, ª fase, 04 / 8

4. Considere, para um certo real a positivo, a função f, de domínio f x a ln a x., definida por Em qual das opções seguintes pode estar representada parte do gráfico da função primeira derivada da função f? (A) (B) f ', (C) (D) matemática A º ano, exame 635, ª fase, 04 5. Seja f uma função cuja derivada, ' Qual das afirmações seguintes é verdadeira? f ' x 4 x. f, de domínio, é dada por (A) O gráfico da função f tem concavidade voltada para cima em. (B) A função f tem um máximo relativo em x 4. (C) O gráfico da função f não tem pontos de inflexão. (D) O gráfico da função f tem um ponto de inflexão de coordenadas 4, f 4. matemática A º ano, exame 635, época especial, 04 3 / 8

6. Considere, para um certo número real k positivo, a função f, de domínio, definida por 3x se x 0 x e f x ln k se x 0 x 6x ln se x 0 x Recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, mostre que ln extremo relativo da função f no intervalo 0,. e é um 3 matemática A º ano, exame 635, época especial, 04 7. Sejam f ' e f '', de domínio, a primeira derivada e a segunda derivada de um função f, respetivamente. Sabe-se que: a é um número real; P é o ponto do gráfico de f de abcissa a; f x f a lim 0 xa x a f a Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira? (A) a é um zero da função f. (B) (C) f a é um máximo relativo da função f. f a é um mínimo relativo da função f. (D) P é um ponto de inflexão do gráfico da função f. matemática A º ano, exame 635, ª fase, 03 4 / 8

8. Na figura, está representada, num referencial ortogonal xoy, parte do gráfico de uma função polinomial g, de grau 3. Seja f uma função, de domínio, que f x g x 3 verifica a condição Em qual das quatro opções seguintes pode estar representada parte do gráfico da função f ', primeira derivada da função f? (A) (B) (C) (D) matemática A º ano, exame 635, ª fase, 03 5 / 8

9. Seja g uma função, de domínio, cuja derivada, g ', de domínio x x g ' x ln e 6e 4x, é dada por Estude a função g quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. matemática A º ano, exame 635, ª fase, 03 0. Considere, para um certo número real a superior a, as funções f e g, de domínio, x definidas por f x a g x a x. e Considere as afirmações seguintes. I) Os gráficos das funções f e g não se intersetam. II) As funções f e g são monótonas crescentes. ln a III) f ' g. a Qual das opções seguintes é a correta? (A) II) e III) são verdadeiras. (B) I) é falsa e III) é verdadeira. (C) I) é verdadeira e III) é falsa. (D) II) e III) são falsas. matemática A º ano, exame 635, ª fase, 03. Considere a função f, de domínio \ 0, definida por Seja g a função, de domínio x e se x 0 4 x f x e xln x se x 0 g x f x x ln x, definida por. Recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, estude a função g quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos em 0,e. matemática A º ano, exame 635, ª fase, 03 6 / 8

. Na figura, está representada, num referencial ortogonal xoy, parte do gráfico de uma função polinomial f, de grau 3. Sabe-se que: são os únicos zeros da função f; g ', a primeira derivada de uma certa função g, tem domínio g ' x f x e x : lim g x 0 x Apenas uma das opções seguintes pode representar a função g? e é definida por 7 / 8

Nota Em cada uma das opções estão representadas parte do gráfico de uma função e, a tracejado, uma assíntota desse gráfico. Elabore uma composição na qual: identifique a opção que pode representar a função g; apresente as razões para rejeitar as restantes opções. Apresente três razões diferentes, uma por cada gráfico rejeitado. matemática A º ano, exame 635, ª fase, 03 3. Na figura, está representada, num referencial o.n. xoy, parte do gráfico de uma função f, de domínio 6,, definida por f x 3. x ln Sabe-se que: a reta r tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa a; a inclinação da reta r é, em radianos, 4. Qual é o valor de a? (A) 4 (B) 9 (C) (D) 5 matemática A º ano, exame 635, ª fase, 0 8 / 8

4. Considere a função f, de domínio, definida por sin x se x 0 3 x k f x e se x 0 4x e se x 0 x com k Seja g uma função, de domínio g ' x f x. x, cuja derivada, g ', de domínio, é dada por Recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, estude a função g quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão. matemática A º ano, exame 635, ª fase, 0 5. Na figura, está representada, num referencial o.n. xoy, parte do gráfico de uma função f, de domínio. Sejam f ' e f '', de domínio, a primeira derivada e a segunda derivada de f, respetivamente. Qual dos valores seguintes pode ser positivo? (A) f ' (B) f ' 3 (C) f '' 3 (D) f '' matemática A º ano, exame 635, ª fase, 0 9 / 8

6. Considere a função f, de domínio, definida por f x xln x xln x 3x se x 0 x xe se x 0 Determine a equação reduzida da reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa x, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos. matemática A º ano, exame 635, ª fase, 0 7. Para um certo número real a, seja a função f, de domínio, definida por f x ax. Na figura, está representada, num referencial o.n. xoy, parte do gráfico da função segunda derivada da função f. f '', Qual dos valores seguintes pode ser o valor de a? (A) 0 (B) (C) 3 (D) 3 matemática A º ano, exame 635, época especial, 0 8. Considere a função f, de domínio, definida por Seja x se x x f x e a se x f ' a primeira derivada de f. (a é um número real) Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, mostre, sem resolver a equação, que f ' x tem, pelo menos, uma solução em 0,. 4 Se utilizar a calculadora em eventuais cálculos numéricos, sempre que proceder a arredondamentos, use duas casas decimais. matemática A º ano, exame 635, época especial, 0 0 / 8

9. Na figura, está representada, num referencial o.n. xoy, parte do gráfico de uma função polinomial f, de grau 4. Qual das expressões seguintes pode definir a função f '', segunda derivada de f? (A) x 3 (B) 3 x (C) 9 x (D) x 9 matemática A º ano, exame 635, ª fase, 0 0. Considere a função f, de domínio 0,, definida por f x x e x x ln x se 0 x se x Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, estude f quanto à monotonia em,. matemática A º ano, exame 635, ª fase, 0. Na figura, está representada, num referencial o.n. xoy, parte do gráfico de uma função polinomial f de grau 3, de domínio. / 8

Sabe-se que:, e 5 são zeros de f; f ' representa a função derivada de f. Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) f ' 0 f ' 6 0 (B) f f ' 3 ' 6 0 (C) f ' 3 f ' 0 0 (D) f f ' 0 ' 6 0 matemática A º ano, exame 635, ª fase, 0. Na figura, está representada, num referencial o.n. xoy, parte do gráfico da função g. Sabe-se que: g é uma função continua em ; g não tem zeros; a segunda derivada, f '', de uma certa função f tem domínio e é definida por 5 4 f x g x x x f f 4 0 Apenas uma das opções seguintes pode representar a função f. I II III IV Elabore uma composição na qual: indique a opção que pode representar f; apresente as razões que o levam a rejeitar as restantes opções. Apresente três razões, uma por cada gráfico rejeitado. matemática A º ano, exame 635, ª fase, 0 / 8

3. Seja f uma função real de variável real. Sabe-se que: f ' 9 a reta tangente ao gráfico de f, no ponto de abcissa, interseta o eixo Oy no ponto de ordenada 5 Qual é o valor de f? (A) (B) (C) 3 (D) 4 matemática A º ano, teste intermédio, 4-05-0 4. Considere: a função f, de domínio, definida por 3 f x x x x a função g, de domínio \, definida por g x 3 9 x x Utilizando métodos exclusivamente analíticos, estude a função f quanto à monotonia e quanto aos extremos relativos. Na sua resposta deve apresentar: o(s) intervalo(s) em que a função é crescente; o(s) intervalo(s) em que a função é decrescente; os extremos relativos, caso existam. matemática A º ano, teste intermédio, 4-05-0 5. Na figura, está representada, num referencial o.n. xoy, parte do gráfico da função f ', primeira derivada de f. Seja a um ponto do domínio de f, tal que f ' a 0 Qual das afirmações seguintes é verdadeira? 3 / 8

(A) A função f tem um mínimo para x a (B) A função f tem um ponto de inflexão para x a (C) A função f é crescente em 0,a (D) A função f é decrescente em matemática A º ano, exame 635, ª fase, 00 6. Considere a função f, de domínio 0,, definida por f x x e 3x se 0 x x x ln x se x 5 Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, mostre que a função f tem um extremo relativo no intervalo,. matemática A º ano, exame 635, ª fase, 00 7. Considere a função f, de domínio, definida por 3 x. f x x e Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, determine a equação reduzida da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa x 0. matemática A º ano, exame 635, ª fase, 00 8. Na figura, está representada, num referencial o.n. xoy, parte do gráfico de uma função afim f, de domínio. Seja h a função definida por h x f x e x. Em qual das equações seguintes pode estar representada parte do gráfico da função segunda derivada de h? h '', 4 / 8

(A) (B) (C) (D) matemática A º ano, exame 635, ª fase, 00 9. Considere a função f, de domínio 0,3, cuja derivada ' x f ' x e x f, de domínio 0,3, é definida por Estude a função f quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos, recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora. Na sua resposta, deve: reproduzir o gráfico da função, ou gráficos das funções, que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial; indicar os intervalos de monotonia da função f; assinalar e indicar as coordenadas dos pontos relevantes, com arredondamento às centésimas. matemática A º ano, exame 635, ª fase, 00 5 / 8

30. Considere: a função f, de domínio 0, definida por f x a função g, de domínio, definida por 6 3 x 3 8 3 3 3 g x x x x Resolva os seguintes itens, usando exclusivamente métodos analíticos, a calculadora pode ser utilizada em cálculos numéricos. 30.. Seja P o ponto do gráfico da função f que tem abcissa igual a. Seja r a reta tangente ao gráfico da função f no ponto P. Determine a equação reduzida da reta r. 30.. Na figura, está, num referencial o.n. xoy, parte do gráfico da função g. Os pontos A e B pertencem ao gráfico da função g, sendo as suas ordenadas, respetivamente, o máximo relativo e o mínimo relativo desta função. Os pontos C e D pertencem ao Ox. A abcissa do ponto C é igual à do ponto B e a abcissa do ponto D é igual à do ponto A. Determine a área do triângulo [OAC]. matemática A º ano, teste intermédio, 06-05-00 3. Na figura, está representada parte do gráfico de uma função f ', derivada de f, ambas de domínio, em que o eixo Ox é uma assíntota do gráfico de f '. Seja a função g, de domínio, definida por g x f x x. Qual das figuras seguintes pode representar parte do gráfico da função g ', derivada de g? 6 / 8

(A) (B) (C) (D) matemática A º ano, exame 635, ª fase, 009 3. Numa certa zona de cultivo, foi detetada uma doença que atinge as culturas. A área afetada pela doença começou por alastrar durante algum tempo, tendo depois começado a diminuir. Admita que a área, em hectares, afetada pela doença, é dada, em função de t, por 5ln A t t t sendo t0 t 6 o tempo, em semana, decorrido após ter sido detetada essa doença. Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, determine a área máxima afetada pela doença. Apresente o resultado em hectares, arredondado às centésimas. Nota: A calculadora pode ser utilizada em eventuais cálculos numéricos; sempre que proceder a arredondamentos, use duas casas decimais. matemática A º ano, exame 635, ª fase, 009 7 / 8

33. Num certo dia, o Fernando esteve doente e tomou, às 9 horas da manhã, um medicamento cuja concentração C t no sangue, em mg/l, t horas após o medicamento ter sido ministrado, é dada por 0,3t te t 0 C t Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, determine a que horas se verificou a concentração máxima. Apresente o resultado em horas e minutos, arredondando estes às unidades. Nota: A calculadora pode ser utilizada em eventuais cálculos numéricos; sempre que proceder a arredondamentos, use três casas decimais. matemática A º ano, exame 635, ª fase, 009 34. O gráfico de uma função f é uma parábola com concavidade voltada para baixo cujo vértice é o ponto 3,. Seja f ' a função derivada da função f. Qual dos valores seguintes é negativo? (A) f ' (B) f ' (C) f '3 (D) f '4 matemática A º ano, teste intermédio, 07-05-009 35. Na figura está representado um referencial o.n. Oxyz. Cada um dos pontos A, B, e C pertence a um eixo coordenado. O ponto P pertence ao plano ABC. O ponto P desloca-se no plano ABC, de tal modo que é sempre vértice de um prisma quadrangular regular, em que os restantes vértices pertencem aos planos coordenados. O plano ABC é definido pela equação x y z 9 e sabe-se ainda que se a é a abcissa do ponto P a 0,3, o volume do prisma é dado, em função de a, por V a a a 3 3. 8 / 8

Estude a função V quanto á monotonia, sem recorrer à calculadora, e conclua qual é o valor de a para o qual o volume do prisma é máximo. matemática A º ano, teste intermédio, 07-05-009 36. A figura representa parte do gráfico de uma função f de domínio. Em qual das figuras seguintes pode estar parte da representação gráfica de f? (A) (B) f ', derivada de (C) (D) matemática A º ano, exame 635, ª fase, 008 9 / 8

37. Seja h a função de domínio,, definida por h x 4 x ln x (ln designa logaritmo de base e) Resolva, usando métodos analíticos.. Nota: A calculadora pode ser utilizada em eventuais cálculos intermédios; sempre que proceder a arredondamentos, use, pelo menos, duas casas decimais. Estude a função h, quanto à monotonia, no seu domínio. Indique os intervalos de monotonia e, se existir algum extremo relativo, determine-o. matemática A º ano, exame 635, ª fase, 008 38. Na figura estão representadas, em referencial o.n. xoy: parte do gráfico de uma função f; uma reta t, tangente ao gráfico de h no ponto de abcissa. Tal como a figura sugere, a reta t interseta o eixo Ox no ponto de abcissa e o eixo Oy no ponto de ordenada. Indique o valor de função h no ponto. (A) h ', derivada da (B) (C) (D) matemática A º ano, teste intermédio, 06-05-008 39. Na figura está representada, em referencial o.n. Oxyz, uma pirâmide quadrangular. Admita que o vértice E se desloca no semieixo positivo Oz, entre a origem e o ponto de cota 6, nunca coincidindo com qualquer um destes dois pontos. Com o movimento do vértice E, os outros quatro vértices da pirâmide deslocam-se no plano Oxy, de tal forma que: a pirâmide permanece sempre regular; o vértice A tem sempre abcissa igual à ordenada; sendo x a abcissa de A e sendo c a cota de E, tem-se sempre xc 6 0 / 8

4 Seja V x 8x x 3 3 o volume da pirâmide, em função de x 0,6 x. Utilizando a função derivada de V e recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, estude a função V quanto à monotonia, conclua qual é o valor de x para o qual é máximo o volume da pirâmide e determine esse volume máximo. matemática A º ano, teste intermédio, 06-05-008 40. Na figura está representada parte do gráfico de uma função h, de domínio 0. Em cada uma das figuras abaixo está representada parte do gráfico de uma função de domínio 0. Uma das funções representadas é derivada de h. I h ', primeira derivada de h, e a outra é II h '', segunda Numa pequena composição, explique em qual das figuras está representado o gráfico da primeira derivada e em qual está representado o gráfico da segunda derivada. Na sua composição, deve referir-se à variação de sinal das funções h ' e h '', relacionando-a com caraterísticas da função h (monotonia e sentido das concavidades do seu gráfico). matemática A º ano, exame 635, ª fase, 007 4. Considere a função f, de domínio \ 0, definida por f x ln x. Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, estude a função quanto à monotonia e à existência de extremos relativos. matemática A º ano, exame 635, ª fase, 007 / 8

4. Durante os ensaios de um motor, a velocidade de rotação do seu eixo variou, ao longo dos primeiros oito minutos da experiência, de acordo com a função 3 v x t 5t 63t onde t designa o tempo (medido em minutos), contado a partir do início da experiência, e v x designa a velocidade de rotação do eixo do motor (medida em centenas de rotações por minuto). Sem recorrer à calculadora, a não ser para efetuar eventuais cálculos numéricos, determine qual foi a velocidade máxima atingida, nos primeiros oito minutos da experiência. Apresente o resultado em centenas de rotações por minuto. matemática A º ano, teste intermédio, 0-05-007 43. Na figura abaixo está parte do gráfico de uma função h, de domínio. Sejam h ' e h '' a primeira e a segunda de h, respetivamente. Admita que estas duas funções também têm domínio. Qual das expressões seguintes designa um número positivo? (A) h' 0 h 0 (B) h0 h' 0 (C) h' 0 h 0 (D) h' 0 h 0 matemática A º ano, exame 635, ª fase, 006 / 8

44. Na figura está representada parte do gráfico de uma função polinomial f. Tal como a figura sugere, o gráfico de f tem a concavidade voltadas para cima em,0 e voltada para baixo em 0,. A reta r, tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 0, é paralela à bissetriz dos quadrantes ímpares e interseta o eixo Ox no ponto de abcissa. Sabendo que f ' e indique o valor de f 0 f ' 0 f 0 f '' designam, respetivamente, a primeira e segunda de f,. (A) (B) (C) 3 (D) 4 matemática A º ano, exame 635, ª fase, 006 45. Na figura estão representados: parte do gráfico da função f, de domínio, definida por f x e x um triângulo isósceles [OPQ] PO PQ, em que: o O é a origem do referencial; o P é um ponto do gráfico de f; o Q pertence ao eixo das abcissas. Considere que o ponto P se desloca no primeiro quadrante (eixos não incluídos), ao longo do gráfico de f. O ponto Q acompanha o movimento do ponto P, deslocando-se ao longo do eixo das abcissas, de tal modo que PO permanece igual a PQ. Seja A a função, de domínio triângulo [OPQ]. Sabendo que, para cada x, que faz corresponder, à abcissa x do ponto P, a área do, se tem A x xe x. Sem recorrer à calculadora, estude a função A quanto à monotonia e conclua qual é o valor máximo que a área do triângulo [OPQ] pode assumir. matemática A º ano, exame 635, ª fase, 006 3 / 8

46. Seja f uma função de domínio, com derivada finita em todos os pontos do seu domínio. Na figura junta encontra-se parte do gráfico de função derivada de f. Sabe-se ainda que Qual pode ser o valor de f 0. f 3? f ', (A) (B) (C) 5 (D) 7 matemática A º ano, exame 435, ª fase, 004 47. Seja f uma função tal que a sua derivada, no ponto 3, é igual a 4. f x f Indique o valor de lim x3 x 9 (A) 3 (B) 3 3. (C) 4 (D) 0 matemática A º ano, exame 35, ª fase, 00 48. Na figura ao lado está parte da representação gráfica de uma função g, de domínio \ 0. Qual das figuras seguintes poderá ser parte da representação gráfica de g ', derivada de g? (A) (B) 4 / 8

(C) (D) matemática A º ano, exame 435, ª fase ª chamada, 000 49. Na figura estão representadas: parte do gráfico da função g, de domínio, definida por g x 3 x ; uma reta r tangente ao gráfico de g, no ponto de abcissa a; a inclinação da reta r é 60º. Indique o valor de a. (A) 3 4 (B) 3 (C) 3 (D) matemática A º ano, exame 35, ª fase ª chamada, 999 50. Um projétil é lançado verticalmente de baixo para cima. Admita que a sua altitude h (em metros), t segundos após ter sido lançado, é dada pela expressão h t 00t 5t Qual é a velocidade (em metro por segundo) do projétil, dois segundos após o lançamento? (A) 80 (B) 30 (C) 70 (D) 30 matemática A º ano, exame 35, ª fase, 998 5 / 8

5. Na figura estão representadas: parte do gráfico de uma função f diferenciável em ; uma reta r tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 3. O valor de ser igual a f '3, derivada da função f no ponto 3, pode (A) (B) 0 (C) f 3 (D) matemática A º ano, exame 35, ª fase, 998 5. Se a representação gráfica de uma função g é então a representação gráfica de g ' pode ser (A) (B) (C) (D) matemática A º ano, exame 35, ª fase ª chamada, 997 6 / 8

53. Na figura junta está a representação gráfica de uma função h e de uma reta t, tangente ao gráfico de h no ponto de abcissa a. A reta t passa pela origem do referencial e pelo ponto de coordenadas 6,3. O valor de h' a é (A) (B) 6 (C) 3 (D) matemática A º ano, exame 35, ª fase ª chamada, 997 Bom trabalho!! 7 / 8

Principais soluções. (A). Crescente: e,0 Decrescente: e Mínimo absoluto quando x e 3. I) Falsa II) Verdadeira III) Falsa 4. (B) 5. (D) 6. 7. (B) 8. (A) 9. Concavidade voltada para baixo: o; ln 0 Concavidade voltada para cima: ln 0 ; Pontos de inflexão em: 0. (B) x ln 0. Crescente:, e Decrescente: 0, Mínimo relativo: g Máximo relativo: ge. IV 3. (D) 4. Concavidade voltada para baixo:, 4 Concavidade voltada para cima: 0, 4 Pontos de inflexão em: x 4 5. (C) 6. y e x e 7. (D) 8. 9. (D) 0. Estritamente crescente no intervalo.. (D). III 3. (C) 4. Crescente:, 3, Decrescente: 3, Máximo relativo: 6 para x 3 Mínimo relativo: -6 para x 5. (C) 6. 7. y x e 8. (A) 9. Estritamente crescente: 0,57;3 Estritamente decrescente: 0;0,57 Mínimo em x 0, 57 30. 3 30.. y x 9 30.. 3 3. (D) 3. 6,05 hectares. 33. horas e 0 minutos. 34. (D) 35. a 36. (C) 37. Estritamente crescente:,0 Estritamente decrescente: 0, Máximo absoluto: 38. (C) 8 39. x 4, V 3 40. Figura II h0 4 4. Estritamente crescente: 0 Estritamente decrescente: 0, Extremos: Não tem. 4. 8 centenas de rotações por minuto. 43. (C) 44. (C) 45. A e 46. (A) 47. (A) 48. (A) 49. (D) 50. (A) 5. (A) 5. (C) 53. (D) 8 / 8