UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSTITUTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DE MATEMÁTICA PLANO DE ENSINO Código Nome Créditos/horas-aula: MEM05 Tópicos de Geometria 02/ 30 horas-aula Súmula: Geometria sintética no plano e no espaço. Geometria analítica e vetorial. Álgebra Linear em dimensão dois e três. Geometria e axiomatização. Geometria na Educação Básica. Em vigor em: 2018/2 Professor Débora da Silva Soares Conteúdo Programático Tópico 1 - Geometria sintética no plano e no espaço: congruências e semelhanças de figuras; polígonos e poliedros, isometrias e semelhanças no plano e no espaço, cônicas e lugar geométrico; teorema de Euler, teorema de Dandelin, teorema fundamental das isometrias. Tópico 2 - Geometria analítica e vetorial: equação geral de grau dois com duas variáveis (cônicas); equação geral de grau dois com três variáveis (quádricas); tratamento vetorial para retas, planos e sistemas de equações lineares em duas e três variáveis; curvas parametrizadas, superfícies de revolução e superfícies parametrizadas. Tópico 3 - Geometria e axiomatização: aspectos históricos; os casos da geometria euclidiana, geometria esférica, geometria hiperbólica e geometria fractal. Objetivos Os dois objetivos principais da disciplina são: colocar em contexto mais geral alguns dos conteúdos escolares clássicos via tratamento sintético e analítico; discutir, sob o ponto de vista axiomático e histórico, as geometrias euclidiana e não euclidianas. Ao final da disciplina, quer-se que os professores tenham uma visão mais sistêmica dos poucos objetos geométricos e equações que são ensinadas na escola; que conheçam outras ferramentas matemáticas para tratar estes mesmos objetos geométricos; que reconheçam a geometria escolar como um modelo particular de geometria, a partir do entendimento de sistemas axiomáticos e as possibilidades de geometrias não euclidianas. São objetivos específicos: a) no Tópico 1: a partir de conteúdos clássicos na escola (pontos notáveis de um triângulo, teorema de Tales, teorema de Pitágoras) retomar os conceitos de
congruência e de semelhança, discutir algumas demonstrações de teoremas; generalizar os conceitos de congruência e de semelhança via isometria e homotetia; explorar as isometrias de alguns polígonos e poliedros regulares; fazer estudo da elipse, parábola e hipérbole como lugar geométrico de pontos; discutir os teoremas de Euler, de Dandelin e das isometrias. b) no Tópico 2: a partir de conteúdos clássicos na escola (equação da reta e do círculo), avançar em raciocínios generalizadores, de forma a esgotar todas as soluções das equações de grau dois em duas variáveis (as cônicas) e três variáveis (as quádricas). Fazer um tratamento vetorial para retas e planos e para sistemas de equações de grau um, com duas e três variáveis; interpretar geometricamente a resolução de sistemas de equações via o método de escalonamento. c) no Tópico 3: entender a fundamentação axiomática da geometria euclidiana e avançar no dilema do axioma das paralelas, com exploração de outros modelos de geometria, em particular a geometria na esfera e o disco de Poincaré. Metodologia e Experiências de Aprendizagem: As aulas serão organizadas com base em investigações matemáticas, por vezes no Laboratório de Informática, e em seminários conduzidos pelos próprios alunos. Na medida do possível, nos diferentes tópicos, serão explorados softwares e vídeos que podem contribuir para o ensino da geometria escolar. Serão propostas algumas tarefas para serem desenvolvidas em casa, as quais deverão ser entregues em relatório escrito. Espera-se que o aluno contribua, debata, se comunique e apresente o material produzido pelo seu grupo para toda a turma. Sistema de Avaliação Para aprovação é necessário: Entregar nas datas marcadas todas as tarefas propostas; Obter um mínimo de 60% no conceito da avaliação global das tarefas; Obter um mínimo de 75% de frequência. A avaliação levará em consideração: Assiduidade e pontualidade; Participação nas dinâmicas de aula; Dedicação na resolução das investigações matemáticas em grupos; Contribuição para os debates em grande grupo - 40% Elaboração e apresentação de seminários acerca de conteúdos previstos no plano de ensino, conforme indicado pela professora, com entrega de apresentação em slides - 40% Desenvolvimento das tarefas propostas para casa e elaboração de relatório por escrito para apresentar sua resolução - 20% Os seguintes conceitos serão consequência desta avaliação: 2
Conceito A 90% a 100% Conceito B - 75% a 89% Conceito C 60% a 74% Conceito D Menos de 60% Conceito FF - será atribuído o conceito FF para o(a) aluno(a) que tiver falta de frequência em mais de 25% (vinte e cinco por cento) da carga horária prevista neste Plano de Ensino. Recuperação Seminários: melhorias do conteúdo das apresentações em slides, quando for o caso, serão solicitadas no decorrer do semestre, as quais deverão ser entregues em, no máximo, duas semanas após a apresentação do seminário. Tarefas de casa: melhorias nos relatórios escritos, quando for o caso, serão solicitadas já no decorrer do semestre, as quais deverão ser entregues em, no máximo, duas semanas após a devolução pela professora. Participação em aula: haverá recuperação para este item apenas em situações de emergência documentadas, devido às quais o aluno não possa estar presente em aula e que devem ser notificadas à professora com antecedência - se possível. Nessa circunstância, é de responsabilidade do aluno entrar em contato com a professora para organizar avaliação alternativa. Cronograma (18 semanas) Semana 1 Tópico 1 2 Tópico 1 3 Tópico 1 4 Tópico 1 5 Tópico 1 6 Tópico 1 7 Tópico 2 8 Tópico 2 9 Tópico 2 10 Tópico 2 11 Tópico 2 12 Tópico 2 13 Tópico 3 14 Tópico 3 15 Tópico 3 16 Tópico 3 17 Tópico 3 18 Tópico 3 Bibliografia Básica 3
Anton, H. Álgebra Linear, Editora Campus, 1982 Aleksandrov, A. e outros, La matemática: su contenido, métodos, y significado, Alianza Universidad Avila, G. Euclides, Geometria e Fundamentos, RPM no. 45, 2001 Barbosa, J.L. Geometria Euclidiana Plana, Coleção do Professor de Matemática, SBM Carneiro, P. Geometria vetorial na escola: uma leitura geométrica para sistemas de equações, Dissertação de Mestrado em http://www.lume.ufrgs.br/handle/10183/13337 Crowel, M. A history of vector analysis; the evolution of the idea of a vectorial system, Notre Dame : University of Notre Dame Press Fetissov, A. A demonstração em geometria, Editora Atual Fleron, J. F.; Ecke, V.; Hotchkiss, P. K.; von Renesse, C. Discovering the Art of Mathematics : Geometry. Westfield: Westfield State University, 2015. Disponível em: < http://artofmathematics.org/books/geometry > Acesso em: 22 julho 2018. Goulart, J.B. O estudo da equação Ax²+By²+Cxy+Dx+Ey+F=0 utilizando o software Grafeq : uma proposta para o ensino médio, Dissertação de Mestrado, em http://www.lume.ufrgs.br/handle/10183/18805 Gravina, M. A. e Ferreira, C.E. Teoremas da Geometria Plana Módulos I e II, em http://www.edumatec.mat.ufrgs.br/teoremasgeometria/ Gravina, M. A. Os ambientes de geometria dinâmica e o pensamento hipotético-dedutivo, Tese de Doutorado em http://www.lume.ufrgs.br/handle/10183/2545 Lima, E.L. Isometrias, Coleção do Professor de Matemática, SBM Lima, E.L. Coordenadas no plano, Coleção do Professor de Matemática, SBM Lima, E.L. Coordenadas no Espaço, Coleção do Professor de Matemática, SBM Melvin, H. A vector space approach to geometry, Englewood Cliffs, N.J. : Prentice-Hall Neto, A.C.M. Tópicos de Matemática Elementar, Coleção do Professor de Matemática, SBM O Daffer, P. e Clemens, S. Geometri : na investigative approach, Addison Wesley Ribeiro, R. Geometrias não-euclidianas na escola : uma proposta de ensino através da geometria dinâmica, dissertação de Mestrado, em http://www.lume.ufrgs.br/handle/10183/79482 Serra, M. Discovering Geometry, Key Curriculum Press 4
Bibliografia Complementar - a ser indicada no decorrer do semestre 5