Cálculo Diferencial e Integral II

Cálculo Diferencial e Integral II Prof. Rodrigo dos Santos Veloso Martins Departamento Acadêmico de Matemática Universidade Tecnológica Federal do Paraná

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Sumário 1 Funções de Várias Variáveis 1 1.1 Funções de Duas Variáveis............................ 1 1.2 Funções de Três ou Mais Variáveis........................ 12 2 Limites e Derivadas de Funções de Várias Variáveis 15 2.1 Limite de Funções de Várias Variáveis..................... 16 2.2 Derivadas Parciais de Funções de Duas Variáveis................ 25 2.3 Derivadas Parciais de Funções de Mais de Duas Variáveis........... 37 2.4 Derivadas Parciais de Ordem Superior..................... 39 2.5 Planos Tangentes................................. 4 2.6 Aproximações Lineares e Diferenciabilidade Total............... 43 2.7 Regra da Cadeia................................. 49 3 Derivadas Direcionais, Vetores Gradiente e Aplicações 57 3.1 Derivadas Direcionais e Vetores Gradiente................... 57

3.2 Valores Máximo e Mínimo............................ 69 3.3 Multiplicadores de Lagrange........................... 78 4 Integrais Múltiplas 89 4.1 Integrais Duplas.................................. 91 4.2 Coordenadas Polares............................... 11 4.3 Mudança de Coordenadas em Integrais Duplas................. 117 4.4 Integrais Triplas.................................. 124 4.5 Mudança de Coordenadas em Integrais Triplas................. 138 A Topologia de R n 149

Capítulo 1 Funções de Várias Variáveis 1.1 Funções de Duas Variáveis Definição 1.1.1. Uma função de duas variáveis é uma regra que associa a cada par (x,y) D um único valor real f(x,y), onde D é um conjunto de R 2. O valor f(x,y) é dito a imagem do ponto (x,y) e o conjunto D é dito o domínio da função f. Definição 1.1.2. Seja f uma função de duas variáveis com domínio D. Definimos a imagem de f como o conjunto de todos os valores reais que são de fato imagem de algum ponto (x,y) D. Em outras palavras: Im f = {z R: z = f(x,y) para algum (x,y) D}. Escrevemos frequentemente f : D R para indicar que f é uma função real com domínio D com imagem no conjunto dos números reais. Obs: Quando definimos uma função f(x,y) de duas variáveis através de uma equação, fica 1

2 Figura 1.1: Associação de um ponto (x,y) a um número real f(x,y). Figura 1.2: Ilustração de f( 2,3) = 1 6 no Exemplo 1.1.5. entendido que o domínio de f é o conjunto de todos os pontos (x,y) do plano para os quais a expressão dada está bem definida..................................................... Exemplo 1.1.3. Considere o mapa do Brasil e fixe como origem do sistema cartesiano a cidade de Brasília. A altitude z de um ponto (x,y) em relação ao nível do mar define uma função de duas variáveis z = f(x,y). O domínio D desta função não consiste de todos os pontos do plano, pois D está restrito aos pontos (x,y) R 2 que representam o território Brasileiro.............................................................................. O exemplo acima ilustra o conceito de função de duas variáveis, mas não esperamos que seja possível encontrar uma expressão envolvendo funções elementares (funções polinomiais, exponenciais, trigonométricas, etc) que descreva todo o relevo brasileiro. Abaixo, no Exemplo 1.1.5, temos um exemplo de uma função definida através de uma expressão. Exemplo 1.1.4. Considere a função f(x,y) = 1 xy. Podemos calcular o valor de f em algum ponto (x,y) qualquer de R 2 da seguinte forma: se (x,y) = ( 2,3), então f( 2,3) = 1 ( 2) 3 = 1 6.

3 Veja a Figura 1.2. Devemos ter xy para que a expressão acima esteja bem definida, logo Dom f = {(x,y) R 2 : x e y }. A imagem de f é dada por Im f = (, ) (, + ). De fato, para nenhum par (x,y) temos f(x,y) =, logo / Im f. Para qualquer outro valor real z, podemos encontrar um par (x,y) tal que f(x,y) = z. Por exemplo, o número z = 5 está na imagem de f, pois z = 5 é a imagem do ponto (x,y) = (1, 1/5): ( f 1, 1 ) 5 = 1 1 1 5 O mesmo argumento mostra que qualquer número z 1 é imagem, por exemplo, do ponto (x,y) = (1, 1/z 1 ). Veja a Figura 1.3..................................................... = 5. Figura 1.3: Imagem da função f(x,y) = 1 xy destacada em vermelho. Exemplo 1.1.5. Considere a função f(x,y) = x 2 +y 2 +2xy. Como não existe restrição para soma e multiplicação de números reais, temos Dom f = R 2. A fim de determinar a imagem de f, observamos que f(x,y) = x 2 + y 2 + 2xy = (x + y) 2. Segue que Im f = [, + ). De fato, para qualquer z 1, temos z 1 = f(x,y) se e somente se (x + y) 2 = z 1. O ponto (x,y) = ( z 1, ) é uma solução para esta equação: f( z 1, ) = ( z 1 + ) 2 + 1 = z 1.

4 Em outras palavras, o ponto (x,y) = ( z 1, ) tem como imagem z 1. Isto mostra que Im f = [, + )................................................................................ É comum escrevermos z = f(x,y) para representar que os valores que uma função assume através de uma nova variável, que denotamos neste caso por z. Esta variável é dita uma variável dependente: os valores que z assume estão condicionados ao valores que escolhemos para as variáveis x e y. As variáveis x e y estão livres para assumir qualquer valor dentro do domínio D da função. Por este motivo dizemos que x e y são variáveis independentes. Se escrevermos z = f(x,y) no Exemplo 1.1.5, então temos que z = 9 quando (x,y) = (1,2). Exemplo 1.1.6. Determine e esboce o domínio da função f 1 (x,y) = x 2 y. Como a raiz quadrada de números negativos não está bem definida nos números reais, devemos ter x 2 y para que a expressão que define f 1 (x,y) esteja bem definida. Em outras palavras, devemos ter x 2 y: Dom f 1 = {(x,y) R 2 : y x 2 }. O domínio de f 1 define uma região no plano xy que é definida pela inequação y x 2. Esta inequação pode ser interpretada como a união de todos os pontos (x,y) que satisfazem y = x 2 e y < x 2 ; a igualdade representa os pontos de R 2 que se encontram na parábola y = x 2, enquanto a desigualdade y < x 2 inclui no domínio de f 1 os pontos que se encontram abaixo desta parábola. Veja Figura 1.4........................................................ Exercício 1.1.7. Determine o domínio e a imagem das funções abaixo. (i) f(x,y) = x 2 + y 2 (ii) g(x,y) = x 2 y 2 (iii) h(x,y) = x + 2y Exercício 1.1.8. Determine e esboce o domínio das funções abaixo. (i) f(x,y) = 1 4 y x 2 1 (ii) g(x,y) = 3 x y 2

5 Figura 1.4: Domínio da função f 1 (x,y) = x 2 y. (iii) h(x,y) = sen(xy) (iv) F (x,y) = ln(xy) Podemos representar graficamente o comportamento de uma função f(x,y) de duas variáveis de diferentes maneiras. O exemplo abaixo utiliza um mapa de calor. Exemplo 1.1.9. Considere uma placa de metal que ocupa o retângulo [,1] [,1] do plano xy, isto é, o retângulo definido pelos intervalos [,1] no eixo x e [,1] no eixo y. A temperatura T (x,y) em graus Celsius em cada ponto da placa é dada pela função T (x,y) = 1 5x 2 5y 2. Por exemplo, a temperatura na origem é T (,) = 1 5 2 5 2 = 1, enquanto no ponto (1,1) temos temperatura T (1,1) = 1 5 1 2 5 1 2 =. Podemos representar graficamente a distribuição de temperatura na placa através de um mapa de calor : veja a Figura 1.5, onde temos associada a cada ponto do quadrado [,1] [,1] uma cor, onde os pontos em azul indicam uma região mais fria da barra, enquanto pontos em vermelho indicam uma temperatura mais alta.................................................... A representação gráfica mais comum de uma função de duas variáveis é, no entanto, o seu gráfico em R 3, conforme definido abaixo.

6 Figura 1.5: Mapa de calor de uma função de duas variáveis (Exemplo 1.1.9). Figura 1.6: Gráfico da função do Exemplo 1.1.9. Definição 1.1.1. Seja F uma função de duas variáveis com domínio D. O gráfico de F é definido como o conjunto de pontos (x,y,z) de R 3 tais que (x,y) D e z = F (x,y). Figura 1.7: Gráfico de uma função de duas variáveis. Temos na Figura 1.6 a representação em R 3 da função T (x,y) da Figura 1.5 e, para facilitar a visualização, exibimos ainda o mesmo esquema de cores. Destacamos nessa figura o ponto (x,y,z) = (,,1): este é um ponto do gráfico porque satisfaz z = T (x,y), isto é,

7 1 = T (,). Como z = T (x,y), os pontos mais altos (maior valor de z) obedecem ainda a escala da Figura 1.5: os pontos em vermelho são os mais altos, por volta de 1 C, enquanto os pontos mais baixos (menores valores de z) estão coloridos em azul. Exemplo 1.1.11. Considere a função f(x,y) = 6 3x 2y. Note que Dom f = R 2. O gráfico de f é definido por z = f(x,y) z = 6 3x 2y 3x + 2y + z = 6. Segue que o gráfico de f é um plano. Assim como dois pontos definem uma reta, três pontos (não-colineares) definem um plano; escolhemos portanto três pontos arbitrários do plano acima para, a partir destes, traçar o gráfico da função f. Como x =, y = = z = 6, x =, z = = y = 3, y =, z = = x = 2, o gráfico de f pode ser esboçado como na Figura 1.8. Temos ilustrado na Figura 1.8 também que f(1,1) = 6 3 2 = 1............................................................. Figura 1.8: Gráfico da função f(x,y) = 6 3x 2y.

8 Exemplo 1.1.12. Considere a função f(x,y) = 9 x 2 y 2. Note que o domínio de f é dado por 9 x 2 y 2 x 2 + y 2 9, onde, pelo Teorema de Pitágoras, a expressão r 2 = x 2 +y 2 representa o quadrado da distância de um ponto (x,y) à origem. Segue que o domínio de f é dado pelo círculo do plano de raio 3 e centro na origem. Além disso, se z = 9 x 2 y 2, então, elevando ambos os lados da equação ao quadrado, obtemos z 2 = 9 x 2 y 2 x 2 + y 2 + z 2 = 9. (1.1) Provamos acima que, se (x,y,z) é um ponto do gráfico de f, então (x,y,z) é um ponto da esfera descrita na Equação (1.1): aquela com centro na origem e raio 3. 1 Entretanto, nem todo ponto da esfera é ponto do gráfico de f, pois se z = 9 x 2 y 2 então z. Segue que o gráfico de f consiste do hemisfério superior da esfera descrita na Equação (1.1); veja a Figura 1.9............................................................................ A seguir trataremos de curvas de nível. Este conceito nos ajuda a compreender o gráfico de funções de duas variáveis, além de apresentar grande aplicabilidade em problemas práticos. Definição 1.1.13. Seja f(x,y) uma função de duas variáveis. Uma curva de nível de f é uma curva no plano x,y definida por uma equação da forma f(x,y) = k, para k um número real qualquer. Como o gráfico de f(x,y) é definido pela equação z = f(x,y), uma curva de nível f(x,y) = k corresponde à restrição z = k ao gráfico de f, isto é, corresponde à interseção do gráfico de f com o plano z = k. Em outras palavras, a curva de nível f(x,y) = k representa o conjunto de pontos do gráfico que estão à mesma altura k do plano xy. 1 Para mais informações sobre a equação de superfícies conhecidas como uma esfera, ver o Capítulo 9 do livro Paulo Winterle, Geometria Analítica.

9 Figura 1.9: Gráfico da função f(x,y) = 9 x 2 y 2. Exemplo 1.1.14. Considere a função do Exemplo 1.1.12. Para cada número real k, temos f(x,y) = k 9 x 2 y 2 = k. (1.2) Vejamos abaixo algumas curvas de nível de f: (i) k = : 9 x 2 y 2 = 9 x 2 y 2 = x 2 + y 2 = 9; (ii) k = 1: 9 x 2 y 2 = 1 9 x 2 y 2 = 1 x 2 + y 2 = 8; (iii) k = 2: 9 x 2 y 2 = 2 9 x 2 y 2 = 4 x 2 + y 2 = 5. Nas curvas de nível (i), (ii) e (iii) temos a equação de uma circunferência; note que o raio decresce à medida que k cresce. Em outras palavras, a interseção dos planos z = k com o gráfico da função são dadas por circunferências que vão encolhendo à medida que k cresce. Note ainda que (iv) k = 3: 9 x 2 y 2 = 3 9 x 2 y 2 = 9 x 2 + y 2 =,

1 (v) k = 4: 9 x 2 y 2 = 4 9 x 2 y 2 = 16 x 2 + y 2 = 7. A única solução para a a equação do item (iv) é a origem: (x,y) = (,). Isto significa que o plano z = 3 intersecta o gráfico da função no único ponto (,,3). Como a equação do item (v) não possui solução, concluímos que o plano z = 4 tem interseção vazia com o gráfico da função. Finalmente, note que (vi) k = 1: 9 x 2 y 2 = 1. Vemos que para valores negativos de k também temos uma equação sem solução, isto é, como no item (v), temos interseção vazia com o gráfico da função. A Figura 1.1 ilustra a interseção do gráfico da função com o plano z = 1, isto é, a curva de nível f(x,y) = 1..................................................................... Figura 1.1: Curva de nível f(x,y) = 1. Curvas de nível de uma função de duas variáveis são frequentemente representadas no plano: consideramos a projeção no plano xy da curva obtida pela interseção entre o gráfico z = f(x,y) de uma função e o plano z = k. Dessa maneira é possível, através de uma figura bidimensional, compreender as principais características do gráfico de uma função.

11 Ilustramos a representação do gráfico de uma função de duas variáveis através de curvas de nível com a Figura 1.11. No centro da Figura 1.11 temos algumas curvas de nível da função do Exemplo 1.1.14 em R 3. À direita na Figura 1.11 temos representadas a projeção destas curvas no plano xy. Note que a superfície z = f(x,y) é mais inclinada onde as curvas de nível estão mais próximas umas das outras: no caso da função do Exemplo 1.1.14, isto ocorre com as curvas de nível mais próximas ao plano xy (valores mais baixos de z). 3. 2.75 2.5 2.25 2. 1.75 1.5 1.25 1. 3. 2.75 2.5 2.25 2. 1.75 1.5 1.25 1. 3 2 1 1.8 1.2 1.4 1.6 1.8 2.2 2.4 2.8 3 2 1 1 2 3 2 3 3 2 1 1 3 2 1 1 2 3 2 3 3 2 1 1 2 3 2.6 2. 1. 2 1 1 2 Figura 1.11: Curvas de nível de f(x,y) = 9 x 2 y 2. Exercício 1.1.15. Considere a função z = f(x,y) = 6 3x 2y, cujo gráfico se encontra na Figura 1.8. Represente em um único plano cartesiano as suas curvas de nível z = k para k =, 1, 2, 3. Exercício 1.1.16. Considere a função z = f(x,y) = x 2 y 2, cujo gráfico se encontra na Figura 1.12. Represente em um único plano cartesiano as suas curvas de nível z = k para k = 3, 2, 1,, 1, 2, 3. Exercício 1.1.17. Considere a função z = f(x,y) = sen x + cos y, cujo gráfico se encontra na Figura 1.13. Represente em um único plano cartesiano as suas curvas de nível z = k para

12 k = 3, 2, 1,, 1, 2, 3. Figura 1.12: Gráfico da função f(x,y) = x 2 y 2. Figura 1.13: Gráfico da função f(x,y) = sen x + cos y. 1.2 Funções de Três ou Mais Variáveis Definição 1.2.1. Uma função de n variáveis é uma regra que associa a cada ponto (x 1, x 2,..., x n ) D um único valor real f(x 1, x 2,...,x n ), onde D é um conjunto de R n. Este valor f(x 1, x 2,..., x n ) é dito a imagem do ponto (x 1, x 2,..., x n ) e o conjunto D é dito o domínio da função f. Definição 1.2.2. Seja f uma função de n variáveis com domínio D. Definimos a imagem de f como o conjunto de todos os valores reais que são de fato imagem de algum ponto (x 1, x 2,..., x n ) D. Em outras palavras: Im f = {z R: z = f(x 1, x 2,..., x n ) para algum (x 1, x 2,..., x n ) D}. É comum também neste caso escrevermos y = f(x 1,..., x n ) e para indicar que y é uma variável dependente de x 1,..., x n ; estas são ditas variáveis independentes. No caso de uma função f de três variáveis escrevemos frequentemente os pontos de seu domínio como (x,y,z); veja a Figura 1.14.

13 Figura 1.14: Função de três variáveis w = f(x,y,z). Assim como na Seção 1.1, quando definimos uma função f(x 1, x 2,..., x n ) de n variáveis através de uma equação, fica entendido que o domínio de f é o conjunto de todos os pontos (x 1, x 2,..., x n ) R n para os quais a expressão dada está bem definida. Exercício 1.2.3. Determine o domínio das funções abaixo. Para as funções dos itens (i) e (ii), esboce ou descreva em palavras o domínio como um conjunto de R 3. (i) f(x,y,z) = ln z x + y z (ii) g(x,y,z) = (x 2 + y 2 z) 3/2 (iii) h(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 2 1 3x 4 ) tg(x 2 + x 3 ) (iv) ϕ(x 1,..., x 5 ) = exp ( x 2 /(x 3 2) ) 3 x 2 5 x 1 Definição 1.2.4. Seja f(x,y,z) uma função de três variáveis. Uma superfície de nível de f é uma superfície em R 3 definida por uma equação da forma f(x,y,z) = k, para k um número real qualquer. Uma superfície de nível de uma função de três variáveis f(x,y,z) representa um conjunto de pontos onde o valor da função permanece inalterado. Exercício 1.2.5. Para cada uma das funções abaixo, esboce o gráfico das superfícies de nível f(x,y,z) = k para k = 2, 1,, 1, 2.

14 (a) f(x,y,z) = x + y + z (b) g(x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2 (c) h(x,y,z) = x 2 y 2 + z 2

Capítulo 2 Limites e Derivadas de Funções de Várias Variáveis Neste capítulo temos como objetivo estender o conceito de derivada de funções de uma variável para funções de várias variáveis. Expressamos matematicamente o conceito de taxas de variação neste contexto mais amplo através do conceito de derivadas parciais, extensão natural da derivada de funções de uma variável. A seguir definimos o que é a derivada total de uma função; além de fornecer a aproximação do comportamento de uma função em torno de um ponto, a derivada total representa um conceito fundamental em estudos mais profundos de funções de várias variáveis. Munidos destas ferramentas podemos observar como o estudo de funções de várias variáveis, em particular o conceito de derivada, nos ajuda na abordagem de problemas presentes na indústria ou no nosso dia-a-dia. Estudamos primeiramente, entretanto, o conceito limite de funções de várias variáveis. 15

16 2.1 Limite de Funções de Várias Variáveis Relembramos primeiramente o que significa a afirmação lim x x f(x) = L no caso de uma função de uma variável f(x). Em palavras, dizemos que o limite de f(x) quando x tende a x é L se f(x) assume valores arbitrariamente próximos de L desde que x esteja suficientemente próximos de x. Convém escrever este conceito em termos matemáticos precisos, pois nem sempre é possível seguir nossa intuição: o gráfico de uma função de 4 variáveis, por exemplo, é um conjunto de pontos de R 5. Dizemos que lim x x f(x) = L se, dada uma margem de erro ε > em torno do valor L, basta escolhermos pontos suficientemente próximos de x que teremos f(x) dentro desta margem de erro. Ou seja, dada qualquer margem de erro ε >, existe um intervalo (x δ, x + δ) tal que se x (x δ, x + δ), x x, então f(x) (L ε, L + ε). Cabe ressaltar que excluímos o valor de f(x) em x = x da análise acima, pois a função f por vezes sequer está definida no ponto x. Desejamos estudar o comportamento de f(x) nas proximidades do ponto x, não exatamente no ponto x. Na Figura 2.1 temos ilustrada uma função que tal que lim x 1 f(x) não existe. Dada uma margem de erro ε > pequena, não é possível escolher um intervalo (1 δ, 1 + δ) tal que f(x) (L ε, L + ε) para todo x (1 δ, 1 + δ), x 1. O mesmo raciocínio se aplica a uma função f(x,y) de duas variáveis. Considere um ponto P = (a,b) que seja ponto de acumulação de seu domínio; veja a Definição A.1 e a discussão que segue. Dizemos que o limite de f(x,y) quando (x,y) tende a (a,b) é L se f(x,y) assume valores arbitrariamente próximos de L desde que (x,y) esteja suficientemente próximos de (a,b).

17 Figura 2.1: Função y = f(x) cujo limite quando x 1 não existe. Assim como é discutido no Apêndice A, para definir o limite de funções de duas variáveis basta interpretar corretamente a noção de pontos próximos um do outro, isto é, pontos a uma distância pequena um do outro. Ao invés de buscarmos um intervalo (x δ, x + δ) no domínio (conjunto da reta), buscamos um disco de centro P e raio δ onde tenhamos f(x,y) (L ε, L + ε). Definição 2.1.1. Seja f(x,y) uma função de duas variáveis e seja P = (a,b) um ponto de acumulação de seu domínio D. Dizemos que o limite de f(x,y) é L quando (x,y) se aproxima de (a,b) se, para todo ε >, existe um disco B com raio δ > tal que, se (x,y) B D e (x,y) (a,b), então f(x,y) (L ε, L + ε). Escrevemos nesse caso lim f(x,y) = L. (x,y) (a,b) Caso contrário, dizemos que o limite acima não existe. O limite de funções de duas variáveis satisfaz propriedades semelhantes àquelas vistas no estudo de funções de uma variável. Estas propriedades nos dão suporte para o cálculo de limites de funções simples. Teorema 2.1.2. Sejam f(x,y) e g(x,y) funções de duas variáveis cujos domínios possuem

18 Figura 2.2: Função z = f(x,y) cujo limite quando (x,y) (a,b) é L. Figura 2.3: Função z = f(x,y) cujo limite quando (x,y) (a,b) é L. (a,b) como ponto de acumulação. Suponha que Então: lim f(x,y) = L 1 e lim g(x,y) = L 2. (x,y) (a,b) (x,y) (a,b) (i) ( ) lim f(x,y) + g(x,y) = L1 + L 2 ; (x,y) (a,b)

19 (ii) (iii) ( ) lim f(x,y) g(x,y) = L1 L 2 ; (x,y) (a,b) lim f(x,y) g(x,y) = L 1 L 2 ; (x,y) (a,b) (iv) se k é um número real, (v) se L 2, f(x,y) lim (x,y) (a,b) g(x,y) = L 1 ; L 2 lim k f(x,y) = k L 1; (x,y) (a,b) Exemplo 2.1.3. Considere o limite da função f(x,y) = x xy + 3 x 2 y + 5xy y 3 quando (x,y) (,1). Segue dos itens (i) e (iii) do Teorema 2.1.2 que lim (x xy + 3) = 1 + 3 = 3 (x,y) (,1) e Portanto, lim (x,y) (,1) (x2 y + 5xy y 3 ) = 2 1 + 5 y 1 3 = 1. lim f(x,y) = 3 (x,y) (,1) 1 = 3...................................................................................... Exemplo 2.1.4. Considere o limite da função quando (x,y) (,). Note que f(x,y) = x3 xy 2 x y lim (x,y) (,) (x3 xy 2 ) = e lim (x y) =. (x,y) (,)

2 No entanto, manipulando a função obtemos x 3 xy 2 lim (x,y) (,) x y x(x 2 y 2 ) = lim (x,y) (,) x y x y = lim (x,y) (,) x y x(x + y) =. x(x y)(x + y) = lim (x,y) (,) x y x y..................................................................................... Se o limite de uma função de uma variável g(x) quando x se aproxima de x é L então g(x) deve se aproximar do valor L quando x se aproxima de x, independente do caminho escolhido. Como o domínio de uma função de uma variável é um subconjunto da reta, isto só pode ocorrer de duas formas: pela esquerda ou pela direita do ponto x. Estes limites laterais devem ser iguais para o limite lim x x g(x) exista. Analogamente, para que o limite da Definição 2.1.1 exista, é necessário que f(x,y) se aproxime de L quando (x,y) se aproxima de (a,b), independente do caminho escolhido: se f(x,y) se aproxima de valores distintos L 1 L 2 quando (x,y) se aproxima de (a,b) por caminhos distintos C 1, C 2, então o limite lim (x,y) (a,b) f(x,y) não existe. Veja a Figura 2.4. Figura 2.4: Função z = f(x,y) cujos limites por caminhos C 1 e C 2 são distintos.

21 Obs: Um caminho passando por um ponto (a,b), como citado acima, é um conjunto de pontos do plano que possui (a,b) como ponto de acumulação. Se o limite de f(x,y) quando (x,y) se aproxima de (a,b) por um caminho C é L, escrevemos lim (x,y) (a,b) (x,y) C f(x,y) = L. Se escolhemos a reta y = x como um caminho para analisar o limite de uma função f(x,y) quando (x,y) se aproxima de zero, podemos escrever também lim (x,y) (a,b) y=x f(x,y) = L.......................................................................................... Teorema 2.1.5. Sejam f(x,y) uma função de duas variáveis, (a,b) um ponto de acumulação de seu domínio e C 1, C 2 caminhos do plano contendo o ponto (a,b). Se lim (x,y) (a,b) (x,y) (a,b) (x,y) C 1 f(x,y) = L 1 e lim (x,y) C 2 f(x,y) = L 2 onde L 1 L 2, então o limite lim (x,y) (a,b) f(x,y) não existe. Exemplo 2.1.6. Considere a função f(x,y) = xy x 2 + y 2. O domínio de f consiste de todos os pontos do plano exceto a origem. Veremos agora que o limite de f quando (x,y) se aproxima deste ponto não existe. Considere os caminhos C 1 e C 2 dados por C 1 = {(x,y) R 2 : x = } e C 2 = {(x,y) R 2 : y = x}. Então lim (x,y) (,) (x,y) C 1 f(x,y) = lim y y 2 + y 2 =. Por outro lado, lim (x,y) (,) (x,y) C 2 f(x,y) = lim x x x x 2 + x 2 = lim x x 2 2x 2 = 1 2.

22 Como os limites de f quando (x,y) (,) por C 1 e C 2 são distintos, segue do Teorema 2.1.5 que o limite lim (x,y) (,) f(x,y) não existe. Veja a Figura 2.5. O caminho C 1 fornece os pontos em branco na figura, enquanto os pontos no caminho C 2 fornecem os pontos em tom vermelho-escuro. Apesar do argumento acima ser suficiente para provar que o limite em questão não existe, você pode considerar o caminho C m = {(x,y) R 2 : y = mx} na figura e calcular o limite de f(x,y) quando (x,y) (,) por este caminho: repare que cada escolha de m fornece uma cor diferente no mapa de calor à esquerda da Figura 2.5, fornecendo também um valor diferente para o limite.................................................................................. Figura 2.5: Gráfico da função z = xy/(x 2 + y 2 ). Obs: O Teorema 2.1.5 nos permite provar apenas que um limite não existe. Caso encontremos dois (ou mais) caminhos que resultem no mesmo limite, nada podemos afirmar sobre o limite global.......................................................................... Exercício 2.1.7. Mostre que os limite abaixo não existem.

23 (a) (b) (c) (d) lim (x,y) (,) x 2 y x 4 + y 2 x 4 y 2 lim (x,y) (,) x 4 + y 2 lim x (x,y) (,) x2 + y 2 lim (x,y) (,) xy xy Assim como no estudo de funções de uma variável, a definição de continuidade de uma função de duas variáveis é compreendida de imediato a partir do conceito de limite. Definição 2.1.8. Uma função f(x,y) de duas variáveis é dita contínua em um ponto (a,b) de seu domínio se o limite lim f(x,y) existe e (x,y) (a,b) lim f(x,y) = f(a,b). (x,y) (a,b) Caso contrário dizemos que f é descontínua em (a,b). Se f é contínua em todo ponto de seu domínio dizemos simplesmente que f é contínua. Obs: Note que o conceito de limite de uma função f(x,y) se estende a pontos (a,b) que não pertencem ao domínio de f, enquanto a continuidade de uma função está definida apenas para pontos de seu domínio............................................................. Usando as propriedades de limite enunciadas no Teorema 2.1.2 podemos ver que a soma, diferença, produto e quociente de funções contínuas resultam também em funções contínuas; no último caso, como anteriormente, exigimos que a função no denominador não se anule no ponto em questão. Outros exemplos de funções contínuas são obtidos através da composição de funções, como enunciado abaixo. Teorema 2.1.9. Sejam f(x,y) uma função de duas variáveis contínua, (a,b) um ponto do domínio de f e H(z) uma função de uma variável. Se f(x,y) é contínua em (a,b) e H(z) é contínua em f(a,b), então a função composta (H f)(x,y) = H ( f(x,y) ) é contínua em (a,b).

24 Exemplo 2.1.1. As funções abaixo são contínuas em seus respectivos domínios: (i) funções polinomiais em duas variáveis, como f(x,y) = x 4 y 2 2xy 3 + 3x 2 ; (ii) funções racionais (quociente de polinômios), como g(x,y) = 5x2 y 3x 4 y 2 ; xy + 1 (iii) h(x,y) = e x x2 y 2 +1 ; ( ) x 2 xy (iv) ϕ(x,y) = sen. x + y xy......................................................................................... Note que afirmas que as funções do Exemplo 2.1.1 são contínuas em seus respectivos domínios, o que não significa que estas funções possuam todo o plano como domínio. Por exemplo a função do item (ii) não está definida no ponto (x,y) = (1, 1), já que este ponto anula o seu denominador; logo, a função g não é contínua em (1, 1), mas é contínua em todo ponto (x,y) em que ela está bem definida. Os conceitos de limite e continuidade vistos acima podem ser estendidos diretamente para funções de mais de duas variáveis. Por vezes representaremos um ponto de R n como uma n-upla (x 1,..., x n ), mas também usaremos a notação x para um ponto deste espaço; tome cuidado com a notação para não confundir um número real com um ponto de R n, pois estes diferem na notação muitas vezes no uso de fonte em negrito. Definição 2.1.11. Seja f(x 1,..., x n ) uma função real de n variáveis com domínio D R n e seja a um ponto de R n que é ponto de acumulação de D. Dizemos que o limite de f quando x a é L se, para todo ε >, existe δ > tal que, se x B(a,δ), x D e x a, então f(x) (L ε, L + ε). Definição 2.1.12. Seam f(x 1,..., x n ) uma função de n variáveis e a R n um ponto de seu domínio. Dizemos que f é contínua em a se o limite lim x a f(x) existe e lim f(x) = f(a). x a

25 Figura 2.6: Função w = f(x,y,z) cujo limite quando (x,y,z) (a,b,c) é L. 2.2 Derivadas Parciais de Funções de Duas Variáveis Considere a Figura 2.7, onde encontramos uma tabela indicando a sensação térmica registrada de acordo com as condições do vento e a temperatura. A sensação térmica, que denotaremos por S, depende dos valores da temperatura T e da velocidade V do vento registrada. Em outras palavras, a grandeza S é uma função de T e V : S = f(t,v ). Temos na Figura 2.7 destacada a coluna referente a ventos de 65 km/h (V = 65). Uma vez que fixamos o valor V = 65 para a velocidade do vento, a sensação térmica passa a depender apenas da temperatura registrada. Em outras palavras, fixando V = 65 temos que S = f(t,65) é uma função de apenas uma variável, que denotamos por g(t ): g(t ) = f(t,65). Podemos ver através da coluna destacada como a sensação térmica aumenta conforme a temperatura aumenta; esta taxa de variação é representada pela derivada da função g. Por

26 Figura 2.7: Sensação térmica de acordo com a condição do vento e temperatura registrada. Fonte: Inmetro. exemplo, a taxa de variação da sensação térmica S em relação à temperatura quando T = 12 é representada pela derivada da função g em T = 12: g g(t ) g(12) (12) = lim T 12 T 12 g(12 + h) g(12) = lim. h h Como g(t ) = f(t,65), podemos escrever a derivada de g em T = 12 como g f(t,65) f(12,65) (12) = lim T 12 T 12 f(12 + h,65) f(12,65) = lim. h h

27 Podemos também observar a variação da sensação térmica mantendo fixo um valor para a temperatura. A linha destacada na Figura 2.7 corresponde aos valores de S para T = 12. Analogamente, se mantivermos a temperatura fixa em 12 o C, a sensação térmica passa a ser uma função de apenas uma variável: S depende apenas da velocidade V do vento. Denotamos esta função por G(V ): G(V ) = f(12,v ). A variação da sensação térmica em função da velocidade do vento nesta situação é representada pela derivada da função G(V ). Por exemplo, para V = 65, G (65) = lim h G(65 + h) G(65) h f(12, 65 + h) f(12,65) = lim. h h De um modo geral, se z = f(x,y) é uma função de duas variáveis, podemos avaliar a taxa de variação de z em relação a x ou a y, mantendo a outra variável fixa, assim como fizemos acima. Isto é, consideramos a função g(x) = f(x,b) e calculamos a derivada de g(x) em um ponto x = a. A derivada de g(x) no ponto x = a é chamada de derivada parcial de f em relação a x no ponto (a,b). Definição 2.2.1. Sejam f(x,y) uma função de duas variáveis e (a,b) um ponto interior ao seu domínio. Considere a função de uma variável dada por g(x) = f(x,b). A derivada parcial f x (a,b) de f em relação a x no ponto (a,b) é definida como f x (a,b) = g (a) = lim h g(a + h) g(a) h f(a + h,b) f(a,b) = lim, h h caso o limite exista. Analogamente, se G(y) = f(a,y), a derivada parcial f y (a,b) de f em relação a y no ponto (a,b) é definida como caso o limite exista. f y (a,b) = G (b) = lim h G(b + h) G(b) h f(a,b + h) f(a,b) = lim, h h

28 A Figura 2.8 ilustra o significado da Definição 2.2.1: a derivada parcial f x (a,b) é definida como o limite da variação média [ f(a + h,b) f(a,b) ] /h em intervalos da forma [a, a + h] (ou [a h, a]) na direção do eixo x. Figura 2.8: Variação de uma função f na direção do eixo x. Existem muitas notações diferentes para derivadas parciais. Abaixo vemos algumas maneira de representar a derivada parcial de uma função f(x,y) em relação a x: f x (a,b) = f f (a,b) = x x = z z (a,b) = (a,b) x x = D x f(a,b). (a,b) Naturalmente, usamos uma notação semelhante para representar a derivada parcial de f em relação a y: f y (a,b) = f y f (a,b) = y = z z (a,b) = (a,b) y y = D y f(a,b). (a,b) Exemplo 2.2.2. Calcule as derivadas parciais f x (2, 1) e f y (2, 1) da função f abaixo: f(x,y) = x 4 + 2x 2 y 3 y + 5. Para calcular a derivada parcial f x (2, 1) podemos fixar y = 1 e considerar a função

29 de uma variável resultante: g(x) = x 4 + 2x 2 ( 1) 3 ( 1) + 5 = x 4 2x 2 + 6. Segue que g (x) = 4x 3 4x e então f x (2, 1) = g (2) = 4 8 4 2 = 32 8 = 4. A derivada parcial f y (2, 1) é obtida de maneira semelhante. consideramos a função resultante na variável y: Mantemos x = 2 fixo e h(y) = g(2,y) = 2 4 + 2 2 2 y 3 y + 5 = 8y 3 y 11. Segue que h (y) = 24y 2 1 e assim f y (2, 1) = g ( 1) = 24( 1) 2 1 = 23.......................................................................................... Apresentamos os cálculos do Exemplo 2.2.2 como acima para fins didáticos, mas normalmente calculamos derivadas parciais usando o conceito de função derivada parcial: veja a Definição 2.2.3 e o Exemplo 2.2.4. Definição 2.2.3. Seja f(x,y) uma função de duas variáveis. A derivada parcial de f em relação a x é definida como a função que associa a cada (x,y) Dom f a derivada parcial f x (x,y): f(x + h,y) f(x,y) f x (x,y) = lim, h h caso o limite exista. Analogamente, a derivada parcial de f em relação a y é definida como a função que associa a cada (x,y) Dom f a derivada parcial f y (x,y): f(x,y + h) f(x,y) f y (x,y) = lim, h h caso o limite exista.

3 Para calcular a derivada parcial de uma função f(x,y) em relação a x, como as Definições 2.2.1 e 2.2.3 sugerem, consideramos a variável y como uma constante e derivamos a expressão como uma função de uma variável. O mesmo é feito para o cálculo de f y (x,y). Exemplo 2.2.4. As derivadas parciais da função em relação a x e y são dadas por: f(x,y) = x 4 + 2x 2 y 3 y + 5 f x (x,y) = 4x 3 + 2 2x y 3 + = 4x 3 + 4xy 3, f y (x,y) = + 2x 2 3y 2 1 + = 6x 2 y 2 1. As derivadas parciais de f no ponto (2, 1), calculadas no Exemplo 2.2.2, podem ser obtidas da seguinte maneira: f x (2, 1) = 4 2 3 + 4 2( 1) 3 = 32 8 = 4, f y (2, 1) = 6 2 2 ( 1) 2 1 = 24 1 = 23.......................................................................................... Exemplo 2.2.5. As derivadas parciais da função g(x,y) = sen(x 2 + 2y 3 ) são calculadas usando a regra da cadeia para funções de uma variável. Para calcular a derivada parcial g x, consideramos y como uma constante e escrevemos sen(x 2 + 2y 3 ) = F (G(x)), onde F (x) = sen x e G(x) = x 2 + 2y 3. Logo, g x (x,y) = df ( ) dg G(x) dx dx = cos(x2 + 2y 3 ) 2x = 2x cos(x 2 + y 2 ). Analogamente, g y (x,y) = cos(x 2 + 2y 3 ) 6y 2 = 6y 2 cos(x 2 + 2y 3 )..........................................................................................

31 Exercício 2.2.6. Calcule as derivadas parciais das funções abaixo em relação a x e a y. (a) f(x,y) = ln(x 2 y 3 ) (b) g(x,y) = x2 y tg(x) (c) h(x,y) = (x 2 y)e x3 y 6 2x (d) F (x,y) = cos ( x 2 + ln(2x 4 y y 3 ) ) (e) G(x,y) = tg(x2 y 2 ) + xy x 2 (f) H(x,y) = exp ( sec(xy) ) Frequentemente, em uma situação real, lidamos com uma função f(x,y) cuja expressão algébrica não é conhecida, como é o caso na Figura 2.7. Podemos nestes casos aproximar os valores das derivadas parciais utilizando a sua definição. Exemplo 2.2.7. Considere a função S = f(t,v ) que expressa a sensação térmica S em função da temperatura T e da velocidade V do vento na Figura 2.7. A derivada parcial f T (12,65) expressa a taxa de variação da sensação térmica S em função da temperatura T, isto é, descreve como a S variará se mantivermos V = 65 fixo e aumentarmos ligeiramente a temperatura T = 12. Não podemos, no entanto, calcular esta derivada parcial como nos Exemplos 2.2.2 e 2.2.4 pois não temos uma expressão algébrica para f(t,v ). Utilizamos então a definição de derivada parcial para obter uma aproximação. Considere a função g(t ) = f(t,65). Temos f T (12,65) = g (12) e o valor desta derivada pode ser aproximada utilizando a definição f T (12,65) = g (12) = lim T 12 g(t ) g(12). T 12 Aproximamos o valor de g (12) através de alguns valores da tabela na Figura 2.7, escolhendo um à direita de T = 12 e um à esquerda: g (12) g(13) g(12) 13 12 = 1 1 = 1,

32 g (12) g(11) g(12) 11 12 = 2 1 Tirando a média dos valores acima temos a aproximação f T (12,65) = g (12) 1,5. interpretação desta derivada parcial é a seguinte: quando a temperatura é 12 o C e o vento tem velocidade de 65 km/h, a sensação térmica S aumenta 1,5 o C para um aumento de 1 o C da temperatura real. Analogamente, podemos obter uma aproximação para a derivada parcial f V (12,65) ao considerar a função G(V ) = f(12,v ) e aproximar a derivada G (65) usando os valores à direita e à esquerda de V = 65 na Figura 2.7: G (65) G (65) G(68) G(65) 68 65 G(61) G(65) 61 65 = 1 3 = 4 = 2. = 1 3, Fazendo a média aritmética destas aproximações obtemos f V (12,65) = G (65),16. Podemos assim prever que, quando a temperatura é de 12 o C e o vento tem velocidade 65 km/h, a sensação térmica diminui aproximadamente,16 o C para um aumento de uma unidade na velocidade do vento.................................................................... =. A Vimos no começo desta seção que a derivada parcial f x (a,b) de uma função z = f(x,y) representa a taxa de variação de z em relação a x no ponto x = a, se mantivermos y = b fixo. Vejamos agora o que esta derivada parcial representa geometricamente. A equação y = b representa uma reta no plano, mas y = b define um plano no espaço. Veja a Figura 2.9. Logo, quando fixamos y = b no estudo do comportamento da função f(x,y) estamos restringindo nossa atenção à interseção do gráfico z = f(x,y) com este plano; o resultado desta interseção é uma curva que denotamos por C 1 (Figura 2.1). A curva C 1 coincide com o gráfico da função g(x) = f(x,b). Vemos assim que a derivada parcial f x (a,b) representa o coeficiente angular da reta tangente a C 1 no ponto (a,b). A derivada parcial f y (a,b) tem um significado semelhante: ela representa o coeficiente

33 Figura 2.9: A equação y = b define uma reta no plano e um plano no espaço. Figura 2.1: Curva C 1 dada pela interseção do plano y = b com o gráfico z = f(x,y). angular da reta tangente à curva C 2 no ponto (a,b), onde C 2 é a curva obtida pela interseção do gráfico de f com o plano x = a. Veja as Figuras 2.12 e 2.13.

34 Figura 2.11: Significado geométrico de f x (a,b). Figura 2.12: Curva C 2 dada pela interseção do plano x = a com o gráfico z = f(x,y). Exemplo 2.2.8. Considere a função f(x,y) = 9 x 2 3y2 2. As derivadas parciais de f em (1, 1) são dadas por f x = 2x = 2, (1, 1) (1, 1)

35 Figura 2.13: Significado geométrico de f y (a,b). f y = 6y (1, 1) 2 = 3. (1, 1) As curvas C 1 e C 2 correspondentes, obtidas através da interseção de z = f(x,y) com os planos y = 1 e x = 1, são ilustradas nas Figuras 2.14 e 2.15. Vemos que no ponto (1, 1) a curva C 1 temos um coeficiente angular negativo na direção do eixo x, enquanto o gráfico da função tem uma inclinação positiva na direção do eixo y............................. Até o momento estudamos superfícies em R 3 dadas pelo gráfico de funções de duas variáveis, isto é, superfícies definidas por equações da forma z = f(x,y). De um modo geral, uma equação a três variáveis F (x,y,z) = define uma superfície em R 3. Podemos, também neste caso, nos perguntar qual é a taxa de variação de z em relação a x ou a y em um determinado ponto; o significado geométrico destas derivadas parciais é o mesmo, ilustrado nas Figuras 2.1 a 2.13. Isto é feito através de derivação implícita, processo que se assemelha com aquele estudado no cálculo de funções de uma variável. Exemplo 2.2.9. Calcule o valor de z/ x no ponto (1,1,1) supondo que a equação xy + z 3 x = 2yz define implicitamente uma função z = f(x,y) na vizinhança do ponto (1,1,1) cujas derivadas

36 Figura 2.14: Plano y = 1 e gráfico de z = 9 x 2 3y 2 /2. Figura 2.15: Plano x = 1 e gráfico de z = 9 x 2 3y 2 /2. parciais de primeira ordem existem. Supondo que z é função de x e y, ambos os lados da equação acima dependem da variável x. Suas derivadas parciais em relação a esta variável são iguais, logo, considerando que y é

37 uma constante, temos ( xy + z 3 x ) = 2yz x x x xy + x z3 x = 2y z x. Como z é uma variável que depende de x, calculamos as derivadas acima usando a regra do produto e a regra da cadeia: Segue que Portanto, 1 y + ( 3z 2 z ) x + z 3 1 = 2y z x x. 3z 2 x z z 2y x x = y z3 (3z 2 x 2y) z x = y z3. z x = y z3 3z 2 x 2y. Podemos calcular o valor desta derivada parcial no ponto (1,1,1) através da expressão acima: z x (1,1,1) = 1 1 3 3 1 2 1 2 1 = 2 3 2 = 2...................................................................................... 2.3 Derivadas Parciais de Funções de Mais de Duas Variáveis Derivadas parciais de funções de três ou mais derivadas são definidas analogamente ao que vimos na Definição 2.2.1: mantemos todas as variáveis constantes e consideramos a variação da função com respeito apenas à restante. Definição 2.3.1. Seja f(x 1,..., x n ) uma função de n variáveis e (a 1,..., a n ) R n um ponto interior ao seu domínio. Definimos, para k = 1,..., n, a derivada parcial de f em relação a x k no ponto (a 1,..., a n ) como f f(a 1,..., a k 1, a k + h, a k+1,..., a n ) f(a 1,..., a k 1, a k, a k+1,..., a n ) x k = lim, h (a1,...,a n) h

38 caso o limite exista. A derivada parcial de f em relação a x k é definida como a função que associa a cada (x 1,..., x n ) Dom f a sua derivada parcial f/ x k. A derivada parcial de f(x 1,..., x n ) em relação a x k pode ser escrita também como: f x k = f xk = f k = D k f. Nosso foco neste curso se encontra em funções de duas ou três variáveis. Ilustramos a Definição 2.3.1 neste último caso: o cálculo da derivada parcial f x de uma função f(x,y,z), por exemplo, é calculada considerando que y,z são constantes e derivando a expressão como uma função de apenas uma variável. Exemplo 2.3.2. As derivadas parciais f x, f y e f z da função f(x,y,z) = xz sen(y + 3z) são dadas por f x (x,y,z) = z sen(y + 3z), f y (x,y,z) = xz cos(y + 3z) (1 + ) = xz cos(y + 3z), e f z (x,y,z) = x sen(y + 3z) + xz cos(y + 3z) ( + 3) = x sen(y + 3z) + 3xz cos(y + 3z)...................................................................................... Cabe ressaltar que as derivadas parciais de uma função de três variáveis têm interpretações semelhantes àquelas vistas para funções de duas variáveis. Por exemplo, se T (x,y,z) indica a temperatura em cada ponto (x,y,z) de um sólido E do espaço, a derivada parcial T x (a,b,c) indica que variação de temperatura esperamos se caminharmos dentro do sólido E na direção do eixo x, partindo do ponto (a,b,c).

39 2.4 Derivadas Parciais de Ordem Superior No estudo de funções de uma variável, a segunda derivada f de uma função f(x) tem grande importância: além de descrever a concavidade do gráfico de f, ela fornece um teste para verificarmos se pontos críticos são extremos relativos. Derivadas parciais de segunda ordem têm um papel semelhante. Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis. A derivada parcial f x da função f é uma função de duas variáveis, logo podemos pensar nas derivadas parciais de f x (x,y) em relação a x ou a y; o mesmo ocorre com f y (x,y). A derivada parcial de segunda ordem de f em relação a x é definida como a função f xx (x,y) que associa a cada ponto (x,y) a derivada parcial da função f x (x,y) em relação a x: f xx = (f x ) x = x ( ) f = 2 f x x = 2 z 2 x. 2 Definimos analogamente as outras derivadas parciais de segunda ordem de f: f yy = (f y ) y = ( ) f = 2 f y y y = 2 z 2 y, 2 f xy = (f x ) y = ( ) f = 2 f y x y x = 2 z y x, e f yx = (f y ) x = x ( ) f = 2 f y x y = 2 z x y. Exemplo 2.4.1. Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função f(x,y) = x cos y + ye x. Temos logo f x (x,y) = cos y + ye x e f y (x,y) = x sen y + e x, f xx (x,y) = ye x,

4 f yy (x,y) = x cos y, f xy (x,y) = sen y + e x, e f yx (x,y) = sen y + e x...................................................................................... Verificamos que no caso da função f do Exemplo 2.4.1 temos f xy = f yx. Isto não foi apenas uma coincidência; esta igualdade ocorre em muitos casos, descritos no teorema abaixo. Teorema 2.4.2. Sejam f(x,y) uma função de duas variáveis e (a,b) um ponto interior ao seu domínio. Se as derivadas parciais f xy e f yx existem e são contínuas em um conjunto aberto contendo o ponto (a,b), então f xy (a,b) = f yx (a,b). Obs: Podemos definir derivadas parciais de terceira ordem de uma função f(x,y) da mesma maneira, isto é, como as derivadas parciais das funções f xx, f yy, f xy e f yx. Entretanto, nas aplicações do Cálculo Diferencial e Integral à Física e às Engenharias encontramos mais frequentemente derivadas parciais de primeira e segunda ordem......................... Obs: Derivadas parciais de segunda ordem para funções de três ou mais variáveis, assim como derivadas parciais de ordem superior, são definidas analogamente.................. 2.5 Planos Tangentes Seja f(x,y) uma função de duas variáveis tais que suas derivadas parciais f x e f y existem e são contínuas em um disco aberto com centro em (x, y ) Dom f. Seja S a superfície definida pelo gráfico de f e considere as curvas C 1 e C 2 obtidas a partir da interseção de S

41 com os plano y = b e x = a. Ilustramos com as Figuras 2.11 e 2.13 que f x (x, y ) e f y (x, y ) representam o coeficiente angular das retas T 1 e T 2 tangentes a C 1 e C 2 em (x, y ). Existe um único plano que contém as retas T 1 e T 2, dito o plano tangente a S em (x, y ); veja a Figura 2.16. Figura 2.16: Planto tangente π ao gráfico z = f(x,y) de uma função. A equação geral do plano de R 3 que contém o ponto (x, y, z ), z = f(x, y ), com vetor normal n = (A,B,C) é A(x x ) + B(y y ) + C(z z ) =. Se C, podemos dividir a equação por C e reescrevê-la como z z = A (x x ) + B (y y ). (2.1) Quando fixamos y = y na Equação (2.1) obtemos a equação da reta T 1 : z z = A (x x ). O número A na equação acima representa o coeficiente angular da reta tangente T 1, logo a = f x (x, y ). Analogamente, ao fixarmos x = x na Equação (2.1), concluímos que B = f y (x, y ).

42 Teorema 2.5.1. Seja f(x,y) uma função de duas variáveis com derivadas parciais contínuas em torno de um ponto (x, y ). A equação do plano tangente à superfície z = f(x,y) no ponto (x, y, z ), z = f(x, y ), é dada por z z = f x (x, y )(x x ) + f y (x, y )(y y ). Exemplo 2.5.2. Determine a equação do plano tangente ao gráfico da função f(x,y) = 3x 2 + 6x 2y 2 12y 28 no ponto (2, 2, 12). logo Temos que f x (x,y) = 6x + 6 e f y (x,y) = 4y 12, f x (2, 2) = 6 e f y (2, 2) = 4. Segue que a equação do plano tangente é dada por z + 12 = 6(x 2) 4(y + 2) 6x + 4y + z = 8. Veja as Figuras 2.17 e 2.18...................................................................................... Obs: Para entender a geometria do gráfico de f, realizamos um procedimento chamado completar quadrados. Temos como objetivo escrever o termo 3x 2 + 6x da expressão que define f como 3x 2 + 6x = a(x + b) 2 + c. Note que 3x 2 + 6x = 3(x 2 2x) = 3 [ (x 1) 2 1 ] = 3(x 1) 2 + 3. (2.2) Analogamente, temos 2y 2 12y = 2(y 2 + 6y) = 2 [ (y + 3) 2 9 ] = 2(y + 3) 2 + 18. (2.3)

43 Figura 2.17: Planto tangente do Exemplo 2.5.2. Figura 2.18: Planto tangente do Exemplo 2.5.2. Seguem das Equações (2.2) e (2.3) que o gráfico de f é dado por z = 3(x 1) 2 + 3 2(y + 3) 2 + 18 28 = 3(x 1) 2 2(y + 3) 2 7, isto é, Logo, se então z + 7 = 3(x 1) 2 2(y + 3) 2. x 1 = x 1, y + 3 = y 1 e z + 7 = z 1, (2.4) z 1 = 3x 2 1 2y 2 1. Concluímos que o gráfico z = f(x,y) consiste de uma translação (Equação (2.4)) do paraboloide elíptico z = 3x 2 2y 2 ; veja a Figura 2.19. Veja a Seção 1.3 de Cálculo Volume 1, James Stewart e os exercícios 65 e 66 de Cálculo Volume 2, James Stewart.............. 2.6 Aproximações Lineares e Diferenciabilidade Total Seja y = f(x) é uma função de uma variável. Se f é diferenciável em x = x, então seu gráfico possui uma reta tangente bem definida no ponto ( x, f(x ) ). A Figura 2.2 sugere que o valor

44 Figura 2.19: Gráfico da função do Exemplo 2.5.2. de f(x) para pontos próximos x próximos de x podem ser aproximados pela coordenada y fornecida pela reta tangente. Como esta reta tangente contém o ponto (x, f(x ) e possui coeficiente angular f (x ), a equação da reta é y f(x ) = f (x )(x x ) y = f(x ) + f (x )(x x ). A aproximação de f(x) pela coordenada y fornecida pela reta tangente pode então ser escrita como f(x) L(x) = f(x ) + f (x ) (x x ), para x próximo de x. (2.5) Vejamos uma justificativa alternativa para a aproximação (2.5). ponto x é definida como f (x ) = lim h f(x + h) f(x ) h = lim x x f(x) f(x ) x x, A derivada de f no logo podemos pensar na seguinte aproximação, para x um número real próximo de x (h pequeno): f (x ) f(x) f(x ) x x = f(x) f(x ) + f (x ) (x x ). (2.6) Como L(x) = f(x ) + f (x ) (x x ) é a equação da reta tangente ao gráfico de f em x = x, a Equação (2.6) nos diz que é possível aproximar os valores de f em torno do ponto

45 Figura 2.2: Linearização de f(x) = x 2 em torno de x = 1. x pelos de sua reta tangente em x. Esta aproximação é dita a aproximação linear de f em torno de x = x : f(x) L(x) = f(x ) + f (x ) (x x ), para x x = h pequeno. (2.7) A função L(x) no lado direito da Equação (2.7) é dita a linearização de f em torno de x. A Figura 2.2 ilustra a aproximação linear de f(x) = x 2 em torno de x = 1. Veja a Seção 3.1 de Cálculo Volume 1, James Stewart, para mais informações sobre a linearização e aproximações lineares de funções de uma variável. É possível aproximar os valores de uma função de duas variáveis em torno de um ponto (x, y ) através de uma função linear de duas variáveis; tais funções têm um plano como gráfico. Temos nas Figuras 2.21 e 2.22 ilustrados o gráfico e o plano tangente da função do Exemplo 2.5.2; observe o que ocorre quando damos um zoom nas proximidades do ponto (2, 2, 12).

46 Figura 2.21: Planto tangente do Exemplo 2.5.2. Figura 2.22: Planto tangente do Exemplo 2.5.2. Considere o caso do Exemplo 2.5.2. A equação do plano tangente à função f(x,y) = 3x 2 + 6x 2y 2 12y 28 no ponto (2, 2, 12) é 6x + 4y + z = 8. A imagem de f em um ponto (x,y) próximo de (2, 2) pode ser aproximado pelo valor de z que a equação do plano tangente em (2, 2, 12) fornece, como as Figuras 2.21 e 2.22 sugerem. Por exemplo, para (x,y) = (2,1, 1,9), temos na equação do plano tangente 6(2,1) + 4( 1,9) + z = 8 12,6 7,6 + z = 8 z = 3. A aproximação linear afirma neste caso que f(2,1, 1,9) 3. O valor real de f(2,1, 1,9) pode ser calculado através da expressão f(x,y) = 3x 2 + 6x 2y 2 12y 28, o que fornece f(2,1, 1,9) = 3,5. A aproximação linear acima pode ser escrita da seguinte maneira. Quando substituímos um certo ponto (x,y) na equação 6x + 4y + z = 8 do plano tangente e calculamos o z correspondente estamos usando a seguinte função de duas variáveis: como z = 6x 4y 8, temos z = L(x,y) = 6x 4y 8. A função L(x,y) acima é aquela que possui como gráfico o plano z = 6x 4y 8. Então as Figuras 2.21 e 2.22 sugerem que, para pontos (x,y) próximos de (2, 2), a aproximação