KARINE DE ALMEIDA SANTOS. Teoria da Média para Equações Diferenciais Ordinárias e Algumas Aplicações em Mecânica

KARINE DE ALMEIDA SANTOS Teoria da Média para Equações Diferenciais Ordinárias e Algumas Aplicações em Mecânica Clássica UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE MATEMÁTICA 216 i

KARINE DE ALMEIDA SANTOS Dissertação apresentada ao Programa de Pós- Graduação em Matemática da Universidade Federal de Uberlândia, como parte dos requisitos para obtenção do título de MESTRE EM MATEMÁTICA. Área de Concentração: Matemática. Linha de Pesquisa: Equações Diferenciais Ordinárias. Orientador: Prof. Dr. Márcio José Horta Dantas. UBERLÂNDIA - MG 216 ii

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação CPI Sistema de Bibliotecas da UFU, MG, Brasil S237t Santos, Karine de Almeida, 1988-216 Teoria da Média para Equações Diferenciais Ordinárias e Algumas Aplicações em Mecânica Celeste / Karine de Almeida Santos. - 216. 77 f. : il. Orientador: Márcio José Horta Dantas. Dissertação mestrado - Universidade Federal de Uberlândia, Programa de Pós-Graduação em Matemática. Inclui bibliografia. 1. Matemática - Teses. 2. Equações Diferenciais Ordinárias - Teses. 3. Método da Média - Teses. 4. Estabilidade - Teses. I. Dantas, Márcio José Horta. II. Universidade Federal de Uberlândia, Programa de Pós- Graduação em Matemática. III. Título. CDU: 51 iii

UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA Av. João Naves de Ávila, 2121, Bloco 1F, Sala 1F 152 Campus Santa Mônica, Uberlândia - MG, CEP 384-92 ALUNOA: Karine de Almeida Santos. NÚMERO DE MATRÍCULA: 11412MAT1. ÁREA DE CONCENTRAÇÃO: Matemática. LINHA DE PESQUISA: Equações Diferenciais Ordinárias. PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA: Nível Mestrado. TÍTULO DA DISSERTAÇÃO: Teoria da Média para Equações Diferenciais Ordinárias e Algumas Aplicações em Mecânica Clássica. ORIENTADOR: Prof. Dr. Márcio José Horta Dantas. Esta dissertação foi APROVADA em reunião pública realizada na Sala 3 do Bloco 3P Reitoria do Campus Santa Mônica, em 17 de fevereiro de 216, às 1h min, pela seguinte Banca Examinadora: NOME ASSINATURA Prof. Dr. Márcio José Horta Dantas UFU - Universidade Federal de Uberlândia Prof. Dr. Cláudio Gomes Pessoa UNESP - São José do Rio Preto Prof. Dr. Marcus Augusto Bronzi UFU - Universidade Federal de Uberlândia Uberlândia-MG, 17 de fevereiro de 216. Scanned by CamScanner iv

Dedicatória Aos meus amados pais: Ilda e Leontino in memoriam. v

Agradecimentos A Deus, principalmente, por: me conduzir com saúde, força e proteção, pelas constantes formas de aprendizado, pelo dom da música e pelas boas pessoas que cruzam meu caminho. Ao meu pai pelo amor, carinho e por deixar lembranças de sua alegria, boa conduta, generosidade e humildade. A minha mãe pelo amor, carinho, pelos bons valores transmitidos, por acreditar em mim, incentivar e ajudar continuamente em todos os momentos, pelo aconchego do seu colo, sacrifícios, paciência, compreensão, conselhos e constantes orações. Por tantas outras coisas pequenas e grandiosas que só as mães fazem. As minhas avós que sempre transmitiram amor, carinho, cuidado, bons valores e por suas preciosas orações. Aos meus irmãos Leonardo e Wesley pelo amor, cuidado, carinho, torcida, compreensão e por me dar a segurança necessária para estar longe. Ao afilhadinho Gabriel que alegra com sua chegada nesta reta final. A presença, torcida e carinho das minhas madrinhas, em especial, aos padrinhos Nedina e Gentil, por além disso, incentivar e me acolherem em sua casa no início de dessa jornada. A meus tios e tias, em especial, Mágda, Santa e Marília pela constante presença, ajuda, torcida e carinho. Aos primos e primas pelo pensamento positivo, incentivo e por me acolherem com carinho, em especial, a minha prima Elizete, pelo forte incentivo, orientações, carinho, descontração e presença. A Elisangela e as primas Lilian, Elaine, Edivane, Thainara, Fernanda e Eliana por estarem sempre carinhosamente presentes, torcendo, alegrando e incentivando. Aos amigos e amigas que estão sempre torcendo, em especial, Nívea, Eloiso, Mislene, Serginei, Daniela, Última, Luiz, Elizabete, Kelly e Gisele G. pela irmandade que supera ausência e distância, pelos bons papos, risadas, apoio, torcida e por ajudar, cada um a seu modo nas diversas etapas desta caminhada. Ao meu namorado Leodan pelo carinho, alegria, cuidado e constante incentivo. As pessoas que aqui em Uberlândia encontrei. A começar por Isabel e sua família por me acolherem com carinho e confiança, minha gratidão. A Murilo, Eduard, Nathali, Renato e Paula por me acolherem e incentivarem. A Kelly, Eli, Rafaela, Ana, Jennifer, Davidson, Danilo, Rodrigo, Simone e Letícia pelos vários momentos de alegria, companhia, aprendizado, união e apoio nesta caminhada. Aos meus professores da UFV, em especial, ao Diogo, Catarina e Rogério pelos conselhos, oportunidades e incentivo dados na graduação para que eu prosseguisse estudando. Aos professores da UFU pelo aprendizado proporcionado, em especial, ao professor Márcio, por aceitar e conduzir este trabalho com paciência, empenho, flexibilidade e por contribuir em meu crescimento acadêmico. Aos membros da banca por contribuirem com a melhoria deste trabalho. A todos que, de alguma forma, me ajudaram nesta caminhada. A CAPES pelo apoio financeiro que nos permite a dedicação necessária. vi

Santos, K. A. Teoria da Média Para Equações Diferenciais Ordinárias e Algumas Aplicações em Mecânica Clássica. 216. 77p. Dissertação de Mestrado, Universidade Federal de Uberlândia, Uberlândia-MG. Resumo O principal objetivo desta dissertação é estabelecer resultados básicos da Teoria da Média para Equações Diferenciais Ordinárias e aplicá-los em alguns problemas de Mecânica Clássica. Estudaremos dois problemas de mecânica. O primeiro versa sobre existência e estabilidade de soluções periódicas no pêndulo com dissipação. O segundo consiste em estudar a existência de soluções periódicas do problema lunar de Hill regularizado proveniente da Mecânica Celeste. Palavras-chave: Equações Diferenciais Ordinárias, Método da Média e estabilidade. vii

Santos, K. A. Averaging Theory For Ordinary Differential Equations And Some Applications in Classical Mechanics. 216. 77 p. M. Sc. Dissertation, Federal University of Uberlândia, Uberlândia-MG. Abstract The main objective of this dissertation is to establish the basic results of the Averaging Theory for Ordinary Differential Equations and used them in some problems of Classical Mechanics. Two mechanical problems are given here. The first one is about the existence and stability of periodic solutions in the mathematical pendulum with dissipation. The second one is about the existence of periodic solutions of regularized Hill lunar problem with comes from Celestial Mechanics. Keywords: Ordinary Differential Equations, Method of Average and estability. viii

Sumário Resumo Abstract vii viii Introdução 1 1 Teoria Preliminar 2 1.1 Tópicos preliminares de Análise........................... 2 1.1.1 Estabilidade de operadores lineares hiperbólicos.............. 6 1.1.2 Teorema da Função Implícita Global: um caso elementar......... 14 1.2 Tópicos preliminares de Equações Diferenciais Ordinárias............. 15 1.2.1 Um teorema de redução........................... 21 2 Teoria da Média 26 2.1 Notas históricas.................................... 26 2.2 Fórmula Generalizada da Variação de Parâmetros................. 27 2.2.1 Exemplos................................... 28 2.3 Principais resultados................................. 33 2.3.1 Teorema da Média: soluções aproximadas no caso periódico........ 33 2.3.1.1 Exemplos.............................. 41 2.3.2 Teorema da Existência de Órbitas Periódicas................ 46 2.3.3 Teorema da Estabilidade de Órbitas Periódicas.............. 5 3 Aplicação da Teoria da Média ao Pêndulo Amortecido 54 4 Aplicação da Teoria da Média ao Problema Lunar de Hill Regularizado 64 Referências Bibliográficas 76 ix

Introdução Este trabalho é composto por 4 capítulos e tem como objetivo estudar certos sistemas de Equações Diferenciais Ordinárias E. D. O. por meio da Teoria da Média. Esta teoria teve surgimento por volta do século XVIII e foi validada por Fatou em 1928. Desde então tem sido estudada por outros nomes como Krylov, Bogoliubov, Mitropolsky, dentre outros e tem contemplado problemas de Física, Matemática e Engenharia. No primeiro capítulo abordaremos conceitos e resultados fundamentais de Análise e E. D. O. que sustentarão o desenvolvimento dos demais capítulos. Aqui as referências utilizadas foram: [2], [3], [4], [5], [6], [7], [9], [12], [13] e [16]. O segundo capítulo irá abordar a Teoria da Média. Em um primeiro momento é feito uma abordagem histórica sobre a mesma e, em seguida, apresentamos o resultado da fórmula generalizada da variação dos parâmetros que nos será útil ao reescrever determinados sistema de E.D.O.. Na seção seguinte, introduzimos alguns conceitos e exemplificamos o uso dos mesmos bem como o uso dos resultados da seção anterior. A última seção deste capítulo aborda os três resultados que formalizam a Teoria da Média, a saber, o Teorema da Média que nos mostra que é mais simples estudar um dado sistema por meio do sistema médio, já que suas soluções são próximas; o Teorema de Existência de Órbitas Periódicas que irá garantir a existência de órbitas periódicas para um dado sistema por meio de algumas informações do sistema médio e, por fim, o Teorema de Estabilidade de Órbitas Periódicas que, como o próprio nome diz, irá permitir estudar a estabilidade de um dado sistema também via a estabilidade do sistema médio. As referências usadas neste capítulo foram: [1], [14], [15], [13] e [4]. Por fim, os capítulos 3 e 4 trazem duas aplicações baseadas respectivamente nos artigos [1] e [8] em que alguns cálculos foram realizados pelo software gratuito e de código aberto: Maxima, a Computer Algebra System. Karine de Almeida Santos Uberlândia-MG, 5 de janeiro de 215. 1

Capítulo 1 Teoria Preliminar Neste capítulo veremos conceitos e resultados preliminares para o desenvolvimento da teoria subsequente. 1.1 Tópicos preliminares de Análise Definição 1.1 Dizemos que uma função f : R X R n, onde X R n, é T -periódica se existe T > tal que ft + T, x = ft, x para todo t R e x X. Definição 1.2 Uma função f : a t, a + t X R n, onde a é uma constante positiva e x X R n, é Lipschitziana com respeito à segunda variável se existe L > tal que ft, x ft, y L x y para todos x, y X e t a t, a + t. Definição 1.3 Sejam x, y R n. O segmento de reta de extremos x e y é o conjunto [x, y] = {1 tx + ty; t [, 1]}. C R n é convexo quando contém qualquer segmento de reta cujos extremos pertencem a C. Isto é, x, y C [x, y] C. Definição 1.4 Seja LR m, R n = {T : R m R n ; T é um operador linear}. Sobre esse espaço, definimos a norma : LR m, R n R, T = sup T x n, x m 1 onde m e n denotam, respectivamente, as normas euclidianas de R m e R n. Lema 1.1 Sejam A, B LR n, R n e x R n, temos: i Ax A x n ; ii AB A B ; iii A k A k ; k N. Os item i pode ser visto em 2 página 92 de [5] bem como os itens ii e iii em 7 página 98 de [5]. 2

CAPÍTULO 1. TEORIA PRELIMINAR 1.1. TÓPICOS PRELIMINARES DE ANÁLISE Teorema 1.1 Fórmula de Taylor com Resto Integral Seja U R m aberto, f : U R n de classe C p+1 e [a, a + v] U. Então onde fa + v = fa + f a v + 1 2 f a v 2 + + 1 p! f p a v p + r p v, f p a v p = p f v p a = v p 1 f v p 1 a e r p v = 1 p! Sua demonstração pode ser vista em [6], página 262. 1 1 t p f p+1 a + tv v p+1 dt Observação 1.1 Ao longo do texto denotaremos os coeficientes da Fórmula de Taylor por f i a = 1 i! f i a, onde i é um inteiro não-negativo. Teorema 1.2 Desigualdade do Valor Médio Seja U R m aberto, f : U R n contínua em [a, a + v] U e diferenciável em todos os pontos do segmento a, a + v. Se f x M para todo x a, a + v, então fa + v fa n M v m. Corolário 1.1 Seja U R m aberto e convexo. Se f : U R n é diferenciável e f x M para todo x U, então f é Lipschitziana e fx fy n M x y m para todos x, y U. As demonstrações do Teorema 1.2 e seu Corolário 1.1 podem ser consultadas em [6], página 264. Definição 1.5 Seja U R m aberto. Uma função f : U R n é localmente Lipschitziana se para cada ponto a de U, existe uma vizinhança V de a em U tal que a restrição f V é Lipschitziana em V. Proposição 1.1 Seja U R m aberto e f : U R n de classe C 1, então f é localmente Lipschitziana. A demonstração deste resultado pode ser consultada na página 163 de [4]. Proposição 1.2 Derivação sob o Sinal de Integral Seja U R n aberto e f : U [a, b] R uma função com as seguintes propriedades: i para todo x U, a função t ft, x é integrável em t [a, b]; f ii a i-ésima derivada parcial x, t existe para cada x, t U [a, b] e a função f : x i x i U [a, b] R assim definida, é contínua. Então a função ϕ : U R, dada por ϕx = cada ponto x U, como sendo b a ϕ b f x = t, xdt. x i a x i O próximo resultado será utilizado na demonstração do Lema 3.1. ft, xdt possui a i-ésima derivada parcial em Corolário 1.2 Se f : [a, b] U R é contínua e possui n derivadas parciais contínuas f b : [a, b] U R, então ϕ : U R definida por ϕx = ft, xdt é de classe C 1. x i a 3

CAPÍTULO 1. TEORIA PRELIMINAR 1.1. TÓPICOS PRELIMINARES DE ANÁLISE As demonstrações dos dois resultados acima podem ser consultadas em [6], páginas 143 e 144 respectivamente. Teorema 1.3 Teorema da Função Inversa Seja A R n um aberto, f : A R n de classe f C r e a A. Se det x a, então existe uma vizinhança U de a tal que a restrição f U é um difeomorfismo de classe C r sobre fu = V R n aberto. Teorema 1.4 Teorema da Função Implícita Seja U R k R n aberto, f : U R n uma f função de classe C r, r 1. Se a, b U é tal que fa, b = c e det a, b, então y existem abertos V R k contendo a e Z R n tais que f 1 c V Z é o gráfico de uma função g : V Z, isto é, para cada x V existe um único y = gx Z tal que fx, y = c e, consequentemente, ga = b. Além disso, g é de classe C r tal que: para cada x V, tem-se g x = [ ] 1 [ ] f f x, gx x, gx y x As demonstrações dos dois resultados acima podem ser consultadas, respectivamente, em [9], página 69 e [6], página 164. Definição 1.6 Dizemos que um espaço métrico M, d é completo se toda sequência de Cauchy em M converge para um elemento de M. Observação 1.2 O espaço LR n, R m, d é completo com a métrica d induzida pela norma, em que d : LR n, R m LR n, R m R A, B da, B = A B. O próximo resultado será utilizado no Teorema 2.2 para obtenção do inverso de I + εa. Proposição 1.3 Sejam A LR n, R n e ε > tal que ε A = c < 1. inversível e seu inverso é dado por Então I + εa é I + εa 1 = I εa + ε 2 A 2 + + 1 n A n +. Demonstração: Considere a série 1 k εa k e a sequência formada pela soma parcial de seus termos S n = k= n 1 k εa k. Mostremos que: k= i S n n=1 é uma sequência de de Cauchy em LR n, R n. ii lim S n = S = I εa 1. n i De fato, S m S n = m 1 k εa k k= n 1 k εa k k= 4

CAPÍTULO 1. TEORIA PRELIMINAR 1.1. TÓPICOS PRELIMINARES DE ANÁLISE e, sem perda de generalidade, suponhamos m > n. Daí, S m S n = m k=n+1 1 k εa k m k=n+1 1 k εa k m k=n+1 εa k m k=n+1 c k. Como temos n c k é uma série geométrica de razão c < 1 segue que é convergente e, portanto, k=1 m ɛ >, n N; m, n > n c k < ɛ. k=n+1 Dessa forma, S m S n m k=n+1 c k < ɛ. Logo, dado ɛ >, existe n N tal que S m S n < ɛ sempre que m, n > n. Portanto, S n n=1 é de Cauchy. Agora, do fato de S n n=1 ser de Cauchy em LR n, R n e este ser completo, segue que S n n=1 é convergente em LR n, R n, isto é, existe S LR n, R n tal que lim n S n = S. ii Sabemos que Como I + εas = I + εa lim n S n = lim n I + εas n = lim n I + εai εa + ε 2 A 2 + 1 n εa n = lim n I + 1 n εa n+1. I + 1 n εa n+1 I = 1 n εa n+1 εa n+1 c n+1. Tomando o limite, segue que lim n εa n+1 c lim n c n. Assim, lim n I + εa n+1 = I. E, portanto, I + εas = I. Analogamente, verifica-se que SI + εa = I. Dessa forma, concluímos que S = lim n S n = I εa + ε 2 A 2 + 1 n εa n + é o inverso de I + εa. 5

CAPÍTULO 1. TEORIA PRELIMINAR 1.1. TÓPICOS PRELIMINARES DE ANÁLISE 1.1.1 Estabilidade de operadores lineares hiperbólicos Iremos agora trabalhar alguns conceitos para demonstrarmos os dois últimos resultados desta seção. Ambos serão de grande importância para obtermos conclusões à respeito da estabilidade de soluções periódicas no Teorema 2.4. Definição 1.7 Seja S : C m C m um operador linear em C m. i Dizemos que λ C é um autovalor de S se existe x não nulo em C m tal que S x = λx. ii O auto-espaço de S associado a λ é o subespaço de C m dado por V λ, S = {x C m ; S x = λx}. Aos elementos de V λ, S damos o nome de autovetores de S associado a λ. Definição 1.8 Seja A LR m, R m, λ C é autovalor de A se o mesmo é raiz do polinômio característico pλ = deta λi. Definição 1.9 Um operador linear T : R n possuem parte real não nula. R n é hiperbólico se todos seus autovalores Sejam z = z 1,..., z m, w = w 1,..., w m C m e λ C. Sabemos que C m munido com as operações + : C m C m C m z, w z + w = z 1 + w 1,..., z m + w m : C C m C m λ, z λz = λz 1,..., λz m é um espaço vetorial sobre C. Definimos em C m o produto interno, C : C m C m C z, w z, w = m z i w i, i=1 bem como a norma C : C m C z z = z, z Observação 1.3 Dado z C m existem únicos u, v R m tal que z = u + vi. Definição 1.1 Seja A LR m, R m. A complexificação de A, A C : C m C m, é definida por A C u + iv = Au + iav, onde u, v R m. Definição 1.11 Seja S : C m C m. A norma de S é dada por C = sup{ Sz ; z C m e z C 1}. 6

CAPÍTULO 1. TEORIA PRELIMINAR 1.1. TÓPICOS PRELIMINARES DE ANÁLISE Lema 1.2 Seja A LR m, R m,, então A C C = A. Demonstração: Por definição, A C C = sup A C z. Seja z C m tal que z = u + iv, onde u, v R m, temos z C m z 1 z 2 C= u 2 m+ v 2 m 1. Seja z C m tal que z C 1, então A C z 2 C= A C u + iv 2 C = A C u + iv, A C u + iv C = A C u + ia C v, A C u + ia C v C = A C u, A C u C + ia C v, A C u C + A C u, ia C v C + ia C v, ia C v C = A C u, A C u C + ia C v, A C u C + ia C v, A C u C + ia C v, ia C v C = A C u, A C u C + A C v, A C v C = Au 2 m+ Av 2 m A 2 u 2 m+ A 2 v m 2 A 2 u 2 m+ v 2 m = A 2 z C A 2. Dessa forma, A C u + iv C A, ou seja, A é uma cota superior para { A C z C ; z C m e z C 1 } e como sup A C z C é a menor delas, segue que Por outro lado, z C m z C 1 A C C A. 1.1 A C C = sup A C u + iv C sup A C u = sup Au = A. 1.2 u+iv C =1 u =1 u =1 Assim, por 1.1 e 1.2, temos A C C = A. Lema 1.3 Seja A LR m, R m,, λ é autovalor de A se, e somente se, λ é autovalor de A C. Demonstração: Mostremos que A e A C possuem os mesmos polinômios característicos. Para isto vejamos que toda base de R m sobre C é base de C m sobre C. De fato, seja B = {v 1,..., v m } uma base de R m, como B possui m elementos e dim C C m = m se mostrarmos que B gera C m, então B será base para C m. Seja z C m, pela Observação 1.3, existem únicos a, b R m tais que z = a + ib m e como cada a, b R m, então existem α i e β i reais, com i = 1,..., m tais que a = α i v i e b = m β i v i. Logo, z = i=1 m α i v i + i i=1 m β i v i = i=1 i=1 m α i + iβ i v i, ou seja, B gera C m e, portanto, B é base de C m. Considere agora B a base canônica do R m. Pelo que vimos acima, B também é base de C m. Assim, sendo [A] B e [A C ] B as representações matriciais dos operadores A e A C escritos na base B, segue que [A] B = [A C ] B. Portanto, seus polinômios característicos são iguais. i=1 7

CAPÍTULO 1. TEORIA PRELIMINAR 1.1. TÓPICOS PRELIMINARES DE ANÁLISE Lema 1.4 Seja A n n=1 uma sequência em LRm, R m tal que A n A em LR m, R m,. Então A C n A C em LC m, C m, C. Demonstração: Por hipótese, A n A, ou seja, lim n A n A =. Agora, A C n A C u + iv = A C nu + iv A C u + iv Dessa forma, por 1.3 e pelo Lema 1.2, temos = A n u + ia n v Au iav = A n Au + ia n Av = A n A C u + iv. 1.3 A C n A C C = A n A C C = A n A 1.4 Assim, Logo, A C n A C. lim n AC n A C C = lim A n A =. n Observação 1.4 Ao considerarmos em R m a base canônica, podemos identificar os elementos de LR m, R m com matrizes m m cujo espaço é denotado por M m R e, dado um operador A LR m, R m, representamos os elementos da i-ésima linha e j-ésima coluna da matriz associada à A por A ij. Lema 1.5 A função det : R n... R n = R n2 R é de classe C. Sua demonstração pode ser consultada em [6], página 253. Teorema 1.5 Seja A n n=1 uma sequência em LRm, R m, tal que A n A. Então existe uma subsequência n k k=1 tal que, se λ n k,1,..., λ nk,m são raízes de g k λ = detλi A nk, incluindo suas multiplicidades, então i λ n,j n=1, j = 1,..., m é limitada; ii existe subsequência de λ n,j n=1 que converge para λ j, j = 1,..., m; iii λ j é raiz de gλ = detλi A. Além disso, todas as raízes de gλ são dadas exatamente por λ j, j = 1,..., m. Demonstração: Sejam λ n,1,..., λ n,m autovalores de A C n e v n,1,..., v n,m seus respectivos autovetores com n 1 e v n,j C = 1 para todo j = 1,..., m. 8

CAPÍTULO 1. TEORIA PRELIMINAR 1.1. TÓPICOS PRELIMINARES DE ANÁLISE i Note que: A C nv n,j, v n,j C = λ n,j v n,j, v n,j C = λ nj v n,j, v n,j C = λ nj v n,j 2 C= λ n,j e, pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, temos: λ n,j C = A C nv n,j, v n,j A C n C v n,j 2 C= A C n C = A n, 1.5 onde a última igualdade decorre do Lema 1.2. Por hipótese, A n A em LR m, R m,, logo A n n=1 é limitada. Assim, existe M > tal que A n M e, portanto, λ n,j C A n M, para todo n 1 e j = 1,..., m. 1.6 ii Seja q n = λ n,1,..., λ n,m C m. De 1.6 decorre que q n B[, M] C m para todo n 1. Assim, q n n=1 é limitada no compacto B[, M] e, pelo Teorema de Bolzano- Weierstrass, segue que q n n=1 admite subsequência q nk k=1 convergente. Pela compacidade de B[, M], concluímos que q nk q = λ 1,..., λ m tal que q B[, M] e lim λ n k,j = λ j com j = 1,..., m. 1.7 k iii Seja g k λ = detλi A C n k o polinômio característico de A C n k. Como λ nk,j é autovalor de A C n k, então o mesmo é raiz de g k, ou seja, então = g k λ nk = detλ nk,ji A C n k, = lim k g k λ nk,j = lim k detλ nk,ji A C n k. 1.8 Pelo Lema 1.5 e por 1.7 em 1.8 temos det lim λ n k,ji A C n k k = detλ j I A C = gλ j. 1.9 Assim, λ 1,..., λ m são autovalores de A C e, pelo Lema 1.3, concluímos que os mesmos são autovalores de A. Observação 1.5 No teorema anterior, as multiplicidades dos autovalores de g k não são mantidas em g. Considere por exemplo A k = 1 1 1 + 1 k Note que lim n A n = I, g k λ = λ 1 2 λ 1 1 k e gλ = λ 13. O autovalor λ = 1 tem multiplicidade 2 em g k e, no entanto, o mesmo tem multiplicidade 3 em g. 9

CAPÍTULO 1. TEORIA PRELIMINAR 1.1. TÓPICOS PRELIMINARES DE ANÁLISE Teorema 1.6 Seja A LR m, R m um operador hiperbólico. Então existe δ > tal que qualquer C BA, δ = {B LR m, R m ; A B < δ} tem todos os autovalores com partes reais não nulas. Demonstração: Suponhamos, por absurdo, que o teorema não seja válido. Então para cada n N existe δ n = 1 n tal que C n B A, 1 e C n tem um autovalor com parte real nula. Sejam λ n,1,..., λ n,m n todos os autovalores de C n onde λ n,i é tal que Reλ n,i = para algum i = 1,..., m. Pelo item ii do Teorema 1.5, existe uma subsequência n k k=1 e λ j, j = 1,..., m, tal que lim λ nk,j = λ j. k Pelo item iii do Teorema 1.5, λ j é autovalor de A, ou seja, como Reλ n,i = segue que Reλ i =. Isto é A possui um autovalor com parte real nula, o que contradiz a hipótese. Portanto, existe δ > tal que se C BA, δ então todos os autovalores de C tem parte real não nula. Teorema 1.7 Seja A LR m, R m um operador hiperbólico tal que A possua a autovalores com parte real negativa e b = m a autovalores com parte real positiva, incluindo suas possíveis multiplicidades. Então existe δ > tal que se C BA, δ LR m, R m então C possui a autovalores com parte real negativa e b autovalores com parte real positiva, incluindo suas multiplicidades. Demonstração: Pelo Teorema 1.6, existe δ > tal que C BA, δ então todos os autovalores de C tem parte real não nula. Suponha que para todo n N tal que 1 n < δ, exista C n B A, 1 tal n que o número de autovalores de C n com parte real negativa seja a n e o número de autovalores com parte real positiva seja b n com a n, b n a, b para todo n N. Sendo C n hiperbólico, segue do Teorema 1.6 que a n + b n = m. Temos a n, b n {1,..., m} {1,..., m} e lim C n A =. 1.1 n Assim, pelo Teorema 1.5, existe C nk subsequência de C n tal que C nk A e se λ nk,1,..., λ nk,m são autovalores de C nk, então lim λ n k,j = λ j, 1.11 k onde λ j é autovalor de A para todo j = 1,..., m incluindo suas multiplicidades. Como {1,..., m} {1,..., m} é compacto, ao passarmos à subsequência a nk, b nk de a n, b n, podemos assumir a nk = a e b nk = b tais que e a + b = m 1.12 a, b a, b. 1.13 Reordenemos os autovalores de C nk de tal modo que os primeiros a autovalores tenham parte real negativa e os demais b autovalores sejam aqueles cuja parte real é positiva. Assim, de 1.11, segue que lim Reλ n k,j = Reλ j, j = 1,..., m. 1.14 k 1

CAPÍTULO 1. TEORIA PRELIMINAR 1.1. TÓPICOS PRELIMINARES DE ANÁLISE Dessa forma, como Reλ nk,j < para todos j = 1,..., a segue que de 1.14 que Reλ j < para todos j = 1,..., a. Portanto, a a. 1.15 Da mesma forma, se j = a + 1,..., m, então Reλ nk,j > e, portanto, Reλ j > para todos j = a + 1,..., m. Logo, b b. 1.16 E, por 1.16 em 1.12, segue que b = m a m a = b a a. Mas, por 1.15 e este último, resulta que a = a. Analogamente, por 1.15 em 1.12 temos a = m b m b = a b b. Mas por 1.16 e este último temos b = b. Desse modo, a, b = a, b o que contradiz o fato de a n, b n a, b para todo n N. Teorema 1.8 Seja M > e A LR m, R m um operador hiperbólico tal que A tem exatamente a autovalores com parte real negativa e b = m a autovalores com parte real positiva, contando suas multiplicidades. Então existe ε tal que a matriz I m + εa + εb tem a autovalores com norma menor que 1 e b autovalores com parte real com norma maior que 1 para todo < ε < ε e B < M, contando suas multiplicidades. Demonstração: Note que I +εa+εb = I +εa+oε, pois B M. Seja C = A+Oε e ε > tal que ε < ε, então pelo Teorema 1.7, existe δ > tal que C BA, δ e C possui a autovalores com parte real negativa e b autovalores com parte real positiva. Considere v ε,1,..., v ε,a, v ε,a+1... v ε,b seus respectivos autovetores tais que v ε,j = 1, para todos j = 1,..., m. Assim, onde C C v ε,j = λ ε,j v ε,j, { Reλε,j <, se j = 1,..., a Reλ ε,j >, se j = a + 1,..., b. 1.17 Escreva λ ε,j = α ε,j + iβ ε,j, onde α ε,j, β ε,j R para todos j = 1,..., m. Segue de 1.17 que { αε,j <, se j = 1,..., a α ε,j >, se j = a + 1,..., b. 1.18 Dessa forma, temos I + εc C v ε,j = I v ε,j + εc C v ε,j = v ε,j + ελ ε,j v ε,j = 1 + ελ ε,j v ε,j. 1.19 Portanto, os autovalores de I + εc C são 1 + ελ ε,j, onde j = 1,..., m. Mostremos que: i Se j = 1,..., a, então 1 + ελ ε,j C < 1; 11

CAPÍTULO 1. TEORIA PRELIMINAR 1.1. TÓPICOS PRELIMINARES DE ANÁLISE ii Se j = a + 1,..., m, então 1 + ελ ε,j C > 1. Primeiramente, como λ ε,j = α ε,j + iβ ε,j, temos 1 + ελ ε,j C = 1 + εα ε,j + iβ ε,j = 1 + εα ε,j + iεβ ε,j = 1 + εα ε,j 2 + εβ ε,j 2. 1.2 E, também pelo Lema 1.2, temos onde B M. C C 2 C= C 2 = A + Oε 2 A + εb M, 1.21 i Se j {1,..., a}, então α ε,j <. Note que de 1.2, temos 1 + ελ ε,j 2 C= 1 + 2εα ε,j + ε 2 α 2 ε,j + ε 2 β 2 ε,j = 1 + ε2α ε,j + ε λ ε,j 2. 1.22 Sejam λ 1,..., λ m os autovalores de C, tais que: Reλ j <, se j = 1,..., a Reλ j >, se j = a + 1,..., m. Então Logo, Seja lim λ ε,j = λ j, j = 1,..., m. 1.23 ε + lim Reλ ε,j = Reλ j, j = 1,..., m. ε + max{reλ 1,..., Reλ a } = L <. 1.24 Dessa forma, L 2 > λ j para todo j = 1,..., a. Assim, dado L 2 >, existe ε j > tal que, se < ε < ε j então Reλ ε,j Reλ j < L 2 Reλ ε,j < Reλ j L 2 L L 2 = L 2, onde esta última desigualdade decorre de 1.24. Além disso, temos λ ε,j 2 C= λ ε,j 2 C v ε,j 2 C= λ ε,j v ε,j 2 C= C C v ε,j 2 C C C 2 C v ε,j 2 C= C C 2 C M, 1.25 onde esta última desigualdade decorre de 1.21. { Assim, considerando ε = min ε 1,..., ε a, L }, obtemos que se < ε < ε então 2M α ε,j = Reλ ε,j L 2 e 2α ε,j + ε λ ε,j 2 2 L 2 + ε λ ε,j 2 C L + εm L L 2 = L 2 <, onde a segunda desigualdade ocorre devido a 1.25. Portanto, segue de 1.22 e deste 12

CAPÍTULO 1. TEORIA PRELIMINAR 1.1. TÓPICOS PRELIMINARES DE ANÁLISE último fato visto acima que 1 + ελ ε,j 2 C= 1 + ε2α ε,j + ε λ ε,j 2 C 1 + ε L 2 < 1, < ε < ε. ii Como j {a + 1,..., m} segue que α ε,j > e 1 + α ε,j 2 > 1. Além disso, β 2 ε,j > o que por 1.2 implica em 1 + λ ε,j C > 1 para todos j = a + 1,..., m. 13

CAPÍTULO 1. TEORIA PRELIMINAR 1.1. TÓPICOS PRELIMINARES DE ANÁLISE 1.1.2 Teorema da Função Implícita Global: um caso elementar O resultado principal desta seção é uma pequena modificação do caso mais simples do principal teorema de [16]. Mas antes, vejamos o Lema 1.6 Seja U R n aberto e f : U a, b R tal que f é de classe C 1 e f x, y y para todo x, y U a, b. Se existe g : U a, b tal que fx, gx = para todo x U, então g é de classe C 1. Demonstração: Seja x U tal que fx, gx = e f y x, gx. Então pelo Teorema 1.4, existe U 1 U e Z U a, b R n+1 tais que x U 1 e x, gx Z e uma única função ϕ : U 1 a, b de classe C 1 tal que ϕx = gx e fx, ϕx =, para todo x U 1. Como por hipótese fx, gx = para todo x U, e U 1 U, segue que fx, gx = para todo x U 1. Assim, pelo Teorema de Valor Médio, existe y [gx, ϕx] tal que = fx, ϕx fx, gx = f x, yϕx gx. y Além disso, f y x, y, então ϕx = gx para todo x U 1. Como ϕ é C 1 e ϕ = g para todo x U 1 então, em particular, g é C 1 em x e como x é arbitrário em U segue que g é C 1 em U. Teorema 1.9 Seja Ω R n um aberto e f : Ω a, b R de classe C 1 tal que i f x, y, x, y Ω a, b; y ii lim inf fx, y <, x Ω; y a + iii lim sup y b fx, y >, x Ω; então existe g : Ω a, b de classe C 1 tal que fx, gx = para todo x Ω. Demonstração: Seja x Ω, segue de ii e iii que existem y 1, y 2 a, b tais que fx, y 1 < e fx, y 2 >. Por i e pelo Teorema do Valor Intermediário, existe z [y 1, y 2 ] tal que fx, z =. Mostremos que z é único. De fato, suponhamos que exista z z [y 1, y 2 ] tal que fx, z =. Pelo Teorema do Valor Médio, temos = fx, z fx, z = f x, zz z 1.26 y Como f x, z, então z z = z = z que é uma contradição. Logo z é único. Assim, y para cada x Ω, existe um único z = gx a, b tal que fx, gx = e pelo Lema 1.6, segue que g é de classe C 1. 14

CAPÍTULO 1. TEORIA PRELIMINAR 1.2. TÓPICOS PRELIMINARES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 1.2 Tópicos preliminares de Equações Diferenciais Ordinárias Os dois resultados que apresentaremos a seguir são de grande importância, suas demonstrações podem ser consultadas em [15] nas páginas 4 e 5 respectivamente. Teorema 1.1 Existência e Unicidade de Soluções Sejam U R n aberto, I b = {t R; t t b} com b > e f : I b U R n. Considere o problema de valor inicial ẋ = ft, x, xt = x 1.27 onde x D U, D = {x R n ; x x a} sendo a >. Se f é tal que: i f é contínua em I b D; ii f é Lipschitziana com relação a x; então o problema de valor inicial admite única solução em I α, onde α = min sup ft, x. I b D b, a M e M = Teorema 1.11 Desigualdade de Gronwall Sejam φ, α, β funções reais contínuas tais que βt e Então φt αt + φt αt + t t βsφsds. βsαse t s βrdr ds. Considere o sistema de equações onde At M n R é contínua. ẋ = Atx, 1.28 Definição 1.12 Dizemos que ϕt = ϕ ij t i,j, de ordem n e com i, j = 1,..., n, é uma matriz solução de 1.28 se ϕ = Atϕt, onde esta última se trata de uma igualdade entre matrizes. Neste caso, cada coluna ϕ j : R R n é solução de 1.28 em R com i {1, 2,..., n}. Lema 1.7 Os vetores ϕ j t, j = 1,..., n, são linearmente independentes se, e somente se, det ϕ j t para todo t R. Referência: [3], página 8. Observação 1.6 Em particular, se para algum t R, ϕ j t, j = 1,..., n são linearmente independentes, então ϕ j t são linearmente independentes para todo j = 1,..., n e t R. Definição 1.13 Dizemos que ϕt M n R é uma matriz fundamental de 1.28 se ϕt é matriz solução, isto é, ϕ = Atϕt e, ainda, det ϕt para algum t R. Observação 1.7 Pelo Lema 1.7 e a Observação 1.6, temos que toda matriz fundamental é inversível. 15

CAPÍTULO 1. TEORIA PRELIMINAR 1.2. TÓPICOS PRELIMINARES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Definição 1.14 À matriz fundamental ϕt tal que ϕt = I damos o nome de matriz principal. O resultado seguinte pode ser encontrado em [3], página 93. Proposição 1.4 Seja Xt a matriz solução de Ẋ = AX. Se det X, então eat = XtX 1. Além disso, e At 1 = e At. A matriz e At é matriz principal de Ẋ = AX em t =. Teorema 1.12 Floquet Seja ẋ = Atx, 1.29 onde At é contínua e T -periódica. Toda matriz fundamental Xt de 1.29 pode ser escrita na forma Xt = P te Bt, onde P t é T -periódica e B é uma matriz constante. Os dois resultados a seguir, podem ser consultados [13], página 144. Proposição 1.5 Para toda matriz solução Xt de 1.28, existe uma matriz constante e não singular C tal que Xt + T = XtC. A esta matriz damos o nome de matriz monodromia. Proposição 1.6 Sejam X 1 t e X 2 t soluções de 1.28 e C 1, C 2 suas respectivas matrizes monodromia. Então C 1 e C 2 são conjugadas. Isto é, existe uma matriz não singular P tal que C 1 = P 1 C 2 P. Este último resultado nos diz que os autovalores da matriz fundamental da solução de 1.28 serão sempre os mesmos quaisquer que seja a matriz solução de 1.28. Proposição 1.7 Seja Xt matriz fundamental de 1.28. Então a matriz monodromia de Xt é C = e BT. Demonstração: Pela Proposição 1.5, existe C matriz monodromia de Xt, tal que Xt + T = XtC. Pelo Teorema 1.12, existem P t T -periódica e B matriz constante tal que Xt = P te Bt. Assim, Xt + T = P t + T e Bt+T XT = P T e BT. 1.3 Além disso, I = X = P I = P e como P t é T -periódica, temos: P T = P = I. Assim, por 1.3, segue que XT = e BT e como C é matriz monodromia de Xt, então XT = X + T = XC = I C = C. Portanto, C = XT = I e BT = e BT. Definição 1.15 Aos autovalores de multiplicidade k da matriz monodromia, C, damos o nome de números característicos ou multiplicadores característicos de multiplicidade k de 1.28. 16

CAPÍTULO 1. TEORIA PRELIMINAR 1.2. TÓPICOS PRELIMINARES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Definição 1.16 Seja U R m aberto, f : R U R m e ẋ = ft, x, 1.31 onde f é T -periódica em t e ϕt é uma solução T -periódica em t de 1.31. A linearização de 1.31 é dada por ẏ = At y, onde At = f t, ϕt é T -periódica em t. x Note que, como f é T -periódica em t então At também é. De fato, por hipótese, ft + T, x = ft, x. Então, f x T -periódica. Agora, At + T = f x t + T, ϕt + T = f x t + T, x = f x f t, x. Assim, t, x é x f t, ϕt + T = t, ϕt = At. x Sendo que a penúltima igualdade decorre do fato de ϕ ser T -periódica em t. Seja U R n aberto e f : U R n de classe C 1, tal que ẋ = fx, x = y. 1.32 Definição 1.17 Dizemos que Iy é o intervalo máximo de soluções de 1.32 contendo y se, dada qualquer solução x : J R n de 1.32, temos J Iy. Assim, para cada y U, existe um única solução Φt tal que Φ = y definida no intervalo maximal Iy R. Considere então o seguinte conjunto Ω R U assim definido Ω = {t, y R U; t Iy}. Definição 1.18 A aplicação Φ : Ω U, Φt, y = xt é denominada fluxo de 1.32 e algumas vezes denotaremos Φt, y por Φ t y. Teorema 1.13 Ω é um aberto em R U e a aplicação Φ : Ω U é contínua. A demonstração deste teorema pode ser consultada em [4], Teorema 2, página 175. O teorema a seguir nos fornece uma propriedade que será utilizada mais adiante e pode ser consultado em [2], página 152. Teorema 1.14 Seja U R n aberto, f : U R n de classe C 1 e Φ : Ω R n é o fluxo de ẋ = fx. Então Φ t, Φs, x = Φt + s, x para todos s, t R e x U tais que s, t + s Ix. Teorema 1.15 Seja U R n aberto, f : R U R n de classe C r onde r 1. Então o fluxo Φ : Ω R n da equação diferencial ẋ = fx também é de classe C r. Sua demonstração pode ser consultada no Teorema 2, página 32 de [4]. 17

CAPÍTULO 1. TEORIA PRELIMINAR 1.2. TÓPICOS PRELIMINARES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Observação 1.8 Seja Ω = {t, y R U; t Iy}, onde U R n aberto, Iy R é o intervalo maximal e seja f : Ω R n. Toda equação não autônoma que depende de t: ẋ = ft, x, x = y 1.33 pode ser escrita como uma equação autônoma que não depende de t onde Zt = st, xt. De fato, basta fazer st = t, daí e defina Ż = F Z = 1, fz, 1.34 Z t = 1, x t = 1, ft, xt 1.35 F : R n+1 R n+1, F Z = 1, fz. Sendo assim, 1.34 é um sistema autônomo. Ponha Z = u, y R R. O fluxo de 1.34 é dado por Υt, Z = Υ 1 t, Υ 2 t, Z, onde Υ 1 t = t + u e Υ 2 é tal que Υ 2 t t, Z = fυ 1t, Υ 2 t, Z. Além disso, pelo Teorema 1.15, segue que Υt, Z é de classe C 1, isto é, Υ 1 t e Υ 2 t, Z também o são. Agora vejamos que o fluxo de 1.33 é dado por: De fato, Ψt, y = Υ 2 t,, y. 1.36 i Note que Ψ, y = Υ 2,, y = y. ii E também, Ψ t t, y = Υ 2 t t,, y = f t, Υ 2t,, y = ft, Ψt, y. Além disso, considere y = y 1,..., y n e Υ 2 : R R n+1 R n t, u, y Υ 1 2t, u, y 1, Υ 2 2t, u, y 2,..., Υ n 2t, u, y n 1.37 18

CAPÍTULO 1. TEORIA PRELIMINAR 1.2. TÓPICOS PRELIMINARES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Assim, temos Υ t, u, y = u, y = Υ 1 u t, u, y Υ 1 t, u, y y Υ 2 u t, u, y Υ 2 t, u, y y 1 Υ 1 2 u t, u, y Υ 1 2 y 1 t, u, y. Υ n 2 u t, u, y Υ n 2 y 1 t, u, y. Υ 1 2 y n t, u, y.... Υ n 2 y n t, u, y n+1 n+1 Assim, Note que Υ, u, y = u, y, então Portanto, Υ Υ2 det t, u, y = det t, u, y. u, y y Υ 1 = det I = det, u, y u, y Υ, u, y = I. Logo, u, y Υ2 det, u, y y Υ2 = det, u, y. y para t adequadamente pequeno. Dessa forma, segue pelo Teorema?? que, para todo y R n, existe um intervalo I y, tal que I y e para cada t I y a aplicação é inversível. y Ψt, y Observação 1.9 Vejamos que o Teorema 1.14 não é válido para sistemas não autônomos. Consideremos o seguinte problema de valor inicial { ẋ = t x 1.38 x = x. Note que Ψt, x = e t2 2 x é o fluxo de 1.38, pois Ψ t, x = t e t2 2 x = tψt, x e Ψ, x = x. 19

CAPÍTULO 1. TEORIA PRELIMINAR 1.2. TÓPICOS PRELIMINARES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS No entanto, tomando s = 1, t = 2 e x = 1, temos Ψt + s, x = Ψ1 + 2, 1 = Ψ3, 1 = e 9 2 e 5 2 = Ψ1, e 4 2 = Ψ1, Ψ2, 1 = Ψt, Ψs, x. À seguir introduziremos duas importantes definições que nos conduzirão ao conceito de estabilidade. Para tal, utilizaremos a notação ϕt, t, x para indicar a solução de 1.31 que passa pelas condições iniciais t, x. Definição 1.19 Uma solução ϕt, t, x de 1.31 é Liapunov estável se as seguintes condições são satisfeitas: i existe ρ > tal que a solução ϕt, t, x 1 está definida para todo t t, sempre que x 1 x < ρ. ii para todo ε >, existe δ > tal que δ ρ e ϕt, t, x 1 ϕt, t, x < ε para todo t t, sempre que x 1 x < δ. Definição 1.2 A solução ϕt, t, x de 1.31 a qual é Liapunov estável é assintoticamente estável se existe σ > tal que σ ρ e ϕt, t, x 1 ϕt, t, x quando t, sempre que x 1 x < σ. Teorema 1.16 Sejam U R n, f : R U R T -periódica na variável t e ϕt, t, x solução T -periódica de 1.31. i Se todos os números característicos da linearização de 1.31 possuem valor absoluto menor que 1, então a solução ϕt, t, x é assintoticamente estável. ii Se algum dos números característicos da linearização de 1.31 possui valor absoluto maior que 1, então a solução ϕt, t, x é instável. Demonstrações: i ver [13], página 264 e ii ver [1], página 281, Teorema 7.6. Definição 1.21 Seja U R n aberto e f : U R n de classe C 1. Considere o seguinte sistema ẋ = fx 1.39 Uma integral primeira do sistema anterior é uma função F : U R de classe C 1 tal que F xt é constante, onde xt é uma solução qualquer de 1.39. 2

CAPÍTULO 1. TEORIA PRELIMINAR 1.2. TÓPICOS PRELIMINARES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 1.2.1 Um teorema de redução O teorema a seguir nos fornece informações de um sistema de n + 1 equações por meio de um sistema de n equações. Teorema 1.17 Sejam Ω R m aberto, f : R Ω ε, ε R m, g : R Ω ε, ε R ambas de classe C r, r 1 e 2π-periódicas na primeira variável. Suponha que y s, ε seja uma solução 2π-periódica de y εfs, ys, ε, ε s, ε = 1 + εgs, ys, ε, ε. 1.4 Então existem ε 1, ε e T : ε 1, ε 1 R de classe C r tais que i T = 2π; ii O sistema ẋ = εfθt, ε, yt, ε, ε θ = 1 + εgθt, ε, yt, ε, ε 1.41 tem solução x t, ε, θ t, ε tal que x t + T ε, ε = x t, ε e θ t + T ε, ε = θ t, ε + 2π. Demonstração: Consideremos f e g restritas a R Ω [ε, ε ] onde < ε < ε. Vamos provar que: i s, ε gs, ys, ε é limitada; Seja s R, ε [ ε, ε ] e y s, ε uma solução 2π-periódica de 1.4 na variável s e como g é 2π periódica na variável s, temos {gs, y s, ε, ε; s R, ε [ ε, ε ]} = {gs, y s, ε, ε; s [, 2π], ε [ ε, ε ]}. Agora, como [, 2π] {y s, ε} [ ε, ε ] é compacto, g C r, em particular contínua, segue do Teorema de Weierstrass que g é limitada, digamos por M, para todo s R e ε [ ε, ε ]. ii existe ε 1 > tal que 1 + εgs, y s, ε, ε > 1 2 para todo s R e ε ε 1, ε 1 ; Tome ε 1 > tal que ε < ε 1 < 1. Pelo item anterior, segue que 2M εgs, y s, ε, ε < ε gs, y s, ε, ε < ε 1 M < 1 2 εgs, y s, ε, ε < 1 2 para todo ε ε 1, ε 1. εgs, y s, ε, ε > 1 2 1 + εgs, y s, ε, ε > 1 2, iii Seja I R e h : I ε 1, ε 1 R, hs, ε = s du 1 + εgu, y u, ε, ε. 21

CAPÍTULO 1. TEORIA PRELIMINAR 1.2. TÓPICOS PRELIMINARES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Para cada ε ε 1, ε 1, seja h ε : R R, h ε s = h. Mostremos que h ε é um difeomorfismo. De fato, como h εs = h ε s s = 1 1 + εgs, y s, ε, ε temos h εs >, isto é, h ε é monótona crescente e, portanto, injetora. Além disso, pelo item i e ii, temos Se s >, segue de 1.43 que Portanto, s du 1 + M <, 1.42 1 2 < 1 + εgu, y u, ε, ε < 1 + M 1 1 + M < 1 < 2. 1.43 1 + εgu, y u, ε, ε s du 1 + εgu, y u, ε, ε < lim h s εs lim s + s + 1 + M Agora, se s <, segue de 1.43 que Assim, s s du 1 + M < du 1 + M < s s lim h s εs lim s s 1 + M s 2du h ε s > s 1 + M. = + lim s + h εs = +. 1.44 du 1 + εgu, y u, ε, ε h ε s s du 1 + M > s h ε s. = lim s h εs =. 1.45 Dessa forma, dado z R por 1.45, existe s 1 R tal que h ε s 1 < z e por 1.44, existe s 2 R tal que z < h ε s 2. Isto é, h ε s 1 < z < h ε s 2. Então pelo Teorema do Valor Intermediário, segue que existe c s 1, s 2 tal que h ε c = z. Portanto, h ε é sobrejetora. Assim, h ε admite inversa h 1 ε s e h 1 ε h ε s = 1 h εs. 1.46 Além disso, note que tanto h ε quanto sua inversa são de classe C 1 pois g assim o é. Defina De 1.46, segue que θ t, ε = h 1 ε t x t, ε = y h 1 ε t, ε 1.47 22

CAPÍTULO 1. TEORIA PRELIMINAR 1.2. TÓPICOS PRELIMINARES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS θ ht, ε = h 1 ε h ε t = 1 h εt 1.48 Por 1.42 em 1.48, temos: θ h ε t = 1 + εg t, y t, ε, ε θ h ε h 1 ε t, ε = 1 + εg h 1 ε t, y h 1 ε t, ε, ε. Assim, θ t, ε = 1 + εg θ t, ε, x t, ε, ε. 1.49 E por 1.47, temos x t, ε = y h 1 ε εf = 1 + εg = t, εh 1 t h 1 ε h 1 ε ε t, y h 1 ε t, ε, ε θ t, ε t, y h 1 ε t, ε, ε εf θ t, ε, x t, ε, ε 1 + εg θ t, ε, x t, ε, ε. 1 + εg θ t, ε, x t, ε, ε Assim, x t, ε = εf θ t, ε, x t, ε, ε 1.5 E também por 1.47, temos x h ε t, ε = y h 1 ε h ε t, ε = y t, ε. Portanto, x h ε, ε = y, ε. 1.51 Por hipótese, y t, ε é 2π-periódica, então x h ε t + 2π, ε = y t + 2π, ε = y t, ε. Portanto, De 1.51 e 1.52, segue que x h ε 2π, ε = y 2π, ε = y, ε. 1.52 x h ε 2π, ε = x, ε. 1.53 Agora considere T ε = h ε 2π = 2π du 1 + εgu, y u, ε, ε. 23

CAPÍTULO 1. TEORIA PRELIMINAR 1.2. TÓPICOS PRELIMINARES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Temos T = 2π. Pelo Corolário 1.2, segue que T é de classe C r e por 1.53, segue que Do mesmo modo, x T ε, ε = x, ε. 1.54 θ t, ε = h 1 ε t θ h ε t, ε = h 1 ε h ε t, ε = t. 1.55 Tomando t = 2π em 1.55, temos θ 2π, ε = θ h ε 2π, ε = θ T ε, ε = 2π. 1.56 Agora tomando t = em 1.55, temos θ, ε = θ h ε, ε = θ T, ε =. 1.57 Considere ut, ε = vt, ε = x t + T ε, ε, θ t + T ε, ε = u 1 t, ε, u 2 t, ε 1.58 x t, ε, θ t, ε + 2π = v 1 t, ε, v 2 t, ε. 1.59 Mostremos que ut, ε e vt, ε são soluções de 1.4. De fato, u t, ε = u 1t, ε, u 2t, ε = x t + T ε, ε, θ t + T ε, ε. Por 1.49 e 1.5, temos u t, ε = εf = θ t + T ε, ε, x t + T ε, ε, ε εfu 2 t, v, u 1 t, ε, ε, 1 + εgu 2 t, v, u 1 t, ε, ε, 1 + εg θ t + T ε, ε, x t + T ε, ε, ε. 1.6 Do mesmo modo, v t, ε = v 1t, ε, v 2t, ε = x t, ε, θ t, ε. Por 1.49 e 1.5, temos v t, ε = εf θ t, ε, x t, ε, ε, 1 + εg θ t, ε, x t, ε, ε. E pela periodicidade de f e g na primeira variável, segue que v t, ε = εf θ t, ε + 2π, x t, ε, ε, 1 + εg θ t, ε + 2π, x t, ε, ε = εfv 2 t, ε, v 1 t, ε, ε, 1 + εgv 2 t, ε, v 1 t, ε, ε. 1.61 Além disso, u, ε = x T ε, ε, θ T ε, ε 24

CAPÍTULO 1. TEORIA PRELIMINAR 1.2. TÓPICOS PRELIMINARES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS e por 1.54 e 1.56, temos: E também como v, ε = u, ε = x, ε, 2π. x, ε, θ, ε + 2π, segue de 1.57 que Assim, v, ε = x, ε, + 2π = x, ε, 2π. u, ε = x, ε, 2π = v, ε. Portanto, tanto ut, ε quanto vt, ε são soluções de 1.4 passando pela mesma condição inicial. Dessa forma, pela unicidade das soluções, por 1.58 e 1.59, segue que: u 1 t, ε = x t + T ε, ε = x t, ε = v 1 t, ε e Logo, ut, ε = vt, ε u 2 t, ε = θ t + T ε, ε = θ t, ε + 2π = v 2 t, ε. Observação 1.1 Caso tenhamos y s = fs, ys, ε, ε a + εgs, ys, ε, ε, onde a e ẋ = εfθt, ε, yt, ε, ε θ = a + εgθt, ε, yt, ε, ε o resultado anterior também é válido. 25

Capítulo 2 Teoria da Média 2.1 Notas históricas Este capítulo engloba os principais resultados da Teoria da Média. Para se ter uma ideia dessa teoria, Newton, em meados do século XVII, propôs o problema de N-corpos que consiste em obter equações de movimento que possam descrever as trajetórias dos planetas no sistema solar. Um fato curioso é que ele mesmo resolveu o problema para 2-corpos o que levou à constatação da teoria de trajetórias elípticas descrita por Kepler. Naquela ocasião, o estudo das equações eram tomados de forma isolada entre dois corpos: o Sol e o outro corpo em questão. Posteriormente, percebeu-se que pequenos desvios de órbitas ocorriam devido, por exemplo, à presença dos outros corpos celestes bem como quanto ao meio ao qual se encontram. Devido à percepção dessa influência, o próximo passo seria obter soluções considerando os demais corpos em questão, a começar pelo problema de 3-corpos e isso era e ainda é algo complicado. Vários cientistas propuseram uma formulação para tal problema, muitas vezes envolvendo formas engenhosas com grandes cálculos numéricos, algo extremamente complicado e geralmente sem o devido êxito. Eis que no século XVIII, surge a teoria de perturbação onde cientistas buscavam formas de relacionar a teoria da gravitação de Newton com movimento de planetas e satélites. Clairaut então dá os primeiros passos rumo ao que conhecemos hoje pelo Método da Média e, posteriormente, Lagrange e Laplace nos fornecem uma forma aprimorada e mais clara deste método que permite estudar, dentre vários outros, o problema de 3-corpos. Para isso, Lagrange propôs que uma perturbação fosse feita na equação do problema de 2-corpos. Grosso modo, este método consiste em aplicar o Método da Variação de Parâmetros para escrever uma dada equação na forma que denominaremos canônica ou padrão. Dessa forma, obtemos um sistema mais simples que o primeiro, no entanto, a obtenção de solução pode ser tão difícil quanto antes. A fim de simplificar este último sistema aplicamos o Método da Média cuja ideia tem por base a expansão de Fourier que permite expressar uma função em termos de senos e cossenos, e estas devido sua periodicidade, irão eliminar vários termos durante o cálculo de integração dos coeficientes de Fourier o que torna mais simples nosso sistema de equações. Após o século XIX, esse método foi validado por Fatou, tem sido estudado e pode ser encontrado em artigos de vários pesquisadores como Krylov, Bogoliubov, Mitropolsky, etc. Para obtenção mais detalhada de tais fatos, o leitor poderá consultar [15], pág 136, 137 e [14], pág 337. 26

CAPÍTULO 2. TEORIA DA MÉDIA 2.2. FÓRMULA GENERALIZADA DA VARIAÇÃO DE PARÂMETROS 2.2 Fórmula Generalizada da Variação de Parâmetros Para aplicarmos a Teoria da Média é necessário que o sistema esteja escrito em sua forma canônica, no entanto, nem sempre isso ocorre. O teorema a seguir nos fornece uma forma de fazer isto. Definição 2.1 Seja U R n, f : [, + U ε, ε R n onde f é Lipschitziana com relação a segunda variável. Diremos que o sistema ẋ = ft, x, ε se encontra na forma canônica ou padrão sempre que ft, x, ε = εf t, x, ε 2.1 onde F : [, + U R n é de classe C 2 ou simplesmente ft, x, =. Teorema 2.1 Sejam U R n aberto, f : R U R n e g : R U ε, ε R n funções de classe C 1. Se Ψt, y é fluxo de 1.33 e yt = Ψ 1 t xt, então é escrita como onde g t, y, ε = Demonstração: [ ] 1 Ψ t, yt, ε gt, Ψt, yt, ε. x ẋ = ft, x + εgt, x, ε 2.2 ẏ = εg t, y, ε, 2.3 De posse da Observação 1.8, vimos que Ψ t xt é inversível e, por hipótese, yt = Ψ 1 t xt. Daí, xt = Ψ t yt = Ψt, yt. Derivando esta última, obtemos Substituindo em 2.2, temos x t = Ψ Ψ t, yt + t x t, yty t. Ψ Ψ t, yt + t x t, yty t = ft, Ψt, yt + εgt, Ψt, yt, ε. 2.4 Agora, do fato de Ψ ser fluxo de 1.33, segue que Ψ t, Ψt, y = ft, Ψt, yt. Dessa t forma, segue de 2.4 que Ψ x t, yty t = εgt, Ψt, yt, ε. Vimos também pela Observação 1.8 que Ψ t, yt é inversível. Portanto, x onde g t, y, ε = y t = εg t, y, ε, [ ] 1 Ψ t, yt, ε gt, Ψt, yt, ε. x 27

CAPÍTULO 2. TEORIA DA MÉDIA 2.2. FÓRMULA GENERALIZADA DA VARIAÇÃO DE PARÂMETROS O resultado anterior é uma adaptação do argumento usado em [11], página 9. Corolário 2.1 Considere o sistema ẋ = Atx + εgt, x, 2.5 onde At M n R é contínua e gt, x é uma função diferenciável nas variáveis t e x. Se ϕt é matriz principal do sistema ẋ = Atx e yt = [ϕt] 1 xt, então Demonstração: ẏ = ε[ϕt] 1 gt, ϕty. 2.6 Note que este é um caso particular da equação 2.2, em que ft, x = Atx. Tomemos o fluxo Φt, y = ϕty de 2.5, onde y é um vetor n 1. Então pelo Teorema 2.1, temos ẏ = ε[ϕt] 1 gt, ϕty. 2.7 Note que, se At = A matriz constante, então 2.7 reescreve-se como 2.2.1 Exemplos Considere o seguinte sistema ẏ = εe At gt, e At y. Agora reescreva 2.8 como segue ẋ 1 x = ẏ 1 y }{{} A ẍ + x = εfx, ẋ. 2.8 + ε No caso ε =, considere o seguinte problema de valor inicial ẋ = y ẏ = x x = r cos ψ y = r sen ψ, fx, y. 2.9 2.1 onde r. Sendo assim, os autovalores de A são λ 1 = i e λ 2 = i. O autovetor associado a λ 1 é v 1 = i, 1. Dessa forma a solução St = e λ 1t v 1 = cost + i sen t i 1 = sen t cos t cos t + i sen t Assim, uma matriz fundamental Xt é dada tomando os vetores colunas de St, isto é, sen t cos t Xt =. cos t sen t. 28

CAPÍTULO 2. TEORIA DA MÉDIA 2.2. FÓRMULA GENERALIZADA DA VARIAÇÃO DE PARÂMETROS Note que det X = 1 e sua inversa é sen t cos t X 1 t = cos t sen t. Assim, pela Proposição 1.4 temos sen t cos t e At = XtX 1 = cos t sen t 1 1 cos t sen t = sen t cos t. 2.11 Logo, a solução geral de 2.8 é xt cos t sen t = yt sen t cos t a b = a cos t + b sen t a sen t + b cos t. 2.12 E Agora, pelas condições iniciais, segue que a = x = r cos ψ e b = y = r sen ψ. Portanto, substituindo os valores de a e b em 2.12, temos xt r cos ψ = cos t r sen ψ sen t r cost + ψ = yt r cos ψ sen t r sen ψ cos t r sen t + ψ. 2.13 Assim, o fluxo de 2.1 em termos de coordenadas polares é r cost + ψ Φt, r, ψ =. 2.14 r sen t + ψ Φ cost + ψ r sen t + ψ t, r, ψ = r, ψ sen t + ψ r cost + ψ ] 1 cost + ψ sen t + ψ = [ Φ t, r, ψ r, ψ sen t + ψ r Dessa forma, aplicando o Teorema 2.1 em 2.9, temos ṙ ψ cost + ψ sen t + ψ = ε sen t + ψ cost + ψ r r cost + ψ r, 2.15 εfr cost + ψ, r sen t + ψ ou seja, { ṙ = ε sen t + ψfr cost + ψ, r sen t + ψ cost + ψ ψ = ε fr cost + ψ, r sen t + ψ r Neste caso, também poderíamos ter usado o Corolário 2.1. Exemplo 2.1 Considere a equação. 2.16, 2.17 2.18 ẍ + x = ε ẋ + x 2. 2.19 Neste caso, fx, ẋ = x 2 ẋ. Para efeito de cálculos iremos considerar r no lugar de rt bem como ψ em vez de ψt. Note que 29