15.053 Quinta-feira, 28 de fevereiro Análise de Sensibilidade 2 Mais sobre pricing out Efeitos sobre os quadros finais Apostilas: Notas de Aula ExemResumo parcial da última O preço-sombra é a alteração de unidade no valor objetivo ótimo por alteração de unidade no RHS. O preço-sombra para uma restrição 0 é chamado de custo reduzido. Os preços-sombra normalmente, mas não sempre, têm interpretações econômicas que são úteis para o gerenciamento. Os preços-sombra são válidos em um intervalo, que é fornecido pelo Relatório de Sensibilidade do Excel. Os custos reduzidos podem ser determinados pelo pricing out 1 2 Exemplo Contínuo (da aula 4) Sarah pode vender saquinhos contendo 3 bugigangas e 2 tranqueiras por $2 cada. Ele tem atualmente 6000 bugigangas e 2000 tranqueiras. Ela pode comprar os sacos com 3 bugigangas e 4 tranqueiras for $3. Formule o problema de Sarah como um PL e solucione-o. Os preços-sombra podem ser encontrados ao se examinar os quadros inicial e final! maximizar sujeito a 3 4 A Solução Básica Inicial Viável O 2º Aplique a regra da proporção mín. mín (6/3, 2/2). A solução básica viável é x 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 6, x 4 = 2 Qual a variável de entrada? x 2 A solução básica viável é x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 3, x 4 = 0, z = 2 Qual é a próxima variável de entrada? x 1 Qual é a próxima variável de saída? x 3 Qual é a variável de saída? x 4 5 6
O 3º A solução básica ótima viável é x 1 = 1, x 2 = 3, x 3 = 0, x 4 = 0, z = 3 Preço-Sombra O preço-sombra de uma restrição é o aumento no valor objetivo ótimo por aumento de unidade no coeficiente de RHS, todos os outros dados permanecendo inalterados. Qual é o preço-sombra para a restrição 1, bugigangas na mão Este é o valor de uma bugiganga extra nas mãos. 7 8 Preço-sombra vs. variável transigente maximizar sujeito a Preço-sombra vs. variável transigente maximizar sujeito a Razão 1. Permitindo que Sarah tenha 7 mil bugigangas é equivalente a dar-lhe 6 mil e deixá-la and usar 1 mil a mais do que ela tem (sem custo). Afirmação: aumentar o 6 para 7 é matematicamente equivalente a substituir x 3 0 por x 3-1. Isso é também o custo reduzido para a variável x 3. Afirmação: aumentar o 6 para 7 é matematicamente equivalente a substituir x 3 0 por x 3-1. Isso é também o custo reduzido para a variável x 3. Razão 2. Qualquer solução para o problema original pode ser transformada em uma solução com RHS 7 ao se subtrair 1 de x 3. x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 3, x 4 = 0 x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4 = 0 9 10 Preço-sombra vs. variável transigente Olhar a variável transigente no quadro final revela os preços-sombra. Resumo Rápido Conexão entre preços-sombra e custo reduzido. Se x j é a variável transigente para uma restrição, então seu custo reduzido é o negativo do preçosombra para a restrição. O custo reduzido para uma variável é seu coeficiente de custo no quadro final Qual a solução ótima se x 3 0? Qual a solução ótima se x 3-1? Qual é o preço-sombra para a restrição 1? 1/3 11 Para fazer com seu colega: qual é o preçosombra para a 2ª restrição (tranqueiras na mão)? 12
Inicial Inicial Final A linha de custo do quadro final é obtida pela adição de múltiplos das restrições originais na linha de custo original. 13 14 Como os custos reduzidos no segundo quadro abaixo foram obtidos? Peque os coeficientes de custo inicial. Então, subtraia 1/3 da restrição 1. Depois: subtraia ½ da restrição 2 desses custos. 15 16 Como os custos reduzidos no segundo quadro abaixo foram obtidos? Implicações dos Custos Reduzidos Implicação 1: aumentar o coeficiente de custo de uma variável não-básica em leva a um aumento de seu em. Então, subtraia 1/3 da restrição 1 e ½ da restrição 2 dos custos iniciais. 17 18
Qual é o efeito de se adicionar ao coeficiente de custo para x 3? Qual é o efeito de adicionar ao coeficiente de custo para x 2? FATO: Adicionar ao coeficiente de custo em um quadro inicial também adiciona ao mesmo coeficiente nos quadros subseqüentes 19 20 Subtraia vezes a linha 3 da linha 1 para voltá-la para a forma canônica. Qual o tamanho que pode ter? Implicações de Custos Reduzidos Implicação 2: Podemos computar o custo reduzido de qualquer variável se conhecermos a coluna original e se conhecermos os preços para cada restrição. 1 para o quadro manter-se ótimo. Limite nas alterações no coeficientes de custo. 21 22 Preços Preços Suponha que adicionemos outra variável, digamos x 5. Devemos produzir x 5? O que é c 5? 23 FATO: Podemos computar o custo reduzido de uma nova variável. Se o custo reduzido for positivo, ele deve ser inserido na base. 24
Mais Sobre Pricing Out Multiplicadores Simplex Todo quadro possui preços. Eles normalmente são chamados de multiplicadores simplex. Os preços para o quadro ótimo são os preços-sombra. FATO: x 2 é uma variável básica e, portanto, c 2 = 0. 25 26 Um fato útil da álgebra linear Se a coluna j no quadro inicial for uma combinação linear das outras colunas, então é a mesma combinação linear das outras colunas no quadro final. por exemplo: se A. 3 = A. 2 + 2 A. 1, então A. 3 = A. 2 + 2 A.1 Inicial Final 27 28 Faça A j = coluna j A 2 = coluna para x 2 A 0 = coluna para z Faça A j = coluna j A 2 = coluna 2 29 30
O que é 31 32 O que é 33 34 Quais são os limites superior e inferior de? 35 36
Sobre a variação do RHS Suponha que se adicione a b 1. Isso é equivalente a adicionar vezes a coluna correspondente à primeira variável transigente É possível computar o preço-sombra e também o efeito sobre b Essa transformação também fornece limites superior e inferior no intervalo para o qual o preço-sombra é válido. O que é b? Quais são os limites superior e inferior de? 37 38 Resumo da Aula Usando quadros para determinar informações Preços-sombra e multiplicadores simplex Alterações nos coeficientes de custo Os relacionamentos lineares entre colunas no quadro original são preservados no quadro final. Determinação dos limites superior e inferior de modo que o preço-sombra permaneça válido. 39