Aritmética com Maple: Capítulo 4: Objetivos: 1. Realizar operações básicas de números complexos com o Maple 2. Realizar operações com raízes usando o Maple 3. Arredondamento de números reais Partes real e imaginária de um número complexo O procedimento evalc converte um número complexo na forma, onde a e b são números reais, caso estas variáveis possam ser assumidas como número real. O mesmo procedimento pode ser usado para pegar as partes reais e imaginárias de uma expressão complexa, separando-a como segue : restart; a+b*i; evalc(re(%) );evalc(im(%%) ); (-3)^(1/4)*exp(a*I); evalc(re(%) );evalc(im(%%) );
Neste último cálculo, o Maple assume, novamente, que a é real. Lembrando : O procedimento evalc supõe que todos os nomes não-atribuídos são real. Argumentos e valores absolutos para um número complexo O valor absoluto e o argumento de um número complexo (diferente de zero), podem ser achados para separar os procedimentos abs e argument : abs(i^(5/3)); argument(i^(5/3)); Conversão para coordenadas polares é executada através de convert(, polar) : convert(i^(5/3),polar); A norma para conversão com a notação complexa é efetuada pelo evalc : evalc(%); Dado um número complexo na forma padrão,, este pode ser conjugado através de conjugate. Não se pode aplicar este procedimento para objetos que não estejam na forma padrão. Se esta for a situação, aplique primeiramente o comando evalc, que trará o número complexo para sua forma padrão. Aí então, pode-se aplicar conjugate. conjugate(evalc(i^(5/3))); Se você não aplicar evalc primeiro. conjugate pode não funcionar. conjugate (I^(5/3)); ( Em outras versões, conjugate sem evalc retornava resultados errados ). O sinal de um real ou de um número complexo O procedimento signum é padrão no Maple para testar se um número é real, positivo ou negativo : este
procedimento retorna 1 se for positivo e -1 se o número for negativo. signum(pi-sqrt(10)); signum(sqrt(10)-pi); signum(0); Geralmente se signum é aplicado em uma expressão que pode ser zero para alguns valores especiais e indeterminados, o Maple ignora esta possibilidade. Por exemplo : signum(abs(x)),signum(-abs(x)); A este valor incorreto pode ser atribuído um valor especial de uma variável mais rígida do Maple como Envisigum0 ou com um argumento extra. Para maiores detalhes sobre Envisignum0, veja o help on line sobre signum. O procedimento signum pode ser aplicado para números complexos : signum(x) é definido como se, e é 0 se. Não confunda signum com sign : este último é definido como o sinal do primeiro coeficiente de um polinômio com coeficientes reais. Em alguns casos os resultados são os mesmos, mas em muitos outros não. Para números complexos você também pode usar csgn, retornando 1, se o Maple puder determinar que não é verdade na metade direita do plano, e retornando -1, se o Maple souber que não é verdade na metade esquerda do plano. Manipulando produtos e quocientes de radicais Produtos e quocientes de radicais podem ser combinados utilizando o procedimento combine. sqrt(10-sqrt(7))*sqrt(10+sqrt(7)); combine(%); Para quocientes de expressões racionais, você pode usar o procedimento rationalize, com ele você remove os radicais do denominador. Este procedimento deve ser lido de uma biblioteca antes de ser usado.
(1+sqrt(3))/(2+sqrt(3)-sqrt(-5)); ### WARNING: persistent store makes one-argument readlib obsolete readlib(rationalize)(%); evalc(%); Este último passo também pode ser executado pelo comando expand. Radicais entrelaçados e raízes de números complexos Uma ferramenta geral para radicais entrelaçados (expressões de raízes que contém outras raízes ) é o comando radnormal, que deve ser lido da biblioteca antes de ser usado. ### WARNING: persistent store makes one-argument readlib obsolete readlib(radnormal); sqrt(sqrt(2)+i*(-sqrt(3)-sqrt(6))); radnormal(%); Em alguns casos especiais as raízes de um número complexo não podem ser simplificadas desta forma, mas podem ser simplificadas pela conversão para polar e posterior, onde o Maple pode usar artifícios trigonométricos. Por exemplo, vamos simplificar :. Primeiro vamos manipular 1+sqrt(-5); convert(%,polar); Agora pegamos a raíz quadrada e aplicamos evalc : sqrt(%); evalc(%); Ocasionalmente, torna-se necessário combinar ambos os métodos, ligando o último com o primeiro e aplicando radnormal e/ou rationalize mais tarde.
O procedimento radnormal pode ser usado com outras raízes, além de raíz quadrada. Veja um exemplo : (a*(sqrt(2)-1)^3); expand(%); root[3](%); Antes de usar radnormal, pode proceder uma ação que o obriga ser isolado. Para este propósito, nós utilizamos o comando simplify(, power) duas vezes. simplify(%,power); simplify(%,power); Agora, o comando radnormal pode ser usado para esta tarefa : radnormal(%); Substituindo expressões com radicais em um polinômio Expressões contendo radicais e números complexos, muitas vezes são originárias de soluções de equações polinomiais. Por exemplo : restart; equa:=2*x^3-3*x^2-12*x+5=0; solutions:=solve(equa,x); O Maple é totalmente confiável em solucionar uma equação polinomial semelhante a esta, mas nós checaremos uma de suas soluções como uma demonstração de manipulação mais complicada com radicais. Vamos substituir a primeira solução : subs(x=solutions[1],equa); O primeiro passo na simplificação do mesmo, como você provavelmente calcularia manualmente : as potências e multiplicações obrigatóriamente são aperfeiçoadas ; estas podem ser conseguidas com o procedimento expand. Não use com o simplify..
expand(%); A última expressão pode ser manipulada por " normal ", " evalc " ou por " simplify ". Deste três, o comando mais poderoso para simplificação natural de potências de expresssões com radicais é o procedimento simplify sem as opções. Em muitos outros casos, as outras duas são recomendadas. simplify(%); As outras duas soluções podem ser checadas da mesma forma. Convertendo pontos flutuantes de números racionais. Quando uma expressão é processada, ela contém números com pontos flutuantes, mas algoritmos numéricos não deveriam ser usados, estes números deveriam ser convertidos para números racionais primeiro pelo comando convert(,rational) ou convert(,rational, exact) 0.3333333333333333*x-0.34567; convert(%,rational,exact); Na segunda opção, exact é omitido, o Maple retorna um número racional, cuja aproximação fixa um ponto flutuante, onde a exatidão desta aproximação é controlada pelo valor de " Digits ", que inicialmente é 10. convert(%%,rational); Este procedimento pode ser aplicado em polinômios, bem como para converter pontos flutuantes dos coefiecientes. Arredondamento de números racionais para inteiros Números reais podem ser arredondados para inteiros através de alguns procedimentos : trunc, round, floor, e ceil. O procedimento round retorna o valor mais próximo de um inteiro : round(sqrt(5)),round(sqrt(8)),round(-sqrt(8));
trunc(sqrt(8)),trunc(-sqrt(8)); Os procedimentos floor e ceil fazem exatamente como os próprios nomes sugerem: floor(sqrt(8)),floor(-sqrt(8)); ceil(sqrt(8)),ceil(-sqrt(8)); Além disso, uma parte fracionária pode ser calculada pelo comando frac : frac(37/8),frac(sqrt(8)); onde.