Gislaine Mara Melega. Reformulações e Relaxação Lagrangiana para o Problema de Dimensionamento de Lotes com Várias Plantas

Gislaine Mara Melega Reformulações e Relaxação Lagrangiana para o Problema de Dimensionamento de Lotes com Várias Plantas Dissertação de Mestrado Pós-Graduação em Matemática Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas Rua Cristóvão Colombo, 2265, 15054-000 São José do Rio Preto - SP - Brasil Telefone: (17) 3221-2444 - Fax: (17) 3221-2445

Gislaine Mara Melega Reformulações e Relaxação Lagrangiana para o Problema de Dimensionamento de Lotes com Várias Plantas Orientador: Prof. Dr. Silvio Alexandre de Araujo Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas Campus de São José do Rio Preto São José do Rio Preto 26 de fevereiro de 2013

Melega, Gislaine M.. Reformulações e Relaxação Lagrangiana para o Problema de Dimensionamento de Lotes com Várias Plantas / Gislaine Mara Melega. São José dorio Preto: [s.n.], 2013. 73 f. : il. ; 30 cm. Orientador: Silvio Alexandre de Araujo. Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho, Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas. 1. Problema de Dimensionamento de Lotes. 2. Reformulação. 3. Relaxação Lagrangiana. I. Araujo, Silvio A. II. Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho, Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas III. Título. CDU - 518.734

Gislaine Mara Melega Reformulações e Relaxação Lagrangiana para o Problema de Dimensionamento de Lotes com Várias Plantas Dissertação apresentada para obtenção do título de Mestre em Matemática, área de Análise Aplicada, junto ao Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas da Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho, Campus de São José do Rio Preto. Banca Examinadora Prof. Dr. Silvio Alexandre de Araujo Professor Adjunto UNESP - São José do Rio Preto Orientador Prof a. Dra. Maria do Socorro Nogueira Rangel Professor Adjunto UNESP - São José do Rio Preto Prof. Dr. Edson Luiz França Senne Professor Titular UNESP - Guaratinguetá São José do Rio Preto, 26 de fevereiro de 2013.

Aos meus amados pais, Elizabeth e Paulo. Aos meus queridos avós. Ao meu namorado Leandro e amigos. Dedico.

Agradecimentos Em todos estes anos na faculdade várias barreiras foram vencidas. Muitas disciplinas, muitos trabalhos, com isso vieram as noites em claro em uma jornada árdua e difícil, mas tudo isso foi possível devido a grandes e fortes alicerces que tenho: familia, amigos e educadores. Por isso quero agradecer a todos vocês, pois sem vocês não seria possível todas as conquistas. Primeiramente à Deus, sempre, pela vida, oportunidades e conquistas e ao meu anjo da guarda por proteção e amparo. Ao meu professor Silvio Araujo pela orientação, dedicação e conselhos durante toda a elaboração deste trabalho e de outros que possivelmente virão. Obrigada pela compreensão e auxílio nos momentos mais difíceis. Aos meus pais, Paulo e Beth, meus avós Maria e Francisco e toda minha família pelo apoio compreensão e carinho em todos os momentos difíceis, que não foram poucos e por me incentivarem a chegar onde estou, grande parte disso devo a vocês. Com vocês tudo é mais ameno e feliz, mesmo as vezes sem saber ao certo o que estava acontecendo, eles simplesmente me apoiaram e agradeço a Deus por ter vocês em minha vida. Ao meu namorado Leandro, pela compreensão, apoio, por me consolar quando achei que não conseguiria, por acreditar em mim quando às vezes nem eu mesmo acreditava e me dar sustentação para cada vez subir mais alto, te amo ainda mais. À minha amiga/irmã Bruna, por todos os conselhos desde a graduação. Por me escutar e me ajudar, que mesmo estando longe, com nossas longas conversas ao telefone me anima, me da apoio, incentivo, faz-me sentir parte da sua vida, me faz esquecer de todas as preocupações quando saímos para conversar e distrair, obrigado. Às grandes amigas que descobri e sei que levarei pela vida toda Michelli e Jaqueline, obrigada por me aguentarem, com minhas dúvidas, frustrações e alegrias com vocês compartilhadas, amo demais vocês. E ao grande amigo Ronaldo, por suas experiências compartilhadas. Ao pessoal da salinha Michelli, Diego, Thiago, Yen, Dani, Tati, Heron, Eliel com

quem passei grande parte destes 2 anos, dando risada, desabafando, bons momentos se foram e espero que melhores virão, em especial para o Diego pela ajuda em grande parte deste trabalho. Aos amigos desde a graduação Aneliza, Carol, Dani Lima, Juliana, Jhony, Letícia, Matheus, Robson, Wanderson com quem passei momentos as vezes difíceis, alegres e sempre estiveram junto. Às todas as meninas que convivi Bruna, Isa, Dani Molina, Talita, Jaque, Angélica, Michelli e Natália, que me aguentaram nos momentos de loucura, que foram alguns podemos dizer. Pelas conversas, risadas, vizinhos acordados, foi muito bom conviver com vocês. Aos meus grande amigos de Nhandeara, Amanda, Bruna, Felipe, Gustavo, Isa, Juninho, Nádia, companheiros de vários churrascos e festas que tornaram muitos finais de semana pacatos em felizes. Ao truqueiros e amigos, Diego, Letícia, Jhony, Michelli, Robson, Wilian (Paraguai), pelas noites de distração e alegrias, que mesmo com várias preocupações, sempre tínhamos um tempo para as reuniões. Aos professores de graduaçãoepós-graduação, que embora tenha passado por várias disciplinas duras, que muitas vezes tiraram meu sono, me trouxeram valiosos ensinamentos e me ajudaram no meu crescimento intelectual e profissional. À todos os colegas, pessoas e funcionários do IBILCE que, direta ou indiretamente, contribuíram para a elaboração deste trabalho. Em especial aos funcionários do DMAP e DCCE, Jetúlio, Tiago pela ajuda e a Olga pelos almoços e cafés a todos os outros sempre muito atenciosos e competentes. A FAPESP pelo auxílio financeiro.

Se fui capaz de ver mais longe, é por que me apoiei em ombros de gigantes. Isaac Newton

Resumo Os problemas de dimensionamento de lotes consistem em determinar, em um horizonte de tempo finito, a quantidade de itens a serem produzidos para os quais há uma demanda a ser atendida e utiliza-se custos de produção, estoque e preparo. Este trabalho aborda o problema de dimensionamento de lotes em um ambiente constituído de várias plantas. Cada item pode ser produzido em qualquer planta e épossível atender a demanda de uma determinada planta com produção proveniente de uma (ou várias outras) planta(s); para tanto, incorre-se um custo de transferência. Neste trabalho são propostas reformulações para o problema de dimensionamento de lotes com várias plantas, baseadas no problema do caminho mínimo (Shortest Path - SP) e no problema de localização de facilidades (Facility Location - FL). Alguns resultados computacionais são apresentados comparando a formulação original às reformulações apresentadas. Além disso, propôs-se, para uma das reformulações, um método de busca de limitantes inferiores, no qual a relaxação Lagrangiana é aplicada às restrições de demanda e o método do subgradiente é utilizado para atualizar os multiplicadores. A fim de verificar a qualidade dos limitantes obtidos, são apresentados experimentos computacionais com dados da literatura e estes são comparados aos obtidos com o pacote comercial CPLEX. Palavras-chave: Problemas de Dimensionamento de Lotes com Várias Plantas, Reformulações, Relaxação Lagrangiana.

Abstract The lot sizing problem consists of determining, in a finite time horizon, the quantity of items to be produced for which there are demands to be met and involve costs of production, inventory and setup. This work deals with the multi-plant lot sizing problem. Each item can be produced in any plant and the demand of a particular plant can be met using the production from another (or several other) plant(s); to do so, there is a transfer cost. We present reformulations for the classical problem, based on the shortest path problem (SP) and the facility location problem (FL). Some computational results are shown comparing all formulations presented. Moreover, we propose, for one of the reformulations, a solution method to find lower bounds, where, the Lagrangian relaxation is applied to the demand constraints and the subgradient method is used to update the multipliers. Aiming to verify the quality of the lower bounds, we present computational experiments with data from literature and compare them to those obtained with commercial package CPLEX. Keywords: Multi-Plant Lot-Sizing Problem, Reformulations, Lagrangian Relaxation.

Sumário 1 Introdução p. 12 2 Revisão Bibliográfica p. 14 2.1 Problemas de Dimensionamento de Lotes... p.14 2.1.1 Única Máquina.... p.15 2.1.2 Várias Máquinas.... p.19 2.1.3 Várias Plantas.... p.21 2.2 Reformulações... p.25 3 Reformulações para o Problema com Várias Plantas p. 29 3.1 Reformulação MPFL... p.30 3.2 Reformulação MPSP... p.38 4 Heurística Lagrangiana p. 44 4.1 Limitante Inferior: Relaxação Lagrangiana................. p.45 4.2 Limitante Superior: Heurística de Factibilização... p.48 4.2.1 Passo Regressivo.... p.49 4.2.2 Passo Progressivo.... p.51 4.2.3 Passo de Transferência.... p.54 5 Estudo Computacional p. 57 5.1 GeraçãodosDados... p.57 5.2 Resultados: Reformulações... p.59

5.3 Resultados: Relaxação Lagrangiana... p.65 6 Considerações Finais p. 68 Referências Bibliográficas p. 70

12 Capítulo 1 Introdução Fabricar é transformar matérias-primas em produtos acabados, por uma variedade de processos. A idéia de fabricar, serrar, afiar e fazer furos teve início a milhares de anos e não se pode pensar nos processos de fabricação da indústria mecânica moderna sem essas operações. No entanto, nos dias de hoje, as empresas presenciam múltiplos desafios do mundo globalizado como a alta competitividade, clientes mais exigentes, grandes saltos tecnológicos, dentre outros. Devido a isto, as indústrias tem sido estimuladas a tornar seus processos de produção mais eficientes, com o intuito de se produzir o máximo possível, levando em consideração a capacidade da indústria, de modo a se ter o mínimo de perdas. Para tanto, faz-se necessário, que os modelos de otimização para o controle e planejamento de sistemas produtivos cresçam em complexidade, motivando as pesquisas acadêmicas nesta área. Os processos de planejamento e gerenciamento dentro de uma indústria, que consistem em converter a matéria-prima em produto final, devem ser bem gerenciados, de modo a serem capazes de atender uma demanda pré-estabelecida ao transformar a matéria prima em produto final, com o menor custo possível. O planejamento que visa decidir a melhor forma para a utilização dos recursos disponíveis por uma empresa, a fim de que seus objetivos sejam atingidos está dividido em 3 níveis de planejamento que são: estratégico, tático e operacional. Este estudo enfoca o problema de dimensionamento de lotes (PDL), que consiste basicamente em determinar em um estágio de tempo finito a quantidade de itens a serem produzidos, para os quais há uma demanda a ser atendida. O objetivo é geralmente de origem econômica e envolve a minimização de custos de produção, custos de estoque e custos de preparação de máquinas. Tal tipo de problema enquadra-se no planejamento tático/operacional da produção.

1 Introdução 13 Mais especificamente, o problema abordado neste trabalho, envolve o planejamento da produção de múltiplos itens em várias plantas distintas com capacidade limitada para cada planta. Os itens podem ser produzidos em qualquer uma das plantas que possuem demanda própria, podendo haver transferência entre plantas, a fim de atender suas demandas. Cada planta tem capacidade limitada e, para produzir determinado item em uma determinada planta, incorre-se um tempo de preparação da planta. A intenção deste trabalho é estudar e aplicar métodos a fim de se obter bons limitantes inferiores para o problema de dimensionamento de lotes com várias plantas. A princípio foram propostas reformulações fortes para o problema original e estas são analisadas. Em seguida, são gerados limitantes inferiores para uma destas formulações através da relaxação Lagrangiana, a qual é aplicada às restrições de demanda, utilizando-se desta forma, a decomposição por períodos e plantas, ideia esta, já utilizada e com sucesso na literatura para problemas similares. Para a atualização dos multiplicadores, utiliza-se o método do subgradiente, no qual faz-se o uso de um limitante superior para o problema e, para tanto, foi desenvolvida uma heurística de factibilização. Este trabalho está dividido da seguinte maneira. No Capítulo 2, é feita uma revisão sobre os problemas de dimensionamento de lotes e algumas das principais formulações encontradas na literatura são apresentadas. No Capítulo 3, são propostas reformulações fortes para o problema de dimensionamento de lotes com várias plantas. Propõem-se no Capítulo 4 um método de busca de limitantes inferiores, no qual utiliza-se a relaxação Lagrangiana aplicada as restrições de demanda do problema. No Capítulo 5 são apresentados todos os experimentos computacionais provenientes deste trabalho e finalmente as conclusões e ideias para trabalhos futuros são apresentados no Capítulo 6.

14 Capítulo 2 Revisão Bibliográfica Este capítulo será destinado à uma revisão geral sobre os problemas de dimensionamento de lotes, para os quais serão apresentados algumas formulações existentes na literatura. Será feito também uma revisão sobre os trabalhos que empregam a elaboração de reformulações fortes para os problemas de dimensionamento de lotes, através de redefinições de variáveis ou inclusões de inequações válidas. 2.1 Problemas de Dimensionamento de Lotes Conforme definido anteriormente, os problemas de dimensionamento de lotes (PDL) consistem basicamente em determinar em um horizonte de tempo finito a quantidade de itens a serem produzidos, para os quais há uma demanda a ser atendida utilizando uma ou várias máquinas. O objetivo é geralmente de origem econômica e envolve custos de produção, custos de estoque e custos de preparação de máquinas. Na literatura, muitos trabalhos abordam o problema, dentre eles destacamos as revisões de Karimi, Ghomi e Wilson (2003) e Brahimi et al. (2006). O problema de dimensionamento de lotes pode ser dividido em um sistema de produção monoestágio e multiestágio (BAHL; RITZMAN; GUPTA, 1987), que se refere à dependência de outros itens na produção de um item, ou não. Além disso, diversas características diferenciam os problemas de dimensionamento de lotes tais como: número de itens, número de plantas, restrição de capacidade, custo de preparo dentre outros. Algumas dessas características serão abordadas nos modelos a seguir e uma descrição mais completa pode ser encontrada em Pochet e Wolsey (2006). Os primeiros estudos de problemas de dimensionamento de lotes ocorreram com o

2.1 Problemas de Dimensionamento de Lotes 15 Economic Order Quantity (EOQ) em 1913 (HARRIS, 1990), que consiste num modelo sem restrição de capacidade e com um único item, cuja a demanda é estacionária, ou seja, ocorre continuamente com uma razão constante. Posteriormente sugiram formulações que se ajustavam cada vez mais à realidade. As formulações matemáticas que serão apresentados a seguir possuem o horizonte de planejamento finito e divididos em períodos. A demanda de cada item em cada período é dinâmica (WAGNER; WHITIN, 1958), isto é, varia ao longo do horizonte e os outros parâmetros utilizados são supostos conhecidos. 2.1.1 Única Máquina A formulação apresentada a seguir consiste na determinação da produção dos lotes de apenas um item para vários períodos de tempo em uma única máquina e são necessários os seguintes dados: T = {1,...,R} denota o conjunto de períodos; d t demanda no período t; sc t custo de preparo no período t; vc t custo de produção no período t; hc t custo de estoque no período t; Variáveis de decisão: X t quantidade produzida no período t; H t quantidade estocada no período t; Z t variável binária, indicando a produção ou não durante o período t; Para as formulações apresentadas a seguir considere: t T. Formulação do Problema: R ( min t=1 sc t Z t + vc t X t + hc t H t ) (2.1)

2.1 Problemas de Dimensionamento de Lotes 16 Sujeito a: X t + H t 1 H t = d t t (2.2) R X t d τ Z t t (2.3) τ=t Z t {0, 1} t (2.4) X t 0, H t 0 t (2.5) Afunção objetivo (2.1) minimiza a soma dos custos de preparo, produção e estoque total. As restrições (2.2) garantem que a demanda em cada período t é satisfeita pela produção naquele período, acrescida com o estoque existente no período anterior, exceto pela quantidade que irá permanecer em estoque naquele período e são conhecidas como restrição de balanceamento de estoque. Já as restrições (2.3) são as restrições de preparo, isto é, permite-se produção no período t somente quando há preparo neste período. Por fim, as restrições (2.4) e (2.5) são de domínio das variáveis. Considera-se que o estoque inicial e final são nulos (H 0 =0eH R = 0). Para este problema tem-se o algoritmo ótimo de Wagner e Whitin (1958) que fundamentase na propriedade de otimalidade em que só se produz quando o nível de estoque for nulo (H t 1 X t = 0), ou seja, a quantidade produzida em um determinado período t deve ser exatamente igual à soma de um conjunto de futuras demandas, pois se em um determinado período t tem-se a produção de apenas uma parte da demanda para um período posterior τ, então tem-se H τ 1 0 e consequentemente deve-se haver a produção dos itens que ainda faltam para satisfazer a demanda, com isso tem-se X τ 0, logo não é possível satisfazer a propriedade de otimalidade se não há aprodução exatamente de uma soma de demandas. Tal método resolve o problema (2.1) - (2.5) otimamente em tempo polinomial. Atualmente existem implementações mais eficientes do método de Wagner e Whitin como, por exemplo, em Evans (1985). Ao considerar a capacidade de produção em uma máquina tem-se como principal objetivo adequar-se mais aos problemas reais, pois em alguns casos não épossível admitir capacidade ilimitada para produzir a quantia desejada. Assim, faz-se necessário a inclusão de uma restrição para capacidade de cada máquina, estabelecendo um limitante no qual leva-se em consideração o tempo gasto para a produção e preparação de uma máquina para inicializar o processo produtivo. São necessários os seguintes dados: st t tempo de preparo no período t;

2.1 Problemas de Dimensionamento de Lotes 17 vt t tempo de produção no período t; Cap t capacidade da planta (em unidades de tempo) no período t; E obtém-se a seguinte restrição de capacidade para o problema (2.1)-(2.5): st t Z t + vt t X t Cap t t (2.6) Uma das extensões para o modelo acima é considerar a produção de vários itens dentro do horizonte de planejamento para uma única máquina, cuja formulação, apresentada a seguir, foi proposta por Trigeiro, Thomas e McClain (1989) e denotada por CLSP (Capacitated Lot-Sizing Problem). Isto faz-se com a inclusão de um novo índice nas variáveis de decisãoeparâmetros e também amplia-se o conjunto de restrições para cada item. Considere para as formulações apresentadas abaixo: i I, comi = {1,...,N} o conjunto de itens, ou produtos. Formulação do Problema CLSP: N R ( min i=1 t=1 sc it Z it + vc it X it + hc it H it ) (2.7) Sujeito a: X it + H it 1 H it = d it i, t (2.8) N ( ) st it Z it + vt it X it Cap t t (2.9) i=1 X it R d iτ Z it i, t (2.10) τ=t Z it {0, 1} i, t (2.11) X it 0, H it 0 i, t (2.12) Na formulação acima, segue as mesmas características do problema (2.1) - (2.5) com a inclusão da restrição (2.6) que é devido a limitação de capacidade, onde se leva em consideração o tempo despendido para a produção dos itens e preparação das máquinas. Trigeiro, Thomas e McClain (1989) propõem uma heurística para o CLSP que consiste em relaxar as restrições de capacidade (2.9) utilizando a técnica de relaxação Lagrangiana, obtendo vários subproblemas e estes por sua vez podem ser decompostos em problemas com um único item sem restrição de capacidade (problema (2.1) - (2.5)) sendo resolvidos pelo método de Wagner e Whitin (1958), o que gera um limitante inferior para o problema

2.1 Problemas de Dimensionamento de Lotes 18 original. Em geral, a solução do problema relaxado é infactível para o problema original, pois viola as restrições de capacidade do problema. Na tentativa de obter uma solução factível os autores propõem uma heurística de factibilização constituída de dois processos regressivos e dois processos progressivos no tempo, baseada na transferência de produção entre os períodos a fim de eliminar a violação de capacidade, ha a atualização dos multiplicadores de Lagrange é feita utilizando-se o método de otimização do subgradiente. Por fim, ao encontrarmos uma solução factível nas etapas anteriores têm-se mais uma etapa, denominada Arranjo Final que consiste basicamente na tentativa de eliminar estoques desnecessários. Campbell e Mabert (1991) desenvolveram uma heurística Lagrangiana baseada em Trigeiro, Thomas e McClain (1989), para o problema de dimensionamento de lotes com capacidade e com ciclos de programação em que os tempos de produção dos itens são constantes. Para resolver os problemas relaxados todas as combinações dos períodos de produção e ciclos são avaliados e a solução de menor custo é escolhida. Araujo e Arenales (2000) apresentam uma nova proposta de Arranjo Final para o problema proposto por Trigeiro, Thomas e McClain (1989), que ao invés de explorar a propriedade de otimalidade (H it 1 X it = 0), busca-se satisfazer a condição das folgas complementares, a qual é uma propriedade de otimalidade para o problema com restrição de capacidade, que é o problema gerado após a aplicação da heurística. Chen e Thizy (1990) analisam e comparam vários tipos de relaxação, aplicando-as ao problema de dimensionamento de lotes sem tempo de preparo (basta na formulação (2.7) N - (2.12), desconsiderar na restrição (2.9) o termo st it Z it ). Os autores também utilizam a relaxação Lagrangiana aplicada às restrições de capacidade, em que comparam dois algoritmos: otimização do subgradiente e geração de colunas e, apontaram a vantagem de se utilizar a geração de colunas. Para este mesmo problema Thizy e Wassenhove (1985), propõem um método de solução baseado na relaxação Lagrangiana também aplicada às restrições de capacidade, que consiste em, a partir da solução obtida com os subproblemas, as variáveis de preparo são fixadas e, através de uma redefinição nas variáveis do problema original, os autores associam o problema original à um problema de transporte, em que este gera uma solução factível para o problema original (limitante superior). Chen e Chu (2003) desenvolveram um algoritmo de solução para o problema de dimensionamento de lotes com capacidade e vários períodos. Os autores relaxam as variáveis i=1

2.1 Problemas de Dimensionamento de Lotes 19 binárias de preparo, e o modelo linear restante é resolvido por um algoritmo iterativo de programação linear, não obtendo a solução exata. A viabilidade para o problema é obtida arredondando para cima todas as variáveis de preparo cujo o valor énão nulo. Para atualizar os multiplicadores de Lagrange, usa-se um método de subgradiente substituto, que é um método de subgradiente adaptado para o fato de que o problema relaxado é resolvido apenas aproximadamente. E por fim, a solução é melhorada através de um procedimento de busca local. Degraeve e Jans (2007) apresentam uma reformulação para o CLSP proposto por Trigeiro, Thomas e McClain (1989) e mostram que a decomposição proposta por Manne (1958) tem uma deficiência estrutural e não explicita todas as possíveis programações de máquinas, concluindo que, na verdade, fornece apenas um limite inferior para o problema. Os autores descrevem também um algoritmo Branch-and-Price e utilizam uma combinação dos métodos simplex e atualização do subgradiente para acelerar o processo. Os autores observam bons resultados para o Branch-and-Price aplicados ao CLSP, sendo superior a outros procedimentos. 2.1.2 Várias Máquinas Até o momento consideramos formulações nas quais apenas uma única máquina está disponível para a produção dos itens no horizonte de planejamento. Para construir formulações que utilizam-se de várias máquinas insere-se um novo índice nas variáveisdedecisão, parâmetros e amplia-se o conjunto de restrições para cada máquina. Os problemas com várias máquinas podem ser geralmente classificados em duas categorias: máquinas paralelas idênticas e máquinas paralelas não idênticas, no último os custos de produção e preparo podem ser distintos. Assim, em cada um dos períodos do horizonte de planejamento, várias máquinas estão disponíveis para a produção dos itens e estes podem ser produzidos em qualquer uma das máquinas, a fim de atender a demanda do item em cada um dos respectivos períodos. Para as formulações a seguir, segue que: j P, onde P = {1,...,M} é o conjunto de todas as máquinas e são necessários os seguintes dados: d it demanda do item i durante o período t; sc ijt custo de preparo do item i na máquina j durante o período t; vc ijt custo de produção do item i na máquina j durante o período t; hc ijt custo de estoque do item i na máquina j durante o período t;

2.1 Problemas de Dimensionamento de Lotes 20 st ijt tempo de preparo do item i na máquina j durante o período t; vt ijt tempo de produção do item i na máquina j durante o período t; Cap jt capacidade na máquina j no período t; Variáveis de decisão: X ijt quantidade produzida do item i na máquina j durante o período t; H ijt quantidade estocada do item i na máquina j durante o período t; Z ijt o período t; variável binária, indicando a produção ou não do item i na máquina j durante Formulação do Problema CLSP com várias máquinas: N M R ( min i=1 j=1 t=1 sc ijt Z ijt + vc ijt X ijt ) + N R hc it H it (2.13) i=1 t=1 Sujeito a: M X ijt + H it 1 H it = d it i, t (2.14) j=1 N ( ) st ijt Z ijt + vt ijt X ijt Cap jt j, t (2.15) i=1 X ijt R d iτ Z ijt i, j, t (2.16) τ=t Z ijt {0, 1} i, j, t (2.17) X ijt 0, H it 0 i, j, t (2.18) Afunção objetivo (2.13) minimiza a soma dos custos de preparo, produção e estoque. As restrições (2.14) garantem o balanceamento de estoque. As restrições (2.15) representam a limitação de capacidade de uma determinada máquina e período considerando o tempo despendido para a produção dos itens e preparação das máquinas. As restrições (2.16) asseguram que o tempo e o custo de preparo são considerados quando existe produção. Por fim, as restrições (2.17) e (2.18) definem o domínio das variáveis. Considerando a formulação CLSP com várias máquinas e um único item, Toledo (1998) estendeu a propriedade de Wagner e Whitin, na qual caracteriza os pontos extremos do conjunto de soluções e permite generalizar o algoritmo proposto por Evans (1985).

2.1 Problemas de Dimensionamento de Lotes 21 Sabbag (1993) propôs uma heurística para resolver o problema de dimensionamento de lotes com restrição de capacidade, tempo de preparação para máquinas não idênticas e um único item. A heurística parte de uma solução inicial infactível e busca a factibilidade através da transferência de quantidade de produção entre os períodos e entre as máquinas. A seguir é aplicado um passo de melhoria visando obter uma solução de melhor custo. Ozdamar e Barbarosoglu (1999) propõem um algoritmo híbrido, combinando relaxação Lagrangiana e simulated annealing para resolver um sistema de produção em máquinas paralelas e vários períodos. Os subproblemas resultantes são resolvidos aproximadamente e a factibilidade da capacidade é alcançada através de um procedimento especializado, baseado em simulated annealing. Em Ozdamar e Barbarosoglu (2000) aplica-se um procedimento semelhante para resolver um problema com múltiplos estágios e dois sistemas de relaxação são testados. O primeiro aplica a relaxação apenas às restrições de capacidade e o segundo às de balanceamento de estoque. Toledo e Armentano (2006) consideram a formulação CLSP com várias máquinas, em que relaxam as restrições de capacidade (2.15) e propõem uma heurística Lagrangiana para a resolução do problema. A solução inicial é obtida por meio da minimização do problema Lagrangiano, normalmente infactível, então realiza-se deslocamento da produção que excede a capacidade entre períodos e máquinas na tentativa de factibilizá-la. Jans (2009) apresenta um modelo para o CLSP com máquinas paralelas idênticas. Para o problema os autores propõem novas restrições explorando a sua reformulação baseada no problema do caminho mínimo (EPPEN; MARTIN, 1987), a fim de quebrar a simetria existente no problema. Os testes computacionais comprovam uma melhora no tempo de soluçãoeaimportância deste tipo de modelagem para a resolução destes tipos de problemas. 2.1.3 Várias Plantas Na formulação CLSP com várias máquinas são inexistentes os custos de transferência entre as máquinas e o estoque é realizado em um único ambiente, isto é, todos os itens armazenados encontram-se em um mesmo local, diferindo-se apenas pelo custo de armazenamento. Com estas características o problema com várias máquinas constitui um caso particular do problema com várias plantas ou fábricas e estes por sua vez podem ser fragmentado em: plantas independentes e plantas que apresentam dependência entre si. No contexto dos problemas com várias plantas integradas e que produzem diversos

2.1 Problemas de Dimensionamento de Lotes 22 itens, cada planta tem uma demanda própria e existe um custo de transferência entre as plantas caso seja necessário atender a demanda de outra planta. O principal objetivo deste problema é estabelecer a quantidade a ser produzida de cada item em cada uma das plantas em um determinado período. A formulação original apresentada a seguir éa mesma que em Sambasivan e Schmidt (2002), com o acréscimo das variáveis de estoque inicial e será denotada por MPCL (Multi-Plant Capacitated Lot-Sizing Problem). Dados: P = {1,...,M} denota o conjunto de plantas (observe que utilizamos os mesmos parâmetros para denotar o conjunto de máquinas); fc il custo unitário de estoque inicial para o item i na planta l; d ijt demanda do item i na planta j durante o período t; r jlt custo unitário de transferência de uma unidade de qualquer item da planta j para a planta l durante o período t; Variáveis de decisão: X ijt quantidade produzida do item i na planta j durante o período t; H ijt quantidade estocada do item i na planta j durante o período t; H il0 quantidade de estoque inicial para o item i na planta l; Z ijt variável binária, indicando a produção ou não do item i na planta j durante o período t; W ijlt quantidade do item i a ser transferida da planta j para a planta l (l j) durante o período t; Formulação do Problema MPCL: N M N M R M min fc il H il0 + sc ijt Z ijt + vc ijt X ijt + hc ijt H ijt + r jlt W ijlt i=1 l=1 i=1 j=1 t=1 l=1 l =j (2.19)

2.1 Problemas de Dimensionamento de Lotes 23 Sujeito a: X ijt + H ijt 1 H ijt + i=1 M W isjt s=1 s =j M W ijlt = d ijt i, j, t (2.20) l=1 l =j N ( ) st ijt Z ijt + vt ijt X ijt Cap jt j, t (2.21) X ijt ( M l=1 ) R d ilτ Z ijt i, j, t (2.22) τ=t Z ijt {0, 1} i, j, t (2.23) X ijt 0, H ijt 0, H ij0 0, H ijr =0, W ijlt 0, i, j, l j, t (2.24) Afunção objetivo (2.19) minimiza a soma dos custos de preparo, produção, estoque e estoque inicial como também os custos de transferência dos itens entre as plantas. As restrições (2.20) garantem o balanceamento de estoque do item i na planta j durante o período t, ou seja, a demanda do item i na planta j durante o período t (d ijt )é atendida pela produção deste item na planta j no período t (X ijt ), adicionado à quantidade do item armazenada no período anterior na planta j (H ijt 1 ), a quantidade a ser transferida de M outras plantas para planta j ( W isjt ), subtraindo a quantidade do item i na planta j s P s =j M no período t que é transferida para as outras plantas ( W ijlt )eaquantidade deste item que é armazenada em estoque no período t na planta j (H ijt ). No modelo (2.19) - (2.24) os autores não utilizam nenhum procedimento para evitar possíveis problemas infactíveis. A fim de lidar com este tipo de problema, em nossos modelos será permitido estoque inicial, em que este, está disponível no primeiro período a um custo alto (fc ij )enão é necessário preparo para o estoque inicial, o estoque inicial também pode ser visto como a compra de itens de terceiros no intuito de satisfazer a demanda de uma planta. Outras abordagens tem sido utilizadas para tratar da infactibilidade dos problemas como: a permissão de atrasos no atendimento à demanda, a permissão de horas extras (VANDERBECK, 1988). Em seguida, temos as restrições de capacidade (2.21) garantindo que a capacidade disponível na planta j no período t não é violada. As restrições de preparo (2.22) asseguram que o tempo e o custo de preparo são considerados apenas quando existe produção, isto é, X ijt > 0 e, por fim, (2.23) e (2.24) são as restrições de domínio das variáveis. Na formulação MPCL, ao considerar todos os valores r jlt iguais a zero eapresença de l P l =j

2.1 Problemas de Dimensionamento de Lotes 24 um único armazém de estoque, o modelo matemático pode ser tratado como um problema de programação em máquinas paralelas, onde cada planta representa uma máquina. Sambasivan e Schmidt (2002) mostram que, quando se tem o ambiente com várias plantas a solução ótima do problema considerando o planejamento da produção integrando as diversas plantas é equivalente ou melhor à uma solução obtida da soma de cada subproblema com uma única planta. Na literatura não existem muitos trabalhos que consideram o ambiente de produção composto de várias plantas. Um dos primeiros estudos que consideram este ambiente de produção é apresentado por Bhatnagar, Chandra e Goyal (1993). Os autores estudaram o planejamento da produção entre várias plantas. O objetivo era coordenar os planos de produção e estoque em todas as plantas de modo que o desempenho global e a posição competitiva da empresa fosse melhorada. Este problema procura coordenar diferentes funções como o planejamento da produção, estoque, distribuição dentre outros. Para a eficácia, foram levados em consideração os efeitos da incerteza da demanda final, dos processos de produção e as restrições de capacidade em cada planta, sendo considerado também a integração entre as áreas de coordenação geral e a coordenação em cada planta. Em se tratando destes tipos de problemas, que são de difícil solução, heurísticas são necessárias a fim de se obter bons limitantes para o problema. Sambasivan e Schmidt (2002) propuseram uma abordagem heurística para resolver o problema (MPCL) com plantas, podendo suprir a demanda uma da outra por transferência da produção e todas as plantas podem produzir os mesmos itens. Utilizam o problema sem restrição de capacidade para gerar as soluções iniciais. A fim de remover a violação de capacidade os autores empregam uma rotina de suavização, que consiste de dois módulos: mudança e divisão de lotes. Para testar a eficiência do método proposto, compararam à solução da relaxação linear. Matta e Miller (2004) consideram a decisão de dimensionamento de lotes integrada às decisões de transporte de itens entre as plantas de uma mesma indústria nas quais uma planta produz produtos considerados intermediários e, outra processa estes produtos obtendo produtos acabados. Não são considerados transportes para os clientes. O principal objetivo dos autores é compreender as relações gerais existentes nas decisões de mudança de capacidade, alteração dos custos, as escolhas de transporte dentre outros. Os autores apresentam uma formulação do modelo de programação inteira mista e desenvolvem desigualdades válidas empregadas a fim de fortalecer a relaxação linear do modelo. Sambasivan e Yahya (2005) apresentam uma abordagem heurística baseada na re-

2.2 Reformulações 25 laxação Lagrangiana aplicada às restrições de capacidade a fim de resolver um sistema integrado com várias plantas, vários itens e transferências entre plantas utilizando o modelo apresentado em Sambasivan e Schmidt (2002). Tal heurística foi desenvolvida para resolver um problema real em uma empresa de fabricação de produtos de aço laminado com 4 unidades localizadas em diferentes partes dos Estados Unidos da América. Os autores concluíram que, de forma geral, a heurística de aproximação Lagrangiana obtém boas soluções para este problema e em testes realizados, o número de itens éofatorque causa maior interferência no gap. Em um trabalho recente, Nascimento, Resende e Toledo (2010) utilizaram o modelo proposto em Sambasivan e Schmidt (2002), onde cada planta tem uma demanda própria podendo produzir os mesmos itens e é permitido a transferência de lotes entre as plantas. Além disso, para cada planta há umarmazém de estoque com custos variados. Os autores propõem uma heurística baseada na meta-heurística GRASP (Greedy Randomized Adaptive Search Procedure). Os resultados foram analisados com os obtidos por Sambasivan e Yahya (2005) quanto ao caso de várias plantas obtendo resultados melhores. No caso de problemas em máquinas paralelas, a heurística proposta mostrou-se competitiva. Guimarães, Klabjan e Almada-Lobo (2012) apresentam um modelo de programação inteira mista para um problema com várias plantas em uma indústria de bebidas. Os autores abordam o planejamento ao longo prazo das operações que definem o escalonamento e o dimensionamento da produção, cujo objetivo é satisfazer a procura estimada minimizando os custos de produção, horas extras e transferência. Os resultados obtidos mostram a interdependência entre o planejamento da produção e a distribuição. 2.2 Reformulações Uma nova tendência na resolução dos problemas de dimensionamento de lotes éaredefinição das variáveis de decisão do problema original e a inclusão de inequações válidas. Tais acontecimentos ocorreram principalmente devido a qualidade ruim dos limites inferiores obtidos com a relaxação linear da formulação original. O objetivo de reformulações para o problema é apertar os limites inferiores, a fim de aumentar a eficiência dos métodos de solução. Duas das principais reformulações estudadas na literatura baseiam-se no problema do caminho mínimo (Shortest Path - SP ) e no problema de localização de facilidades (Facility Location - FL) apresentadas inicialmente por Eppen e Martin (1987) e Krarup e Bilde (1977), respectivamente. No capítulo seguinte, propõem-se algumas refor-

2.2 Reformulações 26 mulações para o problema com várias plantas. A seguir, faz-se uma revisão bibliográfica de alguns trabalhos que utilizam reformulações para o problema de dimensionamento de lotes. Chen e Thizy (1990), desenvolveram procedimentos heurísticos para resolver o problema de dimensionamento de lotes com vários item sem tempo de preparo. Os autores mostram que o problema é NP-difícil e fazem algumas análises dos limitantes inferiores obtidos por reformulações do problema e pela decomposição por item e período para o problema. Em Diaby et al. (1992), os autores formularam o problema de dimensionamento de lotes monoestágio com restrição de capacidade (CLSP) como um problema de programação inteira mista. Desenvolveram um método Branch-and-Bound, em que os limitantes inferiores são gerados pela relaxação Lagrangiana aplicada às restrições de capacidade e demanda com a opção de atualização ou não dos multiplicadores pelo método do subgradiente. Para obter um limite superior para o problema, baseiam-se no trabalho de Thizy e Wassenhove (1985), que consiste em a partir de uma solução da Relaxação Lagrangiana tem-se as variáveis de preparo fixadas, e através de uma mudança de variáveis formula-se o problema segundo um problema de transporte e obtém-se valores ótimos para as variáveis de produção que juntamente com as decisões de preparo, constituem uma solução factível para o problema. Stadtler (1996), para o problema de dimensionamento de lotes multiestágio com vários itens e com restrição de capacidade, comparou o desempenho de várias reformulações baseadas no problema de localização de facilidades (Facility Location - FL) e problema do caminho mínimo (Shortest Path - SP ). Encontrou gap de integralidade de 7% em média para casos de problemas de pequeno porte e observou que para as restrições de capacidade apertada obtém-se altos valores para o gap. Em Alfieri, Brandimarte e D Orazio (2002), os autores desenvolveram procedimentos heurísticos baseados na relaxação linear para resolver o CLSP como também utilizaram estes procedimentos em formulações mais fortes, isto é, formulações que produzem limitantes inferiores melhores como as SP e FL. A partir da solução obtida da relaxação linear fixa-se as variáveis fracionárias dentro de um certo limite e inicia-se o método (Branchand-Bound) com as variáveis restantes. Nos experimentos computacionais constataram que as formulações SP e FL produzem resultados cerca de 60% melhores quando comparados ao problema original. E a formulação SP por sua vez, obtém limitantes de maneira mais rápida quando comparado a FL.

2.2 Reformulações 27 Suerie e Stadtler (2003) propõem um modelo de programação inteira mista juntamente com uma heurística de decomposição para o CLSP. A abordagem de solução é baseada em formulações estendidas do problema como FL e também na utilização de inequações válidas a fim de obterem formulações mais apertadas. Eles empregaram o métodos Branch-and-Cut eocut-and-branch com um determinado tempo limite para encontrar uma solução ótima ou uma primeira solução factível. Os resultados mostram bons resultados para o novo modelo de programação inteira mista. Jans e Degraeve (2004) utilizaram a estratégia de redefinição de variáveis proposta por Eppen e Martin (1987) para a reformulação do problema CLSP como uma extensão do problema do caminho mínimo. Para o problema reformulado, aplicam a técnica de relaxação Lagrangiana nas restrições de fluxo, então encontram limitantes inferiores resolvendo os subproblemas resultantes da decomposição por períodos em que a relaxação linear equivale ao problema da mochila de múltipla escolha linear (linear multiple choice knapsack problem (LMCKP)), sendo estes limitantes melhores quando comparados à decomposição por item da formulação original. A fim de resolver o subproblema resultante, desenvolveram um algoritmo Branch-and-Bound em que em cada nó resolve-se um problema do tipo LMCKP. Brahimi et al. (2006) apresentaram uma revisão dos trabalhos que utilizam o problema de dimensionamento de lotes com um único item, reformulações do problema clássico como SP, FL e modelagens sem o uso das variáveis de estoque, em que estas são substituídas e consideradas de maneira agregada no custo de produção. Apresentam também algumas extensões para o problema com um único item e com capacidade, algumas inequações válidas e alguns métodos de soluções exatos e aproximados. Denizel e Süral (2006) descrevem e comparam reformulações fortes como a SP, FL para o CLSP com tempo de preparo e desenvolvem heurísticas baseada na relaxação linear de suas reformulações. A partir de seus resultados computacionais observam que os valores da função objetivo das relaxações lineares nas duas reformulações são equivalentes, e ainda, 30% maiores quando comparados a relaxação linear do problema original sendo a primeira resolvida mais rapidamente. Denizel et al. (2008) demonstraram a equivalência entre as relaxações lineares das reformulações SP, FL para o CLSP com tempo de preparo. Como foi apontado por alguns autores como Alfieri, Brandimarte e D Orazio (2002) e Denizel e Süral (2006) a formulação SP se mostra mais rápida computacionalmente e possui O(RN), por outro lado a formulação FL apresenta uma matriz de restrições menos densa envolvendo menos coeficientes

2.2 Reformulações 28 e possui, O(R 2 N), onde N éonúmero de itens e R é o numero de períodos. Essas são algumas características que devem ser exploradas para se obter soluções para o problema, uma vez que os limites fornecidos pela relaxação linear em ambas as reformulações são equivalentes. Süral, Denizel e Wassenhove (2009) consideraram o problema de dimensionamento de lotes com tempo de preparo cuja função objetivo minimiza apenas o custo de estoque. Exploraram a relaxação Lagrangiana aplicada às restrições de demanda para a reformulação FL, obtendo assim a decomposição por períodos e desenvolveram uma heurística para gerar limites superiores acoplado na subrotina do algoritmo do subgradiente. Acrescentaram ainda uma heurística baseada no método Branch-and-Bound a fim de melhorar uma dada solução inicial. Tais procedimentos produzem soluções aproximadamente 21% melhores quando comparadas aos resultados na literatura. Lang e Domschke (2010) consideram o problema de dimensionamento de lotes monoestágio sem restrição de capacidade, com substituição de item, isto é, os produtos podem ser substituídos por outros produtos a fim de que se atenda a demanda e estoque inicial. Desenvolveram uma formulação forte para o problema baseado na reformulação FL, e também foram introduzidas inequações válidas no problema. Os resultados computacionais mostram que as reformulações apresentam resultados melhores que a formulação original. Wu et al. (2011) propõem dois novos modelos de programação inteira mista para problemas de dimensionamento de lotes multiestágio, com restrição de capacidade e com backlogging, baseados nas reformulações SP e FL mostrando que ambas as reformulações fortes produzem os mesmos limites inferiores. A partir daí propuseram um método de solução eficaz, a fim de atingir soluções de alta qualidade em tempo computacional razoável. Os resultados computacionais mostram que método de solução proposto é superior a outras abordagens encontradas na literatura. Silva e Toledo (2012) propõem um modelo para o problema MPCL baseado no problema de localização de facilidades (FL) e compara este modelo com o proposto por Sambasivan e Schmidt (2002). Com os resultados dos testes computacionais os autores concluem que embora o modelo proposto tenha um número de restrições e variáveis maior do que o modelo original, sua relaxação linear e os tempos computacionais apresentaram melhores resultados.

29 Capítulo 3 Reformulações para o Problema com Várias Plantas Neste capítulo serão apresentadas reformulações para o problema MPCL (problema (2.19) - (2.24)). Tais reformulações utilizam as redefinições de variáveis e abordagens propostas com sucesso na literatura, usadas para reformular outros problemas de dimensionamento de lotes. Dentre as principais reformulações estudadas na literatura e que serão adaptadas no presente trabalho para o problema em questão tem-se: reformulação como um problema de localização de facilidades (Multi-Plant Facility Location - MPFL); reformulação com um problema de localização de facilidades com a inclusão das restrições de precedência (Multi-Plant Facility Location with Precedence - MPFLp); reformulação como um problema do caminho mínimo (Multi-Plant Shortest Path - MPSP); reformulação como um problema do caminho mínimo transformado (Multi-Plant Shortest Path Transformed - MPSPt). Dentre as 4 reformulações propostas, para 3 delas (MPFLp, MPSP, MPSPt) não encontramos nada na literatura considerando o problema de dimensionamento de lotes com várias plantas. Cabe ressaltar a importância de se estudar e obter reformulações fortes para estes problemas, devido a sua grande complexidade computacional, pois ao apertar os limitantes inferiores tem-se uma redução das árvores de solução associados aos métodos de enumeração implícita e consequentemente uma diminuição no tempo computacional. Para as reformulações que seguem considere: i I, j, s, l P e t, τ T,emque I, P, T já foram definidos no Capítulo 2 (seção 2.1).

3.1 Reformulação MPFL 30 3.1 Reformulação MPFL O problema MPCL pode ser reformulado com base em analogias aos problemas de localização de facilidades, utilizando as variáveis originalmente nele empregadas e obtendo desta forma uma formulação mais forte quando comparada a formulação original. A relação existente entre a reformulação MPFL e o problema de localização de facilidades é o fato de que, devem ser escolhidos plantas e períodos (facilidades), dos quais possibilitam atender as demandas das plantas em períodos posteriores (clientes). Para obter tal formulação é necessária a definição dos seguintes parâmetros: cv ijltτ : custo de produção, transferência e estoque total do item i, na planta j durante o período t, utilizado para satisfazer a demanda do item i na planta l em um período posterior τ, comτ t, isto é, τ 1 cv ijltτ =(vc ijt + r jlt )d ilτ + hc ilb d ilτ ct ijltτ : tempo necessário para a produção do item i, na planta j durante o período t, utilizado para satisfazer a demanda do item i na planta l em um período τ, comτ t, ou seja, ct ijltτ = vt ijt d ilτ b=t co ilt : custo de estoque inicial para o item i na planta l, utilizado para satisfazer a demanda no período t, istoé, t 1 co ilt = fc ilt d ilt + hc ilb d ilt Considere também as seguintes redefinições para variáveis de decisão: b=1 Z ijt : período t. variável binária indicando a produção ou não do item i, na planta j durante o F ijltτ :fração do plano de produção do item i, na planta j durante o período t, utilizado para satisfazer a demanda do item i na planta l em um período posterior τ, comτ t. FI ilt : fração do plano de estoque inicial para o item i na planta l, utilizada para satisfazer a demanda do período t. Assim, a reformulação baseada no problema de localização de facilidades é a seguinte:

3.1 Reformulação MPFL 31 Formulação do Problema MPFL: N M R min co ilt FI ilt + Sujeito a: i=1 l=1 t=1 N M R sc ijt Z ijt + i=1 j=1 t=1 N M M R R cv ijltτ F ijltτ (3.1) i=1 j=1 l=1 t=1 τ=t M t FI ilt + F ijlτt =1 i, l, t (3.2) j=1 τ=1 N N M st ijt Z ijt + i=1 i=1 l=1 τ=t R ct ijltτ F ijltτ Cap jt j, t (3.3) F ijltτ Z ijt i, j, l, t, τ t (3.4) Z ijt {0, 1} i, j, t (3.5) F ijltτ 0, FI ilt 0 i, j, l, t, τ t (3.6) Analisando a formulação (3.1) - (3.6) como um problema de dimensionamento de lotes tem-se que, a função objetivo (3.1) minimiza a soma dos custos de estoque inicial, preparo e custo agregado de produção, transferência e estocagem. As restrições (3.2) asseguram que a produção total para o item i em todas as plantas j do período 1 até t, mais o estoque inicial do item i na própria planta, seja igual a demanda deste item, no período t em uma determinada planta l. As restrições de capacidade (3.3) correspondem às restrições (2.21) que limitam a capacidade de cada planta em cada período. As restrições (3.4) asseguram que o tempo e o custo de preparo são considerados quando existe produção. Por fim, as restrições (3.5) e (3.6) são de domínio das variáveis. Uma outra maneira de analisar a formulação (3.1) - (3.6) é fazer uma correspondência ao problema de localização de facilidades em que, a função objetivo (3.1) minimiza a soma dos custos de estoque inicial, custo fixo de instalação da facilidade e o custo agregado de produção, transferência e estocagem na utilização da facilidade. As restrições (3.2) asseguram que para um dado item i e para toda combinação de plantas e períodos (par (l, t) - clientes) deve-se escolher plantas e períodos anteriores (par (j, τ) - facilidades a serem instaladas), a fim de atender a demanda do par (l, t). As restrições (3.3) limitam a utilização da capacidade de cada facilidade (j, t), em que é considerado um tempo fixo gasto para a instalação da facilidade eotempogastoparaaprodução dos itens. Em seguida, as restrições (3.4) asseguram que para todo par (j, t) de facilidade instalada, é possível atender a demanda de qualquer par (l, τ) de clientes. E finalmente, as restrições (3.5) e (3.6) são de domínio das variáveis.

3.1 Reformulação MPFL 32 Silva e Toledo (2012) também abordam o problema de dimensionamento de lotes com várias plantas como também apresentam uma reformulação baseada no problema de localização de facilidades. A relação entre o modelo proposto pelos autores e o modelo 3.1 -(3.6)é o fato de que os autores desconsideram o uso de variáveis para o estoque inicial. As correspondências entre as variáveis de decisão da formulação original (2.19) - (2.24) e do problema reformulado (3.1) - (3.6) dão-se a partir de: X ijt = M R d ilτ F ijltτ l=1 τ=t i, j, t W ijlt = R d ilτ F ijltτ τ=t i, j, l, t H il0 = R d ilt FI ilt t=1 i, l Na reformulação MPFL as variáveis F ijltτ podem assumir valores fracionários indicando que a produção obtida não necessariamente satisfaz totalmente uma demanda ( por exemplo para a variável F ijltτ =0.7, indica que 70% da demanda do item i da planta l no período τ será satisfeita pela produção na planta j no período t). Se na reformulação não fossem consideradas as restrições de capacidade (3.3), a solução ótima sempre indicaria a produção nula ou a produção de 100% de uma demanda, ou seja, as variáveis F ijltτ assumiriam apenas valores iguais a 0 ou 1. Exemplo 3.1. Para a reformulação apresentada, considere um exemplo pequeno com 2 itens, 2 plantas e 3 períodos, em que os parâmetros e demandas serão apresentados nas Tabelas 1 e 2. Para este exemplo o custo de transferência entre as plantas é 0,26 e a capacidade igual a 941 e 707 para as plantas 1e2,respectivamente. Item 1/Planta 1 Item 2/Planta 1 Item 1/Planta 2 Item 2/Planta 2 vt ij 1,1 1,7 1,8 3,8 st ij 52,0 54,5 17,7 66,5 sc ij 78,1 819,8 241,2 601,2 vc ij 2,4 1,5 1,5 2,0 hc ij 0,2 0,3 0,3 0,3 fc ij 9999 9999 9999 9999 Tabela 1: Parâmetros para o exemplo: custos e tempos.

3.1 Reformulação MPFL 33 Item 1/Planta 1 Item 2/Planta 1 Item 1/Planta 2 Item 2/Planta 2 d ij1 64 53 127 175 d ij2 162 70 169 16 d ij3 11 97 160 2 Tabela 2: Demanda (d ijt ). A restrição de fluxo (3.2) para uma dada planta 1 e para um determinado item i, pode ser representada pela Figura 1, em que um fluxo unitário é enviado a rede com o intuito de satisfazer 100% desta demanda. Os arcos apresentados na figura indicam as possíveis maneiras de satisfazer a demanda em cada um dos períodos. As variáveis de estoque inicial são representadas pela segunda parte da figura para facilitar a visualização, mas estes arcos são sobrepostos aos arcos da rede. Havendo a necessidade da utilização de estoque inicial, este é transferido do primeiro período para os demais períodos. Figura 1: Representação em Rede para a Planta 1: Formulação MPFL O valor ótimo para as variáveis Z ijt e F ijltτ são apresentados pela Tabela 3 e pelas Figuras 4 e 5, e o valor objetivo ótimo obtido é 3232,21. As demais variáveis que não aparecem na solução abaixo são nulas.

3.1 Reformulação MPFL 34 Solução Z 121 1 Z 122 1 Z 211 1 Solução F 12111 1 F 12112 0,74 F 12122 0,26 F 12123 1 F 21111 1 F 21112 1 F 21113 1 Tabela 3: Solução ótima. Solução F 12211 1 F 12222 1 F 12223 1 F 21211 1 F 21212 1 F 21213 1 Figura 2: SoluçãoparaaPlanta1 Figura 3: SoluçãoparaaPlanta2 A solução F 21111 =1garante que para o item 2 é satisfeito 100% da demanda da

3.1 Reformulação MPFL 35 planta 1 no período 1 com produção deste item na planta 1 no período 1. Por outro lado a solução F 12112 =0.74 garante que para o item 1, a planta 2 ira produzir 74% da demanda do item no período 1 para satisfazer a demanda da planta 1 no período 2. Assim, a quantidade produzida associada a cada variável F ijltτ é dada pelo seu valor multiplicado pela demanda do período τ. Para este exemplo tem-se: Quantidade produzida na planta 1: X 111 =0 X 112 =0 X 113 =0 X 211 = d 211 F 21111 + d 212 F 21112 + d 213 F 21113 + d 221 F 21211 + d 222 F 21212 + d 223 F 21213 = =53+70+97+175+16+2=413 X 212 =0 X 213 =0 Quantidade produzida na planta 2: X 121 = d 111 F 12111 + d 112 F 12112 + d 121 F 12211 = 64 + 162 0.74 + 127 = 311, 88 X 122 = d 112 F 12122 +d 113 F 12123 +d 122 F 12222 +d 123 F 12223 = 162 0.26+11+169+160 = = 382, 12 X 123 =0 X 221 =0 X 222 =0 X 223 =0 Com o intuito de aumentar a eficiência de métodos de solução e de reduzir o espaço de possíveis soluções (região factível), pode-se inserir e/ou substituir inequações válidas nas formulações, obtendo assim, possíveis melhoras nos resultados, tais inclusões podem ser feitas a priori, como é o caso, ou iterativamente no método de solução. Seguindo esta ideia, uma formulação equivalente para o problema (3.1) - (3.6) pode ser obtida de acordo com Araujo et al. (2011), substituindo a restrição de preparo (3.4), pelas inequações de precedência (3.7) e (3.8) (WOLSEY, 1989). F ijltt Z ijt i, j, l, t (3.7) F ijltτ F ijltτ 1 i, j, l, t, τ, τ t + 1 (3.8)

3.1 Reformulação MPFL 36 Assim, ao substituir no problema (3.1) - (3.6) a restrição de preparo (3.4) pelas inequações de precedência (3.7) e (3.8), obtém-se uma nova reformulação denominada MPFLp. Para o caso em que não se tem restrição de capacidade a interpretação destas inequações é que: para que uma facilidade (j, t) (planta, período) seja instalada a fim de atender a demanda de um cliente (l, τ) (planta, período), é necessário que essa facilidade também tenha sido utilizada para atender a demanda do cliente (l, τ 1), pois caso contrário, é sempre possível encontrar uma solução equivalente ou melhor em que esta propriedade é satisfeita. A seguir é apresentado de maneira resumida uma prova que justifica o fato de que a formulação MPFLp é mais forte quando comparada a formulação MPFL, devido a restringir mais o espaço primal, isto é, o conjunto de soluções da formulação MPFLp está contido no conjunto de soluções da formulação MPFL. De fato, considere uma solução qualquer que satisfaça (3.7) e (3.8), mostraremos que ela também satisfaz (3.4). Considere a restrição (3.8), expandindo-a em τ tem-se, F ijltr F ijltr 1... F ijltτ F ijltτ 1 i, j, l, t (3.9) Agora, fazendo τ = t + 1 tem-se, F ijltr F ijltr 1... F ijltt+1 F ijltt i, j, l, t (3.10) Então pela restrição (3.7) e pela restrição (3.10), segue que, F ijltr F ijltr 1... F ijltt+1 F ijltt Z ijt i, j, l, t ou seja, F ijltt Z ijt F ijltt+1 Z ijt. F ijltr 1 Z ijt F ijltr Z ijt i, j, l, t i, j, l, t i, j, l, t i, j, l, t Assim, F ijltτ Z ijt i, j, l, t, τ t, que representa a restrição de preparo (3.4) da formulação MPFL. Logo qualquer solução da formulação MPFLp também é solução

3.1 Reformulação MPFL 37 da formulação MPFL. Por outro lado, considerando o Exemplo 3.1, a Tabela 3 apresenta a solução ótima para a variável F ijltτ, com os seguintes valores: F 12122 =0.26 e F 12123 = 1 então, F 12123 >F 12122 Assim, esta solução que pertence ao espaço de soluções da formulação MPFL não satisfaz a restrição (3.8) da formulação MPFLp, isto é, a solução não pertence ao espaço de soluções da formulação MPFLp, o que verifica que a formulação MPFLp é mais forte quando comparada a formulação MPFL. Observe que para o exemplo (3.1) a formulação MPFLp encontraria a solução ótima equivalente (mesmo valor para a função objetivo) dada pela Tabela 4. Solução Z 121 1 Z 122 1 Z 211 1 Solução F 12111 1 F 12112 0.69 F 12113 0.69 F 12122 0.31 F 12123 0.31 F 21111 1 F 21112 1 F 21113 1 Tabela 4: Solução ótima. Solução F 12211 1 F 12222 1 F 12223 1 F 21211 1 F 21212 1 F 21213 1 Para este exemplo a quantidade produzida encontrada pela reformulação MPFLp éa seguinte: Quantidade produzida na planta 1: X 211 = d 211 F 21111 + d 212 F 21112 + d 213 F 21113 + d 221 F 21211 + d 222 F 21212 + d 223 F 21213 = =53+70+97+175+16+2=413 Quantidade produzida na planta 2: X 121 = d 111 F 12111 +d 112 F 12112 +d 113 F 12113 +d 121 F 12211 = 64+162 0.69+11 0.69+ 127 = 310.37 X 122 = d 112 F 12122 + d 113 F 12123 + d 122 F 12222 + d 123 F 12223 = 162 0.31 + 11 0.31 + 169 + 160 = 382, 63

3.2 Reformulação MPSP 38 Figura 4: SoluçãoparaaPlanta1 Figura 5: SoluçãoparaaPlanta2 3.2 Reformulação MPSP Nesta seção apresenta-se uma reformulação para o MPCL em que utiliza a estratégia de redefinição de variáveis proposta por Eppen e Martin (1987) e obtém problemas de caminho mínimo a partir do problema de dimensionamento de lotes com várias plantas. A ideia foi originalmente proposta para problemas sem restrição de capacidade, Jans e Degraeve (2004), estenderam a idéia para problemas com restrição de capacidade e uma única máquina. Posteriormente Jans (2009) e Fiorotto e Araujo (2012) estenderam para o caso com máquinas paralelas relacionadas e não relacionadas, respectivamente. Para esta reformulação defina os seguintes parâmetros:

3.2 Reformulação MPSP 39 cv ijltτ : custo de produção, transferência e estoque total do item i, na planta j durante o período t, utilizado para satisfazer a demanda do item i na planta l dos períodos t até τ, comτ t, isto é, τ τ a 1 cv ijltτ =(vc ijt + r jlt ) d ila + hc ilb d ila a=t a=t+1 b=t ct ijltτ : tempo necessário para a produção do item i, na planta j durante o período t, utilizado para satisfazer a demanda do item i na planta l dos períodos t até τ, comτ t, ou seja, ct ijltτ = vt ijt co ilt : custo de estoque inicial para o item i na planta l, a fim de satisfazer a demanda do período 1 até operíodo t, isto é, τ a=t d ila co ilt = t t s 1 fc ilt d ila + hc ilu d ils a=1 s=2 u=1 Considere também as seguintes redefinições das variáveis de decisão: Z ijt variável binária indicando a produção ou não do item i, na planta j durante o período t. V ijltτ : fração do plano de produção do item i, na planta j durante o período t, utilizado para satisfazer a demanda do item i na planta l dos períodos t até τ, comτ t. VI ilt :fração do plano de estoque inicial para o item i na planta l, em que a demanda do item i na planta l é satisfeita para os primeiros t períodos. A reformulação baseada no problema do caminho mínimo (Shortest Path)é a seguinte: Formulação do Problema MPSP: N M R min co ilt VI ilt + i=1 l=1 t=1 N M R sc ijt Z ijt + i=1 j=1 t=1 N M M R R cv ijltτ V ijltτ (3.11) i=1 j=1 l=1 t=1 τ=t

3.2 Reformulação MPSP 40 Sujeito a: R M R VI ilτ + V ijl1τ =1 i, l (3.12) τ=1 VI ilt 1 + j=1 τ=1 M t 1 V ijlτt 1 = j=1 τ=1 N N M st ijt Z ijt + i=1 i=1 l=1 τ=t M R V ijltτ i, l, t, t 2 (3.13) j=1 τ=t R ct ijltτ V ijltτ Cap jt j, t (3.14) R V ijltτ Z ijt i, j, l, t (3.15) τ=t Z ijt {0, 1} i, j, t (3.16) V ijltτ 0, VI ilt 0 i, j, l, t, τ, τ t (3.17) Nesta formulação, a função (3.11) minimiza a soma dos custos de estoque inicial, preparo e custo agregado de produção, transferência e estocagem. As restrições (3.12) e (3.13) definem as restrições de fluxo para o problema de caminho mínimo. Para cada item, um fluxo unitário é enviado na rede, impondo que a demanda deste item, em cada planta l, dosperíodos de t até τ seja satisfeita sem atrasos. As restrições de capacidade (3.14) correspondem às restrições (2.21). Em seguida, as restrições (3.15) asseguram que para todo par (j, t) fixo épossível atender a demanda de qualquer planta para os períodos de t até τ. Por fim, as restrições (3.16) e (3.17) são de domínio das variáveis. A correspondência entre as variáveis de decisão da formulação original (2.19) - (2.24) e do problema reformulado (3.11) - (3.17) dá-se por: ( M R τ ) X ijt = d ilb V ijltτ i, j, t l=1 τ=t b=t W ijlt = ( R τ ) d ilb F ijltτ i, j, l, t τ=t b=t VI ilt = ( R t ) d i1b VI ilt i, l, t t=1 b=1 Exemplo 3.2. Para a formulação MPSP consideremos os mesmos dados do Exemplo 3.1.

3.2 Reformulação MPSP 41 A Figura 6 representa as restrições de fluxo (3.12) e (3.13) para o problema em que o objetivo é satisfazer a demanda da planta 1 para um determinado item i. Um fluxo unitário é enviado a rede para a planta 1, em que os arcos apresentados na figuram indicam as possibilidades de satisfazer a demanda em cada um dos períodos, em que o objetivo é escolher o caminho para satisfazer a demanda da planta 1 para um determinado item i com o menor custo possível. As variáveis de estoque inicial são representadas pela segunda parte da Figura para facilitar, mas estes arcos são sobrepostos aos arcos da rede. Caso seja necessário a utilização de estoque inicial, estes arcos são utilizados. Figura 6: Representação em Rede: Formulação MPSP O valor obtido pelas variáveis na solução ótima é apresentado na Tabela 5 e representado pela Figura 7, em que se obteve o mesmo valor objetivo da formulação MPFL. Solução Z 121 1 Z 122 1 Z 211 1 Solução V 12111 0,31 V 12113 0,69 V 12123 0,31 V 21113 1 Tabela 5: Solução Ótima. Solução V 12211 1 V 12223 1 V 21213 1

3.2 Reformulação MPSP 42 Figura 7: Solução Ótima A solução V 12113 =0.69, garante que a demanda do item 1, na planta 1 dos períodos de 1até3é satisfeita por produção na planta 2 no período 1. Assim, a quantidade produzida associada a cada variável V ijltτ é dada pelo seu valor multiplicado pela soma da demanda dos períodos de t até τ. Para este exemplo tem-se: Quantidade produzida na planta 1: X 111 =0 X 112 =0 X 113 =0 2 3 X 211 = d 211 V 21111 + d 21b V 21112 + d 21b V 21113 + d 221 V 21211 + + b=1 b=1 3 d 22b V 21213 =53+70+97+175+16+2=413 b=1 X 212 =0 2 d 22b V 21212 + b=1 X 213 =0 Quantidade produzida na planta 2: 2 3 2 X 121 = d 111 V 12111 + d 11b V 12112 + d 11b V 12113 + d 121 V 12211 + d 12b V 12212 + + b=1 b=1 b=1 3 d 12b V 12213 =64 0.31 + (64 + 162 + 11) 0.69 + 127 = 19.84 + 163.53 + 127 = b=1 = 310.37

3.2 Reformulação MPSP 43 3 3 X 122 = d 112 V 12112 + d 11b V 12123 + d 122 V 12222 + d 12b V 12223 = (162 + 11) 0.31 + b=2 +169 + 160 = 53.63 + 329 = 382.63 X 123 =0 X 221 =0 X 222 =0 X 223 =0 b=2 Uma formulação equivalente para o problema acima pode ser obtida do mesmo modo que em Araujo et al. (2011), substituindo para cada item e para cada planta as restrições de entrada de fluxo (3.12) e as restrições de balanceamento de fluxo no período t (3.13) pela soma das restrições de balanceamento de fluxo para os primeiros t períodos, ou seja, R M t R VI ilτ + V ijl1τ =1 i, l, t (3.18) τ=1 j=1 s=1 τ=t Chamaremos a formulação (3.11) - (3.17) com a nova restrição de fluxo (3.18) no lugar das restrições (3.12) e (3.13), de reformulação transformada baseada no problema do caminho mínimo (MPSPt). Observe que a diferença entre as reformulações obtidas antes e após a substituição dessas equações é de que, na reformulação MPSP as restrições de fluxo representam o balanceamento de fluxo em cada nó do grafo. Já com as novas restrições MPSPt a análise de entrada e saída de fluxo se dá em cada corte de arco do grafo.

44 Capítulo 4 Heurística Lagrangiana Este capítulo será destinado ao estudo de métodos de solução para o problema MPSP (problema (3.11) - (3.17)). O método de proposto busca limitantes inferiores para o problema, em que é utilizada a técnica de relaxação Lagrangiana e o método do subgradiente para a atualização dos multiplicadores. Como será visto a seguir, o método do subgradiente faz uso de um limitante superior para o problema e para gerar tal limitante propôs-se uma heurística de factibilização constituída de passos progressivos e regressivos na tentativa de factibilizar a solução gerada pela relaxação Lagrangiana. De uma forma geral o método que será descrito a seguir pode ser resumido nos seguintes passos: Heurística Lagrangiana Passo 0 (inicialização): Atribua valores iniciais aos multiplicadores de Lagrange. Considere o limite inferior (LI ) igual a e o limite superior (LS) igual a +. Faça k =0. Passo 1 (Limitante Inferior): Aplique a relaxação Lagrangiana ao problema MPSP, e obtenha um limitante inferior. Atualize se este for melhor que o atual. Passo 2 (Limitante Superior): Se o limite inferior for melhorado, inicia-se o processo de factibilização, a fim de determinar uma solução factível. Atualize o limite superior se este for melhor que o atual. Passo 3 (Atualização): Atualize os multiplicadores de Lagrange pelo método do subgradiente. Faça k = k + 1 e volte para o Passo 1. Para as formulações que seguem considere: i I, j, s, l P e t, τ T,emque I, P, T já foram definidos no Capítulo 2 (seção 2.1).

4.1 Limitante Inferior: Relaxação Lagrangiana 45 4.1 Limitante Inferior: Relaxação Lagrangiana Nesta seção será apresentada a técnica de relaxação Lagrangiana, a qual é aplicada à reformulação do problema de dimensionamento de lotes com várias plantas, como problema do caminho mínimo (formulação (3.11) - (3.17)). As restrições de fluxo (3.12) e (3.13) são retiradas do conjunto de restrições do problema e dualizadas na função objetivo, que penalizam-à casonão sejam satisfeitas. O problema resultante pode ser decomposto em subproblemas independentes por período e planta, contendo as restrições de capacidade, preparo e as condições de integralidade. Observa-se que, em geral, quando se aplica a relaxação Lagrangiana a problemas de dimensionamento de lotes, relaxam-se as restrições de capacidade (3.14) (ver por exemplo, Trigeiro, Thomas e McClain (1989), Toledo e Armentano (2006) e Sambasivan e Yahya (2005)). No entanto, motivados pela qualidade dos limitantes obtidos para o caso de única máquina (JANS; DEGRAEVE, 2004) e máquinas paralelas (FIOROTTO; ARAUJO, 2012) resolvemos aplicar a relaxação Lagrangiana às restrições de fluxo (3.12) e (3.13). Seja λ il1 os multiplicadores de Lagrange associados as restrições (3.12) e λ ilt com t 2 os multiplicadores associados às restrições (3.13), multiplicadores estes irrestritos. Assim obtemos a seguinte função Lagrangiana: min N M R N M R N M M R R co ilt VI ilt + sc ijt Z ijt + cv ijltτ V ijltτ + i=1 l=1 t=1 i=1 j=1 t=1 i=1 j=1 l=1 t=1 τ=t N M ( N M λ il1 i=1 l=1 ( R λ ilt M R VI ilτ + τ=1 j=1 τ=1 i=1 l=1 t=2 j=1 τ=t j=1 τ=1 ) M R V ijl1τ 1 + ) R M t 1 V ijltτ V ijlτt 1 VI ilt 1 Ao efetuar uma reorganização dos termos na função Lagrangiana obtemos o problema Lagrangiano que será denotado por PLMPSP. min N M R sc ijt Z ijt + i=1 j=1 t=1 N M R 1 ( i=1 l=1 t=1 co ilt λ il1 + λ ilt+1 ) VI ilt + N M ( i=1 l=1 co ilr λ il1 ) VI ilr + N M M R 1 R 1 ( ) cv ijltτ λ ilt + λ ilτ+1 V ijltτ + i=1 j=1 l=1 t=1 τ=t

4.1 Limitante Inferior: Relaxação Lagrangiana 46 N M M R ( i=1 j=1 l=1 t=1 cv ijltr λ ilt ) V ijltr + N M λ il1 (4.1) i=1 l=1 Sujeito a: N N M R st ijt Z ijt + ct ijltτ V ijltτ Cap jt j, t (4.2) i=1 i=1 l=1 τ=t R V ijltτ Z ijt i, j, l, t (4.3) τ=t Z ijt {0, 1} i, j, t (4.4) V ijltτ 0, VI ilt 0 i, j, l, t, τ, τ t (4.5) O problema Lagrangiano (4.1) - (4.5) é resolvido iterativamente, e as variáveis duais λ ijt são atualizadas pelo método do subgradiente (FISHER, 1981; HELD; WOLFE; CROWDER, 1974). Por exemplo, considere λ k ilt os multiplicadores de Lagrange na iteração k e(zijt,v k ijltτ k,vik ilt ) a solução ótima para o problema nesta iteração com valor ótimo da função objetivo (4.1) denotado por z(λ k ilt ). Os novos multiplicadores de Lagrange serão atualizados de acordo com as equações (4.6) e (4.7) e o tamanho do passo t k é dado pela equação (4.8): ( R il1 = λ k il1 t k VIilτ k + λ k+1 τ=1 M R j=1 τ=1 V k ijl1τ 1 ) i, l (4.6) λ k+1 ilt = λ k ilt t k ( M j=1 R τ=t V k ijltτ M t 1 j=1 τ=1 V k ijlτt 1 VI k ilt 1 ) i, l, t 2 (4.7) t k = N i=1 ( M R VIilτ k + l=1 τ=1 M R j=1 τ=1 V k ijl1τ 1 ρ(ls z(λ k ilt ) )) 2 ( N M R M + i=1 l=1 t=2 j=1 R τ=t V k ijltτ M t 1 Vijlτt 1 k VIilt 1 k j=1 τ=1 (4.8) ) 2 onde LS é o melhor limite superior (fornecido pela heurística de factibilização) conhecido e ρ éumparâmetro conhecido que decresce sempre que não há melhoria no valor da função objetivo z(λ k ilt )após um certo número de iterações. Como dito anteriormente, o problema PLMPSP pode ser decomposto em subproble-

4.1 Limitante Inferior: Relaxação Lagrangiana 47 mas independentes para cada período t T, e para cada planta j P obtendo o seguinte subproblema: min N sc ijt Z ijt + i=1 N M R 1 ( i=1 l=1 τ=t cv ijltτ λ ilt + λ ilτ+1 ) V ijltτ + N M ( i=1 l=1 cv ijltr λ ilt ) V ijltr (4.9) Sujeito a: N N M R st ijt Z ijt + ct ijltτ V ijltτ Cap jt (4.10) i=1 i=1 l=1 τ=t R V ijltτ Z ijt i, l (4.11) τ=t Z ijt {0, 1} i (4.12) V ijltτ 0 i, l, τ t (4.13) Note que as variáveis de estoque inicial VI ilt presentes na função objetivo do problema PLMPSP não estão presentes na função objetivo do subproblema decomposto. Isto se deve ao fato de tais variáveis não estarem contidas nas restrições dos subproblemas. Assim, o valor destas variáveis no problema PLMPSP é definido de acordo com o seguinte critério: VI ilt = { 1, se (coilt λ il1 + λ ilt+1 ) < 0, i,l,t<r 0, caso contrário { 1, se (coilr λ il1 ) < 0, i, l VI ilr = 0, caso contrário O subproblema resultante da decomposição, tem como principal objetivo facilitar a resolução do problema Lagrangiano, então resta encontrar algoritmos eficientes para resolve-lo. Para o problema com uma única máquina Jans e Degraeve (2004) propuseram um método Branch-and-Bound para resolver o subproblema resultante da decomposição por períodos, em que os autores observaram a equivalência entre a relaxação linear do subproblema e o problema da mochila de múltipla escolha linear (linear multiple choice knapsack problem (LMCKP)) que é a relaxação linear do problema da mochila de múltipla escolha (MCKP). Posteriormente, Fiorotto e Araujo (2012) estenderam o mesmo método Branch-and-Bound para resolver o problema resultante da decomposição em períodos e máquinas para um problema com máquinas paralelas. No entanto a adaptação para o

4.2 Limitante Superior: Heurística de Factibilização 48 caso de várias plantas não é trivial e será deixada para pesquisas futuras. Na atual versão deste trabalho resolve-se este subproblema com um pacote computacional. Assim, para iniciar o método fixa-se as variáveis duas em zero (λ ilt = 0), passando para o próximo passo aplica-se a relaxação lagrangiana nas restrições de fluxo e obtém-se subproblemas independentes por período e planta. Então, as soluções destes subproblemas são agrupadas e geram um limitante inferior para o problema e se este for melhor, o limitante inferior é atualizado e passa-se então para o próximo passo que é a heurística de factibilização e será apresentada a seguir. 4.2 Limitante Superior: Heurística de Factibilização Em geral a solução resultante do agrupamento das soluções dos subproblemas não é factível para o problema (3.11) - (3.17), pois no problema relaxado não são considerados as restriçõesdefluxo,então, possivelmente a solução não está satisfazendo a demanda de todos os itens. Então, a fim de obter uma solução factível para o problema, aplica-se a heurística de factibilização. Aheurística de factibilização consiste em, dado uma solução inicial que não satisfaça as restrições de demanda (solução obtida com a relaxação Lagrangiana), o estágio de factibilização inicia-se percorrendo todos os períodos, efetuando modificações nos planos de produção, produzindo, transferindo e, se necessário, retirando produções em excesso na tentativa de tornar a solução factível. Na literatura são encontradas heurísticas de factibilização baseadas em transferência de produção aplicadas às restrições de capacidade, para problemas com uma única máquina (THIZY; WASSENHOVE, 1985; TRIGEIRO; THOMAS; MCCLAIN, 1989), máquinas paralelas (TOLEDO; ARMENTANO, 2006) e problemas com várias plantas (SAMBASIVAN; YAHYA, 2005). De forma geral o algoritmo da heurística de factibilização pode ser descrito como segue: Heurística Factibilização Passo 1 (Passo Regressivo): Neste passo o principal objetivo é liberar a capacidade proveniente de itens que foram produzidos em quantidade maior que sua demanda. Começa-se do último período e verifica-se para quais itens há produção em excesso. Passo 2 (Passo Progressivo): Após a exclusão de possíveis excessos de produção, este passo verifica se a demanda está sendo satisfeita. Começando do primeiro período,

4.2 Limitante Superior: Heurística de Factibilização 49 para os itens em que a demanda não está sendo satisfeita, tenta-se a factibilização da seguinte maneira: Produzir a quantidade que falta com planos de produção pré-fixados, primeiramente na própria planta e depois nas demais plantas; Produzir a quantidade restante com a adição de apenas um preparo, primeiramente na própria planta e depois nas demais; Produzir a quantidade restante se ainda houver com a adição de mais de um preparo de planta. Passo 2.1 (Passo de Transferência): Como última tentativa de factibilização, aplica-se o passo de transferência, que busca entre os itens anteriormente factibilizados, um que esteja com produção em excesso. Retira-se a produção em excesso, liberando assim capacidade, e possivelmente permitindo factibilizar a demanda de um item ainda não satisfeita. 4.2.1 Passo Regressivo Este primeiro passo de factibilização tem como principal objetivo liberar capacidade proveniente de itens que foram produzidos em excesso. Para tanto, as quantidades de produção para cada item e planta são analisadas e os excessos são retirados. Primeiramente calcula-se a quantidade em excesso para cada item e planta (i, l) considerando todos os períodos, da seguinte maneira: Δ(i, l) = R X ilt + t=1 M j=1 j =l R W ijlt t=1 M s=1 s =l R W ilst t=1 R d ilt t=1 i I, l P Se Δ(i, l) > 0 para algum i e l, então há excesso de produção e este deve ser eliminado. A primeira forma de eliminar o excesso é reduzindo as transferências de todas as outras plantas para a respectiva planta. Para isso calcula-se a quantidade transferida de todas as plantas para a planta l. M R T RANS = j=1 j =l W ijlt t=1

4.2 Limitante Superior: Heurística de Factibilização 50 e faz-se a seguinte análise: min {Δ(i, l),trans}. Se min {Δ(i, l),trans} = T RANS, então pode-se retirar todas as transferências feitas para a planta, pois estão sendo realizadas em excesso. Assim, para cada planta e período com transferência (W ijlt > 0) faz-se: Cap jt = Cap jt + W ijlt vt ijt X ijt = X ijt W ijlt, W ijlt =0 Ainda, se X ijt = 0, pode-se retirar o preparo para esta planta e período: Cap jt = Cap jt + st ijt, Z ijt =0 Após a retirada de todas as transferências, atualiza-se a quantidade em excesso (Δ(i, l) = Δ(i, l) T RANS) e se ainda houver excesso, este deverá ser retirado por produção na própria planta. Para isso, começando do último período e retrocedendo até o primeiro período (τ = R, R 1,...,1), busca-se períodos em que se tem produção deste item (X ilτ > 0) e analisa-se: min {Δ(i, l),x ilτ }. Se min {Δ(i, l),x iljτ } = X iljτ, pode-se retirar a produção total e consequentemente o preparo para este item na planta. Atualiza-se os valores, inclusive relativo às transferências que devem ficar nulas e procura-se o próximo período com produção. Cap lτ = Cap lτ + X ilτ vt ilτ + st ilτ X ilτ =0, Z ilτ =0 W iljτ =0, j P, j l No entanto se min {Δ(i, l),x ilτ } =Δ(i, l), retira-se apenas o excesso da produção deste item na planta e passa-se para o próximo item/planta com excesso de produção. Cap lτ = Cap lτ +Δ(i, l)vt ilτ X ilτ = X ilτ Δ(i, l)

4.2 Limitante Superior: Heurística de Factibilização 51 ese M j P j =l W iljτ para as outras plantas. >X ilτ,então deve-se retirar também parte do excesso em transferências Por outro lado, se min {Δ(i, l),trans} =Δ(i, l), então deve-se remover apenas o excesso nas transferências, pois uma parte está sendo utilizada para satisfazer a demanda deste item. Iniciando do último período e retrocedendo até o primeiro período (τ = R, R 1,...,1) escolhe-se em sequência a planta em que há transferência com maior custo de preparo, produção e transferência da quantidade em excesso ((vc ijt +r jlt )Δ(i, l)+sc ijt ). Escolhida a planta ( ) faz-se: min {Δ(i, l),w i lτ } Se min {Δ(i, l),w i lτ } = W i lτ, pode-se remover toda a transferência e faz-se a atualização necessária. Cap t = Cap t + W i lt vt i t X i t = X i t W i lt, W i lt =0 e ainda se X i t = 0 então pode-se retirar o preparo para esta planta e período: Cap t = Cap t + st i t, Z i t =0 Depois considera-se o próximo período/planta com transferência até que se tenha eliminado todo o excesso. Se min {Δ(i, l),w i lτ } =Δ(i, l), então remove-se apenas o excesso da transferência, atualiza-se a produção e capacidade e passa-se para o próximo item/planta com excesso. Cap τ = Cap τ +Δ(i, l)vt i τ X i τ = X i τ Δ(i, l), W i lτ = W i lτ Δ(i, l) 4.2.2 Passo Progressivo Terminado o processo de eliminação de produção em excesso, o próximo passo consiste em verificar se a demanda de cada item em cada planta para cada período, está sendo satisfeita. Para isso, inicia-se este passo a partir do primeiro período (fixo) e para cada par (i, l)

4.2 Limitante Superior: Heurística de Factibilização 52 contabiliza-se a soma total da produção e transferência. Assim, para um certo t fixo faz-se: Ω(i, l) =X ilt + M W ijlt j=1 j =l M s=1 s =l W ilst i I, l P Se Ω(i, l) d ilt,então a demanda deste par (i, l) está sendo satisfeita. Assim sendo, retira-se da soma total a quantidade desta demanda Ω(i, l) =Ω(i, l) d ilt e passa-se para opróximo item/planta a ser factibilizado. No entanto se Ω(i, l) <d ilt, segue que a demanda não está sendo satisfeita, então é necessário entrar no processo de factibilização. A quantidade de itens que faltam ser produzidos é dada por: Φ=d ilt Ω(i, l) Com esta quantidade calculada, começando do período em questão e retrocedendo até o primeiro período (τ = t, t 1,...,1), verifica-se, com os planos de produção existentes (Z ilτ = 1), tem-se capacidade suficiente para produzir toda quantidade que falta. Primeiramente tal análise é feita na própria planta da seguinte maneira: Se Z ilτ = 1, segue que há preparo na planta para este item, em seguida calcula-se a quantidade inteira de itens que podem ser produzidos na planta neste período. Depois disto, verifica se épossível produzir a quantidade que falta para satisfazer a demanda da seguinte forma: Φ=Φ Cap lτ vt ilτ Se Φ 0, pode-se produzir a quantidade suficiente para satisfazer a demanda do par (i, l) e terminado as atualizações necessárias passa-se para o próximo par (i, l) a ser factibilizado. Cap lτ = Cap lτ Φvt ilτ X ilτ = X ilτ +Φ No entanto se Φ > 0, pode-se produzir apenas uma parte e é necessário passar para o próximo período na tentativa de factibilização. Após terminado todos os períodos nesta planta e se ainda há itens a serem produzidos, isto é, ainda não foi possível satisfazer a demanda d ilt, passa-se a procurar planos de produção fixados em 1 nas outras plantas e escolhe-se em sequência aquelas com menor custo de produção e transferência da quantidade que falta ser factibilizada ((vc ijt + r jlt )Φ) partindo do período em questão e

4.2 Limitante Superior: Heurística de Factibilização 53 retrocedendo até o primeiro período (τ = t, t 1,...,1). Escolhida a planta (j) calcula-se: Φ=Φ Cap jτ vt ijτ Se, Φ 0, segue que épossível produzir a quantidade que falta para factibilizar o par (i, l). Faz-se as atualizações necessárias e passa para o próximopar (i, l) a ser factibilizado, Cap jτ = Cap jτ Φvt ijτ X ijτ = X ijτ +Φ, W ijlτ = W ijlτ +Φ No entanto se Φ > 0, produz apenas o possível e passa para o próximo período/planta em busca de uma novos planos de produção já fixos para a factibilização do par (i, l). Ao final desta primeira tentativa de factibilização se não há capacidade suficiente para factibilização com os planos de produção pré-fixados, abre-se a possibilidade de adicionar uma preparação na planta, de tal forma a produzir toda a quantidade que resta para que esta demanda seja satisfeita. Iniciandoprimeiramentenaprópriaplanta, doperíodo em questão (t) e retrocedendo até o primeiro período (τ = t, t 1,...,1) faz-se a seguinte análise: se ocorre, ajusta-se a produção, Cap lτ Φvt ilτ + st ilτ Cap lτ = Cap lτ Φvt ilτ st ilτ X ilτ = X ilτ +Φ, Z ilτ =1 e passa-se para o próximo par (i, l) a ser factibilizado. No entanto, se com o passo acima não foi possível factibilizar o par (i, l), então cria-se a possibilidade de adicionar um preparo em outra planta de tal forma a produzir toda a quantidade que resta para que a demanda seja satisfeita. Assim, iniciando do período em questão (t) e retrocedendo até o primeiro período (τ = t, t 1,...,1) verifica se existe alguma planta (j) que satisfaça: Cap jτ Φvt ijτ + st ijτ se há mais de uma planta que satisfaça a relação acima, escolhe-se aquela com o menor

4.2 Limitante Superior: Heurística de Factibilização 54 custo de preparo, produção e transferência ((vc ijτ + r jlτ )Φ + sc ijτ ). Escolhida a planta ( ) ajusta-se a produção e passa-se para o próximo par (i, l) a ser factibilizado. Cap τ = Cap τ Φvt i τ st i τ X i τ = X i τ +Φ W i lτ = W i lτ +Φ Z i τ =1 Porém, se não há mais plantas com capacidade suficiente e ainda há itens a serem produzidos, abre-se a possibilidade de realizar mais de um preparo de planta. Este último processo do passo inicia-se do período em questão (t) e retrocede até o primeiro período (τ = t, t 1,...,1). O critério utilizado para determinar a ordem de qual planta irá produzir é a relação entre a capacidade da planta pelo seu tempo de produção total para produzir a quantidade restante, isto é, R j = Cap jτ Φvt ijτ + st ijτ Então, a primeira planta que será preparada no período é a que tiver maior valor R j, faz-se isso para todas as plantas em cada período, até que esta demanda esteja factibilizada. No final deste passo, se o par (i, l) foi factibilizado, passa-se para o próximo item/planta e o procedimento descrito acima é repetido. Se caso algum par (i, l) não tenha sido factibilizado tem-se uma ultima tentativa, que é o passo de transferência. 4.2.3 Passo de Transferência Após todos os processos anteriores de factibilização, se ainda não foi possível factibilizar alguma demanda, tem-se uma última tentativa, que consiste em, fixado um determinado par (i,l )emumperíodo (t )emquenão foi possível com os passos anteriores ser factibilizado, este próximo e último passo procura entre os itens anteriores já factibilizados se algum tem uma quantidade suficiente em estoque, isto é, quantidade que sobrou na soma total da produção após satisfazer a demanda e cujo tempo de produção é capaz de satisfazer a demanda do par (i,l ). Encontrado este item, a produção excedente do item é retirada, liberando assim capacidade e tenta-se produzir a quantidade que falta para o par (i,l ) a ser factibilizado. Assim, partindo da ordem i = i 1,i 2,...,1 desde o período em questão (t) e retrocedendo até o primeiro período (τ = t, t 1,...,1), primeiramente na própria planta (l) faz-se a seguinte análise: Se Ω(i, l) > 0eZ ilτ =1,então foi encontrado um item com quantidade em estoque e

4.2 Limitante Superior: Heurística de Factibilização 55 a planta preparada para este item, daí realiza-se a seguinte análise: Se Ω(i, l) X ilτ, segue que pode-se retirar toda a produção deste item, liberando a capacidade e também retirar o preparo na planta para este item, isto é, Cap lτ = Cap lτ + X ilτ vt ilτ + st ilτ Ω(i, l) =Ω(i, l) X ilτ, X ilτ =0, Z ilτ =0 W iljτ =0, j P, j l PoroutroladoΩ(i, l) <X ilτ, libera-se apenas a capacidade e faz-se os ajustes necessários. ese M j P j =l W iljτ para as outras plantas. Cap lτ = Cap lτ +Ω(i, l)vt ilτ X ilτ = X ilτ Ω(i, l), Ω(i, l) =0 >X ilτ,então deve-se retirar também parte do excesso em transferências Agora com capacidade liberada, calcula-se a quantidade inteira de itens i que pode ser produzida e verifica-se novamente se épossível produzir a quantidade que faltava para satisfazer a demanda, da seguinte forma: Φ=Φ Cap lτ vt i lτ Se, Φ 0, segue que épossível produzir uma quantidade suficiente para satisfazer a demanda (d i l t ). Ajusta-se a produção e passa-se para o próximo item/planta do passo progressivo. Cap lτ = Cap lτ Φvt i lτ X i lτ = X i lτ +Φ e se este item i ainda não foi preparado nesta planta neste período abre-se o preparo. Cap lτ = Cap lτ st i lτ, Z i lτ =1 No entanto se Φ > 0, não épossível produzir toda a demanda, então produz-se apenas o que épossível e passa-se para o item anterior com quantidade em estoque para qual a planta esteja preparada. Terminado todos os itens e períodos anteriores com quantidade em estoque se ainda não foi possível factibilizar a demanda, passa-se a procurar tais itens

4.2 Limitante Superior: Heurística de Factibilização 56 e períodos anteriores nas outras plantas e faz-se a mesma análise. Após realizar estes passos de factibilização para todos os itens, passa-se para o próximo período do passo progressivo e inicia-se a tentativa de factibilização a partir do primeiro item até oúltimo. Este processo é realizado até alcançar o último período. Finalmente, ao término do processo, aplica-se novamente o passo regressivo, a fim de retirar possíveis excessos e o valor da solução resultante da factibilização é calculado, gerando um limitante superior, caso houve sucesso no processo de factibilização, isto é, toda demanda foi atendida. Por outro lado se não foi possível factibilizar a demanda de algum item e planta para algum período então, a heurística de factibilização não foi capaz de gerar um limitante superior para o problema. Assim o limitante superior utilizado no método do subgrandiente é o valor dado pelo limitante superior incumbente da Heurística de Lagrangiana.

57 Capítulo 5 Estudo Computacional Neste capítulo serão apresentados os resultados computacionais obtidos neste trabalho. Os primeiros resultados apresentados dizem respeito às formulações propostas no Capítulo 2 e no Capítulo 3. Para estas formulações são analisados alguns critérios comparando-as. Os resultados seguintes se referem aos limitantes inferiores obtidos com a relaxação Lagrangiana descrita no Capítulo 4. Todos os testes foram realizados em um computador com processador Intel Corel i7, com 2,93 GHz e com 8,00 GB de memória RAM, sob a plataforma do Windows 7 e utilizaram a mesma base de dados que será descrita a seguir. 5.1 Geração dos Dados Os dados utilizados neste trabalho foram os mesmos usados em Nascimento, Resende e Toledo (2010), e serão descritos a seguir. Os autores geraram os dados aleatoriamente de acordo com Toledo e Armentano (2006) (problema com máquinas paralelas) e os custos de transferência de acordo com Sambasivan e Yahya (2005). Nascimento, Resende e Toledo (2010) geraram parâmetros constantes ao longo de horizonte de planejamento, exceto para as demandas que são diferentes para os itens em cada planta e fez-se uma adaptação para as capacidades das plantas conforme será descrito a seguir. Para gerar e analisar os exemplares são considerados três fatores: custo de preparo (S), tempo de preparo (T) e capacidade (C) em cada planta, onde os custos e tempo de preparo podem ser altos (A) e baixos (B) e a capacidade pode ser normal (N) ou apertada (A). Foram testados um total de 480 exemplares, divididas em 5 exemplares para cada número de plantas (M =2, 4, 6) e itens (N =6, 12, 25, 50), onde são considerados sempre R=12períodos. Todas essas configurações de plantas e itens encontram-se nas classes

5.1 Geração dos Dados 58 de acordo com a capacidade, tempo e custo de preparo, que são: Capacidade apertada, custo de preparação alto e tempo de preparação alto (CASATA); Capacidade apertada, custo de preparação alto e tempo de preparação baixo (CASATB); Capacidade apertada, custo de preparação baixo e tempo de preparação alto (CASBTA); Capacidade apertada, custo de preparação baixo e tempo de preparação baixo (CASBTB); Capacidade normal, custo de preparação alto e tempo de preparação alto (CNSATA); Capacidade normal, custo de preparação alto e tempo de preparação baixo (CNSATB); Capacidade normal, custo de preparação baixo e tempo de preparação alto (CNSBTA); Capacidade normal, custo de preparação baixo e tempo de preparação baixo (CNSBTB); Os parâmetros foram gerados com distribuição uniforme denotado por U[a, b] esão mostrados na Tabela 6. Parâmetros Valores Custo de preparação (sc ijt ) U[5.0, 95.0] Custo de produção (vc ijt ) U[1.5, 2.5] Custo de estoque (hc ijt ) U[0.2, 0.4] Custo de transferência (r jlt ) U[0.2, 0.4] Tempo de preparação (st ijt ) U[10.0, 50.0] Tempo de produção (vt ijt ) U[1.0, 5.0] Demanda (d ijt ) U[0, 180] Estoque inicial (fc ij ) 9999 Tabela 6: Parâmetros para a geração dos dados.

5.2 Resultados: Reformulações 59 Para gerar exemplares com custos de preparo alto multiplica-se os custos gerados por 10, da mesma forma, para gerar exemplares com tempos de preparo alto estes são multiplicados por 1.5. O cálculo para a capacidade em cada planta (Cap j )é igual em todos os períodos e foram gerados de acordo com a seguinte equação (NASCIMENTO; RESENDE; TOLEDO, 2010): Cap j = N i=1 R t=1 vt ijt d ijt + st ijt R O valor para a capacidade normal e apertada é obtido multiplicando este valor por 1,0 e 0,9 respectivamente. 5.2 Resultados: Reformulações Esta seção é destinada a apresentar os resultados computacionais obtidos com a realização dos testes para as formulações apresentadas no Capítulo 2 (MPCL) enocapítulo 3(MPFL, MPFLp, MPSP e MPSPt). Os modelos foram escritos na sintaxe do AMPL (FOURER; GAY; KERNIGHAN, 2002) e como solver utilizou-se CPLEX 12.1 (IBM, 2009). Os resultados são analisados segundo os seguintes critérios: limitante inferior encontrado pela relaxação linear e melhor limite inferior encontrado pelo CPLEX, limitante superior, gap, tempo, número de nós e número de cortes. Para cada exemplar foi considerado um tempo limite de 30 minutos (1800 segundos) para execução do CPLEX. A fim de facilitar as comparações entre as formulações, na Tabela 7 apresenta-se o número de variáveis reais, variáveis inteiras e o número de restrições de cada formulação. Os valores apresentados entre parênteses são para um exemplo com 6 itens (N = 6), 4 plantas (M =4)e12períodos (R = 12).

5.2 Resultados: Reformulações 60 Número de Variáveis Contínuas Número de Variáveis Inteiras Número de Restrições MPCL 2NMR + NM 2 R (1728) NMR (288) MR(2N + 1) (624) R R MPFL NMR(1 + M (R t + 1)) (901444) NMR (288) MR(N+1+NM (R t + 1)) t=1 t=1 (90192) R R MPFLp NMR(1 + M (R t + 1)) (901444) NMR (288) MR(N+1+NM (R t +1)+ t=1 t=1 R +NM (R t + 2)) (193872) t=1 R MPSP NMR(1 + M (R t + 1)) (901444) NMR (288) MR(N+1+NM) (1488) t=1 R MPSPT NMR(1 + M (R t + 1)) (901444) NMR (288) MR(N+1+NM) (1488) t=1 Tabela 7: Dimensão dos Modelos: Genérica e para um exemplo. A Tabela 8 apresenta a média geral dos limitantes inferiores obtidos da relaxação linear para cada classe de problemas. Observe que todas as reformulações apresentam os mesmos valores para as relaxações lineares em todas as classes, o que sugere uma extensão da equivalência demonstrada por Denizel et al. (2008) para o problema com uma única máquina. Além disso, estes valores são sempre melhores quando comparadas a formulação original, sendo que esta diferença é de aproximadamente 12% na média geral. Observe ainda que as maiores diferenças são obtidas no conjunto de classes com custo de preparo alto, em que as reformulações obtém resultados até 16% melhores. Na Figura 8 é apresentado o desvio padrão para a formulação original e para as reformulações, nota-se que para todas as classes as reformulações apresentam um desvio padrão maior comparado a formulação original, sendo que os maiores valores para o desvio padrão encontram-se nas classes com custo de preparo alto tanto para as reformulações quanto para a formulação original. Classes MPCL MPFL MPFLp MPSP MPSPt CASATA 221491,24 258156,50 258156,50 258156,50 258156,50 CASATB 222378,34 259519,99 259519,99 259519,99 259519,99 CASBTA 193210,19 205817,06 205817,06 205817,06 205817,06 CASBTB 193617,54 206220,90 206220,90 206220,90 206220,90 CNSATA 220004,93 255462,19 255462,19 255462,19 255462,19 CNSATB 220543,16 256136,26 256136,26 256136,26 256136,26 CNSBTA 192680,18 205111,18 205111,18 205111,18 205111,18 CNSBTB 192850,65 205282,10 205282,10 205282,10 205282,10 MEDIA GERAL 207097,03 231463,27 231463,27 231463,27 231463,27 Tabela 8: Relaxação Linear.

5.2 Resultados: Reformulações 61 Figura 8: Desvio Padrão - Relaxação Linear Antes de apresentarmos os próximos resultados, observa-se que para algumas classes de problemas os resultados obtidos para os limites superiores são inconclusos, ou seja, apresentam valores com diferentes tamanhos decimais. Isto se deve ao fato de que nestas classes, com exceção da formulação MPSPt, as outras formulações não obtiveram soluções factíveis para algumas instâncias no tempo estipulado sem o uso das variáveis de estoque inicial, que possuem um custo muito elevado. Este fato ocorreu especificamente nas classes com custo de preparo alto, com 25 itens e 4 e 6 plantas, 50 itens, 4 e 6 plantas. Portanto, para uma análise mais clara, tais classes foram desconsideradas para as tabelas de limite inferior (Tabela 9), superior (Tabela 10) e gap (Tabela 11). O cálculo do gap é efetuado da seguinte maneira: Gap = LS LI LI 100 (5.1) onde LS é o valor da função objetivo encontrada pelo CPLEX e LI é o valor para o melhor limitante inferior encontrado pelo CPLEX. Analisando a Tabela 9, tem-se os limitantes inferiores obtidos ao fim das ramificações feitas pelo CPLEX (melhores limitantes inferiores encontrados pelo CPLEX no tempo limite), nota-se que de forma geral houve um certo equilíbrio entre a formulação original

5.2 Resultados: Reformulações 62 e as reformulações, em que a formulação original mostra-se ligeiramente pior. Classes MPCL MPFL MPFLp MPSP MPSPt CASATA 138334,62 140783,56 140657,66 140582,46 140620,12 CASATB 139801,72 141804,34 142142,09 141917,15 141909,52 CASBTA 205830,88 205955,49 205960,39 205952,39 205963,77 CASBTB 206236,60 206362,47 206366,04 206358,26 206369,19 CNSATA 136121,14 137833,04 137834,53 137709,66 137736,28 CNSATB 136820,33 138509,47 138488,96 138330,76 138376,14 CNSBTA 205105,28 205218,73 205221,40 205220,04 205220,12 CNSBTB 205281,55 205399,17 205399,37 205398,68 205399,85 MEDIA GERAL 171691,52 172733,28 172758,81 172683,67 172699,37 Tabela 9: Limite Inferior após ramificações. As Tabelas 10 e 11, apresentam a média para o limite superior e gap em cada classe de problemas. Os limitantes superiores encontrados pela formulação original são ligeiramente melhores que as reformulações, gerando uma melhoria em torno de 0.4% na média geral, sendo que, todas as reformulações apresentam gap s melhores quando comparados a formulação original na média geral. Nota-se que para as classes com custo de preparo alto, as formulações apresentam certa dificuldade na sua resolução (ver Tabela 11) e nestas classes as reformulações mostram gap s em média de 1.75%, enquanto a formulação original apresenta gap s em média de 1.81%. Além disso, pode-se destacar que a reformulação MPSPt em geral apresenta um desempenho melhor na resolução destes problemas gerando uma solução factível de melhor qualidade entre as reformulações. Na Figura 9 encontram-se os valores para o desvio padrão em cada classe de problemas para as formulações. Observa-se que as formulações em cada classes, possuem aproximadamente os mesmos valores para o desvio padrão, em que as classes que possuem custo de preparo alto apresentam os maiores valores. Classes MPCL MPFL MPFLp MPSP MPSPt CASATA 141162,26 143278,51 143196,79 142857,89 142766,40 CASATB 142708,00 144486,67 144987,02 144366,67 144571,18 CASBTA 205998,16 206069,09 206067,14 206060,28 206056,07 CASBTB 206434,38 206501,59 206505,17 206491,93 206484,43 CNSATA 138721,00 139403,84 139419,51 139164,62 139098,96 CNSATB 139672,92 140465,29 140381,60 140060,49 139911,19 CNSBTA 205185,40 205266,53 205266,52 205260,42 205260,05 CNSBTB 205378,25 205454,21 205453,10 205447,51 205447,12 MEDIA GERAL 173157,55 173865,72 173909,61 173713,73 173699,43 Tabela 10: Limite Superior.

5.2 Resultados: Reformulações 63 Classes MPCL MPFL MPFLp MPSP MPSPt CASATA 1,98 2,04 2,09 1,99 1,89 CASATB 1,95 2,21 2,29 2,08 2,28 CASBTA 0,09 0,07 0,07 0,07 0,06 CASBTB 0,10 0,08 0,08 0,09 0,08 CNSATA 1,57 1,30 1,30 1,27 1,20 CNSATB 1,74 1,64 1,53 1,50 1,35 CNSBTA 0,04 0,03 0,03 0,03 0,03 CNSBTB 0,05 0,03 0,03 0,03 0,03 MEDIA GERAL 0,94 0,93 0,93 0,88 0,86 Tabela 11: GAP. Figura 9: Desvio Padrão - Limite Superior Para as tabelas seguintes são considerados novamente todos os exemplares para todas as classes de problemas. A Tabela 12 apresenta o número total de cortes gerados e o número de nós analisados pelo CPLEX em cada classe de problemas. O CPLEX 12.1 permite a geração dos planos de corte, com o intuito de auxiliar na resolução dos problemas. Os cortes gerados são: Clique (Clique), Inequações de Cobertura (Cover), Implied Bound Cuts (Implied), Mixed Integer Rounding (Mixed), Inequações de Gomory (Gomory) e Inequações de Cobertura de Fluxo (Flow Cuts), Inequações de Cobertura de Caminho de Fluxo (Flow Path). Ao analisar os resultados, nota-se que em relação ao número de cortes gerados, todas as reformulações geram um número de cortes muito pequeno comparados à formulação original sendo que para todas reformulações, independente da configuração dos exemplares, o número de cortes não passou de 30, enquanto para a formulação original