Uma abordagem baseada em relaxação lagrangiana e busca tabu para o problema de dimensionamento de lotes multiestágio

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1 Uma abordagem baseada em relaxação lagrangiana e busca tabu para o problema de dimensionamento de lotes multiestágio Data de recebimento: 26/02/2007 Data de aprovação: 25/04/2007 Lilian Kátia de Oliveira (Faculdade de Engenharia Centro Universário Fundação Santo André) lílian.oliveira@fsa.br R Heloisa Pamplona 720 apto 4A - Bairro Fundação CEP São Caetano do Sul-SP Regina Berretta (School of Electrical Engineering and Computer Science The Universy of Newcastle, Australia) Regina.Berretta@newcastle.edu.au Resumo Este trabalho aborda o problema de dimensionamento de lotes multiestágio, com capacidade limada. O objetivo é determinar o tamanho do lote de cada em a ser produzido, em diferentes períodos, de tal modo que uma demanda seja atendida, minimizando custos de produção, preparação e estoque. A formulação é fea como um problema de programação matemática inteira-mista e pertence à classe NP-hard. As heurísticas utilizam a técnica de relaxação Lagrangiana, incorporando Busca Tabu. Os resultados computacionais são comparados com outros encontrados na leratura em França et al. (997), Tempelmeier e Derstroff (996) e Özdamar e Barbarosoglu (2000). Palavras-chave: Dimensionamento de Lotes; Relaxação Lagrangiana; Busca Tabu. Abstract This paper addresses the multistage capacated lot-sizing problem. The objective is to determine the quanty to be produced in order to attain the demand xx in each period of a planning horizon. The aim is to minimize production, inventory and setup costs. The resources are limed and the setup times are considered. The formulation presented is a mixed integer programming and the problem is NP-Hard. The heuristics use Lagrange relaxation and Tabu Search and they are compared wh the ones in França et al. (997), Tempelmeier and Derstroff (996) and Özdamar and Barbarosoglu (2000). Keywords: Lot-Sizing, Lagrangean Relaxation, Tabu Search.

2 Uma abordagem baseada em relaxação lagrangiana e busca tabu para o problema de dimensionamento de lotes multiestágio. IntROdUçãO O problema de dimensionamento de lotes consiste em determinar a quantidade de cada em a ser produzida, em diferentes períodos, de tal modo que uma dada demanda seja atendida. O objetivo é minimizar custos de produção, de estoque e de preparação, sujeos a restrições de limações de capacidade, que incorporam tempos de preparação. Devido ao sistema de produção ser multiestágio, a produção de um em final depende da fabricação de componentes que também, devem ser produzidos e/ou comprados. Quanto à complexidade computacional, encontrar a solução ótima do problema, com recursos de produção limados e custos de preparação, é pertencente à classe NP-hard (Florian et al., 980). Além disso, apenas determinar a existência de solução factível para problemas com tempo de preparação (setup time), pertence à classe NP-Completo (Maes et al., 99). Devido à complexidade de resolução, mesmo para encontrar solução factível, a pesquisa envolve, em sua maioria, métodos heurísticos, entre os quais podemos car Billington et al. (986), Clark e Armentano (995), Tempelmeier e Derstroff (996), Tempelmeier (997), França et al. (997), Katok et al. (998), Berretta et al. (999), Oliveira e Berretta (2000), Özdamar e Barbarosoglu (2000), Armentano et al. (200), Berretta e Rodrigues (2004), Berretta et al. (2005) e Rizk et al. (2006). Os métodos heurísticos existentes para resolução do problema de dimensionamento de lotes multiestágio, com recursos limados, em sua maioria, consistem, inicialmente, em obter um plano de produção que satisfaça a demanda. Geralmente, essa solução é infactível em relação à capacidade de produção. Dessa forma, procedimentos que efetuam transferências de produção entre períodos, são executados com o objetivo de encontrar uma solução factível, buscando minimizar os custos. Além disso, os métodos tratam de ter um procedimento que reinicialize esse processo, ou seja, consiga obter uma nova solução inicial. No artigo de Billington et al. (986), é proposto um método heurístico baseado em relaxação Lagrangiana, utilizando a metodologia branch-and-bound, considerando um único centro gargalo, no qual o tempo e custo de preparação são relevantes. Tempelmeier e Derstroff (996) apresentam uma heurística similar à apresentada por Billington et al. (986), considerando estrutura geral de produto, múltiplas restrições de capacidade e tempos de preparação. França et al. (997) apresentam um método heurístico, composto por quatro procedimentos. O inicial constrói uma solução que, geralmente, é infactível. A seguir, os outros três procedimentos, com distintos objetivos, tentam encontrar uma solução factível e de melhor custo, através de transferências da produção entre períodos. A qualidade das soluções encontradas é avaliada, através de limantes inferiores Lagrangianos. Katok et al. (998) introduzem um método heurístico para encontrar soluções factíveis para o problema, com estrutura de montagem, múltiplas restrições de recurso, custos e tempos de preparação não nulos. O trabalho de Berretta et al. (999) apresenta uma heurística que incorpora Busca Tabu e Simulated Annealing na heurística, apresentada em França et al. (997) e, além disso, consideram lead time diferente de zero. Oliveira e Berretta (2000) avaliam a incorporação da técnica de relaxação Lagrangiana na mesma heurística (França et al., 997). Armentano et al. (200) apresentam uma heurística específica para estrutura serial, considerando lead time diferente de zero. O trabalho de Özdamar e Barbarosoglu (2000) propõe uma heurística para estrutura geral de produto. A técnica proposta combina relaxação Lagrangiana e Simulated Annealing. Como primeira tentativa, são feos dois esquemas de relaxação Lagrangiana e diferentes versões de Simulated Annealing são incorporadas nestas relaxações, as quais são chamadas de heurísticas Lagrangianas. O desempenho destas aproximações é comparado com problemas disponível em leratura (Tempelmeier e Derstroff, 996). Berretta e Rodrigues (2004) apresentam métodos baseados em meta-heurísticas (mais especificamente, em algormo memético) e os resultados obtidos são melhores do que os apresentados em Tempelmeier 78

3 Lilian Kátia de Oliveira; Regina Berretta e Derstroff (996). O trabalho de Berretta et al. (2005) propõe uma meta-heurística híbrida, combinando Busca Tabu e Simulated Annealing. Esse método heurístico é baseado em transferências de produção, com o objetivo de obter capacidade factível e melhorar a qualidade das soluções. Esse trabalho apresenta uma heurística Lagrangiana, incorporando Busca Tabu para o problema de dimensionamento de lotes, considerando estrutura geral e tempos e custos de preparação. A heurística utiliza procedimentos encontrados em França et al. (997). Os resultados computacionais são comparados com os encontrados em França et al. (997), Tempelmeier e Derstroff (996) e Özdamar e Barbarosoglu (2000). O trabalho está organizado, como descro a seguir. Na Seção 2, é apresentada a formulação do problema. A heurística de França et al. (997), as heurísticas Lagrangianas e a heurística que utiliza Busca Tabu estão descras na Seção 3. Finalmente, os resultados e conclusões são apresentados nas seções 4 e FORmUlAçãO do PROblEmA Uma formulação para o problema de dimensionamento de lotes multiestágio pode ser como um problema de programação matemática inteira-mista, dada a seguir. sujeo a: onde são utilizados os seguintes dados: N - número de ens. T - número de períodos. K - número de recursos. p - custo de produção de uma unidade do em i, no período t. h - custo de estocar uma unidade do em i, no período t. s - custo de preparação (setup). a ij - unidades do em i requeridos na produção de uma unidade do em j. d - demanda do em i, no período t. v ikt - quantidade do recurso k utilizado na produção do em i, no período t. f ikt - quantidade do recurso k utilizado na preparação do em i, no período t. CAP kt - capacidade disponível do recurso k no período t. M - lime superior para X. S i - conjunto dos ens sucessores imediatos do em i. e as variáveis de decisões são: X - unidades do em i produzidas no período t. I - unidades do em i estocadas no período t. Y - se houver produção do intem i no período t 0 caso contrário 79

4 Uma abordagem baseada em relaxação lagrangiana e busca tabu para o problema de dimensionamento de lotes multiestágio A função objetivo () minimiza o custo total que é formado pelo custo de produção, estoque e preparação de N ens ao longo de T períodos do horizonte de planejamento. Em (2), têm-se as equações de balanço entre as variáveis de estoque e produção, onde é determinado que a demanda de um em i em um período t (d ) e a quantidade para os lotes p Xde + ens h I sucessores + s Y N T sejam supridas pela combinação () Min ( ) i = N tt= da produção em t (X ) e pelo Min estoque ( em p X + t- (I h I + i,t- ) e que s Y o ) excedente ficará estocado em t ( I ) (). As inequações (3) representam a utilização do recurso k na I i,t - preparação + X i = t= - I -(f ikt ay ij X) ij e = produção d i = (v,..., ikt X ) Nde ; ttodos =,..., os (2) Tens j S em um período t, sendo limadas pela quantidade disponível do i recurso, no período t (CAP kt ). As inequações (4) fornecem um lime superior para X I i,t - + X, caso Y =e - I assegura - a ij X ij = d i =,..., N ; t =,...,(2) T j =0, caso Y =0. S i Considerar sistemas de N produção multiestágios, faz com que o modelo torne-se não decomponível por em nas restrições de balanceamento ( v de estoque e produção. Assim, não é possível aplicar o algormo ikt X + f ikt Y ) CAP kt k=,..., K ; t =,..., T (3) ótimo de Wagner e Whin j N =(958). Tal algormo é utilizado para a resolução do problema de dimensionamento de lotes, sem restrições ( vikt de Xcapacidade + f ikt Y ) com CAPum kt único k= em,..., e pode K ; t = ser,..., aplicado T a cada em, separadamente, se o modelo for X= (3) j - decomponível M Y 0 por em. Dessa i = forma,,..., Numa ; t = formulação,..., T que pode apresentar (4) vantagens, pode ser obtida X adotando-se - M Y o conceo de estoque de escalão, introduzido por Clark e Scarf 0 (4) (960) e implementado por X Afentakis 0, I et 0 al. (984). (5) Estoque de escalão de um em é a quantidade total do em presente no sistema, incluindo a quantidade do em em estoque, Xmais 0, a quantidade I 0 do em contido i =,..., no estoque N ; t = de seus,..., sucessores. T A formulação (5) Y { } (6) em termos de estoque de escalão 0, = é dada a seguir. i,..., N ; t =,..., T Y { N0, T} (6) e E + p X + s Y (7) sujeo a: Min ( ) i = N tt= Min ( e E + p X + s Y ) E + i = i,t - Xt = -E = D E i,t - + X -E = D - a ij E jt E 0 i = j S i N a ij E jt - E 0 i = ( v ikt X + f ikt Y ) CAP k = j S i kt i = N v ikt X + f ikt Y CAP Xi = - M Y 0 X ( ) X - M Y 0 0, 0 E kt,..., N ; t =,..., T,..., N ; t =,..., T,..., K ; t =,..., T k =,..., K ; t =,..., T X 0, E 0 Y { 0, } Y { 0, } (7) (8) (8) (9) (9) (0) (0) () () (2) (2) (3) (3) onde P i - conjunto dos ens predecessores imediatos do em i. e - custo de estoque de escalão do em i, no período t, sendo dado por. ( ) N ) E Z, = Z i (, - kt CAP kt - estoque de escalão do em i, no período t, sendo dado por. t= N k = K t = T Z (, ) = Z i (, ) - kt CAP D kt - demanda de escalão do em i, no período t, sendo dada por. t= k = t = K T (4) (4) K 80

5 Lilian Kátia de Oliveira; Regina Berretta A equivalência entre ()-(6) e (7)-(3) é mostrada por Afentakis et al. (986). Observe que utilizando o conceo de estoque de escalão, não há a dependência entre os ens que aparecem na equação (2) do modelo ()-(6). A dependência encontra-se na equação (9) do modelo (7)-(3). Dessa forma, a aplicação de relaxação Lagrangiana nas restrições (9) e (0) torna o problema resultante, completamente decomponível em N problemas monoestágios, independentes e com capacidade infina de produção. Isto torna possível a utilização do algormo de Wagner e Whin (958), para a resolução do problema Lagrangiano. 2.. Relaxação lagrangiana A técnica de relaxação Lagrangiana é muo utilizada e existem várias razões que justificam o seu uso. Muos problemas de otimização combinatória são problemas fáceis, complicados pela adição de algumas restrições difíceis. No entanto, se estas restrições forem retiradas e introduzidas na função objetivo com uma certa penalidade (os conhecidos multiplicadores de Lagrange), é possível obter um problema fácil de se resolver e, assim, pode-se dar uma atenção maior para a escolha de valores numéricos para os multiplicadores de Lagrange, pois estes são muo importantes para a qualidade dos limantes. Além disso, experiências com relaxação Lagrangiana indicam que esta fornece bons limantes inferiores e de razoável custo computacional (Beasley, 993). Utilizando a técnica de relaxação Lagrangiana, em (7)-(3), o problema Lagrangiano obtido pela dualização das restrições (9) e (0), pode ser escro, como a seguir. sujeo a: onde são os multiplicadores Lagrangianos correspondentes ao conjunto de restrições (9) e (0), respectivamente. Reescrevendo o problema Lagrangiano para cada em i, temos: K K sujeo a: K 8

6 N ( vikt X + f ikt ) Uma abordagem baseada em relaxação lagrangiana e busca tabu para o problema de dimensionamento de Klotes multiestágio j = X - M Y 0 Y CAP = i kt kk =,..., K ; t =,...,,..., N ; t =,..., T T (3) (4) X 0, 0 i =,..., N ; t =,..., I Y { 0, } i =,..., N ; t =,..., T T (5) (6) onde N T Min ( e E + p X + s Y ) i = t= E i,t - + X -E = D - a ij E jt E 0 i = j S i N i = ( v ikt X + f ikt Y ) CAP - X M Y 0 X 0, 0 E,..., N ; t =,..., T Como o problema Lagrangiano decompõe-se em N problemas monoestágios de dimensionamento de lotes, com capacidade infina Y de produção (um para cada componente), pode-se utilizar o algormo de { 0, } (3) Wagner e Whin (958) para a resolução de cada um dos N problemas. Logo, o limante inferior para o problema representado pelo modelo (7)-(3), é dado por: ( ) N K T, ) kt t= k = t = kt = k Z, = Z i ( - CAP kt,..., K ; t =,..., T Com a resolução do problema Lagrangiano tem-se um limante inferior para o problema representado pelo modelo (7)-(3). No entanto, sua solução provavelmente é infactível, pois foram relaxados dois grupos de restrições. 3. HEURíStIcAS PROPOStAS (7) (8) (9) (0) () (2) (4) Inicialmente, será descra a heurística encontrada em França et al. (997), pois seus procedimentos são utilizados nas heurísticas propostas neste trabalho. A seguir, serão descras as heurísticas Lagrangianas e, finalmente, a incorporação de Busca Tabu. i i 3.. Heurística H0 Heurística encontrada em França et al. (997) A heurística encontrada em França et al. (997) é composta por quatro procedimentos: um procedimento para a obtenção da solução inicial (P), um procedimento de factibilização (P2), um procedimento de melhoria (P3) e um de alteração (P4), como mostra a Figura. O procedimento inicial constrói uma so- 82

7 K Lilian Kátia de Oliveira; Regina Berretta K lução que, geralmente, é infactível. A seguir, os outros três procedimentos, com objetivos distintos, tentam encontrar uma solução factível e de melhor custo, através de transferências da produção entre períodos. P infactível factível P2 factível P3 infactível factível infactível FIGURA Diagrama da heurística H0. A seguir, cada procedimento será descro mais detalhadamente. P - Procedimento para obtenção da solução inicial P4 factível O procedimento P considera o modelo ()-(6) sem o conjunto de restrições de capacidade (3). A solução é obtida pela aplicação seqüencial do algormo de Wagner e Whin (958) para cada em separadamente. Inicialmente, aplica-se o algormo aos ens finais e, a seguir, para cada em i tal que, após o cálculo de uma nova demanda (d ), que depende da solução dos sucessores imediatos e da própria demanda (d ), isto é,. Após N aplicações do algormo de Wagner e Whin (958), obtém-se uma seqüência de soluções, que reunidas, formam uma solução para o problema (7)-(3). Como as restrições de capacidade foram ignoradas, provavelmente a solução é infactível em relação ao consumo de recursos. Se isso acontecer, inicia-se o procedimento P2, na tentativa de obter uma solução factível. i P2 - Procedimento de factibilização Esse procedimento tenta iobter uma solução factível, a partir de uma infactível. Uma solução é considerada infactível, se em algum período t, a produção neste período consome uma quantidade de recursos maior que a disponível. A cada período t infactível, é fea uma tentativa de transferir uma i quantidade de produção q da produção X do componente i, no período t (período infactível), para outro período tl (período destino), até que o período t se torne factível. O procedimento é dividido em dois passos: passo Regressivo, onde são analisados os períodos t = T,..., 2 e tl <t; e Progressivo, onde são i analisados os períodos t =,..., T- e tl >t. Em cada período t, para a escolha da transferência, é feo um cálculo que analisa a variação no custo e no excesso da utilização dos recursos que cada transferência causa, no caso de ser efetuada. De todas as transferências analisadas, a que obtiver menor variação, é realizada. Os dois passos, Progressivo e Regressivo, são repetidos até que uma solução factível seja obtida ou um contador de passos atinja o lime máximo pré-especificado. 83

8 Uma abordagem baseada em relaxação lagrangiana e busca tabu para o problema de dimensionamento de lotes multiestágio K P3 Procedimento de melhoria A partir de uma solução factível, este procedimento tenta encontrar uma solução com menor custo, sem permir infactibilidade. O mecanismo é similar ao procedimento P2, com passos Regressivo e Progressivo. A cada período analisado, a transferência efetuada é a que causa maior redução no valor da função objetivo, sem provocar infactibilidade. Os dois passos são sucessivamente executados até que um passo Regressivo e um Progressivo não tenham efetuado nenhuma transferência, terminando com uma solução igual ou melhor que a inicial. P4 Procedimento de alteração Neste procedimento, executa-se uma seqüência de transferências, com o objetivo de obter uma nova solução, mesmo que esta seja infactível. É composto de apenas um passo, onde para cada em é efetuada uma transferência (q,i,t,tl). Os períodos t (período origem) e tl (período destino) são determinados, a partir de uma ordenação prévia dos períodos, segundo a quantidade dos recursos não utilizados em cada período. A cada em é fea a tentativa de transferência do período mais apertado para o mais folgado, em termos de recursos disponíveis. Após a execução do procedimento P, os procedimentos P2, P3 e P4 são continuamente executados até que um crério de parada seja atingido Heurísticas HR e HR2 heurísticas lagrangianas Como do anteriormente, as heurísticas Lagrangianas apresentadas são baseadas no trabalho de França et al. (997), o qual não incorpora as informações do problema Lagrangiano na sua resolução. Serão apresentadas duas heurísticas Lagrangianas: uma típica e outra, um pouco mais sofisticada. As heurísticas podem possuir os seguintes procedimentos: P Procedimento para a obtenção da solução inicial. P2 Procedimento de factibilização. P3 Procedimento de melhoria. P4 Procedimento de alteração. P5 Procedimento para a atualização dos multiplicadores de Lagrange. A seguir, é descro o procedimento para a atualização dos multiplicadores de Lagrange (P5), já que este não é encontrado no trabalho de França et al. (997). P5 Procedimento de atualização dos multiplicadores de Lagrange Este procedimento utiliza a otimização do subgradiente para atualização dos multiplicadores de Lagrange, fornecendo, dessa forma, novos custos Lagrangianos de produção, preparação e estoque. Dados os valores iniciais dos multiplicadores de Lagrange, o método de otimização do subgradiente, gera uma seqüência de multiplicadores, movendo-se na direção do subgradiente por uma distância dada por um determinado passo. Os multiplicadores de Lagrange das restrições (9) e (0) são atualizados de acordo com as equações abaixo: i 84

9 Lilian Kátia de Oliveira; Regina Berretta Neste trabalho, para maximizar a função dual Z(λ, µ) (4), o método do subgradiente utilizado, incorpora as modificações propostas por Camerini et al. (975). Após a atualização dos multiplicadores de Lagrange, os custos Lagrangianos de produção, preparação e estoque são atualizados, possibilando a obtenção de uma nova solução inicial, utilizando-se o algormo de Wagner e Whin (958) (procedimento P). A heurística Lagrangiana típica (HR) é composta pelos procedimentos P, P2, P3 e P5, como mostra a Figura 2. Inicialmente, é obtida uma solução inicial (P) que geralmente é infactível. Caso esta solução seja infactível, executa-se o procedimento de factibilização (P2), na tentativa de obter uma solução factível. Caso tenha sido obtida uma solução factível (em P ou em P2), o procedimento de melhoria (P3) tenta encontrar melhores soluções, a partir da obtida anteriormente. A seguir, para a atualização dos multiplicadores de Lagrange, o procedimento P5 utiliza a otimização do subgradiente, fornecendo novos custos de produção, estoque e preparação, os quais serão utilizados novamente no procedimento P, obtendo uma nova solução inicial. A Figura 2 apresenta o pseudo-código da heurística HR, considerando: er: contador de erações; f(s(er)): valor da função objetivo, utilizando a solução S(er); S*: solução incumbente (melhor solução); er_max: número máximo de erações da heurística; f(s*) = para er = até er_max faça S(er) = Solução de partida (Procedimento P) se (S(er) é infactível) então S(er) = Factibilizacão (Procedimento P2) fim se (S(er) é factível) então S(er) = Melhoria (Procedimento P3) se f(s(er)) < f(s*) então S* = S(er) fim Atualiza_Mult (Procedimento P5) fim {para er} Se S* é infactível, então o método falhou. FIGURA 2 Pseudo-código da heurística HR. A outra heurística Lagrangiana (HR2) é composta pelos procedimentos P, P2, P3, P4 e P5, como mostra a Figura 3. O que a diferencia de HR, é a presença do procedimento de alteração (P4), estando a heurística H0 de forma completa internamente na heurística HR2. Como na heurística anterior, primeiramente é obtida uma solução inicial (P) que geralmente é infactível. A seguir, caso a solução encontrada em P seja infactível, executa-se o procedimento de factibilização (P2). No caso de encontrar uma solução factível, executa-se o procedimento de melhoria (P3), para tentar encontrar soluções de melhor qualidade e, em seguida, o procedimento de alteração (P4) é aplicado para a obtenção de novas soluções, mesmo infactíveis ou de pior custo, com o objetivo de obter um novo ponto de partida para o procedimento P2. Os procedimentos P2, P3 e P4 são executados durante um certo número de vezes. Então, o procedimento para a atualização dos multiplicadores de Lagrange (P5) é executado, obtendo novos custos Lagrangianos, para então ser executado novamente o procedimento P e assim obter-se um novo ponto de partida. 85

10 Uma abordagem baseada em relaxação lagrangiana e busca tabu para o problema de dimensionamento de lotes multiestágio f(s*) = para a = até a_max faça S() = solução de partida (Procedimento P) para er = até er_max faça se (S(er) é infactível) então S(er) = Factibilizacão (Procedimento P2) fim se (S(er) é factível) então S(er) = Melhoria (Procedimento P3) se f(s(er)) < f(s*) então S* = S(er) fim S(er) = Alteração (Procedimento P4) fim Atualiza_Mult (Procedimento P5) fim {para er} Se S* é infactível, então o método falhou. FIGURA 3 Pseudo-código da heurística HR2. As heurísticas executam os procedimentos até que um crério de parada seja atingido, retornando à melhor solução factível obtida ou informando que nenhuma solução factível foi encontrada e, nesse caso, não é possível garantir que o problema não possua solução factível. O que diferencia a heurística de França et al. (997) e as heurísticas Lagrangianas é o procedimento para a obtenção de uma nova solução inicial. Em França et al. (997), o procedimento de alteração (P4), que é baseado apenas em transferências de partes da produção entre períodos, é quem tem como objetivo obter uma nova solução de partida mesmo que estas sejam infactíveis ou de pior custo. Já nas heurísticas Lagrangianas, o procedimento para a atualização dos multiplicadores de Lagrange (P5), é que obtém novos custos Lagrangianos, para então ser executado novamente o procedimento P e assim, obter uma nova solução inicial Heurística HRt heurística utilizando busca tabu A incorporação de Busca Tabu (Glover e Laguna, 997) foi fea na heurística HR2, pois como será visto na próxima seção, foi a heurística de melhor desempenho, antes da incorporação de Busca Tabu. O objetivo foi a prevenção da ciclagem durante a execução dos procedimentos P2, P3 e P4, onde transferências feas no passo Progressivo desfaziam transferências efetuadas no passo Regressivo. Além disso, movimentos realizados no procedimento P4 eram desfeos no procedimento P2. Foram testados vários atributos, crérios de aspiração e tamanhos diferentes de listas. Apresentam-se os que obtiveram melhores resultados. A escolha desses parâmetros foi baseada no trabalho de Berretta et al. (999). Durante a execução dos procedimentos P2, P3 e P4, um movimento pode ser caracterizado por (q,i,t,tl), representando a transferência de uma quantidade q do em i, do período t ao período tl. A cada movimento (q,i,t,tl) efetuado, o atributo (i,t) recebe a condição tabu durante um determinado número de transferências. A cada movimento (q,i,t,tl), nos procedimentos P2 e P4, verifica-se se o par (i,tl) está proibido. Caso não exista nenhum movimento disponível, sem a condição tabu, durante a análise de um período t, o crério de aspiração seleciona o movimento menos tabu, ou seja, o que está mais próximo de tornar-se não tabu. 86

11 Lilian Kátia de Oliveira; Regina Berretta 4. RESUltAdOS computacionais As implementações foram realizadas em linguagem C e os testes foram realizados em um Pentium III 650 MHz. Os exemplos numéricos utilizados nos testes computacionais foram divididos em três grupos, G, G2 e G3. Os grupos G e G2 foram gerados aleatoriamente e o grupo G3 é o encontrado em Tempelmeier e Derstroff (996). O grupo G é composto por 60 exemplos de pequena dimensão, onde para cada exemplo a solução ótima foi determinada, usando CPLEX 4.0. Exemplos de média dimensão são encontrados no grupo G2, composto de 240 exemplos. Neste caso, a heurística é comparada com o valor do limante inferior, obtido usando relaxação Lagrangiana. A Tabela descreve os intervalos de valores usados para gerar os exemplos dos grupos G e G2. Tais valores são os mesmos encontrados em França et al. (997). As características dos exemplos encontrados nos grupos G e G2 estão descras na Tabela 2. TABELA Parâmetros utilizados para a TABELA 2 Características dos grupos G e G2. geração dos exemplos dos grupos G e G2. Parâmetro Intervalo Grupo G Grupo G2 p U[,5;2] Estrutura Serial e geral Serial e geral s para custo baixo de 3x6, 3x2, 6x6, 0x2, 0x8, 7x2, U[5;95] NxT preparação 0x6 7x8, 40x2, 40x8 s para custo alto de Custo de U[50;950] preparação preparação Baixo e alto Baixo e alto e U[0,2;0,4] Capacidade c e c2 c e c2 v U[2;3] Sementes 5 5 f U[50;250] Total d para ens finais d para ens não finais U[0;80] U[0;8] Os parâmetros a ij e K foram considerados constantes com valor em G e G2. Para a capacidade (CA- P kt ), foram realizados cálculos para que os valores deste parâmetro estejam relacionados com a quantidade de recursos necessários e os valores de demanda gerados. Inicialmente, foi utilizada a solução obtida com a política lote-por-lote, ou seja, para cada período t, calcula-se a quantidade de recursos utilizada, caso a produção neste período seja exatamente a demanda do período, isto é, A partir desse valor foi calculada uma média, de tal modo que a quantidade de um determinado recurso k em cada período t, seja a mesma, isto é, Assim, os problemas foram divididos em duas categorias, segundo a disponibilidade de recursos: c: fazendo CAP t = C t t=,...,t c2: fazendo CAP t =,*C t t=,...,t Desta forma, os problemas que consideram c são os com capacidade que chamamos de normal e os que consideram c2, são os chamados de folgados. As estruturas gerais para os exemplos com 0, 7 e 40 ens são as encontradas em França et al. (997), Maes et al. (99) e Clark e Armentano (995), respectivamente. i i 87

12 Uma abordagem baseada em relaxação lagrangiana e busca tabu para o problema de dimensionamento de lotes multiestágio O grupo G3 é composto por 600 exemplos, com 0 ens, 4 períodos e 3 recursos. Cada exemplo foi gerado combinando duas estruturas de produto, três estruturas de demanda para os ens finais, cinco combinações de time-between orders (TBO) e cinco combinações de utilização de capacidade. Mais detalhes da geração desses exemplos, podem ser encontrados em Tempelmeier e Derstroff (996). Para a análise dos resultados, foi calculada a percentagem de exemplos, onde a heurística consegue obter solução factível. Além disso, para avaliar a qualidade das soluções, calculamos o gap entre o valor obtido pela heurística e um limante inferior, obtido pela aplicação de relaxação Lagrangiana ou o valor da solução da heurística, com valor ótimo obtido pelo pacote CPLEX 4.0. As Tabelas 3 e 4 descrevem as nomenclaturas desses valores e das heurísticas, respectivamente. TABELA 3 Descrição das legendas utilizadas para análise dos resultados. FAc GAP GAPO Percentagem de exemplos onde foi obtida solução factível. Média entre os gaps das soluções obtidas, onde gap representa a diferença percentual entre a solução atingida pela heurística e um limante inferior, obtido pela aplicação de relaxação Lagrangiana. Diferença percentual entre a solução atingida pela heurística e valor ótimo obtido pelo pacote CPLEX. TABELA 4 Descrição da nomenclatura das heurísticas. H0 Heurística composta pelos procedimentos P, P2, P3 e P4 (França et al., 997). HR Heurística composta pelos procedimentos P, P2, P3 e P5. HR2 Heurística composta pelos procedimentos P, P2, P3, P4 e P5. HRt Heurística HR2 com a incorporação de Busca Tabu. Os parâmetros utilizados em cada uma das heurísticas, para obtenção dos resultados aqui presentes, são descros a seguir. Vale ressaltar que diferentes valores para os parâmetros foram testados e são apresentados os que obtiveram melhores resultados. O método do subgradiente presente nas heurísticas HR, HR2 e HRT, foi executado por 30 erações. Todas as heurísticas foram executadas por 00 erações. Nas heurísticas HR2 e HRT, a heurística interna H0 foi executada até que 5 erações tenham sido realizadas, sem que uma nova solução incumbente tenha sido encontrada. A Busca Tabu, presente na heurística HRT, foi executada, a partir da eração 0 e o tempo tabu (TAG) foi gerado aleatoriamente no intervalo [a,a*4], onde a é o número médio de transferências realizado por eração. A seguir, estão descros os resultados obtidos para cada grupo e sua respectiva análise. 4.. Resultados das heurísticas utilizando os grupos G e G2 As Tabelas 5 e 6 mostram os resultados para o grupo G. A Tabela 5 mostra FAC e GAP obtido pelas heurísticas, enquanto na Tabela 6, estão descros os valores de GAP e GAPO para as heurísticas H0 e HRT, além do tempo computacional gasto em ambas. Nas Tabelas 7 e 8, estão os resultados para o grupo G2, mostrando, respectivamente, os resultados de FAC e GAP para esse grupo. Observando os resultados em relação à obtenção de soluções factíveis (Tabelas 5 e 7), as heurísticas são muo similares. Para o grupo G, as heurísticas conseguem obter soluções factíveis para a mesma quantidade de exemplos. No grupo G2, nota-se uma pequena superioridade para as heurísticas que incorporam os custos Lagrangianos em sua estratégia. 88

13 Lilian Kátia de Oliveira; Regina Berretta TABELA 5 GAP e FAC para os exemplos do grupo G. custo de Estrutura Preparação nxt GAP FAc H0 HR HR2 HRt 3x6 4,6 4,5 4,3 4,3 70,0 3x2 5,4 4,8 4,6 4,5 90,0 baixo 6x6 2,3 2,4,7,7 80,0 0x6 2,5 2,5 2,0,8 90,0 Geral 3x6 29,2 25,7 25,5 26,7 70,0 3x2 22,8 2,0 9,7 2, 90,0 Alto 6x6 20,0 8,0 6,6 6,7 80,0 0x6, 8,6 8,3 8,4 90,0 média 2,0 0,7 0, 0,4 82,5 3x6 4, 3,8 3,9 3,6 80,0 3x2 4,7 4,5 4,2 4, 90,0 baixo 6x6 3,7 3,8 3, 3,0 90,0 0x6 3,2 3,0 2,9 2,6 80,0 Serial 3x6 28, 26,5 24,7 24,7 80,0 3x2 20,9 6,9 6,7 7,0 90,0 Alto 6x6 2,7 2,9 9,2 20,8 90,0 0x6 6,0 5,4 5, 4,2 80,0 média 2,8 2,0,2,2 85,0 TABELA 6 GAP e GAPO para os exemplos do grupo G. Estrutura Geral Serial custo de Preparação baixo nxt H0 HRt GAPO GAP tempo (s) GAPO GAP tempo (s) 3x6 3,2 4,6 0,03 0,0 4,3 3,84 3x2,9 5,4 0,09 0, 4,5 8,77 6x6,7 2,3 0,09 0,0,7 7,24 0x6 2,4 2,5 0,3 0,,8 9,20 3x6 4, 29,2 0,02 2, 26,7 3,83 3x2 3, 22,8 0,07 3,2 2, 0,4 Alto 6x6 4, 20,0 0,07,3 6,7 8,48 0x6 3,9, 0,4,9 8,4 5,03 média 3,0 2,0 0,0, 0,4 9,57 3x6 0,6 4, 0,0 0, 3,6 3,39 3x2 0,8 4,7 0,05 0,2 4, 7,43 baixo 6x6,0 3,7 0,05 0,3 3,0 6,4 0x6 0,7 3,2 0,5 0, 2,6 4,79 3x6 3,8 28, 0,05,0 24,7 3,66 3x2 4,5 20,9 0,04,3 7,0 8,66 Alto 6x6 2,7 2,7 0,03 2, 20,8 6,54 0x6 2, 6,0 0, 0,5 4,2,34 média 2,0 2,8 0,06 0,7,2 7,74 No que diz respeo à qualidade das soluções, observe, primeiramente, as diferenças entre H0 e HR. No grupo G, HR foi superior à H0. No grupo G2, H0 foi superior à HR nos exemplos com estrutura geral de produto, enquanto para os exemplos com estrutura serial, HR foi superior. Essas duas heurísticas distinguem-se apenas na obtenção da solução inicial. Na heurística H0, é realizada pelo procedimento P4 89

14 Uma abordagem baseada em relaxação lagrangiana e busca tabu para o problema de dimensionamento de lotes multiestágio (baseado em transferências de produção entre períodos), enquanto na heurística HR, é realizada pelo procedimento P5 e P (utilizando os custo Lagrangianos, obtidos em P5, para executar o procedimento P novamente). Pode-se dizer que o uso dos multiplicadores Lagrangianos é responsável por uma melhoria na eficiência da heurística, na maioria dos exemplos, mas não no total deles. Observando agora, as heurísticas HR2 e HRT: ambas obtiveram resultados superiores a H0 e HR, o que era esperado, pois ambas possuem a heurística H0 internamente. A inclusão de Busca Tabu não resultou em melhoras significativas, mas vale ressaltar, que esses resultados podem estar muo próximos do ótimo, como os resultados do grupo G, na Tabela 6, mostram quando são comparados GAP e GAPO. TABELA 7 Percentagem de soluções factíveis (FAC) para os exemplos do grupo G2. Estrutura custo de Preparação N H0 HR HR2 HRT Geral baixo Alto média 65,0 70,8 67,5 70, baixo Serial Alto média 70,8 7,7 70,8 7,7 TABELA 8 Qualidade das soluções (GAP) para os exemplos do grupo G2. Estrutura custo de Preparação N H0 HR HR2 HRT 0 3, 3,2 2,6 2,3 Geral baixo Alto 7,2 0,9 0,8 0,7 40,9 2,3,6,2 0 2,9 5,6,9 2,4 7 6,2 5,6 5,0 4,6 40 2,5 4,2 0,8,0 média 5,8 6,2 4,9 4,8 0 4,0 4,2 3,6 3,5 baixo 7 5,2 5,0 4,7 4,4 Serial 40 0,6 0,6 0,6 0,6 0 8,7 6,6 6,4 6, Alto 7 2, 20,4 7,7 6, ,3 24,0 22,9 2,9 média 2,5,9,0 0,5 O tempo computacional gasto pela heurística H0, para os exemplos do grupo G2, foi de alguns segundos (, 2 e 5 para os exemplos com 0, 7 e 40 ens, respectivamente) e para as heurísticas HRT e HR2, foi de, 2 e 5 minutos para os mesmos exemplos. Vale ressaltar que as heurísticas H0 e HR foram executadas 90

15 Lilian Kátia de Oliveira; Regina Berretta por um tempo superior (equivalente aos tempos computacionais de HR2 e HRT), mas os resultados não foram da mesma qualidade que HR2 e HRT Resultados das heurísticas utilizando o grupo G3 A Tabela 9 apresenta os resultados que estão no artigo de Tempelmeier e Derstroff (996) e os resultados obtidos pela heurística HRT, para o mesmo grupo de exemplos. Na média geral, a heurística HRT ficou a 2,9% da solução ótima, enquanto Tempelmeier e Derstroff (996) reportam que obtiveram um gap de,3%. Özdamar e Barbarosoglu (2000), que apresentaram uma heurística Lagrangiana, com a inclusão de Simulated Annealing, obtiveram, para o mesmo grupo de exemplos, um gap de 4,2%. Os resultados parciais obtidos por Özdamar e Barbarosoglu (2000) não estão na Tabela 9, porque temos apenas a média geral obtida por eles no grupo G3. Vale ressaltar que Özdamar e Barbarosoglu (2000) reportam que implementaram a heurística de Tempelmeier e Derstroff (996) e com a implementação que eles realizaram, o gap obtido foi de 2,%. TABELA 9 Resultados de HRT e de Tempelmeier e Derstroff (996) para o grupo G3. Estrutura Perfil de Preparação tempelmeier e derstroff (996) HRt GAPO GAPO GAPt tempo (s) Geral 2,0 2,4 0,4 33,7 2,8 3,2,4 33,3 Média,9 2,8 0,9 33,5 Montagem 0,7 3, 2,4 44,5 2 0,7 3, 2,4 4, Média 0,7 3, 2,4 42,8 Média Geral,3 2,9,6 38,2 5. conclusões Este trabalho apresentou heurísticas Lagrangianas, com a inclusão de Busca Tabu, para o problema de dimensionamento de lotes, com restrições de capacidade, incluindo custos e tempos de preparação. O objetivo foi avaliar a utilização de diferentes estratégias e comparar os resultados com as heurísticas apresentadas em França et al. (997), Tempelmeier e Derstroff (996) e Özdamar e Barbarosoglu (2000). Foram três as heurísticas apresentadas: HR, HR2 e HRT. Todas as heurísticas obtêm uma solução inicial, geralmente infactível e, a seguir, procedimentos baseados em transferências de produção são executados, na tentativa de se obter uma solução factível. A heurística HR é uma típica heurística Lagrangiana, onde o método do subgradiente é utilizado para obter novos custos Lagrangianos e utilizá-los para obtenção de uma nova solução inicial. Esta heurística contrasta com a encontrada em França et al. (997) (H0) exatamente na estratégia de obtenção de uma nova solução inicial. Em H0, um procedimento baseado em transferências de produção (sem utilização de custos Lagrangianos) é utilizado para obtenção de uma nova solução inicial. A utilização de custos Lagrangianos, como estratégia heurística, resultou em uma heurística mais eficiente na maioria dos exemplos testados. As heurísticas HR2 e HRT utilizaram a heurística H0, como uma busca local antes de obter uma nova solução inicial, com o uso dos custos Lagrangianos. Essas duas heurísticas conseguiram melhorar o desempenho. No grupo G, H0 consegue obter soluções a 3,0% e 2,0%, em relação ao ótimo para exemplos com estrutura geral e serial, respectivamente, enquanto HRT consegue obter soluções a,% e 0,7%. Para 9

16 Uma abordagem baseada em relaxação lagrangiana e busca tabu para o problema de dimensionamento de lotes multiestágio o grupo G2, H0 obtém resultados a 5,8% e 2,5% (estruturas geral e serial, respectivamente), enquanto HRT obtém valores de 4,8% e 0,5%. Vale ressaltar que esses resultados podem estar muo próximos da solução ótima, como foi constatado pelos resultados do grupo G. Nesse grupo (G), observamos que a diferença entre GAPO e GAP é em torno de 0 pontos percentuais. Mostrando um grande gap de dualidade. Finalmente, para o grupo G3, HRT obteve soluções a 2,9% do ótimo, enquanto Özdamar e Barbarosoglu (2000) obtiveram 4,2%. Os resultados apresentados por Tempelmeier e Derstroff (996) são de,3%. Entretanto, Özdamar e Barbarosoglu (2000) reportam que implementaram a heurística de Tempelmeier e Derstroff (996) e quando executada, os resultados ficaram a 2,% do ótimo. 6. REFERêncIAS bibliográficas AFENTAKIS, P.; GAVISH, B. e KARMAKAR, U., Computationally Efficient Optimal Solutions to the Lot- Sizing Problem in Multistage Assembly System. Management Science, v. 30, nº. 2, pp , 984. AFENTAKIS, P. e GAVISH, B., Optimal Lot-Sizing Algorhms for Complex Product Structures. Operations Research, v. 34, pp , 986. ARMENTANO, V., BERRETTA, R. e FRANÇA, P., Lot-Sizing in Capacaded Multi-Stage Serial Systems. Production and Operations Management Journal, v. 0, nº., pp , 200. BERRETTA, R., ARMENTANO, V. e FRANÇA, P., Metaheuristic Approaches for the Multilevel Resource- Constrained Lot-Sizing Problem wh Setup and Lead Times. Relatório Técnico n. 89, ICMC, USP, 999. BERRETTA, R. e RODRIGUES, L. F., A Memetic Algorhm for Multi-Stage Capacated Lot-Sizing Problems. International Journal of Production Economics, v. 87, nº., pp. 67-8, BERRETTA, R., FRANCA, P. e ARMENTANO, V., Metaheuristic Approaches for the Multilevel Resource- Constrained Lot-Sizing Problem wh Setup and Lead Times. Asia-Pacific Journal of Operational Research, v. 22, nº. 2, pp , BEASLEY, J. E., Lagrangean Relaxation. In: Modern Heuristic Techniques for Combinatorial Problem, Eded by Reeves, C. R. Blackwell Scientific Publications, Oxford, Great Brain, 993. BILLINGTON, P. J.; MCCLAIN, J. O. e THOMAS, L. J., Heuristics for Multi-Level Lot-Sizing wh a Bbottleneck. Management Science, v. 32, pp , 986. CAMERINI, P. M., FRATTA, L. e MAFFIOLI, F., On Improving Relaxation Methods by Modified Gradient Techniques. Mathematical Programming Study, v. 3, pp , 975. CLARK, A. J e SCARF, H., Optimal Policies for a Multi-Echelon Inventory Problem. Management Science, v. 6, p , 960. CLARK, A. R. e ARMENTANO, V. A., A Heuristic for a Resource-Capacated Multi-Stage Lot-Sizing Problem wh Lead Time. Journal of the Operational Research Society, v. 46,pp , 995. FLORIAN, M.; LENSTRA, J. K. e RINNOY KAN, A. H. G., Deterministic Production Planning Algorhms and Complexy. Management Science, v. 26, pp , 980. FRANÇA, P. M.; ARMENTANO, V. A.; BERRETTA, R. E. e CLARK, A. R., A Heuristic for Lot-Sizing in Multi-Stage Systems. Computers and Operations Research, v. 24, nº. 9, pp , 997. GLOVER, F. e LAGUNA, M., Tabu Search, Klumer Academic Publishers Norwell, Massachussetts, 997. KATOK, E.; LEWIS, S. H. e HARRISON, T. P., Lot Sizing in General Assembly Systems wh Setup Costs, Setup Times and Multiple Constrained Resources. Management Science, v. 44, pp , 998. MAES, J.; MCCLAIN, J. O. e VAN WASSENHOVE, L. N., Multilevel Capacated LotSizing Complexy and LP Heuristics. European Journal of Operational Research, v. 53,pp. 3-48,

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