META-HEURÍSTICA BASEADA EM SISTEMAS IMUNOLÓGICOS APLICADA AO PROBLEMA CAPACITADO DE DIMENSIONAMENTO DE LOTES MULTI-NÍVEL

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1 XXX ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Maturidade e desafios da Engenharia de Produção: competitividade das empresas, condições de trabalho, meio ambiente. São Carlos, SP, Brasil, 12 a15 de outubro de META-HEURÍSTICA BASEADA EM SISTEMAS IMUNOLÓGICOS APLICADA AO PROBLEMA CAPACITADO DE DIMENSIONAMENTO DE LOTES MULTI-NÍVEL Claudio Fabiano Motta Toledo (ufla) claudio@yahoo.br Renato Resende Ribeiro de Oliveira (ufla) renatorro@comp.ufla.br Michel Henrique Aquino Santos (ufla) michel.has@gmail.com Lucas de Oliveira (unicamp) oliveiralukas@yahoo.com.br Paulo Morelato França (unesp) paulo.morelato@gmail.com O presente artigo propõe um método de resolução para o Problema Capacitado de Dimensionamento de Lotes Multi-Nível (PCDLMN). O objetivo é obter o planejamento da produção minimizando os custos de estoque e ajuste (setup), respeitando tambémm a capacidade das máquinas. O método combina uma meta-heurística baseada em sistema imunológico biológico com um LP/MIP solver (ILOG CPLEX). A metaheurística fixa as variáveis binárias do modelo enquanto o método exato é utilizado na determinação das variáveis contínuas. Instâncias da literartura são solucionadas por uma ferramenta de modelagem matemática cujas soluções servem para avaliação do desempenho da abordagem proposta. A abordagem proposta consegue melhores resultados que o método exato em diversas instâncias. Palavras-chaves: Dimensionamento de Lotes, Multi-Nível, Sistemas Imunológicos, Meta-heurística

2 1. Introdução O presente artigo propõe um método de resolução para o Problema Capacitado de Dimensionamento de Lotes Multi-Nível (PCDLMN). O método combina uma meta-heurística baseada em sistema imunológico biológico com um LP/MIP solver (ILOG CPLEX). O objetivo é obter o planejamento da produção minimizando os custos de estoque e ajuste (setup), respeitando também a capacidade das máquinas. O planejamento da produção em problemas big-bucket multi-nível consiste em definir as quantidades de matéria-prima, itens intermediários e produtos finais que devem ser produzidos em cada periodo para se atender a demanda interna e externa. Ao contrário de problemas do tipo small-bucket, não há uma discretização dos períodos em micro-períodos e a sequência de produção dentro de um período não importa. As decisões tomadas em um processo de planejamento da produção são essenciais para as indústrias nos dias atuais, já que minimizar custos pode ser um fator crucial na manutenção da competitividade de seus produtos no mercado. Planejar a produção contemplando multiplos níveis é um processo complexo. Há uma interdependência entre as quantidades produzidas para diversos itens que dificulta as decisões envolvidas no planejameno da produção. O PCDLMN foi provado ser NP-Díficil por Maes et al (1991). Stadtler (1996). Por isso, métodos heurísticos costumam ser propostos para tratar esse problema. Jans e Degraeve (2007) apresentam uma revisão bibliográfica sobre a utilização de meta-heurísticas em problemas de dimensionamento de lotes e programação da produção. Han et al (2009) propõe um algoritmo de enxame de partículas com redefinição dos operadores matemáticos para resolver um problema de dimensionamento de lotes multi-nível não capacitado. Os resultados obtidos são comparados aqueles encontrados por um algoritmo genético. Um sistema imunológico artificial é um sistema computacional baseado em metáforas do sistema imunológico natural (TIMMIS, 2000). Segundo Dasgupta (1998), sistemas imunológicos artificiais são compostos por metodologias inteligentes inspiradas no sistema imunológico biológico para a solução de problemas do mundo real. O Algoritmo de Seleção Clonal (ASC) foi inicialmente proposto por de Castro & Von Zuben (2001). É um algoritmo baseado no princípio da seleção clonal do sistema imunológico biológico, onde células capazes de reconhecer os invasores (antígenos) irão se proliferar e produzir um número grande de clones. Durante a proliferação, os clones estão sujeitos a um processo de mutação visando alcançar uma afinidade maior com o antígeno a ser combatido. Neste estudo foi desenvolvido um método híbrido que utiliza o ASC na determinação das variáveis binárias do modelo matemático. Em seguida, o pacote ILOG CPLEX é utilizado para determinar as variáveis continuas do problema. Para isso, uma reformulação do modelo original é proposta. Toledo et al (2009) propôs abordagem semelhante para o problema integrado de dimensionamento de lotes e programação da produção aplicado à produção de bebidas. Um algoritmo genético multi-populacional é usado para determinar as variávies binárinas e, em seguida, o modelo contínuo é solucionado usando AMPL/CPLEX. Almeder (2010) também utiliza esta abordagem em um PCDLMN, definindo as variáveis binárias do modelo matemático através de um algoritmo baseado em colônia de formigas. Özdamar e Barbarosoglu (2000) utilizam uma divisão do problema geral PCDLMN em subproblemas menores que são solutcionados por um algoritmo simulated annealing integrado a um método de relaxação lagrangeana. Tempelmeier e Helber (1994) desenvolveram uma heurística baseada nas características do problema para resolução de instâncias do PCDLMN. Stadtler (2003) propõe uma decomposição do PCDLMN em subproblemas com um numero reduzido de periodos. Cada 2

3 subproblema é resolvido avançando uma janela de tempo, onde os primeiros peridos são removidos e os subsequentes são adicionados. Akartunali e Miller (2009) utilizam uma decomposição similar combinada com uma heurística do tipo relax-and-fix aplicada a uma reformulação fortalecida para o PCDLMN. Sahling et al (2009) resolve uma variação do PCLDMN, onde o primeiro e o último produtos devem ser definidos. Um heurística do tipo fix-and-optimize é utilizada. A mesma idéia é aplicada por Helber e Sahling (2010) para o problema original do PCDLMN. O trabalho está dividido em 5 seções. O modelo matemático original e a reformulação utilizada são descritos na seção 2. O método proposto é apresentado na seção 3. Os resultados computacionais são avaliados na seção 4 e as conclusões deste trabalho estão na seção Modelo Matemático do PCDLMN O PCDLMN consiste em minizar os custos totais que incluem os custos de estoque, custos de ajuste e penalidades por estouro da capacidade disponível. Essa minimização deve ser feita respeitando os limites de capacidade das máquinas, restrições de balanço de estoque e atribuição de produtos em cada período. Um modelo matemático será apresentado para descrever os objetivos e restrições do problema. Também é proposta uma reformulação desse modelo matemático, visando remover variáveis binárias já que elas serão determinadas pelo método de resolução Modelo Original O modelo apresentado é o mesmo descrito em Stadtler (2003). As notações que serão utilizadas na definição do modelo são as seguintes: Parâmetros: J Quantidade total de produtos. T Quantidade total de períodos. M Quantidade total de máquinas. a Capacidade gasta para produzir uma unidade do produto j na máquina m. mj B Limitante superior para tamanho do lote do produto j no período t. C mt Capacidade total da máquina m no período t. h Custo de estoque de uma unidade do produto j em um período. j oc mt Custo por unidade de capacidade ultrapassada (overtime) na máquina m no período t. P Demanda primária (externa) do produto j no período t. r Quantidade do produto j necessária para produzir uma unidade de seu sucessor k. jk sc Custo de ajuste do produto j. j st Gasto de capacidade para ajuste do produto j na máquina m (setup time). mj Conjuntos: S Conjunto dos sucessores imediatos do produto j. j Variáveis: x Quantidade produzida do produto j no período t. y Variável de ajuste do produto j no período t. i Quantidade estocada do produto j no período t. 3

4 z mt Quantidade de capacidade ultrapassada na máquina m no período t. A formulação matemática do PCDLMN cosiderando violação da capacidade (overtime) é descrito abaixo: sujeito à: J T minimizar ( h i ) ( sc y ) ( ocmt zmt ) (1) J j=1 t=1 J T j=1 t=1 M T m=1 t=1 i 1 x = P i ( rjk xkt ) j [1, J], t [1, T] (2) k S j ( amj x ) ( stmj y ) Cmt zmt m [1, M ], t [1, T] (3) j=1 J j=1 x B y j [1, J], t [1, T] (4) JxT y {0,1}, JxT i 0, z 0 MxT (5) JxT x 0 (6) A função objetivo (1) do PCDLMN minimiza a soma dos custos de estoque, custos de ajuste (setup) e custos de violação da capacidade para todos os produtos, máquinas e periodos. A restrição de balanço de estoque (2) do problema considera a demanda interna e externa do produto. A quantidade produzida no período atual mais a quantidade estocada no período anterior devem atender as demandas primária e interna mais o estoque do produto no período atual. O estoque no periodo zero é o estoque inicial do produto e o estoque no período T é o estoque final. A restrição de capacidade da máquinas (3) também determina o valor da capacidade violada em cada período. Essa restrição garante que o tempo de produção de todos os produtos mais o tempo de ajuste desses produtos, considerando mesma máquina e periodo, devem ser menor ou igual a capacidade disponível mais a capacidade violada. A restrição de ajuste (4) estabelece que os produtos devem estar ajustados, y = 1, quando houver produção x > 0. Os domínios das variáveis estão apresentados nas restrições (5) e (6) Reformulação Proposta O método criado consiste em fixar os valores da variável binária y para que o modelo resultante se torne contínuo. Após fixar os valores binários, o solver ILOG CPLEX é executado para definir os lotes de produção e as quantidades estocadas. Uma reformulação foi proposta visando remover a variável y. Inicialmente, alteramos a função objetivo (1) para: J T minimizar ( h i ) ( ocmt zmt ) (7) j=1 t=1 M T m=1 t=1 4

5 O valor obtido irá retornar a soma dos custos de estoque e violação da capacidade. A metaheurística fica encarregada de calcular os custo de ajuste que é adicionado ao valor retornado pelo solver. A restrição de balanço de estoque (2) fica inalterada, mas a restrição de capacidade (3) é substituída por: J ( amj x ) zmt Cmt m [1, M ], t [1, T] (8) j=1 Na nova restrição, o valor de C mt é modificado constantemente pela meta-heurística que subtrai os tempos de ajustes da capacidade total da máquina m no periodo t. A retrição (4) é eliminada do modelo. Para que a variável x respeite os ajustes definidos pela meta-herística, os limitantes superiores e inferiores da variável x são fixados em zero quando não há ajuste do produto j no periodo t ( y = 0 ). Quando há tal ajuste, o limitante superior é definido como infinito. Dessa forma, o modelo resultante é composto pelas retrições (2), (6), (7) e (8). 3. Métodos de Resolução 3.1 Representação da solução e função de avaliação Inicialmente, a codificação da solução utilizada na meta-heurística será apresentada. Trata-se de uma matriz do tipo J xt com entradas binárias. As entradas com valor 1 indicam ajuste do produto em determinado periodo. A Figura 1 apresenta uma possível codificação da solução considerando 4 produtos e 6 períodos. T1 T2 T3 T4 T5 T6 P P P P Figura 1 - Exemplo de codificação de solução com 4 produtos e 6 periodos Na Figura 1 todos os produtos, exceto P 3, serão produzidos no período T 1. A partir da codificação apresentada, o cálculo da função de avaliação (fitness) é realizado seguindo os passos descritos na Figura 2. Passo 1: Calcular custos e tempos de ajuste seguindo os valores contidos na codificação. Passo 2: Atualizar variável de capacidade do modelo, subtraindo da capacidade total da máquina no periodo os tempos de ajuste calculados no Passo 1. Passo 3: Atualizar os limitantes superiores da variável do modelo caso o produto esteja ou não ajustado em determinado período. Passo 4: Executar ILOG CPLEX e receber o valor da função objetivo (equação 9). Passo 5: Somar o valor da função objetivo retornada pelo solver aos custos de ajuste. Retornar resultado como valor da função de avaliação. Figura 2 - Cálculo da função de avaliação Os custos de ajuste e os tempos de ajuste são calculados a partir da codificação da solução (Passo 1). As capacidades das máquinas (Passo 2) e os limitantes das variáveis x (Passo 3) são redefinidos no modelo reformulado. O CPLEX é então executado para o modelo reformulado (Passo 4) e o valor final da solução é calculado (Passo 5). Esse valor é composto por aquele obtido pelo solver mais os custos de ajuste anteriormente calculados. 5

6 3.2. Abordagens para o Algoritmo de Seleção Clonal Dois métodos baseados no Algoritmo de Seleção Clonal (ASC) serão descritos nesta seção. A Figura 3 apresenta o pseudocódigo para o primeiro método que será chamado ASC-1. Procedimento ASC-1() taxaclonagem 1,5; nanticorpos 25; nclones taxaclonagem*nanticorpos; memoria 1; npiores 5; tipomutacao 0 Inicializa(anticorpos); CalculaFitness(anticorpos); Ordena(anticorpos); Enquanto (tempo total não atingido) faça tipomutacao (tipomutacao mod 3)+1; / clona, muta e substitui anticorpo da memória / taxamutacao 1; Para c 1 até nclones faça clones[c] anticorpos[1]; Mutar(clones[c],tipoMutacao, taxamutação); CalculaFitness(clones[c]); Ordena(clones); Se (F(clones[1]) < F(anticorpos[1])) então anticorpos[1] clones[1]; / clona, muta e substitui anticorpos restantes / Para a memoria+1 até nanticorpos faça taxamutacao 1 + (9*(a-1)/(nAnticorpos-1)); Para c 1 até nclones faça clones[c] anticorpos[a]; Muta(clones[c],tipoMutacao, taxamutação); CalculaFitness(clones[c]); Ordena(clones); anticorpos[a] clones[1]; / Reinicializa n piores anticorpos / Ordena(anticorpos); Para a (nanticorpos-npiores+1) até nanticorpos faça Inicializa(anticorpos[a]); CalculaFitness(anticorpos[a]); Ordena(anticorpos); Fim Enquanto; Fim ASC-1; //ordena todos os anticorpos Figura 3 Algoritmo em pseudo-código do ASC-1 O parâmetro taxaclonagem define a quantidade de clones que será gerado a partir dos anticorpos e foi ajustado em 1,5. O tamanho da população de anticorpos é definido por nanticorpos fixado em 25. O número de clones nclones é o mesmo para cada anticorpo e está definido como taxaclonagem*nanticorpos. O parâmetro memoria define o número de anticorpos que serão preservados na população a cada iteração do método, sendo substituídos apenas por clones com melhor valor. A memória foi ajustada para preservar um único 6

7 anticorpo que fica na primeira posição do vetor de anticorpos. Um total de 5 anticorpos serão definidos como npiores e reinicializados. Durante o tempo de execução do método, cada anticorpo é clonado e seu clone é mutato em uma quantidade de vezes proporcional ao parâmetro taxamutação. Esse parâmetro assume valor 1 para o anticorpo da memória, ou seja, ele será mutado uma única vez. O último (pior) anticorpo será mutado 10 vezes. Os demais anticorpos serão proporcionalmente mutados pelo valor arredondado retornado pela expressão: taxamutacao 1 + (9*(a-1)/(nAnticorpos-1)); (9) A variável tipomutação guarda a mutação que será aplicada, onde apenas uma mutação é utilizada a cada iteração variando sequêncialmente do tipo 1 ao tipo 3. O número de mutações executas é maior sobre os clones dos piores anticorpos. Cada clone gerado é avaliado pelo método CalculaFitness(). Os anticorpos são substituídos pelo clone de melhor valor gerado a partir deles. No anticorpo da memória, essa substituição ocorrerá apenas se o melhor clone superar o valor do anticorpo da memória. Os demais anticorpos serão substituídos sempre pelo melhor clone gerado a partir deles. Ao final, os novos anticorpos gerados são ordenados e os npiores são reinicializados. A Figura 4 mostra o pseudo-código da segunda abordagem. Procedimento ASC-2 taxaclonagem 0.75; nanticorpos 50; memoria 1; tipomutação 0; Inicializa(anticorpos); CalculaFitness(anticorpos); Ordena(anticorpos); Enquanto (tempo total não atingido) faça tipomutação (tipomutação mod 3) + 1; clonenum 0; Para a 1 até nanticorpos faça Para c 1 até (taxaclonagem*nanticorpos/a) faça clonenum clonenum + 1; clones[clonenum] anticorpos[a]; Mutar(clones[cloneNum], mutação); CalculaFitness(clones[cloneNum]); Ordena(clones); Para a (memoria + 1) até nanticorpos faça anticorpos[a] clones[a]; Ordena(anticorpos); Fim Enquanto; Fim ASC-1; Figura 4 Algoritmo em pseudo-código do ASC-2 O parâmetro taxaclonagem é reduzido enquanto nanticorpos dobrou de valor em relação aos usados em ASC-1. Um único anticorpo é mantido na memória mas não há mais npiores anticorpos a serem considerados. Logo, não há mais reinicialização de anticorpos e o número de anticorpos clonados passa a variar. Esse número é proporcional ao valor do anticorpo (afinidade), ou seja, anticorpos melhores irão gerar maior número de clones. Todos os clones gerados são ordenados uma única vez. A partir dessa ordenação, exceto pelo anticorpo da memória, os demais nanticorpos-1 são substituídos pelos melhores clones. As soluções iniciais para os métodos são criadas de forma trivial para que, em seguida, sejam eliminados 7

8 os ajustes inúteis. Isso é feito ajustando toda a matriz de codificação com o valor 1 seguido pelo cálculo do valor dessa solução trivial. A solução obtida pelo ILOG CPLEX irá fornecer valores para x. Em seguida, o procedimento de inicialização ajusta as entradas S [ j, t] = 0 na matriz de codificação S quando x = 0. A Figura 5 apresenta o pseudocódigo do procedimento de inicialização. Procedimento Inicializa(S) Ajusta todas as entradas de S para 1; CalculaFitness(S); x Matriz com valor dos lotes gerados pelo CPLEX; Para j 1 até J faça Para t 1 até T faça Se (x[j,t] = 0) então S[j,t] 0; Fim para; Fim para; Recalcula custos de ajuste de S; Fim Inicializa; 3.3. Operadores de Mutação Figura 5 - Pseudocódigo do procedimento Inicializa() Três tipos de mutação foram estabelecidos. O primeiro consiste em sortear uma posição da matriz de codificação aleatoriamente e inverter o valor binário encontrado (Figura 6) Figura 6 Operador de mutação 1 O segundo tipo sorteia um período e, dentro deste período, sorteia dois produtos distintos. Os produtos têm seus valores trocados (Figura 7). O terceiro funciona da mesma maneira, só que sorteia um produto e, dentro da programação deste produto, sorteia dois períodos distintos trocando seus valores (Figura 8) Figura 7 Operador de mutação Figura 8 Operador de mutação 3 4. Resultados Computacionais Os métodos desenvolvidos neste artigo foram testados em um total de 40 instâncias, sendo 20 delas instâncias que utilizam estrutura de produtos general e outras 20 que utilizam estrutura assembly. A estrutura general permite vários predecessores e vários sucessores para cada 8

9 produto. A estrutura assembly permite que um produto tenha vários predecessores, mas apenas um sucessor. Essas instâncias foram propostas por Tempelmeier e Derstroff (1996) e Stadtler (2003), onde são definidas como conjuntos A e C, respectivamente. O conjunto A+ agrupa instâncias com 10 produtos, 24 períodos e 3 máquinas. O conjunto C agrupa instância com 40 produtos, 16 períodos e 6 máquinas. Foram gerados 20 exemplares em cada grupo, sendo 10 com estrutura general e outros 10 com estrutura assembly. Nenhum dos dois grupos considera tempos de ajuste (setup times). Para avaliar o desempenho dos métodos, uma comparação é feita com os resultados obtidos pelo MIP solver CPLEX 11.0 quando soluciona os conjuntos A+ e C utilizando o modelo original do PCDLMN (seção 2.1). Os métodos foram executados 10 vezes em cada instância com tempo de execução de 180 segundos no grupo A+ e 500 segundos no grupo C. Todos os testes foram realizados em um processador Intel Corel 2 Duo, 2,66 GHz e 1,95 GB RAM. A Tabela 1 apresenta os resultados obtidos para o conjunto A+. A letra G no nome das instâncias indica que ela utiliza estrutura de produtos general, já a letra K indica utilização de estrutura assembly. Os melhores resultados para cada instância estão marcados em negrito. Tabela 1 Resultados dos testes para o conjunto A+ Instância CPLEX ASC-1 Desvio(%) ASC-1 ASC-2 Desvio(%) ASC-1 AG , ,24 AG , ,88 AG , ,60 AG , ,86 AG , ,79 AG , ,64 AG , ,72 AG , ,96 AG , ,31 AG , ,45 AK , ,04 AK , ,49 AK , ,72 AK , ,57 AK , ,71 AK , ,36 AK , ,24 AK , ,76 AK , ,01 AK , ,43 Desvio Médio - - 0,48 0,98 A Tabela 1 lista os valores obtidos pelo solver CPLEX e o valor médio retornado pelos métodos propostos. Esse valor médio é calculado considerando a solução final obtida em cada uma das 10 execuções. Também são apresentados os devios dos métodos em relação às soluções do solver. Esse desvio é calculado como Desvio(%)=100*(Z-Z*)/Z*, onde Z* é a solução retornada pelo CPLEX e Z é o valor médio encontrado por ASC-1 ou ASC-2. 9

10 ASC-1 conseguiu 4 resultados que na média foram melhores que a solução encontrada pelo CPLEX. ASC-2 obteve apenas um resultado médio melhor que o CPLEX. Nas demais instâncias, ASC-1 e ASC2 apresentaram desvios máximos de 2,48% e 3,86%, respectivamente. Esses desvios foram alcançados nas instâncias AK e AG Todavia, o desvio médio obtido no conjunto A+ por ASC-1 ficou abaixo de 0,5% e ASC-2 teve desvio inferior a 1%. Comparando os dois métodos propostos, ASC-1 supera os resultados de ASC-2 em 14 das 20 instâncias. A Tabela 2 mostra os resultados obtidos no conjunto de instâncias C. Tabela 2 Resultados dos testes para o conjunto C Instância CPLEX ASC-1 Desvio ASC-1 ASC-2 Desvio ASC-1 CG , ,80 CG , ,04 CG , ,91 CG , ,60 CG , ,20 CG , ,78 CG , ,68 CG , ,20 CG , ,03 CG , ,58 CK , ,90 CK , ,00 CK , ,63 CK , ,99 CK , ,93 CK , ,29 CK , ,29 CK , ,91 CK , ,32 CK , ,02 Desvio Médio - - 4,94-1,02- O método ASC-1 não obteve resultados médios que superassem as soluções encontradas pelo CPLEX. Todavia, ASC-2 encontrou 10 resultados médios melhores que as soluções do solver. Nas demais instâncias, ASC-1 e ASC2 apresentaram desvios máximos de 12,83% e 3,99%, respectivamente. Esses desvios foram alcançados nas instâncias CK por ASC-1 e CK por ASC-2. O desvio médio obtido por ASC-1 ficou acima de 4% e ASC-2 consegui na média melhoria em relação as soluções do CPLEX. Essa melhoria ficou pouco acima de 1%. Comparando os dois métodos, ASC-2 supera ASC-1 em todos os resultados no conjunto C. Uma outra avaliação possível consiste em considerar o número de vitórias, ou seja, o total de execuções em que ASC-1 e ASC-2 superam a solução obtida pelo CPLEX. No total, foram realizadas 200 execuções de cada método em cada conjunto de instância. A Figura 9 apresenta o percentual de vitórias obtidas por cada método em cada conjunto dentro dessas

11 execuções. ASC-1 conseguiu o melhor desempenho no conjunto A e ASC-2 apresentou expressiva superioridade de performance no conjunto C. Figura 9 Percentual de execuções que superam os resultados do CPLEX 5. Conclusão O presente estudo propõe duas abordagens baseadas no Algoritmo de Seleção Clonal (ASC) para solucionar o Problema Capacitado de Dimensionamento de Lotes Multi-Nível (PCDLMN). Os métodos associam o ASC a um solver, onde ASC determina as variáveis binárias (atribuição de produtos a períodos e linhas) e o solver soluciona de forma exata um modelo contínuo. Esse modelo é uma reformulação do modelo inteiro-misto apresentado para o PGDLPP. Os métodos propostos, chamados ASC-1 e ASC-2, diferem pela forma como os clones gerados são inseridos no conjutno de anticorpos e pelo uso ou não de reinicialização desses anticorpos. Ambos os métodos conseguem desvios percentuais baixos em relação às solução obtidas pelo CPLEX, superando a solução final obtida pelo método exato diversas vezes. O método ASC-1 com a configuração de parâmetros usada demonstrou ser mais adequado para solucionar instâncias simples. Apesar de não ter superado os resultado do CPLEX na maioria das instâncias, conseguiu um desvio médio abaixo de 0,5%. O método ASC-2 apresentou melhor desempenho ao solucionar instâncias com maior número de produtos, períodos e máquinas, superando o solver em metade dessas instâncias e obtendo maior número de vitórias por execução. Referências Akartunali, K. & Miller, A. J. A heuristic approach for big bucket multi-level production planning problems, European Journal of Operational Research, Vol 193, n.2, p , Almeder, C. A hybrid optimization approach for multi-level capacitated lot-sizing problems, European Journal of Operational Research, Vol 200, p , Dasgupta, D. Artificial Immune Systems and Their Applications, Springer-Verlag, De Castro, L. N. & Von Zuben, F. J. Engenharia Imunológica: Desenvolvimento e Aplicação de Ferramentas Computacionais Inspiradas em Sistemas Imunológicos Artificiais, Tese de Doutorado, Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação, Universidade Estadual de Campinas,

12 Han, Y.; Tang, J.; Kaku, I. & Mu, L. Solving uncapacitated multilevel lot-sizing problems using a particle swarm optimization with flexible inertial weight, Computers and Mathematics with Applications, Vol 57, p , Helber, S. & Sahling, F. A fix-and-optimize approach for the multi-level capacitated lot sizing problem, International Journal of Production Economics, Vol 123, p , Jans, R. & Degraeve, Z. Metaheuristics for dynamic lot sizing: A review and comparison of solution approaches, European Journal of Operational Research, Vol 177, p , Maes, J.; McClain, J. & van Wassenhove, N. Multilevel capacitated lotsizing complexity and LP-based heuristics, European Journal of Operational Research, Vol 53, n.2, p , Özdamar, L. & Barbarosoglu, G. An integrated lagrangean relaxation-simulated annealing approach to the multi-level mulit-item capacitated lot sizing problem, International Journal of Production Economics, Vol 68, n.3, p , Sahling, F.; Buschkühl, L.; Tempelmeier, H. & Helber, S. Solving a multi-level capacitated lot sizing problem with multi-period setup carry-over via a fix-and-optimize heuristic, Computers & Operations Research, Vol 37, p , Stadtler, H. Mixed integer programming model formulations for dynamic multi-item multilevel capacitated lotsizing, European Journal of Operational Research, Vol 94, p , Stadtler, H. Multilevel lot sizing with setup times and multiple constrained resources: Internally rolling schedules with lot-sizing windows, Operations Research, Vol 51, p , Tempelmeier, H. & Derstroff,M. A Lagrangian-based heuristic for dynamic multilevel multiitem constrained lotsizing with setup times, Management Science, Vol 42, n.5, p , Tempelmeier, H. & Helber, S. A heuristic for dynamic multi-item multi-level capacitated lotsizing for general product structures, European Journal of Operational Research, Vol 75, p , Timmis, J. Artificial Immune Systems: A Novel Data Analysis Technique Inspired by the Immune Network Theory, Tese de Doutorado, Departament of Computer Science, University of Whales, Toledo, C.F.M.; Oliveira, L.; Oliveira, R.R.R. & Ferreira, D. Algoritmo Genético e Programação Matemática na Resolução de um Modelo Matemático para um Problema de Programaçao da Produçao de Bebidas, In: XLI Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional, Porto Seguro, Brasil, p ,