Controle com Modos Deslizantes Aplicado em Sistemas com Atraso e Acesso Somente à Saída

Camps de Ilha olteira PROGRAMA DE PÓ-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉRICA Controle com Modos Deslizantes Aplicado em istemas com Atraso e Acesso omente à aída GRACILIANO ANONIO DAMAZO Orientador: Prof. Dr. José Palo Fernandes Garcia Dissertação apresentada à Facldade de Engenharia - UNEP Camps de Ilha olteira, para obtenção do títlo de Mestre em Engenharia Elétrica. Área de Conhecimento: Atomação. Ilha olteira P jnho/8

FICHA CAALOGRÁFICA Elaborada pela eção écnica de Aqisição e ratamento da Informação erviço écnico de Biblioteca e Docmentação da UNEP - Ilha olteira. D55c Damazo, Graciliano Antonio. Controle com modos deslizantes aplicado em sistemas com atraso e acesso somente à saída / Graciliano Antonio Damazo. -- Ilha olteira : [s.n.], 8 98 f. Dissertação (mestrado) - Universidade Estadal Palista. Facldade de Engenharia de Ilha olteira. Área de conhecimento: Atomação, 8 Orientador: José Palo Fernandes Garcia Bibliografia: p. 95-98. Modos deslizantes.. Controle discreto. 3. Observador robsto. 4. Atraso comptacional.

A Des pelo amor incondicional e por pemitir-me viver ao lado de pessoas maravilhosas qe me ajdam a evolir como pessoa e espírito no me caminhar. OFEREÇO Aos mes pais, Fabrício e Isabel, pelo apoio, confiança e, principalmente, pelo amor qe me fortalece nos momentos mais difíceis. DEDICO

Agradecimentos Agradeço primeiramente a Des, inteligência sprema e casa primária de todas as coisas, por mais m passo em minha longa caminhada de evolção. Aos mes pais qe, com mito sacrifício e paciência, me fortalecem para transpor mes obstáclos, transmitem sabedoria de viver e fazem a minha vida ter sentido. A minha noiva, tefania, pelo amor, amizade e carinho qe me renova e me torna mais forte a cada dia para enfrentar as dificldades. As minhas irmãs Alessandra e Fabrícia, pela força, carinho e amizade qe são imprescindíveis na minha vida. Ao me orientador Prof. Dr. José Palo, pela sabedoria, compreensão, conselhos, edcação e confiança qe enriqeceram minha vida acadêmica e reslto neste trabalho. Minha gratidão. A professora Lizete, qe participo de minha gradação e teve ma participação efetiva e mito importante no desenvolvimento do me trabalho de pós-gradação. Aos professores Edvaldo e Marcelo pelos conselhos, confiança, contribições na minha formação e principalmente pela amizade. Aos mes amigos de gradação e pós-gradação pela ajda e apoio qe me deram.

REUMO O enfoqe principal do trabalho foi dado ao Controle Discreto com Modos Deslizantes(CDMD) aplicado em sistemas qe possem atraso no processamento do sinal de controle e acesso somente à saída do sistema. A estratégia de controle tem por objetivo a tilização de técnicas de controle com modos deslizantes para a elaboração de ma lei de controle simples e robsta às incertezas da planta e ao atraso. O observador de estados apresentado possi características de modo deslizante, o qal realiza a estimação robsta do vetor de estados qe na maioria dos casos práticos não é totalmente acessível. Os métodos de projetos propostos podem ser aplicados no controle de plantas estáveis o instáveis com atraso no sinal de controle e acesso somente à saída da planta. Para comprovar a eficiência dos projetos apresentados neste trabalho, analiso-se o controlador atando com acesso a todos estados e o controlador atando jntamente com o observador robsto para a estimação dos estados. Os resltados foram obtidos através de simlações no istema Bola e Viga, istema Pêndlo Invertido Linear e istema Pêndlo Invertido Rotacional qe são exemplos de plantas de natreza instável.

ABRAC he main focs was placed on the Discrete liding Mode Control (DMC) applied to sstems that have a dela in the processing of the control signal and access to the sstem otpt onl. he control strateg is intended to se control techniqes of sliding modes to elaborate a simple and robst control law against the ncertainties of the plant and the dela. he states observer presented has the characteristics of a sliding mode, which performs the robst estimation of the states vector that, in most practical cases, is not fll accessible. he design methods proposed ma be applied to the control of stable or nstable plants with dela on the control signal and access to the plant otpt onl. In order to attest the efficienc of the design presented in this wor, the controller was analzed at wor with access to all states and jointl with the robst observer to estimate the states. he reslts were obtained b means of simlations in the Ball and Beam stem, Linear Inverted Pendlm stem, and Rotational Inverted Pendlm stem, which are examples of plants of nstable natre.

Lista de Figras. A sperfície deslizante é a intersecção das i-ésimas sperfícies existentes...9. Ilstração bidimensional do domínio do modo deslizante... 5. O istema Bola e Viga...63 5. O istema Pêndlo Invertido Linear...65 5.3 O istema Pêndlo Invertido Rotacional...67 6. Diagrama de blocos para o CDMD com acesso a todos os estados do sistema...7 6. Diagrama de blocos para o CDMD-h com acesso a todos os estados do sistema...7 6.3 Diagrama de blocos para o CDMD com acesso parcial aos estados do sistema...7 6.4 Diagrama de blocos para o CDMD-h com acesso parcial aos estados do sistema...7 6.5 istema Bola e Viga controlado pelo CDMD com acesso total aos estados, período de amostragem de,s e atraso na comptação de,9s...74 6.6 istema Bola e Viga controlado pelo CDMD-h com acesso total aos estados, período de amostragem de,s e atraso na comptação de,9s...74 6.7 istema Bola e Viga controlado pelo CDMD com acesso total aos estados, período de amostragem de,5s e atraso na comptação de,4s...75 6.8 istema Bola e Viga controlado pelo CDMD-h com acesso total aos estados, período de amostragem de,5s e atraso na comptação de,4s...75 6.9 istema Bola e Viga controlado pelo CDMD com acesso parcial aos estados, período de amostragem de,s e atraso na comptação de.9s...76 6. istema Bola e Viga controlado pelo CDMD-h com acesso parcial aos estados, período de amostragem de,s e atraso na comptação de,9s...77 6. istema Bola e Viga controlado pelo CDMD com acesso parcial aos estados, período de amostragem de,5s e atraso na comptação de,4s...77 6. istema Bola e Viga controlado pelo CDMD-h com acesso parcial aos estados, período de amostragem de,5s e atraso na comptação de,4s...78 6.3 Gráfico dos estados reais (vermelho) e estados estimados (pontilhado) em fnção do tempo...78 6.4 istema Pêndlo Invertido Linear controlado pelo CDMD com acesso total aos estados, período de amostragem de,s e atraso na comptação de,9s...8 6.5 istema Pêndlo Invertido Linear controlado pelo CDMD-h com acesso total aos estados, período de amostragem de,s e atraso na comptação de,9s...8 6.6 istema Pêndlo Invertido Linear controlado pelo CDMD com acesso total aos estados, período de amostragem de,5s e atraso na comptação de,4s...8 6.7 istema Pêndlo Invertido Linear controlado pelo CDMD-h com acesso total aos estados, período de amostragem de,5s e atraso na comptação de,4s...8 6.8 istema Pêndlo Invertido Linear controlado pelo CDMD com acesso parcial aos estados, período de amostragem de,s e atraso na comptação de,9s...8

6.9 istema Pêndlo Invertido Linear controlado pelo CDMD-h com acesso parcial aos estados, período de amostragem de,s e atraso na comptação de,9s...8 6. istema Pêndlo Invertido Linear controlado pelo CDMD com acesso parcial aos estados, período de amostragem de,5s e atraso na comptação de,4s...83 6. istema Pêndlo Invertido Linear controlado pelo CDMD-h com acesso parcial aos estados, período de amostragem de,5s e atraso na comptação de,4s...83 6. Gráfico dos estados reais(vermelho) e estados estimados(pontilhado) em fnção do tempo...84 6.3 istema Pêndlo Invertido Rotacional controlado pelo CDMD com acesso total aos estados, período de amostragem de,s e atraso na comptação de,9s...85 6.4 istema Pêndlo Invertido Rotacional controlado pelo CDMD-h com acesso total aos estados, período de amostragem de,s e atraso na comptação de,9s...86 6.5 istema Pêndlo Invertido Rotacional controlado pelo CDMD com acesso total aos estados, período de amostragem de,5s e atraso na comptação de,4s...86 6.6 istema Pêndlo Invertido Rotacional controlado pelo CDMD-h com acesso total aos estados, período de amostragem de,5s e atraso na comptação de,4s...87 6.7 istema Pêndlo Invertido Rotacional controlado pelo CDMD com acesso parcial aos estados, período de amostragem de,s e atraso na comptação de,9s...87 6.8 istema Pêndlo Invertido Rotacional controlado pelo CDMD-h com acesso parcial aos estados, período de amostragem de,s e atraso na comptação de,9s...88 6.9 istema Pêndlo Invertido Rotacional controlado pelo CDMD com acesso parcial aos estados, período de amostragem de,5s e atraso na comptação de,4s...88 6.3 istema Pêndlo Invertido Rotacional controlado pelo CDMD-h com acesso parcial aos estados, período de amostragem de,5s e atraso na comptação de,4s...89 6.3 Gráfico dos estados reais(vermelho) e estados estimados(pontilhado) em fnção do tempo...89

Lista de ímbolos e Abreviatras A/D B C CDMD CEV CMD D D/A e(t) EV f(t,x) G G l G n grad h m MD MIMO n p q r sgn IO (t) eq ± V(t,x) Conversor Analógico/Digital Matriz de entrada Matriz de saída Controle Discreto com Modos Deslizantes Controle com Estrtra Variável Controle com Modos Deslizantes Matriz de incertezas Conversor Digital/Analógico Vetor erro de estimação dos estados Estrtra Variável Matriz de estados não-linear da planta Matriz de ganhos da sperfície deslizante discreta Matriz de ganhos lineares do observador robsto Matriz de ganhos não-lineares do observador robsto Gradiente Atraso discreto Dimensão do vetor de entradas Modos Deslizantes istema com múltiplas entradas e múltiplas saídas Dimensão do vetor de estados Dimensão do vetor de saída Dimensão do vetor de incertezas Escalar positivo conhecido Ganhos da sperfície de deslizamento Fnção sinal istema com ma entrada e ma saída perfície deslizante contína do espaço erro de estimação Matriz mdança de coordenadas inal de controle contíno no tempo Controle eqivalente inal de controle discreto no tempo Controle descontíno Fnção de Lapnov no espaço de estados

V s V v xˆ x(t) x (t) ZOH Φ Γ Γ Γ Ψ σ α α(t,) ρ(t,,) λ Δ Δf ξ(t,x,) γ Fnção de Lapnov no espaço erro de estimação Fnção de Lapnov discreta Vetor descontíno Vetor de estados estimados Estados da planta no sistema contíno Estados da planta no sistema discreto aída discreta aída contína Bloqeador de Ordem Zero Matriz da planta discreta Matriz de entrada discreta ª parcela de separação da matriz de entrada discreta ª parcela de separação da matriz de entrada discreta Matriz de transformação discreta perfície de deslizamento contína no tempo Ganho escalar Fnção escalar conhecida Fnção escalar Atraso contíno Período de amostragem incertezas Fnção incerta, mas limitada Escalar positivo

mário. INRODUÇÃO.... Motivação para Pesqisa.... Proposta da Pesqisa...4. CONROLE COM ERURA VARIÁVEL E MODO DELIZANE...6. Modelo do istema...7.. perfície de Deslizamento...8.. Modos Deslizantes...9..3 Condições de Existência de m Modo Deslizante.... O Método do Controle Eqivalente...3.3 Redção de Ordem...5.4 Forma Reglar...9.5 Projeto do Controlador...3.6 istemas Incertos e CEV/MD...34.7 repidação...37.8 Comentários...39 3. CONROLADOR DICREO COM MODO DELIZANE E ARAO NO INAL DE CONROLE...4 3. Modelo Discreto no Espaço de Estados considerando o Atraso no inal de Controle...4 3. Controlador Discreto com Modos Deslizantes qe considera o Atraso no inal de Controle (CDMD-h)...44 3.. Projeto da perfície Deslizante Discreta...45 3.. Projeto da Lei de Controle Discreta...45 3..3 Análise da Robstez da Estabilidade...47 3.3 Comentários...49 4. OBERVADOR ROBUO COM MODO DELIZANE...5 4. Observador com Modo Deslizante...5 4.. Forma Canônica para o Projeto do Observador...5 4.. ransformação Linear o...57 4..3 Algoritmo para o Projeto do Observador Robsto...59 4. Comentários...6 5. IEMA INCERO, NÃO-LINEARE E DE NAUREZA INÁVEL...6 5. istema Bola e Viga...6 5. istema Pêndlo Invertido...64 5.. istema Pêndlo Invertido Linear...65 5.. istema Pêndlo Invertido Rotacional...67 5.3 Comentários...69

6. REULADO: IMULAÇÕE DO CONROLADOR CDMD-h E DO OBEVADOR ROBUO APLICADO EM IEMA INÁVEI...7 6. Resltados das imlações no istema Bola e Viga...73 6. Resltados das imlações no istema Pêndlo Invertido Linear...79 6.3 Resltados das imlações no istema Pêndlo Invertido Rotacional...85 6.4 Comentários...9 7. CONCLUÕE...9 7. Conclsões Gerais...9 7. rabalhos Pblicados...,...94 7.3 gestões de rabalhos...94 REFERÊNCIA...95

CAPÍULO. INRODUÇÃO Controle com Estrtra Variável e Modos Deslizantes (CEV/MD) foi primeiramente proposto e elaborado nos anos 5 na União oviética por Utin e otros [5,6]. Atalmente, esses sistemas (CEV/MD) são amplamente sados em controle e observação de estados de sistemas dinâmicos incertos, devido principalmente a sas características robstas, no qe se referem às determinadas classes de incertezas paramétricas - incertezas casadas - e não linearidades [,]. Entretanto, a robstez poderá não existir em sistemas com atraso no sinal de controle, caso tais atrasos não sejam considerados no projeto CEV/MD [4,44,35].. Motivação para Pesqisa Há algmas décadas o estdo de sistemas dinâmicos com atraso no tempo tem sido foco de considerável atenção por parte de vários pesqisadores, qe se sentiram atraídos pela bsca de m melhor critério para análise e solção de problemas casados pelo atraso [, ]. Na prática, são encontrados vários tipos de sistemas com atrasos, especialmente sistemas com transmissões hidrálicas, pnemáticas, o mecânicas, sistemas térmicos, etc. Mitas das pesqisas realizadas são relacionadas ao problema de atraso no vetor de estados de sistemas contínos [,48,49] e discretos [47]. Ainda, em sistemas controlados por processadores digitais também é comm o aparecimento de atraso devido ao tempo de máqina necessário à comptação dos cálclos para gerar o sinal de controle [4,44]. Nestes

Capítlo 3 sistemas, a saída não começará a responder a ma entrada antes de transcorrer o tempo de atraso. Assim, nos últimos anos, ma maior importância, por parte dos pesqisadores, passo a ser atribída a pesqisas de técnicas de controle de sistemas com atraso no sinal de controle [4,44,45,5]. Não só na aplicação da estratégia CEV/MD, mas em geral, os sistemas em malha fechada com atrasos estão mais sjeitos a problemas de estabilidade do qe os sistemas sem atrasos, independentemente da estratégia de controle tilizada. Mitos atores tratam o problema de controle de sistemas com atraso via controladores baseados em preditores [4, 35, 4, 4]. Estes inclem o preditor para compensar o atraso, o, pelo menos, minimizar se efeito. Para o projeto de m controlador baseado em preditor, o sistema pode ser transformado em m sistema livre de atraso no controle. Especificamente em CEV/MD, o problema do atraso é mais prejdicial ao desempenho do sistema, ma vez qe este método tiliza ma lei de controle com chaveamento de alta velocidade para condzir e manter a trajetória dos estados de ma planta em ma sperfície específica escolhida no espaço de estados (chamada de sperfície de deslizamento o sperfície de chaveamento). Este chaveamento depende dos estados atais e é exectado pelo sinal de controle. e o efeito do atraso não for minimizado, o chaveamento poderá não direcionar a trajetória do sistema para a sperfície de deslizamento projetada, podendo com isto levar o sistema à instabilidade [44]. Atalmente mitos sistemas são controlados por microcomptador e/o microprocessadores. A implementação do controle de estrtra variável por técnica digital reqer a consideração de m certo período de amostragem e também reqer m determinado tempo para o processamento do algoritmo de controle. Este tempo caracteriza m atraso no controle, dentro de cada período de amostragem. odos estes fatores devem ser levados em consideração no projeto CEV/MD, caso contrário podem afetar negativamente a performance do sistema. As pesqisas realizadas na área de controle com modos deslizantes consideram todos os estados acessíveis para o projeto dos controladores. Mas, na prática, na maioria dos casos não é possível ter o acesso pleno do vetor de estados. Devido a essas dificldades, o estdo de estimadores o observadores qe estimem com eficiência os estados, mesmo em sistemas com incertezas e/o atrasos, têm ma importância mito grande na área de controle.

Capítlo 4 Projetos de observadores robstos, tilizando técnicas de controle com modo deslizante, têm sido objeto de pesqisas há vários anos [,5,,35]. No entanto, devido a sa característica de ser governado pela mesma entrada de controle do sistema a ser observado, qando em presença de atraso no sinal de controle, têm a sa performance degradada. Por isso, os observadores com modos deslizantes [] devem levar em consideração esse atraso no se projeto [5,, 35] para poderem estimar o vetor de estados com eficiência.. Proposta da Pesqisa Neste trabalho, realiza-se o estdo do problema do atraso e é apresentado m método de projeto para o caso de CEV/MD discreto aplicado em plantas com acesso parcial aos estados (saída), considerando o tempo de atraso devido à comptação digital do sinal de controle. Para a estimação dos estados inacessíveis, projeta-se m observador com modos deslizantes contíno, robsto e governado por ma entrada de controle atrasada [35]. Esses estados estimados são tilizados para compor a sperfície de deslizamento do controlador com modos deslizantes qe leva em consideração o atraso de comptação [44]. Para testar a eficiência do projeto proposto neste trabalho, foram realizadas simlações em três sistemas incertos, não-lineares e de natreza instável: o istema Bola e Viga, o istema Pêndlo Invertido Linear e o istema Pêndlo Invertido Rotacional. Estes modelos dinâmicos foram escolhidos devido a sas complexas não-linearidades e, mais especificamente, por apresentarem instabilidade em malha aberta, tornando o desafio de controle mais interessante..3 Organização do exto No Capítlo, são apresentados os aspectos mais relevantes de istemas com Controle de Estrtra Variável e Modos Deslizantes [4, 5, 6, ]. O Capítlo 3 descreve m controlador com modos deslizantes, qe leva em consideração no se projeto, além do processamento digital qe inclem o período de amostragem e os conversores, o atraso na comptação do sinal de controle [44].

Capítlo 5 No Capítlo 4 é apresentado m observador robsto com modos deslizantes proposto por prgeon e Edwards [], porém, neste trabalho, dá-se ma abordagem qe leva em consideração o atraso devido a comptação do sinal de controle [5,,35]. No Capítlo 5, todos os sistemas sados para as simlações são apresentados, acompanhados de ses respectivos modelos matemáticos não-lineares e figras ilstrativas. Neste capítlo também são apresentados os modelos linearizados (em m ponto de eqilíbrio) de cada sistema, necessários para o projeto dos controladores e observadores com modos deslizantes. Finalmente, no Capítlo 6, são apresentados os resltados finais com simlações do controlador discreto atando com acesso pleno ao vetor de estados e em conjnto com o observador proposto nesse trabalho (acesso à saída do sistema). Os resltados são mostrados de forma comparativa. sbseqüentes. No Capítlo 7, são apresentadas as conclsões finais e sgestões de trabalhos

CAPÍULO. CONROLE COM ERUURA VARIÁVEL E MODO DELIZANE [8] A característica de m sistema de Controle com Estrtra Variável e Modos Deslizantes (CEV/MD) é ma lei de controle chaveada em alta velocidade, qe ocorre qando o estado do sistema crza certas sperfícies descontínas no espaço de estados. Essas sperfícies são projetadas de forma qe a dinâmica dos estados obedeça a m comportamento desejado qando em deslizamento. A estrtra de controle é salmente nãolinear e reslta em m sistema com estrtra variável qe pode ser considerado como ma combinação de sbsistemas, cada m com ma estrtra fixa e qe opera em ma região específica do espaço de estados [5]. Assim, a estratégia de CEV/MD tiliza ma lei de controle chaveada para condzir e manter a trajetória dos estados de ma planta em ma sperfície específica (chamada sperfície de deslizamento o sperfície de chaveamento), o sobre a intersecção de todas as sperfícies escolhidas no espaço de estados. Qando a trajetória dos estados atinge esta sperfície e nela permanece, diz-se qe o sistema está na condição de deslizamento o em modo deslizante e, nesta sitação, o comportamento do sistema sofre menor inflência por parte de alterações paramétricas o de distúrbios externos, o qe dá a característica robsta ao sistema controlado. A existência de m modo deslizante reqer a estabilidade da trajetória de estado para a sperfície de deslizamento. Uma lei de controle chaveada deve então ser

Capítlo 7 projetada para assegrar qe a trajetória de estados se dirija à sperfície de deslizamento (alcançabilidade) e nela permaneça drante todo o tempo sbseqüente (atratividade) [6]. Assegrar a existência de m modo deslizante na sperfície de deslizamento é m caminho necessário no projeto de CEV/MD. Projetar a dinâmica da sperfície é m caminho complementar do problema. Assim, são das as etapas principais no projeto: (a) Projeto de ma sperfície deslizante, tal qe a dinâmica da planta, qando em deslizamento, tenha ma trajetória desejada; (b) Desenvolvimento de ma lei de controle tal qe satisfaça as condições de existência e alcançabilidade ao modo deslizante.. Modelo do istema Considera-se ma classe de sistemas não-lineares no vetor de estado x () t e linear no vetor controle () t, da forma () t = f ( t, x( t) ) + B( t x( t) ) ( t) x &, (.) sendo o vetor de estados B n x( t) R, o vetor controle n ( ) R m ( t) R, f t x() t n m ( t, x() t ) R. Além disso, cada elemento de f ( t, x( t) ) e ( t x() t ) contínos, com derivadas contínas e limitadas com respeito à t e x ( t).,, e B, são assmidos

Capítlo 8.. perfície de Deslizamento A sperfície de deslizamento o sperfície de chaveamento σ ( x() t ) = é m espaço (n - m) dimensional em n R, determinado pela intersecção de m sperfícies de chaveamento de dimensão (n - m). As sperfícies de chaveamento são projetadas tal qe o sistema, restrito a sperfície σ ( x() t ) =, tenha comportamento desejado. eja a sperfície de deslizamento definida por Cada entrada () t { ( t) / ( x( t) ) = } x σ (.) m i do controle chaveado ( t) R tem a forma ( t, x( t) ) com σ ( x( t) ) + i i > i ( t, x() t ) =, i =, L, m i ( t, x() t ) com σ i ( x( t) ) < (.3) onde { x() t / ( x() t ) = } σ é a i-ésima sperfície de deslizamento associada com a sperfície de i deslizamento (.) de dimensão (n - m). As sperfícies de deslizamento são projetadas tais qe a resposta do sistema restrito à { () t / ( x() t ) = } x σ tenha o comportamento desejado. Considera-se neste trabalho, a sperfície de deslizamento da forma { ( t )/ ( x( t )) = x ( t ) = } x σ (.4) em qe é chamada matriz da sperfície de deslizamento, sendo m n R. Por simplicidade, a notação tilizada para designar a sperfície de deslizamento será ( x( t) ) = x( t) = σ (.5)

Capítlo 9.. Modos Deslizantes Depois de projetada a sperfície de deslizamento desejada, o próximo aspecto importante de CEV/MD é garantir a existência de m modo deslizante. Um modo deslizante existe se na vizinhança da sperfície de deslizamento, σ ( x( t) ) =, a tangente o vetor velocidade da trajetória dos estados sempre está direcionado para sperfície de deslizamento. Conseqentemente, se a trajetória dos estados intercepta a sperfície de deslizamento, o valor da trajetória de estado o ponto representativo se mantém dentro de ma vizinhança ξ de { x() t / σ ( x() t ) = }. e o modo deslizante existe em σ ( x( t) ) =, então σ ( x() t ) é chamado sperfície de deslizamento. Como visto na Figra., o modo deslizante não pode existir na i-ésima sperfície deslizante ( x( t) ) = todas as sperfícies. σ separadamente, mas somente na intersecção de i Condições iniciais rajetória dos estados Intersecção das sperfícies (perfície de deslizamento) Figra. A sperfície deslizante é a intersecção das i-ésimas sperfícies existentes. Um modo deslizante ideal existe somente qando a trajetória de estados x ( t) da planta controlada satisfaz σ ( x() t ) = para todo t t, para algm t. Isto reqer chaveamentos infinitamente rápidos. Em sistemas reais, todas as fnções com controle chaveado têm imperfeições tais como retardamento, histereses, etc., qe forçam os deslizamentos ocorrerem em ma freqüência finita. A trajetória de estados então oscila em ma certa vizinhança da sperfície de deslizamento. Esta oscilação é chamada trepidação.

Capítlo Portanto, o modo deslizante real não ocorre sobre as sperfícies descontínas, mas dentro de ma camada limite [5,6]...3 Condições de Existência de m Modo Deslizante A existência de m modo deslizante reqer estabilidade da trajetória para sperfície de deslizamento σ ( x() t ) =, o no mínimo para ma vizinhança desta, o seja, os estados devem aproximar-se da sperfície assintoticamente. A maior vizinhança é chamada região de atração. Geometricamente, o vetor tangente o derivada no tempo do vetor de estados deverá apontar para a sperfície de deslizamento na região de atração. O problema de existência assemelha-se a m problema de estabilidade generalizada, então o segndo método de Lapnov fornece m conjnto natral para a análise. Assim, a estabilidade para a sperfície de deslizamento reqer a seleção de ma fnção de Lapnov generalizada ( t x( t) ) V,, positiva definida e qe tenha ma derivada negativa definida em relação ao tempo na região de atração [8]. Definição : Um domínio D no espaço fechado ( x( t )) = σ é m domínio de modo deslizante se para cada ε >, existe δ >, tal qe qalqer movimento iniciado dentro de ma vizinhança δ de dimensão n de D pode deixar a vizinhança ε de dimensão n de D somente através da vizinhança ε de dimensão n da fronteira de D (Figra.).

Capítlo Figra. Ilstração bidimensional do domínio do modo deslizante. eorema.: Para o domínio D, de dimensão (n m), ser o domínio de m modo deslizante, é sficiente qe, para Ω D, de dimensão n, exista ma fnção V ( t, x() t, σ ( x( t) )) diferenciável com respeito a todos os ses argmentos, satisfazendo as segintes condições[5]: (a) V ( t, x() t, σ ( x() t )) é definida positiva em relação a σ ( x( t) ), isto é, V ( t, x() t, σ ( x( t) )) > σ ( ) e t, x() t arbitrários, ( t, x( t),) = com x() t () t Ω x e algm t, tem-se: V ; e na esfera σ ( x () t ) = ρ para todo i) ii) σ σ ( x() t ) ( t, x( t), σ ( x( t) )) = h, h inf V > ( x() t ) = ρ ( t, x( t), σ ( x( t) )) = H, H sp V > = ρ p p p p (.6) (.7) onde h p e H p dependem de ρ (h p se ρ ). (b) A derivada em relação ao tempo de V ( t x( t), σ ( x( t) )) spremo negativo para todo () t Ω x, exceto para ( t), para o sistema (.) tem m x na sperfície de deslizamento onde o controle na entrada não está definido, e por isso a derivada de V ( t x( t), σ ( x( t) )), não existe.

Capítlo Nota.: Um modo deslizante é globalmente alcançado se o domínio de atração é todo o espaço de estados. De otra forma, o domínio de atração é m sbconjnto do espaço de estados. Considere o sistema de eqação (.), com a notação ( t) = f ( t, x( t) ( t) ) x &, (.8) e seginte estratégia geral de controle = ( t, x() t ) = + ( t, x( t) ) se σ ( x( t) ) ( t, x() t ) se σ ( x( t) ) > < (.9) De acordo com [38], as trajetórias de estados do sistema (.8), com controle (.9), na condição de deslizamento, σ ( x() t ) =, são as solções da eqação ( ) onde f + = f t x() t, + x&, e f t x( t) + () t = α f + ( α ) f = f, α ( ) f =,,. Resolvendo a eqação gradσ, f = para α tem-se α = gradσ, f gradσ, + ( f f ) endo: (a) gradσ,( f f + ) >, e (b) gradσ, f + e gradσ, f, em qe a notação, a, b, denota o prodto interno entre a e b, também escrito como a.b, e grad σ o gradiente de σ ( x( t) ).

Capítlo 3 Assim, pode-se conclir qe, a solção de (.8) com controle (.9) existe e é nicamente definida em σ ( x() t ) = [38]. Nota-se também qe esta técnica pode ser sada para determinar o comportamento da planta no modo deslizante [8,38]. O método de Filippov [38], apresentado resmidamente acima, é ma técnica qe torna possível a determinação do movimento de m sistema nm modo deslizante. Uma otra técnica, e mais simples, é o método do controle eqivalente descrito a segir.. O Método do Controle Eqivalente O método do controle eqivalente [5,8] é tilizado para determinar o movimento do sistema restrito à sperfície de deslizamento σ ( x( t) ) =. ponha qe em t, a trajetória de estados da planta intercepta a sperfície de deslizamento e m modo deslizante existe para t > t. A existência de m modo deslizante ideal implica qe σ& ( x( t) ) = e ( x() t ) = todo t > t. ( ) = Diferenciando σ x() t, em relação à t, tem-se σ para bstitindo x& () t por (.), tem-se σ x x & () t = [, ] = σ σ x & () t = f ( t x() t ) + B( t, x( t) ) (.) eq x x onde eq é chamado de controle eqivalente e é solção da eqação (.). σ Para calclar eq, assme-se qe o prodto matricial B t, x() t x para todo t e x () t. Então, ( ) é não singlar

Capítlo 4 σ σ = B t eq x x, (, x() t ) f ( t x() t ) (.) Após a sbstitição deste eq em (.), a eqação resltante descreve o comportamento do sistema restrito à sperfície de deslizamento, desde qe a condição inicial x ( t ) satisfaça ( x( t )) = σ. Assim, dado σ ( x( t )) = parat t, é dada por, a dinâmica do sistema sobre a sperfície de deslizamento então σ σ x & = I B( t, x() t ) B( t, x() t ) f ( t, x() t ) x (.) x pondo qe a sperfície de deslizamento é linear e é dada por σ ( x() t ) = x( t) =, σ x =, e (.) redz-se a [ I B( t, x( t) )[ B( t, x( t) )] ] f ( t x( t) ) x & =, (.3) Observe qe (.), jntamente com a restrição σ ( x( t) ) = determina o movimento do sistema sobre a sperfície de deslizamento. Então, o movimento do sistema (.), restrito à sperfície de deslizamento, será governado por m conjnto de eqações de ordem redzida. Algmas aplicações de controle reqerem ma sperfície de deslizamento variando σ σ no tempo: σ ( t, x() t ) =. Neste caso, & σ ( t, x() t ) = + x& () t e o controle eqivalente t x toma a forma eq σ = B x σ x σ t ( t, x() t ) f ( t, x() t ) + (.4)

Capítlo 5.3 Redção de Ordem σ Por simplicidade, será estdado o caso em qe a sperfície de chaveamento é linear, ( x() t ) = x( t) =. Como mencionamos anteriormente, em m modo deslizante, o sistema eqivalente deve satisfazer não somente a dinâmica de estados de dimensão n, mas também as m eqações algébricas, σ ( x() t ) =. Estas restrições redzem a dinâmica do sistema de m modelo de n-ésima ordem para m modelo de ( n m) ésima ordem. ponha qe o sistema não-linear (.) é restrito a sperfície de deslizamento (.4), isto é, σ ( x() t ) = x( t) =, com o sistema dinâmico dado por (.3), então, é possível resolver m variáveis de estado, em termos das (n m) variáveis de estado, se o posto de [] = m. σ e o posto [] = m, implica qe B t, x() t x ( ) é não singlar para todo t e x () t. Para obter a solção, resolve-se para as m variáveis de estado ( x,, x ) n m + K n em termos das (n m) variáveis de estado restantes. bstitindo estas relações nas (n m) eqações de (.3) e nas eqações correspondendo a m variáveis de estado, o sistema resltante de ordem (n m) descreve o sistema eqivalente com condição inicial satisfazendo ( x() t ) = σ. Exemplo.: Para esclarecer o procedimento acima, considere o sistema A ( x( t) ) x( t) B( t) x & = A t, +, sendo qe ( t, x() t ) = a ( t, x() t ) a ( t, x( t) ) a ( t, x( t) ) a ( t, x( t) ) a ( t, x( t) ) a 3 4 5 B = ( ()) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) t, x t a t, x t a t, x t a t, x t a t, x t 3 4 5 ;

Capítlo 6 Assme-se qe a terceira e qinta linhas de ( t x( t) ) A, têm elementos não-lineares variantes no tempo e são limitados. O método de controle eqivalente leva a seginte dinâmica, conforme (.3). dado ( x( t )) = σ para qalqer t. [ I B[ B] ] A( t x( t) ) x( t) x & =, e os parâmetros da sperfície de chaveamento linear são dados por: = 3 3 4 4 5 5 então B = 3 3 5 5 Para simplificar o exemplo, escolhe-se 3 5 5 3 =. Especificando, escolhe-se 3 =, 5 = 3 = 5 =. Assim, ( ) 3 3 B = = 3 5 5 5 5 3 O qe leva à seginte eqação, x& sjeito a σ ( x() t ) =. () t = x() t 4 4 4 4

Capítlo 7 De σ ( x() t ) = reslta qe x x 3 5 = 4 4 x x x 4 Observa-se da eqação, qe a principal vantagem do controle com estrtra variável é a eliminação da inflência dos parâmetros da planta qando o sistema está sobre a sperfície de deslizamento. Obs.: Isso é valido desde qe os parâmetros estejam casados, o seja, possam ser compensados pelas entradas do sistema. Resolvendo a eqação acima para x 3 e x 5. x x 3 5 = 4 4 x x x 4 O sistema linear invariante no tempo eqivalente de ordem redzida é dado por: ~ x& ~ = x & ~ x& 3 4 4 4 4 ~ x ~ x ~ x 3 sendo qe ~ x = x, ~ x = x e ~ x 3 = x4. Um exemplo de como o projeto de controle pode ser realizado é o seginte: ponha qe a limitação de projeto exija qe o sistema eqivalente tenha os segintes pólos {-, -, -3}, resltando na característica polinomial desejada: π A ( λ) = λ 3 + 6λ + λ + 6

Capítlo 8 π A característica polinomial do sistema eqivalente é A 3 ( λ) = λ + ( + ) λ + ( + ) λ + ( ) 4 4 4 4 4 4 Os coeficientes de potências semelhantes de λ prodzem o conjnto de eqações 4 4 4 4 4 6 = 6 Uma solção qe realiza o objetivo do projeto de controle é: =.833.833 6 Conclindo, o sistema eqivalente de ordem redzida com os atovalores desejados é ~ x & Ax ~ = ~, sendo qe, ~ A =.833 6 6 A facilidade na resolção deste exemplo se deve ao fato de qe a dinâmica do sistema original foi dado na forma canônica de Lenberger. Os sistemas qe não estão nessa forma freqentemente exigem ma transformação para ma forma mais geral denominada forma reglar.

Capítlo 9.4 Forma Reglar ponha qe a planta dinâmica (.) tenha a seginte forma reglar x& x& () t = f( t, x( t) ) () t = f ( t, x() t ) + B ( t, x( t) ) ( t) (.5) m e x () t R. Assme-se B ( t, x( t) ) n m onde x () t R m, não singlar. qe seja ma fnção matricial, m Assme-se qe ma sperfície de deslizamento linear da forma ( t) () t x σ ( x() t ) = [ ] = (.6) x com ( n m) m R e m m R não singlar. Então, no modo deslizante ( t) x ( t) x = (.7) e Observe qe se f ( t, x( t) ) () t = f ( t x() t ) = A x ( t) A x ( t) x, + ( ) () t = f ( t, x( t) ) = f t, x ( t) x ( t) & (.8) x, tem ma estrtra linear do tipo &, então a dinâmica de ordem redzida torna-se, ( t) = [ A A ] x ( t) & (.9) x qe tem estrtra de malha fechada + A F com F =. e o par (A, A ) é A controlável, então é possível calclar F tal qe A dinâmica desejada. endo encontrado F, pode-se calclar [ ] Assim, completa-se o projeto da sperfície de deslizamento. + A F proporcione a característica tal qe F =.

Capítlo 3 Para o caso de ma sperfície de deslizamento não-linear da forma qe é linear em x ( t) e não-linear em ( t) nm modo deslizante terá a forma ( x( t) ) = σ ( x ( t) ) + x ( t) σ (.) = x, a dinâmica de ordem redzida do sistema (.5) ( ) () t = f ( t, x( t) ) = f t, x ( t) σ ( x ( t) ) & (.) x, Nota.: Para transformar o sistema dinâmico (.) para a forma reglar (.5), considera-se o caso de ma sperfície de deslizamento linear (.6) e ma transformação invariante no tempo, linear e não singlar z () t = x( t). Derivando ( t) z em relação a t, vem () t = x& ( t) = f ( t, x( t) ) + B( t x( t) ) ( t) z &, (.) e B = ˆ (.3) B então, na nova coordenada, a dinâmica da planta (.) é: z& z& () t = fˆ ( t, z( t) ) () t = fˆ ( t, z() t ) + Bˆ ( t, z( t) ) ( t) (.4) Logo, nm modo deslizante a dinâmica de ordem redzida é determinada mediante (.8) por: ˆ ˆ =. onde [ ] [ ] ( ) ( t) fˆ t z ( t) ˆ =,, ˆ z ( t) & (.5) z Nota.3: Para transformar o sistema dinâmico (.) para a forma reglar (.5), considera-se o caso de ma sperfície de deslizamento linear (.6) e não existindo ma transformação linear tal qe (.3) seja satisfeita, então primeiro deve-se recorrer a ma transformação nãolinear da forma

Capítlo 3 z () t = ( t, x() t ) = ( t, x( t) ) ( ()) t, x t (.6) onde n n (a) ( ) R R R, : é ma fnção diferenciável cja inversa é também diferenciável, n n m (b) ( ) R R R, : e n m (, ) : R R R. Diferenciando z em (.6) em relação a t, tem-se z &() t = ( t, x() t ) x& ( t) + ( t, x() t ) (.7) x t bstitindo (.) em (.7) vem z &() t = f ( t, x() t ) + B( t, x() t ) ( t) + ( t, x() t ) (.8) x x t e a transformação tem a propriedade x B x x ( t, x() t ) = B( t, x() t ) = B ˆ ( t, x() t ) (.9) então nas novas coordenadas, as eqações descrevendo o sistema (.) são: ~ Δ ( ) + = fˆ t z() t z & () t = f t, ( t, z() t ) (, ) (.3) x t z& x ~ ~ Δ ~ ( ) + ( t, ( t, z() t )) + B( t, ( t, z() t )) () t = fˆ t, z() t () t = f t ( t, z() t ) t x ( ) Bˆ ( t, z( t) ) ( t), +

Capítlo 3.5 Projeto do Controlador No projeto de controle, o objetivo é a obtenção de ma lei de controle tal qe satisfaça as condições de existência e alcançabilidade ao modo deslizante. A sposição é qe a sperfície de deslizamento já tenha sido projetada. Em geral, o controle é m vetor m dimensional qe tem a estrtra da forma i ( t, x() t ) = + i i ( t, x( t) ) se σ ( x( t) ) ( t, x() t ) se σ ( x( t) ) i i > < (.3) [ ] onde σ ( x() t ) = σ ( x( t) ), L, σ ( x( t) ). m = Uma estrtra mito tilizada para o controle (.3) é = + (.3) i i eq i n onde ieq é a i-ésima componente do controle eqivalente eq ( qe é contíno) e onde in é a parte descontína o parte chaveada do controle n. Para o sistema (.), com m controlador tendo a estrtra (.3), tem-se & σ σ x σ = x σ = B x σ x [ ( )( + )] ( x() t ) = x& () t = f ( t, x() t ) + B t, x( t) σ [ f ( t, x() t ) + B( t, x( t) ) ] + B( t, x() t ) ( t, x() t ) n σ em perda de generalidade, assme-se qe B( t, x() t ) = I, sendo I a matriz x identidade. Então σ& x () t =. Esta condição permite ma fácil verificação das condições ( ) n sficientes para a existência e alcançabilidade de m modo deslizante, isto é, condições qe eq x eq n n

Capítlo 33 satisfazem iσ i < σ & qando σ ( x( t) ) estrtras com controle descontíno n. i. A segir, relacionam-se algmas possibilidades de (a) Fnção sinal com ganhos constantes: i n ( x() t ) = α i sgn ( σ ( x( t) )), σ ( x( t) ), α () i i σ i i ( x() t ) < = (.33) Observe qe este controle satisfará as condições sficientes para a existência de m modo deslizante, pois σ & σ = α σ ( x() t ) sgn ( σ ( x( t) )) < se ( x( t) ) i i i i i σ. i (b) Fnção sinal com ganhos dependentes do estado: i n ( x() t ) α i = ( x( t) ) sgn ( σ ( x( t) )), σ ( x( t) ), α () i σ i i ( x() t ) = i < (.34) Logo, σ & σ = α ( x() t ) σ ( x( t) ) sgn ( σ ( x( t) )) < se ( x( t) ) i i i i i σ. i (c) Malha fechada com ganhos chaveados: in α i j, σ i x j > ψ i j ψ i j = (.35) β i j, σ i x j < ( x() t ) = x; ψ = [ ψ ], com α < e β >. i j i j Logo, ( ψ x ( t) + ψ x ( t) + L+ ψ x ( )) σ & σ = σ t i i i i i i n n <

Capítlo 34 (d) Malha fechada linear e contína i n ( x( t) ) α σ ( x( t) ) = e α <. (.36) i i i A condição de existência de m modo deslizante é σ & σ i i = α i σ i t ( x( )) < o de forma mais geral n ( x( t) ) = Lσ ( x( t) ) onde L m m R é ma matriz constante positiva definida. A condição para a existência de m modo deslizante é facilmente vista σ ( x() t ) & σ ( x( t) ) = σ ( x( t) ) Lσ ( x( t) ) < se σ ( x( t) ) (e) Vetor nitário não-linear com fator de escala ( x( t) ) ( x() t ) σ n ( x() t ) = ρ, ρ < (.37) σ A condição de existência é σ ( x() t ) & σ ( x( t) ) = σ ( x( t) ) ρ, se ( x( t) ) σ..6 istemas Incertos e CEV/MD Aqi a proposta é a apresentação da teoria de Controle com Estrtra Variável(CEV) para sistemas incertos e ma discssão sobre trepidação. Uma boa parte da literatra tem srgido nos anos recentes interessada na determinação da estabilidade de sistemas tendo parâmetros incertos dentro de limites conhecidos(incertezas casadas). ais estratégias de controle são baseadas no segndo método de Lapnov. A motivação para pesqisar

Capítlo 35 sistemas incertos está no fato de qe a representação matemática de sistemas reais na maioria das vezes não é fiel. Assim, pode-se ter não só incertezas paramétricas como também incertezas na própria modelagem do sistema real. eja o seginte sistema incerto () t = [ f ( t, x() t ) + Δf ( t, x( t), r( t) )] + [ B( t, x( t) ) + ΔB ( t, x( t) r( t) )] () t x &, (.38) onde Δf (t, x(t), r(t)), ΔB (t, x(t), r(t)) e r(t) são fnções de parâmetros incertos cjos valores pertencem a algm conjnto fechado e limitado. Nota.4: Um sistema é chamado robsto se a propriedade de interesse do sistema permanece em ma região limitada em face de ma classe de pertrbações limitadas [5]. Definição : As parcelas de incertezas Δf e ΔB qe encontram-se na imagem de B ( t, x( t) ) para todos valores de t e x () t são chamadas incertezas casadas []. Considerando qe todas as incertezas são do tipo casadas, é possível representa-las em m único vetor e(t, x(t), r(t), (t)). Então o sistema (.38) pode ser representado por x& x () t = f ( t, x() t ) + B( t, x( t) ) ( t) + B( t, x( t) ) e( t, x( t), r( t), ( t) ) ( t ) = x (.39) Considere a seginte estrtra de controle para o sistema (.39) = + (.4) eq n onde eq é o controle eqivalente assmindo todas incertezas e ( t x( t), r( t), ( t) ), nlas e n é a parte não-linear do controle projetado sem desconsiderar as incertezas. Considerando σ ( t, x( t) ) =, tem-se eq σ = B x σ σ + f t x (.4)

Capítlo 36 σ assmindo qe B x é não singlar e qe e ( t, x( t), r( t), ( t) ) =. Agora, é necessário considerar as incertezas da planta e desenvolver ma expressão para n. Para isto, assme-se qe ( t, x( t), r( t), ( t) ) ρ ( t x( t) ) e, (.4) onde ρ ( t, x() t ) é ma fnção escalar com valores não negativos. ambém, introdz-se a fnção com valores escalares ( t, x( t) ) α ρ ( t, x( t) ) ˆ ρ = + (.43) onde α >. Antes de especificar a estrtra de controle, escolhe-se a fnção de Lapnov generalizada, V =. (.44) ( t, x() t ) σ ( t, x() t ) σ ( t, x( t) ) Para assegrar a existência de m modo deslizante e atratividade para a sperfície, é sficiente escolher m controle com estrtra variável tal qe V t (, ()) = V & t x t = σ & σ < (.45) enqanto σ ( t, x() t ) onde σ σ & σ ( t, x() t ) = + x& () t (.46) t x Utilizando a lei de controle ( t x() t ) ( t, x( t) ) grad ( V ( t, x( t) ) ) ( t, x() t ) grad ( V ( t, x( t) )) B, = eq + n = eq ˆ ρ ( t, x() t ) (.47) B

Capítlo 37 ( ) qando σ t, x() t, com grad σ = x (.48) ( V ( t, x() t )) ( t, x() t ) σ ( t, x( t) ) sendo grad ( V ( t, x() t )) o gradiente da fnção de Lapnov (.44) generalizada, é garantida a atratividade para a sperfície de deslizamento. De fato, diferenciando a eqação (.44) em relação ao tempo, tem-se V& σ σ = σ + σ ( f + B + Be) (.49) t x bstitindo (.47) em (.49), vem V& = σ σ + σ t σ x f σ σ x f σ σ x B σ σ σ σ ρ + σ B e α B σ < x x x (.5).7 repidação Os controladores com modos deslizantes e estrtra variável desenvolvidos garantem o comportamento desejado do sistema em malha fechada. Estes controladores, porém, exigem m mecanismo de chaveamento infinitamente rápido (no caso ideal) o qe não é possível no caso real. Devido ao chaveamento finito, a trajetória do sistema sobre a sperfície de deslizamento oscila, e esta oscilação é denominada trepidação (chattering). As componentes de alta freqüência da trepidação são indesejáveis, pois podem excitar dinâmicas de alta freqüência não modeladas da planta, resltando em instabilidades não previsíveis.

Capítlo 38 Uma solção para esse problema consiste em introdzir no controlador ma camada limite, o seja, permitir qe a trajetória do sistema permaneça sobre ma região ao redor da sperfície de deslizamento e não restritamente sobre essa sperfície. Define-se o conjnto { x ( t) / σ ( x( t) ) ε, ε > } como a chamada Camada Limite de espessra ε. Considere a lei de controle: () t = eq eq B B + p, σ x σ x ( t, x() t ) σ ( t, x( t) ) ( t, x() t ) σ ( t, x( t) ) ˆ, ρ se σ se σ ( x() t ) ( x() t ) < ε ε onde eq é dado por, eq σ = B x σ σ + f t x e sendo p = p(t,x) qalqer fnção contína tal qe p ( t, x() t ) = B B σ x σ x ( t, x() t ) σ ( t, x( t) ) ( t, x() t ) σ ( t, x( t) ) ˆ ρ toda vez qe σ ( ( t) ) = ε x e p = ρˆ. Este controle garante atratividade para a camada limite e no interior da camada limite, oferece ma aproximação contína para a ação de controle descontíno de σ B ( t, x() t ) ( t, x() t ) ( t x( t) ) x σ,, = + n = eq ˆ ρ σ B ( t, x() t ) ( t, x() t ) σ ( t, x( t) ) x ( t x() t ) eq, ( t x() t )

Capítlo 39 Uma otra lei de controle com camada limite é dada por [9]. ( t, x() t ) = + = ˆ ρ ( t x( t) ) eq n eq, σ ( x( t) ) σ ( x() t ) + ε.8 Comentários Neste capítlo foram apresentados algns aspectos qe envolvem os istemas Incertos com Controle de Estrtra Variável e Modos Deslizantes. Drante todo o capítlo, o vetor de estados foi considerado acessível por completo, entretanto, na maioria dos sistemas reais, tem-se acesso somente à saída da planta. abendose qe a sperfície de deslizamento é definida como fnção dos estados do sistema, existem abordagens qe tilizam compensadores para compor a sperfície de deslizamento a partir da saída da planta [9,39]. Utilizando técnicas de estrtra variável e modos deslizantes, pode-se projetar observadores de estado [,,3,5,]. Estes conservam as vantagens de robstez e bom desempenho diante de incertezas introdzidas por tais técnicas de controle. Esta abordagem será detalhada no Capítlo 4, onde se considera também sistemas com atraso no sinal de controle. Um otro detalhe importante deste capítlo é poder notar qe ao se tilizar a estrtra de controle (.3), jntamente com a estrtra (.37), o controlador não mais apresenta a propriedade de seleção de sinais de controle, caracterizando m projeto baseado em camada limite. Assim, a denominação correta para este caso é apenas Controlador de Modos Deslizantes, perdendo a característica de estrtra variável. Esta propriedade, de sinal de controle único e save, é levada em consideração no projeto dos novos controladores de modos deslizantes discretos. oda a teoria apresentada está voltada para sistemas contínos no tempo, o seja, sistemas analógicos. Porém, como mencionado anteriormente, a implementação de controle

Capítlo 4 de modos deslizantes contínos em comptadores digitais sofre ma deterioração de performance. Desse modo, m controlador projetado com técnicas de controle digital se faz necessário e será apresentado no capítlo seginte.

CAPÍULO 3 3. CONROLADOR DICREO COM MODO DELIZANE E ARAO NO INAL DE CONROLE (CDMD-h) Controle com Modos Deslizantes (CMD) tem sido estdado desde o início dos anos sessenta [5] e recentemente várias implementações práticas foram efetadas através de comptadores digitais. abe-se qe o CMD aplicado a sistemas contínos no tempo é robsto para ma classe de incertezas na planta [5]. a implementação através de dispositivos digitais, contdo, reqer m certo período de amostragem qe casa não somente chattering ao longo da sperfície de deslizamento, mas também, provável instabilidade, se o período de amostragem não for levado em consideração no projeto do controlador. Além disso, o so desses dispositivos digitais programáveis para a realização do controle robsto pode casar considerável atraso no sinal de controle devido ao tempo de processamento, podendo levar o sistema a instabilidade. Neste capítlo, m projeto de CMD discreto qe apresenta robstez em relação ao atraso, sem a necessidade de m preditor, é apresentado considerando acessíveis todos os estados [4,44]. O controlador, discreto no tempo, apresenta ma lei de controle save, ao invés de ma chaveada, qe leva em consideração os conversores A/D e D/A, o período de amostragem e o atraso h devido ao tempo de processamento. Este é considerado sempre menor qe o período de amostragem Δ. Dessa forma, evita-se qe, na presença do atraso na comptação dos sinais pelo dispositivo digital, a estrtra chaveada seja inflenciada pela ação do mesmo, o qe poderia interferir no desempenho e até na estabilidade do sistema. as principais características são a simplicidade de implementação e sa robstez em relação a determinadas classes de incertezas.

Capítlo 3 4 imlações nos sistemas bola e viga, pêndlo invertido linear e pêndlo invertido rotacional ilstram o procedimento de projeto. Esses sistemas são apresentados e descritos no Capítlo5. 3. Modelo Discreto no Espaço de Estados considerando o Atraso no inal de Controle Considere o modelo com múltiplas entradas e múltiplas saídas (MIMO) no espaço de estados contíno, representado por onde () t x& ( t) = A x( t) + B( t λ) () t = C x() t m n R é o vetor de controle, x( t) R (3.) p é o vetor de estados, () t R é o vetor de saída, λ é o atraso contíno no sinal de controle e A n n R, B n m R e C p n R são matrizes constantes. Uma solção para o sistema (3.) é dada por [9] x t A ( t t ) A( t τ ) () t = e x ( t ) + e B ( τ λ) dτ t (3.) A eqação (3.) será tilizada sobre m período de amostragem para obtermos a eqação diferença: conseqentemente precisa-se mdar a notação, t = Δ e t = Δ + Δ, sendo Δ o período de amostragem. Assim srge ma versão particlar de (3.): x Δ+Δ A Δ A( Δ+Δ τ ) ( Δ + Δ) = e x ( Δ) + e B ( τ λ) Δ dτ (3.3) Este resltado é independente do tipo de bloqeio porqe é especificado em termos de tempo contíno, (t), sobre o intervalo de amostragem. Uma sposição comm e tipicamente válida, para m bloqeador de ordem zero (ZOH) é qe () t = ( Δ) Δ t < Δ + Δ, (3.4) Para facilitar a solção de (3.3), mda-se as variáveis na integral de τ para η, tal qe η = Δ + Δ τ (3.5)

Capítlo 3 43 Então tem-se x A Δ Aη ( Δ + Δ) = e x ( Δ) + e B ( Δ + Δ λ η) Δ dη (3.6) Considera-se o atraso contíno λ como sendo ma fração do período de amostragem Δ, complementar ao atraso no tempo de comptação: onde h é o atraso comptacional. λ = Δ h (3.7) Com esta sbstitição, o sistema discreto pode ser escrito como x A Δ Aη ( Δ + Δ) = e x ( Δ) + e B ( Δ + h η) Δ dη (3.8) A integral de (3.6) é calclada de até Δ. Assim, pode-se qebrá-la em das partes, obtendo x h Δ ( Δ Δ + Δ) = e A x ( Δ) + e A η B dη A ( Δ) + e η B dη ( Δ Δ) Em (3.9) define-se [44] ( Δ + Δ) = Φx( Δ) + Γ ( Δ Δ) + Γ ( Δ) x h. (3.9) Φ = e A Δ Δ A η Γ = Γ = A η, e B dη e e B dη h h (3.) Dessa forma, o modelo discreto qe considera o atraso comptacional é dado por x + = Φ + Γ + Γ = Cx x (3.) onde x n p R, R são os sinais amostrados e m R é o vetor de controle discreto no n n n m p n tempo. As matrizes constantes são Φ R, Γ R e C R. Note qe ( Δ) = ( Δ) e = ( Δ) x = x,. Esta nova notação é adotada por qestão de simplicidade. O par ( Φ, Γ) é sposto controlável e o par (,C) Φ é sposto observável. No modelo (3.), a controlabilidade e a observabilidade são preservadas mesmo na presença do atraso no tempo de comptação. Note qe a matriz de entrada Γ satisfaz a relação Γ = Γ + Γ.