Programa PIBID/CAPES Departamento de Matemática Universidade de Brasília Matemática - Geometria Caderno 1: Objetivos Desenvolver e formalizar o raciocínio lógico do aluno. Conteúdos abordados Reconhecimento de estruturas lógicas, distinguir hipótese e tese ; estudo dos diferentes tipos de técnicas de demonstração: demonstração por absurdo, demonstração direta, por contra-exemplo; implicação e equivalência; congruência de triângulos. Metodologia Através de observações e medições, fazer conjecturas e provar formalmente os teoremas envolvendo condição de existência dos triedros. Materiais régua, papel branco, lápis, borracha. Autor João Paulo Ferreira da Silva Orientador Guy Grebot
1 Caderno: No caderno anterior, observamos que em vários triedros a medida de cada ângulo no vértice é menor do que a soma das medidas dos outros dois. Dá para provar isso? Como podemos ter certeza que a nossa prova é convincente? Será que basta provar no caso de um exemplo? 1.1 Atividade 1. Como podemos enunciar o nosso problema? 2. Dá para separar o enunciado do problema em duas partes, a saber: o que sabemos e o que queremos mostrar? 3. O que é subentendido e não precisa fazer parte do enunciado do problema? 1.2 Atividade 1. Partindo da hipótese, o que devemos fazer para chegar à tese? 2. Que tipo de conhecimento podemos selecionar para embasar o nosso argumento? 3. Como podemos encadear esses conhecimentos? O que seria uma demonstração direta? 1.3 Atividade 1. Podemos dizer que uma proposição matemática é verdadeira e falsa simultaneamente? Dê um exemplo para ilustrar a sua resposta. 2. De que outros conhecimentos a respeito de ângulo você dispõe? 3. O que podemos afirmar a respeito de cada lado de um triângulo em relação aos outros dois? 4. Você acha que há outro tipo de conhecimento que pode ser listado e que pode ajudar na argumentação? 1.4 Atividade 1. O que podemos argumentar se os ângulos AOB, BOC e AOC forem congruentes? 2. Levando-se em conta o que queremos mostrar, faz sentido considerar a condição: Suponha AOC > BOC e AOC > AOB? Justifique. Programa PIBID/CAPES- Departamento de Matemática, Universidade de Brasília 2
1.5 Atividade Considere a condição: Suponha AOC > BOC e AOC > AOB. 1. A condição permite estabelecer que existe a semirreta OD contida na face AOC tal que AOD AOB? 2. É possível considerar os pontos M e M tais que M OD, M OB, e OM OM? 3. É possível considerar um ponto N qualquer de OA de modo que o plano formado pelos pontos M, M e N corte a semirreta OC no ponto P? 4. Represente a situação estabelecida nos itens 1, 2 e 3. 1.6 Atividade De acordo com os itens da atividade anterior: 1. Por que podemos dizer que ONM ONM? (i.e. Que os triângulos são congruentes) 2. A desigualdade P N < P M + NM é válida? Justifique. 3. Vale a igualdade P N = P M + MN? Justifique. Programa PIBID/CAPES- Departamento de Matemática, Universidade de Brasília 3
4. O que podemos dizer dos segmentos MN e M N? 5. O que as relações dos itens 2, 3 e 4 permitem afirmar a respeito P M e P M? 1.7 Atividade A atividade 1.6 permite estabelecer determinadas relações entre os dados considerados na atividade 1.5. 1. Nos triângulos MOP em OP, observe que OM OM e OP é lado comum. 2. Trace vários triângulos MOP e M OP que satisfaçam as condições do item 1. O que se observa a respeito dos ângulos MOP e M OP em função dos lados MP e M P? Monte uma tabela para representar essa observação. 3. Baseado na observação feita no item anterior, estabeleça uma proposição que reflita a observação. 1.8 Atividade Vamos assumir que o resultado obtido na atividade 1.7 seja válido. 1. Com base nas atividades 1.6 e 1.7, o que se pode afirmar a respeito dos ângulos MOP e M OP? 2. O que podemos afirmar a respeito de MOP + NOM e M OP + NOM? 3. O que pode ser dito a respeito dos triângulos NOM e NOM? O que se conclui a respeito dos ângulos NOM e NOM? Justifique. 4. Porque podemos escrever a relação MOP + NOM = NOP? 5. A partir dos itens 3 e 4, como pode ser reescrita a afirmação do item 2? Qual conclusão se tira daí? Programa PIBID/CAPES- Departamento de Matemática, Universidade de Brasília 4
1.9 Atividade 1. Nas argumentações desenvolvidas nas atividades 1.6, 1.7 e 1.8 foi usado algum conhecimento que não fazia parte da lista estabelecida na atividade 1.3? 2. A partir da demonstração concluída na atividade 1.8, você está convencido de que a afirmação a medida de cada ângulo no vértice é menor do que a soma das medidas dos outras dois é válida? 3. Faltou alguma coisa para completar a demonstração? 1.10 Outras coisas matemáticas! 1.10.1 Desafio Mostre que se dois triângulos ABC e DEF são tais que AB = DE, AC = DF e BC < EF, então BAC < EDF. 1.11 Atividade 1. Veja a seguinte afirmação: Se João é carioca, então ele é brasileiro. A volta (ou recíproca) dessa afirmação é correta? Explique. 2. Escreva a recíproca da frase: Se o gato mia então ele está vivo. A volta dessa frase é correta? Explique. 1.11.1 Atividade Provar que : Se x e y são números pares então x + y é um número par 1. Qual é a hipótese da proposição? 2. Qual é a tese da proposição? 3. Qual é a forma geral de um número par? 4. A partir da hipótese e do item anterior, argumente e mostre que vale a tese. 5. Como se escreve a proposição recíproca? 1.11.2 Atividade Provar que: Se x e y são números impares, então x + y é um número par. 1. Qual é a hipótese da proposição? 2. Qual é a tese da proposição? 3. Qual é a forma geral de um número ímpar? 4. A partir da hipótese e do item anterior, argumente e mostre que vale a tese. 5. Como se escreve a proposição recíproca? 6. Prove a proposição estabelecida no item anterior. Programa PIBID/CAPES- Departamento de Matemática, Universidade de Brasília 5
1.11.3 Atividade Provar que: Se x e y são números racionais, então x.y é racional. 1. Qual é a hipótese da proposição? 2. Qual é a tese da proposição? 3. Qual é a forma geral de um número racional? 4. A partir da hipótese e do item anterior, argumente e mostre que vale a tese. 5. Como se escreve a proposição recíproca? 6. Prove a proposição estabelecida no item anterior. 1.11.4 Desafio Observe o seguinte teorema : Se um quadrilátero ABCD é retângulo, então suas diagonais são congruentes. 1. Determine sua hipótese e sua tese. 2. Determine a condição suficiente para que as diagonais de um quadrilátero sejam congruentes. 3. Determine uma condição necessária para que um quadrilátero seja retângulo. 4. Se afirmarmos que as diagonais de um quadrilátero são congruentes, então esse quadrilátero tem que ser retângulo? (volta do teorema) 1.11.5 Atividade Escreva a negação das seguintes sentenças: 1. Todo brasileiro gosta de futebol. 2. Existe mulher alta. 3. Ninguém pode falar a verdade. 4. Alguém confunde a situação. 5. Ninguém pode falar a verdade e alguém confunde a situação. 6. Eu irei a praia ou irei ao cinema. 7. Se você comer meu doce eu fico com raiva. 8. Carlos foi viajar ou foi à escola. 9. Márcia não voltou e foi ao cinema. Programa PIBID/CAPES- Departamento de Matemática, Universidade de Brasília 6
1.11.6 Desafio Prove por demonstração indireta que: Se BAC é um triângulo retângulo em B, então a medida do ângulo BAC é menor que 90 o. 1.11.7 Desafio Provar que 2 é um número irracional. 1.11.8 Atividade 1. Prove que um paralelogramo é um retângulo, se e somente se, um de seus ângulos internos é reto. 2. Prove que x é divisor de y,se e somente se, y é um múltiplo de x. 3. Escreva como é a recíproca da implicação: se um triângulo tem dois lados congruentes, então tem dois ângulos internos congruentes. 4. Sendo x e y números reais quaisquer, veja a implicação x = y x 2 = y 2. Mostre que a recíproca é falsa. 5. Escreva a recíproca da frase seguinte utilizando a palavra implica: Se estiver chovendo não irei ao cinema. 6. Complete a frase seguinte de acordo com a lógica observada por você: Se o gato mia, ele está vivo. Se ele está vivo, ele come. Portanto, se. 1.12 Desafio Prove que a afirmação seguinte é válida ou prove que ela não é válida: Dados dois triângulos ABC e A B C com A B AB e B C BC e  Â, então esses triângulos são congruentes. 1.13 Desafio Prove que num triângulo isósceles ABC temos que AB = AC se, e somente se, os ângulos em B e C são congruentes. 1.14 Desafio Verifique se o teorema a seguir sobre congruência de triângulos está correto: Dados dois triângulos ABC e A B C com A B AB e B C BC e  Â, então esses triângulos são congruentes. Programa PIBID/CAPES- Departamento de Matemática, Universidade de Brasília 7
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