PROTOTIPAÇÃO DE UM MICROMUNDO COMO SUPORTE AO PROFESSOR PARA O ENSINO DE ÁREA

PROTOTIPAÇÃO DE UM MICROMUNDO COMO SUPORTE AO PROFESSOR PARA O ENSINO DE ÁREA Prototyping of a Microworld with Teachers' Support for Area Teaching Anderson Douglas Pereira Rodrigues da Silva Resumo Este artigo traz à tona um recorte de uma tese de doutorado em andamento que tem por objetivo conceber, desenvolver e validar um micromundo como elemento de suporte ao professor para o trabalho com a grandeza área e perímetro. A fundamentação teórica do nosso texto, apoia-se na abordagem de área como uma grandeza e em pesquisas que expõem erros e entraves na aprendizagem de área, assim como na Engenharia de Software Educativo (ESE) que baseia-se em conceitos computacionais e educacionais e na integração entre ambas as áreas visando a produção de softwares educativos de qualidade. Ela também ajuda a organizar o modelo de desenvolvimento de software em etapas: concepção, elaboração, finalização e viabilização. Elencamos por meio das fases da ESE os requisitos necessários para esse novo micromundo. Nos resultados, apresentamos a prototipagem inicial de uma tela com as possíveis ferramentas e menus que conterá esse novo micromundo como forma de oferecer ao professor condições para a elaboração de diferentes situações de área e perímetro de figuras planas. Palavras-chave: Área. Micromundo. Engenharia de Software Educativo. Abstract This article brings to the fore a cut of an ongoing doctoral thesis that aims to design, develop and validate a microworld as an element of support to the teacher for working with area and perimeter grandeur. The theoretical basis of our text is based on the area approach as a greatness and on research that exposes errors and obstacles in the area learning, as well as in Educational Software Engineering (ESE) that is based on computational and educational concepts and in the integration between both areas aiming at the production of quality educational software. It also helps organize the software development model in stages: design, drafting, finalization and feasibility. Through ESE phases, we have established the necessary requirements for this new microworld. In the results, we present the initial prototyping of a screen with the possible tools and menus that will contain this new microworld as a way to offer the teacher conditions for the elaboration of different situations of area and perimeter of flat figures. key words: Area. Microworld. Educational Software Engineering. Introdução

Educação e Tecnologia em Tempos de Mudança 2 Diversas pesquisas ao longo dos anos têm apontado dificuldades nos mais diversos níveis de escolaridade com relação ao ensino e aprendizagem de área de figuras planas. Dentre estas pesquisas destacamos algumas desenvolvidas no Brasil, como por exemplo, os estudos de Duarte (2002), Facco (2003), Ferreira (2010) e Pessoa (2010) que se apoiam nos estudos das pesquisadoras francesas Régine Douady e Marie-Jeanne Perrin-Glorian (1989) sobre a abordagem didática do conceito de área de figuras planas. Nesse trabalho, são analisados erros e dificuldades de alunos franceses na resolução de exercícios e problemas sobre área, tais como: aceitar que o perímetro de uma figura pode permanecer invariável quando a área dessa figura varia e isso pode acontecer reciprocamente, o amalgama entre área e perímetro e o uso de fórmulas em situações em que elas não são válidas. Essas autoras caracterizam dois tipos de concepções que surgem por meio das análises desses erros: uma relacionada ao tratamento feito pelos alunos na dificuldade de distinguir área e figura, denominada concepção forma ligada ao quadro geométrico, e outra associada a não distinção de área e número, conhecida por concepção número, ligado ao quadro numérico. Colocam ainda que para dar sentido ao conceito de área como grandeza é preciso que os alunos distingam as noções de área e figura tão bem quanto área e número (DOUADY; PERRIN-GLORIAN, 1989). A partir desse estudo sugerem que a abordagem de área deve ser tratada por meio da distinção e articulação entre três quadros: o quadro geométrico, o quadro das grandezas e o quadro numérico. Segundo Douady e Perrin-Glorian (1989, p. 389), um quadro é constituído de objetos de um ramo da matemática, das relações entre esses objetos, de suas formulações eventualmente diversas e das imagens mentais que o sujeito associa num dado momento, a esses objetos e relações. Como meio não apenas de diagnosticar as dificuldades dos alunos brasileiros quanto a aprendizagem de área, mas também como forma de intervir as pesquisas de (DUARTE, 2002; FACCO 2003; FERREIRA 2010, PESSOA, 2010), entre outras, utilizam diversos recursos, dentre eles destacamos o uso do tangram, dos poliminós e de malhas quadriculadas. Escolhemos utilizar em nossa pesquisa de mestrado, como um dos recursos para verificar 1 procedimentos e teoremas em ação que poderiam ser mobilizados pelos alunos do 6º ano do Ensino Fundamental, nas resoluções de tarefas que dão sentido a área como grandeza geométrica, o software Apprenti Géomètre 2 (Aprendiz de Geometria). O Apprenti Géomètre é um software de geometria desenvolvido pelo Centre de Recherche sur l Enseignement des Mathématiques (CREM) para atender a proposta do então Ministro da Educação Básica da comunidade francófona na Bélgica (CREM, 2007), em fornecer um software de matemática para crianças de 8 a 12 anos, que lhes permitissem realizar atividades de geometria dificilmente acessível em um contexto escolar tradicional. Esse software possibilita trazer diretamente para sua interface figuras geométricas mais comuns como: triângulos, quadriláteros, etc., como ponto de partida na exploração dos estudantes, e oferece diversas ferramentas que possibilitam ao usuário arrastar, fazer rotação e reflexão, compor, decompor, recompor, fundir e duplicar, diferentes figuras geométricas desenhadas em sua interface. No desenvolvimento da nossa pesquisa de mestrado identificamos diversas potêncialidades desse software para o trabalho com área como grandeza geométrica. Porém a partir de várias oficinas aplicadas com estudantes de Licenciatura em Matemática de uma universidade pública federal, e por fim, com alunos de nossa pesquisa de mestrado, notamos algumas falhas técnicas e limitações no software, como também a ausência de alguns recursos que podem ser relevantes para o trabalho do professor voltado ao ensino de área de figuras planas. Nesse sentido, traçamos como objetivo em uma tese de doutorado conceber, desenvolver e validar um micromundo como elemento de suporte ao professor para o trabalho com a grandeza área a partir dos aportes e limitações desse software para o ensino desse conceito. 1 Um invariante operatório que na Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud (1996), diz respeito as proposições, que podem ser verdadeiras ou falsas e que permanecem em grande parte, implícitas nas ações do sujeito.

Educação e Tecnologia em Tempos de Mudança 3 O presente texto apresenta um recorte desta tese, visando apresentar a concepção deste novo micromundo. Organizamos este artigo em alguns tópicos. A introdução como primeiro, o segundo apresenta o referencial teórico apoiado nas pesquisas de Douady e Perrin-Glorian (1989) sobre área como grandeza geométrica e na Engenharia de Software Educativo, buscando, assim, apresentar os elementos para o desenvolvimento de um software. Ainda nesse tópico elencamos o que vem a ser um micromundo, seguindo das potencialidades e limitações do Apprenti Géomètre 2 que serão pertinentes para elaboração e desenvolvimento deste novo micromundo. O terceiro aborda os aspectos das etapas de desenvolvimento e os requisitos necessários a esse novo micromundo para o trabalho com área e perímetro de figuras geométricas planas, baseadas nas etapas da ESE. No quarto tópico trazemos à tona os resultados preliminares seguido das considerações finais. E por fim, as referências. Referencial Teórico Abordagem de área como uma grandeza Em nossa pesquisa adotamos a abordagem da área como uma grandeza geométrica, apoiada nos estudos de Régine Douady e Marie-Jeanne Perrin-Glorian (1989), realizados na França, nos anos 1980, no nível equivalente ao 4º e 5º anos do ensino fundamental brasileiro. Essas autoras evidenciaram erros e entraves na resolução de problemas e exercícios sobre área dentre os quais, considerar que: a possibilidade de expressar a área de uma figura usando certa unidade, depende dos formatos da figura e da superfície unitária, ou seja, da possibilidade de ladrilhar efetivamente a figura com uma quantidade finita de exemplares da superfície unitária. Assim, encontram dificuldade em expressar a área de um triângulo em centímetros quadrados devido à impossibilidade de cobrir um triângulo efetivamente com uma quantidade finita de quadradinhos de lados de um centímetro; a área de uma figura é ligada à própria figura de tal modo que não se dissocia de outras características da mesma. Nessas condições, não parece possível, aos olhos dos alunos, modificar uma figura, mantendo sua área inalterada, ou seja, qualquer modificação da figura modificaria necessariamente sua área e todas as demais características da figura (como seu perímetro, por exemplo); qualquer modificação do perímetro de uma figura altera sua área (e reciprocamente); duas figuras que tenham áreas iguais tem necessariamente perímetros iguais (e reciprocamente); o uso de certas fórmulas pode ser estendido a situações nas quais não são válidas, como é o caso de multiplicar os comprimentos dos lados adjacentes de um paralelogramo não retângulo ou até multiplicar os comprimentos dos três lados de um triângulo (estendendo indevidamente a validade da fórmula da área de um retângulo). Pesquisas brasileiras (DUARTE, 2002, FACCO, 2003, MELO, 2003, LIMA; BELLEMAIN, 2004, TELES, 2007, FERREIRA, 2010, FERREIRA; BELLEMAIN, 2013, entre outros) identificaram erros e dificuldades similares a esses. Destacaram ainda que grande parte dos alunos cometem erros em relação ao uso de unidades de medida e alguns consideram que figuras com áreas iguais são necessariamente congruentes. De acordo com Ferreira e Bellemain (2013) o modelo explicativo para tais entraves, proposto por Douady e Perrin-Glorian (1989) e adotado por Baltar (1996) baseia-se na organização das concepções dos alunos em dois polos - as concepções geométricas e as concepções numéricas - as quais são descritas da seguinte forma: As concepções geométricas se caracterizam por um amálgama entre a figura e a área, ou seja, para os sujeitos que mobilizam uma concepção geométrica é como se a palavra área remetesse à própria figura e não a uma propriedade da mesma. No outro extremo, estão as concepções numéricas, que focam exclusivamente o aspecto do cálculo. É o caso de respostas a problemas de cálculo de área,

Educação e Tecnologia em Tempos de Mudança 4 nas quais nenhuma unidade é mencionada ou utilizam-se unidades inadequadas. (FERREIRA; BELLEMAIN, 2013, p. 3). Douady e Perrin-Glorian (1989) enfatizam que os alunos mobilizam ora uma concepção geométrica de área, ora uma concepção numérica e, por vezes, as duas de forma simultânea, mas sem estabelecer relações pertinentes entre os aspectos geométricos e numéricos no tratamento de problemas sobre área, o que provoca ou reforça a persistência de dificuldades na aprendizagem da área. Diante dessas dificuldades Douady e Perrin-Glorian (1989) entendem que a aprendizagem matemática deve ser tratada em diferentes quadros. E consideram que a construção do conceito de área como grandeza geométrica deva partir da distinção e articulação entre três quadros, o quadro geométrico, o quadro das grandezas e o quadro numérico. O Quadro Geométrico composto por todas as superfícies planas, que são objetos matemáticos, considerando as inúmeras formas existentes: poligonais, circulares, figuras irregulares, etc, fazendo parte, também, desse quadro as eventuais relações que podem surgir entre esses objetos com respeito as suas formas. O Quadro Numérico constituído pelas medidas da área das superfícies, ou seja, nesse caso, o conjunto dos números reais não negativos: 5, 3/4,... E o Quadro das Grandezas: caracterizado formalmente como classes de equivalência de superfícies de mesma área. Expressões compostas de um número e uma unidade de medida: 3m²; 7cm²; 1Km²; são formas de representar grandezas (BELLEMAIN, LIMA, 2002, p. 29). Essas autoras francesas colocam ainda que a abordagem de área como uma grandeza ajuda os alunos a superarem as concepções geométricas e numéricas de área. Diante desse contexto, pensamos no desenvolvimento de um software que permita ao professor construir tarefas sobre área e perímetro que contribua com o processo de ensino e aprendizagem desse conceito que vem ao longo dos anos mostrando-se como um obstáculo na aprendizagem dos alunos da educação básica no Brasil (SILVA; BELLEMAIN, 2017). Para esse desenvolvimento contamos com os pressupostos da Engenharia de Software Educativo (ESE)(BELLEMAIN, 2002). Engenharia de Software Educativo De acordo com o Belemain (2002), Benitti et al. (2005). A ESE pode ser definida como um processo para o desenvolvimento de software educativo. Baseia-se em conceitos computacionais e educacionais, promovendo a integração entre ambas as áreas visando um produto de qualidade, referenciado em uma proposta pedagógica definitiva. De acordo com GALVIS (1997, p.1 ) A engenharia de software educativo (ESE) é muito mais do que simplesmente tentar fazer um apanhado, artisticamente bem sucedido, de ideias docentes com apoio da tecnologia informática, ou seja, não se trata de enriquecer as aulas com o uso de diferentes softwares educativos, nem tampouco, diz respeito ao educador, que consciente dos desafios da globalização e da integração das tecnologias digitais na sociedade ou mesmo para a socialização do conhecimento, decide de forma enfática abrir as janelas dessas tecnologia para o saber, colocando seus alunos em contato com outros seres humanos por meio das redes virtuais como as da INTERNET, por exemplo, está enriquecendo a educação com a informática, mas não está fazendo ESE (GALVIS, 1997). Para esse autor a ESE se refere à criação de ambientes educativos computadorizados que oferecem muito mais do que uma boa utilização educativa de soluções informáticas genéricas e que são desenhados para formar o marco do aprendizado sendo elaborados com uma finalidade educativa específica (GALVIS, 1997). Para Galvis (1997, p.7) do ponto (de vista) socio-técnico, o processo ESE não se limita à gestação e elaboração ou escolha dum produto que case com o que é educacionalmente necessário; vai além, ou seja, abrange a implementação e avaliação dele no campo. Benitti et al. (2005) elenca quatro etapas principais, para o processo de desenvolvimento de um software: concepção, elaboração, finalização e viabilização. Na concepção que é a etapa destinada a definir as diretrizes gerais do software educativo compreende a definição dos objetivos de aprendizagem e requisitos. Na elaboração/ construção é a etapa centrada na implementação do software e concebida com base em um modelo de prototipação evolutiva,

Educação e Tecnologia em Tempos de Mudança 5 comtempla também aspectos de especificação e avaliação/validação. A finalização destina-se a integrar as funcionalidades elaboradas visando compor um produto final, além disso, prevê atividades específicas para elaborar a documentação do software. De acordo com Benitti et al. (2005): Embora esta não seja a última etapa do processo de desenvolvimento, refere-se a parte final de construção do software, que somente ocorre após uma análise positiva da avaliação do uso do software educacional pelos alunos. Esta etapa divide-se em duas atividades distintas: (i) integração, realizada pelo profissional da área de computação, que irá verificar se existem pequenos ajustes que tenham sido observados na validação preliminar do software e alterá-los. Também é realizada nesta atividade a integração do incremento ao produto final, caso o mesmo não se refira ao primeiro incremento; (ii) elaborar documentação, é essencial para qualquer software desenvolvido uma documentação detalhada, desde o projeto à implementação. Nesta atividade é gerada uma especificação detalhada do software e é criado um manual do usuário, contendo informações referentes à utilização do software e exemplos de atividades pedagógicas, elaboradas conjuntamente com profissionais da educação, para o uso dos professores. (BENITTI et al. 2005, p. 6). A partir desse modelo definido na pesquisa de Benitti et al. (2005), pensamos em desenvolver um micromundo de geometria baseado em elementos do Apprenti Géomètre 2 um software de geometria dinâmica que se mostrou uma importante ferramenta para aprendizagem de área em uma comunidade francófona na Bélgica (CREM, 2007). Mas o porquê de desenvolver um novo micromundo de geometria e não outro tipo de software, como por exemplo, jogos digitais, tutorias, etc.? Micromundos De acordo com Galvis (1997) O micromundo apresenta-se como um cenário relevante para o aprendizado, em que acontecem coisas dependendo do que o aprendiz realiza. Neste ambiente nem toda a complexidade do mundo que é objeto de conhecimento é refletida (por isso são micromundos), mas sim as variáveis relevantes. Nele aprendemos a partir do comportamento dos componentes gerado pelas variáveis ocorrentes que estão sob controle do usuário e que podem ser afetadas com base nas ferramentas tecnológicas a seu dispor, ou seja, nele é possível que o usuário, aluno ou professor, possam explorar diferentes ferramentas, sem limitar-se apenas há algo pré-programado, como no caso dos softwares tutoriais. O micromundo oferece condições para que diferentes tipos de estratégias sejam mobilizadas por alunos, na resolução de uma tarefa criada pelo professor. Samara e Clements (2002) definem micromundos como ambientes computacionais que incorporam um conjunto coerente de conceitos científicos e relações concebidas de modo que com um conjunto apropriado de tarefas e pedagogia, os alunos podem se envolver em atividades de exploração e construção ricas em a geração de significado. A literatura centra-se em alguns micromundos mais específicos como, por exemplo, o Logo: que foi o da "Geometria das Tartarugas que gerou uma grande quantidade de pesquisas sobre a construção de significados geométricos das crianças Papert (2006). Nesse micromundo, a criança pode usar ferramentas simples para construir figuras geométricas e explorar suas propriedades por meio de uma linguagem de programação que permite a criação de diferentes comandos para construí-las e manuseá-las. E o Cabri Géomètre 2, um software de Geometria Dinâmica desenvolvido por Jean-Marie Laborde e Franck Bellemain que permite construir objetos geométricos interativamente (BALDIN; VILLAGRA, 2002, p. 11). Ele oferece um conjunto de ferramentas para a construção de objetos geométricos a partir de propriedades que os definem. Mas não é só isso a riqueza do software, por meio de deslocamentos aplicados aos elementos que compõe o desenho, esse se transforma, mantendo as relações geométricas que caracterizam a situação. Assim, para um dado objeto temos associada uma coleção de

Educação e Tecnologia em Tempos de Mudança 6 desenhos em movimento, e as características invariantes que aí aparecem correspondem às propriedades geométricas do objeto. Do ponto de vista da construção conceitual de área, as questões supracitadas anteriormente são relevantes, assim como a presença de ferramentas por meio das quais podemos verificar a representação da área da figura pelo par (número + unidade de medida), em cm 2, por exemplo. É possível também expressar o perímetro e o comprimento dos lados das figuras geométricas planas construídas em sua interface. Permite ainda visualizar a variação da área ao deslocarmos os vértices da figura, assim como o seu perímetro e reciprocamente. Outra ferramenta que nos chama atenção neste software de geometria dinâmica é a ferramenta de macro construções, por meio delas, é possível encapsular diversas etapas de uma construção em um único comando facilitando o processo de construções geométricas mais complexas e, por conseguinte, enriquecendo a lista de construções disponíveis aos usuários. O Apprenti Géomètre 2, também faz parte dessa categoria de software denominado de micromundos, ele permite que o usuário explore livremente diferentes tipos de menus e ferramentas para a resolução de uma mesma tarefa. Esse software, assim como o Cabri, pode contribuir com o processo de elaboração de diferentes tipos de tarefas de área pelo professor por meio da pluralidade de recursos que é implementado nele. Esse software foi escolhido como base para o desenvolvimento do novo micromundo, porque que lida com o processo de decomposição e recomposição de maneira original em relação aos demais softwares consultados, tais como: o Cabri Géomètre e o Logo, por exemplo. Nesses softwares não há uma ferramenta específica que permita ao aluno realizar processos de decomposição e recomposição de figuras, como é o caso no Apprenti Géomètre 2.O uso dessas ferramentas de decomposição e recomposição de figuras pode ampliar, por exemplo, a possibilidade de resolução de algumas tarefas de comparação de área. Sendo F 1 e F 2, figuras de mesma área, porém de formas diferentes, uma das maneiras de comparar suas áreas é decompor uma delas e recompor de modo a obter uma figura possível de comparar por sobreposição, ou seja, se duas figuras coincidem por sobreposição elas têm mesma área. Na seção a seguir, apresentaremos de forma mais enfática o AG2, explicitando ainda mais as potencialidades e limitações de diferentes naturezas encontradas e que são pertinentes para o foco do desenvolvimento do novo micromundo. Potencialidades e limitações do AG2 no ensino e aprendizagem de área. O Apprenti Géomètre 2 traz em seus menus diferentes ferramentas que apresentam possibilidades para o trabalho com as situações de comparação de área, medida de área, mudança de unidade e produção de superfície, essas situações possivelmente podem contribuir para a superação das concepções geométricas e numéricas de área. O menu Figura Padrão, por exemplo, reúne um conjunto de figuras pré-definidas que podem ser utilizadas como unidade de mediada não convencional CREM (2007). Com esses tipos de figuras podemos trabalhar com as situações de comparação, medida de área e mudança de unidade. Segundo Lima e Bellemain (2010, p.12) no ensino fundamental, é importante, que se dê oportunidade ao aluno de efetuar medições de forma intuitiva, com o emprego de unidades não convencionais [...]. Tais atividades podem contribuir para a compreensão do caráter arbitrário da unidade e para desenvolver a habilidade de adequar a unidade à grandeza a ser medida. Outros conjunto de figuras pré-definidas são encontrados na opção Figuras Padrão do menu Preferências que fica localizado na barra de menu superior do software, dentre esses conjuntos temos as peças do jogo tangram e os poliminós, há uma opção também de se trabalhar com as malhas pontilhadas quadradas e isométrica, esses recursos são importantes para o trabalho com comparação e medida de área de figuras planas. Santana (2006) coloca que a utilização em particular, do tangram, dos poliminós e das malhas, traz contribuição significativa para a aprendizagem de área de figuras planas.

Educação e Tecnologia em Tempos de Mudança 7 O menu B e C, ou mesmo os menus AB e AC citados anteriormente, implementam o menu Figuras a mão livre que contém um conjunto de figuras que precisam ser construídas utilizando diferentes procedimentos de acordo com as propriedades das figuras, uma ferramenta útil para o trabalho com as situações de produção de superfície, uma vez que os alunos podem criar a partir de uma figura dada, outra que tenha área maior, menor ou igual, sem recorrer ao aspecto numérico da área, com esse tipo de construção estarão articulando os quadros geométricos e das grandezas, permitindo assim a construção de área como grandeza autônoma (DOUADY; PERRIN-GLORIAN, 1989). O Apprenti Géomètre 2, também permite o trabalho com as transformações isométricas do plano, por meio do menu Movimentos o usuário tem a possibilidade de movimentar as figuras desenhadas na interface do software mantendo-as congruentes Mover, Rotação e Reflexão. Franchi et al.(1992) relata que a análise desses movimentos é importante em vários aspectos. Um deles é favorecer a percepção e a capacidade de análise de movimentos tais como: translação e rotação em torno de um ponto, rotação em torno de um eixo e que essas atividades fazem parte da experiência diária de todos. Outro aspecto ainda segundo essa autora é propiciar o desenvolvimento de habilidades de visualização tais como: visualizar uma figura em diferentes posições e prever elementos geométricos das figuras- essa montagem superpõe-se a esta por meio de translação... este lado é congruente a este... Esses autores também colocam que tais habilidades mencionadas anteriormente devem ser desenvolvidas gradativamente pelos alunos, para posteriormente realizar tarefas mais complexas. Um grande diferencial que o Apprenti Géomètre 2 traz em relação aos demais softwares de geometria e que é importante para o trabalho com as situações de comparação de área e produção de superfície, uma vez que, ao compararmos duas superfície de forma diferentes, uma das maneiras de saber se elas possuem ou não mesma área, um dos procedimentos que pode ser utilizado é decompor uma dessas figuras e recompor uma nova possível de comparar por sobreposição e assim, se essas duas figuras coincidirem por sobreposição, terão as mesmas áreas. Há algumas possiblidades de decompor uma figura no Apprenti Géomètre 2, pela diagonal, pela vertical ou horizontal, ou de diferentes formas por meio da criação e ligação de pontos sobre a figura, entretanto para que essa decomposição aconteça é preciso conectar esses pontos criados na figura com dois dos vértices da mesma. Ilustraremos a seguir alguns procedimentos de decomposição de figuras utilizando o Apprenti Géomètre 2. Figura 1: decomposição no Apprenti Fonte: Silva (2016)

Educação e Tecnologia em Tempos de Mudança 8 Um dos procedimentos para decompor uma figura no Apprenti Géomètre 2 é pela diagonal, para realizar esse tipo de decomposição é preciso apenas criar uma figura na interface do software por meio dos menus Figuras Padrão ou Figuras a mão livre, selecionar a ferramenta Decompor do menu Operação, em seguida clicar sobre a figura, selecionando-a e por último clicar em um dos seus vértices arrastando com o botão direito do mouse até o outro 2 vértice pela diagonal, assim o processo de decomposição pela diagonal se efetuará, a figura 1 apresenta a decomposição de um retângulo em dois triângulos retângulos, quanto as decomposições pela vertical e horizontal figuras 2 e 3, é preciso primeiro selecionar a ferramenta Dividir do menu Operação, e escolher em quantas partes queremos dividir os segmentos da figura, após selecionar um dos segmentos, dessa forma ele será dividido em partes proporcionais, em seguida devemos selecionar a ferramenta Decompor, selecionar a figura e ligar os pontos de divisão pela vertical como mostra a figura 2, ou pela horizontal como ilustra a figura 3. Com relação à figura 4, outra forma de decompor é escolher a opção Construir um ponto no centro, do menu Operação, essa opção permite criar no centro da figura um ponto que passa a pertencer a mesma. Após a criação desse ponto central, é preciso apenas selecionar a ferramenta Decompor, clicar sobre a figura, escolher um dos vértices, ligar ao ponto central com o botão direito do mouse e concluir arrastando até o outro vértice da figura, assim realizaremos mais um processo de decomposição de outra forma, diferente da maneira habitual no software apenas pela diagonal. Ainda há outra forma de decompor por meio da criação de pontos livres nas figuras desenhadas na interface do software, como ilustra a figura 5, foram criados diversos pontos de corte sobre a figura, por meio do menu Figura a mão livre, assim ao selecionarmos a ferramenta Decompor e clicarmos sobre a figura, é preciso apenas selecionar um dos vértice e com o botão direito do mouse liga-lo aos demais pontos criados, entretanto a decomposição só se efetuará se a ligação dos pontos terminar em um outro vértice da figura. Outra característica do Apprenti Géomètre 2 que pode contribuir com as situações de medida de área e mudança de unidade é a ferramenta Duplicar do menu Operação, essa ferramenta tem como função duplicar qualquer figura desenhada na interface do software, assim para medirmos a área de uma determinada figura utilizando diferentes tipos de ladrilhos podemos duplica-los de forma a obter uma quantidade suficiente que permita a pavimentação completa de uma figura, para então identificarmos a medida de sua área. Como explicitamos anteriormente, algumas limitações para o ensino e aprendizagem de área, também foram identificadas nesse software. Elencamos algumas limitações que foram identificadas no decorrer da elaboração das tarefas que foram propostas na pesquisa, tais como o Apprenti Géomètre 2 não possui uma ferramenta que permita o trabalho com a malha quadriculada, apenas a malha isométrica. Pessoa (2010) afirma em sua pesquisa que a utilização da malha quadriculada, contribui positivamente para a construção do conceito de área. Ainda segundo essa autora: O uso da malha quadriculada propicia a operação de medida da área através da contagem de quadradinhos, ou seja, medir a área neste contexto corresponde a determinar quantas vezes o quadradinho cabe dentro da figura. Neste processo estamos realizando duas operações distintas, uma geométrica e outra numérica. No caso do cálculo da área na malha quadriculada, a operação geométrica corresponde a ladrilhar a figura e a numérica contar a quantidade de superfícies unitárias que couberam na figura. (PESSOA, 2010, p. 106). Como o Apprenti Géomètre 2 não possui uma ferramenta que permita o trabalho com a malha quadriculada, tentamos assim, construir uma tela quadriculada para as atividades de medida de área e produção de superfície que foram aplicadas aos alunos do 6º ano dos Anos Finais do Ensino Fundamental, sujeitos da pesquisa de Silva (2016). Para isso utilizamos, na dissertação, os quadrados (formulários) presentes no menu Figuras pré-definidas, justapomos cada um desses quadrados, e em seguida por meio do menu 2 Essas figuras se referem aos retângulos que estão dentro da tela do AG2

Educação e Tecnologia em Tempos de Mudança 9 Agrupar, fizemos a ligação de cada um, montando assim uma malha quadriculada, tendo o quadrado escolhido como a unidade de medida não convencional, assim pudemos desenvolver a atividade três da pesquisa, para o trabalho com a situação de medida e mudança de unidades. O software não trabalha com unidades de medidas convencionais como m 2, cm 2, entre outras. Sempre que o usuário quiser trabalhar com a ladrilhagem no software, com unidades de medidas não convencionais, diferentes das que são oferecidas nos menus, o Apprenti Géomètre 2 apresentará um bug, e encerrará o programa automaticamente, sem oferecer uma opção de salvar a tarefa que estava sendo realizada. A opção de entrada no software por meio dos menus A, B, C, AB ou AC, uma vez escolhida não há como retornar a outra opção, a não ser fechar o software e abri-lo novamente. As opções Copiar e Colar, não funcionam por meio dos atalhos Ctrl+c e Ctrl+v, mesmo que esses comandos estejam explícitos ao lado dessas ferramentas. Ao fundir figuras por meio do menu fusão, por exemplo, para formar uma nova figura diferente do conjunto de figuras contidos no software, acontecerá um bug e o software apresentará uma mensagem de erro, assim o processo de fusão das figuras só poderá ocorrer para formar uma outra já presente no software, esse fator pode limitar ao professor utilizar diferentes unidades de medidas não convencionais. Durante a realização das tarefas pelos alunos do 6º ano sujeitos da pesquisa diversos bugs apareceram, dentre eles se o aluno clicasse muitas vezes na área de trabalho do software ou desenhasse diversas figuras com as ferramentas do menu figuras a mão livre o software encerrava a atividade e não oferecia uma opção de salvar, o aluno teria que encerrar o software e começar tudo novamente. Ainda com relação a esse menu se o aluno escolhesse uma figura e não conseguisse desenha-la corretamente, o software apresentava uma mensagem de erro e bloqueava todas as ferramentas sendo necessário reiniciá-lo. Uma limitação de natureza de planejamento do professor que podemos elencar é a ausência de uma opção na qual pudessem ser desenvolvidas os enunciados das tarefas no próprio software, ou seja, não há um editor de texto no qual o professor possa desenvolver os enunciados das atividades diretamente no software, assim os alunos terão sempre que recorrer a uma ficha de papel para saber qual o procedimento deverá utilizar para desenvolver a atividade proposta. O levantamento realizado nas limitações desse software vem como fator relevante para o desenvolvimento de do novo micromundo que permita ao professor o trabalho com diferentes recursos voltados ao ensino e aprendizagem de área de figuras planas sem necessariamente recorrer a outros softwares. Requisitos para desenvolver o novo micromundo Como explicitamos anteriormente no tópico referente à ESE pretendemos desenvolver este novo micromundo ancorados nos pressupostos dessa engenharia, ela não caracteriza uma metodologia de pesquisa, mas de acordo com Benitti et al. (2005) promove a integração de aspectos computacionais e educacionais visando um produto de qualidade. Esse fator é importante no desenvolvimento de um software que será voltado para a educação. Esse autor elenca quatro etapas principais para o desenvolvimento de um software educativo de qualidade e que foram explicitadas anteriormente: concepção, elaboração, finalização e viabilização. Diante dessas fases, pretendemos na primeira, a partir da nossa pesquisa de mestrado, considerar algumas variáveis contempladas no Apprenti Géométre 2, tais como: ferramentas que permitem movimentos (translação, reflexão e rotação), decomposição, recomposição, menus com figuras pré-definidas e outro com ferramentas que permitam a construção de figuras. Neste caso, pretendemos aprimorar cada uma delas. Contemplaremos também uma ferramenta com diferentes tipos de malhas, quadriculadas, hexagonal e isométrica, visto que esse software só possui malhas pontilhadas. Ferramentas que permitam expressar as áreas de figuras geométricas planas com o uso das unidades convencionais de medida, tais como: (m 2, cm 2 ) e no caso do perímetro (m, cm). As unidades

Educação e Tecnologia em Tempos de Mudança 10 convencionais de medida são apropriadas uma vez que os alunos já tenham construído a ideia de área e perímetro de forma intuitiva. De natureza do planejamento do professor, pretendemos permitir que o mesmo configure as ferramentas e menus do software deixando explícito para o aluno apenas o que ele quer que apareça de acordo com o objetivo de aprendizagem traçado. Com relação a aspectos informáticos nos preocuparemos com a implementação de interfaces, que é a parte do sistema que implementa os processos computacionais necessários para: controle dos dispositivos de hardware, construção de objetos de interface (os widgets) com os quais o usuário pode também interage, geração dos vários símbolos e mensagens que representam a informação do sistema e a interpretação dos comandos do usuário. Direcionaremos as interfaces de manipulação direta que são as que permitem ao usuário interagir diretamente com os objetos da aplicação (dados ou representações de objetos do domínio) sem a necessidade de comandos de um idioma específico. Na manipulação direta, os comandos são ações que o usuário executa diretamente com o objeto do sistema. Ainda estamos na primeira etapa de desenvolvimento desse novo micromundo, elencamos neste texto, a partir do que fora exposto em nosso estudos, na revisão de literatura, quais elementos serão pertinentes para este novo micromundo para que ele seja um importante suporte ao professor na construção de tarefas de área e perímetro. Resultados preliminares A partir do que fora explicitado anteriormente, com base nas potencialidades e limitações do AG2 para o ensino de área e perímetro desenvolvemos um protótipo inicial do novo micromundo com algumas ferramentas e menus que foram supracitadas e que são pertinentes para o trabalho com área de figuras planas. Como ilustramos na imagem a seguir. Figura 2: Tela inicial do protótipo Fonte: do autor da pesquisa

Educação e Tecnologia em Tempos de Mudança 11 Nesse novo micromundo, o professor terá a possiblidade de criar tarefas de área com o uso do tangram, dos poliminós, de diferentes tipos de malhas, com polígonos pré-definidos, assim poderá ampliar o trabalho com área, ajudando os alunos a superarem as concepções geométricas e numéricas (DOUADY; PERRIN-GLORIAN, 1989). Denominamos esse novo micromundo de Magnitude Studium que traduzido para o português é estudo das grandezas. Considerações Finais Ramos (2003) coloca que a utilização da Informática na Educação pode potencializar e auxiliar o processo de ensino e aprendizagem nas escolas e que a informática vem impregnando- se cada vez mais nos ambientes escolares, então se faz necessário a concepção de um padrão de desenvolvimento de software educacional, para que os mesmos possam contemplar as reais necessidades dos docentes em uma determinada perspectiva pedagógica. De acordo com Kenski (2007) o uso das tecnologias, quando bem utilizadas, provocam a alteração dos comportamentos de professores e alunos, levando-os ao melhor conhecimento e maior aprofundamento do conteúdo estudado. A mesma autora afirma ainda que, os usos de softwares diferenciados transformam a realidade da aula tradicional, dinamizam o espaço de ensino e aprendizagem, onde, anteriormente predominava a lousa, o giz, o livro e a voz do professor. Os documentos oficiais colocam que o uso da tecnologia é uma importante fonte de aprendizagem para estudantes. Esperamos que o desenvolvimento e a validação deste novo micromundo seguindo os princípios da ESE possam oferecer um ambiente rico em recursos, orientado para o trabalho de área e perímetro como grandezas geométricas, permitindo ao professor elaborar situações de aprendizagem desses dois conceitos permitindo assim a superação das concepções geométrica e numérica, bem como a amálgama entre área e perímetro. Referências BALDIN, Y.Y. VILLAGRA, G. A. L. Atividades com Cabri Géomètre. São Carlos: EDUFSCar, 2002. 240 p. BALTAR, P. M. Enseignement et apprentissage de la notion d aire de surfaces planes : une étude de l acquisition des relations entre les longuers et les aires au collège. 1996. Tese (Doutorado em Didática da Matemática), Université Joseph Fourier, Grenoble, França, 1996. BELLEMAIN, P.; LIMA, P. Um estudo da noção de grandeza e implicações no Ensino Fundamental. Ed. Geral: John A. Fossa. Natal: SBHMat, 2002. BELLEMAIN, F.. O Paradigma Micromundo. In: COLÓQUIO DE HISTÓRIA E TECNOLOGIA NO ENSINO DE MATEMÁTICA HTEM, 2002, Rio de Janeiro. Anais... Rio de Janeiro: UFRJ, 2002, p. 51-62. BENITTI, F. B. V. Processo de Desenvolvimento de Software Educacional: proposta e experimentação. Disponível em <http://www.seer.ufrgs.br/renote/article/viewfile/13849/8025>. Acesso em 08/10/2015. CREM, Apprenti Géomètre. Impact du logiciel Apprenti Géomètre sur certains apprentissages. Tome 2. Nivelles, Bélgica, Ministère de la Communauté Française, 2007. DUARTE, J. H. Análise de Situações Didáticas para a Construção do Conceito de Área, como Grandeza, no Ensino Fundamental. 2002. 150 f. Dissertação (Mestrado em Educação).- Centro de Educação, Universidade Federal de Pernambuco, Recife, 2002.

Educação e Tecnologia em Tempos de Mudança 12 DOUADY, R.; PERRIN-GLORIAN, M. J. Un processus d apprentissage du concept d aire de surface plane. Educational Studies in Mathematics.v.20, n.4, p. 387-424, 1989. FACCO, S. R. Conceito de área: uma proposta de ensino-aprendizagem. 2003. 185f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática).- Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática, PUC/SP, São Paulo, 2003. FERREIRA, L. de F. D. A construção do conceito de área e da relação entre área e perímetro no 3º ciclo do ensino fundamental : estudos sob a ótica da teoria dos campos conceituais. 2010. 191f. Dissertação (Mestrado em Educação) -. Centro de Educação, Universidade Federal de Pernambuco, Recife, 2010. FERREIRA, L. de F. D.; BELLEMAIN, P. M. B. Estratégias utilizadas por alunos do 6º ano em questões da OBEMEP sobre as grandezas comprimento e área. 2013. Disponível em: < http://sbem.web1471.kinghost.net/anais/xienem/pdf/2899_1501_id.pdf> Acesso em: 23 de fevereiro de. 2016. GALVIS-PANQUEVA, A.H. Software Educativo Multimídia : Aspectos Críticos no seu Ciclo de Vida. Revista Brasileira de Informática na Educação, Comissão Especial de Informática na Educação da Sociedade Brasileira de Computação, Florianópolis, SC, Setembro, p. 9-18, 1997. LIMA, P. ; BELLEMAIN, P. Grandezas e Medidas. In CARVALHO, J.B.P.F. Coleção Explorando o Ensino: Matemática, v. 17. Brasília, MEC, 2010, p.167-200. MELO, M.A.P. Um estudo de conhecimentos de alunos de 5º a 8º série do ensino fundamental sobre os conceitos de área e perímetro. 2003. 125 f. Dissertação (Mestrado em Ensino das Ciências) Pós- graduação em Ensino das Ciências, Universidade Federal Rural de Pernambuco, Recife, 2003. PAPERT, Seymour. Logo: computadores e educação. 2.ed.São Paulo: Brasiliense, 1986. PESSOA, G. S. Um estudo diagnóstico sobre o cálculo da área de figuras planas na malha quadriculada : influência de algumas variáveis. 2010.141f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática e Tecnológica)- Programa de Pós-graduação em Educação Matemática e Tecnológica, Universidade Federal de Pernambuco, 2010. RAMOS, C. S. Princípios da engenharia de Software educativo com base na engenharia didática : uma prototipação do Bingo dos Racionais. 111 p. Dissertação. (Mestrado em Educação Matemática e Tecnológica) UFPE, Recife, 2015. SARAMA, J.; CLEMENTS, D. Design of microworlds in mathematics and science education. Journal of Educational Computing Research, p. 27, 2002. SILVA, A. D. P. R. ; BELLEMAIN, P. M. B. A comparação de áreas de figuras planas em diferentes ambientes: papel e lápis, materiais manipulativos e no Apprenti Géomètre 2. Revista de Educação Matemática e Tecnológica Iberoamearicana, v. v.8, p. Nº 3, 2017. TELES, R. A. de M. Imbricações entre os campos conceituais das grandezas geométrica e suas medidas, da álgebra e das funções : um estudo sobre as fórmulas de área no ensino fundamental. 2007. 294f. Tese (Doutorado em Educação). Centro de Educação, UFPE, Recife, 2007. VERGNAUD, G. A Teoria dos Campos Conceptuais. In: BRUN, JEAN. Didáctica das Matemáticas. Tradução: Maria José Figueiredo. Lisboa: Instituto Piaget Horizontes Pedagógicos, p. 155-191, 1996.

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