01. DEFINIÇÃO Modulo 02-1 Módulo 02 - Lajes Placa: elem//tos de superfície plana, em geral horizontais, sujeitos principalmente a ações perpendiculares ao seu plano. Lajes: são placas de concreto armado cuja função é receber carregamentos atuantes nos andares e transferi-los para os apoios (ex.: vigas, paredes, pilares, etc.) CIV 1167 Estruturas de Concreto II Prof. José Luiz P. Melges UNESP Campus de Ilha Solteira Agosto de 2012 Neste módulo: lajes retangulares maciças de concreto armado, apoiadas sobre vigas ou paredes. Os apoios serão considerados indeslocáveis. Obs.: p/ carga ser transferida aos apoios, a laje deve suportar os esforços: a) Momento Fletor: Carregamento curvatura flexão. Modulo 02-2 02. VÃOS Vão Livre (o ): distância entre faces internas dos apoios Vão Teórico (): Laje apoiada: t laje o a1 a 1 / 2 t2 / 2 2 a1 a2 0,3 h 0,3 h Laje em balanço: t laje o a 1 / 2 1 a1 0,3 h (No geral: = distância entre os eixos dos apoios). EXEMPLO 01: b) Força Cortante: Carregamento deslocamento vertical de uma seção em relação à seção adjacente cisalhamento c) Momento Torçor: Carregamento rotações diferentes de seções adjacentes, mas localizadas em faixas diferentes torção
03. CLASSIFICAÇÃO Modulo 02-3 Modulo 02-4 Eixo x é paralelo ao menor vão e eixo y é paralelo ao maior vão. y x Se 2, então laje é armada nas duas direções. Se 2, então laje é armada em uma direção. L1 L2 L1 L2 Obs.: p/ Laje com 2: x y OBS. 01) Camacho: analisar a relação entre vãos Borda analisada Se 2 1 / 4 L1 L1 fica engastada L2 fica engastada L2 Laje muito curvada na direção x e pouco curvada na direção y. Nesse caso o cálculo é feito para faixas de 1 metro de laje. Esquema das armaduras: Armadura principal: p/ resistir ao momento fletor FLECHA x 1 m y 1 L1 L2 2 Se 2 1 / 4 L1 L1 fica apoiada L2 fica engastada L2 Armadura secundária: para solidarizar faixas, prevendo eventual concentração de esforços em uma delas 04. VINCULAÇÃO A Borda apoiada Borda engastada Borda livre B B CORTE A- A: vinculação Borda apoiada A CORTE B B: vinculação Obs.: Borda livre: não têm vigas apoiando a borda. Borda engastada: engaste ocorre devido à existência de lajes adjacentes. A OBS. 02) Libânio: analisar a momentos de engastamento nas lajes adjacentes Corte A-A L1 Borda analisada m 1 2 m L2 m 1 m 2 m 1 m 2 A Se Se m 1 m 2 m 1 m 2 L1 2 L1 2 L1 fica engastada L2 fica engastada L2 L1 fica apoiada L2 fica engastada L2
Modulo 02-5 Modulo 02-6 OBS. 03) Lajes rebaixadas: suas bordas em geral são consideradas apoiadas e não engastam as lajes adjacentes. Para maiores detalhes, ver apostila do Prof. Camacho. OBS. 04) Pode ocorrer que na prática uma borda não esteja inteiramente apoiada ou engastada. b) Para laje armada em 1 direção ( > 2) Armar faixas de 1 metro de largura, para trecho engastado e para o trecho apoiado, repetindo a armadura ao longo dos respectivos comprimentos. 1 m 1 m x Vinculação da faixa ao longo do comprimento y1 : 1 m Vinculação da faixa ao longo do comprimento y2 : 1 m y1 y2 y EXEMPLO 02: a) Para laje armada em 2 direções ( 2) x Se y y1 3 considerar borda apoiada. engaste y1 apoio y2 Se 2 y y1 3 considerar borda engastada y y 2 y Se y1 calcular os esforços para as 2 situações (borda totalmente apoiada e 3 3 borda totalmente engastada) e adotar os maiores valores dos esforços no dimensionamento.
Modulo 02-7 Modulo 02-8 05. ESPESSURA, COBRIMENTOS MÍNIMOS 5.1) Espessura Mínima E PRÉ-DIMENSIONAMENTO NBR 6118:2003: para as lajes maciças apoiadas sobre vigas, devem ser respeitadas as seguintes espessuras mínimas: 5 cm: lajes de cobertura, exceto balanços 7 cm: lajes de cobertura em balanço e lajes de piso 10 cm: lajes destinadas a passagem de veículos de peso menor ou igual a 30kN 12 cm: lajes destinadas a passagem de veículos de peso total maior que 30kN 5.2) Cobrimento da armadura da NBR 6118). O cobrimento vai depender do nível de agressividade do ambiente (tab.6.1 Cobr. nominal (c) = cobr. mínimo (cmin) + tolerância de execução (c) Valor tabelado pela norma, considerando -se c = 10 mm (TABELA 7.2). (em caso de controle rigoroso, pode-se reduzir o valor de c para 5 mm).
Modulo 02-9 Modulo 02-10 5.3) Pré-Dimensionamento Expressão 01 para altura útil estimada (dest) (melhor para lajes com bordas apoiadas ou engastadas): Expressão 02 para altura útil estimada (dest) (melhor para lajes em balanço): d x est 2 3 ; onde: Observações: 2 = coeficiente dado em função de y x e da vinculação da laje ; 3 = coeficiente dado em função da Aproveitando o assunto Agressividade, a Norma também estabelece uma resistência mínima do concreto: resistência do aço (obs.: 1,15 Sd = fyk). Obs.: 2 ; 3 tabela 2.1 (Tabelas de Lajes - Pinheiro,1993). Com o valor do d est, pode-se estimar o valor da espessura (ou altura da laje, h).
Modulo 02-11 Prof. Chust: p/ laje armada nas 2 direções considerar d est em relação à armadura EXEMPLO 03: Modulo 02-12 mais distante da face inferior (a favor da segurança). hest dest 1,5 c (estimar 10 mm 1 cm)
Modulo 02-13 06. AÇÕES (NBR 6120 e NBR 6118) 6.1) Tabelas Tabela Peso específico dos materiais de construção Rochas Blocos artificiais Revestimentos e concretos Madeiras Metais Materiais diversos Materiais Arenito Basalto Gnaisse Granito Mármore e calcáreo Blocos de argamassa Cimento amianto Lajotas cerâmicas Tijolos furados Tijolos maciços Tijolos sílico-calcáreos Argamassa de cal, cimento e areia Argamassa de cimento e areia Argamassa de gesso Concreto simples Concreto armado Pinho, cedro Louro, imbuia, pau óleo Guajuvirá, guatambu, grápia Angico, cabriúva, ipê róseo Aço Alumínio e ligas Bronze Chumbo Cobre Ferro fundido Estanho Latão Zinco Alcatrão Asfalto Borracha Papel Plástico Vidro plano Tabela Valores mínimos de cargas de uso Peso específico aparente, em kn/m3 26 30 30 28 28 22 20 18 13 18 20 19 21 12,5 24 25 5 6,5 8 10 78,5 28 85 114 89 72,5 74 85 75 12 13 17 15 21 26 LOCAL kn/m2 Bibliotecas Sala de leitura Sala para depósito de livros Sala com estantes de livros, a ser determinada, ou 2,5 kn/m2 por metro de altura, porém com mínimo de 2,5 4 6 Casas de máquinas (incluindo máquinas) a ser determinada, porém com o mínimo de 7,5 Corredores Com acesso ao público Sem acesso ao público 3 2 Edifícios residenciais Dormitórios, sala, copa, cozinha e banheiro Despensa, área de serviço e lavanderia 1,5 2 Escadas Com acesso ao público Sem acesso ao público 3 2,5 Escritórios Sala de uso geral e banheiro 2 Forros Sem acesso ao público 0,5 Garagens; estaciona//tos P/ veículos de passageiros c/ carga máxima de 25 kn por veículo 3 Terraços Com acesso ao público Sem acesso ao público 3 2 6.2) Tipos de Ações PERMA- NENTES Piso Camada de regularização Peso próprio Revestimento / forro Paredes divisórias Modulo 02-14 Inacessível a pessoas 0,5 Cargas de uso (pessoas, equipamentos móveis, etc) Observação 01: na ausência de informações com relação às ações de piso/regularização/forro, é usual, mas com os devidos cuidados, adotar o valor de 1 kn/m 2. VARIÁ- VEIS Observação 02: ação em parapeitos
EXEMPLO 04: Modulo 02-15 Modulo 02-16 6.3) Peso próprio de parede de alvenaria 6.3.1) Materiais Bloco cerâmico, argamassa de assentamento, argamassa de revestimento. a) Bloco cerâmico com 6 furos. Peso: 2,4 kgf = 0,024 kn 11,5 cm 24 cm 14 cm b) Argamassa de Assentamento (cal, cimento e areia) Espessura (horizontal e vertical): 1cm Peso específico: 19 kn/m 3 c) Argamassa de Revestimento (cal, cimento e areia) Espessura do revestimento = espessura da "parede acabada" Peso específico: 19 kn/m 3 dimensão do bloco
Modulo 02-17 Modulo 02-18 OBSERVAÇÃO: dependendo da posição do bloco, poderemos ter paredes de: 1 bloco (ou inteira ) 1/2 bloco (ou meia ) espelho Peso dos Blocos: Área do bloco na parede: 24 + 0,5 +0,5 = 25 cm 11,5 + 0,5 +0,5 = = 12,5 cm Portanto, quantidade de blocos" = 1 m x 1m 0,25 m x 0,125 m 32 "blocos" Portanto, peso dos blocos = 32 x 0,024 kn = 0,77 kn (para 1m 2 de parede) Peso da argamassa de assentamento = 6.3.2) Peso por m 2 de parede = (volume da parede ainda sem o revestimento volume dos blocos cerâmicos) x peso específico da argamassa = 3 1 m.1 m. 0,14 m 32. 0,14 m. 0,115 m. 0,24 m.19 kn / m Portanto, peso da arg. assent. = 0,31 kn (para 1m 2 de parede) O cálculo é feito para uma parede com 1 m de comprimento e 1 m de altura. EXEMPLO 05: Cálculo do peso próprio de parede de 1/2 bloco, com 15 cm de espessura acabada, com bloco cerâmico de 6 furos mostrado no item 6.3.1. Peso da argamassa de revestimento = volume do revestimento x peso específico da argamassa = 1m.1m. 0,15m 0,14m.19 kn / m 3 Portanto, peso da arg. revest. = 0,19 kn 11,5 cm 24 cm 0,5 cm 14 cm 0,5 cm 15 cm (para 1m 2 de parede) 14 cm Peso da parede ( 1/2 bloco ) =
Modulo 02-19 = 0,77 +,0,31 + 0,19 = 1,27 kn ( por m2 de parede) Modulo 02-20 EXEMPLO 06:
6.4) Carga de parede na laje Modulo 02-21 http://www.foxitsoftware.com For evaluation Modulo only. 02-22 b) Alvenaria na direção do maior vão (apostila Prof. Camacho): 6.4.1) Para Lajes armadas em 1 direção a) Alvenaria na direção do menor vão (apostila Prof. Camacho): distribuir uniformemente a carga da parede segundo uma faixa de largura (b) dimensionar o trecho como uma viga de largura bw, altura h e vão teórico l. 6.4.2) Para Lajes armadas em 2 direções Critério simplificado: considerar peso total da parede distribuído uniformemente por sobre a laje: a) conhecendo o peso/m2 de parede, o comprimento, e a altura da parede, posso calcular a força total que a parede aplica na laje; b) distribuir essa força total pela área da laje, calculada em função dos vãos teóricos. Quando a posição da parede não estiver definida no projeto considerar carga distribuída por metro quadrado de piso como sendo igual ao maior valor entre: 1/3 do peso por metro linear da parede pronta 1 kn / m2
EXEMPLO 07: Calcular o peso da parede que atua na laje (em kn/m2 de laje). Dados: Espessura da laje estimada em 14 cm. Espessura da parede igual a 20 cm. Largura das vigas estimada em 12 cm. Peso da parede: 1,27 kn/m2 de parede. Distância de piso a piso ( pé direito ) de 3m. Considerar eixo da viga coincidindo com eixo de parede. Modulo 02-23 Modulo 02-24 07. REAÇÕES DE APOIO As lajes transferem as ações para as vigas através das suas reações de apoio. Neste processo, a reação que vai para cada viga é proporcional a uma determinada área definida pelas linhas de plastificação (linhas que aparecem na laje quando ela está na iminência de ruir). As reações são consideradas uniformemente distribuídas nas vigas de apoio, o que representa uma simplificação de cálculo. Os triângulos e trapézios, relacionados ao carregamento que vai para cada apoio, são obtidos traçando-se, a partir dos vértices, na planta da laje, retas inclinadas de: Exemplos: 45 entre apoios de mesmo tipo; 60 a partir do apoio engastado quando o outro for livremente apoiado; 90 a partir do apoio quando a borda vizinha for livre. Notação: Eixo x: // ao menor lado; Eixo y: // ao maior lado Reação vx corresponde à borda perpendicular ao eixo x. Reação vy corresponde à borda perpendicular ao eixo y. O apóstrofe ( ) indica que se trata de uma borda engastada.
EXEMPLO 08: Modulo 02-25 Modulo 02-26 O cálculo das reações pode ser feito mediante o uso de tabelas, como as encontradas em PINHEIRO (1993). As tabelas fornecem coeficientes adimensionais com os quais calculam-se as reações: v x p x x 10 ; v p x ' x ' x 10 ; v y y p x v' 10 ; y ' y p 10 x Para as lajes armadas em uma direção, as reações de apoio são calculadas a partir dos coeficientes adimensionais correspondentes à condição y x 2. Neste caso, o dimensionamento é feito para faixas de 1 metro de laje. Nas Tabelas de PINHEIRO (1993) foram feitas correções para levar em conta a possibilidade de ocorrência de engastamento parcial. Quando isto ocorre, há um aumento da reação na borda simplesmente apoiada oposta à borda engastada. Os alívios decorrentes dos momentos fletores atuantes na borda engastada foram considerados pela metade, para garantir a segurança nos casos em que esse momento negativo não se apresentar com o valor máximo previsto, ou seja, quando o engastamento perfeito não for assegurado.
Exemplo: Modulo 02-27 Isolando-se uma faixa de laje de largura unitária e considerando-se a vinculação mostrada na figura, têm-se as seguintes reações nas bordas engastada e apoiada, perpendiculares ao vão x. m x v x=6,6 kn/m lx vx=3,8 kn/m EXEMPLO 09: Modulo 02-28 Supondo-se que, por algum motivo (falha na concretagem, deficiência no posicionamento das barras da armadura junto à face superior da laje), não ocorra o engastamento, então as reações nos apoios serão as mostradas na figura ao lado. Portanto, o alívio de 1,4 kn/m ( = 5,2-3,8 ) que ocorreria no apoio simples pela presença do engaste deixará de ocorrer. Deste modo, para se estar a favor da segurança, o cálculo pela tabela leva em conta a possibilidade de engastamento parcial: considera-se que irá ocorrer um alívio no apoio simples da ordem de 50% daquele que ocorreria se o engaste fosse perfeito.
Modulo 02-29 08. MOMENTOS FLETORES Modulo 02-30 Lajes: solicitadas essencialmente por esforços de flexão: momentos fletores e forças cortantes. Os coeficientes tabelados ( x, ' x, y, ' y ) são adimensionais, sendo os momentos fletores por unidade de comprimento dados pelas expressões: 8.1) Métodos de Cálculo m x x 2 x p 100 Teoria das placas delgadas (teoria da elasticidade ou de Kirshoff ): cálculo exato só existe para placa circular, com carga simétrica ao eixo da placa. Para outros tipos de placas, pode-se calcular os esforços usando: m' x ' x p 100 2 x métodos analíticos (séries trigonométricas) métodos numéricos (computador): diferenças finitas elementos finitos elementos de contorno considerando a laje como uma grelha (elementos de barras em 2 direções) Tabelas m y m' y y ' y p 100 2 x p 100 2 x 8.2) Cálculo utilizando Tabelas m x, m' x m y, m' y momento fletor na direção do vão x momento fletor na direção do vão y Serão adotadas as Tabelas apresentadas em PINHEIRO (1993), adaptadas de BARES e admitindo-se coeficiente de Poisson igual a 0,15. Para as lajes armadas em uma direção, os momentos fletores são calculados a partir dos coeficientes adimensionais correspondentes à condição y x 2.
Modulo 02-31 Modulo 02-32 8.3) Compatibilização dos Momentos Fletores Quando lajes adjacentes puderem ser consideradas engastadas umas às outras, para o cálculo dos momentos fletores, consideram-se os apoios internos de lajes contínuas como perfeitamente engastados, o que representa uma idealização, visto que, de fato, os engastes são parciais. Em um pavimento, em geral, as lajes adjacentes diferem nas condições de apoio, nos vãos teóricos ou nos carregamentos, resultando, no apoio comum, dois valores diferentes para o momento negativo. Daí a necessidade de promover a compatibilização destes momentos. Na compatibilização dos momentos negativos, será considerado o maior valor entre: a média dos dois momentos e 80% do maior. Acredita-se que este critério apresenta razoável aproximação quando os momentos, entre as lajes vizinhas, são da mesma ordem de grandeza. Assim, o momento fletor a ser adotado para o dimensionamento da armadura sobre o apoio é dado por: Em decorrência da compatibilização dos momentos negativos, os momentos positivos na direção analisada devem sofrer as devidas correções. Se esta correção tende a diminuir o valor do momento positivo, como ocorre na laje L1, despreza-se esta redução (a favor da segurança). Caso contrário, se houver acréscimo no valor deste momento, a correção deverá ser feita, somando-se ao momento fletor positivo, a média das variações ocorridas nos momentos fletores negativos sobre os respectivos apoios. Assim, para o exemplo da laje L2, tem-se: m m' m 2, com m' m' 2 m' 2, cor 2 m' m' m' 2 0, 80 m' 1 2 2
Modulo 02-33 Modulo 02-34 EXEMPLO 10: 09. DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS 9.1) Tabelas Tabela 1.1 do Prof. Libânio: considerando-se b =100 cm, calculam-se os valores de kc, de ks e a área de armadura as (em cm2 por metro de largura da laje). Tabela 1.4 do Prof. Libânio: barras. relaciona a área calculada com o diâmetro e o espaçamento das s (espaçamento, em cm) 5,0 5,5... Área da seção de barras por metro de largura as (cm2/m) Diametro Nominal (mm) 5,0 6,3 8,0... 16 10,0 3,12... 33,0 s (espaçamento, em cm) Exemplo: 6,3 mm a cada 10,0 cm corresponde a uma área as de 3,12 cm 2 / m
Modulo 02-35 9.2) Taxa de armadura Taxa de armadura: a s s bw. h, com bw = 100 cm, deve respeitar os limites da Norma. http://www.foxitsoftware.com For evaluation Modulo only. 02-36 TABELA DA NORMA (válida para CA50, c 1, 4 e s 1, 15 ): Esses limites dependem: se a laje é armada em 1 ou 2 direções se a área as é para armadura positiva ou negativa Armaduras negativas: s min Armaduras positivas de lajes armadas em duas direções: Armadura positiva principal de lajes armadas em uma direção: s 0, 67 min s min Observação: Para armadura positiva secundária de lajes armadas em uma direção, deve-se obedecer os seguintes valores mínimos: s,arm.sec. 20% do s da s,arm.sec. 0, 5 min as,arm.sec. 0,9 cm 2 / m arm. principal Quando a tabela não puder ser aplicada, deve-se calcular a Taxa Mínima de Armadura ( min ) com base na Taxa Mecânica Mínima de Armadura ( min ) : f. cd min min 0,15 % fyd No caso de lajes, considerar seção retangular,.com largura igual a 100 cm: min 0,035 AGORA VEREMOS COMO É QUE CALCULA O min
9.3) Outros Limites Modulo 02-37 EXEMPLO 11: Modulo 02-38 h arm.long., onde h = altura da laje 8 Distancia livre entre barras na direção horizontal (eh): espaçament o arm. principal 2 h 20 cm 20 mm eh 1,2 max, agregado espaçamento arm. secundária 33 cm
Modulo 02-39 10. VERIFICAÇÃO DA CORTANTE O uso de armaduras para absorver a força cortante em lajes é raro. Pode-se dispensar a armadura transversal quando a força cortante de cálculo obedecer à expressão: Modulo 02-40 A taxa de armadura s1 1, não maior que 0, 02 bw. d, onde: A s1 : área de armadura de tração que se estende até não menos que d b,nec além da seção considerada (obs.: b, nec definido no item 9.4.2.5 e figura 19.1) VSd 1,4. VSk VSd VRd1 ; onde VSd Rd k 1,2 401 bw d ; onde: Rd = tensão resistente de cálculo do concreto ao cisalhamento Rd 0,25 f ctd, onde: fctd fctk,inf / c; ctk,inf 0,7. fctm 2 / 3 Portanto: 0,0375, com Rd e fck em MPa Rd f ck f ; 2 / 3 f 0,3 ctm f ck bw: a largura da seção transversal ao longo da altura útil d (no caso correspondente à largura de 100 cm). k é um coeficiente que tem os seguintes valores: para elementos onde 50% da armadura inferior não chega até o apoio: k 1 para os demais casos, k 1,6 d 1, com d em metros
EXEMPLO 12: Modulo 02-41 http://www.foxitsoftware.com For evaluation Modulo only. 02-42 11. FLECHAS ( Estado Limite de Utilização) 11.1) Definição de Análise Não- Linear (Figuras e material didático disponibilizados no site da TQS Informática, pelo Eng. Alio Kimura) Vamos supor que uma estrutura com um carregamento P vai sofrer um deslocamento horizontal d em um determinado ponto. PERGUNTA: se aplicarmos o dobro do carregamento ( 2P ), qual será o deslocamento no mesmo ponto considerado? RESPOSTA: se a análise for LINEAR, poderemos dizer que será o dobro do deslocamento anterior ( 2d )
Modulo 02-43 OBS: agora, se a análise for NÃO-LINEAR, poderemos dizer que o deslocamento provavelmente será maior que o dobro do deslocamento anterior ( > 2d ). 11.1.1) Não-Linearidade Física O concreto não apresenta diagrama tensão x deformação linear. Modulo 02-44 Conforme a solicitação vai aumentando, o concreto vai amolecendo (ou seja, o módulo de deformação E vai diminuindo). Além disso, devido à baixa resistência do concreto à tração, é muito PERGUNTA: O que provoca o comportamento Não-Linear? RESPOSTA: comum o concreto fissurar quando o carregamento aumenta. No cálculo das flechas, o efeito da fissuração provoca uma diminuição da rigidez à flexão do elemento estrutural.
Modulo 02-45 11.1.2) Não-Linearidade Geométrica É muito importante no estudo da estabilidade global de edifícios e no projeto de pilares. Será visto com maiores detalhes nos módulos seguintes. 11.2) Relembrando o conceito de Estádio I e Estádio II. Para calcular as flechas levando em conta o efeito da fissuração é necessário considerar o comportamento da seção transversal baseado no conceito de Estádios. 11.2.1) Estádio I a estrutura se deforma pouco; seções planas permanecem planas (deformações são proporcionais à http://www.foxitsoftware.com For evaluation Modulo only. 02-46 despreza-se a colaboração do concreto tracionado ( concreto não resiste à tração ); a armadura absorve as tensões de tração em função da existência da aderência entre os materiais. seções planas permanecem planas (as deformações são proporcionais à distância da linha neutra); vale a lei de Hooke para o concreto comprimido e para a armadura tracionada homogeneizada (vamos ver o que é isso a seguir!!!); adota-se a relação entre o módulo de elasticidade do aço e o módulo de elasticidade secante do concreto como sendo igual a e (e = Es / Ecs ). distância da linha neutra); as tensões normais são pequenas (o concreto resiste à tração e vale a lei de Hooke); o momento de inércia da seção transversal pode ser considerado igual ao momento de inércia da seção bruta de concreto armado. 11.2.2) Estádio II existem pequenas fissuras nas proximidades da borda inferior da Comportamento estrutural da seção transversal no Estádio II viga;
Modulo 02-47 Portanto, para calcular as tensões no concreto quando a seção está trabalhando no Estádio II, utilizam-se os conceitos da resistência dos materiais, homogeneizando a seção transversal de concreto armado, ou Modulo 02-48 Sendo assim, aplica-se a lei de Hooke: s N Para o aço: E (I) s As Es seja, transforma-se a área de aço tracionado em uma área de concreto equivalente tracionado. Para o concreto: c,eq N (II) Ecs Ac,eq Ecs Es = módulo de elasticidade do aço = 210 000 MPa 2 Ecs = módulo de elasticidade secante do concreto,85 5600 1/ 0 f ck, com Ecs e fck em MPa. Transformando um área de aço As por uma áreade concreto equivalente Ac,eq Para fazer essa transformação, devemos considerar duas coisas: que vale Igualando-se (I) e (II), tem-se que: N As Es N E A s c,eq As Ac,eq = e As Ac,eq Ecs Ecs a lei de Hooke e que o alongamento da barra de aço é igual ao alongamento da área de concreto equivalente. Segundo a teoria de resistência dos materiais, têm-se que: a) a posição da L. Neutra está localizada no c.g. da seção homogeneizada; b) o momento estático da seção em relação ao eixo que passa pelo c.g. é nulo; c) a tensão que atua na seção homogeneizada de concreto é igual a: Alongamento aço = Alongamento do concreto equivalente M c III y
Modulo 02-49 ms 0 III b. e. As 3 2 x x b. x. 12 2. (d e. A Modulo 02-50 x) s x b. x. 2 d x 2 0 ; com e E E s cs Convenção de sinais para cálculo das tensões atuantes Para relacionar a tensão na área de concreto equivalente e a tensão na armadura basta lembrar que: N A c.eq Ecs EXEMPLO 13: Podemos então dizer que: s Es Es N Ac.eq Ecs Es Ecs N Ac,eq e c,eq Observação: Para calcular a posição do c.g. da seção no estádio II, o momento estático da seção homogeneizada em relação à Linha Neutra deve ser igual a zero. Para calcular o momento de Inércia no estádio II, pode-se considerar apenas o transporte da área homogeneizada de concreto tracionado.
Modulo 02-51 Modulo 02-52 Portanto: fct. I Mr. yt c, onde: 11.3) Momento de Fissuração A seção vai fissurar se: momento atuante (Ma,max ) > momento de fissuração (Mr). Nesse caso, o momento Ma,max é calculado para combinação rara, uma vez que, se fissurar, é para sempre : yt Ic fct = fator que correlaciona aproximadamente a resistência à tração na flexão com a resistência à tração direta, sendo igual a 1,5 para seções retangulares. = distância do centro de gravidade da seção bruta à fibra mais tracionada. = momento de inércia da seção bruta de concreto = resistência à tração direta do concreto, definida conforme o item 8.2.5, com o quantil apropriado a cada verificação particular. Para determinação do momento de fissuração deve ser usado o fct,m no estado limite de deformação excessiva. mom. atuante (Ma,max) = fct fct,m 0,3 fck 2 /3, com fct, fct,m e fck em MPa. = mom. permanente (Mg) + mom. acidental (Mq) O momento Mr é calculado pela expressão da Resistência dos Materiais quando a seção está quase fissurando mas ainda não fissurou. Nesse caso, pode-se usar o momento de inércia da seção bruta (Ic). 11.4) Modelo de Comportamento da Estrutura Nos estados limites de serviço, as estruturas trabalham parcialmente no estádio I e parcialmente no estádio II. Portanto, da Resistência dos Materiais: M I y
Modulo 02-53 http://www.foxitsoftware.com For evaluation Modulo only. 02-54 para balanços, para a combinação de ações a ser considerada nessa Exemplo: avaliação. Nesse caso, Ma já não é mais obrigatoriamente o valor usado Viga de concreto armado biapoiada: para verificar se a seção vai ou não fissurar (Ma,max), e vai depender de Estádio I Estádio II Estádio I qual limite de deslocamentos, referente ao Estado Limite de Utilização, próximo ao apoio, o momento é pequeno e a seção trabalha no estádio I; próximo ao meio do vão, os momentos são grandes e existe a possibilidade da peça fissurar, trabalhando no estádio II. Sendo assim, a NBR 6118:2003, para uma avaliação imediata em vigas, recomenda a expressão para o cálculo do momento de inércia equivalente: 3 3 Mr Mr eq Ic 1 III Ic M a M a ; onde: I que será verificado. Mr = momento de fissuração do elemento estrutural, cujo valor deve ser reduzido à metade no caso de utilização de barras lisas. 11.5) Cálculo da Flecha Imediata (ai) ai. 100 b 12 p. 4. x Ec. I, onde: = coeficiente tabelado em função da vinculação e de (=y/x) x = menor vão Ic = momento de inércia da seção bruta de concreto b = largura da seção (no caso de lajes, b = 1 m ou 100 cm) III = momento de inércia da seção fissurada de concreto no estádio II, I Ic, se Ieq, se m m a,max a,max mr mr, calculado com e = Es/Ec. Ma = momento fletor na seção crítica do vão considerado, momento máximo no vão para vigas biapoiadas ou contínuas e momento no apoio (lembrar que ma,max, nesse caso, é o valor calculado considerando-se a combinação rara g + q ). 2 Ec = módulo de elasticidade secante,85 5600 1/ 0 f ck, com Ecs e fck em MPa.
Modulo 02-55 Modulo 02-56 p = valor calculado em função das cargas permanente e acidental, dependendo do Limite e do tipo de combinação que sera usada. Exemplo: para verificar o Deslocamentos visíveis em elementos estruturais Concreto vai continuar querendo encurtar mas armadura não vai deixar ou pelo menos vai diminuir esse efeito R s Tipo de Razão da Exemplo Deslocamen- Deslocamento Combinas c R s M Portanto: usamos a combinação Quase-Permanente; para verificar as vibrações no piso, usamos a combinação Frequente. Comb. Quase Perm.: Comb. Frequente : p g 2 p g 1 q, onde q, onde 2 0,3 p / edifício residencial 2 0,4 p / edifício comercial 1 0,4 p / edifício residencial 1 0,6 p / edifício comercial (obs.: tanto uma quanto a outra verificação serão vistas no próximo item) 11.6) Flecha Diferida no Tempo para Vigas/Lajes (af) ITEM DA NORMA: 11.7) Limites para Deslocamentos
Modulo 02-57 efeito limitação to a Aceitabilidade sensorial Visual Outro Deslocamentos visíveis em elementos estruturais Vibrações sentidas no piso considerar Total limite 250 Devido a cargas acidentais* 350 ção de ações Quase permanente Freqüente Observações: Todos os valores limites de deslocamentos supõem elementos de vão suportados em ambas as extremidades por apoios que não se movem. Quando se tratar de balanços, o vão equivalente a ser considerado deve ser o dobro do comprimento do balanço. Deslocamentos excessivos podem ser parcialmente compensados com contraflechas. Entretanto, a atuação isolada da contraflecha não pode ocasionar um desvio do plano maior que /350** Modulo 02-58 Se af Limite então OK! Podemos adotar um valor de cf até o limite de / 350 para que a laje tenha a menor flecha possível. Se af Limite então adotar cf e fazer nova verificaçã o : 350 se se af cf Limite af cf Limite então então OK! NÃO OK! (aumentar espess. da laje) * Para calcular o deslocamento devido apenas a cargas acidentais, mas levando-se em conta a fissuração que pode ter sido causada pela ação permanente, adota-se o seguinte procedimento: TABELAS ÚTEIS: Flecha devido a cargas acidentais = = flecha p/ comb. Frequente flecha p/ comb. Permanente ** A contraflecha deve sempre proporcionar a menor flecha possível para o elemento estrutural. Exemplo: af = flecha cf = contraflecha
Modulo 02-59 Modulo 02-60
EXEMPLO 14: Modulo 02-61 http://www.foxitsoftware.com For evaluation Modulo only. 02-62 12. DETALHAMENTO DAS ARMADURAS Armadura Negativa: na face superior da laje Armadura Positiva: na face inferior da laje. 12.1 Armadura negativa sobre borda engastada Conforme Prof. Libânio, o comprimento das barras negativas deve ser calculado com base no diagrama de momentos fletores na região dos apoios. Em edifícios usuais, em apoios de lajes retangulares que não apresentem borda livre, os comprimentos podem ser determinados de forma aproximada, com base no diagrama trapezoidal mostrado a seguir: Adota-se como sendo igual a um dos valores: o maior entre os menores vãos das lajes adjacentes, = quando ambas forem consideradas engastadas nesse apoio; o menor vão da laje engastada, quando a outra foi simplesmente apoiada nesse vínculo.
Modulo 02-63 Recomenda-se adotar, perpendicularmente a essa armadura negativa, barras de distribuição que tenham as mesmas áreas e espaçamentos que os indicados para armaduras secundárias. http://www.foxitsoftware.com For evaluation Modulo only. 02-64 (o que equivale a dizer que nas extremidades da barra vão existir ganchos) Tabela correspondendo ao: 12.1.1 Um só tipo de barra Adota-se um comprimento a 1 para cada lado do apoio, com a 1 sendo igual ao maior valor mostrado a seguir: a 1 a 0,7 b 0,25 10 (em geral, maior valor) Onde: a 1,5 d deslocamento do diagrama de momentos diâmetro da barra 0,7 b 70 % do comprimento de ancoragem básico
Modulo 02-65 Modulo 02-66 Situações de boa e de má aderência (PINHEIRO & MUZARDO, 2003) 12.1.2 Dois tipos de barras Uma alternativa ao detalhamento anterior é adotar dois comprimentos de barra conforme a figura a seguir: b) a 21 0,25 a 2 0,7 b 0,25 10 (em geral, maior valor) a) c) d) a 22 a 0,7 b 0,25 a 2 10 (em geral, maior e) f)
Modulo 02-67 Modulo 02-68 12.1.3 Barras alternadas de mesmo comprimento Podem ser adotadas barras de mesmo comprimento, considerando na alternativa anterior as expressões que, em geral, conduzem aos maiores valores: 0,25 a a a21 a22 0,25 10 10 2 12.1.4 Observações Em geral, os comprimentos são arredondados para múltiplos de 5 cm. Recomenda-se adotar barras de distribuição que tenham as mesmas áreas e espaçamentos que os indicados para armaduras secundárias na direção perpendicular a essa armadura 3 2 a 20 0,75 d 8 ; a 3 1 a 21 ; a 22 a 3
Modulo 02-69 12.2 Armadura negativa sobre borda apoiada Essa armadura é usada para evitar que ocorra uma fissuração excessiva na ligação da face superior da laje com a viga. Não se deve adotar espaçamento dessa armadura superior a 33 cm. (Figura adaptada da apostila do Prof. Camacho) 12.3 Armadura negativa de lajes em balanço Conforme recomendação do prof. Libânio, sendo L o comprimento da barra no balanço, adota-se o comprimento total no trecho horizontal como sendo igual a 2,5L. O gancho diferenciado na extremidade da borda livre serve para protegê-la. Modulo 02-70 12.4 Armadura de canto Nos cantos de lajes retangulares, formados por duas bordas simplesmente apoiadas, existe uma tendência deles se levantarem decorrente da ação de momentos volventes (ou torçores). Sendo assim, deve-se adotar uma armadura nesta região, tanto na face superior como na face inferior, para impedir aberturas de fissura excessivas. Quando toda a armadura positiva (na face inferior) se estender de apoio a apoio, faz-se necessária apenas a colocação da armadura negativa (na face superior). Caso contrário, deve-se garantir uma armadura na face inferior igual à adotada para a face superior. As barras devem se estender até a distância igual a 1/5 do menor vão teórico da laje, medida a partir das faces dos apoios. O Prof. Libânio recomenda que a malha de armadura deva ter, em cada direção, uma área não inferior a asx/2, onde asx é a armadura no centro da laje, na direção mais armada.
Modulo 02-71 http://www.foxitsoftware.com For evaluation Modulo only. 02-72 Conforme o Prof. Camacho, outros modos de ser armar a laje podem ser vistos na figura a seguir. 12.5 Armaduras positivas (na face inferior da laje) As barras das armaduras inferiores vão estar ancoradas desde que se estendam, além da face interna do apoio, um comprimento que seja maior ou igual a 10 e 6 cm. Nas extremidades do edifício, elas costumam ser estendidas até junto a essas extremidades, respeitando-se o cobrimento especificado. TABELA: DETALHAMENTO DOS GANCHOS ARMADURA DE TRAÇÃO: a) b) c) Diâmetros dos pinos de dobramento, para armadura de tração Conforme o Prof. Libânio, nos casos de barras interrompidas fora dos apoios, seus comprimentos devem ser calculados seguindo os critérios especificados para as vigas. Bitola (mm) CA 25 CA 50 CA - 60 < 20 4 5 6 20 5 8 _ ESTRIBOS:
Modulo 02-73 Modulo 02-74 Diâmetros dos pinos de dobramento, para estribos Bitola (mm) CA 25 CA 50 CA - 60 t 10 3 t 3 t 3 t 10 < t < 20 4 t 5 t _ t 20 5 t 8 t _ Obs. Dimensão correspondente à altura do gancho deve respeitar a dimensão da espessura da laje subtraída dos cobrimentos inferior e superior. TABELA: COMPRIMENTO TOTAL DAS BARRAS COM GANCHOS comprimento calculado considerando-se a linha que passa pelo c.g. da armadura = diâmetro da barra; dob. = diâmetro interno de dobra TR = trecho reto; L1 = projeção horizontal da barra
Modulo 02-75 13. VERIFICAÇÃO DA PUNÇÃO 13.1 Definição http://www.foxitsoftware.com For evaluation Modulo only. 02-76 13.3 Superfície de ruína (exemplo: laje lisa) Como ficam o pilar e a laje após a ruína? 13.3.1 Posição do pilar 13.2 Onde ocorre
Modulo 02-77 13.3.2 Presença da armadura de punção Exemplo: conectores tipo pino. Modulo 02-78 Influência da armadura de punção:
Modulo 02-79 13.4 Teoria de bielas e tirantes http://www.foxitsoftware.com For evaluation Modulo only. 02-80 13.5 Modelos da Superfície de Controle 13.6 Recomendações da Norma NBR 6118:2007 13.6.1 Ligação sem armadura de punção (2 verificações) a) Biela comprimida b) Tirante tracionado
Modulo 02-81 13.6.2 Ligação com armadura de punção (3 verificações) Exemplo: Modulo 02-82 [ (As para 1 barra ) x 8 ] x fyd FSd (armadura passando internamente à armadura do pilar) Observação: a armadura deve ser colocada na face da laje à qual a força está sendo aplicada. 13.7 Colapso Progressivo A ruína final não é proporcional à causa inicial. As: armadura de flexão inferior; somatória das áreas das barras que cruzam cada uma das faces do pilar. fyd: tensão de escoamento (valor de cálculo) da armadura
13.8 Formulário Modulo 02-83 Cálculo de Rd1: Modulo 02-84 SITUAÇÃO: Pilar INTERNO, SEM momento fletor desbalanceado atuante, SEM armadura de punção (Para outras situações, ver apostila do Prof. Camacho) (lajes ou trechos sem armadura de punção) Cuidado: d em centímetros, fck em MPa, Rd1 em MPa Observação: 13.8.1 Verificação a 2d da face do pilar Cálculo de Sd: onde:
Modulo 02-85 13.8.2 Verificação na face do pilar EXEMPLO 15 Modulo 02-86 Cálculo de Sd: onde: Cálculo de Rd2: Sugestão para unidades: fck, fcd e Rd2 em MPa