3 ZEROS REAIS DE FUNÇÕES REAIS OU SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS E TRANSCENDENTES

3 ZEROS REAIS DE FUNÇÕES REAIS OU SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS E TRANSCENDENTES Prof. Jorge Roberto Grobe 01/04/2015 11:00:45 CN24NB 11 a edição i

Índice de ilustrações FIGURA 1: Interpretação Geométrica do Método da Bissecção...6 Prof. Jorge Roberto Grobe 01/04/2015 11:00:45 CN24NB 11 a edição ii

Sumário Capitulo 3...4 3 ZEROS REAIS DE FUNÇÕES REAIS...4 a) método da bissecção...4 3.1 METODO DA BISSECÇÃO OU PESQUISA BINÁRIA...4 3.1.1 Interpretação geométrica do método da Bissecção...6 3.1. 2 Convergência...6 3.1.3 Processo de Parada...7 b) método da falsa posição ou pégaso...9 3.2. MÉTODO REGULA FALSI OU FALSA POSIÇÃO OU PÉGASO...9 c) Método de Newton...17 3.4 MÉTODO DE NEWTON ou NEWTON RAPHSON...17 3.4.1 Descrição...17 3.4.2 Interpretação Geométrica...18 d) Método das Secantes...21 3.5 MÉTODO DAS SECANTES...21 3.5.1 Descrição...21 3.6 Exercicios...22 ANEXO...29 REFERENCIAS...30 Prof. Jorge Roberto Grobe 01/04/2015 11:00:45 CN24NB 11 a edição iii

CAPITULO 3 3 ZEROS REAIS DE FUNÇÕES REAIS MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO a) método da bissecção 3.1 METODO DA BISSECÇÃO OU PESQUISA BINÁRIA BURDEN(2003, p.44), esta técnica é baseada no teorema do valor intermediário, chamado de método da bissecção. BURDEN (2003, p.9) Teorema Se f є C [a,b] e k é qualquer numero entre f(a) e f(b) então existe um número c em (a,b) para o f(c)=k. STEWART(2010, p.114) O teorema do valor intermediário afirma que uma função contínua assume todos os valores intermediários entre os valores da função f(a) e f(b). fonte: http://www.uff.br/webmat/calc1_livroonline/figs_calc1_cap06/cap06_fig54.gif Por exemplo uma menina que pesa 3 kg ao nascer e 40 kg ao fazer 15 anos deve ter pesado exatamente 30 kg em algum instante da vida, sendo que o peso é uma função contínua do tempo. Prof. Jorge Roberto Grobe 01/04/2015 11:00:45 CN24NB 11 a edição 4

1. Mostre que existe uma raiz da equação 4x 3-6x 2 +3x-2=0 entre 1 e 2. solução : f(1)=-1 f(2)=12, então pode-se escrever f(1)f(2)<0, então existe f(c)=0, isto, é y=k ou para k=0. Descrição: BARROSO (1987, p.106), seja f(x) uma função contínua no intervalo [a;b] e f(a)f(b)<0. Divide-se o intervalo [a;b] ao meio, obtém-se xo havendo dois subintervalos [a,xo] e [b,xo], então a raiz Ε estará presente no intervalo onde a função tem sinais opostos nos pontos extremos, ou seja f(xo)f(a)<0 ou f(b) f(xo) <0. O intervalo [a1,b1] que contem a raiz Ε é dividido ao meio e obtém-se o ponto x1. O processo se repete até que se obtenha uma aproximação da raiz exata, com Ε tolerância desejada. Na figura 1 tem-se o grafico da interpretação geométrica do método da bissecção. Prof. Jorge Roberto Grobe 01/04/2015 11:00:45 CN24NB 11 a edição 5

3.1.1 Interpretação geométrica do método da Bissecção FIGURA 1: Interpretação Geométrica do Método da Bissecção 3.1. 2 Convergência Em alguma etapa do processo tem-se a raiz exata Ε ou seqüência infinita de intervalos encaixados a1,b1,a2,b2...,an,bn,...tal que f(a n )f(b n ) <0 n = 0, 1, 2, 3,... Como cada iteração o intervalo [a;b] é dividido ao meio, na n ésima iteração o comprimento do intervalo será de : b n a n = b a 2 n ou x n x n 1 = b a 2 n+1 substituindo x n x n 1 por b a 2 n+1 em x n x n 1 ϵ (épsilon) então: b a 2 n 1 ou para calcular o numero de iterações (n) isola se a variável (n ), aplica se o logaritmo neperiano ou natural (ln) Prof. Jorge Roberto Grobe 01/04/2015 11:00:45 CN24NB 11 a edição 6

ln b a n ln2 1, MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO ou seja para um intervalo dado [a,b] são necessários no mínimo, n iterações para se calcular a raiz Ε com tolerância ϵ. Os pontos extremos inferiores a1,a2,..,an formam uma sequência monótona crescente limitada e os pontos extremos superiores b1,b2,...,bn formam uma sequência monótona decrecente limitada, então existe um limite comum: lim an =lim bn =Ε n n Escrevendo limite na expressão f (Ε) f (Ε) 0, onde f (Ε)=0, o que significa que E é uma raiz da equação f(x)=0. 3.1.3 Processo de Parada Segundo BARROSO (1987, p.106), existem tres critérios que podem ser avaliados para uma aproximação da raiz exata E e compara-se com a tolerância critério 1 : f xn critério 2: x n x n 1 erro absoluto x n x n 1 critério 3: erro relativo x n Para BURDEN (2003, p.46), podem surgir dificuldades quando da utilização de qualquer um desses critérios de interrupção. FRANCO (2009, p.67-68), é necessário ter cuidado sobre o critério 1, nesse teste satisfeito não implica necessáriamente que x k 1 esteja próximo da raiz procurada. Prof. Jorge Roberto Grobe 01/04/2015 11:00:45 CN24NB 11 a edição 7

1) f x =x 3 ln x onde a única raiz é x=1. Calculando para x= 2,4,8,16,32... quanto mais longe da raiz menor é o valor de f(x). No critério 2 x n x n 1 chamado de erro absoluto, se esses números forem muito grandes e a tolerância for muito pequena, pode não ser possível calcular a raiz com uma precisão tão exigente. 2)f(x)=(x-1)(x-2000), pode-ser verificar que o numero de iterações é muito maior para o critério do erro absoluto. Por que a raiz que esta sendo procurada tem módulo grande é muito mais difícil tornar o erro absoluto menor que a tolerância desejada. O intervalo a=1999 e b=2002 k=16 iterações x16= 2000,0001 x15=1999,99998 erro relativo :1,1*10^-7 erro absoluto : 2,2*10^-5 Prof. Jorge Roberto Grobe 01/04/2015 11:00:45 CN24NB 11 a edição 8

b) método da falsa posição ou pégaso MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO 3.2. MÉTODO REGULA FALSI OU FALSA POSIÇÃO OU PÉGASO Descrição: Segundo BARROSO (1987, p.118), seja f(x) uma função continua no intervalo [x o;x 1] ] e f(x o ) f(x 1) ) < 0. CLAUDIO(1989, p.150), este método particiona o intervalo [a;b] na intersecção da reta que une os pontos (a;f(a) e (b;f(b)) com o eixo x. BARROSO (1987, p.118) Como existe uma raiz neste intervalo as sucessivas aproximações x 2,x 3,... desta raiz podem ser obtidas pela formula de recorrencia: x n 1 = x n f x n 1 x n 1 f x n f x n 1 f x n para n=1,2,3,... * o intervalo encontrado é possível realizar a seguinte operação: média aritmética do intervalo [a;b], contanto que preserve f(a)*f(b)<0. Na figura 3 tem-se Interpretação gráfica do método Regula Falsi ou Falsa Posição: figura 3: método da falsa posição fonte:http://fairuzelsaid.files.wordpress.com/2010/11/regula-falsi.png Para obter a fórmula de recorrencia é determinar a equação da reta que passa pelos os dois pontos Prof. Jorge Roberto Grobe 01/04/2015 11:00:45 CN24NB 11 a edição 9

(a;f(a)) e (b;f(b)). y-yo = m(x-xo) m= f (b) f (a) b a 0 f (a)= 3.3Exercícios MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO fazendo y=0 ( corta o eixo x para calcular a raiz) f (b) f (a) (x a) b a a f (b) b f (a) x n = f (b) f (a) 1) Calcular pelo menos uma raiz das equações, usando os seguintes métodos: i) método da bissecção ii) método da falsa posição a) f(x) = x 2 +ln(x) com ε < 10-3. gráfico: y=-x 2 e g(x)=ln(x) * nota foi utilizado a planilha de calculo, ela utiliza todos as casas após a virgula. * pode-se construir tambem os graficos g(x)=-x 2 e h(x)=ln(x). sendo a ( negativo) e b(positivo) pode utilizar a lógica se : se (fx<0,média, caso contrário a) se ( fx >0,média, caso contrário b) Busca do intervalo aonde existem possíveis raízes. Prof. Jorge Roberto Grobe 01/04/2015 11:00:45 CN24NB 11 a edição 10

x f(x) 0,1-2,2926 0,5-0,4431 0,7 0,1333 1,7 3,4 Calculo do numero de iterações a=0,6 b=0,7 ε<10-3 n=5,64 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO método da bissecção n a b (a+b)/2 fx=x²+ln(x) erro absoluto criterio de 0 0,6000 0,7000 0,6500 0,0083 parada 1 0,6500 0,7000 0,6750 0,0626 0,0250continue 2 0,6500 0,6750 0,6625 0,0272 0,0125continue 3 0,6500 0,6625 0,6563 0,0095 0,0062continue 4 0,6500 0,6563 0,6531 0,0006 0,0032continue 5 0,6500 0,6531 0,6516 0,0038 0,0015continue 6 0,6516 0,6531 0,6523 0,0016 0,0007pare a 0,6-0,1508 f(x)=x^2+ln(x) b 0,7 0,1333 criterio n a=xo fa b=x1 fb x fn erro absoluto parada 1 0,6000-0,1508 0,7000 0,1333 0,6531 0,0005 2 0,6000-0,1508 0,6531 0,0005 0,6529 0,0000 0,0002 pare de Prof. Jorge Roberto Grobe 01/04/2015 11:00:45 CN24NB 11 a edição 11

b) ARENALES (2008, p.124) f(x)=ln(x) -sen(x), com precisão de ϵ 0,0001 Prof. Jorge Roberto Grobe 01/04/2015 11:00:45 CN24NB 11 a edição 12

método da falsa posição a 2,2-0,0200 f(x)=ln(x)-sen(x) b 2,3 0,0872 criterio n a- fa b+ fb x fn erro absoluto parada 0 2,20000-0,02004 2,30000 0,08720 2,21869-0,00044 1 2,21869-0,00044 2,30000 0,08720 2,21910-0,00001 0,00041 continue 2 2,21910-0,00001 2,30000 0,08720 2,21911 0,00000 0,00001 pare método da bissecção f(x)=ln(x)-sen(x) condição: f(a)*f(b)<0 a(-) 2,2-0,02004 b(+) 2,3 0,08720 f(x)=ln(x)-sen(x) criterio de parada 0,0001 n a (-) b (+) (a+b)/2 f(x) erro absoluto erro 0 2,20000 2,30000 2,25000 0,03286 1 2,20000 2,25000 2,22500 0,00622 0,02500 continue 2 2,20000 2,22500 2,21250-0,00695 0,01250 continue 3 2,21250 2,22500 2,21875-0,00038 0,00625 continue 4 2,21875 2,22500 2,22188 0,00292 0,00312 continue 5 2,21875 2,22188 2,22031 0,00127 0,00156 continue 6 2,21875 2,22031 2,21953 0,00045 0,00078 continue 7 2,21875 2,21953 2,21914 0,00004 0,00039 continue 8 2,21875 2,21914 2,21895-0,00017 0,00020 continue 9 2,21895 2,21914 2,21904-0,00007 0,00010 pare de c) y=e cos(x) + x 3-3 =0 com precisão menor que 10-3 Prof. Jorge Roberto Grobe 01/04/2015 11:00:45 CN24NB 11 a edição 13

método da bissecção a 1,1-0,0950 y=exp(cos(x))+x 3 3 b 1,2 0,4027 criterio de n a- b+ x=(a+b)/2 y erro parada 0 1,1000 1,2000 1,1500 0,3428 1 1,1000 1,1500 1,1250 0,3182 0,0250 continue 2 1,1000 1,1250 1,1125 0,3071 0,0125 continue 3 1,1000 1,1125 1,1063 0,3017 0,0062 continue 4 1,1000 1,1063 1,1031 0,2991 0,0031 continue 5 1,1000 1,1031 1,1016 0,2979 0,0016 continue 6 1,1000 1,1016 1,1008 0,2972 0,0008 pare metodo da falsa posição a 1,1-0,0950 b 1,2 0,1647 criterio n -a fa b+ fb xk fxk erro parada 0 1,1000-0,0950 1,2000 0,1647 1,1366-0,0087 1 1,1366-0,0087 1,2000 0,1647 1,1398-0,0007 0,0032 continue de Prof. Jorge Roberto Grobe 01/04/2015 11:00:45 CN24NB 11 a edição 14

d) f(x) =0,1x 3 -e 2x +2=0 com precisão menor que 10-3 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO e) y= ln(x-1) + cos(x-1) com precisão menor que 10-2 f) y=e x cos x 5 com precisão menor que 10-4 g) f(x)=x cos(x) -2x² +3x-1com precisão menor que 10-5 2) (aplicações praticas) GILAT (2008, p.111) Um circuito RLC consiste em um resistor R, um indutor L e um capacitor C conectados em serie com uma fonte de tensão alternada V.A amplitude v m i m = i m é dada por: R2 +[ω L 1 (ω C ) ] onde ω ( ômega), a frequencia angular, está 2 relacionada à frequencia f por ω=2πf. Determine f para um circuito com R=140Ω, L=260 mh, C=25 μf, v m =24 V e i m =0,15 A. Use o metodo da bissecção. Resposta: 15000000 π 2 f 2 1300000 π 3 f 3 +1=0 raiz =3,6728063 fonte: http://www.infoescola.com/eletromagnetismo/corrente alternada/ Prof. Jorge Roberto Grobe 01/04/2015 11:00:45 CN24NB 11 a edição 15

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c) Método de Newton 3.4 MÉTODO DE NEWTON ou NEWTON RAPHSON 3.4.1 Descrição Para BARROSO (1987, p.122), a função f(x) contínua no intervalo [a;b] e ϵ o seu único zero neste intervalo ; as derivadas f ' x 0 e f ' ' x devem ser contínuas. BURDEN (2003, p.59), seja x [a,b] uma aproximação de p tal que f ' x 0 e p x (p=x) é pequeno, considere o polinômio de Taylor expandido em torno de x : f x = f x f ' x x x f x x x 2 2 para f(x)=0 e como p x é pequeno então quando eleva a potencia 2, 3,4 e assim por diante fica menor ainda ou seja tende a zero, então despreza-se as derivadas de ordem 2, 3 na expansão de Taylor, isolando a variável p tem-se: p x f x f ' x Como o processo é iterativo : x n 1 =x n f x n f ' x n para n=0,1,2,... BURDEN (2003, p.60), as desigualdades aplicadas com técnica de parada dada no método da Bissecção são aplicáveis ao método de Newton. Prof. Jorge Roberto Grobe 01/04/2015 11:00:47 CN24NB 11 a edição 17

3.4.2 Interpretação Geométrica MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO Na figura 4 tem-se interpretação geométrica do Método de Newton: 50 f(x) 40 30 20 10 0 xk... x1 xo 10 2 1 0 1 2 3 4 FIGURA 4: Interpretação Geométrica do Método de Newton fonte : www.labspot.ufsc.br/~campagno/numerico/aula_6.doc Conforme BARROSO (1987, p.124) traça-se reta tangente a partir de xo até encontrar uma raiz perto xk. Geometricamente tem-se: tg = f ' xo = f xo xo x1 tgβ= f '( x1)= f (x1) x1 x2 por indução: x n+1 =x n f ( x n ) f ' (x n ) 3.4.3 Escolha de xo Pode se encontrar um ponto x que não pertença ao intervalo [a,b] e o método pode não convergir. É condição suficiente para a convergencia do método de Newton que derivada primeira e segunda seja não nulas e preservem o sinal em (a,b) e xo seja tal que f(xo) f''(xo)>0. Caso não for possível pesquisar outro intervalo. A derivada segunda estuda a concavidade da curva para cima ou para baixo. Prof. Jorge Roberto Grobe 01/04/2015 11:00:47 CN24NB 11 a edição 18

Nota: Escolha de xo : compara as derivadas primeira f ' (a) e f '(b) qual tiver o maior valor absoluto é ponto inicial ou seja quanto maior esse valor melhor. Cuidado com o ponto de inflexão aonde a curva muda de sentido ou seja a derivada segunda (concavidade da curva f''(x) >0 ou f (x)<0). f(x)=ln(x-1)-cos(x-1) x f(x) f'(x) f (x) 1,01-3,605220186 99,990000167-10000,99995 2,2 0,5446793113-0,098705753-1,056802199 2,24 0,5399076641-0,139332387-0,975160488 3 0,277000344-0,409297427 0,1661468365 é ponto inicial 2,9 0,3185643193-0,419984298 0,0462812566 2,8 0,3605845702-0,418292075-0,081439881 não é ponto inicial 2,7 0,4017837568-0,403429516-0,217176267 4,4 0,256977239 0,5496587491 0,8802930023 comparação das derivadas f'(3) -0,4093 f'(2,8) -0,4183 o que for maior em modulo das derivadas é o ponto xo? nem sempre, pois neste intervalo tem ponto de inflexão entre 2,8 e 2,9 pois a curva mudou de sentido e de concavidade Prof. Jorge Roberto Grobe 01/04/2015 11:00:47 CN24NB 11 a edição 19

Convergência : BARRROSO (1989, p.125), sendo Ε=lim xn x MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO a< Ε <b este limite existe, pois a sequencia { xn} é limitada e monótona. Escrevendo lim na expressão: x n 1 =x n f x n f ' x n lim x x n +1=lim x x n lim f (x n ) f ' (x n ) x Ε=Ε f (Ε) f ' (Ε) f (Ε)=0 Como a função tem apenas um zero no intervalo [a,b] conclui-se que Ε =E. ARENALES(2008, p.89) um método iterativo apresenta convergencia quadrática se lim e i +1 e i 2 =k onde k é chamada constante assintótica de proporcionalidade, onde e i = x i x e e i+1 = x i +1 x são erros cometidos nas iteraçoes correspondentes. FRANCO (2006, p.79), como o método de Newton a convergencia é quadratica, isto significa que a quantidade de dígitos corretos duplica à medida que os valores da sequencia se aproximam de x. Essa correção não acontece em relação às primeiras iterações realizadas. Prof. Jorge Roberto Grobe 01/04/2015 11:00:47 CN24NB 11 a edição 20

d) Método das Secantes 3.5 MÉTODO DAS SECANTES 3.5.1 Descrição Para CLAUDIO (1989, p.169), neste método parte-se de duas aproximações iniciais xo e x1 e determina-se a reta que passa por (xo, f(xo)) e (x1,f(x1)). A intersecção dessa reta com o eixo x=0 determina a proxima iteração x2. Continua-se o processo a partir de x1 e x2. Para obter o processo iterativo substitui-se a derivada primeira no método de Newton por uma secante: x i 1 =x i f x i f x i f x i 1 x i x i 1 (1) com a substituição da derivada primeira. Neste método não necessita-se que exija troca de sinal da f no intervalo [ x i x i 1 ] A formula (1) foi transformada em : x i+ 1 = x i f (x i 1 ) x i 1 f ( x i ) f ( x i 1 ) f (x i ) para i=1,2... Na figura 4 observa-se interpretação geométrica do método da secante: FIGURA 4: Interpretação Geométrica do Método da Secante Prof. Jorge Roberto Grobe 01/04/2015 11:00:47 CN24NB 11 a edição 21

Fonte:Fonte:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/92/Secant_method.svg/351p x-secant_method.svg.png. Ordem de convergencia da secante Este método é mais rápido que a iteração linear ou bissecção, mas pode ser mais lento que o método de Newton. 3.6 Exercicios 3)FRANCO (2009, p. 110 ) Uma loja de eletrodomésticos oferece dois planos de financiamento para um produto cujo preço avista é de $162,00. plano A: entrada de $22 + 9 prestações iguais de $26,50. plano B: entrada de $22 + 12 prestações de $21,50. qual dos dois planos apresenta a menor taxa de juros, sendo portanto melhor para o consumidor? Fórmula: 1 (1+ j) P j = VF PM j=taxa de juros p= numero de prestações VF= valor futuro(dívida) entrada PM(= prestação mensal fazendo x=1+j e k= VF PM e j=x-1 k x p 1 k 1 x p 1 plano A : p(x) =5,2830*x 10 6,2830*x 9 +1 =0 resposta: 12,25% x n +1 =x n f ( x n ) f ' (x n ) formula do método de Newton solução: existe uma raiz entre [1,1 e 1,2] f(1,1)= 0,1122 f(1,2)=1,2920 condição inicial ; f(xo)*f (xo)>0 f'(x)=52,83*x^9 56,547*x^8 Prof. Jorge Roberto Grobe 01/04/2015 11:00:47 CN24NB 11 a edição 22

f''(x)=475,47*x^8 452,376*x^7 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO f (1,1)= 137.65932 f (1,2)=423.4890 então xo=1,2 MÉTODO DE NEWTON erro menor n xn f(xn f'xn) que ou igual 10^-3 0 1,2000 1,2920 29,4494 1 1,1561 0,3535 14,4629 0,0439 2 1,1317 0,0735 8,7158 0,0244 3 1,1233 0,0070 7,0811 0,0084 4 1,1223 0,0001 0,0010 método das secantes a 1,1-0,1122 b 1,2 1,2920 f (x)=5,283 x 10 6,283 x 9 +1 x i+ 1 = x i f (x i 1 ) x i 1 f ( x i ) f ( x i 1 ) f ( x i ) i xi-1 f(xi-1) xi f(xi) x(i+1) erro erro menor ou igual a 10^-3 1 1,1000-0,1122 1,2000 1,2920 x2 1,1080 2 1,2000 1,2920 1,1080-0,0809 x3 1,1134 0,0054 continue 3 1,1080-0,0809 1,1134-0,0541 x4 1,1244 0,0110 continue 4 1,1134-0,0541 1,1244 0,0150 x5 1,1220 0,0024 continue 5 1,1244 0,0150 1,1220-0,0018 x6 1,1222 0,0003 pare Plano B: p(x) =6,5116*x 13 7,5116*x 12 +1 =0 resposta: 10,96% solução: existe uma raiz entre [1,1 e 1,2] f(1,1)= 0.0948 f(1,2)=3.6955 condição inicial ; f(xo)*f (xo)>0 f'(x)=84.6508*x^12 90.1392*x^11 f''(x)=1015.8096*x^11 991.5312*x^10 f''(1,1)=326.4468 f''(1.2)=1408.2505 então xo=1,2 Prof. Jorge Roberto Grobe 01/04/2015 11:00:47 CN24NB 11 a edição 23

MÉTODO DE NEWTON erro menor n xn f(xn) f'(xn) que 10^-3 0 1,2000 3,6955 85,0132 1 1,1565 1,1103 38,4326 0,0435 2 1,1276 0,2862 19,9298 0,0289 3 1,1133 0,0490 13,3509 0,0144 4 1,1096 0,0027 11,8983 0,0037 5 1,1094 0,0000 0,0002 método das secantes a 1,1-0,0948 f (x)=6,5116 x 13 7,5116 x 12 +1 b 1,2 3,6955 i xi-1 f(xi-1) xi f(xi) x(i+1) erro 1 1,1000-0,0948 1,2000 3,6955 x2 x2 1,1025 2 1,2000 3,6955 1,1025-0,0725 x3 x3 1,1044 0,0019 continue 3 1,1025-0,0725 1,1044-0,0544 x4 x4 1,1100 0,0056 continue 4 1,1044-0,0544 1,1100 0,0076 x5 x5 1,1093 0,0007 pare erro menor que 10^-3 4) Calcular pelo menos uma raiz das equações, usando os seguintes métodos: i) método de Newton ii) método das secantes a) BURDEN (2003, p.67) e x +2 x +2cos(x) 6=0 para 1 x 2 com precisao de 10-5 solução 1: x y 0 2,0000 0,25 1,9373 0,75 1,8250 1 1,7011 1,25 1,4586 1,5 1,0233 1,75 0,3046 2 0,8068 Prof. Jorge Roberto Grobe 01/04/2015 11:00:47 CN24NB 11 a edição 24

método de newton e x +2 x +2cos(x) 6=0 para1 x 2 f(x) f''(x) condição inicial xo 1-1,701114 1,877904 nao xo 2 0,806762 8,341463 sim f ' (x)=e x 2 x ln(2) 2sen(x) f ' ' (x)= 2 cos(x)+e x + ln(2) ln(2) 2 x criterio n xn fxn derivada Xn+1 erro parada 0 2,000000 0,806762 5,397174 1,850521 1 1,850521 0,088245 4,248669 1,829751 0,020770 continue 2 1,829751 0,001508 4,104028 1,829384 0,000367 continue 3 1,829384 0,000000 4,101501 1,829384 0,000000 pare de xo 1-1,701114 xi 2 0,806762 e x +2 x +2cos(x) 6=0 para1 x 2 i criterio de xi-1 f(xi-1) xi fxi f(x) erro parada 1 1,000000-1,701114 2,000000 0,806762 x2 1,678308-0,545674 2 2,000000 0,806762 1,678308-0,545674 x3 1,808103-0,085739 0,129794 continue 3 1,678308-0,545674 1,808103-0,085739 x4 1,832298 0,011985 0,024196 continue 4 1,808103-0,085739 1,832298 0,011985 x5 1,829331-0,000215 0,002967 continue 5 1,832298 0,011985 1,829331-0,000215 x6 1,829383-0,000001 0,000052 continue 6 1,829331-0,000215 1,829383-0,000001 x7 1,829384 0,000000 0,000000 pare b) ln x 1 cos x 1 =0 para1,3 x 2. precisao de 10-5. ] Prof. Jorge Roberto Grobe 01/04/2015 11:00:48 CN24NB 11 a edição 25

solução: f ' x = 1 sen x 1 x 1 f ' ' (x)= 1 ( x 1) 2 cos(x 1) método de Newton y=ln(x-1)+cos(x-1) y f (x) condição inicial a 1,3-0,248636-0,95801 xo 0,23820 valor inicial b 2 0,540302-5,62830 xo -3,04098 nao é valor inicial x criterio n xn f(xn) f'(xn) n +1 =x n f ( x n) f ' (x n ) fx erro parada de 0 1,300000-0,248636 3,037813 1,381847-0,034757 1 1,381847-0,034757 2,246214 1,397321-0,000910 0,015474 continue 2 1,397321-0,000910 2,129909 1,397748-0,000001 0,000427 continue 3 1,397748-0,000001 2,126810 1,397748 0,000000 0,000000 pare 5) A função descrita por f (x)=ln( x 2 +1) e 0,4 x cos(π x), determine pelo menos um zero com 10-3 usando os seguintes métodos:respostas: 3.709041201375952;1.744738053368827 a) método da bissecção b) falsa posição c) newton d) secantes método da bissecção a 1,8-0,2175 f (x)=ln( x 2 +1) e 0,4 x cos(π x) b 1,7 0,1982 criterio de k a- b+ x=(a+b)/2 y erro parada 0 1,800000 1,700000 1,7500-0,0221 1 1,750000 1,700000 1,7250 0,0854 0,0250 continue 2 1,750000 1,725000 1,7375 0,0309 0,0125 continue 3 1,750000 1,737500 1,7438 0,0042 0,0062 continue 4 1,750000 1,743750 1,7469-0,0090 0,0031 continue 5 1,746875 1,743750 1,7453-0,0024 0,0016 continue 6 1,745313 1,743750 1,7445 0,0009 0,0008 pare Prof. Jorge Roberto Grobe 01/04/2015 11:00:48 CN24NB 11 a edição 26

método das secantes a=xo 1,30000-2,15930929 y=ln(x-1)+cos(x-1) b=x1 2,00000-0,540302 criterio de i xi-1 f(xi-1) xi f(xi) Xi+1 f(xi) erro parada 1 1,300000-0,248636 2,000000 0,540302 1,520607 0,214758 2 2,000000 0,540302 1,520607 0,214758 1,204358-0,608692 0,316249 continue 3 1,520607 0,214758 1,204358-0,608692 1,438128 0,080304 0,233771 continue 4 1,204358-0,608692 1,438128 0,080304 1,410882 0,027320 0,027247 continue 5 1,438128 0,080304 1,410882 0,027320 1,396833-0,001950 0,014049 continue 6 1,410882 0,027320 1,396833-0,001950 1,397769 0,000044 0,000936 continue 7 1,396833-0,001950 1,397769 0,000044 1,397749 0,000000 0,000020 continue 8 1,397769 0,000044 1,397749 0,000000 1,397748 0,000000 0,000000 pare método da falsa posição a 1,8-0,2175 b 1,7 0,1982 f (x)=ln( x 2 +1) e 0,4 x cos(π x) criterio k a- fa b+ fb x fn erro parada 0 1,8000-0,2175 1,7000 0,1982 1,7477-0,0124 1 1,7477-0,0124 1,7000 0,1982 1,7449-0,0006 0,0028 continue 2 1,7449-0,0006 1,7000 0,1982 1,7447 0,0000 0,0001 pare de método das secantes a 1,8-0,2175 f (x)=ln( x 2 +1) e 0,4 x cos(π x) b 1,7 0,1982 criterio i xi-1 f(xi-1) xi f(xi) Xi+1 erro parada 1 1,8000-0,2175 1,70000 0,1982 1,7477 2 1,7000 0,1982 1,74768-0,0124 1,7449 0,003 continue 3 1,7477-0,0124 1,74487-0,0006 1,7447 0,000 pare de Prof. Jorge Roberto Grobe 01/04/2015 11:00:48 CN24NB 11 a edição 27

método de newton f (x)=ln( x 2 +1) e 0,4 x cos(π x) f(x) f''(x) condição inicial xo 1,7 0,1982 8,3997 sim xo 1,8-0,2175 14,2329 nao criterio n xn fxn derivada Xn+1 erro parada 0 1,7000 0,1982-4,6069 1,7430 1 1,7430 0,0073-4,2498 1,7447 0,0017 continue 2 1,7447 0,0000-4,2333 1,7447 0,0000 pare de Prof. Jorge Roberto Grobe 01/04/2015 11:00:48 CN24NB 11 a edição 28

ANEXO 1) EXEMPLO: HOFFMANN (1990, p.175-176), aproximar f x =e x por polinômios de Taylor de grau 0, grau 1 e grau 3 em torno de x= x sendo x=0 solução: f x = f x f ' x x x f x x x 2 2 polinomio de grau zero : P(x)=1 polinomio de grau 1 :P(x)= 1+x polinomio de grau 2 :P(x)=1 +x +x²/2 2) Utilize um polinômio de Taylor com grau 3, para encontrar o valor aproximado de 4,1 solução : f x = x calcular as derivadas em torno ou na vizinhança de x=4 f x =2 1 4 x 4 1 64 x 4 2 1 512 x 4 3 então substituindo x=4,1 tem-se 2,02485. 3) Calcule por polinômio de Taylor de grau n: a) 3,8 n=3 b) ln 1,1 * f(x) =ln(x) use x=1 x=1,1 para n=5 c) e 0,3 n=6 f x = f x f ' x x x f x x x 2 fazer 2 R:1,34985 x=zero e x=0,3 Prof. Jorge Roberto Grobe 01/04/2015 11:00:48 CN24NB 11 a edição 29

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