Experimentos com fótons polarizados - análise formal

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1 Aula 5 Experimentos com fótons polarizados - análise formal 5.1 Resumo Nesta aula analisamos de modo mais formal e geral os experimentos com fótons polarizados vistos na última aula. Em particular, discutimos o que eles nos dizem sobre aquilo que podemos medir, e aquilo que a nossa teoria é capaz de prever. Condensamos as nossas conclusões na forma de algumas regras simples que descrevem como funciona a física desse sistema. Bibliograa: Moysés vol. 4, seções e 8.9. V. também French e Taylor, cap Mecânica quântica de um fóton polarizado Tendo em vista os resultados das nossas experiências com fótons polarizados, parece não ser possível descrevêlas usando conceitos da física clássica, mesmo que com uma componente probabilística. Vamos admitir a derrota, então, e simplesmente procurar descrever o que vemos de uma forma sistemática, expressando os fatos na forma de uma série de regras. Veremos adiante que regras análogas se aplicam a todos os sistemas físicos conhecidos. 9

2 30 AULA 5. EXPERIMENTOS COM FÓTONS POLARIZADOS - ANÁLISE FORMAL 5..1 Regra I: Estados do Sistema Os experimentos I e II nos indicam que, no regime de fótons individuais, a descrição clássica de uma onda eletromagnética deixa ser válida. Apesar disso, continuamos podendo falar na polarização de um fóton. Isso faz sentido pois, mesmo neste regime, cada tipo diferente de polarizador continua produzindo efeitos físicos distinguíveis. Mais precisamente: fótons que tenham atravessado um polarizador P (θ, φ) apresentam propriedades distintas daqueles que atravessaram um polarizador P (θ, φ ) com outra orientação. No primeiro caso, todos os fótons conseguem atravessar um segundo polarizador P (θ, φ) idêntico, enquanto no segundo caso apenas uma fração deles tem sucesso. Podemos pensar então da seguinte forma: cada tipo diferente de polarizador prepara fótons sicamente distintos. Costumamos dizer que esses fótons têm diferentes estados de polarização, sendo cada estado correspondente ao polarizador usado para prepará-lo. Em resumo: REGRA I (Estados do Sistema): O estado de polarização de um fóton é denotado por um vetor de estado -dimensional complexo e normalizado, que podemos representar na forma P (θ, φ) = cos (θ) H + sen (θ) e iφ V, (5.1) com 0 θ π ; 0 φ π. (5.) Vale lembrar que este vetor de estado pode ser expandido em diferentes bases ortonormais { P, P }, como vimos na eq. (.35). P (θ, φ) = P P (θ, φ) P + P P (θ, φ) P. (5.3) Como vetores de estado são normalizados, essa expansão tem de satisfazer sempre P P (θ, φ) + P P (θ, φ) = 1 (5.4) 5.. Regra II: Medidas e probabilidades O que signica, porém, esse `vetor de estado'? Apesar de ele ser formalmente idêntico ao vetor de polarização clássico, está claro que não podemos interpretá-lo da mesma forma - para um fóton, simplesmente não faz sentido escrever um `vetor campo elétrico' no sentido da eq. (.8)! 1 1 Outra noção, mais sosticada, de `campo elétrico' pode ser reobtida no âmbito da Eletrodinâmica Quântica, porém não a discutiremos aqui.

3 5.. MECÂNICA QUÂNTICA DE UM FÓTON POLARIZADO 31 Observe, porém, que essa associação com um campo elétrico não é de fato necessária para descrever o que acontece nas experiências que zemos. De fato, a Experiência II indica que, se sabemos o vetor de estado de um fóton, somos capazes de fazer previsões a respeito do resultado de qualquer experiência quer envolva medidas de polarização. Como vimos, isso não signica prever com precisão o que ocorre com o fóton, mas sim poder calcular a probabilidade de ocorrência de cada resultado possível, seja qual for a medida de polarização que escolhemos fazer sobre ele. Regra II (Medidas e probabilidades): Suponha que um fóton está preparado no estado P i, e o medimos usando um polarizador P f. A probabilidade do fóton atravessar o polarizador é dada por p = P f P i (5.5) Note que a probabilidade do fóton não atravessar o polarizador é P f P i = 1 p. (5.6) onde usamos a eq. (5.4). Vê-se assim, aliás, o sentido físico de usarmos apenas vetores normalizados: garante-se desse modo que a soma de das probabilidades de resultados em uma medida é igual a 1! Em resumo: Se medimos a polarização usando um polarizador P f, as probabilidades de cada resultado { } são dadas pelos módulos ao quadrado dos coecientes do vetor de estado na base P f,. Por analogia com o que ocorre nos campos clássicos, (em que a intensidade é proporcional ao módulo quadrado da amplitude), vamos nos referir a esses coecientes como amplitudes de probabilidade, ou simplesmente amplitudes. Por exemplo, nos referiremos a P f P i como a amplitude de um fóton no estado P f atravessar o polarizador P i ou, mais concisamente, como a amplitude de P f em P i. Portanto, em mecânica quântica uma probabilidade deve sempre ser vista como o módulo ao quadrado de uma amplitude. Veremos logo adiante (seção 5.3.1) que existem motivos bem concretos para adotar esse nome. P f Observação técnica: equivalência entre estados sob fases globais Multiplicando um vetor de estado P por um número complexo da forma e iγ, que tem norma 1, obtemos um novo vetor P = e iγ P. É fácil checar que P também é normalizado: P P = e iγ e iγ P P = 1 (5.7)

4 3 AULA 5. EXPERIMENTOS COM FÓTONS POLARIZADOS - ANÁLISE FORMAL Uma das conseqüências da Regra II é que esses dois vetores, a princípio matematicamente diferentes, representam a mesma situação física. Observe que, pela eq. (5.5), a probabilidade p de um fóton no estado P atravessar um polarizador P f é p = P f P = e iγ P f P = e iγ P f P i = 1.p = p (5.8) Em outras palavras, os vetores P, P prevêem as mesmas probabilidades para qualquer medida de polarização. Como essas são as únicas medidas possíveis (v. Regra III abaixo), conclui-se que é sicamente impossível distinguir esses dois vetores, e que portanto ambos representam o mesmo estado do sistema. É importante perceber que essa equivalência só vale quando o fator e iγ (o qual costuma ser chamado de uma fase) multiplica o estado como um todo (i.e., é uma fase global). Em contraste, as superposições de P ou e iγ P com um terceiro vetor em geral não são equivalentes. Exemplo: V, e iπ/ V = i V e e iπ V = V (5.9) representam o mesmo estado físico, mas 1 ( H + V ) = 45, 1 ( H + i V ) = P e 1 ( H V ) = 45 (5.10) são todos estados diferentes. Nesse caso, dizemos que a fase relativa entre as componentes H e V é diferente em cada um desses estados. A equivalência sob fases globais signica que, quando escrevemos um estado P em alguma base, podemos sempre escolher que um dos coecientes seja um número real e positivo. É isso o que fazemos, por exemplo, na eq. (5.1), onde o coeciente de H é 0. Uma vez feita essa escolha, cada par (θ, φ) nos intervalos dados na eq. (5.) corresponde a um estado P (θ, φ) sicamente distinto. A única exceção está nos limites do intervalo de θ: observe que, para θ = 0 ou θ = π/, os estados resultantes são sicamente equivalentes, independente de φ Regra III: Observáveis Uma das suposições centrais da física clássica (tão central de fato que em geral sequer paramos para pensar nela!) é a de que toda quantidade física tem sempre um valor bem-denido em qualquer situação. Uma partícula em movimento, por exemplo, sempre `tem' uma posição, energia, velocidade, etc. Mesmo em uma situação probabilística, como o cara-e-coroa da última aula, sempre se assume que em cada instante o sistema (no caso, a moeda) `tem' algum valor para essas quantidades, ainda que nós não saibamos qual ele seja exatamente.

5 5.. MECÂNICA QUÂNTICA DE UM FÓTON POLARIZADO 33 Ocorre que, na mecânica quântica, é possível - e até comum - existirem situações em que quantidades físicas não têm um valor bem-denido. Para entender o que isso signica exatamente, vamos repassar, usando uma linguagem um pouco diferente, o que aprendemos nos experimentos da última aula. Antes de mais nada, um pouco de jargão: a partir de agora, vamos nos referir a qualquer quantidade sicamente mensurável como um observável. Por exemplo, quantidades familiares como energia ou momento linear são `observáveis'. Logo veremos muitos outros tipos de observáveis. Retornemos agora aos nossos fótons polarizados. Quais são os observáveis desse sistema? Vamos começar pelas duas quantidades acima. Como estamos (por simplicidade) assumindo um feixe monocromático, os fótons têm energia E = ω e momento p = k bem-denidos, qualquer que seja seu estado de polarização. Nada de novo até aqui então. Podemos porém denir outros observáveis, relacionados com a polarização. Vimos que, se incidimos um fóton sobre um ltro polarizador, seguido de um detector, um de dois resultados possíveis ocorre: ou o fóton atravessa o ltro e é detectado, ou não. Podemos redescrever essa situação de uma forma quantitativa, associando valores numéricos distintos a cada um desses resultados. Por exemplo, podemos dizer que atravessar corresponde ao valor 1 e não atravessar ao valor 0. (Os valores em si não importam, basta que sejam distintos). Assim, no caso, por exemplo, do polarizador ser horizontal, podemos dizer que estamos medindo se o observável `caráter horizontal da polarização' vale 0 ou 1 (e esses são os únicos valores que podemos medir). Naturalmente, um fóton no estado H sempre atravessa um polarizador horizontal - nesse estado o caráter horizontal vale 1. Da mesma forma, um fóton no estado V tem caráter horizontal igual a 0. Em ambos esses casos, portanto, o caráter horizontal tem valor bem-denido. O que dizer, porém, de um fóton num estado superposto de H e V, por exemplo 45 = 1 ( H + V )? A experiência (e a Regra II) nos dizem que, se incidir sobre um polarizador horizontal, o fóton pode nesse caso atravessar ou não, com 50% de probabilidade para cada. Na nossa nova maneira de dizer, se medirmos o seu caráter horizontal, podemos encontrar tanto 0 quanto 1. Isso não quer dizer, porém, que o fóton no estado 45 já tivesse esse caráter horizontal antes de ser detectado. Zehnder). De fato, essa idéia é incompatível com o que vimos na Experiência IV (interferômetro Mach- Se isso fosse o caso, este fóton teria de seguir por um dos dois caminhos do interferômetro, e poderia então ser detectado tanto em D1 quanto em D. Como vimos, porém, ele nunca chega ao detector D1! Somos então levados a concluir (e não parece haver uma outra saída mais sensata) que, em um estado como 45, o fóton simplesmente não tem um `caráter horizontal' bem denido. Uma das duas possibilidades só se realiza no momento em que efetivamente tentamos medir este observável.

6 34 AULA 5. EXPERIMENTOS COM FÓTONS POLARIZADOS - ANÁLISE FORMAL Generalizando, podemos dizer que cada polarizador P (θ, φ) dene um observável distinto (que podemos chamar de caráter (θ, φ) da polarização). Vimos que, dado um polarizador, sempre existe um par de estados ortogonais, P (θ, φ) e P (θ, φ), tais que um fóton no estado P (θ, φ) atravessa o polarizador com certeza e um no estado P (θ, φ) não atravessa com certeza. Podemos dizer então que nesses estados o `caráter (θ, φ)' vale respectivamente 1 e 0. Quaisquer outros estados não tem um `caráter (θ, φ)' bem-denido. Exemplo: Momento angular de um fóton A essa altura você pode estar achando essa nossa linguagem de `observáveis' desnecessariamente complicada. OK, você diz, aceito que esses tais `caracteres' de polarização podem não ter sempre um valor bem-denido. Mas esses observáveis foram denidos de uma forma que parece um tanto articial. Será que algo desse tipo pode acontecer com observáveis `de verdade', como os que estamos acostumados da física clássica? Anal, já vimos acima que (pelo menos neste caso que estamos considerando), a energia e o momento linear dos fótons têm sim valores bem-denidos! Considere, porém, o momento angular de um fóton polarizado. Antes de analisar o que isso pode querer dizer, vale recordar como sabemos que a luz, além de carregar energia e momento, pode carregar ainda momento angular. Do ponto de vista clássico, isso não é difícil de entender: por exemplo, no caso de um feixe circularmente polarizado, vimos na seç...1 que, em um dado plano transversal xo, o vetor campo elétrico E(t) percorre um círculo à medida em que o tempo passa. Se houver uma partícula eletricamente carregada localizada nesse plano, ela irá então sofrer uma força elétrica F = q E(t), cuja direção também percorre um círculo no tempo. Uma força deste tipo transmite um torque à partícula, que portanto adquire momento angular L z ao redor do eixo de propagação da luz. Como esta é uma grandeza conservada, só pode vir da luz em si. Isso pode ser experimentalmente vericado incidindo luz circularmente polarizada sobre um anteparo absorvente, o qual é livre para rotacionar ao redor do eixo de propagação da luz. Se o anteparo for sucientemente leve, pode-se observar que ele começa a rodar para um lado ou para outro! A nossa intuição física nos diz que quanto mais luz for absorvida por segundo (i.e., quanto maior for a intensidade I do feixe), maior deve ser o torque dlz dt sofrido pelo anteparo. Qual deve ser a relação entre essas duas quantidades? Um pouco de análise dimensional nos ajuda aqui: intensidade tem dimensão de energia/tempo (kg.m /s 3 ) e torque tem dimensão momento angular/tempo (kg.m /s ). A relação mais simples possível que essas quantidades podem ter é portanto da forma I = c dlz dt, onde c tem de ser uma constante com dimensão de freqüência. A única freqüência sicamente relevante nessa situação é a freqüência da luz, de modo que c deve ser na verdade um múltiplo de ω.

7 5.. MECÂNICA QUÂNTICA DE UM FÓTON POLARIZADO 35 Para obter uma relação mais exata, precisaríamos construir um modelo explícito para a interação entre luz circularmente polarizada e um bloco de matéria absorvente. Não vamos fazer isso aqui - uma construção simples, utilizando um oscilador harmônico forçado e amortecido, está feita por exemplo no livro do Moysés, seç Basta saber que, para feixes sucientemente fracos, é possível de fato deduzir a expressão I = ±ω dl z dt (5.11) onde os sinais ± se referem às polarizações circulares à direita e à esquerda. Retornando agora ao ponto de vista quântico: sabemos que, na verdade, a intensidade I é devida a um uxo de N fótons por segundo, cada um carregando energia ω. Da mesma forma, o torque sofrido pelo anteparo se deve ao somatório do momento angular sendo absorvido destes fótons. Podemos reescrever a eq. acima então como (N ω)/s = ±ωnl z /s (5.1) onde L z é agora o momento angular carregado por cada fóton circularmente polarizado. Simplicando essa expressão, concluímos que cada fóton circularmente polarizado carrega momento angular: L z = ± (5.13) sendo o sinal positivo (negativo) correspondente à polarização circular esquerda (direita). Observe aqui a similaridade com a discussão anterior sobre o `caráter horizontal': assim como lá, aqui existe um certo `observável' (L z ) que pode assumir um de dois valores especícos (± ), sendo esses valores associados a um par de estados ortogonais (no caso,, ). O que ocorre se tivermos um fóton com outra polarização P que não seja circular? Será que, por exemplo, um fóton linearmente polarizado tem L z = 0? Ou que um fóton elipticamente polarizado pode ter L z = /? A resposta para ambas essas perguntas é não! Para entender por que, vamos fazer mais uma rápida experiência de pensamento. Imagine que você tenha um anteparo tão leve que ele seja capaz de entrar em rotação visivelmente, para um lado ou outro, após absorver um único fóton circularmente polarizado. Se incidimos sobre ele um fóton num estado P = a P + b P (lembre que podemos escrever qualquer polarização P dessa forma), o que observamos é que às vezes (com probabilidade a ), o anteparo sofre um torque para a esquerda, ganhando momento angular e às vezes (com probabilidade b ) sofre um torque para a direita, ganhando momento angular! Assim como nas medidas de polarização, é impossível prever qual dos dois resultados ocorrerá. Na prática, o valor de é tão pequeno ( em unidades SI) que não dá para fazer uma experiência real desta forma. Existem experiências equivalentes, mais práticas, por exemplo utilizando materiais que uorescem (emitem radiação) quando absorvem luz circularmente polarizada à esquerda (mas não à direita). Pode-se observar então que, numa polarização como P, a uorescência é emitida somente com probabilidade a.

8 36 AULA 5. EXPERIMENTOS COM FÓTONS POLARIZADOS - ANÁLISE FORMAL Pelos mesmos motivos de antes, concluímos então que um fóton num estado P que não é circularmente polarizado simplesmente não tem momento angular bem-denido! Dizemos que ele está em superposição entre dois valores possíveis de momento angular. Uma dessas possibilidades só se realiza no momento em que efetivamente tentamos medir este observável. Em resumo: um observável é caracterizado quando dizemos quais os valores que ele pode assumir, e quais são os estados para os quais esses valores estão bem-denidos. Baseado no comportamento dos observáveis que vimos, podemos escrever a seguinte regra: Regra III (Observáveis): Todo observável A de um fóton polarizado tem no máximo dois valores distintos possíveis a 1, a. Existe sempre um par de estados ortogonais P 1 e P para os quais A é bem denido, tal que A = a 1 no estado P 1 e A = a no estado P. Valores médios Imagine que você mede o momento angular de um número N muito grande de fótons, todos no estado H = 1 ( P + P ). Como cada fóton tem nesse caso = 50% de chance de ser medido com momento angular ou, esperamos estatisticamente que cada uma dessas possibilidades aconteça de fato (aproximadamente) N/ vezes. Assim, a média de todos os valores encontrados será igual a 1 p(l z = ). + p(l z = ).( ) = = 0. (5.14) Essa média é chamado de o valor esperado ou valor médio do observável L z para o estado H, e a denotamos com o símbolo L z H. Mais geralmente, o valor médio de L z para fótons com uma polarização qualquer P = a P + b P é dado por onde usamos a eq. (5.6). L z P = p(l z = ). + p(l z = ).( ) = ( a b ) = ( a 1 ) (5.15) Observe que N. L z mede o momento angular total absorvido dos fótons, em média, pelo anteparo. Para fótons com polarização horizontal (na verdade, para qualquer polarização linear), essa valor é igual a 0! Já para polarizações mais gerais, essa valor pode variar continuamente desde N até N, dependendo do valor de a. Recorde agora que na descrição da física clássica (seç...1 ), o campo elétrico de um feixe linearmente polarizado oscila sempre ao longo de uma mesma linha reta - e portanto não transmite momento angular a uma partícula carregada. Assim, a previsão quântica para o valor médio coincide com a previsão clássica! Não vamos mostrar aqui em detalhes, mas o mesmo vale para outras polarizações.

9 5.. MECÂNICA QUÂNTICA DE UM FÓTON POLARIZADO Regra IV: estado após uma medida Vimos na Experiência III que, após passar por um polarizador a 45, um fóton antes polarizado na vertical `esquece' essa condição inicial, passando a ter apenas 50% de chance de atravessar um outro polarizador vertical na seqüência. De modo geral, a passagem por um polarizador `apaga' a vida pregressa do fóton: todo fóton que atravessa um determinado polarizador P i têm as mesmas chances de atravessar um polarizador P f posterior, seja qual fosse seu estado antes de chegar a P i. O mesmo ocorre sempre que medimos um observável qualquer: Regra IV (Estado pós-medida): Após medir o observável A, encontrando um certo valor a j, o estado do fóton passa a ser o estado P j correspondente Outra forma de ver essa regra é: se medimos o observável A e encontramos um certo valor a j, uma nova medida de A imediatamente posterior sempre encontrará o mesmo valor novamente (ainda bem!). Naturalmente, essa regra só pode ser aplicada no caso do fóton não ter sido destruído (absorvido) no decorrer do próprio processo de medida! Dentre os exemplos que vimos, a única situação em que isso não aconteceu foi justamente quando o fóton atravessa um ltro polarizador. Embora na prática possa ser difícil medir certos observáveis (como o momento angular do fóton) de forma não destrutiva, em princípio isso sempre pode ser feito. Uma conseqüência da Regra IV é a seguinte: se um fóton inicialmente polarizado no estado P 1 é enviado através de dois polarizadores P e P 3 em seqüência, a probabilidade de atravessar ambos é dada pelo produto das probabilidades de cada passagem separadamente p = P P 1 P 3 P (5.16) onde usamos também a Regra II. Em outras palavras, cada passagem por um novo polarizador é um evento estatisticamente independente do anterior. Note agora que p = a, onde a = P 3 P P P 1 (5.17) é o produto das amplitudes individuais do fóton realizar cada passagem. Em outras palavras, amplitudes também apresentam uma propriedade multiplicativa no caso de eventos estatisticamente independentes. É costume ler uma expressão como essa `da direita para a esquerda', de modo a ela contar a `história' do que o fóton fez: o termo à direita diz que ele começou no estado P 1 e atravessou um polarizador P, e o termo à esquerda diz que em seguida ele atravessou um polarizador P 3. A expressão total representa a amplitude de ele percorrer todo este caminho.

10 38 AULA 5. EXPERIMENTOS COM FÓTONS POLARIZADOS - ANÁLISE FORMAL 5.3 Discussão Interferência entre amplitudes de probabilidade Vamos agora tentar ganhar um pouco de intuição sobre como se comportam as amplitudes de probabilidade, e por que fazem jus a esse nome, analisando o que ocorre nas Experiências III e IV. Vimos no Experimento IV (Interferômetro de Mach-Zehnder) que a probabilidade de um determinado evento ocorrer (no caso, a chegada dos fótons aos detectores D1 ou D dependia de alguma forma de uma interferência entre caminhos possíveis. Mostraremos agora que em que sentido esta interferência ocorre, e que ela é um conseqüência direta da Regra II. Considere por exemplo um fóton preparado em um estado qualquer P = b 1 H + b V, (5.18) o qual é enviado através de um IMZ como na g Lembrando que o interferômetro apenas separa e depois recompõe o estado, a probabilidade do fóton atravessar o DFP orientado a 45, chegando no detector D é simplesmente e a amplitude correspondente é a = P 45 P. Usando as eqs. (3.), (5.18), podemos reescrevê-la na forma p = P 45 P (5.19) a = P 45 P = 1 b b = P 45 H H P + P 45 V V P (5.0) Comparando com a eq. (5.17), vemos que o termo a 1 = P 45 H H P = 1 b 1 corresponde à amplitude do fóton tomar o caminho de baixo no IMZ, atravessando o primeiro divisor de feixe (DFP1), e em seguida atravessar o DFP3 a 45. Da mesma forma, o segundo termo a = P 45 V V P = 1 b 1 corresponde à amplitude do fóton tomar o caminho de cima no IMZ, sendo reetido no DFP1, e em seguida atravessar o DFP3. Vemos assim que se houver mais de um `caminho' possível para o fóton chegar ao detector, sem que haja como dizer que ele tenha tomado um ou outro, a amplitude total será a soma das amplitudes de cada caminho. Essas amplitudes correspondendo a caminhos diferentes podem assim interferir umas com as outras, da mesma forma que as amplitudes de ondas clássicas. Note que o mesmo não é verdade para as probabilidades, já que a probabilidade total do fóton chegar a D é p = P 45 P = 1 ( b 1 + b + b 1b + b b 1 ) (5.1)

11 5.3. DISCUSSÃO 39 mas, pela eq. (5.16), a soma das probabilidades que atribuiríamos para cada caminho separadamente seria p 1 + p = a 1 + a = 1 ( b 1 + b ) p (5.) Essa equação representa matematicamente a conclusão que tiramos da Experiência 4, a saber: não podemos considerar que, ao passar pelo IMZ, o fóton passe exclusivamente por um caminho ou pelo outro (se isso fosse verdade, então as duas equações acima deviam ter o mesmo resultado). Para explicar os efeitos de interferência é preciso que de algum modo cada fóton passe por ambos os caminhos! É importante frisar que quando falamos acima em `mais de um caminho possível' para o fóton, nos referimos a casos em que não há como saber, mesmo em princípio, qual caminho ele tomou. Em outras palavras, não pode haver nenhum registro físico deixado pelo fóton que indique por onde ele passou. Constraste esta situação com a seguinte outra: suponha que haja uma fonte de luz F que às vezes emite fótons horizontais (com probabilidade p 1 = b 1 ), e às vezes verticais (com probabilidade p = b ), sem que você saiba quando cada caso ocorreu. (Por exemplo, a `fonte' pode ser simplesmente um colega seu com dois polarizadores, um dos quais ele escolhe ao acaso colocar em frente a uma lâmpada). Nesse caso, cada fóton realmente toma um caminho ou outro no IMZ, não há interferência, e a probabilidade de um dado fóton chegar a D é dado pela eq. (5.). A diferença fundamental está na origem das probabilidades: aqui elas são do tipo comum na mecânica clássica, ou seja, se devem apenas à sua ignorância sobre o funcionamento da fonte, a qual em princípio pode sempre ser sanada (no exemplo, basta perguntar a seu colega qual polarizador ele usou) Distinguibilidade de Estados Uma outra conseqüência da Regra III é a seguinte: não é possível discriminar com 100% certeza entre dois estados não-ortogonais de polarização de um único fóton. Suponha, por exemplo, que um amigo seu lhe envia um fóton preparado em um dos dois seguintes estados: V ou P 45 - sem lhe avisar qual. Se você tentar usar um polarizador para distinguir qual destes estados foi efetivamente enviado, encontrará problemas. Por exemplo: usando um polarizador vertical, pode ocorrer do fóton atravessar ou não. Neste último caso, você terá certeza que o estado enviado foi P 45 (pois um fóton verticalmente polarizado sempre atravessaria). No primeiro caso, porém, você não saberá qual foi o estado enviado - pois, pela Regra II um fóton no estado P 45 também teria uma chance de 50% de atravessar o polarizador. Usando a mesma regra, é fácil vericar que nenhum outro polarizador permite uma distinção completa entre esses dois estados (ou qualquer outro par de estados não-ortogonais). Pela Regra III, não existe nenhuma outra medida sicamente realizável capaz de realizar essa distinção.

12 40 AULA 5. EXPERIMENTOS COM FÓTONS POLARIZADOS - ANÁLISE FORMAL É importante ressaltar que esta conclusão se refere a medidas sobre um único fóton. Se seu amigo lhe enviar um número N muito grande de fótons identicamente preparados (por exemplo, na forma de um feixe intenso), torna-se possível distinguir os dois estados com certeza quase absoluta: caso estejam polarizados verticalmente, todo o feixe atravessa o polarizador. Caso estejam polarizados a 45, a chance de todos os N fótons atravessarem é de ( 1 ) N, que é praticamente igual a zero para N grande - de modo que é quase impossível confundir os dois estados. Na verdade, podemos esperar estatisticamente que aproximadamente metade dos fótons atravessará, o que torna fácil distinguir as duas possibilidades. No caso de um único fóton, porém, permanece o problema: não importa que propriedade física dos fótons queiramos medir, não podemos distinguir completamente entre dois estados de polarização não-ortogonais.