Técnicas Digitais para Computação

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1 INF 8 Técnicas Digitais para Computação Circuitos Aritméticos Somadores e Subtratores Aula 2

2 . Meio Somador ou Half-Adder (soma 2 bits) S C S = + = C =. S C S C

3 2. Somador Completo ou Full-Adder (soma 3 bits) C in S C out C in FA S C out S = C in + C in + C in + C in C out = C in + C in + C in + C in

4 S C in não há aparentemente nenhuma minimização a fazer no entanto S = C in OR é comutativo e associativo C out : Solução C in C out = + C in + C in = + C in (+)

5 C out : Solução 2 C in C out = + C in ( ) solução é preferível porque usa OR também existente na expressão de S Para comprovar que as 2 soluções são equivalentes C out = + C in ( ) não é = se = e =, mas este caso já é coberto pelo º termo pode-se portanto reduzir + para C out = + C in (+) igual a se =, ou =, ou = e =

6 Circuito obtido a partir das expressões para S e C out S C in C out

7 Se reconhece dois Half-Adders ( s) C in S S 2 2 C C 2 S C out S = C =. S = S 2 = S C in C 2 = S. C in C out = C + C 2

8 3. Somador de N Bits (Ripple Carry Adder) 2 2 C in = C C 2 C 3 FA FA FA 2 S S S 2

9 4. Subtratores Meio Subtrator ( ) D B D = Diferença B = Borrow D = B =.

10 Subtrator Completo : - B in D B out D = B in B out = B in + B in + B in + B in B in B out = + B in + B in = + B in ( + )

11 5. Somador/Subtrator Somador Completo Cin S S = C in C out = + C in ( ) Cout Subtrator Completo D = B in B out = +B in + B in = + B in (+)

12 Pode-se fazer um subtrator usando-se um FA (Full Adder) com: - entrada invertida -C in = Isto corresponde a B in /C in = S/D FA B out / C out + + = 2 s de

13 Somador / Subtrator 2 2 M = SUBTR. = SOMA C in /B in FA FA FA C out /B out S/D S/D S/D

14 6. Somador usando apenas Meio-Somadores (s) (A + B = S) b3 a3 b2 a2 b a b a A a3 a2 a a B b3 b2 b b s4(cout) s3 s2 s s s s s2 s4 s3

15 7. Somador com Carry Look-Ahead (vai( vai-um antecipado) Problema com Somador Ripple Carry e com o somador usando s: _ tempo de propagação do último carry-out (último vai-um ) p.ex. + Existe um carry em cada estágio Bits de carry e soma do último estágio só estão disponíveis após os tempos de propagação dos estágios anteriores 2 2 Cin = C C 2 C 3 FA FA FA 2 S S S 2

16 Alternativa Calcular cada S i diretamente em função de i, i, i -, i -,... construir tabela-verdade implementar circuito com lógica de 2 níveis p.ex. soma com 2 estágios : : : : Cin : S : Vantagem: Tempo de propagação só de 2 portas Desvantagem: Equações muito grandes quando N é grande Exige muitas portas, com muitas entradas

17 Alternativa 2 Um estágio causa carry se a) gerar um carry, pois i = e i = ou b) propagar um carry vindo do estágio anterior C i = e ( i = ou i = ) G i = i. i P i = i i Unidade Somadora mas não ambos, pois então recai-se no caso a C i S i A i B i P i G i

18 Expandindo as Equações para Geração de Carry : P/ Carry Look-ahead de, 2 e 3 estágios C = G + P C C 2 = G + P C = G + P (G + P C ) C 3 = G 2 + P 2 C 2 = G 2 + P 2 (G + P (G + P C )) = G 2 + P 2 G + P 2 P G + P 2 P P C C out = + C in ( ) G P ou seja C 3 = se for gerado carry no estágio 2 (G 2 ), ou for propagado carry pelo estágio 2, gerado no estágio (P 2 G ), ou for propagado carry pelos estágios e 2, gerado no estágio (P 2 P G ), ou for propagado o carry Co (entrada) pelos estágios, e 2 (P 2 P P C )

19 Rede Lógica para o Carry Look-ahead de 3 estágios C P 2 = A 2 B 2 P = A B P = A B P 2 = A 2 B 2 P = A B G = A. B C 3 P 2 = A 2 B 2 G = A. B G 2 = A 2. B 2 Analisando o tempo de propagação: C i em cada estágio tem tempo de propagação de 3 portas C i em cada estágio não depende de C i- C i é calculado em função de A i, B i, A i-, B i-, e C i-3 S i em cada estágio tem tempo de propagação de 4 portas Número de Entradas nas portas AND ou OR ( ou NAND ou NOR): Para N-estágios de Look-Ahead ----> Portas de N+ Entradas! (atraso)

20 Solução intermediária (Com Carry Look-ahead de 4 estágios) por exemplo supondo um somador de 6 bits A -3 B -3 A 4-7 B 4-7 A 2-5 B 2-5 C somador 4 bits com carry antecipado C 4 somador 4 bits com carry antecipado C 2 somador 4 bits com carry antecipado S -3 S 4-7 S 2-5 dentro de cada somador de 4 bits as equações não crescem demais gasto moderado de portas e entradas tempo de propagação = 4 x tempo de um somador com carry antecipado