FUNÇÃO: MOTIVAÇÃO FUNÇÃO: MOTIVAÇÃO FUNÇÃO: MOTIVAÇÃO. Bacharelado em Ciência e Tecnologia Bacharelado em Ciências e Humanidades

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1 Bacharelado em Ciência e Tecnologia Bacharelado em Ciências e Humanidades BC 0005 Bases Computacionais da Ciência Representação Gráfica de Funções FUNÇÃO: MOTIVAÇÃO Vários fenômenos naturais e físicos podem ser modelados (caraterizados, descritos) por meio de funções matemáticas Nesses casos, as suas representações gráficas serão importantes ferramentas de análise, para os seus entendimentos e suas previsões Prof a Maria das Graças Bruno Marietto graca.marietto@ufabc.edu.br 1 2 FUNÇÃO: MOTIVAÇÃO Os governos Lula/Dilma em gráficos e números: Índices econômicos e sociais %C3%ADndices-econ%C3%B4micos-e-sociais-nos-13-anos-degoverno-PT-no-Brasil FHC vs Lula/Dilma, um quadro comparativo FUNÇÃO: MOTIVAÇÃO Descrição do movimento de um corpo, em MRU, sob condições iniciais impostas: s = s o + v o t+1/2at 2 onde s é a posição atual, no momento t, do corpo. Tomando s 0 = 0, v 0 = 20 m/s, a = - 5 m/s 2 obtemos: s = 20t-2.5t 2 A atual situação do Brasil, com relação ao mapa da pobreza Brasil-saiu-do-Mapa-da-Fome.-E-por-que-ele-pode-voltar 3 4

2 FUNÇÃO: MOTIVAÇÃO O estudo de funções decorre da necessidade de: o Analisar fenômenos, visualizando o comportamento de um sistema o Interpretar interdependências, entendendo como uma variável comporta-se com relação à outra o Encontrar soluções de problemas o Descrever regularidades o Generalizar PARTE PRÁTICA 5 6 SCILAB O que é o Scilab: é um software para efetuar cálculos matemáticos avançados, para a resolução de problemas matemáticos conta com várias bibliotecas, entre elas a de funções matemáticas prontas possui recursos gráficos avançados de fácil exploração e manipulação possui um ambiente de programação que permite a criação de novas funções ou bibliotecas pelo usuário Criado e mantido pelo INRIA ( SCILAB x MATLAB Scilab Disponível em Software com código livre e distribuição gratuita Scilab Consortium: intenção de expansão Há outras ferramentas computacionais que também podem ser utilizadas para a construção de gráficos, como por exemplo Matlab e Octave Matlab Software comercial e pago ($) Padrão no meio acadêmico (ensino e pesquisa) e indústria 7 8

3 SCILAB: Inicialização A partir da janela denominada Console, o usuário recebe uma mensagem do fabricante e um pequeno prompt de comando aguardando alguma ação Scilab: Inicialização 9 Prompt do Scilab é representado por uma seta --> 10 SCILAB: Inicialização OBS: Na janela Console visualizamos as opções: 11 SCILAB A interação do usuário com o Scilab pode ocorrer de duas formas distintas Na primeira, os comandos são digitados diretamente no prompt do Scilab: Ao ser pressionada a tecla Enter, os comandos digitados são interpretados e imediatamente executados O Scilab funciona como uma sofisticada e poderosa calculadora Na segunda forma, um conjunto de comandos é digitado em um arquivo texto Este arquivo, em seguida, é levado para o ambiente Scilab e executado Neste modo, o Scilab funciona como um ambiente de programação 12

4 SCILAB 14/39 Scilab é caso sensitivo Diferencia caracteres maiúsculos de minúsculos Assim, por exemplo, a variável a é diferente da variável A Scilab: Variáveis e Comando de Atribuição 13 SCILAB: VARIÁVEIS E COMANDO DE ATRIBUIÇÃO Digitando o comando: Estamos criando uma variável real chamada x, cujo valor é igual a 2 O comando ponto-e-vírgula (;) ao final da instrução não é obrigatório. Caso ele não seja colocado, a variável será apresentada na tela: Em programas computacionais precisamos armazenar informações para utilizarmos durante a execução do programa Armário Memória do computador VARIÁVEIS 3000:B :12EC Comando de atribuição: = é usado para atribuir, ou modificar, a informação contida na variável 15

5 VARIÁVEIS As linguagens de programação permitem que os usuário atribuam nomes para as posições de memória da máquina nome VARIÁVEIS Uma variável é um endereço da memória de acesso randômico (RAM), representada por um nome (rótulo), criado pelo usuário, cujo conteúdo pode se alterar no decorrer do programa nome Armário Memória do computador idade nacionalidade profissao Uma variável é composta por dois elementos: Identificador: nome dado pelo programador à variável Conteúdo: valor atual da variável VARIÁVEIS Identificador nome Maria Carla nome idade Identificador idade 17 nacionalidade Scilab: Operadores Aritméticos Identificador nacionalidade profissao brasileira Identificador profissao estudante Uma variável assume apenas UM valor por vez 20

6 SCILAB: Operadores Aritméticos Operadores aritméticos: Adição (+) Subtração (-) Multiplicação (*) Divisão (/) Potência (^) Ordem de execução entre os operadores aritméticos: SCILAB: Variáveis Veremos agora como, cada vez que mencionarmos o nome de uma variável, estaremos na verdade acessando o seu conteúdo: um endereço para um espaço na memória RAM Esta operação define y como sendo uma variável com valor igual ao valor de x mais cinco. Ou seja, y terá um valor igual a 7 Neste caso, z será igual à multiplicação dos valores guardados em x e y. Ou seja, z será igual a Aqui, w será igual à divisão dos valores guardados em z e x. Ou seja, w será igual a 7 22 SCILAB: Variáveis É possível, também, realizar operações matemáticas sem utilizar uma variável para armazenar o resultado Scilab: Variáveis Especiais 24

7 Variáveis Especiais Existem variáveis que assumem valores pré-definidos no Scilab. Elas podem ser vistas através do comando who Essas variáveis são protegidas e não podem ser apagadas Variáveis Especiais Algumas destas variáveis especiais são pré-fixadas com o caracter % Dentre estas variáveis cita-se: %i, %e, %pi O valor de %i representa a unidade de números imaginários. Não é possível representar como número real %e representa o número de Euler %pi representa resulta da divisão do perímetro pelo diâmetro de um círculo Funções Matemáticas Scilab: Funções Matemáticas O Scilab possui várias funções matemáticas que podem ser facilmente utilizadas, como por exemplo: sqrt(x) abs(x) log(x): logaritmo natural (ln) cos(x): cosseno exp(x): exponencial A função exp() representa a exponencial natural Ou seja, exp(x) = e x Para calcular logaritmo na base 10 utilize o comando: log10(x) 27 28

8 Funções Matemáticas Funções Trigonométricas Em Scilab, as entradas das funções trigonométricas são dadas em radianos, e não em graus. Por exemplo: sin(x) seno em radianos cos() - cosseno em radianos tan() - tangente em radianos Desta forma, para calcular seno de 30º é preciso transformar 30º em radiano. Por regra de três, temos: 90º -- %pi/2 30º -- y y=30*(%pi/2)/90 30 SCILAB: Precisão CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS EM DUAS DIMENSÕES 31 32

9 Passos para a Construção de Gráficos GRÁFICO DA FUNÇÃO SENO(X) O que precisamos para construir um gráfico no Scilab: 1. Definir os valores de x, correspondentes ao domínio da função 2. Calcular os valores da imagem da função, f(x) 3. Fazer o gráfico f(x) por x Definição do Domínio da Função 1. Definição do Domínio da Função Vamos considerar a função: No intervalo x [0;2π] Sempre que desejamos produzir um gráfico de uma função, precisamos, primeiramente, definir em quais pontos gostaríamos de visualizar a função, ou seja, para quais valores de x (o domínio da função) No Scilab existem duas formas para se definir estes valores: o Definindo diretamente os pontos x nos quais queremos plotar a função o Definindo um intervalo de valores de x no qual queremos plotar a função. OBS: Nesta aula será usada esta definição dos pontos 35 Iremos definir para a função seno(x) um intervalo de valores de x no qual queremos plotar a função Vamos usar o intervalo [0;2π]. Assim, para definir x, podemos usar o seguinte comando em Scilab: Tal instrução criará um vetor x cujo primeiro valor será igual ao primeiro valor do intervalo. O segundo valor será dado pelo valor anterior somado ao valor do passo. Isto irá repetir-se até que o valor da soma seja igual ou menor do que o último valor do intervalo 36

10 1. Definição do Domínio da Função Por exemplo, considere o seguinte comando: Que irá resultar no vetor: x=[ ] Obs 1: Observe que x é um vetor, contendo os valores do domínio da função 2. Definição da Imagem da Função Tendo criado um vetor x, precisamos agora encontrar os valores de f(x) nestes pontos. Para tanto, utilizamos o seguinte comando: Gera um vetor f cujos elementos são dados pelo seno dos elementos definidos em x Obs 2: O passo definido para a variação de x irá definir a precisão do gráfico da função. Neste exemplo, o passo é igual q 0.01, o que significa que teremos uma boa precisão na criação do gráfico Geração do Gráfico da Função Finalmente, podemos fazer o gráfico utilizando o comando: O primeiro parâmetro referese ao eixo das abscissas (eixo x), e o segundo ao eixo das ordenadas (eixo y) 3. Geração do Gráfico da Função Para utilizarmos o comando plot(), precisamos definir DOIS VETORES x e f (por exemplo). Esses vetores serão empregados como argumentos do comando plot(x,f) Os vetores x e f devem ter a mesma dimensão, ou seja, o mesmo número de elementos

11 Gráficos de Função Resumindo o que foi visto até aqui, produzimos o gráfico utilizando a seguinte seqüência de instruções: COLOCAR NOME NOS EIXOS Gráficos de Função Para colocar nomes nos eixos dos gráficos podemos utilizar propriedades tais como: color: define a cor do texto; font_size: é um escalar especificando o tamanho dos caracteres exibidos; position: este vetor 2d permite posicionar o rótulo na tela. A posição é armazenada em unidades de dados dos eixos. Gráficos de Função Para colocar nomes nos eixos dos gráficos podemos usar os comandos: clf x=0:0.01:2*%pi; f=sin(x); plot(x,f) xlabel('eixo X', 'fontsize', 4, 'color', 'red') ylabel('eixo Y', 'fontsize', 6, 'color', 'blue') title('função f(x)=seno(x)','fontsize',4,'color','red') 43 44

12 Gráficos de Função GRÁFICOS DE FUNÇÕES: OPERAÇÕES ENTRE VETORES ELEMENTO-A-ELEMENTO Cuidado Especial: Operações entre Vetores Cuidado Especial: Operações entre Vetores Um cuidado especial precisa ser considerado ao plotar gráficos de funções que envolvam multiplicação, divisão ou exponenciação de vetores É preciso informar ao Scilab que ele deve fazer as operações de multiplicação, divisão e exponenciação elemento-a-elemento do vetor 47 48

13 Cuidado Especial: Operações entre Vetores Vamos considerar, por exemplo, a função: f(x)=xe x no intervalo x [0; 1] GRÁFICO DA FUNÇÃO f(x)=xe x Seguindo os passos discutidos anteriormente, temos: 1) Criação de um vetor de valores para x Cuidado Especial: Operações entre Vetores 2) Cálculo de f(x) Para conseguir o resultado de f(x)=xe x corretamente, precisamos utilizar a seguinte instrução: Gráfico da Função f(x)=xe x Ou seja, o operador multiplicação precisa ser precedido de um ponto 51 52

14 GRÁFICO DA FUNÇÃO f(x)=x 2 Cuidado Especial: Operações entre Vetores Lembre-se de colocar um ponto na frente das operações de multiplicação, divisão ou exponenciação, quando houver um vetor como parâmetro. Considere, como exemplo, a função: f(x)=x 2 no intervalo x [0; 10] Scilab: Comando clf() Para limpar a tela gráfica, evitando que o próximo gráfico sobreponha-se ao anterior, utilize o seguinte comando: oclf COMANDO CLF()

15 SALVAR A IMAGEM DO GRÁFICO EM UM ARQUIVO 57 Salvar a Imagem de uma Função Para salvar a imagem do gráfico de uma função: 1) Escolha a opção Arquivo/ Exportar para... 2) Logo depois, escolha um nome para o arquivo e clique no botão Salvar 58 Salvar a Imagem de uma Função Para salvar a imagem do gráfico de uma função: 1) Escolha a opção Arquivo/ Exportar para... 2) Logo depois, escolha um nome para o arquivo e clique no botão Salvar 59 CUSTOMIZAÇÃO RÁPIDA DE LINHAS DE UM GRÁFICO 60

16 Gráfico da Função f(x)=x 2-4x+3 GRÁFICO DA FUNÇÃO f(x)=x 2-4x+3 Vamos criar o gráfico da função f(x)=x 2-4x+3 Os valores de x (domínio da função) devem estar no intervalo -3 x 6, com os valores variando de 0.5 Para tanto, os seguintes comandos são utilizados: Customização das Linhas do Gráfico LineSpec é um argumento opcional que pode ser utilizado dentro de um comando plot() para customizar os aspectos de cada linha nova Deve ser fornecido uma string concatenada contendo as informações sobre: o cor o estilo de linha o marcas É muito útil para especificar de forma rápida estas propriedades de linhas básicas Gráfico da Função f(x)=x 2-4x+3 Vamos criar o gráfico da função f(x)=x 2-4x+3 Os valores de x (domínio da função) deve estar no intervalo -3 x 6, com os valores variando de 0.5 Definição do estilo da linha do gráfico: o Estilo da linha (sólida - padrão): - o Cor vermelha: r o Marcador de cada ponto:

17 Gráfico da Função f(x)=x 2-4x+3 Gráfico da Função f(x)=x 2-4x+3 Vamos criar o gráfico da função f(x) = x 2-4x+3 Os valores de x (domínio da função) deve estar no intervalo - 3 x 6, com os valores variando de 0.5 Definição do estilo da linha do gráfico: o Estilo da linha (tracejada): -- o Cor azul: b o Marcador de cada ponto (triângulo para cima): ^ Gráfico da Função f(x)=x 2-4x+3 Lista Completa de Parâmetros para Configurar a Linha de um Gráfico

18 GRÁFICOS COM EIXOS CARTESIANOS CENTRADOS NA ORIGEM Eixos Cartesianos Centrados na Origem Com a definição dos eixos cartesianos centrados na origem, para a criação de um gráfico, é possível identificar de maneira visual os zeros de uma função Ou seja, é possível identificar as raízes de uma função Eixos Cartesianos Centrados na Origem A seguir são apresentados os comandos para colocar os eixos cartesianos centrados na origem da função f(x)=x 2-4x+3: GRÁFICO DA FUNÇÃO f(x)=x 2-4x+3 Chamada da biblioteca gráfica do Scilab Posicionamentos dos eixos na origem do sistema cartesiano

19 Eixos Cartesianos Centrados na Origem A seguir são apresentados os comandos para colocar os eixos cartesianos centrados na origem da função f(x)=x 2-4x+3: ENCONTRAR AS RAÍZES DE UMA FUNÇÃO Raízes de uma Função Para visualizar intuitivamente as raízes de uma função, siga os passos: 1.Plote o gráfico da função 2.Coloque os eixos cartesianos centrados na origem 3.De um zoom no gráfico gerado, para poder visualizar o valor mais aproximado de x de uma raiz 1. Role o botão do lado esquerdo do mouse 4.Anote o valor de x encontrado no passo anterior 5.Desenhe uma marca colorida nas raízes 6.Faça os passos 3 e 4 para todas as raízes que forem identificadas no gráfico Raízes de uma Função A seguir tem-se os passos para se encontrar as raízes da função f(x)=x 2-4x+3 Plotar o gráfico e colocar os eixos cartesianos centrados na origem 75 76

20 Raízes de uma Função A seguir tem-se os passos para se encontrar as raízes da função f(x)=x 2-4x+3 Dar um zoom no gráfico gerado, na área de uma das raízes, e anotar o valor de x Raízes de uma Função A seguir tem-se os passos para se encontrar as raízes da função f(x)=x 2-4x+3 Dar um zoom no gráfico gerado, na área de uma das raízes, e anotar o valor de x X=1 X= Raízes de uma Função A seguir tem-se os passos para se encontrar as raízes da função f(x)=x 2-4x+3 Desenhar uma marca colorida nas raízes Raízes de uma Função A seguir tem-se os passos para se encontrar as raízes da função f(x)=x 2-4x+3 Desenhar uma marca colorida nas raízes 79 80

21 Pontos de Intersecção ENCONTRAR PONTOS DE INTERSECÇÃO ENTRE FUNÇÕES Determine os pontos de intersecção entre as funções: 2x -x 2 +4x Desenhe as funções e identifique a interseção entre ambas funções. Para resolver esta questão é necessário a realização de quatro passos, descritos a seguir Pontos de Intersecção Quais os pontos de intersecção entre as funções 2x e -x2+4x? Para responder a esta questão de maneira gráfica e intuitiva, faça o gráfico destas duas funções e centralize o eixo de coordenadas na origem (0,0) Pontos de Intersecção Quais os pontos de intersecção entre as funções 2x e -x2+4x? O segundo passo é usar o comando find() para encontrar índices de elementos verdadeiros em uma matriz ou vetor de booleanos Tolerância pequena Que valores são estes? Índices do vetor x que respeitam a proposição abs(y1-y2) <

22 Pontos de Intersecção Quais os pontos de intersecção entre as funções 2x e -x2+4x? O terceiro passo é obter o valor dos elementos de x (abscissas) que estão alocados nos índices encontrados pelo comando find() Pontos de Intersecção Quais os pontos de intersecção entre as funções 2x e -x2+4x? A resposta aproximada a esta questão é a seguinte: os valores do eixo x (abscissas) de interseção entre estas duas funções são x=0 e x=2 Valores de x (abscissas) 85 Valores de x (abscissas) nas posições 51 e 71, respectivamente 86 Pontos de Intersecção Pontos de Intersecção Quais os pontos de intersecção entre as funções 2x e -x2+4x? O quarto passo é obter o valor dos elementos de y (ordenadas) que estão alocados nos índices encontrados pelo comando find() Quais os pontos de intersecção entre as funções 2x e -x2+4x? A resposta aproximada a esta questão é a seguinte: os valores do eixo y (ordenadas) de interseção entre estas duas funções são y=0 e y=4 Valores de y1 (ordenadas) nas posições 51 e 71, respectivamente Valores de y2 (ordenadas) nas posições 51 e 71, respectivamente 87 88

23 Pontos de Intersecção Quais os pontos de intersecção entre as funções 2x e -x2+4x? Por fim, a resposta aproximada a esta questão é a seguinte: Os pontos de intersecção entre as duas funções são (0,0) e (2,4) SCILAB: Outros Comandos Comando xgrid() LINHAS DE GRADE EM UM GRÁFICO Para colocar as linhas de grade no gráfico, podemos usar o comando: xgrid([style]) onde style é um número inteiro que identifica o tipo de tracejado, ou de cor, utilizado para o esboço do grid

24 Comando xgrid() COMANDO SIZE() Comando size() Para sabermos quantos elementos tem um vetor, usamos o comando size() O comando size(x) identifica que o vetor x tem 1001 elementos O comando size(f) identifica que o vetor f tem 1001 elementos CONFIGURAS x_tickse y_ticksdos EIXOS DE UM GRÁFICO 95 96

25 Configurar x_ticks e y_ticks Configurar x_ticks e y_ticks Comandos para Gráficos GRÁFICOS MAIS ELABORADOS Gráficos bidimensionais mais elaborados podem ser construídos com as funções: plot2d plot2d2(): função degrau plot2d3(): gráficos 2D com barras verticais plot2d4(): gráficos 2D com setas Além destes comandos para gráficos bidimensionais, o comando plot3d() é indicado para a representação de dados em três dimensões

26 ATIVIDADE EM AULA DESAFIO A empresa COLKS é a uma indústria automobilística de um país, cuja moeda oficial é o dubila O lucro mensal da COLKS é uma função do número de carros produzidos no mês Ela tem um custo fixo de 50 dubilas e um custo variável em função do número de carros produzidos no mês Usando NC para definir o número de carros produzidos em um mês, o custo variável é dado por 48(NC) 0,9. Vamos considerar que a empresa COLKS venda cada carro por 52 dubilas. Assim, o seu lucro L mensal é dado pela função: 101 L = 52NC 48NC 0, ATIVIDADE EM AULA ATIVIDADE EM AULA 1. Usando o Scilab, determine o lucro L da empresa COLKS ao produzir NC=1, NC=4, NC=8 e NC=10 carros. Interprete os resultados que você obteve 2. Faça um gráfico de L em função de NC para 0 NC 20. A partir de quantos carros mensalmente vendidos a COLKS começa a ter lucro? Coloque os eixos cartesianos centrados na origem 3. Analisando o gráfico, quantos carros a COLKS tem que produzir no mês para ter um lucro de cerca de 100 dubilas?

27 ATIVIDADE EM AULA ATIVIDADE EM AULA SCILAB: HELP REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE FUNÇÕES