Análise de turbinas de eixo horizontal com o modelo da linha sustentadora

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1 Análise de turbinas de eixo horizontal com o modelo da linha sustentadora Daniela Brito Melo Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em Engenharia Mecânica Orientadores: Prof. José Alberto Caiado Falcão de Campos Dr. João Manuel Ribeiro da Costa Baltazar Júri Presidente: Prof. Viriato Sérgio de Almeida Semião Orientador: Prof. José Alberto Caiado Falcão de Campos Vogal: Prof. Luís Manuel de Carvalho Gato Dezembro 2016

2 Agradecimentos Agradeço em primeiro lugar aos meus orientadores, Professor José Falcão de Campos e Doutor João Baltazar, pela oportunidade de desenvolver este trabalho, por tudo o que me ensinaram e pela constante disponibilidade. Queria também agradecer à minha família, por todo o apoio e alegria. Em particular aos meus pais e ao meu irmão, Natalina Melo, António Melo e Ricardo Melo. Agradeço à família Moniz Cabral, pelo carinho e por todos os contributos na elaboração desta dissertação. Agradeço aos meus colegas e amigos, em particular à Clarinha por estar presente em todas as minhas recordações dos últimos anos. Por fim, agradeço ao Pedro Cabral, pelas incontáveis, preciosas e longas revisões, pela sua lealdade e pela sua amizade. i

3 Resumo A análise estacionária do escoamento em torno de uma turbina de eixo horizontal é fundamental para o projeto da mesma, em particular para o cálculo do binário e da força axial. Nesta dissertação apresenta-se um modelo de análise invíscido, onde a força de sustentação é modelada pela teoria da linha sustentadora e a força de resistência por um modelo de fontes. A formulação parte das equações da continuidade e de transporte de quantidade de movimento linearizada. Assume-se que as pás podem ser modeladas por linhas com forças concentradas e, assim, obtêm-se paralelamente a teoria da linha sustentadora e o modelo de fontes. Numa abordagem não linear, a teoria da linha sustentadora pressupõe uma esteira de vórtices alinhada com o campo de velocidades. Tendo em conta a influência da geometria da esteira nas previsões do desempenho da turbina, propõe-se um esquema de alinhamento que dispensa a utilização de parâmetros experimentais e que pretende ser uma alternativa às esteiras de passo constante. Analisa-se a convergência do método numérico e são apresentados os resultados para uma esteira alinhada em duas e em três secções. Os resultados numéricos são comparados com os resultados experimentais referentes à turbina ensaiada pelo laboratório NREL. A teoria da linha sustentadora com o esquema de alinhamento da esteira permite obter distribuições dos coeficientes de força próximas das evoluções experimentais. Considerando o modelo de fontes é possível analisar a turbina em condições de perda aerodinâmica e obter evoluções para o coeficiente de potência consistentes com os resultados experimentais. Palavras-chave: Turbina eólica, teoria da linha sustentadora, alinhamento da esteira, modelo de fontes. ii

4 Abstract The steady state analysis of the flow around horizontal axis wind turbines is of the utmost importance for its design, particularly for the determination of torque and thrust. The lift and drag forces are simulated by the means of an inviscid fluid model that couples the lifting line theory with a source model. The continuity and the linearized momentum equations are the foundation of an analytical development that naturally leads to these models. The fluid-blade interaction is modelled by a concentrated force acting on a line. If this force is assumed to be perpendicular to the incoming velocity the traditional lifting line theory arises. On the other hand, if one assumes they are parallel a source model is naturally obtained. The sheded vorticity is supposed to be aligned with the local velocity field. Rigid wake models or semi-empirical wakes are used in some lifting line codes. The strong relation between the reliability of the results and a proper alignment of the vortex wake is well known and documented. Hence, a non-linear vortex wake alignment scheme is herewith proposed. A convergence study is presented as well as the results for two and three alignment positions. The numerical results are compared to the NREL turbine experimental data. The lifting line theory coupled with the non-linear vortex wake alignment scheme successfully predicted the force coefficients evolution. The source model allows the analysis in stall conditions and effectively calculated the power coefficient progression. Keywords: wind turbine, lifting line theory, wake alignment, source model. iii

5 Índice Agradecimentos... i Resumo...ii Abstract... iii Lista de tabelas... vii Lista de figuras... viii Lista de símbolos... xi 1 Introdução Breve introdução às turbinas de eixo horizontal Estado da arte A teoria da linha sustentadora e a sua aplicação a turbinas de eixo horizontal Outros métodos numéricos de análise Motivação Objetivos Modelo Matemático Formulação da teoria da linha sustentadora Campo de velocidades induzidas Força de sustentação e coeficientes de força e de potência Modelação do escoamento induzido por uma pá em rotação: teoria linear Velocidade induzida por uma superfície impermeável Velocidade induzida por uma força concentrada numa linha em movimento Velocidade induzida por uma força perpendicular à velocidade iv

6 2.2.4 Velocidade induzida por uma força tangente à velocidade Formulação do modelo de fontes Campo de velocidades induzidas Força de resistência Modelação do efeito do cubo Modelo Numérico Modelo da malha de vórtices Discretização da linha sustentadora Cálculo da velocidade induzida pelo sistema de vórtices Modelação da esteira Introdução do efeito do cubo Modelo discreto de fontes Processo iterativo Análise dos Resultados Geometria da turbina e condições do escoamento Convergência dos resultados com a discretização da esteira de vórtices Convergência da solução com a discretização da linha sustentadora Alinhamento da esteira de vórtices em múltiplas secções Alinhamento da esteira em duas secções ( ) Alinhamento da esteira em três secções ( ) Análise das velocidades induzidas radiais Análise do desempenho da turbina com o modelo de fontes Comparação com os resultados experimentais Conclusão Referências bibliográficas Anexos A Representação de um campo vetorial a partir da sua divergência e rotacional v

7 B Velocidade induzida por um filamento de vórtice e uma folha de vórtices C Velocidade induzida por um campo de forças externo (teoria linear) D Velocidade induzida por uma força externa, concentrada numa linha, em movimento segundo uma superfície helicoidal E Escoamento induzido por forças distribuídas em superfícies e concentradas num ponto F Velocidade induzida por uma força concentrada numa linha, alinhada com a velocidade G Velocidade induzida por um segmento de vórtice e de fontes de intensidade constante H Distribuição de corda e de ângulo de passo da turbina NREL e coeficientes aerodinâmicos do perfil S vi

8 Lista de tabelas 4.1 Condições de funcionamento a utilizar nas simulações numéricas Coeficiente de potência,, para diferentes alinhamentos da esteira. 48 H.1 Distribuição radial de corda e de ângulo de passo da turbina NREL. 81 H.2 Coeficientes aerodinâmicos do perfil S809 para. 82 H.3 Coeficientes aerodinâmicos do perfil S809 para. 83 vii

9 Lista de figuras 1.1 Turbina éolica de eixo horizontal Turbina de eixo horizontal com três pás: representação dos sistemas de coordenadas e dos vetores velocidade Representação da linha sustentadora e respetiva folha de vórtices arrastados Triângulo de velocidades e de forças Projeção da superfície em Superfície de referência, superfície sustentadora e respetiva projeção Linha em movimento segundo uma superfície helicoidal Representação de um dipolo pontual e respetivo vórtice concentrado Sistema de vórtices (escoamento induzido por uma força perpendicular a ) Superfície de dipolos (escoamento induzido por uma força alinhada com ) Tubos de vórtices (escoamento induzido por uma força alinhada com ) Linha de fontes, linha de poços e superfície de corrente (escoamento induzido por uma força alinhada com ) Representação da linha de fontes e da respetiva superfície de corrente Tubo de vórtices em Velocidade induzida por um tubo de vórtices semi-infinito Cascata de pás: representação da dimensão. 29 viii

10 2.16 Escoamento induzido por um vórtice concentrado e um cilindro infinito Linha sustentadora discretizada e filamentos de vórtices arrastados (malha de vórtices) Esteira de vórtices arrastados: representação das secções de alinhamento Esquema computacional: modelo da linha sustentadora e modelo de fontes com alinhamento da esteira Evolução dos coeficientes aerodinâmicos em função do ângulo de ataque para e (dados experimentais da OSU) Coeficiente de potência,, para diferentes níveis de discretização e truncatura da esteira ( ) Distribuição radial de circulação, ângulo de ataque e velocidades induzidas para diferentes níveis de discretização. Truncatura da esteira a Coeficiente de potência,, para diferentes níveis de discretização da linha, considerando distribuição uniforme e do tipo coseno ( ) Distribuição radial de circulação e das velocidades induzidas para diferentes níveis e tipos de discretização da linha sustentadora ( ) Distribuição radial do passo nas secções de alinhamento (a) e módulo do erro absoluto ao longo das iterações (b) Distribuição radial da velocidade induzida tangencial nas secções de alinhamento (a) e módulo do erro absoluto ao longo das iterações (b) Vista lateral da esteira de vórtices relativa à linha sustentadora para as duas situações de alinhamento Distribuição radial de circulação, ângulo de ataque e velocidades induzidas para uma esteira alinhada na linha ( ) e uma esteira alinhada na linha e na secção ( ) Distribuição radial do passo nas secções de alinhamento (a) e módulo do erro absoluto ao longo das iterações (b) Distribuição radial da velocidade induzida tangencial nas secções de alinhamento (a) e módulo do erro absoluto ao longo das iterações (b). 49 ix

11 4.12 Distribuição radial da velocidade induzida radial nas secções de alinhamento: a) alinhamento em duas secções ( ), b) alinhamento em três secções ( ) Distribuição radial das velocidades induzidas pelas linhas de fontes para Distribuição radial da circulação, ângulo de ataque e coeficientes de força para diferentes considerando uma esteira de passo constante, alinhada na linha, e o modelo de fontes Distribuição radial das velocidades induzidas para diferentes considerando uma esteira de passo constante, alinhada na linha, e o modelo de fontes Comparação das previsões do binário e do coeficiente de potência com os resultados experimentais para três condições de funcionamento. As medições experimentais são representadas com o respetivo desvio-padrão Variação radial dos coeficientes de força normal e tangencial para. As medições experimentais são representadas com o respetivo desvio-padrão Variação radial dos coeficientes de força normal e tangencial para. As medições experimentais são representadas com o respetivo desvio-padrão Variação radial dos coeficientes de força normal e tangencial para. As medições experimentais são representadas com o respetivo desvio-padrão. 57 D.1 Linha em movimento (helicóide). 67 E.1 Força aplicada numa superfície. 71 E.2 Divergenceless dipole. 72 E.3 Vórtice concentrado em. 73 G.1 Segmento de vórtice retilíneo e ponto de cálculo. 77 G.2 Segmento de fontes retilíneo e ponto de cálculo. 79 H.1 Turbina NREL no túnel de vento da NASA. 81 x

12 Lista de símbolos Romanos Área perpendicular ao eixo do dipolo Projeção de em Superfície sustentadora Passo Matriz dos coeficientes das velocidades induzidas pelos vórtices relativa à direção axial,, ou tangencial, Coeficiente de resistência Coeficiente de sustentação Coeficiente de força normal à corda do perfil Constante que define a carga da pá assumindo distribuição ótima de circulação Coeficiente de potência Coeficiente de força axial Coeficiente de força tangencial à corda do perfil Corda da secção da pá Diâmetro do rotor da turbina Módulo da força de resistência por unidade de comprimento ao longo da envergadura Função solução fundamental do operador laplaciano Versor tangente a um segmento de vórtice, orientado de 1 para 2 Versor tangente à superfície e orientado segundo xi

13 Versor tangente ao escoamento local Versor diretor da velocidade induzida por um segmento de vórtice Versores diretores nas direções Versores diretores nas direções Versores diretores nas direções, e e e Resultante das forças mássicas por unidade de volume Módulo do vetor força por unidade de comprimento; impulso da força Vetor força por unidade de comprimento; vetor força pontual e impulsiva Superfície de corrente semi-infinita relativa à linha de fontes Superfície de referência solidária ao escoamento de aproximação Distância medida na perpendicular à superfície de dipólos Linha de fontes relativa à pá Variável de integração ao longo de uma linha Módulo da força de sustentação por unidade de comprimento ao longo da envergadura Força de sustentação por unidade de comprimento ao longo da envergadura Linha de força concentrada relativa à superfície Linha sustentadora relativa à pá Filamento de vórtice livre Caudal emitido por unidade de comprimento ao longo da linha de fontes Número de elementos em que se discretiza uma linha Número de elementos em que se discretiza um filamento de vórtice livre Número de setores circulares em que se discretiza uma rotação das pás Número de secções de alinhamento Pressão relativa Vetor posição xii

14 Módulo do binário Binário Raio do rotor da turbina Módulo do vetor que une o ponto de integração ao ponto de cálculo Distância entre o ponto de cálculo e a origem do referencial Número de Reynolds Vetor que une o ponto de integração ao ponto de cálculo Distância entre o ponto de cálculo e um ponto sobre a linha Distância entre o ponto de cálculo e um ponto em Coordenada radial dos pontos de controlo Raio do cubo Coordenada medida ao longo da trajetória helicoidal Superfície helicoidal varrida pela linha Matriz dos coeficientes das velocidades induzidas pelo sistema de fontes relativo à direção axial,, ou tangencial, Folha de vórtices relativa à linha sustentadora Módulo da força axial Força axial Tempo Módulo da velocidade do escoamento de aproximação Velocidade do escoamento de aproximação Módulo da velocidade do escoamento de aproximação relativo Velocidade do escoamento de aproximação relativo Velocidade da linha no referencial solidário com o escoamento de aproximação Componentes axial, da envergadura e tangencial da velocidade induzida pelo sistema de fontes em pontos sobre a linha de fontes xiii

15 Componentes da velocidade induzida pelo sistema de fontes nas direções Componentes da velocidade induzida pelo sistema de fontes nas direções e e Velocidade induzida pelo sistema de fontes Velocidade induzida pela linha de fontes Componente do vetor no plano da secção do perfil Velocidade total Componentes axial, da envergadura e tangencial da velocidade induzida pelo sistema de vórtices em pontos sobre a linha sustentadora Componentes da velocidade induzida pelo sistema de vórtices nas direções Componentes da velocidade induzida pelo sistema de vórtices nas direções Componentes da velocidade induzida por uma linha de fontes nas direções, e e e Velocidade induzida pelo sistema de vórtices Velocidade induzida pela linha sustentadora e respetiva folha de vórtices Coordenada axial das secções de alinhamento Coordenada axial da última secção de alinhamento Coordenada axial da secção de truncatura da esteira Coordenadas cilíndricas no referencial cartesiano solidário com as pás Coordenadas cilíndricas no referencial cartesiano solidário com o escoamento de aproximação Coordenadas no referencial cartesiano solidário com as pás Coordenadas no referencial cartesiano solidário com o escoamento de aproximação Projeção de em Superfície sustentadora finita, flexível e impermeável Número de pás da turbina xiv

16 Gregos Ângulo de ataque Ângulo de passo do escoamento não perturbado Ângulo de passo hidrodinâmico Intensidade dos tubos de vórtices Módulo da intensidade de um filamento de vórtice livre Intensidade de uma folha de vórtices; intensidade de um filamento de vórtice livre Incremento de uma dada quantidade Parâmetro de linearização Tolerância numérica para o erro relativo do ângulo de passo hidrodinâmico Tolerância numérica para o erro relativo do passo e da velocidade induzida tangencial Fator de sub-relaxação do ciclo iterativo do ângulo de passo hidrodinâmico Fator de sub-relaxação do ciclo iterativo de alinhamento Coordenadas do ponto de integração no referencial cartesiano solidário com o escoamento de aproximação; coordenadas locais do segmento de fontes Coordenadas cilíndricas do ponto de integração no referencial cartesiano solidário com o escoamento de aproximação Parâmetro adimensional de velocidade periférica (tip speed ratio, ) Viscosidade cinemática do fluido Massa volúmica do fluido Variável de integração medida ao longo de Variável de integração no tempo Módulo do vetor circulação Vetor circulação Posição angular da linha Ângulo entre a linha de vórtices e a reta que une o ponto de cálculo a um ponto da linha xv

17 Posição angular das linhas sustentadoras/linhas de fontes Deslocamento angular das pás da turbina Posição axial da linha Ângulo de passo da secção Módulo da velocidade angular das pás Velocidade angular das pás Sobrescritos e subscritos Índice que identifica a secção de alinhamento Referente ao valor calculado no final do processo iterativo Referente à interceção do prolongamento da linha de vórtices/fontes com a perpendicular entre o ponto de cálculo e a linha de vórtices/fontes Índice que identifica o ponto de controlo do elemento Índice que identifica o ponto extremidade do elemento Índice identificador de cada pá Referente a um ponto sobre a linha sustentadora Referente ao valor assumido na iteração anterior Referente ao valor a utilizar na iteração seguinte Referente a um momento inicial Referente ao ponto de cálculo da velocidade induzida Referente a um ponto sobre a linha de fontes Relativo aos vórtices imagem Índice identificador das extremidades dos segmentos de vórtice retilíneos que compõem um filamento de vórtice Referente a uma grandeza adimensional 1 Referente à extremidade a montante 2 Referente à extremidade a jusante xvi

18 Capítulo 1 Introdução As turbinas de eixo horizontal de aproveitamento da energia eólica são atualmente responsáveis por cerca de 23% do total de energia elétrica produzida em Portugal. A energia convertida pelas turbinas eólicas representa 37% do total de energia elétrica de origem renovável [1] e estima-se que a potência instalada aumente cerca de 36% até 2030, relativamente aos valores registados em 2013 [2]. As energias renováveis têm assumido um papel cada vez mais importante na economia portuguesa, contribuindo tanto para a criação de emprego como para a redução da dependência energética do país e da emissão de gases com efeito de estufa [3]. O setor das energias renováveis, e em particular da energia eólica, cresceu muito na última década com o apoio de diversos incentivos. Atualmente, os desafios passam por tornar a indústria das energias renováveis um setor capaz de competir com as fontes de energia fóssil tradicionais, tendo a engenharia um papel fundamental. 1.1 Breve introdução às turbinas de eixo horizontal As turbinas eólicas de eixo horizontal são turbomáquinas axiais abertas que convertem parte da energia cinética do vento em energia elétrica. O rotor é constituído por pás distribuídas de modo axissimétrico em torno de um cubo. Este encontra-se acoplado a um gerador, em geral por intermédio de uma caixa de velocidades. Os equipamentos mecânicos e elétricos estão encerrados na nacelle, localizada no cimo de uma torre de forma aproximadamente cilíndrica (Figura 1.1). A torre posiciona o rotor em zonas mais elevadas da camada limite atmosférica, onde o vento está sujeito a menos perturbações e atinge velocidades mais elevadas [4]. 1

19 Figura 1.1 Turbina eólica de eixo horizontal. A correta caracterização do vento num dado local é essencial para o estudo de viabilidade económica e para o projeto das turbinas a instalar. Conhecido o escoamento de aproximação, o sucesso do projeto passa por conseguir estimar corretamente as forças aerodinâmicas a que a turbina está sujeita, em particular as pás. Deste modo, a análise estacionária e não estacionária do escoamento em torno da turbina é fundamental para o projeto, em particular para o cálculo do binário, da força axial e do rendimento. A dificuldade em prever os esforços a que a estrutura está sujeita obriga à introdução de elevados fatores de segurança, dificulta a otimização da geometria das pás e aumenta os custos de produção. O desenvolvimento de técnicas de análise de turbinas de eixo horizontal apresenta-se assim como uma condição necessária e determinante para o crescimento de um setor que pretende ser uma alternativa imediata aos recursos fósseis, numa economia nacional e mundial cada vez mais competitiva e num contexto social e ambiental cada vez mais preocupante. 1.2 Estado da arte A teoria da linha sustentadora e a sua aplicação a turbinas de eixo horizontal O modelo de análise de turbinas de eixo horizontal por meio de um sistema de vórtices deriva da teoria da linha sustentadora de Lanchester-Prandtl, desenvolvida para asas finitas em 1918 [5]. A teoria da linha sustentadora foi inicialmente aplicada ao estudo de propulsores marítimos e os diferentes contributos que surgiram nessa área constituem a base para os métodos de projeto e análise de turbinas de eixo horizontal com a teoria da linha sustentadora. 2

20 O modelo assume fluido invíscido e incompressível e representa as pás do rotor por filamentos de vórtice de intensidade continuamente variável, de comprimento dado pela envergadura da pá (linha sustentadora). Vórtices livres são emanados a partir da linha sustentadora e convectados pelo escoamento, em resultado da variação da circulação ao longo da linha. Num referencial em rotação com as pás, estes filamentos de vórtice constituem uma superfície aproximadamente helicoidal, designada esteira de vórtices. A geometria da esteira de vórtices é dada pelo escoamento a jusante do rotor, sendo função da velocidade do escoamento de aproximação, da velocidade de rotação do rotor e das velocidades induzidas pelo sistema de vórtices. O projeto e análise de propulsores com a teoria da linha sustentadora conta com várias contribuições, destacando-se os trabalhos de Betz em 1919 [6], Goldstein em 1929 [7] e Lerbs em 1952 [9]. Lerbs desenvolveu um método de projeto onde as velocidades induzidas são calculadas pelo método dos fatores induzidos, introduzidos por Moriya em 1933 [9], a partir da lei de Biot- Savart. O cálculo analítico das velocidades induzidas assume uma esteira de vórtices helicoidal de passo constante. A contração da esteira é desprezada, razão pela qual o modelo é apenas aplicado a propulsores pouco ou moderadamente carregados. Os esquemas de análise iterativos surgem com os primeiros computadores digitais, ao qual se segue o desenvolvimento da teoria da superfície sustentadora, em 1973 por Cummings [10], onde filamentos de vórtice são distribuídos sobre a superfície média das pás. Em 1978, Kerwin [11] desenvolveu um método numérico baseado na teoria da superfície sustentadora, onde são considerados os fenómenos de enrolamento e contração da folha de vórtices. A geometria da esteira de vórtices é definida a partir de um conjunto de parâmetros obtidos experimentalmente e é dividida em duas regiões: a esteira próxima e a esteira afastada. Os filamentos de vórtice que constituem a esteira são truncados a uma determinada distância a jusante das pás e discretizados num conjunto de segmentos de vórtice retilíneos. Em 1982, Greeley e Kerwin [12] apresentam um esquema de alinhamento iterativo aplicado ao modelo da superfície sustentadora. As velocidades induzidas axiais e tangenciais são calculadas no bordo de fuga das pás e no início da esteira afastada. Entre as duas posições axiais assume-se uma variação gradual do passo e a posição radial dos filamentos de vórtice helicoidais é definida a partir de resultados experimentais. O problema do alinhamento da esteira foi abordado em diferentes trabalhos, inclusivamente no método dos painéis por Hoshino [13], em 1989, mais tarde adaptado para a teoria da linha sustentadora por Duarte em 1997 [14]. A teoria da linha sustentadora foi aplicada ao projeto de turbinas eólicas de eixo horizontal em 1986, por Maekawa [15], onde as velocidades induzidas foram calculadas através das funções analíticas de Goldstein. Em 2003, Chattot [16] também assumiu uma esteira de vórtices helicoidal mas seguiu uma abordagem discreta. As linhas sustentadoras e as esteiras de vórtices foram 3

21 discretizadas em segmentos de vórtice retilíneos, pelo que as velocidades induzidas foram calculadas pela lei de Biot-Savart. Os resultados foram posteriormente corrigidos de modo a incluir os efeitos viscosos. Em 2007, Falcão de Campos [17] apresentou um modelo discreto aplicado ao projeto de turbinas de correntes marítimas, calculando as velocidades induzidas através das expressões dos fatores induzidos de Morgan e Wrench [5]. Em 2010, Machado [18] incluiu o efeito do cubo no projeto de uma turbina de correntes marítimas com a teoria da linha sustentadora e, em 2014, Caldeira [19] desenvolveu um método de análise de turbinas de eixo horizontal, fora das condições de projeto, onde a força de resistência foi simulada através de um modelo de fontes. Os resultados foram obtidos para uma esteira semiempírica e comparados com medições experimentais Outros métodos numéricos de análise As turbinas de eixo horizontal podem também ser analisadas com recurso a outros métodos numéricos. O Blade Element Momentum theory (BEM) resolve o escoamento axissimétrico e divide o círculo varrido pelas pás da turbina num conjunto de anéis concêntricos. O método dos painéis resolve o escoamento potencial induzido por uma distribuição de fontes e dipolos sobre a superfície das pás e, por fim, os modelos mais complexos resolvem as equações de Navier-Stokes (CFD), onde se inserem os códigos RANS (Reynolds Average Navier-Stokes) e LES (Large Eddy Simulation), cuja utilização a nível de projeto e análise se encontra limitada pelos elevados tempos computacionais. Alguns métodos aliam ainda a análise aerodinâmica à estrutural, constituindo códigos aero-elásticos. A comparação das previsões numéricas estacionárias e não-estacionárias com resultados experimentais foi promovida pelo laboratório NREL (National Renewable Energy Laboratory) no evento Blind Comparison e pode ser encontrada em [20]. 1.3 Motivação A presente dissertação pretende ser um contributo para um melhor entendimento da teoria da linha sustentadora aplicada à análise de turbinas de eixo horizontal. Pretende também fundamentar analiticamente o modelo de fontes proposto por Caldeira em [19]. A abordagem analítica permite não só estabelecer uma relação entre a teoria da linha sustentadora e o modelo de fontes mas também verificar que ambas surgem naturalmente das equações que regem a aerodinâmica incompressível: a equação da continuidade e a equação de transporte de quantidade de movimento. 4

22 O projeto e análise de turbinas de eixo horizontal com a teoria da linha sustentadora depara-se com as dificuldades associadas à não linearidade das equações. A utilização de esteiras rígidas, obtidas através de parâmetros experimentais, ou de esteiras de passo constante alinhadas na linha sustentadora têm sido as opções predominantes. A influência da geometria da esteira no sucesso das previsões numéricas é conhecida da bibliografia [12], razão pela qual se propõe um esquema de alinhamento que tem por base uma metodologia utilizada em códigos de método dos painéis [21], que dispensa a utilização de parâmetros experimentais. Com o objetivo de compilar os trabalhos desenvolvidos nos últimos anos, o esquema numérico foi implementado simultaneamente ao método dos fatores induzidos, tendo-se incorporado a modelação do efeito do cubo e o modelo de fontes. Esta dissertação, que agrupa o conhecimento e a experiência que os trabalhos anteriores trouxeram, pretende não só criar uma base analítica que ajude a consolidar o entendimento da teoria da linha sustentadora e suas variantes mas também gerar resultados que se esperam mais próximos dos experimentais. 1.4 Objetivos O trabalho desenvolvido centra-se na análise de uma turbina de eixo horizontal com a teoria da linha sustentadora, tendo como principais objetivos: o o o Formular o modelo de fontes paralelamente à teoria da linha sustentadora com base na equação da continuidade e na equação do movimento linearizada; Implementar e testar um método numérico de cálculo das velocidades induzidas com alinhamento da esteira; Incorporar no algoritmo o cálculo das velocidades induzidas pelo método dos fatores induzidos, o método das imagens que modela o efeito do cubo e o modelo de fontes. 5

23 Capítulo 2 Modelo Matemático Considere-se uma turbina de eixo horizontal de geometria conhecida, constituída por pás idênticas, simetricamente distribuídas em torno do cubo. As pás encontram-se em rotação com velocidade angular constante,, num meio infinito e sujeitas a um escoamento de aproximação,, uniforme e paralelo ao eixo da turbina. Assume-se fluido invíscido e incompressível e despreza-se o efeito de outros corpos para além das pás e do cubo. Define-se um referencial cartesiano solidário com as pás com versores. O eixo é coincidente com o eixo da turbina e está orientado com o escoamento de aproximação, o eixo define a linha de referência de uma das pás (designada pá principal) e o eixo completa o sistema de eixos cartesiano. No referencial em rotação é também definido um sistema de coordenadas cilíndrico com versores. As coordenadas e são definidas por e. Relativamente a este referencial, as pás encontram-se em repouso e sujeitas a um escoamento de aproximação relativo dado por estacionário no referencial supracitado., representado na Figura 2.1. O escoamento é Figura 2.1 Turbina de eixo horizontal com três pás: representação dos sistemas de coordenadas e dos vetores velocidade. 6

24 2.1 Formulação da teoria da linha sustentadora Na teoria da linha sustentadora, o efeito sustentador de corpos finitos em regime estacionário é modelado por um filamento de vórtice ligado, de intensidade continuamente variável, do qual é emanada uma folha de vórtices arrastados semi-infinitos [22]. Na modelação de turbinas de eixo horizontal, o escoamento induzido por cada pá será, portanto, modelado pelo escoamento induzido por um filamento de vórtice de comprimento dado pela envergadura da pá (linha sustentadora) e pela correspondente folha de vórtices arrastados (esteira de vórtices). Admite-se que a razão entre a envergadura e a corda média das pás (aspect ratio) é suficientemente grande para que o escoamento na vizinhança de cada secção da pá possa ser considerado bidimensional. Deste modo, a relação entre a força de sustentação e a intensidade dos filamentos de vórtice é dada pelo teorema de Kutta-Joukowski. No sistema de coordenadas ilustrado na Figura 2.1, as linhas sustentadoras encontram-se no plano, estendem-se da raiz à extremidade das pás e encontram-se distribuídas de modo axissimétrico no plano. (2.1) sendo a posição angular de cada pá e o índice identificador da mesma (por definição identifica a pá principal), o raio do cubo e o raio do rotor da turbina. Cada linha sustentadora pode ser definida pelo vetor, onde é o módulo da circulação em torno de um qualquer circuito fechado que envolva o filamento de vórtice. A intensidade da folha de vórtices,, segue diretamente do segundo teorema de Helmolthz, referente à conservação da circulação no espaço [22]. Deste modo, a folha de vórtices estende-se para infinito e a sua intensidade é dada pela variação de circulação ao longo da linha sustentadora. (2.2) sendo o versor unitário tangente à folha de vórtices e alinhado com os filamentos de vórtice. está alinhado com o escoamento e tem o sentido da velocidade local,, tal como representado na Figura 2.2. A vorticidade concentrada nas folhas de vórtices deve estar alinhada com a velocidade local para que, de acordo com o teorema de Kutta-Joukowski, a força de sustentação nas esteiras de vórtices seja nula. A equação (2.3) estabelece esta condição e justifica-se assim a designação esteira de vórtices arrastados. 7

25 (2.3) Figura 2.2 Representação da linha sustentadora e respetiva folha de vórtices arrastados Campo de velocidades induzidas O campo de velocidades induzidas por um filamento de vórtice,, e uma folha de vórtices,, pode ser calculado pela lei de Biot-Savart traduzida na seguinte expressão: (2.4) sendo a velocidade induzida pela linha sustentadora e a respetiva folha de vórtices no ponto. O primeiro termo do segundo membro corresponde à contribuição da linha sustentadora, pelo que o integral em refere-se à integração ao longo da linha, e o segundo termo corresponde à contribuição da respetiva folha de vórtices e portanto o integral em estende-se à superfície semi-infinita de vórtices arrastados. é o vetor que une o ponto de integração ao ponto de cálculo e é o módulo deste mesmo vetor. A dedução desta equação encontra-se nos Anexos A e B, seguindo a metodologia presente em [23]. O campo de velocidades induzidas por todas as pás,, corresponde, de modo análogo, ao somatório da contribuição das linhas sustentadoras e respetivas folhas: (2.5) Para o cálculo da sustentação é necessário calcular a velocidade induzida nas linhas sustentadoras. Como são consideradas pás idênticas, igualmente carregadas e simetricamente distribuídas, é apenas necessário o cálculo da velocidade induzida numa das pás. Por conveniência 8

26 escolhe-se a pá principal ( ) e a velocidade induzida num ponto sobre a linha sustentadora obtém-se substituindo a equação (2.4) na equação (2.5). Em [5] demonstra-se que, por simetria, a contribuição de todas as linhas sustentadoras (somatório da integração sobre ) é nula, pelo que a expressão para a velocidade induzida se resume a: (2.6) onde o índice define um ponto sobre a linha sustentadora (lifting line). As velocidades induzidas sobre a linha sustentadora são, deste modo, função da intensidade da folha de vórtices, (relacionada com a distribuição da circulação na linha sustentadora pela equação 2.2) e da geometria da folha de vórtices,. A esteira de vórtices deve ser tangente ao vetor velocidade de modo a respeitar a equação (2.3), pelo que é, por sua vez, função do campo de velocidades. O cálculo das velocidades induzidas na linha sustentadora pela equação (2.6) traduz-se, portanto, num problema não linear. O problema pode ser linearizado se se prescrever a geometria dos filamentos que constituem as folhas de vórtices Força de sustentação e coeficientes de força e de potência No referencial da Figura 2.1, o vetor velocidade,, pode ser definido como a soma do escoamento de aproximação relativo,, com a velocidade induzida,. O vetor é definido pelas componentes, no sistema de coordenadas cartesiano, ou pelas componentes, no sistema de coordenadas cilíndrico, relacionadas pela transformação: (2.7.a) O vetor velocidade é então definido em coordenadas cilíndricas por: (2.7.b) (2.8) sendo o módulo da velocidade do escoamento de aproximação e o módulo da velocidade angular das pás. Tal como referido na secção anterior, as velocidades induzidas são iguais em todas as linhas sustentadoras. As respetivas componentes são definidas como quantidades positivas por, sendo a velocidade induzida axial, a velocidade induzida na direção da envergadura (spanwise direction) e a velocidade induzida tangencial. 9

27 (2.9.a) (2.9.b) (2.9.c) Estando o campo de velocidades definido, o teorema de Kutta-Joukowski permite estabelecer a relação entre o campo de velocidades na linha sustentadora e a força de sustentação por unidade de comprimento ao longo da envergadura, (lift), numa dada secção da pá: (2.10) onde é a massa volúmica do fluido e está definido de acordo com o parágrafo seguinte à equação (2.1). Da análise da equação (2.10), conclui-se facilmente que a componente do vetor velocidade na direção da envergadura,, não contribui para a sustentação por estar alinhado com o vetor. Sendo, obtém-se para o módulo da força de sustentação por unidade de comprimento ao longo da envergadura: (2.11) onde define o módulo da componente do vetor velocidade perpendicular a : (2.12) Utilizando como valores de referência o módulo da velocidade do escoamento de aproximação,, e o raio do rotor da turbina,, a variável é definida na sua forma adimensional por: (2.13) sendo o parâmetro adimensional de velocidade periférica (tip speed ratio, ) e as variáveis adimensionais definidas da forma:,, e. O coeficiente de sustentação,, é por definição: (2.14) onde é a corda da secção da pá. 10

28 Substituindo a equação (2.11) na expressão do coeficiente de sustentação e procedendo à adimensionalização das variáveis obtém-se a expressão equivalente: (2.15) sendo e. Define-se, do mesmo modo, o coeficiente de resistência, : (2.16) onde é o módulo da força de resistência por unidade de comprimento ao longo da envergadura (drag). O coeficiente de sustentação,, e o coeficiente de resistência,, são obtidos através das características aerodinâmicas do perfil da secção em função do ângulo de ataque,, e do número de Reynolds,, sendo a viscosidade cinemática do fluido. A força de resistência, não sendo modelada pela teoria da linha sustentadora, é normalmente incluída no triângulo de velocidades e contabilizada no cálculo da força axial, (thrust) e do momento na direção (binário),. Na secção 2.3 é apresentado um modelo de fontes que permite relacionar a força de resistência com as respetivas velocidades induzidas. Na Figura 2.3 encontram-se esquematizados os vetores velocidade e as forças aplicadas numa secção da pá. Figura 2.3 Triângulo de velocidades e de forças. O ângulo é definido como o ângulo de passo do escoamento não perturbado, o ângulo designa-se ângulo de passo hidrodinâmico e é o ângulo de passo da secção (pitch). e definem a contribuição de cada secção da pá para a força axial e para o binário. 11

29 A partir das relações geométricas estabelecidas na Figura 2.3 obtêm-se as expressões para os ângulos e e a relação entre os ângulos, e. Novamente com as variáveis na forma adimensional: (2.17) (2.18) (2.19) Os coeficientes adimensionais de força axial e de potência, e, respetivamente, são definidos do seguinte modo: (2.20) (2.21) sendo e os módulos da força axial e do binário, respetivamente. e são definidos em função da força de sustentação e da força de resistência por unidade de comprimento ao longo da envergadura a partir das relações geométricas esquematizadas na Figura 2.3. Multiplicando essas quantidades pelo número de pás,, e integrando ao longo de toda a pá, obtêm-se as expressões para e. Introduzindo estes resultados nas equações (2.20) e (2.21), os coeficientes e são calculados a partir das seguintes expressões: (2.22) (2.23) 12

30 2.2 Modelação do escoamento induzido por uma pá em rotação: teoria linear Na presente secção, a pá de uma turbina de eixo horizontal é inicialmente modelada por uma superfície sustentadora em movimento segundo uma trajetória helicoidal, no seio de fluido invíscido. A análise do escoamento induzido por esta superfície é desenvolvida utilizando a teoria linear presente em [23], válida para valores de velocidade de perturbação pequenos (da ordem de grandeza de uma quantidade ). À luz da teoria linear, a análise pode ser estabelecida em relação à projeção da respetiva superfície numa superfície de referência, que se encontra em repouso relativamente a um referencial inercial. De modo análogo à teoria da linha sustentadora, a força que a superfície exerce sobre o fluido é concentrada numa linha. Se se assumir que o campo de forças concentrado sobre a linha é perpendicular ao escoamento, obtém-se uma formulação similar à teoria da linha sustentadora. Assumindo um campo de forças alinhado com o escoamento, obtém-se essencialmente o escoamento induzido por uma linha de fontes. A análise desenvolvida nesta secção pretende, deste modo, estabelecer os pressupostos que deram origem ao modelo de fontes proposto por Caldeira em [19]. O modelo de fontes pretende modelar a força de resistência e consiste essencialmente em dispor linhas de fontes de intensidade continuamente variável sobre as linhas sustentadoras Velocidade induzida por uma superfície impermeável Considere-se um referencial inercial solidário com o escoamento de aproximação,. O eixo encontra-se alinhado com o escoamento de aproximação, tal como o eixo da Figura 2.1. Neste referencial, define-se uma superfície de referência, paralela ao plano e solidária ao escoamento de aproximação, logo, em repouso relativamente ao referencial inercial. Considerando uma superfície finita, flexível e impermeável contida em, a condição de fronteira de impermeabilidade é automaticamente satisfeita e são nulas as velocidades de perturbação induzidas no escoamento devido à presença dessa superfície. Deste modo, também é nula a força que a superfície exerce sobre o fluido [23]. O aparecimento de forças sobre uma superfície, simétrica da consequente força,, exercida sobre o fluido pelo princípio da ação-reação, exige, portanto, que a superfície perturbe o escoamento de aproximação. Define-se então uma superfície finita, flexível e impermeável,, localizada numa vizinhança de. Aplicando a condição de fronteira de impermeabilidade a, obtêm-se velocidades de perturbação,, não nulas [23]. 13

31 Na teoria linear, as equações são linearizadas relativamente a um parâmetro, sendo desprezados os termos. No caso em apreço, assume-se,, e da ordem de grandeza de, sendo a pressão, e a equação que impõe a condição de impermeabilidade é linearizada, bem como a equação do movimento para fluido invíscido (equação de Euler). De modo a respeitar os pressupostos da teoria linear, a distância entre os pontos da superfície e a superfície devem manter-se de, bem como as diferenças de declive e curvatura entre e. Compreende-se agora a opção de definir numa vizinhança de. Define-se uma superfície como sendo a projeção de em (Figura 2.4). À luz da teoria linear, a condição de fronteira de impermeabilidade aplicada à superfície pode ser satisfeita na respetiva projeção,. Tal modificação apenas adiciona erros da ordem de grandeza de, desprezados nas equações linearizadas. Do mesmo modo, também a força que a superfície exerce sobre o fluido pode ser considerada sobre a respetiva projeção, [23]. Figura 2.4 Projeção da superfície em. O referencial inercial é solidário ao escoamento de aproximação,, pelo que, relativamente a este referencial, o campo de velocidade coincide com o campo de velocidade de perturbação e tende para zero no infinito. A equação de Euler exprime a relação entre a aceleração, a resultante das forças de superfície e a resultante das forças mássicas, para fluido invíscido. Assumindo as condições necessárias à linearização, os termos são desprezados e obtém-se a seguinte expressão para a equação de Euler: (2.24) onde representa a resultante das forças mássicas por unidade de volume. Assume-se que iniciou a sua ação no instante e que para o fluido se encontra em repouso relativamente ao referencial inercial. 14

32 Um campo vetorial que tende para zero no infinito é completamente definido pela sua divergência e rotacional [23]. A divergência do campo de velocidades é dada pela equação da continuidade para fluido incompressível: (2.25) Aplicando o operador rotacional dos dois lados da equação (2.24), obtém-se uma expressão para o rotacional da velocidade: (2.26) onde a variável define a integração ao longo do tempo. Utilizando as equações (2.25) e (2.26) obtém-se a seguinte expressão para o campo de velocidades,, seguindo a formulação presente em [23] e apresentada no Anexo C: (2.27) onde o vetor define as coordenadas do ponto de cálculo, o vetor corresponde às coordenadas do ponto de integração e representa todo o espaço. Tal como na equação (2.4), corresponde à distância entre o ponto de cálculo e o ponto de integração logo, e. Assim, utilizando as equações linearizadas e representando o efeito de uma superfície no seio de um escoamento pelo respetivo campo de forças aplicado sobre o fluido,, a perturbação induzida pela superfície no escoamento corresponde ao campo de velocidade induzido por essa mesma força (equação 2.27) Velocidade induzida por uma força concentrada numa linha em movimento Aplica-se agora esta formulação ao escoamento induzido por uma pá de uma turbina de eixo horizontal. A pá tem uma velocidade angular constante,, e encontra-se sujeita a um escoamento de aproximação uniforme,. A pá é representada por uma superfície sustentadora,, e relativamente ao referencial inercial, solidário com, a superfície desloca-se no sentido negativo de, com velocidade, e encontra-se em rotação em torno do eixo, no sentido negativo, sendo o módulo da velocidade angular dado por (Figura 2.5). 15

33 Tal como referido na secção anterior, a condição de fronteira de impermeabilidade aplicada a uma superfície plana e paralela ao plano, solidária com o escoamento de aproximação, é automaticamente satisfeita. Considerando uma superfície de referência,, helicoidal e de passo contante,, a condição de fronteira de impermeabilidade é satisfeita desde que [23]. Define-se a superfície como sendo a projeção de em e, assumindo os pressupostos associados à teoria linear, a condição de fronteira de impermeabilidade pode ser aplicada na respetiva projeção e a força aplicada sobre o fluido pode também ser considerada em. Figura 2.5 Superfície de referência, superfície sustentadora e respetiva projeção. Assume-se que iniciou o seu movimento em, sendo este o instante em que surgem forças aplicadas sobre o fluido, consideradas na respetiva projeção. Em analogia com a teoria da linha sustentadora, a força aplicada sobre o fluido em é concentrada numa linha. Define-se um sistema de coordenadas cilíndrico a partir do referencial, logo, solidário com o escoamento de aproximação. Tendo em conta o movimento descrito pela superfície, a posição ocupada pela linha ao longo do tempo é dada pelo vetor posição : (2.28) sendo a posição angular da linha e a posição axial. A velocidade da linha é definida pelo vetor,, derivada do vetor em ordem ao tempo. O vetor, definido no referencial inercial, é simétrico da velocidade do escoamento de aproximação,, apresentado na Figura 2.1, sendo. Deste modo, cada ponto da linha descreve uma trajetória helicoidal, sendo definida uma coordenada, medida ao longo da trajetória: 16

34 (2.29) A posição inicial da linha é definida por,. De até ao instante, a linha varre uma porção da superfície que designaremos por, tal como representado na Figura 2.6. A superfície representa, deste modo, o conjunto de pontos sobre o helicóide onde a força atuou, desde o instante até ao instante presente,. No sistema de coordenadas, a força é definida da forma: (2.30) sendo o vetor força, cujo módulo,, define a intensidade da força por unidade de comprimento ( para ). é a função delta de Dirac, que torna nulo em pontos exteriores a. Figura 2.6 Linha em movimento segundo uma superfície helicoidal. A equação (2.27) pode ser utilizada para calcular o campo de velocidades induzidas por esta força, substituindo pela expressão (2.30). O resultado obtido é apresentado na equação (2.31) e a demonstração pode ser consultada no Anexo D: (2.31) No segundo membro, o primeiro termo compreende a integração em, sobre a linha, e em, sobre a trajetória helicoidal descrita por cada ponto da linha. O conjunto dos dois integrais 17

35 lineares define portanto a integração ao longo da superfície. No segundo termo, e são definidos em função da coordenada por meio da equação (2.29). Observando o resultado obtido para o campo de velocidades, conclui-se que o primeiro termo corresponde ao campo de velocidade induzido por uma distribuição de dipolos de intensidade por unidade de área dada por. Os dipolos encontram-se dispostos sobre a superfície helicoidal varrida pela linha (superfície ) e encontram-se orientados segundo. A divergência do campo de velocidades é nula, tal como imposto pela equação da continuidade, e a vorticidade é dada pelo rotacional do segundo termo, diferente de zero em vorticidade a ser deixada para trás em todos os elementos de fluido onde a força. Temos portanto atuou, estando continuamente a ser gerada nos pontos onde se encontra. Sendo a divergência nula em todos os pontos e estando a vorticidade concentrada em, é de esperar que seja possível obter uma representação equivalente do escoamento considerando vórtices concentrados sobre a superfície. Este estudo foi desenvolvido no Anexo E, considerando o caso simplificado de uma força uniforme, distribuída perpendicularmente a uma superfície, e analisando o escoamento induzido por uma força pontual e impulsiva. As conclusões relativas à divergência e ao rotacional do campo de velocidades são facilmente demonstradas considerando uma força pontual e impulsiva. Analogamente aos resultados obtidos, podemos considerar que a superfície é constituída por um conjunto de dipolos pontuais de intensidade dada por. Para cada dipolo podemos considerar uma área, de fronteira, perpendicular ao eixo do dipolo, e portanto perpendicular a (Figura 2.7). Distribuindo a intensidade do dipolo pontual sobre a área, podemos considerar a existência de um vórtice concentrado em, de intensidade dada por: (2.32) Figura 2.7 Representação de um dipolo pontual e respetivo vórtice concentrado (adaptado de [23]). 18

36 Nas secções seguintes, a equação (2.31) é aplicada a dois caso particulares. Em primeira análise considera-se um campo de forças perpendicular à velocidade da linha e em seguida considera-se um campo de forças tangente à velocidade da linha Velocidade induzida por uma força perpendicular à velocidade Assumindo perpendicular ao vetor, o vetor será, em cada instante, perpendicular à trajetória descrita pela linha. Tal como mencionado na secção anterior, o primeiro termo da expressão da velocidade induzida (equação 2.31) define o escoamento induzido por uma distribuição de dipolos na superfície, orientados segundo. Neste caso particular, o eixo dos dipolos coincide com o vetor normal à superfície em cada ponto, pelo que corresponde ao que normalmente se classifica por folha de dipolos [22]. Em cada ponto da superfície, ou seja, em cada dipolo pontual de intensidade, obtém-se uma representação equivalente do escoamento considerando um vórtice concentrado, localizado na fronteira de uma superfície perpendicular ao eixo do dipolo. Tendo em conta que o eixo dos dipolos é coincidente com o vetor normal em cada ponto, a área perpendicular,, pode ser definida por. Deste modo, a equação (2.32) que define a intensidade de cada vórtice concentrado reduz-se a: (2.33) Assim, o escoamento induzido por uma força perpendicular ao vetor, concentrada numa linha em movimento, obtém-se a partir da distribuição de vórtices representada na Figura 2.8. Figura 2.8 Sistema de vórtices (escoamento induzido por uma força perpendicular a ). 19

37 Como se pode observar pela Figura 2.8, se a intensidade da força e o módulo da velocidade da linha não variarem no tempo, então as linhas de vórtice perpendiculares a anulam-se, com exceção da linha de vórtices correspondente à posição de no instante e da linha de vórtice na posição. Como a intensidade da força é função da posição radial, a intensidade dos vórtices alinhados com é dada pela variação da intensidade da força ao longo da linha. A intensidade destes vórtices é constante desde a. A superfície corresponde portanto a uma superfície de vórtices longitudinais e a dois filamentos de vórtice transversais de intensidade continuamente variável. Considerando, o escoamento é estacionário relativamente a um referencial solidário com a linha e o resultado desta formulação é similar à teoria da linha sustentadora. Nestas condições, a velocidade induzida num dado instante pelo vórtice de arranque, localizado em, é nula e a superfície define uma superfície semi-infinita, que designaremos por de modo a ir ao encontro da nomenclatura apresentada na secção Devido à linearização das equações, obtém-se uma esteira de vórtices alinhada com o escoamento de aproximação, em lugar de uma esteira de vórtices alinhada com o escoamento local, prevista pela teoria da linha sustentadora não linear. Deste modo, considerando um contorno que envolva o filamento de vórtice coincidente com, também a equação (2.33) difere do teorema de Kutta-Joukowski (equação 2.11) no valor da velocidade considerada Velocidade induzida por uma força tangente à velocidade Assume-se um campo de forças alinhado com o vetor, ou seja, é tangente ao movimento descrito pela linha. Na equação (2.30), é definido por, sendo o vetor unitário tangente ao movimento e alinhado com a coordenada. Em coordenadas cilíndricas, por: é definido (2.34) com componente radial nula, uma vez que a coordenada radial da linha se mantém constante ao longo de. O escoamento induzido pela força é dado pela equação (2.31), substituindo pela sua definição. Tal como analisado na secção 2.2.2, o escoamento induzido é dado por uma distribuição de dipolos sobre a superfície, orientados segundo. O eixo dos dipolos encontra-se alinhado com o versor, pelo que, ao contrário da análise desenvolvida na secção anterior, a superfície não corresponde ao que normalmente se classifica por folha de dipolos (com um lado 20

38 positivo e outro lado negativo) mas a uma sequência de dipolos em fila, uns atrás dos outros, tal como representado na Figura 2.9. Figura 2.9 Superfície de dipolos (escoamento induzido por uma força alinhada com ). Repete-se a análise por meio de vórtices concentrados considerando uma área perpendicular ao eixo do dipolo, ou seja, perpendicular a. Considerando uma dimensão perpendicular a, a área é definido por e, partindo da equação (2.32), a intensidade de cada vórtice concentrado em é dada por: (2.35) A representação do escoamento por via de vórtices concentrados encontra-se na Figura Em cada posição radial, os sucessivos vórtices concentrados constituem tubos de vórtices de secção transversal infinitesimal e intensidade dada por : (2.36) Figura 2.10 Tubos de vórtices (escoamento induzido por uma força alinhada com ). 21

39 A intensidade dos tubos de vórtice é apenas função de uma vez que a intensidade da força e o módulo da velocidade da linha não variam ao longo do tempo e, portanto, não variam ao longo de. Da análise da equação (2.36), compreende-se também que sendo uma quantidade infinitesimal, a intensidade dos tubos de vórtices,, será infinita. Deste modo, a utilização da lei de Biot-Savart (equação 2.4) para o cálculo da velocidade induzida pelo sistema de vórtices ilustrado na Figura 2.10 corresponde à resolução de um integral singular. De modo a obter uma expressão para a velocidade induzida por uma força alinhada com o vetor, recorre-se novamente à equação (2.31). Sendo e o versor definido de acordo com a equação (2.34), obtém-se a seguinte expressão para a velocidade induzida pela força, tal como demonstrado no Anexo F: (2.37) sendo a distância entre o ponto de cálculo e um ponto sobre a linha no instante e a distância entre o ponto de cálculo e um ponto em, ou seja, correspondente à posição inicial da linha. Se se assumir positivo, o primeiro termo da equação (2.37) corresponde ao escoamento induzido por uma linha de fontes localizada em,, de intensidade, dada por, sendo o caudal emitido por unidade de comprimento ao longo da linha. De modo equivalente, o segundo termo corresponde ao escoamento induzido por uma linha de poços, de igual intensidade e localizado em (Figura 2.11). Fora da superfície, a velocidade induzida é dada por estes dois termos. Considerando um ponto sobre, o terceiro termo da equação (2.37) é diferente de zero e, de acordo com os resultados obtidos para uma força pontual e impulsiva no Anexo E, corresponde ao transporte de fluido da linha de poços para a linha de fontes. A superfície pode então ser entendida como uma superfície de corrente, responsável por tornar a divergência do campo nula em todos os pontos, tal como imposto pela equação da continuidade. Como seria de esperar, o escoamento induzido pela linha de fontes, pela linha de poços e pela superfície é idêntico ao escoamento induzido pelo sistema de vórtices representado na Figura Ambas as configurações traduzem o escoamento induzido por uma força concentrada numa linha e alinhada com o vetor. As equações (2.36) e (2.37) permitem estabelecer a relação entre a intensidade dos tubos de vórtices e a intensidade da linha de fontes/poços: 22

40 (2.38) de onde se conclui novamente que, sendo uma quantidade infinitesimal, a intensidade dos tubos de vórtices deve ser infinita para que o produto seja finito. Figura 2.11 Linha de fontes, linha de poços e superfície de corrente alinhada com ). (escoamento induzido por uma força Num referencial solidário com a linha, o regime estacionário obtém-se considerando, ou seja, considerando que a linha de poços se encontra no infinito. Partindo da equação (2.37), o campo de velocidades induzidas é dado simplesmente por: (2.39) onde não figura o termo correspondente à linha de poços por ser nula a respetiva velocidade induzida num dado instante. Admitindo, a superfície de corrente,, é semi-infinita e definida daqui em diante por. A velocidade induzida num ponto é dada pelo escoamento induzido por uma linha de fontes localizada em e, considerando um ponto, à velocidade induzida pela linha de fontes soma-se um termo local, tangente a, dado pelo último termo da equação (2.39). Do mesmo modo, assumindo, o sistema de tubos de vórtices apresentado inicialmente seria semi-infinito. 23

41 2.3 Formulação do modelo de fontes O modelo de fontes pretende modelar a força de resistência e baseia-se na análise linear do escoamento induzido por uma força alinhada com a velocidade e concentrada numa linha, tal como descrito na secção A força de resistência aplicada sobre a pá de uma turbina de eixo horizontal é então modelada por uma linha de fontes,, de comprimento dado pela envergadura da pá, e por uma superfície de corrente semi-infinita,, onde se considera concentrado o caudal de fluido continuamente emitido pela linha de fontes. No infinito, considera-se a existência de uma linha de poços, cuja intensidade é dada pelo simétrico da intensidade da linha de fontes (Figura 2.12). Figura 2.12 Representação da linha de fontes e da respetiva superfície de corrente. As linhas de fontes encontram-se no plano, estendem-se da raiz à extremidade das pás e encontram-se distribuídas de modo axissimétrico no plano, ou seja, são coincidentes com as linhas sustentadoras. Deste modo, utiliza-se também o índice para identificar cada linha de fontes, sendo. A intensidade das linhas de fontes é dada por, sendo o caudal emitido por unidade de comprimento ao longo da direção radial. Por continuidade, o caudal por unidade de largura transportado pela superfície é também dado por Campo de velocidades induzidas O campo de velocidades induzidas por uma linha de fontes, equação (2.39):, é dado pelo primeiro termo da (2.40) 24

42 sendo a velocidade induzida pela linha de fontes no ponto, o vetor que une o ponto de cálculo ao ponto de integração e o módulo deste mesmo vetor. Representa-se pelo vetor a velocidade induzida pelas linhas de fontes e respetivas superfícies de corrente semi-infinitas. Uma vez que as superfícies de corrente apenas induzem velocidades sobre si próprias, considerando um ponto exterior às superfícies semi-infinitas, a velocidade induzida,, é dada simplesmente pela soma do escoamento induzido pelas linhas de fontes: (2.41) Para o cálculo da força de resistência é necessário calcular a velocidade induzida sobre as linhas de fontes. Seguindo os argumentos apresentados na secção (pás idênticas, igualmente carregadas e simetricamente distribuídas) é apenas necessário calcular as velocidades induzidas numa das linhas: escolhe-se novamente a linha principal,. O presente modelo apresenta duas dificuldades ao cálculo da velocidade induzida num ponto : a velocidade induzida pela linha de fontes nela própria é singular; é necessário contabilizar a velocidade induzida pela superfície semi-infinita, ou, mais concretamente, contabilizar a velocidade induzida pelo ponto da superfície coincidente com o ponto de cálculo, dada pelo segundo termo da equação (2.39). Segundo a teoria linear desenvolvida na secção 2.2.4, uma mesma impressão do escoamento induzido pela linha de fontes,, e pela respetiva superfície de corrente semi-infinita pode ser obtida considerando uma sequência de tubos de vórtices semi-infinitos, de intensidade continuamente variável ao longo de. Deste modo, considerando um ponto sobre a linha de fontes de coordenada radial, a velocidade induzida pela respetiva porção da linha de fontes e pela respetiva faixa de largura da superfície é equivalente à velocidade induzida por um tubo de vórtice semi-infinito, de secção transversal infinitesimal e intensidade infinita,. Uma vez que a lei de Biot-Savart não permite o cálculo da velocidade induzida por este tubo de vórtices altamente singular, assume-se um tubo de vórtice de dimensão transversal finita,, tal como proposto em [19] e ilustrado na Figura A dimensão do tubo de vórtices na direção perpendicular à superfície é dada pela expressão: (2.42) pelo que corresponde à distância medida na perpendicular entre a linha e a superfície de corrente vizinha. 25

43 Utilizando uma expressão análoga à equação (2.38), obtém-se um valor finito para a intensidade do tubo de vórtices, : (2.43) Figura 2.13 Tubo de vórtices em. A velocidade induzida por um tubo de vórtices semi-infinito obtém-se a partir da análise da velocidade induzida por um tubo de vórtices infinito, de secção transversal arbitrária e intensidade constante,. Aplicando a lei de Biot-Savart, conclui-se que no seu interior a velocidade é uniforme e paralela ao eixo do tubo, de intensidade dada por. No exterior do tubo, a velocidade induzida é nula em todos os pontos [24]. Do mesmo modo, um tubo de vórtices semi-infinito de secção transversal arbitrária irá induzir no seu interior, no infinito, velocidade uniforme e paralela ao eixo, de intensidade. Em, verifica-se uma contração do tubo de vórtices, surgem velocidades induzidas na direção radial e a velocidade induzida paralela ao eixo apresenta um valor mínimo em, aumentando continuamente ao longo do tubo até ao valor máximo (Figura 2.14). Figura 2.14 Velocidade induzida por um tubo de vórtices semi-infinito. 26

44 Assumindo que a contração do tubo de vórtices pode ser desprezada (teoria linear), a velocidade induzida pelo tubo de vórtices na secção aberta será metade do valor registado no infinito. Em, a velocidade induzida pelo tubo de vórtices semi-infinito será portanto dada por, uma vez que o versor está orientado segundo o escoamento não perturbado, ou por usando a equação (2.43). Deste modo, a velocidade induzida pelas linhas de fontes e respetivas superfícies de corrente num ponto é dada pela seguinte expressão: (2.44) onde o índice identifica um ponto sobre a linha de fontes (source line). O primeiro termo do segundo membro corresponde à velocidade induzida pelo tubo de vórtice semi-infinito e o segundo termo corresponde à velocidade induzida pelas linhas de fontes, excluindo a velocidade induzida pelo próprio ponto, já contabilizada no primeiro termo Força de resistência O campo de velocidades de perturbação,, é definido em coordenadas cartesianas pelas componentes e, em coordenadas cilíndricas, pelas componentes, relacionadas pela transformação presente na equação (2.7). O campo de velocidades de perturbação apresentado é então somado ao vetor velocidade,, definido na secção Em coordenadas cilíndricas: (2.45) As velocidades induzidas em pontos sobre as linhas de fontes são definidas como quantidades positivas pelas componentes, sendo, respetivamente, as velocidades induzidas nas direções axial, da envergadura e tangencial: (2.46.a) (2.46.b) (2.46.c) Tal como na teoria da linha sustentadora, assume-se que a razão envergadura/corda média das pás é grande o suficiente para que o escoamento na vizinhança de cada secção da pá possa ser considerado bidimensional. Assim, assume-se que cada secção se encontra sujeita a um escoamento 27

45 de aproximação uniforme, de módulo, dado pela projeção, no plano da secção, da soma do escoamento de aproximação relativo com o campo de velocidades de perturbação: (2.47) Em cada secção, a aplicação do teorema de Blasius permite calcular o módulo da força de resistência por unidade de comprimento ao longo da envergadura, : (2.48) O coeficiente de resistência,, pode ser calculado em função da intensidade da linha de fontes substituindo a equação (2.48) na equação (2.16): (2.49) sendo e definido pela expressão: (2.50) onde e. O triângulo de velocidades apresentado na Figura 2.3 é modificado de modo a incluir o campo de velocidade e, por fim, as equações (2.18), (2.22) e (2.23) são modificadas de modo a incluir e : (2.51) (2.52) (2.53) Na Figura 2.15 encontra-se representada a planificação de um corte no plano das pás, ao longo da direção circunferencial e para uma dada posição radial. A cada pá está associado o respetivo tubo de vórtices, de dimensão transversal definida pela equação (2.42). Os tubos de vórtices preenchem a totalidade da área frontal, perpendicular à velocidade total, pelo que a respetiva velocidade induzida corresponde a um campo uniforme, invariante ao longo da direção circunferencial (de acordo com a teoria linear, onde é desprezada a velocidade induzida na direção perpendicular ao eixo do tubo). Deste modo, a modelação por meio de tubos de vórtices 28

46 também permite estabelecer um escoamento de aproximação uniforme em cada secção, dado por. É esta abordagem bidimensional do escoamento em cada secção que nos permite relacionar o campo de velocidades com o campo de forças a partir do teorema de Kutta-Joukowski, obtido a partir das fórmulas de Blasius particularizadas para um escoamento de aproximação uniforme [22]. A dimensão transversal dos tubos de vórtices,, apresentada na secção 2.3.1, garante assim esta uniformidade do campo de velocidades induzidas, que não se verificaria se fosse considerado outro valor para a dimensão transversal dos tubos de vórtices, maior ou menor que o valor estabelecido pela equação (2.42). Figura 2.15 Cascata de pás: representação da dimensão. 2.4 Modelação do efeito do cubo Em contexto de fluido invíscido, a inclusão do efeito do cubo consiste em respeitar a condição de fronteira de impermeabilidade em todos os pontos da superfície do cubo. Tendo em conta uma análise baseada na teoria da linha sustentadora, o cubo é modelado simplesmente por um cilindro infinito, de raio e alinhado com o eixo. Em escoamentos bidimensionais de fluido invíscido, a presença de paredes sólidas no seio de um escoamento é dada pelo método das imagens. No caso particular de paredes cilíndricas, o teorema do círculo de Milne-Thomson permite definir o conjunto de singularidades que tornam a superfície cilíndrica em linhas de corrente do escoamento [22]. Considere-se o caso simplificado do escoamento plano induzido por um vórtice concentrado de intensidade localizado numa dada posição radial. Aplicando o teorema do círculo, a presença de um cilindro centrado na origem pode ser modelada pela introdução de um vórtice imagem de intensidade dada por e de coordenada radial dada por: 29

47 (2.54) e por um terceiro vórtice de intensidade, localizado na origem, tal como demonstrado em [24] e ilustrado na Figura Figura 2.16 Escoamento induzido por um vórtice concentrado e um cilindro infinito (adaptado de [22]). No caso tridimensional em apreço, assume-se um método das imagens aproximado, onde a imagem dos vórtices helicoidais que constituem a esteira é dada por um conjunto de vórtices helicoidais de intensidade simétrica, de igual passo e coordenada radial dada pela equação (2.54), tal como proposto por Kerwin em [25] e aplicado ao caso de turbinas de eixo horizontal por Machado em [18]. Os vórtices na origem não são considerados, o que não altera a velocidade na direção perpendicular à superfície do cilindro e permite um aumento da circulação junto ao cubo. Relativamente às linhas de fontes não foram definidas singularidades imagem. 30

48 Capítulo 3 Modelo Numérico A análise de uma turbina de eixo horizontal com o modelo da linha sustentadora foi realizada através de um algoritmo implementado em MATLAB. O esquema computacional foi desenvolvido no contexto desta dissertação e baseou-se no programa implementado por Duarte em 1997 [14] e atualizado por Machado em 2010 [18] e por Caldeira em 2014 [19]. A linha sustentadora é discretizada de acordo com o modelo da malha de vórtices e a equação que define o campo de velocidades induzidas é aplicada ao modelo discreto. Os filamentos que constituem a esteira de vórtices são discretizados em segmentos de vórtice retilíneos e a localização de cada segmento é definida a partir de um esquema de alinhamento. No modelo de fontes, as linhas são discretizadas de modo análogo. Neste capítulo as variáveis são apresentadas na sua forma adimensional, no entanto, são apresentadas sem o asterisco por simplificação da nomenclatura. 3.1 Modelo da malha de vórtices No modelo da malha de vórtices, o filamento de vórtice ligado que constitui a linha sustentadora é discretizado em elementos de vórtice retilíneos de intensidade constante [11]. Cada elemento é definido pelo vetor, sendo o módulo da circulação em torno de qualquer circuito fechado que envolva o elemento. A folha de vórtices arrastados resulta da variação da circulação ao longo da linha sustentadora, de acordo com a equação (2.2). Como a circulação é assumida constante em cada elemento, a folha de vórtices arrastados reduz-se a filamentos de vórtice semi-infinitos, convectados a partir das extremidades dos elementos. Os filamentos de vórtice são definidos vectorialmente por, sendo a circulação de qualquer circuito fechado que envolva o filamento de vórtice, considerada positiva no sentido de : 31

49 (3.1) A Figura 3.1 ilustra o sistema de vórtices discreto. Figura 3.1 Linha sustentadora discretizada e filamentos de vórtices arrastados (malha de vórtices) Discretização da linha sustentadora As coordenadas radiais dos pontos de controlo,, e dos pontos extremidade,, obtêm-se a partir de uma distribuição de pontos ao longo da linha sustentadora. Uma distribuição uniforme divide a linha sustentadora em elementos iguais, cujos pontos médios coincidem com os pontos de controlo. Uma distribuição de tipo coseno concentra mais pontos nas extremidades da linha e permite obter resultados convergidos para um menor número de elementos [17]: (3.2) (3.3) Cálculo da velocidade induzida pelo sistema de vórtices A velocidade induzida pelos elementos de uma linha sustentadora e pelos respetivos filamentos de vórtice é dada pela equação (2.4) aplicada ao caso discreto: 32

50 (3.4) No segundo membro, o primeiro termo contabiliza a velocidade induzida pelos vórtices ligados, de intensidade constante, sendo os limites de integração e as coordenadas radiais das extremidades do elemento. O segundo termo corresponde à contribuição dos filamentos de vórtice semi-infinitos,, convectados a partir da extremidade e alinhados segundo o versor. O campo de velocidades induzido pelas linhas sustentadoras e respetivas esteiras de vórtices,, obtém-se somando a contribuição de todo o sistema de vórtices (equação 2.5). Definindo na equação (3.4) a intensidade dos filamentos de vórtice,, em função da intensidade dos elementos de vórtice, (equação 3.1), obtém-se por fim: (3.5) O primeiro integral é calculado analiticamente no Anexo G. Os restantes integrais são resolvidos numericamente, assumindo uma geometria para a esteira de vórtices e discretizando cada filamento de vórtice num conjunto de filamentos de vórtice retilíneos. No presente modelo, define-se uma esteira sem contração e alinhada em múltiplas secções, descrita na secção seguinte. A soma dos três integrais define, assim, o coeficiente de influência associado a cada segmento de vórtice ligado e respetivos filamentos de vórtice livres adjacentes (horse-shoe). Em pontos sobre a linha sustentadora, o primeiro termo da equação (3.5) anula-se por simetria, tal como previsto pela equação (2.6). As componentes axial e tangencial da velocidade induzida são definidas de acordo com a equação (2.9) e calculadas a partir da seguinte expressão: (3.6) sendo a respetiva matriz dos coeficientes na direção axial ou tangencial, obtido a partir da manipulação da equação (3.5) Modelação da esteira A geometria da esteira de vórtices é definida em função do campo de velocidades de acordo com um esquema de alinhamento. Os filamentos de vórtice são discretizados em segmentos de 33

51 vórtice retilíneos e truncados numa secção a jusante das pás. O esquema de alinhamento assume uma esteira sem expansão, logo os filamentos de vórtice mantêm a sua posição radial à medida que são convectados pelo escoamento. As coordenadas e das extremidades dos segmentos de vórtice são definidas de modo recursivo em função das componentes axial e tangencial do vetor velocidade, e, de modo similar ao proposto por Baltazar e aplicado ao método dos painéis em [21]: (3.7) (3.8) onde os índices 1 e 2 definem, respetivamente, a extremidade mais a montante e a extremidade mais a jusante do segmento de vórtice e define o intervalo de tempo. As componentes do vetor velocidade e são definidas de acordo com a equação (2.8) e o parâmetro é definido em função do deslocamento angular das pás,, sendo. Seja o número de setores circulares em que se divide uma rotação das pás em torno do eixo (daqui em diante designado simplesmente número de elementos por volta), tem-se e as equações (3.7) e (3.8) tomam a forma equivalente: (3.9) (3.10) sendo o passo adimensionalizado pelo diâmetro do rotor da turbina,. A velocidade induzida é calculada em secções a jusante das pás, designadas por secções de alinhamento. As secções de alinhamento são definidas por uma coordenada axial, sendo (far wake) a última secção de alinhamento que divide a esteira de vórtices em duas regiões: a esteira próxima e a esteira afastada (Figura 3.2). Introduz-se o índice, que identifica, em cada filamento de vórtice, as extremidades dos sucessivos segmentos de vórtice. As coordenadas axiais e tangencias de cada ponto extremidade são, assim, definidas por e. Em cada secção de alinhamento, as velocidades induzidas são calculadas em pontos de controlo que designaremos por pontos de alinhamento. A coordenada radial dos pontos de alinhamento é dada por. As coordenadas e são interpoladas radialmente a partir de e, sendo o índice identificador das extremidades dos segmentos de vórtice com coordenada axial imediatamente anterior a. 34

52 Figura 3.2 Esteira de vórtices arrastados: representação das secções de alinhamento. A equação (3.5) é então utilizada para calcular a velocidade induzida nos pontos de alinhamento. Relembra-se a equação (2.18) que define a partir das velocidades induzidas axial e tangencial e, por fim, o passo é calculado de acordo com a expressão apresentada no parágrafo seguinte à equação (3.10). Partindo das extremidades dos vórtices ligados, localizados em e, dado pela equação (2.1), a geometria da esteira próxima é calculada de modo recursivo a partir das equações (3.9) e (3.10), considerando valores de e interpolados linearmente a partir dos valores calculados nas secções de alinhamento. Na região da esteira afastada, e são assumidos constantes e iguais aos valores calculados em Introdução do efeito do cubo O sistema de vórtices imagem que pretende modelar o efeito do cubo é também constituído por filamentos de vórtice discretizados em segmentos retilíneos. A coordenada radial dos segmentos de vórtice imagem,, obtém-se a partir da equação (2.54), substituindo pela coordenada radial dos filamentos de vórtice (equação 3.3). As coordenadas e dos segmentos de vórtice imagem são iguais às coordenadas dos segmentos de vórtice que constituem a esteira. 3.2 Modelo discreto de fontes As linhas de fontes são discretizadas do mesmo modo que as linhas sustentadoras, sendo a coordenada radial dos pontos de controlo e das extremidades dadas pelas equações (3.2) e (3.3). Cada elemento consiste numa linha de fontes de intensidade constante, pelo que a velocidade induzida por uma linha de fontes,, é dada pela seguinte expressão: 35

53 (3.11) O integral é resolvido analiticamente no Anexo G, sendo apenas função das coordenadas do ponto de cálculo e das extremidades do elemento. A velocidade induzida num ponto exterior às superfícies de corrente é dada simplesmente pelo somatório da velocidade induzida pelas linhas de fontes (equação 2.41). Nos pontos de controlo, a velocidade induzida,, é dada pela equação (2.44) aplicada ao caso discreto. Considerando um ponto sobre a linha de fontes obtém-se: (3.12) As respetivas componentes nas direções axial e tangencial são definidas de acordo com a equação (2.46): (3.13) sendo a respetiva matriz dos coeficientes na direção axial ou tangencial, obtida a partir da manipulação da equação (3.12). 3.3 Processo iterativo A intensidade dos elementos de vórtice,, obtém-se a partir da solução de um sistema de equações a incógnitas, construído a partir da equação (2.51). As velocidades induzidas são substituídas pelas respetivas expressões (equações 3.6 e 3.13) e a intensidade das linhas de fontes,, é definida em função da intensidade dos elementos de vórtices,, e da razão, de acordo com as equações (2.15) e (2.49): (3.14) Os índices em subscrito definem todas as variáveis nos pontos de controlo. Colocando evidência obtém-se o sistema de equações a resolver: em 36

54 (3.15) De modo a iniciar o processo iterativo, define-se uma esteira de passo constante com, sendo um valor constante, e nulo em todos os pontos. Do mesmo modo, é também assumido o valor de nos pontos de controlo e, por fim, assumindo um valor inicial para calcula-se uma primeira estimativa para a intensidade da circulação em cada elemento. A intensidade das linhas de fontes é depois calculada a partir da seguinte expressão: (3.16) Impondo na equação (3.15), obtém-se o sistema de equações correspondente à teoria da linha sustentadora sem o modelo de fontes. Com a distribuição de circulação na linha e a intensidade das linhas de fontes, calculam-se as velocidades induzidas através das equações (3.6) e (3.13). Da equação (2.50) obtém-se a componente da velocidade na direção perpendicular à linha e, seguidamente, calcula-se o número de Reynolds e os coeficientes de sustentação e de resistência. A partir das evoluções e, correspondentes aos perfis que constituem as pás da turbina, obtém-se o ângulo de ataque referente a cada ponto de controlo. De modo a estabelecer uma relação unívoca entre os coeficientes de sustentação e resistência e o ângulo de ataque, os dados considerados devem incluir uma região de monótona crescente (antes da entrada em perda, a menores ângulos de ataque) e uma região de monótona crescente (depois da entrada em perda, a elevados ângulos de ataque). A equação (2.19) fecha o sistema de equações a resolver e permite calcular um novo valor para o ângulo de passo hidrodinâmico. O sistema de equações presente na equação (3.15) é resolvido novamente, utilizando uma nova estimativa para : (3.17) onde os sobrescritos, e referem, respetivamente, o valor a utilizar na iteração seguinte, o valor calculado no final do processo iterativo e o valor assumido na iteração anterior. define o fator de sub-relaxação. O sistema de equações é resolvido iterativamente até que a diferença relativa entre o valor calculado no final do processo iterativo e o valor assumido inicialmente seja menor que uma dada tolerância, : 37

55 (3.18) Após a convergência deste primeiro ciclo iterativo, as velocidades induzidas são calculadas nos pontos de alinhamento. Os respetivos valores de passo e de velocidade induzida tangencial são interpolados/extrapolados radialmente para as extremidades dos segmentos de vórtice de índice e coordenada radial. A partir dos valores calculados obtêm-se novos parâmetros para a geometria da esteira de vórtices: (3.19) (3.20) sendo o fator de sub-relaxação relativo ao alinhamento da esteira. A nova geometria é definida de modo recursivo a partir das equações (3.9) e (3.10). Na esteira próxima os parâmetros e são linearmente interpolados a partir dos valores obtidos nas secções de alinhamento. Na região da esteira afastada, e são assumidos constantes e iguais aos valores calculados em. A convergência do alinhamento é avaliada do mesmo modo que o ciclo iterativo anterior, sendo a tolerância que define o fim do processo iterativo. Por fim, os coeficientes de força axial e de potência são calculados a partir das equações (2.52) e (2.53) aplicadas ao caso discreto: (3.21) (3.22) A esquematização do processo iterativo encontra-se ilustrada na Figura

56 Figura 3.3 Esquema computacional: modelo da linha sustentadora e modelo de fontes com alinhamento da esteira. 39

57 Capítulo 4 Análise dos Resultados Neste capítulo apresentam-se os resultados do algoritmo descrito anteriormente. A análise é realizada para a turbina desenvolvida pelo laboratório NREL e testada no túnel de vento da NASA Ames Research Center em Em primeiro lugar analisa-se a convergência do método numérico com a discretização da esteira de vórtices e com o seu prolongamento para jusante. Analisa-se também o comportamento dos resultados numéricos com a discretização da linha sustentadora, sendo considerada uma distribuição de pontos uniforme e uma distribuição de tipo coseno. Em segundo lugar, analisa-se o esquema de alinhamento considerando uma esteira alinhada em duas e em três secções. Estudam-se as distribuições de passo e de velocidade induzida tangencial nas secções de alinhamento e apresentam-se as distribuições radiais de diferentes variáveis de interesse. Finalmente, em terceiro lugar, analisam-se os resultados provenientes da conjugação da teoria da linha sustentadora com o modelo de fontes. As previsões numéricas para os coeficientes de força e de potência são comparadas com as medições experimentais. 4.1 Geometria da turbina e condições do escoamento A turbina desenvolvida pelo NREL é constituída por um rotor de duas pás com 10,058 m de diâmetro. As secções das pás da turbina são constituídas pelo perfil S809 e as distribuições de corda e de ângulo de passo estão disponíveis em [26], encontrando-se listadas no Anexo H. Considerou-se um ângulo de passo de 3 na extremidade da pá. As evoluções dos coeficientes aerodinâmicos bidimensionais em função do ângulo de ataque e do número de Reynolds foram obtidas no túnel de vento da Ohio State University (OSU), disponíveis em [26] e listadas no Anexo H. As evoluções dos coeficientes aerodinâmicos encontram-se também representadas na figura seguinte (Figura 4.1). 40

58 a) Coeficiente de sustentação b) Coeficiente de resistência Figura 4.1 Evolução dos coeficientes aerodinâmicos em função do ângulo de ataque para (dados experimentais da OSU). e As condições do escoamento de aproximação consideradas nas simulações encontram-se listadas na Tabela 4.1. Os casos de teste foram determinados pelos resultados experimentais disponíveis na bibliografia [27]. Caso de teste 1 5,41 7,0 71,9 1,246 1, ,80 10,0 72,1 1,246 1, ,92 13,0 72,1 1,227 1,4515 Tabela 4.1 Condições de funcionamento a utilizar nas simulações numéricas (adaptado de [27]). 4.2 Convergência dos resultados com a discretização da esteira de vórtices O estudo da convergência dos resultados com a discretização da esteira é realizado com a linha sustentadora discretizada em 20 elementos ( ) e usando uma distribuição de tipo coseno. Assume-se uma esteira de passo constante, alinhada na linha sustentadora, e as especificações do caso de teste 1, presentes na Tabela 4.1. O efeito do cubo é considerado de acordo com o modelo descrito na secção

59 Pretende-se analisar o comportamento da solução numérica (obtida para uma tolerância do erro iterativo, e, de ) com o aumento da discretização da esteira, ou seja, com o aumento do número de elementos por volta,, e com o aumento do comprimento axial da esteira,. Na Figura 4.2 é possível observar que o coeficiente de potência,, tende para um valor, tanto com o aumento de como com o aumento de. Para uma esteira dez vezes maior que o raio do rotor, o coeficiente de potência obtido com apresenta um aumento de 0,4% face ao valor obtido para, sendo a diferença absoluta da ordem de. Para e, o coeficiente de potência apresenta uma diminuição de 0,3% face ao valor obtido com e, sendo a diferença absoluta da ordem de. Para a gama de valores de e considerada, a discretização da esteira tem mais influência no coeficiente de potência do que o prolongamento da mesma para jusante. Assim, e tendo em conta a necessidade de limitar o tempo computacional, discretiza-se a esteira de vórtices em 200 elementos por volta e prolonga-se a esteira até nas simulações seguintes. Figura 4.2 Coeficiente de potência,, para diferentes níveis de discretização e truncatura da esteira relativos ao caso de teste 1 ( ). Os resultados obtidos para podem ser comparados com o resultado do método dos fatores induzidos. O método dos fatores induzidos calcula as velocidades induzidas através de expressões assimptóticas [5] e considera filamentos de vórtices helicoidais infinitos, de passo constante e alinhados na linha. Para uma esteira truncada em, o valor previsto pelo método numérico para o coeficiente de potência é 0,3% superior ao valor obtido pelo método dos fatores induzidos e considerando uma esteira truncada em, obtém-se um resultado 0,013% inferior ao obtido pelo método dos fatores induzidos. 42

60 Na Figura 4.3 encontram-se as distribuições radiais de circulação, ângulo de ataque e velocidades induzidas, sendo possível observar a convergência dos resultados mencionada anteriormente. As distribuições não variam significativamente com a truncatura da esteira pelo que são apenas apresentadas as distribuições relativas a. As evoluções junto ao cubo devem-se à modelação do mesmo como um cilindro infinito, centrado na origem e de raio. a) Circulação b) Ângulo de ataque c) Velocidade induzida axial d) Velocidade induzida tangencial Figura 4.3 Distribuição radial de circulação, ângulo de ataque e velocidades induzidas para diferentes níveis de discretização. Truncatura da esteira a ( ). 43

61 4.3 Convergência da solução com a discretização da linha sustentadora Assume-se novamente uma esteira de passo constante, alinhada na linha sustentadora, considera-se uma esteira de vórtices discretizada em 200 elementos por volta ( ), truncada em, e as especificações do caso de teste 1. Os resultados são novamente apresentados com o efeito do cubo. Nesta secção analisa-se o comportamento da solução numérica com o aumento da discretização da linha sustentadora, considerando uma distribuição de pontos uniforme e uma distribuição de tipo coseno. Para a convergência do processo iterativo define-se novamente. Na Figura 4.4 encontra-se representada a evolução do coeficiente de potência,, com o número de elementos em que se discretiza a linha sustentadora,, referente aos dois tipos de distribuição. Da análise da figura, conclui-se que a distribuição do tipo coseno permite a convergência dos resultados para um menor número de elementos. Com a distribuição uniforme os resultados para ainda não apresentam uma tendência assimptótica. Para a distribuição de tipo coseno, a previsão do coeficiente de potência para apresenta uma diminuição de apenas 0,3% relativamente ao valor obtido para. É também possível verificar a convergência supracitada nas distribuições radiais de circulação e de velocidades induzidas representadas na Figura 4.5. Nas restantes simulações a linha sustentadora é discretizada em 30 elementos, sendo considerada uma distribuição do tipo coseno. Figura 4.4 Coeficiente de potência,, para diferentes níveis de discretização da linha, considerando distribuição uniforme e do tipo coseno ( ). 44

62 a) Circulação (distribuição tipo coseno) b) Circulação (distribuição uniforme) c) Velocidade induzida axial (distribuição tipo coseno) d) Velocidade induzida axial (distribuição uniforme) e) Velocidade induzida tangencial (distribuição tipo coseno) f) Velocidade induzida tangencial (distribuição uniforme) Figura 4.5 Distribuição radial de circulação e das velocidades induzidas para diferentes níveis e tipos de discretização da linha sustentadora ( ). 45

63 4.4 Alinhamento da esteira de vórtices em múltiplas secções Nesta análise procurou-se alinhar a esteira de vórtices em múltiplas secções, de acordo com o esquema de alinhamento apresentado na secção A linha sustentadora encontra-se discretizada em 30 elementos, usando uma distribuição de tipo coseno, e a esteira de vórtices encontra-se discretizada em 200 elementos por volta e truncada em. Nesta análise também foi considerado o efeito do cubo e as especificações do caso de teste Alinhamento da esteira em duas secções ( ) Considera-se uma esteira alinhada na linha sustentadora e na secção. A geometria da esteira em e em é dada pelas velocidades induzidas calculadas nessas secções. Entre as duas secções de alinhamento, assume-se que o passo e a velocidade induzida tangencial variam linearmente. A jusante de assume-se que a distribuição de passo e de velocidade induzida tangencial permanecem iguais aos valores registados em. Nas Figuras 4.6 e 4.7 encontram-se representadas as distribuições radiais de passo e de velocidade induzida tangencial relativas a cada secção de alinhamento. Os resultados foram obtidos para uma tolerância de. A diferença entre as distribuições de passo e de velocidade induzida tangencial calculadas em cada iteração e as respetivas distribuições consideradas na iteração anterior encontra-se também representada, em módulo, nas Figuras 4.6 e 4.7. a) b) Figura 4.6 Distribuição radial do passo nas secções de alinhamento (a) e módulo do erro absoluto ao longo das iterações (b). 46

64 a) b) Figura 4.7 Distribuição radial da velocidade induzida tangencial nas secções de alinhamento (a) e módulo do erro absoluto ao longo das iterações (b). O passo em é inferior ao que se regista na secção até cerca de 90% do raio do rotor, onde assumem comportamentos contrários, como é possível constatar na Figura 4.6 a). Na Figura 4.7 a), verifica-se que a velocidade induzida tangencial é maior na secção de alinhamento do que na linha sustentadora. A esteira de vórtices resultante deste alinhamento encontrase ilustrada na Figura 4.8, onde se encontra também representada a esteira de vórtices de passo constante alinhada somente na linha. Na Figura 4.8 b), o efeito do aumento do passo na extremidade é evidente: antes de os filamentos de vórtices na extremidade estão mais atrasados que os restantes filamentos de vórtices, verificando-se a situação oposta depois de. a) Esteira alinhada na linha b) Esteira alinhada na linha e em Figura 4.8 Vista lateral da esteira de vórtices relativa à linha sustentadora alinhamento. para as duas situações de Na Figura 4.9 é possível comparar o efeito do alinhamento nas distribuições de circulação, ângulo de ataque e velocidades induzidas. Na Tabela 4.2 encontram-se as previsões para o 47

65 coeficiente de potência considerando uma esteira de passo constante, alinhada na linha ( ), e a esteira de passo variável alinhada em e em ( ). A esta última está associado um aumento do coeficiente de potência de 19%, relacionado principalmente com o aumento da circulação e com a diminuição da velocidade induzida axial. a) Circulação b) Ângulo de ataque c) Velocidade induzida axial d) Velocidade induzida tangencial Figura Distribuição radial de circulação, ângulo de ataque e velocidades induzidas para uma esteira alinhada na linha ( ) e uma esteira alinhada na linha e na secção ( ). Alinhamento Na linha ( ) 0,2790 Na linha e em ( ) 0,3332 Tabela 4.2 Coeficiente de potência,, para diferentes alinhamentos da esteira ( ). 48

66 4.4.2 Alinhamento da esteira em três secções ( ) Considera-se agora uma esteira alinhada em três secções: na linha, em e em. O método numérico procura uma esteira alinhada nas três secções mencionadas, assume uma variação linear do passo e da velocidade induzida tangencial entre cada duas secções de alinhamento e, a jusante de, conserva as distribuições radiais destes dois parâmetros inalteradas. As distribuições de passo e de velocidade induzida tangencial nas secções de alinhamento encontram-se representadas nas Figuras 4.10 e 4.11, juntamente com o módulo do erro absoluto ao longo das iterações. Os resultados que se apresentam foram obtidos para 100 iterações. a) b) Figura 4.10 Distribuição radial do passo nas secções de alinhamento (a) e módulo do erro absoluto ao longo das iterações (b). a) b) Figura 4.11 Distribuição radial da velocidade induzida tangencial nas secções de alinhamento (a) e módulo do erro absoluto ao longo das iterações (b). 49

67 As distribuições de passo e de velocidade induzida tangencial nas duas primeiras secções ( e ) assumem valores semelhantes aos registados no alinhamento anterior. Em as distribuições de passo e de velocidade induzida tangencial mantêm-se na vizinhança dos valores obtidos para, pelo que a nova esteira de vórtices não apresenta uma configuração muito distinta da obtida no alinhamento anterior, onde se manteve constante a distribuição de passo e de velocidade induzida tangencial a jusante de. As distribuições radiais de circulação, ângulo de ataque e velocidades induzidas obtidas com esta esteira de vórtices são praticamente coincidentes aos valores registados para a esteira alinhada em duas secções, apresentadas na Figura 4.9, para. Face ao valor registado no alinhamento anterior, o coeficiente de potência apresenta uma diminuição de 0,007%. É possível verificar, nas Figuras 4.10 b) e 4.11 b), que a diminuição do erro absoluto ao longo das iterações dá-se a um ritmo menor na secção do que nas restantes secções. Na análise ao esquema de alinhamento procurou-se também alinhar a esteira de vórtices em, e mas não se obteve uma tendência convergente dos resultados Análise das velocidades induzidas radiais Na Figura 4.12 representam-se as distribuições de velocidade induzida radial para os dois casos de alinhamento mencionados. A distribuição radial na linha sustentadora assume um valor positivo em toda a sua extensão, da ordem de grandeza das velocidades induzidas tangenciais. Nas secções de alinhamento a jusante da linha, a velocidade induzida radial reduz-se para valores próximos de zero na região central e apresenta oscilações significativas nas extremidades, principalmente no bordo marginal. Estas distribuições são coerentes com uma expansão da esteira de vórtices junto à linha sustentadora e com a sua estabilização a partir de uma determinada distância a jusante do rotor. Na vizinhança de, as oscilações encontram-se relacionadas com a formação de vórtices de extremidade. Na Figura 4.12 b) é interessante verificar que a distribuição de velocidade induzida radial em mantém uma evolução similar à registada em. 50

68 a) b) Figura 4.12 Distribuição radial da velocidade induzida radial nas secções de alinhamento: a) alinhamento em duas secções ( ), b) alinhamento em três secções ( ). 4.5 Análise do desempenho da turbina com o modelo de fontes O modelo de fontes pretende analisar a turbina em condições de perda aerodinâmica, isto é, em condições de escoamento separado em determinadas posições radiais. O modelo de fontes, conjugado com a teoria da linha sustentadora, é testado para as condições 1 ( ) e para os casos de teste 2 e 3, presentes na Tabela 4.1, referentes a mais reduzidos. No primeiro caso, a linha sustentadora é discretizada em 30 elementos considerando uma distribuição de tipo coseno e a esteira de vórtices é discretizada em 200 elementos por volta, truncada em e alinhada em duas secções: na linha e em. É também considerado o efeito do cubo. A introdução do modelo de fontes não contribuiu significativamente para a alteração das distribuições de circulação e das restantes variáveis. Os resultados obtidos são, assim, semelhantes aos apresentados na Figura 4.9, para. O coeficiente de potência,, apresentou uma redução de apenas 0,08% face ao valor obtido sem o modelo de fontes. As velocidades induzidas pelas linhas de fontes encontram-se representadas na Figura 4.13, obtidas considerando. 51

69 a) Componente axial b) Componente tangencial Figura 4.13 Distribuição radial das velocidades induzidas pelas linhas de fontes para. Note-se que para estas condições de funcionamento, as velocidades induzidas pelas linhas de fontes são duas ordens de grandeza inferiores às velocidades induzidas pelo sistema de vórtices. Para os casos de estudo 2 e 3, a análise é desenvolvida sem incluir o efeito do cubo e considerando uma esteira de passo constante alinhada na linha sustentadora. As velocidades induzidas pelos vórtices são calculadas com o método dos fatores induzidos. Os resultados encontram-se representados nas Figuras 4.14 e 4.15, juntamente com os resultados obtidos para o caso de teste 1 ( ) nas mesmas condições, para efeitos de comparação. Os resultados correspondentes aos casos de teste 2 e 3 foram obtidos após 100 iterações, onde o erro relativo,, assumia um valor na ordem de. Para as condições do caso de teste 2 ( ) obtém-se um aumento do ângulo de ataque, o que dita um incremento de e de. As velocidades induzidas pelas fontes aumentam, como esperado, relativamente aos resultados obtidos para, mas mantêm-se duas ordens de grandeza abaixo das velocidades induzidas pelos vórtices. Para as condições do caso de teste 3 ( ) observa-se que o ângulo de ataque atinge valores correspondentes a um escoamento completamente separado desde a raiz à meia envergadura das pás. O coeficiente de sustentação diminui e o coeficiente de resistência aumenta como resultado do aumento do ângulo de ataque. As velocidades induzidas pelas fontes aumentam, assumindo a mesma ordem de grandeza das velocidades induzidas pelos vórtices. Os resultados obtidos apresentam oscilações ponto a ponto entre os 50% e os 70% da envergadura, onde o ângulo de ataque varia entre valores maiores e menores que 15. Analisando as características aerodinâmicas do perfil (Figura 4.1) é possível verificar que o ângulo corresponde ao ângulo de coeficiente de sustentação máximo. Do ponto de vista numérico, este 52

70 corresponde ao ponto de transição entre a utilização dos dados de na estimativa do ângulo de ataque. e a utilização dos dados de a) Circulação b) Ângulo de ataque c) Coeficiente de sustentação d) Coeficiente de resistência Figura Distribuição radial da circulação, ângulo de ataque e coeficientes de força para diferentes considerando uma esteira de passo constante, alinhada na linha, e o modelo de fontes. 53

71 a) Velocidade axial induzida pelas fontes b) Velocidade tangencial induzida pelas fontes c) Velocidade axial induzida pelos vórtices d) Velocidade tangencial induzida pelos vórtices Figura Distribuição radial das velocidades induzidas para diferentes passo constante, alinhada na linha, e o modelo de fontes. considerando uma esteira de 4.6 Comparação com os resultados experimentais Os resultados obtidos com o algoritmo implementado foram comparados com os resultados experimentais disponíveis em [27], obtidos no túnel de vento da NASA Ames Research Center em Os resultados experimentais são relativos à sequência de testes H, para uma configuração upwind, com 0 de ângulo de guinada (yaw angle) e 3 de ângulo de passo na extremidade das pás [26]. Na Figura 4.16 representam-se as evoluções do binário,, e do coeficiente de potência,, para os três casos de estudo considerados. Os resultados experimentais encontram-se representados com 54

72 o respetivo desvio-padrão e os numéricos foram obtidos de acordo com as condições descritas na secção 4.5. Da análise da figura é possível concluir que as curvas de binário e coeficiente de potência seguem a evolução medida experimentalmente. Para a condição de projeto, e, os valores previstos com a esteira alinhada em duas secções (na linha e em ) atingem a gama de valores registada experimentalmente. a) Binário,, em função da velocidade do escoamento de aproximação,. b) Coeficiente de potência,, em função do. Figura 4.16 Comparação das previsões do binário e do coeficiente de potência com os resultados experimentais para três condições de funcionamento. As medições experimentais são representadas com o respetivo desvio-padrão. Os coeficientes de força normal e tangencial à corda do perfil, e, são calculados a partir das seguintes expressões: (4.1) (4.2) onde se adiciona a razão, de modo a permitir a comparação com os resultados experimentais. As respetivas distribuições radiais relativos ao caso de teste 1 podem ser consultadas na Figura Verifica-se uma forte correlação entre os resultados experimentais e os obtidos para uma esteira alinhada em duas secções ( ). As diferenças junto ao cubo devem-se à modelação do mesmo como um cilindro infinito de raio. 55

73 a) Coeficiente de força normal, b) Coeficiente de força tangencial, Figura 4.17 Variação radial dos coeficientes de força normal e tangencial para. As medições experimentais são representadas com o respetivo desvio-padrão. As evoluções de e para os casos de estudo 2 e 3 ( e ) podem ser consultadas nas Figuras 4.18 e Apesar da boa correlação verificada na evolução do coeficiente de potência, a distribuição radial dos coeficientes de força apresenta diferenças mais significativas relativamente às medições experimentais. A utilização de uma esteira de passo constante, alinhada na linha, pode explicar parte das diferenças supracitadas no caso de estudo 2 (Figura 4.18). Os resultados relativos ao caso de estudo 3, na Figura 4.19, afastam-se largamente das medições experimentais na região de escoamento separado. a) Coeficiente de força normal, b) Coeficiente de força tangencial, Figura 4.18 Variação radial dos coeficientes de força normal e tangencial para experimentais são representadas com o respetivo desvio-padrão.. As medições 56

74 a) Coeficiente de força normal, b) Coeficiente de força tangencial, Figura 4.19 Variação radial dos coeficientes de força normal e tangencial para experimentais são representadas com o respetivo desvio-padrão.. As medições 57

75 Capítulo 5 Conclusão Com base nas equações da continuidade e de transporte de quantidade de movimento linearizada é possível chegar à teoria da linha sustentadora e ao modelo de fontes de modo paralelo, partindo da hipótese simplificativa de modelar a perturbação das pás no escoamento por linhas com forças concentradas. Considerando forças perpendiculares ao escoamento de aproximação obtêm-se as equações características da teoria da linha sustentadora e considerando forças alinhadas com o escoamento de aproximação obtém-se essencialmente o escoamento induzido por linhas de fontes. Numa abordagem linearizada, a utilização da teoria da linha sustentadora na análise de turbinas de eixo horizontal não apresenta dificuldades do ponto de vista analítico, sendo apenas necessário definir a força concentrada na linha a partir dos dados bidimensionais dos perfis, de acordo com os pressupostos de Prandtl na modelação de asas finitas. Relativamente à modelação da força de resistência a partir do modelo de fontes, assume-se de modo equivalente que os dados bidimensionais dos perfis permitem estabelecer a intensidade da força concentrada sobre a linha. No entanto, esta modelação apresenta algumas dificuldades do ponto de vista analítico no cálculo das velocidades induzidas e exige, portanto, aproximações. Numa abordagem não linear, a teoria da linha sustentadora pressupõe uma esteira de vórtices alinhada com o escoamento local. Assim, procurou-se estabelecer um método numérico de cálculo das velocidades induzidas acoplado a um esquema de alinhamento da esteira. O método numérico converge com a discretização da esteira em segmentos de vórtice retilíneos e com o prolongamento da esteira para jusante do plano das pás. Os resultados também convergem com a discretização da linha sustentadora, sendo necessário menos elementos para a obtenção de resultados convergidos prescrevendo uma distribuição de pontos do tipo coseno. Considerando uma esteira de passo constante alinhada na linha, os resultados são consistentes com os obtidos pelo método dos fatores induzidos. Considerando uma esteira de passo variável, alinhada em múltiplas secções, obtêm-se resultados convergidos para o alinhamento em duas e em 58

76 três secções. A convergência do esquema de alinhamento é mais lenta em secções mais afastadas da linha. O alinhamento da esteira aproxima as previsões numéricas aos resultados experimentais. No caso de estudo analisado, obteve-se um aumento do coeficiente de potência de 19% com o alinhamento em duas secções, face ao resultado obtido com a esteira de passo constante alinhada na linha. Os resultados obtidos com a esteira alinhada em três secções afastam-se apenas 0,007% relativamente aos valores registados no alinhamento anterior. Desde modo, reforça-se a relevância da geometria da esteira na proximidade da linha e conclui-se ser uma boa aproximação manter a geometria da esteira de vórtices constante a partir de uma dada distância a jusante das pás. A implementação do modelo de fontes acoplado à teoria da linha sustentadora pretende prever o comportamento da turbina em condições de escoamento separado, o que não é possível apenas com a teoria da linha sustentadora. Obtém-se uma boa correlação entre o coeficiente de potência e os resultados experimentais. No entanto, as distribuições dos coeficientes de força ao longo da envergadura da pá apresentam algumas discrepâncias, principalmente em regiões de escoamento completamente separado. A qualidade das previsões numéricas para o desempenho da turbina em regime estacionário, conjugando a teoria da linha sustentadora com um esquema de alinhamento, e a possibilidade de estender a análise a condições de escoamento separado com o modelo de fontes reforçam a relevância e a utilidade deste método de análise simples e rápido do ponto de vista computacional. Como trabalho futuro propõem-se alguns desenvolvimentos tanto na parte numérica como conceptual: o o o Compreender as capacidades e limitações do esquema de alinhamento implementado; Implementar outros modelos de esteira: considerando a expansão da esteira e uma variação não linear do passo e da velocidade induzida tangencial entre secções de alinhamento; Compreender as capacidades e as limitações do modelo de fontes do ponto de vista teórico e numérico e melhorar a conjugação numérica com a teoria da linha sustentadora. 59

77 Referências bibliográficas [1] PORDATA Pordata: Base de Dados Portugal Contemporâneo. Lisboa: [Consult. 17 Set. 2016]. Disponível na Internet: < +partir+de+fontes+renov%c3%a1veis-1127>. [2] APREN Evolução da Potência Instalada em Renováveis por Tecnologia [MW]. Lisboa: [Consult. 10 Set. 2016]. Disponível na Internet: < [3] APREN Estudo APREN - Deloitte. Lisboa: [Consult. 10 Set. 2016]. Disponível na Internet: < [4] FALCÃO, António Turbomáquinas: 4º Ano. Lisboa: Secção de Folhas do Instituto Superior Técnico, [5] MORGAN, William; WRENCH, John Some Computational Aspects of Propeller Design. Methods in Computational physics: Applications in Hydrodynamics. ISSN Vol. 4, (1965), p [6] BETZ, Albert Schraubenpropeller mit geringstem Energieverlust. Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse. ISSN Vol. 1919, (1919), p [7] GOLDSTEIN, Sydney On the Vortex Theory of Screw Propellers. Proceedings of the Royal Society, Series A. ISSN Vol. 123, (1929), p

78 [8] LERBS, Hermann Moderately Loaded Propellers with a Finite Number of Blades and an Arbitrary Distribution of Circulation. SNAME Transactions. ISSN Vol. 60, (1952), p [9] MORIYA, Mikao - Eine Bemerkung über die Klassenzahl der absoluten Klassenkörper. Proceedings of the Imperial Academy. ISSN Vol. 10, (1934), p [10] CUMMINGS, Damon Numerical Prediction of Propeller Characteristics. Journal of Ship Research. ISSN Vol. 17, nº 1 (1973), p [11] KERWIN, Justin; LEE, Chang-Sup Prediction of a Steady and Unsteady Marine Propeller Performance by Numerical Lifting-Surface Theory. SNAME Transactions. ISSN Vol. 86, (1978), p [12] GREELEY, David; KERWIN, Justin Numerical Methods for Propeller Design and Analysis in Steady Flow. SNAME Transactions. ISSN Vol. 90, (1982), p [13] HOSHINO, Tetsuji - Hydrodynamic Analysis of Propellers in Steady Flow Using a Surface Panel Method. Journal of The Society of Naval Architects of Japan. ISSN Vol. 165, (1989), p [14] DUARTE, Rogério Estudos sobre um método de elementos de fronteira para o cálculo do escoamento potencial estacionário em hélices propulsores marítimos. Lisboa: Universidade Técnica de Lisboa, Instituto Superior Técnico, Tese de Mestrado. [15] MAEKAWA, Hiroshi Optimum Design Method of Horizontal Axis Turbine Blades based on Lifting-line Theory. Bulletin of JSME. ISSN Vol. 29, nº 256 (1986), p [16] CHATTOT, Jean-Jacques Optimization of Wind Turbines Using Helicoidal Vortex Model. Journal of Solar Energy Engineering. ISSN Vol. 125, nº 4 (2003), p [17] FALCÃO de CAMPOS, José Hydrodynamic Power Optimization of a Horizontal Axis Marine Current Turbine with Lifting Line Theory. In INTERNATIONAL OFFSHORE AND POLAR ENGINEERING CONFERENCE, 3, Lisboa, 2007 Seventeenth International Offshore and Polar Engineering Conference. California: ISOPE, p [18] MACHADO, João Projeto hidrodinâmico de turbinas de corrente marítima de eixo horizontal com o modelo da linha sustentadora. Lisboa: Universidade Técnica de Lisboa, Instituto Superior Técnico, Tese de Mestrado. 61

79 [19] CALDEIRA, João - Análise de Modelos de Perda para o Cálculo Aerodinâmico da Turbina Eólica de Eixo Horizontal NREL/NWTC com o Método da Linha Sustentadora. Lisboa: Universidade Técnica de Lisboa, Instituto Superior Técnico, Tese de Mestrado. [20] SIMMS, David; SCHRECK, Scott; HAND, Maureen; FINGERSH, Lee Jay NREL Unsteady Aerodynamics Experiment in the NASA-Ames Wind Tunnel: A Comparison of Predictions to Measurements. Colorado: NREL, (NREL/TP ). [21] BALTAZAR, João - On the Modelling of the Potential Flow About Wings and Marine Propellers Using a Boundary Element Method. Lisboa: Universidade Técnica de Lisboa, Instituto Superior Técnico, Tese de Doutoramento. [22] BREDERODE, Vasco de - Fundamentos de Aerodinâmica Incompressível. 1.ªed. Lisboa: Edição do Autor, ISBN [23] SPARENBERG, Johan Hydrodynamic Propulsion and its optimization: Analytic Theory. 1.ªed. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, ISBN [24] BATCHELOR, George - An Introduction to Fluid Dynamics. 1.ªed. New Delhi: Cambridge University Press India, ISBN [25] KERWIN, Justin Lecture Notes on Hydrofoils and Propellers. Cambridge MA: MIT, [26] HAND, Maureen; SIMMS, David; FINGERSH, Lee Jay; JAGER, David; COTRELL, Jason; SCHRECK, Scott; LARWOOD, Scott Unsteady Aerodynamics Experiment Phase VI: Wind Tunnel Test Configurations and Available Data Campaigns. Colorado: NREL, (NREL/TP ). [27]- SORENSEN, Niels; MICHELSEN, Jess; SCHRECK, Scott Navier Stokes Predictions of the NREL Phase VI Rotor in the NASA Ames 80 ft x 120 ft Wind Tunnel. Wind Energy. ISSN Vol. 5, (2002), p

80 Anexo A Representação de um campo vetorial a partir da sua divergência e rotacional Sendo um campo vetorial que tende para zero quando, onde, então é completamente definido pela sua divergência e rotacional. A seguinte identidade vetorial pode ser aplicada ao campo : (A.1) onde representa o operador laplaciano. Se representar o campo de velocidade característico de um escoamento incompressível, a equação da continuidade estabelece pelo que a equação acima reduz-se a: (A.2), sendo, é solução fundamental do operador laplaciano, pelo que a solução da equação não homogénea (A.2) pode ser escrita da forma: (A.3) Usando as propriedades da convolução e substituindo e pelas suas definições: (A.4) sendo a distância entre o ponto de cálculo e o ponto de integração : (A.5) 63

81 Anexo B Velocidade induzida por um filamento de vórtice e uma folha de vórtices Assume-se vorticidade concentrada num tubo de comprimento e secção transversal, tal que: (B.1) A vorticidade é também concentrada entre duas superfícies de área quantidade, de tal modo que [22]:, afastadas uma dada (B.2) Deste modo, o integral em definido na equação (A.4) será nulo em todos os pontos exceto nos pontos sobre a linha e a superfície : (B.3) sendo a distância entre o ponto de cálculo e o ponto de integração, definido na equação (A.5). De acordo com as equações (B.1) e (B.2), o módulo da quantidade vetorial corresponde à intensidade do filamento de vórtice,, tendo unidades de circulação ( ); e o módulo de define a intensidade da folha de vórtices,, tendo unidades de velocidade ( ). Por fim, aplicando as propriedades dos operadores: (B.4) sendo um vetor dado pela diferença entre o ponto de cálculo e o ponto de integração: (B.5) 64

82 Anexo C Velocidade induzida por um campo de forças externo (teoria linear) Euler: Assumindo fluido invíscido e incompressível, a equação do movimento é dada pela equação de (C.1) sendo a velocidade, a massa volúmica do fluido, o campo de pressão e a resultante das forças mássicas por unidade de volume, denominado simplesmente força externa. Admite-se que iniciou a sua ação em, estando definido em cada instante numa região finita. Em o fluido encontra-se em repouso. De modo a proceder à linearização da equação de Euler, define-se o campo de velocidade como a soma de um escoamento de aproximação, assumido na direção, e uma velocidade de perturbação, : (C.2) Os termos,, e são assumidos da ordem de grandeza de, sendo este o parâmetro em relação ao qual a equação é linearizada. Substituindo a equação (C.2) na equação (C.1) e desprezando os termos obtém-se: (C.3) Considerando um referencial solidário com o escoamento de aproximação, o campo de velocidade medido nesse referencial é apenas o campo de perturbação, (C.3) se reduz a:, pelo que a equação (C.4) Aplicando o operador rotacional dos dois lados da equação obtém-se: (C.5) E por fim, substituindo na equação (A.4) o termo pela equação (C.5) obtém-se: 65

83 (C.6) Na última igualdade, o resultado do integral em é uma quantidade vetorial que designaremos por. Aplicando a identidade vetorial expressa pela equação (A.1) ao vetor obtémse: (C.7) e portanto, (C.8) O primeiro termo do segundo membro pode ser simplificado considerando que: (C.9) sendo uma quantidade vetorial qualquer. E o segundo termo é simplificado considerando a equação (A.3): (C.10) pelo que se obtém: (C.11) 66

84 Anexo D Velocidade induzida por uma força externa, concentrada numa linha, em movimento segundo uma superfície helicoidal Considere-se uma força concentrada numa linha. A linha encontra-se em movimento deslocando-se ao longo de um helicóide tal como ilustrado na Figura D.1. A força inicia a sua ação em, momento em que a linha ocupa a posição. Para o fluido encontra-se em repouso em relação ao sistema de eixos cartesiano. Figura D.1 Linha em movimento (helicóide). A superfície helicoidal é definida em coordenadas cilíndricas expressões: na forma paramétrica pelas (D.1) e em coordenadas cartesianas por: (D.2) sendo o passo do helicóide (deslocamento axial ao fim de uma volta completa) e e as coordenadas radiais que limitam o helicóide. O vetor define a posição da linha em cada instante : (D.3) 67

85 sendo a posição angular da linha e a posição axial. A velocidade da linha é definida pelo vetor, igual à derivada do vetor em ordem ao tempo. define o módulo da velocidade,. A força, concentrada na linha, é então definida por: (D.4) sendo o vetor força, cujo módulo,, define a intensidade da força por unidade de comprimento ( para ) e a função delta de Dirac que torna nulo em pontos exteriores a. A equação (C.11) pode ser utilizada para calcular o campo de velocidade induzido por esta força, substituindo pela expressão (D.4). Neste caso particular, é preferível definir a integração no espaço em coordenadas cilíndricas : (D.5) Tal como apresentado na Anexo B, o vetor é definido pela diferença entre o ponto de cálculo e o ponto de integração. Em coordenadas cartesianas: (D.6) No segundo membro da equação (D.5), o primeiro termo pode ser simplificado decompondo o integral em volume em três integrais lineares ao longo das três direções e considerando a propriedade da função delta de Dirac, : (D.7) Na equação (D.7) teve-se em conta que é nulo para. As funções delta de Dirac são nulas em todos os pontos exceto numa vizinhança de e. Deste modo, utilizando as propriedades da função delta de Dirac obtém-se a expressão simplificada: (D.8) 68

86 sendo agora definido da forma: (D.9) Substituindo o primeiro termo da equação (D.5) pela expressão (D.8) e trocando as ordens de integração obtém-se por fim: (D.10) Tal como enunciado inicialmente, cada ponto da linha distância percorrida por cada ponto da linha é dada pela expressão: descreve uma trajetória helicoidal. A (D.11) Na equação (D.10), a integração no tempo pode ser substituída pela integração ao longo de. é facilmente definido em função de a partir da equação (D.11) e, sendo a velocidade da linha em função da coordenada radial, define-se. Deste modo: (D.12) sendo 69

87 Anexo E Escoamento induzido por forças distribuídas em superfícies e concentradas num ponto Considerando um contorno fechado contorno é por definição: constituído por partículas de fluido, a circulação nesse (E.1) sendo um vetor de comprimento e orientado ao longo do contorno. A segunda igualdade segue diretamente do teorema de Stokes pelo que é uma superfície apoiada em e o vetor unitário perpendicular a, orientado segundo pela regra da mão direita. Para o cálculo da variação da circulação ao longo do tempo consideremos um contorno move com as partículas de fluido: que se (E.2) Na segunda igualdade, o último termo é zero tal como demonstrado em [23] e a derivada total da velocidade é dada pela equação (C.1): (E.3) Considerando por exemplo uma força definida da forma: aplicada perpendicularmente a uma superfície (E.4) sendo o impulso da força por unidade de área, a normal à superfície com o sentido de, a função delta de Dirac relativa à coordenada, sendo medido na perpendicular a e igual a zero em e a função delta de Dirac relativa à variável temporal. O campo de forças impulsivo atua no instante e encontra-se representado na Figura E.1. Em o fluido encontra-se em repouso. 70

88 Figura E.1 Força aplicada numa superfície (adaptado de [23]). Substituindo na equação (E.3) a força pela sua definição e considerando um contorno que no instante intercepta perpendicularmente a superfície, envolvendo (Figura E.1) obtém-se: (E.5) Integrando a expressão anterior ao longo do tempo obtém-se: (E.6) onde a segunda igualdade segue diretamente da propriedade de filtragem da função delta de Dirac. Este resultado mantém-se para qualquer contorno que envolva, por mais pequeno que seja, e anula-se para qualquer contorno que não envolva. Deste modo, podemos considerar que no instante seguinte a surge um vórtice concentrado em de intensidade dada por. Refazendo este exercício considerando a equação de Euler na forma linearizada, obter-se-ia exatamente o mesmo resultado mas para um contorno solidário com o escoamento não perturbado,, ou fixo no espaço se. Deste modo, à luz da teoria linearizada, o escoamento induzido por uma força impulsiva e distribuída de modo homogéneo sobre uma superfície perpendicular, pode ser modelada por um vórtice concentrado em, de intensidade dada por. Se em lugar de uma força distribuída sobre uma superfície se considerar uma força impulsiva pontual, obtém-se um resultado análogo ao anterior espalhando a respetiva intensidade da força por uma área perpendicular. Definindo então da forma: (E.7) 71

89 sendo um vetor orientado segundo a direção da força e cujo módulo,, define a intensidade do impulso da força e,, e funções delta de Dirac relativas às coordenadas espaciais, e e à variável temporal,. é atuado em e para o fluido encontra-se em repouso. Assumindo da ordem de grandeza de, o campo de velocidade induzido pela força pontual pode ser expresso pela equação (C.11) substituindo pela expressão dada em (E.7). (E.8) Uma vez que o produto é diferente de zero apenas na origem e é diferente de zero apenas no instante inicial,, a segunda igualdade segue da propriedade de filtragem da função delta de Dirac. O vetor é então dado por:. (E.9) Observando o resultado obtido para o campo de velocidades, conclui-se que o primeiro termo corresponde ao escoamento induzido por um dipolo localizado na origem, com intensidade dada por, e que o segundo termo é um termo singular, localizado na origem e orientado segundo. A divergência do primeiro termo é nula em todos os pontos exceto na origem, sendo igual ao simétrico da divergência do segundo termo, respeitando assim a equação da continuidade para escoamento incompressível. O segundo termo pode então ser entendido como a passagem de fluido do poço para a fonte de modo a realimentar a fonte com o caudal absorvido pelo poço, mantendo assim a divergência nula em todos os pontos (Figura E.2). Quanto à vorticidade, esta encontra-se concentrada na origem e é dada pelo rotacional do segundo termo. A demonstração deste resultados pode ser encontrada em [23]. Figura E.2 Divergenceless dipole [23]. 72

90 Sendo a divergência nula em todos os pontos e estando a vorticidade concentrada na origem, é possível obter uma mesma impressão do escoamento considerando um vórtice concentrado, tal como sugerido no caso da força distribuída numa superfície. Comecemos então por definir num referencial adequado centrado na origem, tal que. Podemos considerar que se encontra distribuído sobre uma superfície perpendicular (um círculo de raio definido da forma: ou um quadrado de lado ), ficando então o campo de forças (E.10) Por fim, substituindo a equação (E.10) na equação (E.3) e seguindo a mesma formulação apresentada nas equações seguintes, conclui-se a existência de um vórtice concentrado em intensidade dada por, tal como ilustrado na Figura E.3. de Figura E.3 Vórtice concentrado em. Obtém-se assim uma relação entre força e circulação, tal como no caso da força distribuída sobre uma superfície. O campo de velocidade pode ser calculado usando a lei de Biot-Savart (equação B.4) e fazendo o limite. 73

91 Anexo F Velocidade induzida por uma força concentrada numa linha, alinhada com a velocidade Assume-se um campo de forças alinhado com a velocidade, ou seja, é tangente ao movimento descrito pela linha. Sendo o vetor unitário tangente ao movimento, na equação (D.4), é definido por. Em coordenadas cilíndricas define-se: (F.1) sendo, uma vez que a coordenada radial da linha mantém-se constante ao longo de. Para, em coordenadas cartesianas é dado por: (F.2) A velocidade induzida por é calculada através da equação (D.12). Substituindo por, o primeiro termo do segundo membro da equação (D.12) é dado por: (F.3) Resolvendo separadamente e obtém-se facilmente a igualdade: (F.4) pelo que a equação (F.3) toma a forma: (F.5) Procedendo à integração por partes obtém-se: (F.6) 74

92 Utilizando o resultado obtido em (F.6), a velocidade induzida por uma força alinhada com a velocidade, concentrada numa linha em movimento segundo um helicóide é dada por: (F.7) 75

93 Anexo G Velocidade induzida por um segmento de vórtice e de fontes de intensidade constante A velocidade induzida por um filamento de vórtice é expressa pela lei de Biot-Savart, tal como demonstrado no Anexo B: (G.1) Aplicando a equação (G.1) a um filamento de vórtice finito e retilíneo de intensidade constante, obtém-se: (G.2) sendo e as extremidades do segmento de vórtice de coordenadas e, o módulo da intensidade do filamento de vórtice e o versor unitário orientado de para em [11]: O cálculo do módulo da velocidade,, é desenvolvido seguindo a metodologia presente (G.3) sendo o módulo do ângulo formado pelos dois vetores (relembra-se e ). A Figura G.1 pretende ilustrar as relações geométricas entre o segmento de vórtice e o ponto de cálculo. As quantidades e encontram-se também representadas na Figura (G.1), sendo definidas a partir das seguintes expressões: (G.4a) (G.4b) (G.4c) 76

94 (G.4d) (G.4e) a) b) c) Figura G.1 Segmento de vórtice retilíneo e ponto de cálculo. Da análise da Figura (G.1), exprime-se e e substituindo na equação (G.3) obtém-se: (G.5) O integral é resolvido pelo método de substituição aplicando e : (G.6) onde a segunda igualdade obtém-se a partir do seguinte cálculo auxiliar: (G.7) Por fim, substituindo e, obtém-se a partir da manipulação da equação (G.6): 77

95 (G.8) De acordo com a equação (G.8), a velocidade induzida tende para infinito quando a distância medida na perpendicular entre o ponto de cálculo e o segmento de vórtice,, tende para zero. Trata-se de um resultado esperado se for considerada a configuração (b) da Figura (G.1), em que o ponto de cálculo se aproxima do segmento de vórtice, no entanto, considerando as configurações (a) e (c) da mesma figura, quando o ponto de cálculo encontra-se apenas alinhado com o segmento de vórtice pelo que a velocidade induzida não deve tender para infinito. Nestes casos, a velocidade induzida pode ser calculada com recurso a uma expressão equivalente, válida para ângulos e pequenos: (G.9) (G.10) Estas expressões foram deduzidas a parir da equação (G.8), aplicando as seguintes aproximações aos ângulos e : e. O vetor velocidade tem a direção da normal ao plano formado pelo segmento de vórtice e pelo ponto de cálculo, tal como imposto pelo produto externo presente na equação (G.2). O vetor velocidade pode então ser definido do seguinte modo, sendo o versor diretor dado por. Sendo: (G.11) Por fim, as componentes do vetor velocidade nas direções ) são dadas por: (G.12a) (G.12b) (G.12c) sendo as coordenadas do ponto dadas por: 78

96 (G.13a) (G.13b) (G.13c) A velocidade induzida por uma linha de fontes,, é dada pela seguinte expressão: (G.14) sendo o caudal emitido pela linha de fontes por unidade de comprimento e a distância entre a linha de fontes e o ponto de cálculo. Esta expressão deduz-se facilmente da equação (A.1), concentrando transversal e fazendo tender para infinito e tender para zero tal que: num tubo de secção (G.15) Considerando um segmento da linha de fontes de intensidade constante de extremidades, a equação (G.14) reduz-se a: e (G.16) onde a segunda igualdade deriva do cálculo auxiliar presente na equação (C.9). Na Figura G.2 encontram-se representadas as relações geométricas entre o segmento de fontes e o ponto de cálculo. As variáveis e são definidas de acordo com a equação (G.4). Figura G.2 Segmento de fontes retilíneo e ponto de cálculo. 79

97 As componentes da velocidade nas coordenadas locais dadas pela seguinte expressão: apresentadas na Figura G.2 são (G.17a) (G.17b) (G.17c) sendo e. O vetor velocidade pode ser definido da forma, sendo e os versores diretores das coordenadas locais dados por: (G.18a) (G.18b) As componentes da velocidade nas direções são por fim dadas pelas expressões: (G.19a) (G.19b) (G.19c) 80

98 Anexo H Distribuição de corda e de ângulo de passo da turbina NREL e coeficientes aerodinâmicos do perfil S809 1,257 0,250 0,737 25,04 1,343 0,267 0,728 23,074 1,51 0,300 0,711 19,292 1,648 0,328 0,697 16,909 1,952 0,388 0,666 12,979 2,257 0,449 0,636 10,308 2,343 0,466 0,627 9,715 2,562 0,509 0,605 8,425 2,867 0,570 0,574 7,083 3,172 0,631 0,543 6,15 3,185 0,633 0,542 6,115 3,476 0,691 0,512 5,494 3,781 0,752 0,482 4,985 4,023 0,800 0,457 4,619 4,086 0,812 0,451 4,525 4,391 0,873 0,42 4,08 4,696 0,934 0,389 3,648 4,78 0,950 0,381 3, ,994 0,358 3,225 5,029 1,000 0,356 3 Tabela H.1 Distribuição radial de corda e de ângulo de passo da turbina NREL [26]. Figura H.1 Turbina NREL no túnel de vento da NASA [26]. 81