METAHEURÍSTICAS PARA A SOLUÇÃO DO PROBLEMA DA ÁRVORE DE COBERTURA MÍNIMA GENERALIZADO

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1 METAHEURÍSTICAS PARA A SOLUÇÃO DO PROBLEMA DA ÁRVORE DE COBERTURA MÍNIMA GENERALIZADO Fernando de Cristo, Felipe Martins Muller Universidade Federal de Santa Maria UFSM Programa de Pós-Graduação em Engenharia da Produção Santa Maria RS Brasil fernandodecristo@yahoo.com.br, felipe@inf.ufsm.br Luciano Ferreira Universidade de Cruz Alta, Curso de Ciência da Computação Cruz Alta RS Brasil lferreira@unicruz.edu.br Denis Borenstein Escola de Administração, Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Rua Washington Luis 855, Porto Alegre, RS, Brasil, denisb@ea.ufrgs.br Paulo Ricardo B. Dutra Lima, Fabio Mariano Bayer, Marcio Frick, Marlise Rosa Universidade Federal de Santa Maria UFSM Programa de Pós-Graduação em Engenharia da Produção Santa Maria RS Brasil paulor@inf.ufsm.br, fabiobayer@mail.ufsm.br, marfric@gmail.com, marlis.rosa@gmail.com RESUMO O problema da árvore geradora mínima generalizado (PACMG) está presente em várias situações do mundo real, tais como no contexto das telecomunicações, transportes e agrupamento de dados, onde uma rede de clusters precisa ser conectada utilizando um nodo de cada cluster. Nesse trabalho é apresentado o projeto e a implementação de duas metaheurísticas, um algoritmo genético e uma busca tabu, para o PACMG. Nos testes com as metaheurísticas propostas foram utilizadas 34 instâncias da TSPLIB geradas através do método de agrupamento Center Clustering. PALAVRAS-CHAVE: Árvore de Cobertura Mínima Generalizada. Otimização em Grafos. Metaheuristicas. ABSTRACT The generalized minimum spanning tree problem (GMSTP) is present in many situations of the real world, such as in the context of telecommunications, transports and data clustering, where a network of clusters needs to be connected using one node from each cluster. In this work is presented the design and implementation of two meta-heuristics, a genetic algorithm and a tabu search, for the GMSTP. In tests with proposed meta-heuristics were used 34 TSPLIB instances generated with the Center Clustering grouping procedure. KEYWORDS: Generalized Minimum Spanning Tree. Graph Optimization. Metaheuristics. [1578]

2 1. Introdução A utilização de algoritmos heurísticos para a resolução de alguns tipos de problemas de otimização combinatória é motivada e justificada pela complexidade dos algoritmos necessários para encontrar sua solução ótima. O Problema da Árvore de Cobertura Mínima Generalizado (PACMG), objeto de estudo neste trabalho, é da classe NP-Difícil, não sendo conhecido nenhum algoritmo exato que o resolva em tempo polinomial. Para demonstrar que esse problema é NP- Difícil, Myung et al. (1995) utilizaram o node cover problem, que é conhecidamente NP- Completo, e demonstraram que ele pode ser reduzido polinomialmente para o PACMG. Esse problema vem despertando o interesse de pesquisadores da área de pesquisa operacional, não só por ser classificado como um problema NP-Difícil, mas, também, por apresentar inúmeras aplicações práticas na área de transportes, energia, telecomunicações, biologia molecular e agrupamento de dados (HAOUARI e CHAOUACHI, 2006), além de aplicações em problemas de localização de facilidades, em problemas de roteamento, em projeto de circuitos integrados e planejamento da produção (DROR et al., 2000). Algumas soluções têm sido propostas para o problema (detalhadas na seção 3), porém, analisando esses trabalhos, percebe-se que novas alternativas podem ser desenvolvidas e testadas nesse contexto, pois é um problema ainda pouco explorado na literatura. Além disso, melhores resultados computacionais podem ser obtidos para instâncias de grande dimensão. Portanto, o objetivo desse trabalho é avaliar a aplicabilidade de duas metaheurísticas (algoritmo genético e busca tabu) para a resolução do PACMG. Essas técnicas, em conjunto com reconexão de caminhos, ainda não haviam sido exploradas para o problema em questão. O artigo está dividido da seguinte maneira: na seção 2 é apresentado e definido o Problema da Árvore de Cobertura Mínima Generalizado; na seção 3 é apresentada a revisão de literatura, apresentando alguns dos trabalhos que previamente abordaram o tema, além daqueles que serviram como base para as soluções propostas; na seção 4 são apresentados e detalhados os algoritmos implementados; a seção 5 contempla os resultados computacionais obtidos; e, na seção 6, apresentam-se as considerações finais, na forma de conclusões, a respeito dos resultados e trabalhos relacionados. 2 Definição do Problema A formalização matemática do PACMG pode ser descrita como: dado um grafo G com vértices divididos em grupos, encontrar uma árvore T que contenha ao menos um (ou exatamente um) vértice de cada grupo de G, de forma que a soma do custo das arestas de T seja mínima. Portanto, o problema é definido sobre um grafo ponderado G = G(V, E), onde V representa o conjunto de vértices e E = {(i, j): i, j V, i j} o conjunto de arestas. Neste problema, o conjunto V de vértices do grafo é particionado em k grupos Vi, i K = {g 1, g 2,..., g k } (FEREMANS et al., 2001). A Figura 1 mostra um exemplo de solução para o PACMG considerando k = 4 e N = 12. Conforme pode-se notar, apenas um elemento de cada grupo compõe a árvore geradora. Figura 1 Exemplo de solução para o PACMG Fonte: Ferreira et al. (2006) [1579]

3 3 Revisão de literatura Essa seção tem como objetivo apresentar alguns trabalhos que serviram como base para o desenvolvimento, tanto do algoritmo genético, quanto da busca tabu, apresentados nas próximas seções. Um dos primeiros trabalhos analisados foi apresentado por Golden et al. (2005). Os autores apresentam dois métodos de busca heurística para PACMG: um procedimento de busca local e um algoritmo genético. O algoritmo genético emprega quatro diferentes operadores genéticos: crossover, tree separation, mutação randômica e busca local. Nesse algoritmo, cada cromossomo é representado como um vetor de números inteiros, onde cada posição do vetor armazena um vértice de um determinado cluster. Para gerar a população inicial, o autor utilizou duas heurísticas construtivas. Na primeira, um nodo de cada cluster é selecionado aleatoriamente, nesse caso, o algoritmo de Kruskal é utilizado para gerar uma solução de menor custo, na segunda heurística o algoritmo de Prim foi adaptado para construir uma árvore geradora de custo mínimo. Para maiores detalhes sobre os algoritmos clássicos para a resolução do problema da árvore geradora de custo mínimo consulte Ahuja et al. (1993). O operador de crossover utilizado é o single-point, onde o ponto de crossover é selecionado aleatoriamente. O autor descreve também um outro operador reprodutivo, chamado tree separation, onde dois descendentes são gerados a partir de um mesmo pai, numa espécie de auto-reprodução. Os autores implementaram uma operação de mutação aleatória, tanto o alelo quanto a escolha do novo nodo são feitas aleatoriamente com probabilidade uniforme. Uma heurística de busca local também é utilizada como uma espécie de mutação. O critério de sobrevivência dos cromossomos adotada pelos autores é o seguinte: 10% dos sobreviventes são eleitos pela função de fitness, enquanto que os demais 90% são selecionados baseados em uma função de distribuição probabilística. Golden et al. (2005) demonstram que ambas as heurísticas propostas encontram soluções para o PACMG, com um pequeno esforço computacional. Para estes testes configurou-se uma população inicial de 500 cromossomos, operador de crossover com probabilidade de 10%; tree separation com probabilidade de 10%; operador de mutação randômica com probabilidade de 70%; busca local com probabilidade de 10%; e um ciclo de 500 gerações. Foram usadas 211 instâncias do problema para os testes. Haouari e Chaouachi (2006) propõem um algoritmo genético onde cada cromossomo é representado como uma string de números inteiros de tamanho s (onde s representa o número de subgrupos) na qual o valor do k-ésimo gene corresponde ao índice de um dos vértices que faz parte do grupo k. A heurística PROGRES, detalhada em Haouari e Chaouachi (2002), é utilizada para gerar a população inicial. Os autores utilizam um operador de crossover de dois pontos, que são selecionados aleatoriamente. Assim como em Golden et al. (2005), é utilizado um operador de mutação randômica. A população inicial utilizada no algoritmo genético foi de 100 cromossomos, o número de gerações foi definido em 16, a probabilidade de realização do crossover foi de 90%; ao passo que a operação de mutação foi realizada com probabilidade de 10%. Com essa configuração o algoritmo genético encontrou o valor de solução ótima em 92,5% das instâncias testadas. No algoritmo genético proposto por Dror et al. (2000) os autores utilizam uma representação binária para cada cromossomo (o valor 1 indica que o vértice faz parte da árvore de cobertura mínima; o valor 0 indica que o vértice não faz parte da árvore). A população inicial é criada através da Heurística de Inserção, similar ao método proposto por Prim, o operador de crossover utilizado é o single-point, enquanto que uma mutação randômica é realizada. Os parâmetros para o algoritmo são os seguintes: tamanho da população: 100; número total de gerações: 20; probabilidade de mutação: 1%; somente os cromossomos mais aptos sobrevivem a gerações futuras. Na busca tabu descrita por Ghosh (2003) a idéia básica foi de utilizar operações de préprocessamento para determinar a probabilidade de um vértice fazer, ou não, parte da solução [1580]

4 ótima. Com esta técnica de restrição de vizinhança o número de soluções candidatas atinge proporções menores, tornando o problema mais fácil de ser resolvido. Por fim, Ferreira et al. (2006) desenvolveram uma heurística GRASP com memória adaptativa para o PACMG. Importante para o contexto desse trabalho foram as heurísticas construtivas desenvolvidas pelos autores (Construtivo C1 e Construtivo C3, especialmente) e a idéia da utilização da Reconexão de Caminhos (do inglês Path Relinking) para o contexto do problema da árvore de cobertura mínima generalizado. Conforme os autores, a heurística C1 é uma adaptação do algoritmo de Kruskal para o PACMG, as arestas também são inseridas por ordem de seus pesos, porém, como o objetivo passa a ser cobrir exatamente um vértice de cada grupo, a inclusão da aresta e que une os grupos g1 e g2 determina a seleção dos vértices de g1 e g2 que estarão presentes na árvore. Logo, além de evitar arestas que resultem na formação de ciclos, o algoritmo também descarta arestas que implicariam na seleção de um segundo vértice para algum dos grupos. Por outro lado, a heurística C3 divide os grupos em c grupos maiores e aplica a adaptação de Kruskal sobre cada um desses grupos, resultando em uma floresta com c árvores. A união das árvores é feita com base na idéia de grupos vizinhos, em que são testadas as possibilidades entre todos os grupos próximos entre si. A técnica de Reconexão de Caminhos, apresentada em Glover et al. (2000), é uma forma de explorar as possíveis trajetórias (soluções intermediárias) existentes entre duas soluções que apresentam certo nível de qualidade. O algoritmo parte de uma determinada solução (base) e, passo-a-passo, a transforma em outra (alvo). Nesse trajeto, entende-se que pode ser encontrada uma solução melhor que as duas soluções extremas (FERREIRA et al., 2006). Andrade (2004) mostra que há diversas formas de se implementar a Reconexão de Caminhos. A Reconexão de Caminhos forward utiliza-se da solução de pior qualidade como solução base e a de melhor qualidade como solução alvo. A Reconexão backward parte da melhor solução, utilizando a pior solução como alvo. A Reconexão back and forward explora os dois sentidos possíveis entre as soluções, ou seja, parte-se de uma das soluções (de melhor ou pior qualidade) até que a outra seja atingida. Neste momento o processo de reconexão de caminhos continua a ser realizado, utilizando a solução atingida como base, e a solução utilizada como ponto de partida original como solução alvo. Há ainda a Reconexão mista, onde os dois sentidos entre as soluções são explorados simultaneamente. A cada passo da Reconexão de Caminhos são geradas soluções intermediárias através da inserção de atributos da solução alvo na solução base. Dentre estas soluções, aquela que apresentar melhor qualidade será utilizada no passo seguinte como nova solução alvo, enquanto que a solução que foi utilizada como alvo passa a ser a nova solução base. Os papéis de solução base e alvo se alternam até que ambas as trajetórias atinjam a mesma solução. 4 Metaheurísticas desenvolvidas 4.1 Algoritmo genético Algoritmos genéticos são modelos computacionais que imitam os mecanismos de seleção natural para resolver problemas de otimização. Foram inicialmente desenvolvidos John Holland e sua equipe nos anos 60. Essa seção apresenta a descrição do algoritmo genético desenvolvido para o problema da árvore de cobertura mínima generalizado (PACMG) Representação dos cromossomos Algoritmos genéticos trabalham sobre uma população ou conjunto de soluções para um dado problema. Cada indivíduo na população é chamado de cromossomo. Nesse trabalho, cada cromossomo foi representado como um vetor de números inteiros de mesmo tamanho do número de grupos de vértices. O alelo de um dado gene dever ser um dos vértices do grupo correspondente a sua posição no vetor. Na Figura 1 foi apresentado um exemplo de árvore de cobertura mínima generalizado com quatro grupos de vértices. Para essa árvore, o cromossomo que a representa pode ser [1581]

5 representado como na Figura Figura 2 Representação dos Cromossomos da Solução apresentada na Figura Geração da população inicial Haouari e Chaouachi (2006) sugerem que a qualidade da população inicial é muito importante para a qualidade da solução final dos algoritmos genéticos. Dessa forma, diferentes alternativas para gerar a população inicial de cromossomos foram implementadas, a saber: - Construtivo C1, conforme Ferreira et al. (2006); - Construtivo C3, conforme Ferreira et al. (2006); - Soluções randômicas, conforme Golden et al. (2005). Os cromossomos gerados nessa etapa constituem a população inicial, pois serão submetidos a operações de reprodução para gerar novos descendentes, os cromossomos filhos. O tamanho da população inicial é um dos parâmetros do algoritmo e no decorrer desse trabalho será apresentado o valor que se mostrou mais apropriado durante os testes Avaliação e seleção dos cromossomos Cada cromossomo da população inicial é avaliado através de uma função de fitness, o valor dessa função é dado pelo custo da árvore de cobertura mínima generalizado. A seleção dos cromossomos é feita de acordo com o método da roleta ponderado (do inglês roulette-wheel procedure), conforme Goldberg (1986 apud DANIEL e RAJENDRAN, 2005). De acordo com esse procedimento, a probabilidade de selecionar um cromossomo k é dada pela função: fk Pk = n f k ' = 1 A idéia desse método é selecionar cromossomos aleatoriamente, porém proporcionando maiores chances de reprodução aos mais aptos. Após várias gerações, os cromossomos menos aptos tendem a ser eliminados e os mais aptos a se reproduzir mais Crossover Duas alternativas para operações de crossover foram implementadas e testadas ao longo do desenvolvimento desse trabalho. A primeira foi o single-point crossover e a segunda opção foi o crossover uniforme. O segundo tipo de crossover apresentou os melhores resultados. Nesse método, os genes que os pais têm em comum são mantidos (formando um modelo para gerar os novos descendentes) e os demais são trocados entre si para completar o alelo dos filhos Mutação Três operações de mutação foram implementadas e testadas: mutação aleatória, busca local e tree separation. Na mutação aleatória um gene é escolhido aleatoriamente e seu valor é trocado por outro vértice do mesmo cluster. O novo vértice também é escolhido de forma aleatória. Na busca local os clusters são visitados de acordo com uma ordem previamente estabelecida até que nenhuma melhoria de custo seja possível de ser realizada. Quando um cluster é visitado, o operador de busca local avalia todos os outros vértices do cluster e seleciona aquele que representa a melhor alternativa, ou seja, aquele que diminui o custo da árvore em maior grandeza. Outro operador de mutação avaliado foi o tree separation. Essa operação consiste em gerar dois descentes a partir de um único pai, fato que pode ser visto como um operador de auto- k ' [1582]

6 reprodução (GOLDEN et al., 2005). A idéia é remover um arco da árvore pai, aquele que possui o maior custo é removido primeiro, criando duas sub-árvores. Cada sub-árvore é então reconectada através de uma adaptação do algoritmo de Prim. Para garantir que cada filho tenha suficiente carga genética do pai, se a remoção do arco de maior custo gerar uma sub-árvore com um número de vértices menor que o mínimo pré-estabelecido, outro arco é escolhido. Esse procedimento é repetido até que essa restrição seja satisfeita. Na versão final do algoritmo genético proposto nesse trabalho, utilizaram-se a mutação aleatória e a busca local. A mutação tree separation não demonstrou ser melhor em relação aos outros dois métodos testados no que diz respeito à qualidade da solução final, além de ter se caracterizado como um método com alto custo computacional Reconexão de Caminhos No algoritmo genético desenvolvido nesse trabalho utiliza-se a Reconexão de Caminhos do tipo mista a partir de uma geração inicial g. Se for encontrada uma solução melhor que a incumbente, então essa solução é adicionada à população. A geração inicial g, também serve como incremento para sua próxima execução, ou seja, a Reconexão de Caminhos é executada sempre de g em g gerações e a partir da geração g Sobrevivência A sobrevivência, na formação das gerações futuras, é um importante passo do algoritmo genético. Se o índice de sobrevivência for muito baixo, somente os mais aptos são selecionados para sobreviver, nesse caso, é possível que os mais aptos dominem o processo de busca levando a solução para um ótimo local. Por outro lado, se o índice de sobrevivência for muito alto, muitos indivíduos com fitness baixo sobreviverão, podendo fazer com que o algoritmo percorra todo o espaço de soluções (GOLDEN et al., 2005). A abordagem de sobrevivência utilizada nesse trabalho é similar às utilizadas no trabalho de Golden et al. (2005) e no trabalho de Daniel e Rajendran (2005), onde um número de cromossomos é selecionado pelo melhor fitness e os restantes são selecionados tanto por critérios probabilísticos como pelo fitness. 4.2 Busca tabu A busca tabu (Tabu Search) é um procedimento heurístico proposto por Fred Glover (GLOVER e LAGUNA, 1997) para resolver problemas de otimização combinatória. A idéia básica é evitar que a busca por soluções ótimas termine ao encontrar um ótimo local. Partindo de uma solução inicial, a busca utiliza uma memória adaptativa para criar buscas mais flexíveis. Com isso, torna-se uma busca inteligente, necessitando recordar de elementos chave para tomar decisões no decorrer da busca Lista tabu Esta metaheurística utiliza uma lista tabu, ou seja, cria uma lista temporária de movimentos ou soluções já visitadas, que será utilizada para proibir movimentos que levariam a soluções já conhecidas, evitando com isso problemas de ciclagem. O método busca, a cada iteração, uma solução melhor em seu subconjunto da vizinhança, mesmo se este causar uma piora na função objetivo. O algoritmo de busca tabu proposto neste trabalho possui um caráter probabilístico quanto à escolha do tamanho da lista de proibições. Na lista tabu, foram proibidos os vértices utilizados na última troca por um número x de iterações, onde x é escolhido aleatoriamente entre 20% e 40% do número de vértices da instância Construção da Solução Inicial A busca tabu necessita de uma solução inicial para realizar refinamentos sucessivos em busca de melhores soluções. Para a geração de uma solução inicial foram utilizados três algoritmos construtivos, sendo eles: - Construtivo C1, conforme Ferreira et al. (2006); [1583]

7 - Soluções randômicas, conforme Golden et al. (2005). - Adaptação do algoritmo de Prim para o PACMG; Para cada instância foram executados os três algoritmos construtivos e, na seqüência, foi aplicado um procedimento de busca local em cada um deles. Após a execução da busca local, utilizou-se a melhor solução encontrada para dar inicio a busca tabu. Durante os testes, o método construtivo que alcançou melhores resultados, antes da aplicação da heurística de melhoramento, foi o algoritmo C1, alcançando uma diferença média em relação às soluções ótimas de 7,45%. No entanto, após a busca local, o algoritmo que obteve melhores resultados foi o C2, com uma diferença média em relação à solução ótima de 1,33% Reconexão de Caminhos Iterativa Procurou-se combinar à busca tabu a uma técnica de intensificação de resultados para aprimorar os resultados. Executou-se a Reconexão de Caminhos a cada iteração da busca, passando-se como parâmetros a solução obtida após cada iteração da busca e conjunto de soluções de elite, que contém as melhores soluções encontradas até o momento. 5 Resultados Computacionais Nesta Seção, serão apresentados os testes e resultados computacionais realizados com os algoritmos propostos neste trabalho. A seguir, serão apresentadas as características das instâncias utilizadas nos testes, os resultados dos testes preliminares e finalmente, os resultados finais das metaheurísticas Busca Tabu com Reconexão de Caminhos e Algoritmo Genético com Reconexão de Caminhos, juntamente com comparações à resultados conhecidos. 5.1 Instâncias Utilizadas Os testes computacionais das metaheurísticas apresentadas nesse trabalho foram realizados com as instâncias clássicas para o Problema da Árvore de Cobertura Mínima Generalizado criadas por Fischetti et al. (1995). Tais instâncias também foram utilizadas por Feremans (2001), Feremans et al. (2001, 2004 e 2005) e Ferreira et al. (2006) em seus testes computacionais. Foram utilizadas 34 instâncias que possuem soluções ótimas conhecidas. Todas as instâncias são grafos conexos e particionados em k agrupamentos, onde k varia entre 10 e 40, com número de vértices entre 47 e 200, sendo que o número de vértices pode variar de um grupo para outro e a cada aresta é atribuído um peso (custo ou distância). Nas tabelas de resultados apresentadas nessa seção, as características de cada instância podem ser identificadas pelos seus nomes, que obedecem ao seguinte formato: knomev, onde k é o número de grupos da instância e v é o número de vértices. 5.2 Resultados e Testes Preliminares Os testes computacionais foram realizados em um microcomputador com um processador Pentium IV 3.0GHz, 1GB de memória RAM e sistema operacional Linux A linguagem de programação utilizada na implementação dos algoritmos foi a linguagem Java, com o compilador JDK 1.5.0_08. Nos testes computacionais, dado o caráter probabilístico dos algoritmos implementados, os resultados apresentam a média de 5 execuções do algoritmo para cada instância. Utilizou-se um valor alvo como critério de parada, que se tratava da melhor solução conhecida até o momento (ou ótimo) para a instância em questão, além de um determinado tempo limite de execução, estipulado em 500 segundos. Os parâmetros da lista tabu foram definidos empiricamente por meio de testes, obtendo um bom equilíbrio entre tempo de execução e qualidade de solução. Ao executar os primeiros testes implementados com a Busca Tabu (BT) e comparando-os com trabalhos relacionados, percebeu-se que os resultados poderiam ser melhorados. Para isso foi incluído no código o [1584]

8 método de Reconexão de Caminhos (RC). Primeiramente, utilizou-se a RC ao final da BT, aplicando-a ao conjunto de soluções elite formado pela busca. Com este método, conseguiu-se melhorar de 0,12% para 0,06% o desvio das soluções em relação ao valor ótimo. Posteriormente, utilizou-se a RC a cada iteração da busca, com isto, alcançou-se uma melhora ainda mais significativa nos resultados, obtendo-se uma diferença média das soluções ótimas de 0,04%. Na Tabela 1 são apresentados estes dados comparativos dos três estágios de implementação da Busca Tabu nas instâncias com valor ótimo conhecido. A execução do algoritmo genético também exigiu a configuração de uma série de parâmetros, tais como: taxa de mutação, crossover, tree separation e busca local; tamanho da população inicial; número de descendentes; percentual de sobrevivência da população; geração inicial e intervalo para execução da Reconexão de Caminhos. Para determinar o valor de cada um desses parâmetros, foi realizada uma etapa inicial de ajuste dos parâmetros, através da execução do algoritmo diante de um subconjunto das instâncias selecionadas. Após essa etapa chegou-se aos seguintes parâmetros para instancias com até 100 vértices: Tamanho da população inicial: 200; Número de descendentes: 100; Taxa de crossover: 80%; Taxa de mutação: 40%; Taxa de tree separation: 0%; Taxa de busca local: 30%; Reconexão de caminhos não necessária. Essa configuração se mostrou adequada apenas para instâncias com até 100 vértices, para instâncias maiores a solução ótima foi encontrada em poucos casos. Desse modo, várias alternativas para melhorar o desempenho do algoritmo foram avaliadas, desde novas heurísticas construtivas, até alterações no próprio funcionamento do algoritmo genético (operações de reprodução, forma de seleção dos cromossomos, taxa de sobrevivência, entre outros). Porém, a alternativa que apresentou melhores resultados durante a etapa de testes foi a combinação do algoritmo genético com a Reconexão de Caminhos. Passou-se então a utilizar a Reconexão de Caminhos a cada 100 gerações (esse valor também foi determinado através de testes), além de aumentar o número de descentes para 200. Os demais parâmetros permaneceram os mesmos. Vale destacar que esta última configuração apresentou melhores resultados (tanto em relação à velocidade computacional quanto em relação ao número de gerações para encontrar a solução ótima), quando a população inicial foi gerada apenas de forma aleatória, sem a utilização das demais heurísticas construtivas descritas na subseção Uma das justificativas para essa melhora de desempenho se deve ao fato de que a Reconexão de Caminhos apresentou melhores resultados quando as soluções eram mais diferentes entre si. Tabela 1 Comparativa sobre o uso de Reconexão de Caminhos Instâncias Ótimo BT sem RC BT + RC no final BT + RC a cada iteração AG sem RC AG + RC 27europ spain att gr hk eil brazil st eil pr [1585]

9 20gr rat kroa krob kroc krod kroe rd eil lin pr timeout gr timeout pr timeout bier pr timeout gr timeout pr timeout kroa timeout krob timeout pr timeout u timeout rat ,8 timeout kroa timeout timeout 40krob timeout timeout 5.3 Resultados Finais e Comparações Nesta seção é apresentada a comparação dos melhores resultados conseguidos com a Busca tabu com Reconexão de Caminhos (BT+RC) e o Algoritmo Genético com Reconexão de Caminhos (AG+RC) propostos neste trabalho, com os melhores resultados conhecidos na literatura para cada uma das 34 instâncias utilizadas. Na Tabela 2 apresentam-se as instâncias utilizadas para testes e comparam-se os resultados da BT+RC e do AG+RC aos resultados encontrados em Ferreira et al. (2006), utilizando uma metaheurística GRASP com Reconexão de Caminhos. Os tempos estão em segundos. Tabela 2 Resultados obtidos BT+RC e AG+RC Instâncias Ótimo GRASP+RC AG+RC BT+RC Tempo (Ferreira 2006) (Média) (Média) Feremans custo tempo custo tempo custo tempo 27europ , , ,03 15spain , , ,01 10att , , ,01 10gr , , ,01 10hk , , ,01 11eil , , ,00 12brazil , , ,01 14st , , ,02 16eil , , ,19 16pr , , ,02 20gr , , ,10 20rat , , ,58 20kroa , , ,80 [1586]

10 20krob , , ,22 20kroc , , ,04 20krod , , ,25 20kroe , , ,05 20rd , , ,12 21eil , , ,04 21lin , , ,17 22pr , , ,90 24gr , , ,26 25pr , , ,09 26bier , , ,08 28pr , , ,76 28gr , , ,12 29pr , , ,55 30kroa , , ,16 30krob , , ,10 31pr , , ,31 32u , , ,10 39rat , , ,00 40kroa ,84 - Timeout ,06 40krob ,25 - Timeout ,87 Nota-se que o método (BT+RC) proposto obteve ótimos resultados, pois conseguiu encontrar a solução ótima em todas as 34 instâncias utilizadas para teste. Com relação aos tempos de execução, pode-se dizer que em relação aos tempos obtido por Feremans e por Ferreira et al. (2006) para as soluções ótimas, os resultados mostram-se também muito bons. Por outro lado, o método (AG+RC) se mostrou bastante eficiente no que diz respeito à qualidade das soluções encontradas, uma vez que atingiu o valor ótimo para instâncias testadas, porém há trabalho a ser feito no sentido de minimizar o esforço computacional dispendido. 6 Conclusões Esse trabalho apresentou a elaboração e testes de duas metaheurísticas para o PACMG. Por se tratar de um problema NP-Difícil e por ainda ser pouco explorado por pesquisadores da área de pesquisa operacional, pode-se dizer que o trabalho será bastante válido para futuros pesquisadores que venham a explorar esse tema através de outras heurísticas e metaheurísticas. A qualidade das soluções obtidas com as metaheurísticas para instâncias que foram geradas pela técnica de agrupamento Center Clustering é o ponto forte do trabalho desenvolvido, as quais são comparáveis àquelas obtidas em trabalhos publicados em eventos científicos da área. Os resultados também mostram a importância do método de Reconexão de Caminhos quando aliado a Busca Tabu e/ou ao Algoritmo Genético. Esta importância é corroborada pela qualidade das soluções comparadas à versão sem tal método, principalmente em instâncias com maior número de vértices. A continuidade desse trabalho prevê uma nova etapa de testes direcionados para o refinamento dos algoritmos, especialmente no ajuste dos seus parâmetros. Além disso, pretendese submeter as metaheurísticas a outras instâncias disponíveis para o PACMG, especialmente aquelas geradas pela técnica de agrupamento Grid Clustering. Agradecimento Os autores gostariam de agradecer a Cristiane Maria Santos Ferreira pelo envio das instâncias utilizadas nos testes dos algoritmos desenvolvidos neste trabalho e ao CNPq pelo financiamento [1587]

11 parcial do trabalho de Felipe Martins Müller. Referências Ahuja, R. T., Magnanti, T. L. e Orlin J. B., Network Flows: Theory, Algorithms and Applications. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, Andrade, M. R. Q., Um GRASP com Reconexão de Caminhos para a Solução do Problema da Maximização da Diversidade. Niterói: Universidade Federal Fluminense, (Dissertação de Mestrado). Daniel, J. S. R. e Rajendran, C., A simulation-based genetic algorithm for inventory optimization in a serial supply chain. International Transactions in Operational Research, v. 12, p , Dror, M., Haouari, M. e Chaouachi, J., Generalized spanning trees. European Journal of Operational Research, v. 120, p , Feremans, C., Generalized Spanning Trees and Extensions. Tese de doutorado, Université Libre de Bruxelles, Feremans, C., Lodi, A., Toth, P. e Tramotani, A., Improving on Branch-and-Cut Algorithms for Generalized Minimum Spanning Trees. Pacific Journal of Optimization, 1, , Feremans, C., Labbé, M. e Laporte, G., The Generalized Minimum Spanning Tree Problem: Polyhedral Analysis and Branch-and-Cut Algorithm. Networks, n. 43, p , Feremans, C., Labbé, M. e Laporte, G., On Generalized Minimum Spanning Trees. European Journal of Operational Research, n. 134, p , Ferreira, C. M. S., Ochi, L. S. e Macambira, E.M., GRASP com Memória Adaptativa para o Problema da Árvore de Cobertura Mínima Generalizado. Anais do XXXVIII Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional SBPO, Goiânia, Fischetti, M., Salazar, J. J. e Toth, P., The Symmetric Generalized Traveling Salesman Polytope. Networks, n. 26, p , Ghosh D., A Probabilistic Tabu Search Algorithm for the Generalized Minimum Spanning Tree Problem. IIMA Working Papers , Indian Institute of Management Ahmedabad, Research and Publication Department, Glover, F., Laguna, M. e Martí, R., Fundamentals of scatter search and path relinking, Control and Cybernetics, v. 29, pp , Glover, F. and Laguna, M. Tabu Search. Kluwer Academic Publishers, Golden, B., Raghavan, S. e Stanojevic D., Heuristic Search for the Generalized Minimum Spanning Tree. INFORMS Journal on Computing, 17, , Haouari, M. e Chaouachi, J. S., Upper and lower bounding strategies for the generalized minimum spanning tree problem. European Journal of Operational Research, v. 171, p , Myung, Y.S., Lee, C.H.,, Tcha, D. W., On the Generalized Minimum Spanning Tree Problem, Networks, v. 26, p , [1588]