ALGORITMO DE BUSCA TABU PARA O PROBLEMA DA ÁRVORE GERADORA MÍNIMA GENERALIZADO

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1 ! "#$ " %'&)(*&)+,.- C)D 5.,.5FE)5.G.+ &4- (IHJ&?,.+ /?<>=)5.KA:.+5MLN&OHJ5F&4E)2*EOHJ&)(IHJ/)G.- D - ;./);.& ALGORITMO DE BUSCA TABU PARA O PROBLEMA DA ÁRVORE GERADORA MÍNIMA GENERALIZADO Fernando de Cristo (UFSM/PPGEP) fernandodecristo@yahoo.com.br Felipe Martins Müller (UFSM/PPGEP) felipe@inf.ufsm.br Luciano Ferreira (Unicruz) lferreira@unicruz.edu.br Denis Borenstein (UFRGS/PPGA) denisb@ea.ufrgs.br O problema da árvore geradora mínima generalizado (GMST) está presente em várias situações do mundo real, tais como no contexto das telecomunicações, transportes e agrupamento de dados, onde uma rede de clusters precisa ser conectada utilizzando um nodo de cada cluster. Nesse trabalho é apresentado o projeto e a implementação de um algoritmo de busca tabu para o problema da GMST. Nos testes computacionais foram utilizadas 150 instâncias da TSPLIB geradas através do método de agrupamento Center Clustering e Grid Clustering, os resultados demonstram a efiência do algoritmo proposto tanto no que diz respeito a qualidade das soluções obtidas quanto a velocidade de execução do algoritmo. Palavras-chaves: Árvore de Cobertura Mínima Generalizada. Otimização em Grafos. Metaheuristicas.

2 1 Introdução A utilização de algoritmos heurísticos para a resolução de problemas de otimização combinatória é motivado e justificado pela complexidade dos algoritmos que resolvem tais problemas na otimalidade. O Problema da Árvore de Cobertura Mínima Generalizado (PACMG), objeto de estudo neste trabalho, é da classe NP-difícil, não sendo conhecido nenhum algoritmo exato que resolva o PACMG em tempo polinomial. Para demonstrar que o GMST é NP-Difícil Muyng et al. (1995) utilizaram o node cover problem, que é conhecidamente NP-Completo, e demonstraram que ele pode ser polinomialmente reduzido para o GMST. Esse problema vem despertando o interesse de pesquisadores da área de pesquisa operacional não só por ser classificado como um problema NP-Difícil, mas também por apresentar inúmeras aplicações práticas na área de transportes, energia, telecomunicações, biologia molecular e agrupamento de dados (HAOUARI e CHAOUACHI, 2006), além de aplicações em problemas de localização de facilidades, em problemas de roteamento, em projeto de circuitos integrados e planejamento da produção (DROR et al., 2000). Algumas soluções têm sido propostas para o problema (detalhadas na seção 3), porém, analisando esses trabalhos, percebe-se que novas alternativas devem ser desenvolvidas e testadas para o contexto desse problema, pois é um problema pouco explorado ainda na literatura. Além disso, melhores resultados computacionais podem ser obtidos para instâncias de grande dimensão. Portanto, o objetivo desse trabalho é apresentar os resultados obtidos com a implementação de uma busca tabu para a resolução do PACMG. A utilização dessa técnica em conjunto com reconexão de caminhos, ainda não haviam sido exploradas para o problema em questão. O artigo está dividido da seguinte maneira: na seção 2 é apresentado e definido o Problema da Árvore de Cobertura Mínima Generalizado; na seção 3 é apresentada a revisão de literatura, apresentando alguns dos trabalhos que previamente abordaram o tema, além daqueles que serviram como base para as soluções propostas; na seção 4 são apresentados e detalhados os algoritmos implementados; a seção 5 que contempla os resultados computacionais obtidos; e, na seção 6, apresentam-se as considerações finais, na forma de conclusões, a respeito dos resultados e trabalhos relacionados. 2 Definição do problema O problema da árvore geradora mínima generalizado tem como finalidade, a partir de um dado grafo G com vértices divididos em grupos, encontrar uma árvore T que cubra ao menos um (ou exatamente um) vértice de cada grupo de G, de forma que a soma do custo das arestas de T seja mínima. Portanto, o problema é definido sobre um grafo ponderado G = G(V, E), onde V representa o conjunto de vértices e E = {(i, j): i, j Î V, i j} o conjunto de arestas. Neste problema, o conjunto V de vértices do grafo é particionado em k grupos Vi, i K = {g 1, g 2,..., g k } (FEREMANS et al., 2001). A Figura 1 mostra um exemplo gráfico de solução para o PACMG com k=4 grupos e N=12 vértices, onde apenas um elemento de cada grupo é ligado com outro elemento de outros grupos, com o objetivo de obter o custo mínimo passando por pelo menos um elemento de cada grupo. 2

3 3 Revisão de Literatura Figura 1 Exemplo de solução para o PACMG Fonte: Ferreira et al. (2006) Essa seção tem como objetivo apresentar alguns trabalhos que serviram como base para o desenvolvimento da busca tabu apresentada nas próximas seções. Um dos primeiro trabalhos analisados foi apresentado por Golden et al. (2005). Os autores apresentam dois métodos de busca heurística para o problema GMST: busca local e algoritmos genéticos. O algoritmo genético emprega quatro diferentes operadores genéticos, dois reprodutivos e duas mutações: crossover, tree separation, mutação randômica e busca local, respectivamente. Nesse algoritmo, cada cromossomo é representado como um vetor de números inteiros, onde cada posição do vetor armazena um vértice de um determinado cluster. Para gerar a população inicial, o autor utilizou duas heurísticas construtivas, uma aleatória, onde um nodo de cada cluster foi selecionado aleatoriamente, e outra que corresponde a uma adaptação do algoritmo de Prim para construir uma árvore geradora de custo mínimo. Haouari e Chaouachi (2006) propõem um algoritmo genético onde cada cromossomo é representado como uma string de números inteiros de tamanho s (s é o número de subgrupos) na qual o valor k- ésimo gene corresponde ao índice de um dos vértices que fazer parte do grupo k. A heurística PROGRES, detalhada em Haouari e Chaouachi (2002), é utilizada para gerar a população inicial. Os autores utilizam um operador de crossover de dois pontos, onde os dois pontos de crossover são selecionados aleatoriamente. Assim como em Golden et al. (2005), é utilizado um operador de mutação randômica. Para aumentar a velocidade computacional, o algoritmo utiliza uma restrição de busca para o subgrupo de arestas gerados através de um passo de processamento com a heurística PROGRES. No algoritmo genético proposto por Dror et al. (2000) os autores utilizam uma representação binária para cada cromossomo (o valor 1 indica que o vértice faz parte da árvore de cobertura mínima; o valor 0 indica que o vértice não faz parte da árvore). A população inicial é criada através da Heurística de Inserção, similar ao método proposto por Prim, o operador de crossover utilizado é o single-point, enquanto que uma mutação randômica é realizada. Na busca tabu descrita por Ghosh (2003) a idéia básica foi de utilizar operações de pré-processamento para determinar a probabilidade de um vértice fazer ou não, parte da solução ótima. Com esta técnica de restrição de vizinhança o número de soluções tomaria proporções menores, tornando o problema mais fácil de ser resolvido. O trabalho apresenta os melhores resultados para instâncias de pequeno e médio porte. Wang et al. (2006) também desenvolveram uma busca tabu para o PACMG, o algoritmo foi implementado em três fases: busca tabu básica, intensificação e diversificação. As soluções iniciais são geradas randamicamente, após um cluster é selecionado e todos os nodos são trocados para gerar novas soluções, toda nova solução gerada é comparada com 3

4 incubente. Os autores utilizam uma lista tabu de tamanho fixo, uma estratégia threshold para amentar a diversificaçào do espaço de busca. Ferreira et al. (2006) desenvolveram uma heurística GRASP com memória adaptativa para o problema da GMST. Importante para o contexto desse trabalho foram as heurísticas construtivas desenvolvidas pelos autores (Construtivo C1, Construtivo C2, Construtivo C3 e Construtivo C4) e a idéia da utilização da Reconexão de Caminhos (do inglês Path Relinking) para o contexto do problema da árvore de cobertura mínima generalizado. A técnica de reconexão de caminhos apresentada em Glover et al. (2000) é uma forma de explorar as possíveis trajetórias (soluções intermediárias) existentes entre duas soluções que apresentam certo nível de qualidade. O algoritmo parte de uma determinada solução (base) e, passo-a-passo, a transforma em outra (alvo). Nesse trajeto, entende-se que pode ser encontrada uma solução melhor que as duas soluções extremas (FERREIRA et al., 2006). 4 Busca tabu proposta A busca tabu (Tabu Search) é um procedimento heurístico proposto por Fred Glover para resolver problemas de otimização combinatória. A idéia básica é evitar que a busca por soluções ótimas termine ao encontrar um ótimo local. Partindo de uma solução inicial, a busca utiliza uma memória adaptativa para criar buscas mais flexíveis. Com isso, torna-se uma busca inteligente, necessitando recordar de elementos chave para tomar decisões no decorrer da busca. 4.1 Lista tabu Esta metaheurística utiliza uma lista tabu, ou seja, cria uma lista temporária de movimentos ou soluções já visitadas, que será utilizada para proibir movimentos que levariam a soluções já conhecidas, evitando com isso problemas de ciclagem. O método busca, a cada iteração, uma solução melhor em seu subconjunto da vizinhança, mesmo se este causar uma degeneração da função objetivo. O algoritmo de Busca Tabu proposto neste trabalho possui um caráter probabilístico quanto à escolha do tamanho da lista de proibições. Na lista tabu, foram proibidos os vértices utilizados na última troca por um número x de iterações, onde x pode váriar entre 0 e a quantidade de agrupamentos do grafo. 4.2 Construção da Solução Inicial A busca tabu necessita de uma solução inicial para partindo desta prosseguir com refinamentos sucessivos até se possível encontrar melhores soluções. Para a geração de uma solução inicial foram utilizados três algoritmos construtivos, sendo eles: - Construtivo C1, conforme Ferreira et al. (2006); - Construtivo C2, conforme Ferreira et al. (2006); - Adaptação do algoritmo de Prim, conforme Ferreira et al. (2006). Para cada instância foram executados foram executados os três algoritmos construtivos e na seqüência foi aplicado sobre cada um deles um procedimento de busca local descrito em Golden et al. (2005). Após a execução da busca local utilizou-se a melhor solução encontrada até o momento para dar inicio a metaheurística. Durante os testes, o método construtivo que alcançou melhores resultados, antes da aplicação da heurística de melhoramento, foi o algoritmo C1, alcançando uma diferença média em relação às soluções ótimas de 7,45%. No entanto, após a busca local, o algoritmo que obteve melhores resultados foi o C2, com uma diferença média em relação à solução ótima de 1,33%. 4

5 4.3 Reconexão de Caminhos Iterativa Procurou-se combinar à Busca Tabu a uma técnica de intensificação de resultados para aprimorar os resultados. Executou-se a Reconexão de Caminhos a cada iteração da busca, passando-se como parâmetros a solução obtida após cada iteração da busca e conjunto de soluções de elite, que contém as melhores soluções encontradas até o momento. 5 Resultados Nesta seção, serão apresentados os testes e resultados computacionais realizados com o algoritmo proposto neste trabalho. A seguir, serão apresentadas as características das instâncias utilizadas nos testes, os resultados dos testes preliminares e finalmente, os resultados finais obtidos com a metaheurística Busca Tabu com Reconexão de Caminhos, juntamente com comparações à resultados conhecidos. Os testes computacionais foram realizados com as instâncias clássicas para o Problema da Árvore de Cobertura Mínima Generalizado criadas por Fischetti et al. (1995) através dos métodos de agrupamento Center Clustering e Grid Clustering (nesse caso há um parâmetro definido pelo usuário). Tais instâncias também foram utilizadas por Feremans (2001), Feremans et al. (1999), Feremans et al. (2001), Feremans (2005), Golden et al. (2005) e Ferreira et al. (2006) em seus testes computacionais. Ao total, foram utilizadas 150 instâncias que possuem soluções ótimas conhecidas. Todas as instâncias são grafos conexos e particionados em k agrupamentos, onde k varia entre 7 e 76, com número de vértices entre 47 e 226, o número de vértices pode variar de um grupo para outro e a cada aresta é atribuído um peso (custo ou distância). Nas tabelas de resultados apresentadas nessa seção, as características de cada instância podem ser identificadas pelos seus nomes, que obedecem ao seguinte formato: knomev, onde k é o numero de cluster e v é o número de vértices. Os testes computacionais foram realizados em um microcomputador equipado com processador Athlon 64 X2 2.0GHz, 2GB de memória RAM e sistema operacional Linux A linguagem de programação utilizada na implementação dos algoritmos foi a linguagem Java, com o compilador JDK 1.6. Cada algoritmo foi executado 5 vezes para cada instância. Como critério de parada, utilizaram-se duas estratégias: 1) valor alvo, ou seja, quando a busca atingir a melhor solução conhecida até o momento (ou ótimo) para a instância em questão; e, 2) tempo limite de execução do algoritmo, estipulado em 500 segundos. Os parâmetros da lista tabu foram definidos empiricamente por meio de testes, obtendo um bom equilíbrio entre tempo de execução e qualidade de solução. Após executar os primeiros testes com a Busca Tabu (BT) e ao compará-los com trabalhos relacionados, percebeu-se que os resultados poderiam ser melhorados. Para isso foi incluído no código o método de Reconexão de Caminhos (RC). Primeiramente, utilizou-se a RC ao final da Busca Tabu, aplicando-a ao conjunto de soluções elite formado pela busca. Com este método, conseguiu-se melhorar de 0,12% para 0,06% o desvio das soluções em relação ao valor ótimo. Posteriormente, utilizou-se a RC a cada iteração da busca, com isto, alcançou-se uma melhora ainda mais significativa nos resultados, obtendo-se então o valor ótimo para todas as instancias testadas. A Tabela 1 apresenta uma comparação dos resultados obtidos pela Busca Tabu desenvolvida nesse trabalho com os resultados encontrados em Feremans, Golden et. al. (2005) e Ferreira et al. (2006), utilizando instâncias criadas com o método de agrupamento Center Clustering. Os tempos estão em segundos. Os trabalhos de Ghosh (2003) e Wang et al. (2006), não foram utilizados nas análises comparativas por não apresentarem testes com as instancias utilizadas 5

6 nesse trabalho. Instâncias k Ótimo GRASP+RC LS (Golden et BT+RC Tempo (Ferreira, 2006) al.,2005) (Média) Feremans custo tempo custo tempo custo tempo spain , ,03 europ , ,02 gr , ,20 gr , ,15 gr , ,01 att , ,01 gr , ,00 hk , ,00 eil , ,00 brazil , ,01 st , ,01 eil , ,24 pr , ,01 gr , ,84 rat , ,50 kroa , ,06 krob , ,15 kroc , ,03 krod , ,16 kroe , ,03 rd , ,08 eil , ,03 lin , ,11 pr , ,59 gr , ,17 pr , ,05 bier , ,21 pr , ,20 gr , ,08 pr , ,04 kroa , ,12 krob , ,37 pr , ,15 u , ,54 rat , ,43 kroa , ,62 krob , ,34 Tabela 1 Resultados obtidos BT+RC (center clustering) A Tabela 2 apresenta uma comparação dos resultados obtidos pela Busca Tabu desenvolvida nesse trabalho com os resultados encontrados em Feremans e Golden et. al. (2005), Ferreira et al. (2006) não utilizaram essas instâncias em seus testes. O método de agrupamento utilizado foi o Grid Clustering para = 3 e = 5. As colunas Feremans, Golden e BT + RC representam os tempos de execucão dos algoritmos, em segundos. Nesse cenário de testes, houveram quatro instancias onde a busca tabu não encontrou o valor ótimo: pr136 (52824), rat195 6

7 Š Š Š Š P PQ RSRUT8V W XYVAZ\[ XVA]W RSXYVA]^F_Y`6`.aYbY`8aYcY% dye %f_y`6gud hy_yi jk% h (1113,8), kroa200 (14888,2) e krob200 (15320,8). Instância = 3 k Ótimo Feremans Golden BT + RC k Ótimo Feremans Golden BT + RC att , ,03 eil , ,07 st , ,02 eil , ,11 pr , ,06 gr , ,21 rat , ,51 kroa , ,52 krob , ,18 kroc , ,28 krod , ,63 kroe , ,23 rd , ,11 eil , ,61 lin , ,86 pr , ,03 pr , ,44 bier , ,28 pr * 315,46* ,40 gr , ,60 pr , ,52 kroa , ,02 krob , ,09 pr , ,45 u , ,68 rat ,26* ,67 kroa * 398,71* ,60 krob ,75* * 216,37 * solução ótima não encontrada Tabela 2 Resultados obtidos BT+RC para = 3 e = 5 A Tabela 3 apresenta uma comparação dos resultados obtidos pela Busca Tabu desenvolvida nesse trabalho com os resultados encontrados em Feremans e Golden et. al. (2005), Ferreira et al. (2006) não utilizaram essas instâncias em seus testes. O método de agrupamento utilizado foi o Grid Clustering para = 7 e = 10. As colunas Feremans, Golden e BT + RC representam os tempos de execucão dos algoritmos, em segundos. = 5 Instância = 7 k Ótimo Feremans Golden BT + RC k Ótimo Feremans Golden BT + RC att , ,02 eil , ,00 st , ,01 eil , ,01 pr , ,01 gr , ,08 rat , ,41 = 10 7

8 Œ Œ ŽSŽU 8 Y A \ A ŽS Y A F Y 6. YšY 8 Y Yœ Yž œf Y 6ŸU Y Y kœ ' M? I? ªu«9 J * y 9 9?«9±~²~?³?«? 9 ~µ? 9 ~ 9? y O M 9 ~±u²~ 9¹>? Oô Ņ y I«? N M J M? µ? ~ 9 kroa , ,22 krob , ,40 kroc , ,02 krod , ,39 kroe , ,02 rd , ,18 eil , ,17 lin , ,90 pr , ,36 pr , ,04 bier , ,33 pr , ,05 gr , ,53 pr , ,03 kroa , ,03 krob , ,84 pr , ,07 u , ,07 rat * 8, ,07 kroa , ,50 krob , ,87 pr ,15 * solução ótima não encontrada Tabela 3 Resultados obtidos BT+RC para» = 7 e» = 10 Nota-se que o método (BT+RC) proposto obteve ótimos resultados para as instâncias geradas tanto pelo método Center Clustering como pelo Grid Clusteging, pois conseguiu encontrar a solução ótima em 146 instâncias, entre as 150 utilizadas durante os testes. Com relação aos tempos de execução, pode-se dizer que em relação aos tempos obtido por Feremans, Golden et. al. (2005) e Ferreira et al. (2006) para as soluções ótimas, os resultados mostram-se muito bons. 6 Resultados Esse trabalho apresentou a elaboração e testes de uma metaheurística para o problema da GMST. Por se tratar de um problema NP-Difícil e por ainda ser pouco explorado por pesquisadores da área de pesquisa operacional, principalmente a busca tabu com reconexão de caminhos, pode-se dizer que o trabalho será bastante válido para futuros pesquisadores que venham a explorar esse tema através de outras heurísticas e metaheurísticas. A qualidade das soluções obtidas e o tempo de execução da busca tabu para as instâncias testadas é o ponto forte do trabalho desenvolvido, as quais são comparáveis àquelas obtidas em trabalhos publicados em eventos científicos da área. Os resultados também mostram a importância do método de Reconexão de Caminhos quando aliado a Busca Tabu. Esta importância é corroborada pela qualidade das soluções comparadas à versão sem tal método, principalmente em instâncias com maior número de vértices. A continuidade desse trabalho prevê uma nova etapa de testes direcionados para o refinamento dos algoritmos, especialmente no ajuste dos seus parâmetros. Além disso, pretende-se submeter a metaheurística às outras instâncias disponíveis para o problema da GMST, especialmente aquelas que não possuem uma solução ótima conhecida. 8

9 ¼ ¼½ ¾S¾U 8À Á ÂYÀAÃ\Ä ÂÀAÅÁ ¾SÂYÀAÅÆF Y 6. YšY 8 Y Yœ Yž œf Y 6ŸU Y Y kœ ' M? I? ªu«9 J * y 9 9?«9±~²~?³?«? 9 ~µ? 9 ~ 9? y O M 9 ~±u²~ 9¹>? Oô Ņ y I«? N M J M? µ? ~ 9 Agradecimento Os autores gostariam de agradecer a Cristiane Maria Santos Ferreira pelo envio das instâncias utilizadas nos testes dos algoritmos desenvolvidos neste trabalho Referências Bastos, L. de O., L. Ochi, L. S. e Macambira, E. M.. A relative neighborhood grasp for the sonet ring assignment problem. In International Network Optimization Conference - INOC, p , Daniel, J. S. R. e Rajendran, C. A simulation-based genetic algorithm for inventory optimization in a serial supply chain. International Transactions in Operational Research, v. 12, p , Dror, M., Haouari, M. e Chaouachi, J. Generalized spanning trees. European Journal of Operational Research, v. 120, p , Feremans, C., Labbé, M. e Laporte, G. The Generalized Minimum Spanning Tree Problem: Polyhedral Analisyzans Branch-and-Cut Algorithm. Eletronic Notes in Discrete Mathematics, n. 3, p , Feremans, C., Labbé, M. e Laporte, G. On Generalized Minimum Spanning Trees. European Journal of Operational Research, n. 134, p , Feremans, C. Generalized Spanning Trees and Extensions. Tese de doutorado, Université Libre de Bruxelles, Feremans, C., Lodi, A., Toth, P. e Tramotani, A. Improving on Branch-and-Cut Algorithms for Generalized Minimum Spanning Trees. Pacific Journal of Optimization, 1, , Ferreira, C. M. S., Ochi, L. S. e Macambira, E.M. GRASP com Memória Adaptativa para o Problema da Árvore de Cobertura Mínima Generalizado. Anais do XXXVIII Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional SBPO, Goiânia, Fischetti, M., Salazar, J. J. e Toth, P. The Symmetric Generalized Traveling Salesman Polytope. Networks, n. 26, p , Ghosh Diptesh. A Probabilistic Tabu Search Algorithm for the Generalized Minimum Spanning Tree Problem. IIMA Working Papers , Indian Institute of Management Ahmedabad, Research and Publication Department, Golden, B., Raghavan, S. e Stanojevic D. Heuristic Search for the Generalized Minimum Spanning Tree. INFORMS Journal on Computing, 17, , Haouari, M. e Chaouachi, J. S. Upper and lower bounding strategies for the generalized minimum spanning tree problem. European Journal of Operational Research, v. 171, p , Rocha, M. L.; Alvarenga, F. V. Uma Metaheurística GRASP para o Problema da Árvore Geradora de Custo Mínimo com Grupamentos. Anais do VII encontro de Estudantes de Informática do Estado do Tocantins, Palmas, Wang, Z., Che, C.H., Lim, A., Tabu search for generalized minimum spanning tree problem. Trends in Artificial Intelligence, p ,