Sistemas Dinâmicos Não-Lineares aplicados ao Design Sonoro

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1 Sistemas Dinâmicos Não-Lineares aplicados ao Design Sonoro Marcelo Albejante Hoffmann 1,2, Jonatas Manzolli 2,3 1 Faculdade de Engenharia Elétrica e Computação 2 Núcleo Interdisciplinar de Comunicação Sonora NICS 3 Departamento de Música - IA Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP) (jonatas@nics.unicamp.br, hoffmann@nics.unicamp.br) Abstract. The main propose was studying the FracWave method for digital sound synthesis. This method is applied to produce musical sounds with a complex spectrum and a dynamic sound behavior. Non-linear maps are used to control the sound synthesis based on a list of parameters and a graphic analysis of the phase-space map representation. In this sense, mathematical modeling focused on sound synthesis was studied. A computational implementation is presented together with graphic results and example sounds. Resumo. Foi objeto de estudo o método FracWave para a síntese digital de som. Este é aplicado para produzir sons musicais com rico espectro e comportamento sonoro dinâmico. Mapas não-lineares controlam a síntese de som baseados numa série de parâmetros e numa análise gráfica da representação espaço-fase. Neste sentido estudou-se a modelagem matemática de métodos enfocados à síntese sonora. Uma implementação computacional é apresentada em conjunto com resultados gráficos e exemplos sonoros. 1. Introdução No âmbito computacional, sistemas dinâmicos não-lineares (NLD) vêm sendo, aos poucos, utilizados para a síntese sonora digital. Embora suas aplicações ainda sejam restritas, podemos visualizar um vasto campo de possibilidades para o design sonoro e a nossa pesquisa é um passo dado nesta direção. As simulações digitais de sons realizadas durante a nossa pesquisa nos mostraram que perturbações produzidas por termos não-lineares de NLD podem apresentar comportamento variando de quasi-periódico a caótico. Com este intuito estudamos o método FracWave (Damiani et all, 1999), que faz uso de um controle paramétrico de funções não-lineares para a síntese de sons através de processos recursivos. No método FracWave, seqüências numéricas produzidas por equações não-lineares são amostradas e armazenadas num buffer circular e utilizadas como uma tabela de consulta denominada dynamic wavetable DW. Podemos, com isso, através de um controle algorítmico das formas de onda (waveforms), emular sons com características que, possivelmente, venham refletir a dinâmica de processos complexos, assim como os NLD são utilizados para descrever turbulência encontrada em outros fenômenos naturais.

2 2. Método FracWave Com o método FracWave busca-se produzir sons em tempo real com rico espectro de freqüência e prover um método para gerar novas estruturas que possam expandir as atuais técnicas de síntese sonora digital que tem o seu foco no modelo de síntese vinculado à análise de Fourier. Como descrito em (Damiani et all, 1999) após o processo de sub-sampling (reamostragem da forma de onda) utiliza-se interpolação (no caso utilizamos spline cúbica) para criar diferentes estruturas sonoras ou formas de onda com variada complexidade. Desta forma possibilita-se uma certa filtragem do sinal, já que a utilização de seqüências diretamente do mapa não-linear produziria sons com intensa energia em componentes de alta freqüência com espectro muito rico e denso. Tal característica seria percebida como um ruído de alta energia e teria uso restrito. Essas seqüências são posteriormente armazenadas num buffer circular e utilizadas como uma WaveTable denominada Dynamic WaveTable DW. Parametrizamos os valores na faixa de -1 a 1, de forma a impedir os clippings, ou seja, de forma que não haja erro de quantização, já que os mapas NLD s produzem grandes variações podendo seguir ao caos Implementação Os sistemas dinâmicos não-lineares tomados como base de cálculo para o estudo apresentam-se a seguir: 1 X(k+1) = Y(k) - sin(abs(b*x(k)-c))) Y(k+1) = A - X(k) Mapa espaço-fase X(k+1) = Y(k) sign(x(k))*((abs(b-c* X(k)))^0.5) Mapa espaço-fase 2 Y(k+1) = A - X(k) Foi utilizado como parâmetros de controle condições iniciais nulas e diferentes valores para as constantes A, B e C, levando-se em conta também o número de iterações no mapa. Um vetor de leitura jm foi criado, de forma a caminhar na DW amostrando os valores numa freqüência específica. Ver a relação a baixo: jm = (compvetor * fsom) / Fs Considerando o comprimento do vetor igual a 4096 ( compvetor - pontos na DW com as amostras interpoladas) e uma freqüência de amostragem ( Fs ) igual a 44,1kHz, teríamos que o vetor de leitura ( jm ) no buffer armazenaria 1 ponto a cada 41 pontos presentes no mapa, para termos a freqüência específica ( fsom ) de 440Hz.

3 Figura 1. Diagrama do processo Vale considerar, porém, que a definição perceptual de altura definida (freqüência fundamental) depende profundamente das características do sinal proveniente da DW, já que tendo um espaço de fase com um forte atrator poderíamos considerar um som com certa periodicidade e então controlar sua freqüência. Entretanto, as não-linearidades dificultam o controle preciso do fator freqüencial, variando de quasi-periódico a caótico, como descrito acima. Muitas vezes, a altura perceptiva do som pode variar, já que a forma de onda torna-se mais complexa e irregular, com variações muito bruscas. Para minorar este problema, perdemos informações ao constituir um vetor de leitura, que percorre a DW saltando valores e armazenando no buffer algumas amostras apenas, mas ganhamos numa possível periodicidade. Neste caso tomamos que em um sinal periódico a informação dada pelo padrão invariante da forma de onda é o que caracteriza a definição de sua altura por um período de tempo. Figura 2. Espaço-fase 1 após 4410 iterações com A= , B= , C= , x(0)=0 e y(0)=0.

4 Figura 3. DW a partir do mapa espaço-fase da Figura 2 com taxa de interpolação igual a 4,3066. Abaixo constam 3 figuras contendo uma DW de 1024 pontos interpolados e o espectro de freqüências após síntese de 1 segundo com a forma de onda característica presente através da região de forte atrator no mapa espaço-fase 2. Figura 4. Mapa espaço-fase 1 com região de forte atrator Figura 5. DW com 1024 pontos interpolados

5 Figura 6. Espectro de freqüências da DW da figura 5 após aplicar síntese de 1 segundo a partir do buffer circular da região de forte atrator 3. Conclusão Possuindo as mais variadas formas de onda provenientes da DW, já com amostras interpoladas, temos um vasto campo de possibilidades para a geração de sons com recursos digitais. Controlamos tanto o conteúdo espectral das amostras bem como a freqüência do som gerado. Analisamos também como os sons se comportariam, se caóticos ou quasi-periódicos. Posteriormente, assumindo a amostragem do sinal (a forma de onda presente na DW) a 44.1kHz e 16 bits, controlamos a duração do som. A exploração destes sons em composição pode ser feita associando-se os parâmetros de controle dos mapas a um conjunto de aspectos musicais de interesse do compositor. Em meio aos processos de síntese outras técnicas foram exploradas, como a utilização de processos recursivos diretamente das amostras interpoladas, ou seja, através da duração desejada (o padrão de tempo escolhido) amostras interpoladas foram extraídas do mapa e utilizadas para a síntese digital sonora. Outra abordagem também foi tomada, como a exploração de NLD s em WaveShapers. Aplicamos VST em mapas não-lineares para controlar a saída de sons sintetizados e verificamos como se comportariam com a aplicação de diferentes parâmetros e diferentes condições iniciais em tempo real. Os processos como o WaveGuide e a exploração de NLD s em buffers em cascata poderiam ampliar ainda mais as atuais técnicas de aplicações sônicas Através de análises mais profundas com resultados práticos e um embasamento teórico, a exploração científica de NLD s em aplicações sônicas torna-se muito ampla. Diferentes caminhos podem ser seguidos. Parâmetros mais restritos podem trazer resultados ainda mais interessantes.

6 4. Agradecimentos Este trabalho foi realizado sob o suporte de uma bolsa de iniciação científica PIBIC/CNPq e o orientador tem o apoio do CNPq através de bolsa de produtividade em pesquisa. 5. Referências Damiani, F. J. Manzolli & P. J. Tatsch A Non-linear Algorithm for Design and Production of Digitally Synthezed Sound. In International Conference on Microelectronics and Packing (ICMP '99), Campinas International Conference Microelectronics and Packing, Sociedade Brasileira de Micro-eletrónica, 1999, pp