MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL FARROUPILHA CAMPUS ALEGRETE PIBID

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1 PROPOSTA DIDÁTICA 1. Dados de Identificação 1.1 Nome do bolsista: Sâmela Taís González do Prado 1.2 Público alvo:6 ao 9 ano do Ensino Fundamental e Curso Magistério 1.3 Duração: 5 horas 1.4 Conteúdo desenvolvido: Razão áurea e teorema de Pitágoras 2. Objetivo(s) da proposta didática - Compreender o conceito de razão; - Resolver a divisão com números decimais; - Demonstrar algebricamente e geometricamente o teorema de Pitágoras. 3. Desenvolvimento da proposta didática 1 Dia 1 Momento (10 min): O primeiro momento será de acomodação dos alunos, sendo organizados em grupos com mais ou menos 4 alunos, em seguida será relatado sobre qual assunto será trabalhado na oficina e apresentado uma pequena introdução. 2 Momento (15 min): Introdução do assunto. Passaremos um vídeo com uma introdução de todos assuntos tratados na oficina. Esse vídeo tem duração 10min53s < Leonardo Fibonacci, também conhecido como Leonardo de Pisa, foi a pessoa que percebeu a existência dessa curiosa sequência aproximadamente no ano de 1200, em Pisa, Itália. Após essa descoberta, essa lógica ficou conhecida como Sequência de Fibonacci, e começou a ser notada por todos. Esta ideia é aplicada em várias áreas, como na tecnologia, natureza, ser humano, música e em muitas outras. 3 Momento (20min): Vamos falar sobre a Sequência de Fibonacci. Definição: Nada mais é que sucessão de números, e para obter cada número da sequência devemos somar os dois últimos algarismos para obter o próximo, sendo que os dois algarismos iniciais são 1.

2 Exemplo: 1 1 2= = 2+1 5= = = = = , 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,... Para encontrarmos o número de ouro nesta sequência, devemos pegar o resultado maior e dividir pelo menor, a partir do 3º e 4º números. Assim teremos: 3/2= 1,5; 5/3=1,666; 8/5= 1,6; 13/8= 1,625, conforme os números vão crescendo estes resultados aproximam-se do Número de Ouro. Então explicaremos o que é o Número de Ouro. Esse número uma constante real algébrica (irracional) denotada pela letra grega φ, em homenagem ao escultor Phideas, e com o valor arredondado a três casas decimais de 1,618. Também é chamada de razão áurea (do latin sectio aurea). Razão é a relação existente entre dois valores de uma mesma grandeza, expressa como a para b, a:b ou a/b. 4 Momento (45 min): Será entregue uma fita métrica para cada grupo, para usarmos a razão áurea no corpo humano. Iremos medir as partes do corpo humano de cada aluno e pedir que os mesmos façam anotações sobre esses resultados encontrados. Medidas a serem tomadas: (a) A altura do corpo humano (x) e a medida do umbigo até o chão (y); (b) A altura do crâneo (x) e a medida da mandíbula até o alto da cabeça (y); (c) A medida da cintura até a cabeça (x) e tamanho do tórax (y); (d) A medida do ombro à ponta do dedo (x) e a medida do cotovelo à ponta do dedo (y); (e) O tamanho dos dedos (x) e a medida da dobra central até a ponta (y);

3 (f) A medida do seu quadril ao chão (x) e a medida do seu joelho até o chão (y); Após todas as medidas tomadas realize o cálculo da razão x/y e complete a tabela. Resposta esperada: Item Medida Medida Razão (a) X= 1,53 Y= 0,90 1,7 (b) X= 0,23 Y= 0,17 1,43 (c) X= 0,59 Y= 0,32 1,843 (d) X= 0,64 Y= 0,41 1,5609 (e) X= 0,08 Y= 0,05 1,6 (f) X= 0,71 Y= 0,43 1,651 Logo após será discutido sobre os valores encontrados. Então, será questionado aos alunos: 1) O que possui em comum os valores encontrados? Resposta esperada: Espera-se que respondam que todos se aproximam de um mesmo número. 2) Próximo de qual número estes resultados se encontram? Resposta esperada: Próximo do número de ouro (1,618). 3) Foi próximo do número de ouro? Resposta esperada: Sim. 4) Quantos de vocês chegaram mais próximo deste valor? Resposta esperada: Todos. 5 Momento (20min): Iremos sugerir que os alunos peguem alguns materiais escolares ou alguns objetos da sala de aula e meçam a medida maior e a menor do objeto, para ver se com a realização da divisão das medidas, encontram o número de ouro. Exemplo:, mesa, caderno...

4 6 Momento (40 min): Para entendermos melhor e provar esta ideia, vamos trabalhar com o retângulo de ouro. Será distribuído, para cada aluno, uma folha de papel quadriculado, para que construam o retângulo de ouro. Um retângulo de ouro pode ser dividido em quadrados do tamanho do próximo número da sequência Fibonacci em cima e em baixo se quisermos conseguir um retângulo perfeito ou de Ouro, dividindo-o em pequenos quadrados, baseandose na sequência Fibonacci e dividindo cada um com um arco, o padrão começa a tomar forma veremos formar-se a espiral de Fibonacci. Os alunos construirão a espiral de Fibonacci. A espiral de Fibonacci está presente em várias formas do nosso cotidiano, como galáxias, flores e no ser humano.

5 Logo após a construção do retângulo de ouro e da espiral de Fibonacci, iremos mostrar um vídeo para os alunos, sobre estas duas representações. Esse vídeo tem duração de 3 min27s < Observaremos e comentaremos sobre o que eles concluíram sobre as representações e sobre o vídeo assistido. 2 Dia 1 Momento (15 min): O primeiro momento será de acomodação dos alunos, sendo organizados em grupos com mais ou menos 4 alunos, em seguida será relatado sobre qual assunto será trabalhado na oficina e apresentado uma pequena introdução. 2 Momento (25 min): Introdução do assunto Teorema de Pitágoras. Pitágoras foi fundador de uma escola de pensamento grega denominada de pitagórica onde se estudavam principalmente as propriedades dos números e a aritmética, junto com a geometria, a música e a astronomia. Os ensinamentos da escola se davam através da oralidade e era costume dos pitagóricos atribuir todas as descobertas ao reverenciado fundador, assim é difícil saber exatamente que descobertas se devem ao próprio Pitágoras e quais se devem a outros membros da escola. Não se sabe se foi o próprio Pitágoras que descobriu um dos mais importantes teoremas da matemática, o Teorema de Pitágoras, pois o mesmo pode ter sido descoberto por outro membro da escola, e ter sido atribuída ao mestre. Então será questionado aos estudantes: Como é expresso o teorema de Pitágoras? Resposta esperada: a² = b² + c². Em seguida será comentado que esta expressão representa a relação que o Teorema de Pitágoras estabelece entre as medidas dos lados de um triangulo retângulo. Então será passado um vídeo que aborda esse assunto 3 Momento (20min): Será construída junto aos alunos a representação geométrica do Teorema de Pitágoras. Entregaremos uma folha A4 para cada estudante e solicitaremos a construção de três quadrados, o quadrado de lado a representará o a², o quadrado de lado b o b² e o quadrado de lado c o c². Então teremos:

6 Figura 1 Representação geométrica do Teorema de Pitágoras. 4 Momento (30 min): A demonstração que realizaremos neste momento será baseada na comparação de áreas para isto acontecer entregaremos uma folha A4 para os alunos, na qual eles vão construir 4 triângulos iguais, para isso irão desenhar dois retângulos iguais, de lado b(menor) e c(maior) e dividi-lo ao meio por uma de suas diagonais. Após esta etapa iremos montar um quadrado de lado a com os 4 triângulos, conforme apresentado na Figura 2. Figura 2 Construção geométrica da demonstração.

7 Na Figura 2, o quadrado maior de lado a é composto por 4 triângulos retângulos congruentes cujas medidas das hipotenusas e dos catetos são a, b e c, respectivamente, e por um quadrado menor central que tem como medida o lado c b. A área do quadrado maior é a e também pode ser calculada através das figuras que o compõe, ou seja, dos quatro triângulos retângulos mais do quadrado pequeno (central) assim temos: a b. c = (c b) a = 2. b. c + c 2. b. c + b Realizando as devidas simplificações obtemos: a = b + c Mostraremos a ilustração geométrica da demonstração proposta por Bhaskara. Figura 3 Demonstração proposta por Bhaskara. 5 Momento (30 min): Nesta construção iremos utilizar dois dos triângulos construídos anteriormente. Os alunos irão posicionar um triângulo retângulo, de catetos b e c e hipotenusa a. Em seguida deverão colocar o outro triângulo, em outra posição e com dois vértices coincidindo, conforme apresentado na Figura 4 (esquerda). Dessa forma, colocar-se-á em alinhamento o cateto b de um dos triângulos, com o cateto c do outro. Em seguida, vamos fechar a figura com um segmento de reta, veja Figura 4 (direita), obtendo um trapézio retângulo constituído pelos dois triângulos retângulos iniciais (iguais) e outro triângulo, que vamos demonstrar, posteriormente que é também um triângulo retângulo.

8 Figura 4 Construção geométrica da demonstração. Precisamos mostrar que o ângulo x tem medida de 90º, para confirmar a afirmativa de que o terceiro triângulo (triângulo maior), é também retângulo. Como o triângulo inicial (triângulo menor) é retângulo, temos que os ângulos α e β somam 90º, pois sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é 180. Sendo assim, α + β + 90 = 180, portanto α + β = 90. Dessa forma, olhando os três ângulo formado em torno do ponto de encontro dos dois triângulos menores, e do mesmo lado de uma reta, terá que α + β + x = 180º (ângulo raso), nos levando a concluir que x mede também é 90º e o triângulo maior é também retângulo. Observe ainda que as três partes unidas formam um trapézio retângulo, cuja altura é dada por b + c e cujas bases são b e c. Por outro lado, a mesma área é também igual à soma das áreas de 3 triângulos retângulos. Logo: b. c 2 + b. c 2 + a. a 2 = (b + c). (b + c) 2 Efetuando as devidas simplificações obtemos: a = b + c 2. b. c + a = b + 2. b. c + c Que nos leva a concluir o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo. 6 Momento (30min): Nesta ultima atividade também usaremos áreas, será utilizado os 4 triângulos construídos na primeira demonstração. Para isso deverá ser alinhado o cateto b de um dos triângulos, com o cateto c do outro, conforme apresentado na Figura 5. Observe que após esta construção ficamos com um provável quadrado menor, no qual deveremos mostrar que se trata dessa figura.

9 Figura 5 Construção a ser realizada; Para a figura menor ser um quadrado, devemos mostrar que o ângulo x tem medida de 90º. Como todos os triângulos são por construção triângulos retângulos, sabemos que a soma dos ângulos α e β é 90º, pois a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180. Logo, α + β + 90 = 180, portanto α + β = 90. Assim sendo, os três ângulos formados em torno do ponto de encontro dos dois lados b e c é um ângulo raso, portanto α + β + x = 180º, no qual podemos concluir que x mede também 90º, logo a figura é um quadrado, pois tem todos seus lados iguais e seus ângulos internos medindo 90. Observe que o quadrado maior, de lado b + c, pode ser decomposto em 4 triângulos retângulos e um quadrado menor de lado a. Assim, a área do quadrado de lado b +c é igual à soma das áreas do 4 triângulos retângulos mais a área do quadrado menor de lado a. Logo: 4. Referências Bibliográficas b. c a = (b + c) 2. b. c + a = b + 2. b. c + c Novamente, efetuando as simplificações obtemos: a = b + c CLUBE OBMEP. Disseminando o Estudo da Matemática. Disponível em: < Acesso em 9 jun

10 BRASIL ESCOLA. Sequência de Fibonacci. disponível em: < Acesso em: 9 jun ESPAÇO EUCLIDIANO. Assinatura de Deus: Sequência de Fibonacci. Disponível em: < Acesso em: 20 jun RODRIGUES, Ingrid Mariana; et al. Oficina: o número de ouro, seus misterios e sua presença em nossas vidas. In: III Escola de inverno de Educação Matemática, 2012, Universidade Federal do Paraná. PONTE, João Pedro da; MATOS, José Manoel; ABRANTES, Paulo. Investigação em educação matemática: Implicações curriculares. Lisboa: IIE, KIERAN, Carolyn. Interpreting and assessing the answers given by the CAS expert: A reaction paper. The International Journal for Technology in Mathematics Education, Plymouth, UK, v. 14, n. 2, p , abr./jun., STYLIANIDES, Gabriel, STYLIANIDES, Andreas. Proof in School Mathematics: Insights from Psychological Research into Students Ability for Deductive Reasoning. Mathematical Thinkingand Learning, Mahwah, New Jersey, v. 10, n. 2, p , abr., 2008.