8º CONGRESSO IBEROAMERICANO DE ENGENHARIA MECANICA Cusco, 23 a 25 de Outubro de 2007

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1 8º CONGRESSO IBEROAMERICANO DE ENGENHARIA MECANICA Cusco, a 5 de Outubro de 7 SIMULAÇÃO NUMÉRICA DO MODELO DO ELIPSÓIDE CIRCUNSCRITO SIMPLIFICADO PARA DETERMINAÇÃO DO LIMITE DE FADIGA MULTIAXIAL SOB CARREGAMENTO TRIAXIAL E FORA DE FASE Lucival Malcher*, osé Carlos Balthazar** Universidade de Brasília UnB, Brasília - Brasil * malcher@unb.br, ** jcbalthazar@unb.br RESUMO Neste trabalho, objetivou-se eetuar uma análise quantitativa do modelo do elipsóide circunscrito simpliicado, proposto por Balthazar e Malcher, para determinação da amplitude da tensão cisalhante equivalente e, por conseguinte, do limite de adiga multiaxial, sob condições de carregamento triaxial, com amplitude constante e ora de ase. Para isto, ez-se uma breve exposição do modelo mencionado, que é uma evolução do modelo de Duprat (997 e uma simpliicação do modelo de Bin Li et al ( e é baseado na abordagem do invariante do tensor. Ao inal, oram escolhidos pontos experimentais disponíveis na literatura para as ligas aeronáuticas XC48, 5CrMo4, St5 e 4Cr4 e os resultados encontrados oram analisados estatisticamente, com base no erro indexado. PALAVRAS CHAVE: adiga multiaxial, limite de adiga, invariante do tensor, tensão cisalhante equivalente, modelo do elipsóide simpliicado

2 INTRODUÇÃO Muitos componentes de estruturas mecânicas estão reqüentemente sujeitos a carregamentos variáveis, que podem causar alhas por adiga. Componentes aeronáuticos são os exemplos mais comuns e estão usualmente operando sob carregamentos combinados, que podem estar ora de ase e sendo aplicados em dierentes reqüências, gerando complexos carregamentos biaxiais ou triaxiais. Estudos sobre adiga multiaxial com carregamento proporcional em Fase e ora de ase são desenvolvidos e dierentes abordagens são propostas na tentativa de se descrever da melhor orma, o comportamento do material ou estrutura sujeita a carregamentos multiaxiais. O Método da Tensão Equivalente, o Método do Plano Crítico, o Método da Energia e do Trabalho Plástico e O Método do Invariante do Tensor são algumas das abordagens mais conhecidas na literatura. O Método da Tensão Equivalente consiste na transormação das tensões multiaxiais com amplitude constante em uma amplitude de tensão uniaxial equivalente, na qual se considera que irá produzir a mesma vida à adiga que as tensões multiaxiais combinadas. Dentro deste método oram propostos alguns critérios para se prever a resistência à adiga, como o critério da máxima tensão cisalhante octaédrica e o critério de Sines (955. Uma segunda abordagem é conhecida como o Método do Plano Crítico e é baseado na determinação de planos críticos, nos quais as tensões ou deormações cisalhantes e normais governam o processo de nucleação e crescimento das trincas de adiga. Alguns modelos oram desenvolvidos dentro desta abordem, como o de Brown e Miller (97, o modelo de Fatemi e Socie (988, o modelo de Socie (987 e o modelo de McDiarmid (99. Uma terceira abordagem é o Método da Energia e do Trabalho Plástico que consiste em computar o trabalho plástico realizado em cada ciclo de carregamento e relacioná-lo a vida à adiga. O modelo de Garud (979 é o mais conhecido entre os critérios propostos dentro deste método. O Método do Invariante do Tensor utiliza como parâmetros determinadores da resistência à adiga multiaxial a tensão hidrostática e a amplitude da tensão cisalhante equivalente. Este método é uma combinação do método do plano crítico, pois procura determinar dentro de um plano desviatório os valores máximos de seus parâmetros, e o método da tensão equivalente, pois az uso de uma tensão cisalhante equivalente às tensões multiaxiais aplicadas. Inúmeros modelos com base neste método são mostrados na literatura, como Crossland (956, Sines (955, Kakuno-Kawada (979. Para Papadopoulos (99, estes modelos dão boas estimativas para os casos de carregamento em ase. Contudo, eles não são precisos quando utilizados para carregamentos ora de ase. Assim, veriicou-se que nos últimos 5 anos, estudos mais aproundados oram desenvolvidos para se estabelecer os eeitos do carregamento ora de ase nas propriedades à adiga em materiais e componentes mecânicos. Desta orma, pesquisadores como Dang Van et al (97, Deperrois (99, Duprat et al (997, Bin Li et al (, Mamiya e Araújo (, Balthazar e Malcher (6 vêm procurando estabelecer a inluência do ângulo de ase na vida à adiga multiaxial. Estes modelos se dierenciam pela abordagem dada na determinação da amplitude da tensão cisalhante equivalente. Segundo Papadopoulus (99, dierentes ângulos de ase entre as tensões aplicadas em um componente causam uma redução na resistência à adiga. A seguir, az-se uma apresentação do modelo do elipsóide simpliicado, proposto por Balthazar e Malcher, mostrando a metodologia usada para determinação da amplitude da tensão cisalahnte equivalente, bem como a tensão hidrostática máxima. REFERENCIAL TEÓRICO O principio utilizado para os critérios com base nos invariantes do tensor está na determinação da tensão hidrostática que é equivalente a um terço do primeiro invariante do tensor tensão ou tensor de Cauchy e da amplitude da tensão cisalhante equivalente que é determinada através da raiz quadrada do segundo invariante do tensor das tensões desviatórios. Em princípio, com a aplicação desse critério, poder-se-ía prever a iniciação de uma trinca de adiga, sob um carregamento cíclico, já que a iniciação dessas trincas está associada aos parâmetros utilizados nesses critérios. De acordo com a Equação, veriica-se como estes parâmetros são combinados, assim a iniciação de trinca ocorreria quando o lado esquerdo da equação osse maior que o lado direito. ( N λ( N, a + k. H ( onde:, a é amplitude da tensão cisalhante equivalente, H N λ N são parâmetros experimentais. Este abordagem é uma combinação do método da tensão equivalente, pois utiliza o princípio da determinação de uma tensão uniaxial equivalente às tensões multiaxiais combinadas, e o método do é tensão hidrostática, k ( e (

3 plano crítico, pois procura determinar seus paramentos de controle dentro de um plano onde se tenha a maior interseção que corta a trajetória descrita pelo tensor das tensões desviatórias. Dentre os critérios existentes para se determinar o limite de adiga multiaxial, os critérios de Crossland (956, Sines (955 e Kakuno-Kawada (979 são os mais populares e utilizados em projetos de engenharia. O critério de Sines ( é expresso através da Equação.,, a + k. H m λ ( onde, a representa a amplitude da tensão cisalhante equivalente e é a tensão hidrostática média. Os parâmetros k e λ podem ser obtidos a partir do resultado de dois testes elementares: torção alternada (, a = t e = e lexão repetida (, a = e = e expressos pelas Equação. t k = ; λ = t ( onde, representa o limite de adiga para um carregamento de lexão repetida e t representa o limite de adiga para um carregamento torcional alternado. Em geral, o limite pode ser obtido a partir do limite de adiga para um carregamento de lexão alternado, combinado com o critério de Goodman. Assim, pode ser obtido como unção de, através da Equação 4. = + S rt (4 onde, S rt é o limite de resistência do material. O critério de Crossland (956 se dierencia do critério de Sines somente pelo ato de utilizar a tensão hidrostática máxima ax, no lugar da tensão hidrostática média. Assim, Crossland propôs que a ormulação para o critério de adiga multiaxial está na combinação linear entre a amplitude da tensão cisalhante equivalente e a própria tensão hidrostática máxima, Equação 5. k λ (5, a +. ax Kakuno e Kawada (979 propuseram que se separassem os eeitos da amplitude e valor médio da tensão hidrostática. Desta orma, o critério pode ser descrito através da Equação 6., a + H, a. k. + λ µ (6 A determinação dos parâmetros k, λ e µ para o critério, é eita através de três limites de adiga uniaxial, t e (ensaios de lexão repetida, torção alternada e lexão alternada. Assim, utilizam-se as Equação 7 para determinação dos mesmos. t t k = ; λ = ; µ = t (7 Para estes três critérios, a alha ocorre quando o lado esquerdo da equação é maior ou igual ao lado direito.

4 Método do Elipsóide Circunscrito Simpliicado O critério de Bin Li et al ( apresenta bons resultados para determinação da resistência à adiga multiaxial, quando comparado a resultados experimentais e as outras abordagens existentes na literatura. O mesmo propõe a determinação da menor elipsóide que circunscreve a trajetória descrita pelo tensor desviatório. A grande diiculdade de se utilizar tal proposição está da determinação do centro do elipsóide. Duprat (997 determina a amplitude da tensão cisalhante equivalente, a partir da maior e menor corda (D e d obtida através da intersecção da trajetória do tensor desviatório, como mostrado na Figura. Figura : Projeção da trajetória do tensor sob o plano desviatório. Para ele, após a obtenção destes parâmetros D e d, o valor de a é obtido através das Equações em 8. Segundo Malcher (6, os resultados de Duprat (997 apresentam grandes dispersões quando se aumenta a deasagem entre as cargas aplicadas. Pe a =. ; Pe π D + d λ + λ + λ (8 Assim sendo, Balthazar e Malcher (6 mostraram que uma possibilidade para redução dos erros no modelo de Duprat (997 para ângulos de ase maiores, seria combinando o critério de Bin Li et al ( com Duprat (997. Determinando a menor elipsóide que contem a trajetória ormada pelo tensor desviatório e utilizando os parâmetros D e d do modelo de Duprat (997, para se calcular a amplitude da tensão cisalhante equivalente. Considera-se que o perímetro, a maior e menor corda da elipse podem ser determinado de acordo com as Equações em 9. Pe = D d + ; R a ( t ρ( ωt D max = = ; R b ( t ρ( ωt d min = = (9 onde, a unção ρ ( ωt é expressa pela Equação : [(. ( S( t S( π ] ( ω tr S( t S( t + π ρ = t + t ( Substituindo as expressões de R e da tensão cisalhante equivalente, tem-se. a R na expressão para determinação de Pe e determinando novamente o valor b a [ max( t ρ ( ωt ] + [ min( t ρ( ωt ] = ( Assim, Balthazar e Malcher (6 propuseram uma modiicação no critério de Crossland (956, determinando a amplitude da tensão cisalhante equivalente, de acordo com a nova abordagem, chamada de modelo do elipsóide circunscrito simpliicado (Equação.

5 [ max( t ρ( ωt ] + [ min( t ρ( ωt ] +. S rt. H,max t ( Através da Equação, pode-se deinir o lado esquerdo da mesma, como sendo a tensão equivalente. Assim, pode ser escrita como: eq eq [ max( t ρ( ωt ] + [ min( t ρ( ωt ] ( tr = +.. max ( S rt Pode-se deinir também a razão de tensão, através da Equação 4, como sendo a divisão entre a tensão equivalente e o limite de adiga para um carregamento torcional alternado t. eq K [ max( t ρ ( ωt ] + min( t ρ ( ωt [ ] +.. max( tr Srt = t (4 Representando o erro indexado ao modelo, em termos percentuais, tem-se: I [ max( t ρ ( ωt ] + min( t ρ ( ωt [ ] +.. max( tr Srt = t.% (5 Algoritmo para Implementação do Modelo A Figura mostra os passos necessários a implementação de um algoritmo, desenvolvido para o modelo de Malcher e Balthazar (6. É necessário inormar inicialmente o histórico de carregamento e as propriedades do material em análise. Com os dados iniciais disponíveis, calcula-se o Tensor de Cauchy e o Tensor Desviatório. Determina-se então, o maior e menor traço do Tensor de Cauchy e o maior e menor valor da unção ρ ( ωt. Para determinação destes valores, az-se incrementos de grau em grau ao longo do tempo. Assim, a máxima tensão hidostática e a amplitude da tensão cisalhante equivalente são calculadas. Por im, o valor do erro indexado e a razão de tensão são valorados para cada histórico inormado. Loading : i, j. m, ( t i, j. a, ω i, j α and i, j De ine : and S ( tr Search : ( t max and tr ( ( t min Search : ρ( ωt max and ρ( ωt min Determine : ax Determine : a Determine : K and I % M a terial: t, and Figura : algoritmo desenvolvido para o modelo de Malcher e Balthazar.

6 RESULTADOS Foram analisados sessenta pontos experimentais disponíveis na literatura, Weber (999, para as ligas aeronáuticas XC48 ( =4 MPa e t =87 MPa, 5CrMo4 ( =6 MPa e t =8 MPa, St5 ( =6 MPa e t = MPa e 4Cr4 ( =4 MPa e t =4 MPa. Para a liga XC48 oram utilizados dezenove pontos experimentais para um carregamento de Tração(pressão interna/tração/torção gerados por Simbürger (975, para a liga 5CrMo4 oram utilizados dezessete pontos experimentais para um carregamento de Tração(pressão interna/tração/torção gerados por Mielke (98, para a liga St5 oram analisados treze pontos para um crregamento de Tração(pressão interna/tração/torção(pressão interna gerados por Issler (97 e para a liga 4Cr4 oram utilizados onze pontos experimentais para um carregamento de Tração biaxial/torção gerados por Heidenreich (98. Através das Tabelas,, e 4, observam-se os resultados encontrados para o modelo de Balthazar e Malcher (6. Tabela : Resultados encontrados para o modelo de Balthazar e Malcher, liga XC48. Tabela : Resultados encontrados para o modelo de Balthazar e Malcher, liga 5CrMo4. Tabela : Resultados encontrados para o modelo de Balthazar e Malcher, liga St5.

7 Tabela 4: Resultados encontrados para o modelo de Balthazar e Malcher, liga 4Cr4. Através da Figura, pode-se observar o comportamento do erro indexado ao modelo, para cada histórico de carregamento estudado. Constata-se que 55% dos resultados encontrados estão na aixa de I% entre ±%, ou ainda, 75% dos resultados, possuem erros na aixa de ±5%. Freqüência (- -(-5 -(5- -(-5 -(5- (-5 (5- (-5 (5- (- Intervalo de erro Figura : Diagrama de requencia de ocorrencia do erro indexado I%. Na Figura 4, mostra-se a dispersão da razão de tensão K, em unção dos ângulos de ase α ij, para uma aixa de erro de ±5%. Para a liga XC48, oi encontrado um K máximo de.8 e um K mínimo de.8. Para a liga 5CrMo4, K máximo encontrado oi de.9 e K mínimo de.9. Para a liga St5, os valores de K máximo e mínimos oram de.94 e.76, respectivamente. E para a liga 4Cr4, K máximo icou em. e K mínimo em.7. Figura 4: Dispersão dos valores de K, para as ligas analisadas.

8 CONCLUSÕES Neste trabalho, buscou-se analisar numericamente o modelo do elipsóide circunscrito simpliicado, proposto por Balthazar e Malcher (6, para determinação do limite de adiga, submetido a carregamentos triaxiais e ora de ase. Veriicou-se, estatísticamente, que o modelo apresenta resultados satisatórios, quando se veriicam os erros apresentados em cada simulação. Uma vantagem na utilização do modelo proposto, está na rápida determinação dos parâmetros D e d, necessários para cálculo da amplitude da tensão cisalhante equivalente. NOMENCLATURA,a - amplitude da tensão cisalhante equivalente; k, λ e µ - parametros experimentais; H - tensão hidrostática; H,m - tensão hidrostática média; H,a - tensão hidrostática alternada; H,max - tensão hidrostática máxima; eq - tensão equivalente; - limite de adiga para um carregamento de lexão repetida; - limite de adiga para um carregamento de lexão alternado; t - limite de adiga para um carregamento torcional alternado; S rt - limite de resistência do material; D e d - maior e menor corda obtidos através da intersecção da trajetória do tensor desviatório REFERÊNCIAS. Sines, G., (955, Failure o Materials under Combined Repeated Stresses with Superimposed Static Stresses, NACA Technical Note 495, Washington, USA.. Crossland B., (956. Eect o Large Hydrostatic Stress on the Torsional Fatigue Strength o an Alloy Steel, Proceedings o the International Conerence on Fatigue o Metals, Institution o Mechanical Engineers, London.. Sines G., (959. Behaviour o metals under complex static and alternating stresses, Metal Fatigue, McGraw- Hill, New York, Dang Van K., (97. Sur la résistance à la atigue des métaux. Sciencies et techniques de I aarmement, 47, Kakuno H., Kawada Y., (979. Fatigue Engng Mater Tech, 5, Deperrois, A., (99 Sur le calcul de limites d endurance des aciers, These de Doctorat, Escola Polytechnique, Paris. 7. Papadopoulos, I. V., (99. A New Criterion o Fatigue Strength or Out-o-phase Bending and Torsion o Hard Metals. Institute or Systems Engineering and Inormatics, oint Research Center, Comission o The European Communities. 8. Duprat, D., Boudet, R., Davy, A., (997. A Simplde Model to Predict Fatigue Strength with Out-o phase Tension-Bending and Torsion Stress Condition, Laboratoire de Génie Mécanique, Université Paul Sabatier Fatigue and rature mechanics department., Aérospatiable France. 9. Weber, B., (999. Fatigue multiaxiale des structures industrielles sous chargement quelconque, Thèse de Doctorat, Institut National des Sciences Appliquées de Lyon, 47 p.

9 . Bin Li, Santos,.L.T., Freitas, M., (. A Uniied Numerical Approach or Multiaxial Fatigue Limit Evaluation, Department o Mechanical Engineering Intituto Superior Técnico, Lisboa Portugal.. Mamiya, E. N., Araujo,. A., (. Fatigue Limit Under Multiaxial Loadings: On The Deinition o The Equivalent Shear Stress. Mechanics Research Communications, V9, pp Malcher, L. (6. Um Modelo para Determinação da Resistência à Fadiga Multiaxial para Carregamentos de Flexão e Torção Combinados, Fora de Fase e com Amplitude Constante. Com Base no Critério do Invariante do Tensor. Dissertação de Mestrado, Publicação ENM.DM-5A/6, Departamento de Engenharia Mecânica, Universidade de Brasília,DF, 88 p;. Balthazar,.C., Malcher, L., (7. A review on the main approaches or determination o the multiaxial high atigue strength. Solid Mechanics in Brazil 7. Brazilian Society o Mechanical Sciences and Engineering, São-Paulo Brasil, v., p Balthazar,.C., Malcher, L., (7. A Model to Predict Fatigue Strength under Combined Bending/Torsion Loading. 8th International Conerence on Multiaxial Fatigue & Fracture 8 th ICBMF&F, Sheield Inglaterra.