Autores: Herbert Bento Faria, Sérgio de Melo e Souza e Eduardo Saliby RESUMO

Transcrição

1 1 Análise de Risco: uma comparação de diferentes métodos de amostragem Autores: Herbert Bento Faria, Sérgio de Melo e Souza e Eduardo Saliby RESUMO A análise de risco busca avaliar o impacto de incertezas sobre as decisões de investimento. Tradicionalmente, esta análise utiliza a simulação por Monte Carlo para gerar os valores de entrada, resultando em uma acentuada variabilidade das estimativas obtidas. Neste trabalho, compara-se a abordagem por Monte Carlo com dois métodos alternativos mais recentes: a Amostragem por Hipercubos Latinos e a Amostragem Descritiva. Ambas as abordagens atuam de forma similar, proporcionando um maior controle das amostras geradas. Um estudo empírico nos mostra que, para um mesmo esforço computacional, estes métodos alternativos podem reduzir significativamente a variância das estimativas, sendo a Amostragem Descritiva a melhor escolha. 1. Introdução a análise de risco A análise de alternativas de investimento é muito importante na tomada de decisão de qualquer administrador. Os métodos de análise são bastante conhecidos, sendo os mais comuns a análise de valor presente líquido (VPL) e a taxa interna de retorno (TIR). A idéia do VPL é descontar todos os fluxos futuros do investimento a uma taxa, denominada custo de oportunidade, adeqüada ao perfil de risco do projeto que está sendo analisado. Já o método da TIR calcula, a partir dos fluxos futuros, a taxa que transforma o VPL em zero. Esta taxa é denominada TIR, que deveria ser comparada com o custo de oportunidade a fim de se decidir pela seleção ou não de um projeto. As duas abordagens seriam análogas, a não ser pela questão do reinvestimento. O problema é que a TIR considera que os fluxos obtidos serão reinvestidos pela taxa de retorno, hipótese pouco realista em alguns casos, e que não se verifica com o VPL. Esta seria uma vantagem deste método. Além disto, a TIR pode levar a análises incorretas quando se deve escolher uma entre várias opções de investimento. Outra importante deficiência de análises deste tipo, surge pelo fato do output freqüentemente depender de vários inputs que são incertos na prática. O que usualmente se faz é introduzir no problema os valores mais prováveis destas variáveis aleatórias, o que é uma simplificação da realidade. O que ocorre é que muitas vezes a combinação destes valores mais prováveis é, por si só, improvável, e esta simplificação pode conduzir a uma análise inadeqüada. Compare, por exemplo, as distribuições de probabilidades de possíveis valores de VPL para dois projetos fictícios, conforme ilustrado pela Figura 1: Figura 1 - O efeito da distribuição do VPL para a análise de risco

2 2 Projeto A Probabilidade 60% 40% 20% 0% (1,000,000) 1,200,000 VPL Projeto B Probabilidade 60% 40% 20% 0% 0 200,000 VPL Observa-se que o valor esperado do VPL em ambos os projetos é igual a , mas o primeiro possui um desvio-padrão bem mais alto e, conseqüentemente, aceitando-se o desvio-padrão como medida de risco, um risco também muito maior. Indo ainda mais além, é possível que, observando-se apenas o valor esperado do VPL para se tomar uma decisão em relação ao Projeto A se resolvesse adotá-lo, ao passo que, conhecendo-se a distribuição dos possíveis valores, é bem provável que o projeto fosse rejeitado. É neste contexto que percebe-se a importância da análise de risco, que busca, através da modelagem dos inputs (como receitas, custos e vida-útil), chegar a distribuições dos possíveis valores de outputs (VPL ou TIR), ao contrário da análise tradicional, que busca chegar ao valor esperado do output. A base desta análise está na combinação de incertezas através de simulação, realizando diversos experimentos computacionais e observando os resultados obtidos. A análise de risco é uma ferramenta de apoio fundamental para os tomadores de decisão nas empresas. Através dela, leva-se em conta as incertezas associadas a um projeto, avaliando o seu efeito no resultado econômico-financeiro no médio e longo prazos (Hertz, 1964). A proposta original da análise de risco baseia-se na abordagem tradicional da simulação por Monte Carlo, também conhecida como amostragem aleatória simples (AAS). Sabe-se, porém, que esta abordagem conduz a estimativas de grande variabilidade, exigindo, como contrapartida, um grande esforço computacional para se atingir um nível de precisão adeqüado. Como alternativa à AAS, o uso de dois diferentes métodos de amostragem são estudados neste trabalho: a amostragem descritiva (AD) e a amostragem por hipercubos latinos (AHL). Apresentam-se aqui os resultados da aplicação destes três métodos de amostragem a um problema de análise de risco. Mostra-se que tanto a AHL como a AD, quando comparados com a AAS, proporcionam uma redução na variância das estimativas de magnitude similar. Embora a AHL e a AD venham sendo utilizados em aplicações de simulação em outras áreas de conhecimento, seu uso em análise de risco pode ser ainda considerado como incipiente na literatura de finanças.

3 3 Após esta introdução, a Seção 2 apresenta uma breve descrição dos três métodos de amostragem utilizados no problema exemplo, que é descrito na Seção 3. Na Seção 4 apresenta-se a metodologia adotada, analisando-se os resultados obtidos na Seção 5. Confirmando a teoria da amostragem descritiva, o Modelo Linear de Resposta (Saliby, 1989) permite explicar as reduções de variância obtidas em relação à AAS, o que é feito na Seção 6. Finalizando, apresentam-se as conclusões do estudo e sugestões para novos trabalhos. 2. Métodos de amostragem Nesta Seção apresenta-se, brevemente, as três técnicas de amostragem aqui utilizadas. 2.1 Amostragem Aleatória Simples É a técnica tradicionalmente utilizada em simulação probabilística e, como uma de suas aplicações, na análise de risco. Baseia-se na utilização de números pseudo-aleatórios ou randômicos que, através de transformações apropriadas, originam valores para as mais variadas distribuições de probabilidades. A amostragem por Monte Carlo procura reproduzir um processo aleatório numa simulação e, como tal, está sujeita à geração de amostras atípicas e, portanto, pouco representativas. Valores aleatórios para uma distribuição de probabilidades são comumente gerados através do método da transformada inversa da função de distribuição acumulada, dada por: X = F X F F R 1 ( R) onde é um valor aleatório a ser gerado com distribuição acumulada definida por ( X ) = Pr( X x) 1( R),, tal que é a inversa desta função. é um valor aleatório, com distribuição uniforme no intervalo unitário, definido por um número pseudo - aleatório. Por exemplo, no caso de uma variável com distribuição exponencial com média unitária, este método resulta na transformação: ( 1 R), para 0 < 1 X = ln R Assim, o método consiste na geração de um valor pseudo-aleatório uniforme no intervalo (0, 1), e na obtenção do valor X correspondente, definido pela transformação acima. Na Tabela 1 é apresentado um conjunto de cinco valores gerados aleatoriamente com distribuição uniforme padrão e os respectivos valores decorrentes de sua transformação inversa para uma distribuição exponencial com média unitária. Tabela 1 - Exemplo de valores aleatórios obtidos pela AAS Observação Valor uniforme Valor exponencial Amostragem por Hipercubos Latinos O método da AHL foi proposto com o objetivo de gerar amostras que descrevam, de maneira mais precisa, uma distribuição de probabilidades (McKAY, CONOVER,

4 4 BECKMAN 1979). Essencialmente, a AHL consiste numa estratificação completa da distribuição apresentada, em n estratos equiprováveis, e na seleção aleatória de um valor para cada estrato. A seleção dos valores amostrais continua sendo feita através da transformação inversa da função que se deseja simular. Para garantir uma independência entre os valores gerados para as diferentes variáveis aleatórias de entrada, é feita uma permutação aleatória de cada conjunto de valores gerados. Utilizando a AHL, garante-se que cada parte da distribuição de probabilidades estará presente na amostra, levando assim a uma rápida convergência da amostra em relação à distribuição representada. Como consequência os resultados serão mais precisos. Em princípio, a geração de valores amostrais com a AHL é feita de forma independente para cada variável aleatória de entrada. Os passos seguidos são: a) definição do tamanho da amostra a ser gerada (n); b) estratificação da distribuição acumulada em n estratos equiprováveis; c) seleção, utilizando amostragem aleatória sem reposição, de um dos estratos definidos no item b; d) geração aleatória de um valor amostral para o estrato selecionado. O método da transformação inversa é utilizado para este fim: 1 X i = F [( i 1+ Ri )/ n], onde R i ~ U(0,1), i = 1,...,n; e) repetição dos itens c e d até se completar o número de valores a serem gerados, ou seja, n observações. Na tabela 2 é apresentado um exemplo de geração de valores para uma distribuição exponencial com média unitária, através do método AHL. Tabela 2 - Exemplo de valores obtidos usando-se a AHL Observação Classes Valor uniforme Valor exponencial 1 0,4-0, ,8-1, ,0-0, ,2-0, ,6-0, Observa-se que os valores uniformes são gerados um a um dentro de intervalos equiprováveis, resultando num maior controle do processo de amostragem. 2.3 Amostragem Descritiva Ao utilizar a AAS, a aleatoriedade do processo é o resultado de dois componentes: o conjunto de valores e a sequência destes valores. Segundo Saliby (1989), a alta variabilidade associada ao uso da AAS é, em grande parte, decorrente dos diferentes conjuntos de valores de entrada gerados a cada corrida. Ainda segundo Saliby (1989), esta parcela de variação é desnecessária, podendo ser eliminada utilizando-se o método da amostragem descritiva (AD), proposto pelo mesmo autor. Ao contrário da AAS e da AHL, a AD baseia-se numa seleção totalmente determinística e controlada dos valores de entrada, sendo aleatória apenas a sua sequência de utilização. Confirmando sua utilidade, mostraremos que a AD representa um importante avanço na análise de risco, com benefícios ainda superiores que aqueles proporcionados pela AHL. Conceitualmente, a AD representa uma profunda mudança de paradigma na simulação, uma vez que afirma que a geração aleatória dos valores de entrada não é necessária para representar um comportamento aleatório (Saliby, 1997). Ao contrário, a seleção totalmente determinística destas variáveis é mais apropriada, pois além de garantir a

5 5 aleatoriedade necessária à técnica de simulação, traz o benefício de diminuir sua variabilidade. Embora a AD e a AHL tenham sido desenvolvidas de forma totalmente independente, observou-se que a AD pode ser interpretada como um caso limite da AHL (Saliby, 1997) em que, após a estratificação da distribuição de probabilidades em n estratos equiprováveis, cada estrato é representado pela sua mediana, em lugar de se utilizar um valor aleatório em seu lugar. Tal como nos dois outros métodos amostrais, os valores descritivos são também gerados pela transformação inversa da função de distribuição acumulada. Utilizando-se a AD, garante-se também, tal como a AHL, que todos os pedaços da distribuição de probabilidades estarão presentes na amostra. Além disso, ao se tomar a mediana de cada estrato, reduz-se ao mínimo as discrepâncias entre a amostra e a distribuição representada. Como conseqüência, a qualidade dos resultados obtidos é ainda melhor, reduzindo-se ao mínimo a variabilidade das estimativas. Desta forma, a geração dos valores amostrais com a AD segue passos similares à AHL, a saber: a) definição do tamanho da amostra a ser gerada: n; b) obtenção de um conjunto de valores descritivos definido por: 1 X i = F [( i 0.5) / n], i = 1, K, n, sendo assim utilizadas as medianas de cada estrato; c) seleção, utilizando amostragem aleatória sem reposição, de um valor descritivo definido no item b; d) o item c é repetido n vezes até se completar o número de valores a serem gerados. Ao término deste processo, o conjunto descritivo estará aleatoriamente permutado. Como nos casos anteriores, será apresentado um exemplo de aplicação da AD para a geração de valores para uma distribuição exponencial com média unitária, com base na mesma permutação usada na Tabela 2, no exemplo para a AHL. Tabela 3 - Exemplo de valores aleatórios obtidos usando-se a AD Observação Classes Valor uniforme Valor exponencial 1 0,4-0, ,8-1, ,0-0, ,2-0, ,6-0, Observa-se que não há mais aleatoriedade associada ao conjunto de valores de entrada, ficando esta aleatoriedade restrita apenas à permutação destes valores. Apresentados os métodos de amostragem a serem aqui comparados, descreve-se, na seção seguinte, o problema tomado como exemplo. 3. Descrição do Problema Uma empresa, entre suas opções de investimento, está considerando a possibilidade de lançamento de um novo produto na área de mercado em que atua. O investimento inicial será de 7 milhões de reais. O produto tem vida útil estimada em 15 anos. O custo de oportunidade da empresa para projetos de mesmo risco é de 5% ao ano. O custo unitário segue uma distribuição uniforme no intervalo (3, 4). O preço do produto é de 5 reais por unidade. As vendas do novo produto também variam de forma aleatória, segundo a distribuição apresentada na Tabela 4, onde cada intervalo é considerado equiprovável, com distribuição uniforme dentro de cada intervalo.

6 6 Tabela 4 - Distribuição de probabilidades das vendas anuais Intervalo Vendas em unidades 1 70 a a a a a 900 Utilizaremos, como já mencionado, a metodologia do VPL para a análise do empreendimento. Consideramos que as vendas são pontuais e que os resultados financeiros são apurados ao final de cada período. 4. Metodologia No modelo apresentado, as variáveis aleatórias de entrada são: custo unitário e vendas (em unidades). Para simular este empreendimento utilizando AAS e AHL utilizamos diretamente o desenvolvido pela Paralise Corporation, que já incorpora rotinas para estes dois procedimentos. No caso da AD, foi também possível implementar sua geração através como uma aplicação disfarçada da AHL. Isto foi feito com base na propriedade de equivalência entre a AD e a AHL, para distribuições discretas de probabilidades, uma vez satisfeitas algumas condições de caráter bastante geral. Para isso, no caso da AD, aproximamos as variáveis contínuas de entrada (custos e vendas) por variáveis uniformes discretas, com n possíveis valores equiprováveis e iguais aos respectivos valores descritivos. Como exemplo, vejamos o caso da variável custo. Conforme mencionado anteriormente, esta variável segue uma distruibuição uniforme contínua no intervalo (3, 4). Com base no tamanho das corridas (n=100, por exemplo), subdividimos este intervalo em 100 sub-intervalos; o primeiro sub-intervalo indo de 3.00 a 3.01; o segundo, de 3.01 a 3.02; e assim por diante, até o último sub-intervalo, de 3.99 a Cada intervalo foi então discretizado, reduzindo-o à sua mediana. Esta série de valores discretos foi então utilizada para definir uma distribuição discreta uniforme, usada como input Assim, utilizando-se a AHL gera-se na verdade uma permutação aleatória destes valores, o que corresponde então à AD. De fato, este método baseia-se na propriedade, anteriormente mencionada, de que a AD equivale ao caso limite da AHL centrada na mediana. O mesmo procedimento foi utilizado para gerar os valores das vendas, podendo ser também utilizado para qualquer outra distribuição de probabilidades. Usando os três diferentes métodos de amostragem aqui descritos (AAS, AHL e AD), foram realizadas 100 corridas de simulação, cada uma delas composta de 200 tentativas. Para cada corrida foram calculadas as seguintes estimativas relativas à distribuição do VPL: média, desvio padrão, mediana e probabilidade de prejuízo (percentual de valores de VPL menores que zero). Em seguida, calculou-se a média e o desvio padrão de cada estimativa para cada um dos métodos utilizadas. 5. Análise dos Resultados Um resumo dos resultados do experimento encontra-se na Tabela 5. Tabela 5 Estatísticas das estimativas para a distribuição do VPL para cada método de amostragem Média Desvio padrão Mediana Probabilidade de prejuízo

7 7 AAS AHL AD AAS AHL AD AAS AHL AD AAS AHL AD MÉDIA ,63% 33,70% 33,78% DP ,29% 2,22% 2,17% Consideremos, inicialmente, a estimativa da média do VPL. No caso da AAS, a média das estimativas da média do VPL foi de R$ Conforme esperado, esta média variou com o método amostral, diferença esta que não se mostrou estatisticamente significativa em relação à AAS (ver Tabela 6). Podemos notar que o mesmo também vale para as estimativas do desvio padrão do VPL, da sua mediana e da probabilidade de prejuízo: as médias das estimativas foram aproximadamente iguais para os diferentes métodos. Este fato é perfeitamente consistente, pois diferentes métodos de amostragem não deveriam gerar estimativas com médias diferentes. Já os desvios padrões das estimativas da média, da mediana e da probabilidade de prejuízo tiveram uma sensível redução ao utilizarmos a AHL ou a AD em lugar da AAS. A única exceção ficou por conta da estimativa do desvio padrão do VPL, cuja variância praticamente não se alterou. Estes resultados, em conjunto com outros anteriormente obtidos, permitem-nos afirmar que tanto a AHL como a AD produzem, em geral, estimativas de menor variabilidade do que a AAS, ou, em último caso, estimativas de igual variância, porém nunca maiores. Testamos a hipótese de igualdade de médias das estimativas através do teste t, fornecendo na tabela 6 o nível de significância observado ( p-value ) para cada diferença testada. No caso, valores mais altos do p-value (tipicamente acima de 5%) indicam diferenças não significativas. No entanto, como se trata de uma situação em que múltiplas comparações são realizadas (8 no total), devemos tolerar eventuais exceções, desde que restritas a poucos casos e desde que os limites de tolerância não sejam em muito ultrapassados. Este foi o caso da média dos desvios padrões das estimativas. Logo, a hipótese de que diferentes métodos de amostragem levam a diferentes médias das estimativas pode ser rejeitada. Tabela 6 Testes t para a diferença de médias das estimativas e testes F para as variâncias Comparando AAS e AHL Comparando AHL e AD Média Desvio padrão Mediana Prob. de prejuízo Média Desvio padrão Mediana Prob. de prejuízo Teste t: p-value Teste F: p-value Obs: os valores apresentados são as probabilidades das médias (teste t) ou variâncias (teste F) serem iguais. Já o teste F, comparando as variâncias das estimativas, permite-nos concluir por uma significativa redução em relação à AAS, tanto para a AHL como para a AD, para as estimativas da média, mediana e probabilidade de prejuízo. No caso da estimativa do desvio padrão, a diferença não se mostrou significativa, ou seja, a variância não se alterou. Cabe ainda ressaltar que todas as diferenças (média e variância) entre a AHL e a AD não se mostraram significativas, confirmando a proximidade entre ambos os métodos. 6. Explicação da Redução da Variância Outra forma de se avaliar o ganho ao substituirmos a AAS pela AD é através análise do Modelo Linear de Resposta (MLR), conforme descrito em Saliby (1989). Para a aplicação deste modelo, são feitas regressões múltiplas tendo como variáveis dependentes as estimativas de cada corrida (média, desvio padrão, mediana e probabilidade de prejuízo), e, como variáveis independentes, as estatísticas (média, desvio padrão,...) das diversas variáveis de

8 8 entrada (venda e custo para cada um dos quinze anos). É demonstrado (Saliby, 1989) que o R 2 desta regressão corresponde à redução de variância esperada quando se troca a AAS pela AD. A tabela 7 apresenta os resultados obtidos por esta análise, onde a redução de variância estimada é a obtida através do R 2 da regressão, enquanto que a observada corresponde à redução de variância de fato obtida com a AD (tabela 5). Tabela 7 - Resultados do Modelo Linear de Resposta Variável dependente Média Desvio padrão Mediana Prob. de prej. Redução na variância estimada Redução na variância observada Observa-se portanto que os valores obtidos estão bastante próximos aos teóricos. A única exceção ocorreu com o desvio padrão, no qual houve um pequeno aumento de variância quando se passou da AAS para a AD. Embora não esperado, trata-se de um fato perfeitamente possível no caso de estimativas cuja precisão não é influenciada pelo efeito de conjunto, o que aparenemente é o caso do desvio padrão do VPL. 7. Conclusões O objetivo deste trabalho foi aplicar diferentes métodos de amostragem a um problema da análise de risco, comparando os resultados obtidos através de cada método. Embora a Amostragem Aleatória Simples seja a abordagem padrão em simulação, procurou-se mostrar a vantagem da Amostragem Descritiva, resultando em uma menor variabilidade das estimativas. A origem desta menor variabilidade está na seleção totalmente determinística e intencional dos valores de entrada, mas que são permutados aleatoriamente. Apesar de simples, esta sugestão representa uma profunda mudança conceitual em relação a um dos fundamentos da simulação. Os resultados apresentados mostram que existe ganho em termos de redução da variabilidade das estimativas (desvio padrão) quando utilizamos a Amostragem Descritiva, se comparada a Amostragem Aleatória Simples. O teste do Modelo Linear de Resposta comprova esta hipótese. Não existe diferença significativa entre os desvios padrões calculados pela Amostragem Descritiva e pela Amostragem por Hipercubos Latinos, confirmando a quase equivalência em termos práticos destes dois métodos. No entanto, a fundamentação teórica da AD, explicando inclusive o funcionamento da AHL, bem como sua maior simplicidade computacional fazem deste método a melhor escolha em análise de risco assim com em outras aplicações de simulação.

9 9 Referências bibliográficas HERTZ, D. Risk analysis in capital investments. Harvard Business Review, v. 42, n. 1, p , Jan./Feb MCKAY, M. D., CONOVER, W. J., BECKMAN, R. J. A comparison of three methods for selecting values of input variables in the analysis of output from a computer code. Technometrics, v. 21, p , SALIBY, E. Aplicação da amostragem descritiva na análise de risco. Revista de Administração, v.22, n.4, p , out./dez SALIBY, E. Descriptive Sampling: an improvement over latin hypercube sampling. In : Proceedings of the 1997 Winter Simulation Conference, p SALIBY, E. Repensando a simulação: A amostragem descritiva. São Paulo : Atlas, Rio de Janeiro : Editora da UFRJ, 1989