CURSO DE CONTROLE DIGITAL

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1 1 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDEAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE ELETRÔNICA CURSO DE ENGENHARIA ELETRÔNICA CURSO DE CONTROLE DIGITAL Prof. Paulo Roberto Brero de Campos

2 2 Sumário I. Introdução II. Sistemas discretos III. Propriedades da transformada IV. Relação plano S plano Z V. Métodos de discretização VI. Erro em regime VII. Projeto-plano-z VIII. Sintonia de compensadores PID IX. Projeto no plano w X. Erro quantização APENDICES A) Diagrama de simulação B) Critério de Jury C) Exemplo de PROJETO NO PLANO Z D) Tabela de transformadas E) Bibliografia

3 3 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDEAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE ELETRÔNICA CONTROLE DIGITAL - INTRODUÇÃO O controle de sistemas físicos utilizando um computador digital está ficando cada vez mais comum. Pilotos automáticos de aeronaves, refinarias de óleo, máquinas de papéis, etc., estão entre os exemplos. Os controladores digitais são mais versáteis que os controladores analógicos. O programa que caracteriza um controlador digital pode ser modificado para acomodar mudanças de projetos, sem qualquer modificação de hardware. Componentes digitais na forma de componentes eletrônicos, transdutores e encoders, são mais confiáveis do que seus equivalentes analógicos. Entre outras vantagens, pode-se citar: Maior flexibilidade na programação Menor custo Mais compacto e mais leve Sofre menos efeito devido à ruído e perturbações Mais confiável Sensibilidade melhorada. VANTAGENS DO CONTROLE DIGITAL a) Exatidão: sinais digitais são representados com exatidão usando bits 0 e 1. O erro obtido é pequeno quando comparado a sinais analógicos, onde ruído e variações da tensão de alimentação estão sempre presentes. b) Não há erros devido à variação dos componentes: processamento digital de sinais de controle envolve adição e multiplicação de números digitais. Erros devido à representação digital e cálculos aritméticos podem vir a ser desprezíveis, dependendo das características do controlador. Em contraste, o processamento de sinais analógicos é executado usando componentes como resistores e capacitores cujos valores reais variam de forma significativa do valor nominal de projeto. c) Flexibilidade: um controlador analógico é difícil de modificar ou reprojetar uma vez que foi implementado em hardware. Um controlador digital, implementado em firmware ou software, é facilmente modificado sem a substituição do controlador original. d) Velocidade: computadores velozes permitem amostrar e processar sinais de controle à altíssimas velocidades e reduzidos períodos de amostragens. Pequenos períodos de amostragens significam que o controlador digital monitora a variável controlada quase continuamente. e) Custo: avanços na tecnologia de construção de CIs, possibilitou a obtenção de circuitos integrados melhores e mais rápidos, a preços mais baixos.

4 4 DESVANTAGENS DO CONTROLE DIGITAL a) Projeto do sistema: a análise matemática e o projeto dos sistemas de controle amostrados são, muitas vezes, mais complexos e mais tediosos quando comparados com um sistema de controle contínuo. b) Estabilidade do sistema: em geral, discretizar um sistema, sem mudanças em nenhum parâmetro, exceto pela adição do segurador de ordem zero, degrada a margem de estabilidade do sistema. c) Informação do sinal: o objetivo do segurador de ordem zero é reconstruir o sinal contínuo a partir do sinal discreto. O sinal reconstruído, na melhor das situações, é uma aproximação do sinal contínuo, então há perda de informações. (erros de quantização) d) Erros de software: podem ocorrer erros de programação devido à complexidade do algoritmo implementado. ESTRUTURA BÁSICA DE UM SISTEMA DIGITAL DE CONTROLE Microcomputador Clock y(t) y(k) u(k) u(t) Conversor A/D Algoritmo Conversor D/A + zoh Processo y(t) Supervisão, alarme, comando, proteção Onde zoh=zero order hold (segurador de ordem zero) Para controlar um sistema físico ou um processo usando um controlador digital, o controlador (microcomputador) deve: 1) receber as medidas do sistema. 2) processar estas medidas. 3) enviar os sinais de controle ao atuador, que efetua a ação de controle, enviando o sinal de saída ao processo. A planta e o atuador são analógicos, e o controlador é digital. Conversor digital para analógico (D/A): transforma um código binário em um valor analógico. Por exemplo, no diagrama abaixo, temos um conversor D/A com quatro bits de entrada. Então: entrada D3 D2 D1 D0 Saída (Vo) D3 D2 D1 D0 Conversor D/A Vo

5 V V V V V Observe que a tensão de saída depende de ajuste de ganho, normalmente feito pelo projetista. Por exemplo, usando um conversor D/A de 8 bits (DAC 0808), então teremos 256 combinações diferentes, e a tensão de saída irá variar entre 0V e 5V. Nesta situação, a variação do bit menos significativo significa uma variação de 5/255=19,5 mv. Isto é: D 7 D 6 D 5 entrada D D 4 3 D 2 D 1 D 0 saída V ,5 mv mv V Conversor analógico para digital (A/D): transforma uma tensão analógica em um valor digital. Por exemplo, um conversor genérico é mostrado na figura abaixo: entrada saída (Vi) D3 D2 D1 D0 0 V V V V V Vi Conversor A/D D3 D2 D1 D0 Na prática a tensão máxima de entrada depende do conversor A/D utilizado. Por exemplo, usando o ADC 0804, a máxima tensão de entrada que pode ser aplicada é 5 V, e como ele é um conversor de 8 bits, então teremos a seguinte tabela: entrada saída (Vi) D7 D6 D5 D4 D3 D2 D1 D0 0 V ,5 mv V O conversor A/D necessita um certo tempo para efetuar a conversão. O conversor ADC 0804 demora 100 s para fazer a conversão. Modelamos o conversor A/D como um amostrador (sampler) e um conversor A/D propriamente dito. O amostrador serve para pegar uma amostra do sinal no instante de amostragem. Note que o sinal na saída do amostrador tem amplitude contínua, mas tempo discreto.

6 6 Exemplos de Controle de Sistemas Digitais a) Controle digital de um motor a jato de um avião b) Controle de um manipulador robótico c) etc. CLASSIFICAÇÃO DOS SINAIS Um sinal pode ser classificado em termos das suas características de tempo e de amplitude. Num sistema contínuo o tempo e a amplitude são contínuos. Ao passar este sinal contínuo por um amostrador (que é uma chave que abre e fecha controlada por um sinal de clock) a informação resultante só existirá em um tempo discreto, mas a amplitude ainda será contínua. Passando este sinal por um conversor analógico-digital, teremos agora amplitude e tempo discretos. O microcomputador processa sinais discretos(digital) em tempo discreto. Ao se aplicar o sinal digital a um conversor digital-analógico, na saída temos um sinal no tempo discreto, mas com amplitude contínua. Só que este sinal não possui energia para se aplicada à planta. Por isto aplicamos este sinal a um HOLD (segurador) que ira transformar o sinal para um tempo contínuo. Desta forma temos um sinal com amplitude e tempo contínuos aplicados à planta.

7 7 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDEAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE ELETRÔNICA SINAIS DISCRETOS I) INTRODUÇÃO A notação y[k] significa uma seqüência de números, real ou complexa, definida para cada inteiro K. A seqüência y[k] será chamada de sinal digital ou sinal discreto, e o índice k é o tempo discreto. Exemplos: 1) seqüência degrau U[k] = 1 para k 0 U[k] = 0 para k<0 u[k] k 2) seqüência delta [k] = 1 para k = 0 [k] = 0 para k 0 [k] 0 k II) EQUAÇÃO À DIFERENÇA Uma equação diferencial de 1 a. Ordem pode ser escrita como: ady/dt + y(t) = u(t) (1) Podemos de forma aproximada definir a derivada de uma função como sendo: dy y(t+ t) y(t) dt t Reescrevendo a equação 1: a[y(t+ t) y(t)] + y t = u(t) t y(t+ t) = (1 - t/a)y(t) + u(t) t/a (2) definindo: T= t = cte (período de amostragem)

8 8 t = KT (instante de amostragem) y(t+ t) = y(kt +T) = y[(k+1)t] = y(k+1) y(t) = y(kt) = yk reescrevendo a equação (2): y(k+1) = (1-T/a) y(k) + (T/a) u(k) Esta é uma equação à diferença de primeira ordem, linear. Exemplo: dada uma função analógica é possível discretizá-la, substituindo kt (tempo discreto) no lugar de t (tempo contínuo). y(t) y(t) = t t yk T y(k) = kt k III) SISTEMA DISCRETO Um sistema discreto é uma regra associando a uma seqüência u(k) uma outra seqüência y(k). u(k) Sistema discreto y(k) IV) DIAGRAMA DE SIMULAÇÃO É possível simular um sistema discreto, e verificar graficamente sua resposta. Para isto é necessário implementar o diagrama de simulação. Um diagrama de simulação é formado pelos seguintes elementos. a) Elemento atraso u(k) Z -1 y(k)=u(k-1)

9 9 O sinal de entrada aparece na saída atrasado de um período de amostragem. b) Ganho O sinal de saída é multiplicado pela valor a. Este valor pode ser positivo, negativo, maior que 1 ou menor que 1. u(k) y k = au k u(k) y k = au k a a c) somador A tensão de saída é a soma dos sinais de entrada. a c = a + b Exemplos: a) y k = 2u k + 3u k-1 b u(k) 2 y(k) z -1 3 V) TRANSFORMADA Z Um sinal continuo (no tempo) pode ser discretizado (no tempo) através de um dispositivo chamado amostrador. Ele é representado por uma chave que é fechada em instantes discretos tk durante um intervalo de tempo dk. Ele gera um trem de pulos de duração dk. dk t k, d k f(t) f*(t) tk Para simplificar a análise matemática suporemos um amostrador ideal, tal que a duração dos pulsos seja desprezível e que este trem de pulsos seja representado por um trem de impulsos de mesma área. f(t) T f*(t) Pode-se imaginar que o sinal amostrado seja gerado pelo produto da função m(t), trem de pulsos unitários, pelo sinal f(t):

10 10 f(t) m(t) f*(t) vezes = f*(t) =f(t). m(t) O sinal m(t) pode ser representado como: m(t) = (t-kt) k=0 Então f*(t), será: f*(t) = f(t) (t-kt) k=0 O valor de f(t) no k-ésimo instante de amostragem será representado por f(kt) ou f(k) ou f k. O valor f*(t) será uma seqüência de números representada por: f*(t) = f(kt) (t-kt) = { f k } k=0 A transformada de Laplace de f*(t) é dada por: F(s) = f(t) e -st dt 0 Aplicando a transformada de Laplace no sistema amostrado, tem-se: F*(s) = L[f*(t)] = f(kt) (t-kt) e -st dt 0 k=0 F*(s) = L[f*(t)] = f(kt) (t-kt) e - st dt k=0 0 F*(s) = L[f*(t)] = f(kt) e - kts k=0

11 11 Onde o termo e -kts introduz funções não algébricas que fazem com que a análise de sistemas amostrados utilizando a transformada de Laplace seja inconveniente. Para evitar esta dificuldade, será feita uma mudança de variável: z = e st que transforma o plano complexo S em um outro plano complexo chamado plano Z, e que permite definir a transformada da função f(t) que é idêntica à transformada de Laplace do sinal pulsado f*(t). Então: F(z) = Z{f(k)} = f(kt) z - k k=0 Exemplo: Calcule a transformada Z de: a) f(t) = b t/t, onde b=constante discretizando a função f(t) pela substituição de t=kt: Aplicando a definição de transformada Z: f k =b k F(z) = Z{f(k)} = f(kt) z -k = b k z -k k=0 k=0 F(z) = 1 + b/z + (b/z) 2 + (b/z) A partir da série: a + ar + ar ar n-1 = a(1-r n )/(1-r) Para que exista a transformada Z, a série deve convergir. Ela irá convergir se r <1, neste caso: lim a (1-r n ) = a pois lim r n = 0 n 1 r 1 r n Portanto para b/z < 1, existirá a transformada Z e será: F(z) = 1/(1-b/z) = z/(z-b) para z > b Parte prática: Filtro Digital Implemente um filtro analógico passa-baixa, discretizado pelo método Backward Difference. Neste método a derivada é aproximada por: dy y(t) y(t- t) dt t

12 O filtro passa-baixa é mostrado a seguir: R = 1000 Fazendo t=kt e t = T vo/vi = 1/RC s + 1/RC 12 Vo fazendo 1/RC= a C=1 F Vi yk = y(k-1) + atuk 1 + at 1) Utilizando uma placa conversora A/D, aplique um sinal senoidal na entrada, utilizando um gerador de funções. 2)Observe o sinal na saída do conversor D/A, variando a freqüência do sinal de entrada. Obtenha a resposta em freqüência do filtro digital, comparando com a resposta em freqüência do filtro analógico. PROGRAMA MATLAB w1=1000; w2=400; uk1=0; yka1=0; yka2=0; RC=.001; T=0.0001; % quanto menor T, menor a amplitude do sinal de saída hold on N=6; %numeros de ciclos que serao mostrados x=n/w1; b=200; % tempo maximo a ser calculado a=3; %determina quantos ciclos serao mostrados for t=0:t:x*6.28 u1=sin(w1*t); u2=sin(w2*t); %for X=0:.01:b %u=sin(x); y1=(t*u1+yka1*rc)/(t+rc); y2=(t*u2+yka2*rc)/(t+rc); %y1=0.048*u *uk1+yka1*0.905; % Tustim com prewarping yka1=y1; yka2=y2;

13 uk1=u1; plot(t, u1) plot(t, u2) plot(t,y1, '*') plot(t,y2, '*') end hold off 13

14 14 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDEAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE ELETRÔNICA PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA Z 1) Linearidade Se {f1(k)} = F1(z) e {f2(k)} = F2(z), então {a f1(k) + b f2(k)} =a F1(z) + b F2(z). 2) Deslocamento Se {f(k)} = F(z), então Exemplo: a) y k+1 + 2y k = u k { y k+1 } = z{y(z) y(0)} = zy(z) zy(0) { y k } = z{y(z)} { u k } = z{u(z)} considerando as condições iniciais iguais a zero: y(0)=0: (z+2)y(z)=u(z) y(z)=u(z)/(z+2) b) y k+2 + 3y k+1 + 2y k = 0 condições iniciais: y(0)=0 e y(1)=1 { y k+2 } = z 2 {y(z) y(0) z -1 y(1)} = z 2 y(z) z 2 y(0) zy(1) = z 2 y(z) z { y k+1 } = z{y(z) y(0)} = zy(z) zy(0) = zy(z) { y k } = z{y(z)} z 2 y(z) z + 3zy(z) +2y(z) =0 y(z)[z 2 +3z +2]= z n-1 {f(kt+nt)} = z n {F(z) - f k z -k } k=0 y(z)= z z 2 +3z +2 3) Atraso { y(t-nt) u(t-nt) } = z - n {y(z)} 4) Teorema do valor final Se { f k } = F(z), então 5) Teorema do valor inicial f ( ) = lim f*(t) = lim {fk} = lim (1-z -1 )F(z) t k z 1 f (0) = lim f*(t) = lim {fk} = lim F(z) t 0 k 0 z

15 15 6) Convolução Dados dois sinais discretos, u k e g k. A convolução entre estes dois sinais é definido como: k k Y k = g j u k-j = g k-j u j = {g k }*{u k } j=0 j=0 Y(z) = { g k *u k } = G(z) U(z) Por exemplo, se for aplicado um degrau unitário na entrada de um sistema discreto, a resposta no tempo discreto não será o produto do degrau unitário pela função peso do sistema discreto. Mas será a convolução da função degrau unitário com a função peso do sistema discreto. Para evitar o cálculo da convolução, pode-se calcular a transformada da função degrau unitário e da função peso do sistema, fazer o produto e encontrar a anti-transformada para se ter a resposta no tempo. ANTI-TRANSFORMADA Calcular a anti-transformada de F(z) é obter a seqüência {fk} a partir de F(z). Existem diversas formas para se obter a anti-transformada. 1) Decomposição em frações parciais. Faz-se a decomposição em frações parciais e identifica-se a função numa tabela de anti-transformada Z. Exemplo: F(z) = 10z (z - 1)(z - 2) F(z) = 10 = c1 + c2 z (z - 1)(z - 2) (z - 1) (z - 2) Multiplicando os dois lados da equação por (z-1), simplificando as equações e fazendo z=1: 10 (z-1) = (z-1) c1 + (z-1) c2 (z - 1)(z - 2) (z - 1) (z - 2) c1 = 10 = -10 (z - 2) z=1 Multiplicando os dois lados da equação por (z-2), simplificando as equações e fazendo z=2: 10 (z-2) = (z-2) c1 + (z-2) c2 (z - 1)(z - 2) (z - 1) (z - 2) C2 = 10 = 10 (z - 1) z=2

16 16 Então: F(z) = -10 z + 10 z z - 1 z - 2 Da tabela de transformada: f k = k = 10(2 k -1) SEGURADOR DE ORDEM ZERO Um sinal ao ser convertido de digital para analógico tem existência apenas nos instantes t=kt (k inteiro). Como este sinal normalmente é aplicado a um processo contínuo é necessário manter o sinal constante durante todo o resto do intervalo. Sinal digital kt Conversor D/A Sinal analógico, mas tempo discreto Segurador de ordem zero kt Sinal analógico Processo contínuo t O segurador de ordem zero, mantém o sinal constante durante o intervalo entre as amostragens. Y(t) G zoh 1 0 t=t Aplicando-se uma função impulso na entrada, o sinal de saída pode ser representado como a subtração de duas funções degrau, deslocadas t=t. y(t) = u(t) - u(t-t) Aplicando-se transformada de Laplace: Y(s) = 1/s - e -st /s. Como o sinal de entrada é um impulso, e a transformada de Laplace do impulso é E(s)=1, calculando-se a função de transferência: G(s) =Y(s)/E(s), obtém-se: G(s)=1/s - e -st /s ou seja: Lembrando que z=e st G soh (s) = 1- e -st s ESTABILIDADE DE SISTEMAS DISCRETOS No caso contínuo um sistema será estável se os pólos do sistema em malha fechada estiverem no semi-plano esquerdo do plano s, ou seja <0. Como z=e st = e T e j T = = e T (cos T + j sen T)

17 17 O módulo vale: z = e T Para o sistema ser estável no plano s, deve-se Ter <0. Substituindo na equação anterior, verifica-se que o módulo de z deve ser menor que 1, z <1. j Im(z) Re(z) Plano S Plano z Nos sistemas discretos, se os pólos do sistema em malha fechada estiverem dentro do círculo unitário o sistema será estável. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PULSADA (discreta) Dado um sistema contínuo, onde haja um amostrador, a análise do sistema deve ser feita como se fosse um sistema discreto. Para se fazer isto, deve-se discretizar os blocos contínuos: X(s ) T X*(s) G(s) Y(s ) T Y*(s ) Utiliza-se o seguinte procedimento: 1) Obtém-se a função de transferência G T (s) do sistema 2) Obtém-se a função de resposta ao impulso g t (t), onde g t (t)= L -1 [G T (s)] 3) Calcula-se a transformada Z a partir da definição: G(z) = g t (kt)z -k k=0 Onde g t (kt) é obtido de g t (t), substituindo t por kt. Para sistemas estáveis esta série converge. OBS: Deve-se lembrar que G T (s) pode incluir um segurador de ordem zero. Exemplo: Obtenha a função de transferência pulsada. G(s) = 1/(s+a) X(z ) G T (z) Y(z )

18 18 X(s ) T G T (s)=(1-e -st )*a/(s*(s+a)) X*(s) S O Z a (s+a) Y(s ) T Y*(s ) z = e st G T (z)= Z{(1-e -st )*a/(s*(s+a))}=(1-z -1 )Z{a/(s*(s+a))}= (1-z -1 )*z*(1-e -at )/((z-1)*(z-e -at )) então: G(z) = 1-e -at z - e -at OBS: se na saída não houver nenhum amostrador, pode-se colocar um amostrador fictício e o procedimento será o mesmo. FUNÇAO DE TRANSFERÊNCIA DISCRETA COM ELEMENTOS EM CASCATA Os amostradores estao todos na mesma frequencia e em sincronismo. 1) Caso 1 G1(s) G2(s) X(s X*(s) D(s Y(s Y*(s) Y(s) = G2(s) D(s) D(s) = G1(s) X*(s) Y(s) = G1(s)G2(s) X*(s) O sinal X*(s) já é um sinal discreto, e ao passar pelo amostrador de saída não sofrem alterações. Então é feita a discretizaçao do produto das funções G1(s)G2(s). [G1(s)G2(s)]* = G1G2(z) Y(z) = G1G2(z) X(z) 2) Caso 2 X(s X*(s) G1(s) D(s D*(s) G2(s) Y(s Y*(s) Y(s) = G2(s) D*(s)

19 19 D(s) = G1(s) X*(s) discretizando a função D*(s) = G1*(s) X*(s). Substituindo na funçao de Y(s): Y(s) = G2(s)G1*(s) X*(s) s sinais X*(s) e G1*(s) já são sinais discretos, e ao passarem pelo amostrador de saída não sofrem alterações. Y*(s) = G2*(s)G1*(s) X*(s) Então é feita a discretizaçao de cada função separadamente: [G1(s)]* = G1(z) e [G2(s)]* =G2(z) Y(z) = G1(z) G2(z) X(z) FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DISCRETA EM MALHA FECHADA R(s) E(s T E*(s) G(s) C(s C*(s) E(s) = R(s) - C(s)H(s) H(s) C(s) = G(s) E*(s) Então: E(s) = R(s) - G(s)H(s)E*(s) Discretizando o sinal de erro e lembrando que E*(s) já é um sinal discreto e não sofre alteração ao passar de novo por um amostrador: E*(s) = R*(s) - [G(s)H(s)]* E*(s) E*(s){1 + [G(s)H(s)]* }= R*(s) E*(s)= R*(s) /(1 + [G(s)H(s)]*) Como C*(s) = G*(s) E*(s) C*(s) = Rescrevendo esta equação: G*(s) R*(s) 1 + [G(s)H(s)]* C(z) = G(z) R(z) 1 + GH(z)

20 20 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDEAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE ELETRÔNICA RELAÇÃO ENTRE PLANO S E PLANO Z A relação z=e st é a transformação entre a localização de pólos no plano s e localização no plano z. A variável complexa s pode ser escrita como sendo: s= + j. Isto é: z=e ( + j )T, que pode ser escrito como z= e T e j T. O módulo de z é escrito como z = e T, e o ângulo de fase pode ser escrito como z = T. OBTENÇÃO DA CURVA DE COEFICIENTE DE AMORTECIMENTO ( ) CONSTANTE NO PLANO Z. O coeficiente de amortecimento fornece indicações de como será a resposta do sistema para uma entrada degrau. Lembrando que a linha de constante no plano s é mostrada na figura abaixo: constante j j 1 = cos = cos -1-1 e j T = cos T + jsen T z=e (- + j )T = e - T e j T = e - T (cos T + jsen T) Exemplo: Dado no plano S a curva de _constante =0,707 e T=1s, encontre a curva equivalente no plano Z. Para este valor de, o ângulo é de 45 º, isto é =. z= e - T (cos T + jsen T). Arbitrando valores para, pode-se calcular a curva de: =0,707 no plano z. Re (z) Im(z) ,1 0,9 0,09 0,5 0,532 0,290 0,8 0,313 0,32

21 21 1 0,199 0,309 1,5 0,016 0,22 2-0,056 0,12 MAPEAMENTO PLANO S PARA O PLANO Z CURVAS DE COEFICIENTE DE AMORTECIMENTO CONSTANTE E N CONSTANTE

22 22 Lembrando que no plano S: Linha de constante j d Linha de n constante n n d = n 1-2 n = freqüência natural não amortecida = coeficiente de amortecimento d = freqüência natural amortecida

23 23

24 24 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDEAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE ELETRÔNICA DISCRETIZAÇÃO DO CONTROLADOR CONTÍNUO Denominado também de projeto por emulação, consiste em: a) Projetar um controlador contínuo, C(s). b) Discretizar C(s) para obter C(z), por um dos métodos que serão vistos a seguir. c) Verificar se o projeto atende às especificações através de algum método de análise ou por simulação. MÉTODOS DE DISCRETIZAÇÃO Existem diversos métodos de discretização de funções contínuas. A seleção adequada do método de discretização é uma tarefa não muito fácil. O projetista tem que se questionar sobre o que ele espera do algoritmo de controle discretizado, comparado com o desempenho do sistema analógico. As propriedades mais utilizadas na escolha do método de discretização são: 1) Número de pólos e zeros. 2) Largura de faixa 3) Ganho DC 4) Margem de fase 5) Margem de ganho 6) Resposta no tempo Normalmente apenas algumas propriedades são preservadas durante o processo de discretização. Os principais métodos são mostrados a seguir: 1) Transformada Z do sistema amostrado Dado um sistema contínuo amostrado H(s), ele pode ser representado como um sistema discreto, através dos seguintes passos: H(s) a) Separe a função de transferência em funções parciais: H(s) = A 1 + A s + a 1 s + a 2 b) Obtenha a anti-transformada de Laplace:

25 Faixa secundária Faixa Faixa primária secundária 25 h(t) = A 1 e -a t 1 + A 2 e -a 2t +... c) Discretize o sistema substituindo t=kt h(kt) = A 1 e -a 1kT + A 2 e -a 2kT +... d) Calcule a transformada Z pela definição: H(z) = A 1 z + A 2 z +... z - e -a T 1 z - e -a T 2 Exemplo: Obtenha o equivalente discreto do sistema contínuo H(s) H(s) = 1 (s + a)(s + b) H(s) Através da tabela de transformada de Laplace, obtém-se: h(t) = (e -at - e -bt )/(b - a) h(kt) = (e -akt - e -bkt )/(b - a) H(z) = z (e -at - e -bt ) Através da tabela de transformada Z, obtém-se: (b-a) (z - e -at )(z - e -bt ) Propriedades: 1) D(z) tem a mesma resposta ao impulso que D(s) 2) D(z) não preserva a resposta em freqüência de D(s) 3) Mapeamento plano s - plano z j j s /2 Im(z) Re(z) - j s /2 Plano S Plano z Todo o plano s é mapeado dentro do círculo unitário no plano z. Os pólos e zeros do sistema contínuo devem estar dentro da faixa primária, para evitar distorção na discretização. As faixas secundárias ocorrem devido ao processo de amostragem. As informações da faixa primária são repetidas nas faixas secundárias. 2) Transformada Z com segurador de ordem zero (Hold)

26 26 Em um sistema discreto, a informação só existe nos instantes de amostragem, isto é t=0t, t=1t, t=2t, etc. O segurador de ordem zero é usado para manter o sinal de saída constante entre os instantes de amostragem, para que o sinal possa ser aplicado a um sistema contínuo. Um exemplo de um segurador de ordem zero, é o registrador de saída da porta paralela. O diagrama do sistema discreto com o segurador de ordem zero é mostrado a seguir: T G(s) Segurador de ordem zero A equação discretizada fica: Onde z -1 = e -st Exemplo: G(s) = 1/(s(s+1)) para T=1s Propriedades: 1) D(z) não preserva as respostas ao impulso e em freqüência de D(s) 2) Mapeamento plano s - plano z. Se D(s) é estável, D(z) será estável também. 3) Método backward difference D(z) = z [ (1 - e -st ) G(s) ] s G(z) = (1 - z -1 ) z [ 1 ] s 2 (s + 1) G(z) = 0,368 z + 0,264 (z - 1)(z - 0,368) A derivada é aproximada através da equação: dy/dt y(t) - y(t - t)/ t = [y(kt) - y(kt -T)]/T G(s) = (1 - e -st ) 1 s s(s + 1) aplicando a transformada de Laplace, e substituindo T= t : sy(s) [Y(s) - e -st Y(s)]/ T = Y(s) (1 - z -1 )/T Desta forma é possíve obter o equivalente discreto, substituindo s por: s = (1 - z -1 ) T

27 27 Exemplo: D(s) = a/(s+ a) D(z) = at 1 +a T - z -1 Propriedades: a) É de fácil aplicação b) Não preserva respostas ao impulso e em freqüência. c) Mapeamento plano s - plano z j D(z) = a 1 - z -1 +a T Im(z) Re(z) Plano S Plano z 4) Transformação BILINEAR (transformação TUSTIN, integração trapezoidal) É obtida substituindo s = 2 (1 - z -1 ) T (1 + z -1 ) Exemplo: H(s) = a/(s+a) Então: H(z) = a = a(z+1) 2 (1 - z -1 ) + a z(2/t +a) + a - 2/T T(1 + z -1 ) Propriedades: 1) transforma todo o semi-plano esquerdo do plano s, no círculo unitário do plano z. 2) Não preserva respostas ao impulso e em freqüência. 3) Mapeamento plano s - plano z j Im(z) Re(z) Plano S Plano z

28 28 Este método introduz uma distorção em frequencia, que será mostrada a seguir. A partir da relação de transformação: s = 2 (1 - z -1 ) T (1 + z -1 ) E fazendo s=j * e z=e j T para verificar a resposta em freqüência. j * = 2 (1 - e -j T ) = 2 j tan( T/2) T (1 + e -j T ) T * * = 2 tan( T/2) T T Para baixos valores de não há distorção, pois tg( ). Para ( T/2) < 17 o, teremos * =. A transformação Bilinear comprimi a freqüência contínua 0 < * < para uma faixa digital limitada à 0 < T <. 5) Transformação Bilinear com pré-warping em freqüência (pré-distorção) É feita uma pré-distorção para compensar o problema mostrado anteriormente. Faz-se s = 2 (1 - z -1 ) T (1 + z -1 ) Para todos pólos e zeros desejados, substitui-se [s+a] por [s+a'] onde: a' = 2 tan(at/2) T Neste método deve ser feito um ajuste de escala para preservar o ganho DC. Exemplo: D(s) = a (s+a)

29 29 Fazendo o pre-warping Calculando D(z) D(s,a') = D(z) = O ganho DC do filtro no plano s vale D(s)=1. No plano z, o ganho DC vale: s + a 2 tan(at/2) T a 2 z tan(at/2) T z +1 T D(t = ) = lim a = 1 s 0 (s+a) D(k = ) = lim a k =1 z 1 2 z tan(at/2) T z +1 T K= 2 tan(at/2) T a Propriedades: 1) Ele mapeia o lado esquerdo do plano s no círculo unitário no plano z. 2) Ele preserva a resposta em freqüência para uma freqüência específica e para o ganho DC, e comprimi a faixa de freqüência de *= para = 3) A resposta ao impulso e de fase não são preservadas. 6) Mapeamento de pólos e zeros Esta técnica consiste de regras heurísticas para localizar os zeros e o ganho. Os pólos de G(s) e G(z) são relacionados pela transformação z=e st. a) Todos os pólos de G(s) são mapeados de acordo com a relação z=e st. Se G(s) tem pólo em s=-a, então G(z) terá um pólo em z=e -at. b) Todos os zeros finitos são mapeados por z=e st. Se G(s) tem um zero em s=-b, então G(z) terá um zero em z=e -bt. c) Todos os zeros de G(s) no infinito são mapeados em G(z) no ponto z=- 1. d) Deve-se fazer um ajuste de escala para que o ganho DC seja igual para G(s) e G(z). Exemplo: D(s) = s (s+a)

30 30 D(z) = k(1 - z -1 ) = k z - 1 (1 - z -1 e -at ) z - e -at Este é um filtro passa-alta, então interessa manter o mesmo ganho em altas frequencias (z -1) D(z) = k (-1) - 1 = 1 k = 1+e (z -1) (-1) - e -at 2 -at D(z) = 1+e -at z z - e -at Exercício: a) Discretize o sistema abaixo por todos os métodos vistos na teoria, utilizando o comando C2D no programa MATLAB ( T=1ms): 100 s b) Plote a resposta da saída do sistema discretizado para um degrau unitário na entrada (plote todos os métodos em um único gráfico) c) Compare as respostas em freqüência, do sistema contínuo e das funções de transferência discretizadas d) Calcule o módulo da Função de transferência, na freqüência de 1000 rad/s, para o filtro discretizado a partir do método backward difference, com T=10 ms. G(s) é a mesma da questão a.

31 31 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE ELETRÔNICA ERRO EM REGIME PERMANENTE Inicialmente veja o sistema realimentado mostrado na figura 1, onde é aplicado um degrau na entrada. Este sistema é um controlador de temperatura. O sinal de referência, que indica a temperatura desejada, é comparado com o valor medido da temperatura. A diferença entre os dois sinais gera o sinal de erro. Este sinal de erro é amplificado e aplicado à resistência. A corrente que passa pela resistência irá gerar calor. Referência erro Amplificador resistência Medidor de temperatura Figura 1- sistema realimentado Para aquecer a resistência é necessário que haja uma tensão na entrada do amplificador, para que este sinal possa ser amplificado, e assim gerar tensão e corrente que serão aplicados à resistência. O sinal na entrada do amplificador é chamado sinal de erro. Aumentando-se o ganho do sistema, o valor do erro diminui. Mas sempre será necessário que haja um erro. Para sistemas como o mostrado na figura acima, sem integrador, sempre haverá um erro finito. Para que o erro seja zero, deve-se colocar um integrador na malha. Sistemas sem integrador são chamados sistemas do tipo 0. Para este tipo de sistema o erro, devido a um degrau, é finito. Se for aplicada uma rampa na entrada, o sistema da figura acima não conseguirá acompanhar e o erro irá aumentar de forma indefinida. Mas se for colocado um integrador, o sistema conseguirá acompanhar o sinal de entrada, mas com um erro finito. Para que o erro seja zero, deve-se der dois integradores na malha. Desta forma um sistema do tipo 1, consegue acompanhar uma rampa

32 32 na entrada com erro finito. Para não Ter erro deve-se colocar um integrado na malha, ou seja Ter o equivalente a dois integradores na malha. CÁLCULO DOS ERROS O erro em regime permanente significa o erro que o sistema tem após a resposta transitória ter terminado. Dado o sistema realimentado mostrado na figura abaixo: R(z) E(z ) G(z) C(z) H(z) O erro é definido como: E(z) = R(z) B(z) Para se encontrar o erro em regime, aplica-se o teorema do valor final: e* ss = lim e*(t) = lim e(kt) = lim (1 z -1 )E(z) t k z 1 Para o sinal discreto A função de transferência do erro é dada por: E(z) = R(z) 1 + G(z)H(z) O termo G(z)H(z) é chamado função de transferência em malha aberta, e de forma geral pode ser escrita como: G(z)H(z) = K (z-z i ) (z-1) N (z-p i ) N é chamado o Tipo do Sistema. Se N=0, tem-se um sistema tipo zero. Se N=1, tem-se um sistema tipo um, e assim por diante. Define-se Kdc como sendo o ganho DC em malha aberta, com os pólos em z=1 removidos. Fazendo-se o limite quando z 1: Kdc = K (z-z i ) (z-p j ) para z =1 N=0 sistema tipo zero N=1 sistema tipo 1 etc

33 33 ERRO DEVIDO À UMA SEQÜÊNCIA DEGRAU NA ENTRADA A função degrau no domínio do tempo é: r(t)=ru(t), onde u(t)=1, para t 0. A transformada de Laplace é dada por R(s)=R/s. A função degrau, no plano z, tem a função de transferência mostrada a seguir: R(z) = R z z - 1 onde: R é a amplitude do sinal de entrada Substituindo a equação do degrau na equação do erro, obtém-se: e* ss = lim (1-z -1 ) 1 R z z G(z)H(z) z -1 e* ss = lim R = R z G(z)H(z) 1 + lim G(z)H(z) z 1 A constante de erro de posição é definida como: Kp = lim G(z)H(z) z 1 O erro devido à uma função degrau na entrada é dado por: e* ss = R 1+ Kp Para se ter erro zero, quando se aplica uma sequencia degrau na entrada, Kp deve ser infinito. Para kp ser infinito implica que a função G(z)H(z) deve Ter um pólo, ao menos, em z=1. Para sistemas com tipo 1, o erro será zero. ERRO DEVIDO À UMA SEQÜÊNCIA RAMPA NA ENTRADA A função rampa, no domínio do tempo, é: r(t) = Rtu s (t). A transformada de Laplace da função rampa é: R(s)=R/s 2. A transformada Z, da função rampa, é dada por: R(z) = RTz / (z-1) 2

34 34 O erro em regime é dado por: E(z) = RTz 1 (z-1) 2 [1 + G(z)H(z) ] e* ss = lim (1-z -1 ) RTz 1 z 1 (z-1) 2 [1 + G(z)H(z) ] e* ss = lim R T z 1 [1 + G(z)H(z) ] (z -1) e* ss = R lim (z -1) G(z)H(z) z 1 T A constante de erro de velocidade é definida como: K v = 1 lim [(z -1) G(z)H(z) ] T z 1 O erro devido à uma rampa na entrada é dado por: e* ss = R Kv Para se Ter erro zero, Kv deve ser infinito. Isto significa que G(z)H(z) deve ter, no mínimo, dois pólos em z=1. O termo erro de velocidade é usado para indicar o erro para uma entrada rampa. A dimensão do erro de velocidade é a mesma que a do erro do sistema, isto é, o erro de velocidade não é um erro de velocidade, mas um erro na posição devido à entrada tipo rampa. ERRO DEVIDO À UMA SEQÜÊNCIA PARÁBOLA NA ENTRADA A função parábola, no domínio do tempo, é: r(t) = Rt 2 u s (t)/2 A transformada Z, da função parábola, é dada por: R(z) = RT 2 z (z+1) / [2(z-1) 3 ] O erro em regime é dado por:

35 35 e* ss = lim (1-z -1 ) R T 2 (z + 1)z 1 z 1 2 (z -1) 3 [1 + G(z)H(z)] e* ss = T 2 lim R (z + 1) 2 z 1 (z -1) 2 [1 + G(z)H(z) ] e* ss = R lim (z -1) 2 G(z)H(z) z 1 T 2 A constante de erro de aceleração é definida como: K a = 1 lim [(z -1) 2 G(z)H(z) ] T 2 z 1 O erro devido à uma rampa na entrada é dado por: e* ss = R Ka O termo erro de aceleração, isto é o erro devido a uma entrada em parábola, é um erro na posição. RESUMO DOS ERROS EM REGIME PERMANENTE TIPO DO Erro em regime permanente SISTEMA Para sinal de Para sinal de Para sinal de entrada degrau entrada rampa entrada parábola Tipo 0 e ss =R/(1+K p ) Infinito Infinito Tipo 1 e ss =0 R/K v Infinito Tipo 2 e ss =0 0 R/K a Exemplo a) Determine o ganho K para que o sistema tenha um coeficiente de amortecimento de 0,7. K 10 (z 0,8) (z + 0,8) O lugar das raízes, junto com o lugar geométrico de constante, igual a 0,7 é mostrado na figura abaixo.

36 36 O ponto de interesse ocorre quando o lugar das raízes encontra o lugar de constante (ponto P). Pela figura abaixo é possível observar que este ponto é: z= 0,22j. Lembrando que a equação característica é dada por: 1 + K G(s) H(s) =0; KGH= -1; KGH =1; K = 1/GH ; K = 1 10 (z 0,8 ) (z + 0,8) K = (z + 0,8) (z - 0,8)/10 no ponto z=0,22j K = (0,22j + 0,8)(0,22j 0,8)/10 = 0, /10= 0,069 Outra forma é utilizar o critério de módulo, que determina que do ponto em que acontece o encontro do lugar das raízes com o lugar de qsi constante (ponto P), sejam desenhados vetores para os pólos (v1 e v2). O ganho é se obtém como; K= v1.v2/10= 0,07 b) Calcule o erro em regime para um degrau unitário na entrada. Kp = 0,7/((1-0,8)(1+0,8))= 0,7/0,36= 1,94 e = 1/(1+kp) = 1/(2,94) = 0,34 Análise da resposta: como está sendo aplicado um degrau unitário na entrada, era esperado que a saída tivesse também valor unitário, isto é y=1. Mas com o erro é de 0,34, isto significa que a saída terá valor de y= 0,66. c) Calcule o ganho K2 para se ter erro de regime = 0,1 Para se ter e=0,1 ; como e=1/(1+kp), chegamos a kp=9. Kp = 10. K2 = 9 (1 0,8)( 1+0,8)

37 37 K2= 9.0,36/10 = 0,324 d) Para o valor de ganho K2, qual o coeficiente de amortecimento e qual o significado disto na resposta ao degrau unitário? EXERCÍCIOS: 1) a)calcule o ganho do sistema para se ter kp=50, sendo aplicado uma seqüência degrau unitário na entrada. b) Qual o valor do erro em regime, e da saída em regime. K 5 (z-0,9) z c) Determine os pólos em malha fechada. 2) Calcule o erro em regime, sendo aplicada uma rampa na entrada, com R=1. T=1s. 10 (z-1) (z+1) 3) a) Determine o erro em regime para k=1, para o sistema abaixo. Use T=1ms: b) calcule o valor de K para erro=0,05 e calcule Kp c) simule os itens a e b, usando o simulink. K SOZ 100 s+100 4) Para o sistema da questão 3, coloque um integrador, (T=1ms): z z-1 K SOZ 100 s+ 100 a) Varie o ganho K, e verifique de que forma o ganho k altera o erro em regime. b) Que característica o ganho K altera?

38 38 c) Calcule Kv d) Simule este sistema 5) a) Para a questão 4, aplique uma rampa unitária na entrada, varie K e verifique o que acontece com o erro em regime. b) Para K=1, calcule o erro em regime c) para K=30, calcule o erro em regime. 5) Para os sistemas abaixo, calcule o erro para uma rampa unitária e para um degrau unitário aplicados na entrada: a) Z Z - 0,2 b) Z Z - 1 Z Z - 0,2 c) Z Z - 1 Z Z - 1 Z Z - 0,2 Resposta: Figura Entrada degrau Entrada rampa a Erro finito Erro infinito b Erro zero Erro finito c Erro zero Erro zero PARA O PLANO S Kp=lim G(s)H(s) s 0 Kv=lim s G(s)H(s) s 0 Ka=lim s 2 G(s)H(s) s 0

39 39 Introdução MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DO PARANÁ DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE ELETRÔNICA Método Lugar das Raízes O método do lugar das raízes é uma forma gráfica de se obter as raízes da equação característica (que equivale aos pólos em malha fechada), quando K varia de 0 a (pode-se desenhar o lugar das raízes em função da variação de qualquer parâmetro). Este método é bastante útil, pois permite fazer a análise de estabilidade de um sistema realimentado, de forma gráfica. O lugar Geométrico das Raízes O método do Lugar das Raízes é uma forma de se representar graficamente a localização dos pólos do sistema em malha fechada, quando se altera o valor de um parâmetro específico, normalmente o ganho. O método foi introduzido por W. R. Evans, em 1948, e tem sido utilizado largamente no projeto da Engenharia de Controle e Automação. O lugar geométrico das raízes é um gráfico construído a partir dos dados do sistema em malha aberta. Tomando o ganho como parâmetro, o lugar geométrico das raízes é o conjunto dos pontos do plano complexo que corresponde aos pólos do sistema em malha fechada. A técnica é um método gráfico de esboçar, no plano s, o lugar geométrico das raízes à medida que um parâmetro é variado. Considere o sistema em malha fechada representado pelo diagrama de blocos da figura 1. A função de transferência em malha fechada é dada por: R(z) + K G(z) C(z) - H(z) F(z) = C(z) = KG(z) R(z) 1+ K G(z).H(z) E, portanto, os polos do sistema em malha fechada (que, naturalmente, determinam as características da resposta do sistema) são as raízes da equação: 1+ KG(z)H(z)= 0 Ou seja: K G(z)H(z)= -1+ j0. A forma complexa foi usada para enfatizar que se trata de uma igualdade de números complexos. Por esta razão a equação desdobra-se em:

40 40 1) Condição de fase (critério de ângulo): G(z)H(z) = ± (1+ 2L)180 o para L= 0, 1, 2,... 2) Condição de módulo (ou critério de ganho): K G(z)H(z) = 1. Explicação: Critério de ângulo: para um ponto pertencer ao lugar das raízes (isto é, ser solução da equação característica), o ângulo da função G(z)H(z) naquele ponto deve ser ±(1+2L)180 o. Critério de módulo: escolhido um ponto no lugar das raízes, o módulo vale K = 1/ G(z)H(z). A localização das raízes, isto é, os seus valores, definem ainda algumas especificações do sistema como, por exemplo, overshoot, tempo de pico, tempo de acomodação, etc. O método do lugar das raízes permite que se escolham os valores dos parâmetros da função de transferência, que satisfaçam às especificações do sistema. Com o uso deste método, podem-se prever os efeitos sobre a localização dos pólos de malha fechada, quando houver variação do valor do ganho de malha aberta ou forem acrescidos pólos e/ou zeros na função de transferência de malha aberta. Regras de Construção de um lugar Geométrico das Raízes (LGR) O procedimento de Evans para construir o LGR consiste de uma coleção de regras para determinar se o ponto de teste, z, no plano complexo é um pólo de malha-fechada do sistema para algum valor de K. Regra 1: Os pólos de malha aberta, são todos pontos do lugar das raízes correspondentes ao ganho K = 0. Regra 2: O lugar das raízes começa nos pólos em malha-aberta e termina nos zeros em malha-aberta. Se não houver zeros suficientes os ramos terminam no infinito segundo assíntotas. Regra 3: Para K > 0, qualquer ponto do eixo real que ficar a esquerda de um número ímpar de singularidades (pólos ou zeros) localizadas também no eixo real é um ponto do lugar das raízes. Regra 4: O LGR é simétrico em relação ao eixo real. Regra 5: Se G(z)H(z) tem n pólos e m zeros finitos (m n), então exatamente m ramos terminam em zeros finitos, quando K tende ao infinito. Os ramos remanescentes (n-m) tendem assintoticamente, quando K tende ao infinito para uma reta que intercepta o eixo real no ponto e que forma um ângulo com o mesmo eixo real (assíntotas), onde

41 41 = 180(2N +1) [ N = 0,1,2,... ] n - m = (p 1 + p 2 +p p n ) - (z 1 + z z m ) Regra 6: O cálculo dos pontos de entrada e de saída do Lugar Geométrico das Raízes no eixo real do plano z é realizado com base na equação d(g(z)h(z))/dz=0.

42 42 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDEAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE ELETRÔNICA PROJETO DE SISTEMAS CONTÍNUOS AMOSTRADOS É muito comum controlar processos contínuos, através de controladores discretos (por exemplo, microcomputadores). Para se fazer a análise de estabilidade, ou de resposta, tem-se duas alternativas. 1) Projeto por Emulação: é possível fazer o projeto de um controlador contínuo devido à experiência do projetista adquirida em processos contínuos, e depois encontrar seu equivalente discreto. Assim, pode-se fazer o projeto do controlador contínuo, C(s), procurando atender às especificações e em seguida discretizar o controlador obtendo o equivalente discreto, C(z). Neste caso, deve ser adicionado o modelo contínuo do Segurador de Ordem Zero no projeto do compensador. 2) Projeto em tempo discreto: discretizar o sistema contínuo, considerando o segurador de ordem zero, e analisar todo o sistema como se fosse discreto. Neste capítulo será visto o projeto em tempo discreto, utilizando o método do lugar das raízes no plano Z. PROJETO EM TEMPO DISCRETO Consiste em discretizar a planta analógica, obtendo o seu modelo equivalente digital. Em seguida é feito o projeto no tempo discreto para obter um compensador digital. Para este projeto pode ser utilizado o método Lugar das Raízes, ou um dos métodos em freqüência (Bode, Nyquist ou Nichols) Nesta parte da matéria será visto o projeto utilizando o lugar das raízes no plano Z. PROJETO NO LUGAR DAS RAÍZES NO PLANO Z 1. INTRODUÇÃO O projeto do lugar das raízes no plano Z é uma técnica onde se busca colocar os pólos em malha fechada em determinado local, para atender às especificações do projeto. Algumas vezes, pode-se obter o resultado desejado alterando-se apenas o ganho, em outras vezes será necessário acrescentar pólos e/ou zeros.

43 43 Os compensadores permitem variar o ganho do sistema, e incluir pólos e zeros. E com isso, as raízes da planta em malha fechada são posicionadas em diferentes lugares. O projeto no plano Z é feito em cima do traçado do lugar das raízes da função de transferência em malha aberta. O traçado do lugar das raízes no plano Z é feito da mesma forma que no plano S. Apenas a interpretação com relação à estabilidade e resposta na saída é diferente. No plano S o sistema será estável enquanto os pólos em malha fechada estiverem no semi-plano esquerdo. No plano Z, o sistema será estável enquanto os pólos em malha fechada estiverem dentro de um círculo de raio 1. Plano S Plano z Dado o sistema discretizado em malha fechada: - KC(z) G(z) D(z) A função de transferência é dada por C(z) = U(z) K C(z)G(z) 1 + K C(z)G(z)D(z) O método do lugar das raízes ajuda a traçar graficamente as raízes do polinômio característico: 1 + K C(z) D(z) G(z) = 0. As raízes do polinômio característico (que equivalem aos pólos em malha fechada) definem o comportamento transitório, resposta em freqüência e estabilidade. Exemplo 1.1: Determine o ganho máximo que ainda pode manter o sistema estável. Período de amostragem T=1s.

44 44 G(z) = z. 6,32 (z-1) (z-0,368) - G(z) K O lugar das raízes é mostrado na figura abaixo: Para se desenhar o lugar das raízes pode ser usado o critério de ângulo que diz que para um ponto pertencer ao lugar das raízes, o somatório dos ângulos dos vetores formados por linhas ligando os pólos a este ponto, menos o somatório dos vetores formados por linhas ligando os zeros a este ponto, deve ser 180 o ou (N+1)180 º. Para se determinar o ganho máximo que ainda mantém o sistema estável, pode ser utilizado critério de módulo. O critério de módulo possibilita calcular o ganho k em um determinado ponto do lugar das raízes. Do ponto em questão são desenhados vetores para os pólos e zeros. Mede-se o valor em módulo destes vetores. O valor de k será o produtório dos vetores dos pólos em relação a este ponto dividido pelo produtório dos vetores dos zeros em relação a este ponto. Pela observação do lugar das raízes, pode-se calcular o ganho máximo que ainda mantém o sistema estável. Nota-se que um dos pólos termina no zero, dentro do círculo unitário. O outro pólo termina no infinito, saindo do círculo unitário no ponto z= 1. Substituindo este valor na equação característica: 1 + z 6, 32 K = 0 (z-1) (z-0,368) (z-1) (z-0,368) + z 6, 32 K = 0 (-1 1)(-1 0,368) + (-1)6,32 K = 0 k 6,32 = 2,736 k= 0,433

45 45 Exemplo 1.2: Dado o sistema discreto mostrado na figura abaixo: - K (z+1) (z 1) 2 O lugar das raízes é mostrado na figura abaixo: Pelo lugar das raízes é possível verificar que o sistema sempre será instável. Para estabilizar o sistema é possível utilizar um compensador na forma: Gc = Kc z z o z - z p É possível implementar um compensador avanço de fase (z o > z p ) ou um atraso de fase (z o < z p ). Como primeira tentativa vamos propor um compensador atraso de fase, com z o = -0,5 e z p = 0,5. Gc = K c (z+0,5)/(z-0,5). O lugar das raízes é mostrado na figura abaixo: Pela figura acima é possível verificar que o sistema será sempre instável, pois o lugar das raízes se encontra fora do círculo unitário.

46 46 Como Segunda tentativa vamos propor um compensador avanço de fase, com z o =0,5 e z p =-0,5. G c = k c (z 0,5)/(z+0,5). É possível verificar que o sistema será estável para Kc entre 0 e 1,665. Deste exemplo pode-se concluir que o zero atrai o lugar das raízes para dentro do circulo unitário. Exercícios: 1)Para o sistema do exemplo anterior, calcule Kp, Kv e Ka. 2) Projete um compensador para se ter =0,3. 3) Projete um compensador para o sistema do exemplo 1.2, para obter ts=0.5 e qsi= COMPENSADORES É possível alterar as características de um sistema incluindo compensadores. Estes compensadores podem ser do tipo PID, avanço de fase ou atraso de fase. Compensador avanço de fase zo > zp Gc = kc z z z z z p Exemplo: Gc(z) = 3.15 (z 0,9048) (z 0,7) Kc > 1, se for necessário manter o ganho DC igual a 1. Compensador atraso de fase zo < zp Gc = kc z z z z z p Exemplo: Gc(z) = 0,5 (z 0,9) (z 0,95) Kc < 1, se for necessário manter o ganho DC igual a 1

47 47 3. PROJETO NO PLANO Z Para este projeto vamos definir que o pólo e o zero do compensador devem ficar bem próximos, para que eles não alterem de forma significativa o lugar das raízes. Isto evitará que tenhamos que redesenhar o lugar da raízes após a inclusão do compensador. Pelo critério de ângulo se o pólo e o zero estiverem bem próximos, os ângulos formados por eles irão se anular e isto fará que o lugar das raízes não sofra alterações significativas. Partimos da especificação do coeficiente de amortecimento e do valor do erro em regime (ou da constante de erro). Resumo do projeto: 1) Calcular o valor do erro em regime. Para isto deve-se calcular a constante de erro (kv ou Kp) do sistema original. 2) Verificar se este valor atende à especificação do problema. Se não atender incluir um ganho (ke) multiplicando a equação em malha aberta, de tal forma que o ganho DC atenda o valor da constante de erro. 3) Traçar o lugar das raízes e verificar qual é o valor do ganho (K ) que atende o valor do coeficiente de amortecimento ( ), 4) Escrever a equação em malha aberta, levando em conta o compensador e o ganho Ke. Obs: neste caso os ganhos da planta estão em Kg 5) Para atender a condição do coeficiente de amortecimento (K ) deve-se calcular: K = Ke.Kc.Kg. Então Kc= K / Ke.Kg. 6) O ganho DC do compensador deve ser unitário, para não alterar a constante de erro, isto é: Kc=(1 z p )/(1 z z ) Ke deve atender o valor da constante de erro O produto dos ganhos Ke.Kc.Kg deve atender a condição de especificada Ke. Kc ( z z z ) Kg G(z) (z z p ) Kg ganho da planta O ganho DC do compensador deve ser unitário, isto é: Kc=(1 z )/(1 z )

48 48 4. EXEMPLO 1) Dado o sistema realimentado: z+ 1 (z + 0,5)(z 0,5) a) calcule o compensador para se obter as especificações: Kp=30 e =0,2 b) calcule, para este valor de kp, quanto vale o erro em regime solução: Como exercício desenhe o lugar das raízes sem compensação. a) Inicialmente vamos calcular a constante de erro: Kp = lim G(z) = lim z+ 1 z 1 z 1 (z + 0,5)(z 0,5) Através da fórmula: Kp = 2,67 O erro em regime para este valor de kp, suponde um degrau unitário na entrada, é dado por: Erro = 1 = 0, kp Para se ter o valor de kp=30, deve-se calcular um fator de multiplicação ke, na malha do sistema. O ganho ke do sistema é calculado como: Kp = 30 = ke lim z+ 1 z 1 (z + 0,5)(z 0,5) Resultando em: Ke = 11,24 (com este ganho (ke) na malha, teremos Kp=30). Para encontrar o valor de k qsi usamos o critério de módulo. Desenhando o lugar das raízes, é possível observar que para se ter as raízes em malha fechada coincidentes com a linha de =0,2, o ganho do sistema deve ser k qsi =0,67. Note que para kp=30, k deve ser 11,24, mas para atender a condição de =0,2, k deve ser 0,67. Temos uma situação que só poderá ser resolvida com um compensador. Propondo um compensador, com Gc(k ) = 1, isto é o ganho DC =1: Gc = Kc z z z z z p A equação em malha aberta fica: ke kc z z1 z + 1 z p1 (z + 0,5)(z 0,5)

49 49 Lembrando o ajuste de Kp: para ajustar o valor de Kp usamos o termo ke. Ke. 2,67 = 30 Ke = 11,24 Lim ke. kc z z z z + 1 = 30 z 1 z z p (z + 0,5)(z 0,5) Valor = 1 Valor = 2,67 Cálculo de Kc Da equação em malha aberta ke. kc z z z. z + 1 z z p (z + 0,5)(z 0,5) Ke.Kc = 0,67, e da análise anterior o valor de Ke já está definido como ke=11,24. Como o pólo e o zero do compensador estão muito próximos, eles não alteram de forma significativa o Lugar das Raízes. OBS: em qualquer ponto do plano Z, os vetores deste ponto em relação ao pólo e zero são iguais e por isto se anulam. Então quem define o ponto no Lugar das Raízes é o produto do ganho Ke.Kc, que deve ser 0,67 para garantir o cruzamento do Lugar das Raízes com a linha de =0,2. Então a partir da relação ke.kc=0,67, com ke=11,24, obtém-se o valor Kc= 5, Cálculo do compensador - atraso de fase Gc( ) = lim Kc z z z = 1 z 1 z z p Arbitrando o valor do zero (z z = 0,9), obtem-se: z p = 0,99431 A função de transferência final do filtro é:

50 50 Gc = 5, (z 0,90) ( z 0,99431) Desta forma função final compensada, e atendendo o que foi proposto, é: Gt = 11,24. 5, (z 0,90 ). (z + 1) (z 0,99431) (z + 0,5)(z 0,5) Deve-se refazer o Lugar das Raízes levando em conta o compensador, verificando-se se houve alteração significativa em relação ao Lugar das Raízes sem compensação. Se o Lugar das Raízes com compensador não se alterou, o problema está resolvido. Na figura abaixo é mostrado o lugar das raízes do sistema compensado. Como exercício verifique se este compensador alterou ou não de forma significativa o Lugar das Raízes. c) O erro em regime será: e=1/(1+kp) = 1/31 = 3, ) COMPARAÇÃO COMPENSADORES NO PLANO S E NO PLANO Z 5.1) Compensador ATRASO DE FASE ( LAG) Este compensador equivale a um filtro passa-baixa. Como exemplo vamos supor a equação de um compensador atraso de fase como sendo: Gc = 1 ( s + 10) 10 (s + 1)

51 e -10T e -1T Plano S Curva de módulo Plano Z Para encontrar a localização dos pólos no plano Z fazemos z=e st. Para este exemplo temos pólo = -1 e zero=-10, no plano S. No plano Z teremos: pólo= e -1T e zero= e -10T 5.2) Compensador AVANÇO DE FASE ( LEAD) Este compensador equivale a um filtro passa-alta. Como exemplo vamos supor a equação de um compensador avanço de fase como sendo: Gc = 10 ( s + 1) (s + 10) e -10T e -1T Plano S Curva de módulo Plano Z Para encontrar a localização dos pólos no plano Z fazemos z=e st. Para este exemplo temos pólo = -10 e zero=-1, no plano S. No plano Z teremos: pólo= e -10T e zero= e -1T Exercício: 1) a) Desenhe o lugar das raízes e determine o ganho limite de estabilidade para o sistema: G(z) b) Determine os ganhos para se ter =0,2 e (z-0,5) =0,7. - z(z-1) 2 (z+0,5) c) Determine a resposta a um degrau para os ganhos obtidos no item b.

52 52 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDEAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE ELETRÔNICA 1. INTRODUÇÃO SINTONIA DE COMPENSADORES PID Para analisar qualquer sistema é necessário conhecer em detalhes as características deste sistema, em termos da função de transferência ou através das equações diferenciais, isto é chamado o modelamento do sistema. E também é necessário conhecer os parâmetros da equação ou da função de transferência, isto é chamado identificação dos parâmetros. O modelo representado pela função de transferência é composto por polos, zeros e ganho. Quando se faz o modelamento, busca-se conhecer quantos polos e zeros a planta possui. Quando falamos em identificação dos parâmetros, buscase conhecer o os valores dos pólos, zeros e ganho. Sendo conhecido o modelo e os parâmetros é possível fazer o projeto do compensador através das técnicas conhecidas: lugar das raízes, diagramas em freqüência, etc. Mas algumas vezes o sistema é muito complexo sendo muito difícil fazer o seu modelamento exato. Mesmo que seja possível fazer o modelamento, algumas vezes é difícil obter os parâmetros devido à impossibilidade de fazer medições, pois não temos acesso à pontos intermediários do sistema. Em muitos sistemas temos acesso apenas à medição do sinal de entrada e da saída. Para estes casos é possível modelar o sistema como se fosse um sistema de primeira ou segunda ordem. Para este tipo de modelamento foram efetuados estudos e foram propostas estratégias de compensação utilizando o compensador PID. Estes compensadores são chamados compensadores de parâmetros otimizados, pois a estrutura já está definida. Os seus parâmetros são otimizados dependendo da dinâmica do processo a controlar. As regras de sintonia de compensadores têm um forte componente empírico. Elas se aplicam a processos tipo passa-baixa. Quando o modelo do processo é conhecido, é mais adequado fazer a análise pelas técnicas de controle como BODE, LUGAR DAS RAÍZES, etc, para encontrar os parâmetros mais adequados. Para processos onde o modelamento exato da planta é muito difícil, estas regras de sintonia ajudam a obter uma resposta otimizada.

53 53 O exemplo mais comum é o compensador PID. A seguir é mostrada a equação do compensador PID: u(t) = K p e(t) + K I e( )d + K D de(t)/dt onde: K I = constante integrativa, K D = constante derivativa. Também temos as relações: K I = K p /T I e K D = K p T D, onde T I = tempo integrativo e T D = tempo derivativo. Aplicando-se a transformada de Laplace, a equação do PID pode ser escrita como: Gc = K p [ 1 + 1/(T I s) + T D s ]. Como o termo derivativo puro fica sensível a ruídos em alta freqüência, a forma alternativa do PID é mostrada a seguir, na qual é inserido um pólo no termos derivativo: Gc(s) = K p [1 + 1/(T I s) + T D s/(1 + T 1 s)]. De forma gráfica o compensador PID pode ser representado como mostrado na figura abaixo: proporcional K p e(z) integral K I 1 s derivativo K d s u(z) 2) COMPENSADOR PID DIGITAL O PID digital pode ser representado de diversas formas, dependendo do método de transformação utilizado. A seguir são representadas algumas formas. 2.1) DISCRETIZAÇÃO DO PID ATRAVÉS DA INTEGRAÇÃO RETANGULAR Para baixas taxas de amostragem T o, esta equação pode ser escrita como uma equação à diferença. Através da equação do PID contínuo: u(t) = K p e(t)+k I e( )d + K D de(t)/dt, Partindo-se do conceito da integração retangular, chega-se à forma discreta. K-1 u(k) = K p [ e(k) + (T o /T I ) e(i) + (T D /T o )(e(k) e(k-1))] i=0 PID e u

54 54 Como para implementação prática se torna interessante obter uma forma recursiva, vamos escrever a equação para u(k-1) e subtrair da equação u(k). K-2 u(k-1) = K p [ e(k-1) + (T o /T I ) e(i) + (T D /T o )(e(k-1) e(k-2))] i=0 A equação resultante é: u(k) - u(k-1) = K p [ e(k)-e(k-1) + (T o /T I )e(k-1) + (T D /T o )(e(k) -2e(k-1)+ e(k-2))] Que pode ser reescrita como: u(k) - u(k-1) = q o e(k) + q 1 e(k-1) + q 2 e(k-2) Este algoritmo recursivo pode ser utilizada para implementação prática. onde: q o = k p (1+ T D /T o ); q 1 = -k p (1+2 T D /T o - T o /T I ); q 2 = k p T D /T o Para pequenos períodos de amostragem os parâmetros q o, q 1 e q 2 podem ser calculados usando os parâmetros k p, T I e T d do controlador PID contínuo. 2.2) DISCRETIZAÇÃO ATRAVÉS DA TRANSFORMAÇÃO BILINEAR Outra escolha para pequenas taxas de amostragem consiste em usar um termo diferencial com um filtro lag, de primeira ordem como na função de transferência contínua. Partindo-se da equação do PID contínuo: Gc(s) = K p [1 + 1/(T I s) + T D s/(1 + T 1 s)], E aplicando-se a transformação bilinear s=2(z-1)/(t o (z+1)), obtém-se: Gc(z) =K p [ 1 + T o (z+1) + T d 2 (z 1) ] T I 2(z-1) T o z (T 1 2 ) (z-1) T o 2.3) INTEGRAÇÃO TRAPEZOIDAL Para pequenos valores do período de amostragem T o : u(k) =K p [e(k) + T o [e(0) + e(k) + e(i)] + T d [e(k) e(k-1)] ] i=1 T I 2 k-1 T o Após a subtração da equação correspondente u(k-1), obtém-se a relação recursiva do PID:

55 55 u(k) = u(k-1) + q o e(k) + q 1 e(k-1) + q 2 e(k-2) Como os parâmetros: q o = k p (1 + T o /(2T I ) + T d /T o ) q 1 = -k p (1 + 2T d /T o T o /(2T I ) ) q 2 = k p (T d /T o ) Para pequenos períodos de amostragem os parâmetros q o, q 1 e q 2 podem ser calculados usando os parâmetros k p, T I e T d do controlador PID contínuo. Exemplo: Para um processo de 4 a ordem, com tempo de atraso T u =14 s e tempo de resposta T G =45 s, os seguintes parâmetros para o controlador contínuo foram considerados ótimos: K p =2, T d =2,5s e T I = 40s Assumindo tempo de amostragem To=1s, que é relativamente pequeno em relação à dinâmica do sistema, os parâmetros do PID discretos são: -para integração retangular para frente q o = 7, q 1 =11,95 e q 2 = 5 -para integração trapezoidal q o = 7,025, q 1 =11,98 e q 2 = 5 2.4) REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO COMPENSADOR PID DIGITAL Graficamente o compensador pode ser representado como mostrado na figura abaixo: proporcional K p e(z) integral K p T o 1 T i z derivativo u(z) K p T d z 1 T o z Variando-se os parâmetros proporcional, integral e derivativo obtém-se a compensação adequada.

56 56 Para baixos valores do período de amostragem em relação à dinâmica da Planta, pode-se usar as regras de sintonia de Ziegler Nichols para o sistema contínuo. 3) REGRAS DE SINTONIA DE TAKAHASHI PARA PROCESSOS DISCRETOS USANDO O PID MODIFICADO No PID convencional as partes Proporcional e Derivativa aparecem multiplicadas pelo erro e(k). Isto é uma desvantagem pois quando se produzem variações bruscas na referencia w(k), o erro varia da mesma forma, gerando ações de controle em u(k) que podem ser excessivas, em particular no termo D que responde à derivada do sinal. A alteração proposta faz com que os termos D e P sejam afetados apenas pelo sinal de saída do processo y(k). A equação do PID no tempo discreto é: u(k) = u(k-1) +k p {-y(k) + y(k-1) +(T o /T i )e(k-1) + (T D /T o )[-y(k) +2y(k-1) y(k-2)]} integral w(z) + u(z) K p T o K I 1 zoh + Processo z proprocional + + K p Y(z ) derivativo K p T d z 1 T o z Para uma planta contínua, com um ZOH na entrada, controlada por um sistema discreto, são utilizadas as regras de sintonia de Takahashi, segundo o modelo do PID modificado, mostrados abaixo: 3.1) Identificação de sistemas em malha fechada

57 57 Deve-se primeiramente identificar a planta em malha fechada. Isto é feito variando o ganho proporcional (kp), de formar a encontrar o ganho limite a partir do qual o sistema entra em oscilação. Este ganho é chamado ganho limite (ganho crítico). Deve-se ainda medir o período de oscilação. P cr = período da oscilação mantida K cr = ganho limite, onde o sistema entra em oscilação T o = tempo de amostragem Em função da identificação dos valores de P cr e K cr, são calculados os parâmetros do compensador PID discreto. Tipo de controlador Kp T o /T I T d /T o P 0,5 K cr mínimo 0 PI 0,45 K cr 0,27 K cr T o 0,54 K cr T o 0 P cr Kp P cr PID 0,6 K cr 0,6 K cr T o 1,2 K cr T o 3 K cr P cr P cr Kp P cr 40 KpT o 3.2) Identificação em malha aberta, sem integrador. Deve-se inicialmente identificar a planta. Isto é feito aplicando um degrau unitário na entrada conforme é visto na figura abaixo:

58 58 Em seguida são medidos os valores T u e T G no sinal de saída. A partir destes valores medidos, são calculados os parâmetros do compensador PID discreto, conforme a tabela: Tipo de controlador P Kp T o /T I T d /T o T G mínimo 0 (T U + T o )K E PI 0,9T G 0,135T G T o (T U + T o /2)K E (T U + T o /2) 2 K E 0,27T G T o 0 K E Kp(T U + T o /2) 2 PID 1,2T G 0,3T G T o [(T U + T o )K E (T U + T o /2) 2 K E 0,6T G T o K E Kp(T U + T o /2) 2 0,5T G K E kpt o Lembrando que a equação do PID discreto no plano Z é: U(z) = kp[ - Y(z) +E(z)(To/Ti)z/(z-1) Y(z)(Td/To)(z-1)/z ]. 4) CARACTERÍSTICAS DOS ELEMENTOS PID Um controlador proporcional (kp) irá reduzir o tempo de subida e irá reduzir, mas não eliminar, o erro em regime permanente. Um controlador integral (ki) irá eliminar o erro em regime permanente, mas irá fazer a resposta transitória pior. Um controlador derivativo (kd) terá o efeito de aumentar a estabilidade do sistema, reduzindo o sobressinal, e melhorando a resposta transitória. Os efeitos de cada elemento do controlador PID são mostrados na tabela abaixo:

59 59 TEMPO SUBIDA DE SOBRESSINAL TEMPO DE ACOMODAÇÃO ERRO EM REGIME PERMANENTE Kp Diminui Aumenta Pequenas mudanças Diminui Ki Diminui Aumenta Aumenta Elimina Kd Pequenas Pequenas Diminui Diminui mudanças mudanças Note que estas correlações podem não ser exatamente precisas, porque Kp, Ki e Kd são dependentes de cada um. De fato, mudando uma destas variáveis, pode-se provocar mundaças nas outras duas. Por isto esta tabela deve ser usada apenas como referencia, na determinação de Ki, Kp e Kd. APÊNDICE. REGRAS DE SINTONIA DE ZIEGLER-NICHOLS PARA SISTEMAS CONTÍNUOS A.1) IDENTIFICAÇÃO DA PLANTA EM MALHA ABERTA PARA SISTEMAS NÃO INTEGRATIVOS Aplicando-se um degrau na entrada do processo a ser controlado, em malha aberta, pode-se identificar o comportamento do processo através da forma do sinal de saída. Para este caso pode-se obter duas situações: a) sistema com comportamento não integrativo e b) sistema com comportamento integrativo. Será visto apenas para sistema com comportamento não integrativo. Para este tipo de sistema a resposta pode ser aproximada para um sistema de primeira ordem, sem componente integrativo. Aproxima-se o processo a um modelo de primeira ordem com retardo puro. Y(s) = U(s) K E e - Ls 1+ T s Obs: U(s) = degrau unitário. Valor dos parâmetros a serem aplicadas ao controlador PID: Tipo de controlador Função de transferência Kp Ti Td P Kp T/(K E L) máximo 0 PI Kp[1 + 1/(T i s)] 0,9 T/(K E L) L/0,3 0 PID Kp[1 + 1/(T i s) + T d s] 1,2 T/(K E L) 2 L 0,5 L Onde: ver figura abaixo para o significado de L e T. Note que o sinal de entrada é um degrau unitário. Na figura K=K E.

60 60 A.2 ) IDENTIFICAÇÃO DA PLANTA EM MALHA FECHADA Para um sistema em malha fechada, os valores dos ganhos integral e derivativo (KI e KD) são fixados em zero, e aumenta-se o ganho até o limite de estabilidade, onde o processo começa a oscilar. Determina-se o valor do ganho K cr que torna o sistema oscilatório e determina-se o período de oscilação P cr. Os parâmetros do PID são ajustados conforme as regras mostradas na tabela a seguir: Tipo de controlador Função de transferência Kp Ti Td P Kp 0,5 K cr máximo 0 PI Kp[1 + 1/(T i s)] 0,45 K cr P cr /1,2 0 PID Kp[1 + 1/(T i s) + T d s] 0,6 K cr 0,5 P cr 0,125 P cr Onde: P cr = período da oscilação mantida K cr = ganho limite, onde o sistema entra em oscilação

61 61 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE ELETRÔNICA PROJETO NO PLANO W As técnicas de projeto no plano s tem sido utilizadas com sucesso e muitas pessoas tem uma larga experiências nas técnicas utilizadas no plano s, como o critério de Routh, lugar das raízes, diagramas de Bode, etc. Algumas das técnicas utilizadas no plano s não são mais válidas no plano z, pois a região de estabilidade no plano s é o semi-plano esquerdo e no plano z a região de estabilidade é o círculo unitário. Mas é possível usar uma nova transformação que mapeia o círculo unitário do plano z no semi-plano esquerdo de um novo plano, chamado plano w. Desta forma, todas as técnicas utilizadas no plano s são válidas no plano w. A transformação_w é uma transformação Bilinear definida por: z = 1 + W 1 - W W = z - 1 z + 1 A transformação_w transforma o círculo unitário no plano Z no lado esquerdo do plano W. A transformação bilinear é um mapeamento um para um, mas distorce a resposta em freqüência. A distorção em freqüência é mostrada a seguir: Onde W=j Plano z e z=e j T W = z - 1 z + 1 Plano W j = e j T - 1 = e j T + 1 j tan( T/2) A relação entre as freqüências e é dado por: = tan( T/2)

62 62 Pode-se notar que para baixos valores do argumento, a relação entre as freqüências é: = T/2. Portanto existe uma diferença no fator de escala do fator T/2. TRANSFORMAÇÃO W' Uma modificação pode ser obtida através do fator de escala T/2. W' = 2/T W Isto é: z = 1 + W'T/2 1 - W'T/2 W' = 2 z - 1 T z + 1 Consequentemente a relação entre e a freqüência fictícia ' é dada por: ' = (2/T) Tan( T/2) Pode-se notar que para elevadas taxas de amostragem e baixas freqüências: ' = O projeto no plano W(W') é feito da seguinte forma: a) Dada uma planta contínua amostrada e o segurador de ordem zero, transforme o modelo para o plano z, obtendo a função G(z). b) Transforme G(z) para o plano W(W'). G(W)=G(z) onde: z = 1 + W ou 1 - W z = 1 + W'T/2 1 - W'T/2 c) Faça o projeto do compensador D(W) utilizando os diagramas de Bode, no plano W(W') d) Transforme D(W)de volta ao plano Z: D(z) = D(W) onde W = z - 1 ou z + 1 W' = 2 z - 1 T z + 1 e) É aconselhável traçar o lugar das raízes no plano z, e verificar se o sistema compensado atende as especificações. EXEMPLOS: 1) Dada função G(s) e supondo a utilização de um segurador de ordem zero, com T= 0,1 s, calcule a função de transferência nos planos W e W. ZOH 5 s + 5 G(z) = { 1- e -st 5 } s s + 5 G(z) = 0,39 z - 0,61

63 63 Plano W: Plano W : G(W) = 0,39 1+W - 0,61 1-W G(W) = 0,39 (1-W) 0,39 + 1,61 W G(W ) = 0, ,05W - 0,61 1-0,05W G(W ) = 0,39(1-0,05W ) 0,39 + 0,08W 2)Analise a estabilidade do sistema discretizado, através dos diagramas de Bode no plano W, isto é, encontre Margem de Ganho e Margem de fase, sendo T=1 s. ZOH 0,1 s(s+0,1) Resolução: Transformando para o plano W : G(z) = (1-z -1 ) [ 0,1 ] = 0,048 (z + 0,967) s 2 (s+0,1) (z - 1) (z - 0,905) G(W ) = 0,048 (z + 0,967) onde z = 1 + W'T/2 (z - 1) (z - 0,905) 1 - W'T/2 G(W ) = 0,999 (1 + W /120) (1-W /2) W (1+ W /0,1) Os diagramas de bode são mostrados a seguir:

64 64 MF= 6db e MG=9,2 graus. b) proponha um compensador para aumentar a margem de fase para 35 graus, sem alterar a constante de erro de velocidade. Faça isto de forma heurística. Exercícios: 1) Dada a função de transferência G(s) = 100/(s+100), obtenha o equivalente no plano W, supondo T=0,001s. 100 s+100 a) transforme para o plano z (discretize) a função de transferência utilizando o comando CONVERT, no programa CC b) transforme do plano z para o plano w, utilizando o comando WPLANE, no programa CC. PROJETO DO COMPENSADOR ATRASO DE FASE (LAG) Este projeto é desenvolvido utilizando os diagramas de Bode. Para alterar algumas características do sistema original, como resposta no tempo, estabilidade, etc, são utilizados compensadores. A função de transferência do compensador atraso de fase é dada por: D(w) = a 0 (1 + w/b) 1 + w/a D(j ) = a 0 (1 + j /b) 1 + j /a n = (ab) max =(-90 +2tg -1 (b/a) ) modulo fase A resposta de G(j ) exibe um ângulo de fase negativo, isto é um atraso de fase, daí o nome deste compensador. O máximo defasamento depende da relação entre o pólo e o zero: b/a. O compensador atraso de fase reduz o ganho em alta freqüências, relativamente ao ganho em baixas freqüências e introduz um atraso de fase. Para o propósito de estabilidade é necessário que o filtro introduza a redução de ganho próximo do cruzamento de 180 º. Então, a e b devem ser muito menores que a freqüência de cruzamento de 180 º.

65 65 Diagrama de módulo Diagrama de fase 0 db 0 º a G(j ) b 1 D(j )G(j ) 180 º fase(g(j )) fase(d(j )G(j ) ) Margem de fase desejada A técnica para obter uma margem de fase desejada é a seguinte: supões-se que o ganho DC do compensador (a 0 ) é determinado em função das especificações e m é a margem de fase desejada: 1) Determine graficamente a freqüência, 1, na qual o ângulo de fase de G(j 1 ) é aproximadamente ( m + 5 o ) 2) Escolha o zero do compensador como sendo: b=0,1 1 (zero), para assegurar que o atraso de fase seja pequeno. Na verdade o compensador irá introduzir aproximadamente 5 o de atraso de fase, o que foi levando em conta no passo 1. 3) Em 1 é desejado que o ganho do sistema compensado seja 0db, ou seja: D(j 1 )G(j 1 ) =1. O ganho do compensador em altas freqüências é a 0 a/b, onde a 0 é o ganho para baixas freqüências. Então o valor do pólo será: a = 0,1 1 a 0 G(j 1 ) Onde G(j 1 ) é o módulo da função G(j ), no ponto 1, obtido graficamente (sem compensação). Após isto este compensador dever ser transformado para o plano Z, pois ele será implementado em um microcomputador. Exercício: 1) Projete um compensador para aumentar a margem de fase para 45 º, sem alterar a constante de erro de velocidade Kv. T=0,1. Gc S O Z 1200 s (s+5)(s+10)

66 66 a) Discretize a planta levando em conta o SOZ b) Transforme o sistema discretizado para o plano W c) Desenhe os diagramas de Bode e determine margem de ganho e margem de fase sem compensador, no plano W d) Projete o compensador para margem de fase = 45 º, no plano W e) Transforme o compensador do plano W para o plano Z f) Simule o sistema no plano Z, com o Simulink 2) Projete um compensador para aumentar a Margem de fase em 30 o, sem alterar o Kv. T=0,1s Gc S O H 30 s (s+5) MATLAb s=tf('s') g=1/(s+1) gd=c2d(g,.1,'prewarp',1) % CONVERT S para Z gw=d2c(gd,'tustin') % CONVERT Z para W bode(gw) Simbólico syms z w G=0.048*(z+1)/(z-.9047); GN=subs(G,z,(1+w)/(1-w)) pretty(gn)

67 67 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DO PARANÁ DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE ELETRÔNICA ERRO DE QUANTIZAÇÃO Como a palavra binária sempre será finita, isto irá introduzir erros no sistema, chamados de Erros de Quantização. Supondo a palavra com um comprimento de c bits, será possível representar 2 c números binários. Exemplo: palavra com 3 bits => 2 3 bytes = 8 bytes Bit 2 (2 2 ) Bit 1 (2 1 ) Bit 0 (2 0 ) O limite de resolução é dado pelo bit menos significativo (2 m, onde m é o peso do bit menos significativo). Exemplo: para 3 bits, o bit menos significativo vale 2 0 = 1 Os erros podem ser causados pelo truncamento ou arredondamento da palavra binária: Truncamento: são truncados os valores menos significativos, menores do que aqueles que são possíveis de armazenar. Exemplo: armazenar o número 3,5 numa representação de 3bits,número inteiro => o resultado será (011) 2 Arredondamento: o arredondamento é feito usando um critério de arredondamento, como por exemplo 0,5 => 1 e <0,5=>0. Exemplo: armazenar o número 3,5 em 3bits, numa representação de números inteiros, => fica (100) 2 Exemplo: um conversor A/D de 8 bits, cuja faixa de 0V a 5V, terá resolução de 5/255= 19 mv. Byte Tensão equivalente V mv mv Exemplo: dado o sistema amostrado, com limitação da palavra binária (ocasionada pelo bloco Quantizador), mostrado na figura abaixo:

68 68 Para este sistema, vamos fazer a simulação, primeiramente, com um intervalo de quantização q=0,01. Com este intervalo, o mínimo valor que podemos representar é 0,01. Isto é, a resolução é de 0,01. Faremos, também, uma simulação para um intervalo de quantização de 0,5. Neste caso o menor valor que será possível representar será 0,5. Nas figuras abaixo, é possível ver os sinais relativos ao degrau unitário e a resposta do sistema. Note que para q=0,01 o sistema tende para o valor correto. Mas para a situação em que q=0,5 o sistema tende para um valor múltiplo de q. ESCOLHA DO PERÍODO DE AMOSTRAGEM A escolha do período de amostragem depende de diversos fatores. Um período de amostragem longo tornará impossível reconstruir o sinal no tempo. Um período muito curto irá sobrecarregar o microcomputador. Normalmente o elemento que impede diminuir o período de amostragem é o conversor A/D, já que hoje em dia os processadores estão cada vez mais velozes. Para sistemas oscilatórios pode-se escolher de 8 a 16 amostras por período.

69 Para sistemas não oscilatórios, o tempo de subida é o fator utilizado na escolha do período de amostragem. Para sistemas de primeira ordem, o tempo de subida é igual à constante de tempo, e pode-se escolher de 2 a 4 amostras por tempo de subida. Pode-se também escolher o período de amostragem em função da largura de faixa. Taxas de 6 a 10 vezes a largura de faixa podem ser utilizadas. 69

70 APÊNDICES 70

71 71 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDEAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE ELETRÔNICA DIAGRAMA DE SIMULAÇÃO Os sistema físicos são representados por equações diferenciais ou à diferença. Exemplo de equação diferencial: d 2 y/d 2 t + 7dy/dt +4y=3u(t). Exemplo de equação à diferença: 9y(k-2) + 3y(k-1) +y(k) = u(k). Para analisar o funcionamento do sistema é necessário resolver as equações. Em muitos casos, a resolução é muito complexa. Desta forma, em vez de resolver uma equação (diferencial ou à diferença) é possível montar o diagrama de simulação e simular esta equação. Desta forma será obtida a resposta desta equação graficamente. Para resolver uma equação diferencial ou à diferença, deve-se separar o termo de mais alta derivada, ou diferença e representá-la graficamente. d 2 y/d 2 t = -7dy/dt -4y + 3u(t) y(k) = - 3y(k-1) - 9y(k-2) + u(k) u 3 d 2 y/d 2 t u(k) 1 y(k) 7 dy/dt 3 y(k-1) 4 y 9 y(k-2) Em seguida são colocados os integradores (ou elementos atraso). u(k) 1 y(k) z -1 y(k-1) z -1 y(k-2) 3 9

72 72 u 3 d 2 y/d 2 t dy/dt y 7 4 Exercícios: 1) Simule no programa SIMULINK o sistema contínuo mostrado na figura acima, aplicando um degrau unitário na entrada. 2) Simule no programa SIMULINK o sistema discreto mostrado na figura acima, aplicando uma seqüência degrau unitário na entrada. SIMULAÇÃO DO SISTEMA AMOSTRADO (DISCRETIZADO) Pode-se simular o sistema discretizado, usando o SIMULINK. Neste programa pode-se usar o quantizador, o segurador de ordem zero, e o atraso de transporte. a) SISTEMA IDEAL b) SISTEMA REAL - com quantizador, atraso e saturação Sistema real Sistema ideal Ganho maximo simulação Ganho maximo CC

73 73 c) Simule o sistema MOTOR DC -usado na prática a)varie o ganho e verifique a faixa de estabilidade b) use a função Routh no CC, para verificar a faixa de estabilidade G(s) = (s+30).(s+3.000) d) Simule o sistema MOTOR DC, levando em conta o taco gerador a)varie o ganho e verifique a faixa de estabilidade b) use a função Routh no CC, para verificar a faixa de estabilidade G(s) = (s+30).(s+3.000)(s+5.000) e) SISTEMA COMPLETO LEVANDO EM CONTA A NÃO LINEARIDADE DO D/A E A FUNÇAO DO TACOGERADOR para o sistema MOTOR DC usado na parte prática Para este sistema, um ganho de 5 já deixa o sistema instável, como previsto na prática. EXERCÍCIOS 1.a)Verifique, na prática, o ganho limite de estabilidade de um sistema com a função de transferência: 1000 s Como planta use um circuito RC, onde R=1K e C=1 F. 1.b) Simule o sistema e compare os resultados

74 74 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDEAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE ELETRÔNICA CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE JURY Trata-se de uma versão do teste de Routh para aplicação direta aos coeficientes do polinômio D(z), sendo D(z) a equação característica. A partir do polinômio na forma: D(z) = a n z n + a n-1 z n-1 + a n-2 z n a 1 z + a 0 Com a n > 0. Forma-se uma tabela, como mostrado abaixo: z 0 z 1 z 2... z n-k... z n-1 z n a 0 a 1 a 2 a n-k a n-1 a n an a n-1 a n-2 a k a 1 a 0 b 0 b 1 b 2 b n-k b n-1 b n-1 b n-2 b n-3 b k-1 b 0 c 0 c 1 c 2 c n-2 c n-2 c n-3 c n-4 c m 0 m 1 m 2 As linhas pares são os elementos da linha anterior em ordem inversa. Os elementos das linhas impares são definidos como o determinante da matriz: a o a n-k bk = a n a k k = 0,1,2,., n-1 b o b n-1-k c k = b n-1 b k k=0,1,2,...,n-2 c o c n-2-k dk = c n-2 c k k = 0,1,2,., n-3 Onde: b k =a 0 a k - a n a n-k c k =b 0 b k - b n-1 b n-1-k etc A tabela é preenchida até que apenas 3 elementos sejam encontrados.

75 75 As condições necessárias e suficientes para o polinômio D(z) não ter raízes fora do circulo unitário, com a n >0 são as seguintes: D(1) > 0 (-1) n D(-1) >0 a 0 < a n b 0 > b n-1 c 0 > c n-2 (1) d 0 > d n-3... m 0 > m 2 O teste de Jury pode ser aplicado da seguinte forma: 1) Verifique as três condições D(1)>0, D(-1)(-1) n >0 e a 0 < a n. Se qualquer condição não for atendida, o sistema é instável. 2) Construa a tabela, verificando as condições (1) para cada linha. Pare se qualquer condição não for satisfeita. Exemplos: 1)Suponha que a equação característica para um sistema discreto em malha fechada é dada por: D(z) = z 3 1,8z 2 +1,05z 0,2 = 0 As primeiras condições no teste de Jury são: D(1) = 0,05 >0 D(-1)(-1) 3 = 4,05 >0 ao = 0,2 < a 3 =1 A tabela é montada da seguinte forma: zo z1 z2 z3-0,2 1,05-1, ,8 1,05-0,2 zo z1 z2 z3 zo z1 z2 z3-0,2 1-0,2-1,8 1-0,2 1-1,8 1,05-0, ,59 zo z1 z2 z3 zo z1 z2 z3-0,2 1,05-0,2 1,05-1, ,8 1-1,8 1,05-0,2-0, ,59-0,69 bo =0,96 bn-1 =0,69 bo > bn-1 O sistema é estável 2) Dado o sistema verifique o limite de estabilidade, sendo T= 1s: G(z)

76 76 G(z) = K (1-e -T )z (z-1)(z-e -T ) Equação característica: D(z) = z 2 + (-1,368 + K.0,632)z + 0,368 = 0 Obs: para um sistema de Segunda ordem temos apenas uma linha z o z 1 z 2 0,36-1,368 + K.0, D(1) > 0 K>0 D(-1)(-1) 2 >0 (-1) 2 + (-1)(-1,368 + k.0,632) + 0,368 > ,368 k.0, ,368 >0 a o < a n 0,638 < 1 OK! 2,736 k 0,632 >0 k< 2,736 / 0,632 = 4,329 Sistema será estável para k < 4,329. k < 4,329

77 77 Exemplo de PROJETO NO PLANO Z - II Vamos fazer o projeto no plano Z tendo como requisitos tempo de assentamento (estabilização), máximo sobressinal (overshoot) e coeficiente de amortecimento. Para facilitar o projeto, vamos escolher o compensador de forma que um zero do compensador cancele um polo da planta. Isto ira permitir que o projeto possa ser feito graficamente, sem muita dificuldade. Este cancelamento deve ser feito com muito cuidado, pois um cancelamento inexato pode resultar em uma resposta mais lenta do que a calculada teoricamente. Para exemplificar, vamos escolher uma planta G(z) da forma: K 1 (z+a) (z+b)(z+c) O sistema em malha fechada com o compensador D(z) terá a forma: Kc (z+b) (z+d) K 1 (z+a) (z+b)(z+c) Onde o zero do compensador é simplificado com o pólo da planta. Na figura seguinte isto é mostrado graficamente. Escolhe-se o ponto P onde devem ficar um dos pólos dominantes. Este ponto é escolhido em função do, sobressinal e n especificados. Um ramo do lugar das raízes deve passar por este ponto. O critério de ângulo diz que para um ponto pertencer ao lugar das raízes o argumento da função de transferência D(z)G(z) deve ser 180 o neste ponto. Isto é, D(z) + G(z) = 180 o Como já foi falado, escolhe-se o zero do compensador com o mesmo valor de um dos pólos da planta, e pelo critério de ângulo eles irão se simplificar. O zero

78 78 e o pólo da planta, e o pólo do compensador é que vão determinar a localização do lugar das raízes. Subtraindo o pólo do zero, o valor que falta para atingir os 180 o deve ser obtido do pólo do compensador. Então o pólo do compensador é posicionado para atender ao critério de ângulo. EXEMPLO: Dado sistema realimentado, com T=0,2s, projete um compensador digital que atenda as especificações: t s(2%) =2s, =0,5 Lembrando que o tempo de estabilização equivale a 4 vezes a constante de tempo, t s, e n são relacionados pela fórmula: t s(2%) = 4 n As curvas de n são mostradas na figura seguinte: As curvas de d constante são linhas retas, a partir da origem do plano Z, com ângulo dado por d.t, em radianos. d = n (1-2 )

79 79 A título de comparação, as curvas de, d e n no plano S são mostradas a seguir: A partir das especificações, obtém-se n = 4 rad/s. Da relação de d obtém-se d = 3,46 rad/s. Para localizar esta reta no plano Z, calculamos d T=0,693rad = 39,69 o. Esta é a inclinação da reta, partindo da origem. O módulo é calculado como z =e - nt = 0,67. O ponto P desejado está localizado em z=0,67 39,69 º =0, j0,4281. Isto é mostrado na figura abaixo: Discretizando a função: G(z) = { (1-e -st )/(s 2 (s+2)}, obtém-se G(z)=0,01758(z+0,876)/[(z-1)(z-0,670)]. Escolhe-se o zero do compensador como sendo z=0,670, igual ao pólo da planta. Com isto, os ângulos se anulam.

80 80 Para o ponto P pertencer ao lugar das raízes o somatório dos ângulos dos zeros menos os pólos deve ser 180 o. As singularidades conhecidas são: poloplanta=139 o e zero_planta=17 o, que são medidas da figura abaixo. Então para o ponto pertencer ao Lugar das raízes: p - z = 180, isto é: polo_compensador+139 o -17 o = 180 o, então polo_compensador =58 o. Como a localização do ponto P é conhecida, podemos calcular a localização do pólo do compensador. Pela figura abaixo, podemos calcular: Tg58=0,481/x, isto é x=0,267. A localização do pólo sera: pólo=0,5158-0,267= 0,25. A função de transferência total é: FT= Kc z - 0,67 0,01758 (z + 0,876) z - 0,25 (z -1) (z - 0,670) Para calcular o ganho do compensador, vamos aplicar o critério de módulo para que os pólos em malha fechada fiquem no ponto P. Sendo Kp o ganho do ponto P: Kp=0,51 0,47 0,67/(1,47 0,47) Então Kc 0,01758 = 0,232 e Kc=13,22. A função de transferência do compensador é: