Uma Investigação das Argumentações de Alunos do Sexto Ano do Ensino Fundamental sobre Fração

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1 1 Uma Investigação das Argumentações de Alunos do Sexto Ano do Ensino Fundamental sobre Fração Cristiane de Sousa Introdução A argumentação tem sido tema de muitos estudos realizados os quais procuram entender melhor qual sua importância e influência no desenvolvimento de provas e demonstrações no processo de validação. Esse tema tem sido abordado e proposto por documentos como os Parâmetros Curriculares Nacionais, a recente Proposta Curricular do Estado de São Paulo, e por outros autores e/ou pesquisadores da área da Educação Básica. Para tanto, apresentamos um breve estudo inicial de nossa pesquisa sobre argumentação matemática. 1. Argumentação nos documentos oficiais Verificamos que os Parâmetros Curriculares Nacionais (1998, p. 34) propõem para os terceiro e quarto ciclos do Ensino Fundamental: o desenvolvimento da capacidade de investigar, argumentar, comprovar, justificar, e o uso da demonstração age como ferramenta que proporciona tais manifestações nos alunos. Além disso, nos PCN (1998) a argumentação é sugerida para ser desenvolvida no ensino fundamental como mostra neste trecho: É desejável que no terceiro ciclo se trabalhe para desenvolver a argumentação, de modo que os alunos não se satisfaçam apenas com a produção de respostas a afirmações, mas assumam a atitude de sempre tentar justificá-las. Tendo por base esse trabalho, podese avançar no quarto ciclo para que o aluno reconheça a importância das demonstrações em Matemática, compreendendo provas de alguns teoremas. (ibid, p. 71)

2 2 Encontramos também na Proposta Curricular do Estado de São Paulo de Matemática (2008, p. 43) a apresentação de competências básicas para serem trabalhadas pelos alunos, divididas em três eixos norteadores, dentre eles, o eixo argumentação/decisão. Neste eixo, a Matemática atua: na construção das formas válidas de raciocínio lógico, seja ele indutivo ou dedutivo, bem como auxilia o desenvolvimento de argumentação consistente - talvez essa argumentação, indicada pela Proposta Curricular, seja no sentido da comunicação, e não no sentido da validação como desejamos abordar neste trabalho. Em nosso trabalho entendemos o termo validação de acordo com a teoria de Brousseau (1986 apud Almouloud, s/d) na dialética da validação, em que o emissor justifica suas alegações ao receptor. Neste momento pode ocorrer aceitação ou rejeição das alegações, onde desenvolve-se então um debate sobre a certeza das alegações. Tais propostas oficiais são confirmadas nos estudos de Pietropaolo (2005), nas quais os autores analisados em seu trabalho concordam que seja importante a incorporação de um trabalho com provas desde as séries inicias nos currículos de Matemática. Para o autor o ensino na Matemática na Educação Básica está diretamente ligado ao ensino de provas. Consideramos necessário reiterar que os motivos pelos quais as provas, rigorosas ou não, devem estar presentes nos currículos de Matemática da Educação Básica não se resumem apenas ao fato de que demonstração é a essência da Matemática. É fundamental olhar a relação prova-educação Matemática sob outras perspectivas, não exclusivas, tais como: cognição, práticas argumentativas, ambientes informatizados. (ibid, p. 207) Apesar destas orientações apresentadas nos documentos oficiais, Pietropaolo (2005) também acrescenta que em sua análise verificou-se que existe muita dificuldade nos processos de ensino e aprendizagem da prova. 2. Justificativa De acordo com Pietropaolo (2005) poucos são os estudos realizados sobre prova aqui no Brasil e sugere trabalhos de investigação neste tema com alunos, que estude o envolvimento deles com as argumentações.

3 3 Apesar da argumentação não ser um elemento particular à matemática, ou seja, uma ferramenta inerente ao cotidiano de uma pessoa, constata-se em algumas pesquisas, em aprendizagem em Matemática, dificuldades na transição das argumentações para as provas formais. Tal fracasso nesta transição pode ocorrer, de acordo com Balacheff (1999) pela resistência à tentativa de ensino direto da argumentação (não da retórica) ou segundo Duval (1999 apud Pietropaolo, 2005) pela exigência de uma organização diversa do discurso argumentativo por meio da linguagem natural no raciocínio dedutivo o que é inerente às demonstrações. Ainda, Pedemonte (s/d, p 10) reconhece a necessidade de haver redução de uma lacuna estrutural na passagem da argumentação à demonstração. Com isso, observamos a relação intrínseca entre a argumentação e demonstração relatada também por Balacheff (1999, p. 5) quando afirma que a mesma se constitui em obstáculo epistemológico para aprendizagem da demonstração, e mais geralmente da prova em matemática. Assim podemos perceber que ambas não podem ser tratadas separadamente pela influência que existe entre argumentação à demonstração. Neste trabalho, abordamos apenas as argumentações e/ou provas pragmáticas, no intuito de realizar estudos para compreender melhor de que modo o aluno trata seus argumentos quando indagado, na expectativa que possamos contribuir para melhores condições futuras para o desenvolvimento de demonstrações matemáticas. Além disto, Duval (1999) e Balacheff (1999) dizem que a argumentação é obtida espontaneamente; uma vantagem comparada à prova e demonstração que se exigem maior rigor, e, portanto, são menos espontâneos. Porém Duval (1999, p. 7) lembra que existem problemas complexos referentes ao estudo do processo de argumentação: que é mais fácil dar aos alunos o acesso à prova matemática do que para um determinado nível de mestria da argumentação, pelo menos da argumentação retórica (tradução nossa) Por outro lado, temos que Pedemonte (2007, p. 39, tradução nossa) afirma que: atividade de argumentação parece favorecer a construção de uma prova. Ou seja, apesar das aparentes dificuldades apontas pelos estudos em Educação Matemática, observamos também que existe relação entre argumentação e prova.

4 4 Nas pesquisas já realizadas sobre o tema frações, encontramos muitos trabalhos que abordaram os significados e/ou concepções de fração sobre algumas situações-problema. Dentre eles, podemos citar Kerlake (1986, apud Campos et al, s/d) que verificou que nenhum aluno soube explicar por qual motivo operamos com frações equivalentes para a efetuação de uma soma. Campos et al (s/d) alerta que a escola tem a responsabilidade sobre a aquisição de conhecimentos que os alunos estão tendo sobre frações, mas o que se percebe é que tal aquisição não é plena. Os estudos de Bell et al (s/d) também apontam dificuldades em situações que exploram a equivalência de frações, e entende que poderia ter explorado mais as estratégias correspondentes e argumentos dos alunos em suas análises. Diferentemente destes trabalhos, desejamos analisar prioritariamente os discursos, explicações, justificativas, etc. dos alunos, do que propriamente verificar sob qual(is) concepção(ões) os alunos possuem maior dificuldade ou maior facilidade, mas sim, utilizar-se deste objeto matemático para buscar meios de investigação de seus argumentos. Nosso intuito também fundamenta-se na contribuição para ampliar os estudos sobre os números fracionários, assim como identificar elementos pertinentes à aprendizagem deste objeto num olhar mais criterioso, pois abordaremos os tipos de argumentações utilizados nas soluções dos alunos. 3. Características funcionais da argumentação Diante de inúmeras relações observadas entre argumentação, prova e demonstração, devemos também destacar as diferentes funções que a argumentação pode ser caracterizada. De acordo com Pedemonte (2007), a argumentação possui características, dentre elas as funcionais que remetem ao papel que a argumentação atua, ou ainda, sua utilidade dentro de um discurso. Além disso, a autora afirma que através desta caracterização, podemos perceber relações entre a argumentação e prova. Pedemonte (2007, p.26 e 27) aponta quatro caracterizações funcionais para a argumentação e prova, as quais são:

5 5 1. Argumentação e prova em Matemática pode ser consideradas como justificações racionais, ou seja, a racionalidade é sustentada por inferências explícitas de uma ou mais afirmações, tais como em uma construção de prova. 2. Argumentação e prova em matemática estão aqui para convencer. Entende-se que convencer é o ato de modificar opiniões através da racionalidade. 3. Argumentação e prova em Matemática são dirigidas a um público universal. Tal público universal é composto pela comunidade matemática, sala de aula, professor e interlocutor. 4. Argumentação e prova em Matemática pertencem a um campo (Toulmin 2001, p. 21). Conforme a autora, existem especificidades em argumentação e prova quanto ao campo da Matemática em que ambas estão sendo envolvidas o autor o chama de domínio, por exemplo, a argumentação matemática usada em geometria possui elementos axiomáticos diferentes aos de uma argumentação em álgebra. Cada domínio determina seus critérios de validade. 4. Quadro Teórico Segundo Balacheff (1988) as provas são classificadas em dois tipos: as pragmáticas e as conceituais. Dentre elas, temos que as duas primeiras citadas abaixo correspondem às provas pragmáticas e as duas últimas às provas conceituais. A diferença básica entre as duas é que o primeiro está ligado a visualizações e comparações em suas ações no processo de validação, ao passo que o segundo está ligado a utilização e operacionalização de propriedades, relacionando-os com suas ações no processo de validação. Dados os tipos de provas classificados por Balacheff (1988) podemos relacioná-los a pesquisa de Pedemonte (2007) que aborda os casos de argumentações. Em seu artigo, foram apontados e analisados dois tipos de casos de argumentação em particular: o caso da argumentação abdutiva e o caso da argumentação indutiva e suas relações para construção de prova, respectivamente. Pedemonte (2007) se utiliza do modelo de Toulmin (2001) para analisar os elementos constitutivos de uma argumentação.

6 6 4.1 O modelo de Toulmin O modelo de Toulmin (2001) apresenta um modelo padrão de um argumento, o qual é formado por uma terna: dados (D), garantias (W) e alegação (C). Interessante lembrar que tal terna pode ser comparada aos elementos de uma demonstração, em que na sua composição formal apresenta-se a hipótese (D), as propriedades (W) e tese (C). Segue a representação geométrica dada por Toulmin (2001, p. 143) que mostra como ocorre a relação entre os três elementos: D C W Figura 1: esqueleto de um padrão para analisar argumentos Com isso temos que, a alegação (C) corresponde a afirmação do locutor, que necessita ser justificada por meio de garantias (W), baseando-se nos dados (D) que correspondem às informações dadas na situação. Complementando às idéias de Yu (1994, apud Oliveira, s/d, p. 29) sobre a distinção entre dedução, abdução e indução, temos na pesquisa de Pedemonte (2007, p. 29) definições mais claras sobre o assunto pelos significados de Toulmin (2001): Dedução é uma inferência permitindo a construção de uma alegação começando de alguns dados e uma regra.abdução é uma inferência a qual permite a construção de uma alegação iniciando de um fato observado.indução é uma inferência a qual permite a construção de uma alegação generalizando de alguns casos particulares. (ibid, p. 29) 5. Problema de Pesquisa

7 7 Em nosso trabalho, interessamos em pesquisar as argumentações de alunos de quinta série do Ensino Fundamental sobre frações. Agora, podemos construir nosso quadro teórico, que será baseado principalmente nas análises de Pedemonte (2007) sobre os casos de argumentação abdutiva e dedutiva em números fracionários, em particular com fração equivalente dada, preferencialmente, pela concepção de operador de Silva (2005). Um outro relato importante a ser observado, é que de acordo com Pietropaolo (2005), existe uma resistência e indecisão entre os professores do ensino básico sobre a aceitação de provas empíricas dos alunos, por que estas não têm o rigor matemático como é esperado. Com esta observação, podemos colocar por hipótese de que a aprendizagem da argumentação seja deficiente em função da falta de aceitação, logo, a falta de situações matemáticas que proporcionem a argumentações dos alunos. Nossa pesquisa busca investigar as manifestações cognitivas dos alunos frente a situações que os proporcionem argumentar. Assim, buscamos responder a seguinte questão de pesquisa: Em que medida os argumentos apresentados pelos alunos do sexto ano do ensino fundamental sobre situações de equivalência com números fracionários, se caracterizam argumentações matemáticas abdutiva ou indutiva? 6. Procedimentos Metodológicos Através de um trabalho de investigação, coletaremos nossos dados por meio de um questionário contendo algumas situações envolvendo as diferentes concepções do número fracionário de Silva (2005), em que o aluno seja levado a argüir sobre suas respostas, estratégias e/ou raciocínio. Visto isto, investigamos os argumentos dos alunos pela linguagem escrita e oral numa população de 10 alunos da rede pública de Ensino, organizados em duplas. Nosso instrumento de pesquisa baseou-se nos pressupostos da Engenharia Didática de Artigue (1988).

8 8 Neste capítulo, buscamos fontes que apontam a necessidade de um trabalho de investigação, na área da argumentação, provas e demonstração; e aspectos que permeiam uma atividade deste tipo. Segundo Pietropaolo (2005): A demonstração formal deve constituir em objeto de investigação da Educação Matemática, uma vez que é necessário compreender como funciona o discurso matemático para discutir as concepções de Matemática que permeiam as salas de aula nos diferentes graus de ensino. (ibid, p. 68) O autor aponta para futuras pesquisas, estudos de investigação sobre o desenvolvimento do raciocínio dedutivo, envolvendo argumentações, conjecturas e provas, nas diversas áreas matemática nos cursos de Licenciatura. Mesmo sendo um estudo proposto para a população de futuros professores, podemos tomar tal proposta para alunos da Educação Básica no intuito de ampliar os trabalhos deste tema. Devemos levam em conta que, de acordo com os resultados de Pietropaolo (2005), eventualmente os alunos não sejam capazes de construir demonstrações. Sendo assim, as dúvidas dos estudantes não podem ser esclarecidas em virtude da demonstração não ser alcançada em alguns casos. Para tanto, o ideal é que o ensino da prova seja feito por processos de questionamentos, conjecturas, contra-exemplos, refutações, aplicações e de comunicação. Para ilustrarmos nossos resultados, utilizaremos dois meios de coleta de dados: uma por linguagem escrita, em que o aluno descreverá no questionário seus argumentos correspondentes a cada situação proposta, e outra por linguagem oral, em que o aluno responderá à entrevista após a resolução do questionário, sendo argüido para elucidar seu raciocínio. De acordo com Vygotski (s/d, apud Duval, 2000) o indivíduo quando aprende a escrever é indispensável ter um controle consciente da palavra, de maneira que permita-o operar entre as expressões oral e escrita. Tais expressões possuem características próprias; a primeira é espontânea e involuntária, e a segunda é voluntária e pensada. Além de Vygotski, temos também na Proposta Curricular do Estado de São Paulo (2008) a referência que a matemática é abordada na língua materna, sendo oral ou escrita para a representação da realidade.

9 9 Uma justificativa que podemos ressaltar para a escolha da realização da atividade em duplas, é que segundo Balacheff (1999) a interação social propicia a construção de conhecimentos, pois remete ao aluno a responsabilidade sobre a atividade no processo de devolução. A inclusão da prova nas escolas é possível, na opinião dos professores pesquisados por Pietropaolo (2005), caso o significada de prova seja trabalho de uma maneira ampla, com o auxílio de verificações empíricas para proposições e propriedades, por exemplo. 7. Referências ALMOULOUD, S. A. Fundamentos da Didática da Matemática. 1. ed. Curitiba: UFPR, BALACHEFF, N. Aspects of Proof in Pupils Practice of School Mathematics. In D. Pimm (Ed.), Mathematics, Teachers and Children. London: Hodder and Stoughton p Es la argumentación un obstáculo?: invitación a um debate. In: El tema de la carta. Laboratoire Leibniz: Grenoble, mai-juin BELL, D. et al. Children s understanding of fractions. Disponível em Último acesso em 26/11/07. BRASIL, Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília: MEC/ SEF, CAMPOS, T. M. M. et al. Lógica das equivalências. Disponível em DUVAL. R. Écriture, raisonnement et découverte de la démonstration em mathématiques. In: Recherches em Didactiques, vol. 20, nº 2, p

10 10. Questioning argumentation. In: International Newsletter on the Teaching and Learning of Mathematical Proof. Novembre-Décembre OLIVEIRA, P. A. J. A aula de matemática como espaço epistemológico forte. s/d PEDEMONTE, B. Argumentation et démonstration: comparaison entre les deux structures, in Dorier, J.-L.; Artaud, M.; Berthelot, R.; Floris, R. (eds) Actes de la 11ème Ecole d Eté de Didactique des Mathématiques. France: La Pensée Sauvage, How can the relationship between argumentation and proof be analysed? Springer Science + Business Media B. V. mai PIETROPAOLO, R. C. (Re) Significar a Demonstração nos Currículos da Educação Básica e da Formatação de professores de Matemática f. Tese (Doutorado em Educação Matemática) Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Proposta Curricular do Estado de São Paulo: Matemática (Ensino Fundamental e Médio). São Paulo: SEE, Disponível em CURSO/sigsc/upload/br/site_25/File/Prop_MAT_COMP_red_md_20_03.pdf. Último acesso em 21/03/2008. SILVA. M. J. F. Investigando Saberes de Professores do Ensino Fundamental com enfoque em Números Fracionários para a Quinta Série f. Tese (Doutorado em Edudação Matemática) Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, TOULMIN, S. E. Os usos do Argumento. 1. ed. São Paulo: Martins Fontes, 2001.