UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA PARA O ESTUDO DA GEOMETRIA HIPERBÓLICA

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1 UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA PARA O ESTUDO DA GEOMETRIA HIPERBÓLICA Gina Magali H.Miranda UMC Universidade de Mogi das Cruzes g-miranda@uol.com.br Marília Valério Rocha UMC Universidade de Mogi das Cruzes mariliav.rocha@uol.com.br Resumo O presente artigo apresenta uma proposta para o ensino de geometria hiperbólica, em ambiente de geometria dinâmica. O material didático foi elaborado com o suporte do software Cinderella, seguindo os pressupostos da teoria das situações didáticas, de Guy Brousseau (1986) e dos estudos da compreensão das demonstrações, de Raymond Duval (1993). Nosso material foi inserido em um site e testado, com sucesso, em um grupo de alunos do Mestrado Profissional em Educação Matemática, da PUC-SP, Brasil, em 2008, motivando-nos a sugerir sua aplicação como atividade complementar para o curso de engenharia. Por apresentar enfoques matemático e histórico, permite a integração de tópicos da física, da matemática e da filosofia, podendo ser utilizado em projetos multidisciplinares, incentivados nas Diretrizes Curriculares Nacionais do curso. Palavras-chave: geometria hiperbólica, software Cinderella, geometria dinâmica. Abstract This article presents a proposal for the teaching of hyperbolic geometry in a dynamic geometry environment. The teaching material was prepared with the support of software Cinderella, following the assumptions of the theory of didactic situations, of Guy Brousseau (1986) and studies of understanding the demonstrations, Raymond Duval (1993). Our material was embedded in a site and tested successfully in a group of students of the Professional Masters in Mathematics Education, PUC-SP, Brazil, in 2008, prompting us to suggest its application as a complementary activity to the engineering course. By presenting mathematical and historical approaches, allows the integration of topics from physics, mathematics and philosophy, can be used in multidisciplinary projects, encouraged the Brazilian Curricular Parameters of the course. Keywords: hyperbolic geometry, software Cinderella, dynamic geometry.

2 1 Introdução As Diretrizes Curriculares Nacionais do Curso de Graduação em Engenharia (DC) classifica, entre outros, a Expressão Gráfica, Matemática, Física e Humanidades no núcleo de conteúdos básicos. O documento salienta, também, a criação de projetos pedagógicos para o curso, que evidenciem como o conjunto das atividades previstas garantirá o perfil desejado de seu egresso e o desenvolvimento das competências e habilidades esperadas (CNE, 2002, p.2) e estimula a criação de projetos multidisciplinares, como atividade complementar. Em 2008, como parte de uma dissertação 1 em educação matemática, foi desenvolvido um site que contém uma seqüência didática para o estudo da geometria hiperbólica, em ambiente de geometria dinâmica. Nossa proposta inclui, também, um outro enfoque, que apresenta o desenvolvimento histórico da Geometria, a influência das principais correntes filosóficas nesse processo e o impacto do surgimento das outras geometrias na Física Moderna. Atuando como professoras nos cursos de Engenharia Civil e Mecânica da UMC - Universidade de Mogi das Cruzes, nas disciplinas de Expressão Gráfica, Fundamentos de Matemática e Cálculo, notamos a necessidade de integração entre as disciplinas iniciais do curso. O presente artigo pretende apresentar esse material didático e sugere, como proposta multidisciplinar das disciplinas citadas, a sua aplicação nos cursos de engenharia. 2 Apresentação do material didático Nossa motivação em sugerir a utilização desse material decorre dos resultados apresentados em nosso projeto-piloto, realizado com uma turma do curso de Mestrado Profissional em Ensino de Matemática, na PUC-SP, Brasil, em Colhemos evidências de que a geometria dinâmica pode contribuir positivamente para a apreensão dos conceitos da geometria hiperbólica (ROCHA, p. 209). 1 Rocha, Marília Valério. Uma proposta de ensino para o estudo da Geometria Hiperbólica em ambiente de geometria dinâmica Disponível em : Acesso em 22 de março de 2009.

3 2.1 Referencial Teórico Adotamos como referencial teórico, na elaboração da seqüência didática, dois pesquisadores da linha francesa: Raymond Duval (1993, 1993a) que apresenta estudos com a compreensão das demonstrações e Guy Brousseau (1986) criador da Teoria das Situações Didáticas (TSD). Apresentamos, na sequência, as principais idéias desses teóricos. Duval (1993, 1993a) tem um sólido estudo sobre os aspectos cognitivos envolvidos na compreensão de uma demonstração e entende que, cognitivamente, a demonstração requer uma forma específica de raciocínio. O autor realiza análises funcional, estrutural, epistemológica e lógica do raciocínio, que lhe dão subsídios para entender os fenômenos envolvidos no processo de aprendizagem de uma demonstração. Sua teoria assinala a importância do aluno perceber que uma demonstração é composta de passos, formados de uma estrutura ternária, que contempla uma premissa (hipótese) e regras de inferência (axiomas, teoremas, definições) que permitem concluir uma afirmação (tese). Essa estrutura (premissa, regra de inferência e conclusão) tem um estatuto operatório definido no interior de uma demonstração e, na medida em que o encadeamento de inferências é feito, seu papel pode se alterar. Duval (1993a, 1993b) propõe que somente a partir do entendimento de tal encadeamento é que o aluno se apropria desse conhecimento, a partir do qual a demonstração passa a ser compreendida como um encadeamento de passos válidos. Brousseau (1986) desenvolveu a Teoria das Situações Didáticas (TSD), que objetiva analisar as interferências que ocorrem no ensino da matemática e, posteriormente, modelar estratégias vencedoras, considerando as relações entre o professor, aluno e o saber almejado. O papel inicial do professor é a elaboração de uma situação em que o aluno, desconhecendo suas intenções e, considerando seus conhecimentos anteriores, consiga elaborar uma resolução a partir de sua ação com um meio (milieu) propício à aprendizagem do saber em questão. Segundo Almouloud (2007), Na teoria das situações, o milieu é um sistema antagonista ao sujeito, sendo o milieu adidático um sistema sem intenção didática, exterior ao sujeito, que, por suas retroações às ações do sujeito, permite sua reflexão a respeito de suas ações e sua aprendizagem. Ou seja, o aprendiz é o responsável pelo processo de sua aprendizagem (Almouloud, 2007, p.35) O aluno precisa assumir a responsabilidade de seu aprendizado, se comprometendo com a tentativa de criar alternativas de resolução à situação proposta. O professor tem, pois, de imaginar e propor aos alunos situações que eles possam

4 viver e nas quais os conhecimentos apareçam como a solução ótima e passível de ser descoberta para os problemas colocados (Brousseau, 1986, p.38). A TSD sugere quatro fases distintas para o processo de ensino e aprendizagem: Situação de Ação: momento em que se espera que o aluno se articule, individualmente ou em grupo, na tentativa de solucionar um problema proposto. Agindo com o meio, o aluno busca uma solução, provocando uma aprendizagem por adaptação. Nessa fase o professor observa o desenvolvimento das estratégias elaboradas. Situação de Formulação: momento de formulação de modelos, em que o aluno elabora suas estratégias de resolução, socializando-as com o grupo, justificando as soluções propostas. Nesta fase, o aprendiz apresenta seus argumentos na língua natural ou utilizando registros matemáticos. Situação de Validação: momento em que o aluno utiliza mecanismos de provas para a validação do modelo proposto. O professor deve mediar as apresentações no sentido de valorizar as estratégias vencedoras e uniformizar os avanços conquistados pelos alunos. Situação de Institucionalização: após a exploração da situação proposta, quando o saber em questão emergiu na situação de validação, o professor, finalmente, expõe o conteúdo pretendido. Se, posteriormente, o aprendiz empregar tal conhecimento na resolução de outras questões, podemos evidenciar que ocorreu uma aprendizagem. O estudo dos trabalhos de Duval nos levou a introduzir em nosso material um Quadro Resumo, contendo os axiomas, teoremas e definições que compõem a Geometria Absoluta. Nosso objetivo foi criar um ponto de partida para que o aprendiz soubesse quais justificativas poderia utilizar na redação de suas demonstrações. A cada atividade proposta, este Quadro Resumo foi atualizado com as definições, axiomas e teoremas apresentados, referentes à geometria hiperbólica. Desta forma, ocorreu a elaboração do Quadro Resumo desta geometria, para emprego na elaboração das demonstrações solicitadas nas atividades posteriores. As demonstrações por nós elaboradas foram realizadas em três colunas (número do passo, passo e justificativa) de maneira a tornar explícito o raciocínio lógico empregado, cujos passos também foram justificados pelo conteúdo do Quadro Resumo.

5 Utilizamos a TSD na idealização das atividades, que se iniciam por momentos de investigação de uma determinada situação. Nosso propósito é proporcionar ao aluno a vivência da dialética da ação. Procuramos inserir construções geométricas que exploram um determinado conceito ou teorema ainda desconhecido. Desta forma os alunos podem se apropriar desses conceitos que, posteriormente, são institucionalizados. Propomos na sequência, momentos de discussões que caracterizam as dialéticas da formulação e posterior validação das estratégias individuais. Tais momentos se mostram fundamentais para que os alunos possam ampliar os conceitos euclidianos que, por anos, foram enraizados e vislumbrar a possibilidade de uma nova geometria. 2.2 Software de Geometria Dinâmica Investigamos os softwares de geometria dinâmica disponíveis no mercado e adotamos o Cinderella (Gerbet & Kortenkamp, ). Ele não é gratuito, mas possibilita a realização dos exercícios e também das investigações propostas, mesmo que o aluno não possua a sua licença, pois as construções geométricas estão disponíveis no site. A possibilidade de inserção de construções geométricas, possibilitando a investigação, a elaboração de conjecturas e posterior verificação, se mostrou em acordo com o referencial teórico por nós escolhido. 2.3 Elaboração do Site Pesquisamos os cuidados necessários para o emprego da Internet em materiais voltados ao ensino e consideramos alguns aspectos construtivistas e ergonômicos propostos por Kalinke (2003), pois entendemos que uma abordagem construtivista se alinha à TSD. Consideramos aspectos como a interação, o tratamento do erro, a legibilidade, a documentação e a navegabilidade, com a intenção de criar situações em que o aprendiz se detenha no conteúdo proposto, pretendendo dessa forma contribuir para a sua aprendizagem. Na tela inicial (figura 1) foram incluídos os seguintes links:

6 Figura 1: Tela Inicial Apresentação: as intenções de nossa proposta são explicitadas por meio de três quadros que apresentam respectivamente a descrição do curso, sua dinâmica e o seu conteúdo programático. Tópicos Históricos: apresenta um resumo histórico do desenvolvimento das geometrias não-euclidianas, distribuído em 11 seções (figura 2). Figura 2: Tópicos Históricos

7 Demonstrações: expõe um histórico do desenvolvimento da demonstração matemática, tendo como objetivo a apresentação da linguagem utilizada nas atividades. Atividades: o conteúdo foi segregado por tópicos, em 13 atividades (figura 3). Figura 3: Atividades Outros: apresenta os questionários inicial e final e duas séries de exercícios complementares (figura 4). Figura 4: Outros Atividade Final: apresenta uma atividade a ser elaborada no término do curso, em que constam questões sobre o conteúdo proposto.

8 2.4 Sequencia Didática Quanto às atividades elaboradas, procuramos proporcionar momentos em que as diferentes dialéticas da TSD fossem vivenciadas: Investigações dinâmicas (figura 5): momento em que as construções geométricas previamente elaboradas são apresentadas e se propõe que o aluno investigue um determinado teorema, proporcionando momentos de ação, validação e formulação. Figura 5: Cópia Parcial da Atividade 3 Construções geométricas (figura 6): são solicitadas construções geométricas por meio de exercícios construídos antecipadamente. O aluno pode verificar de imediato se a construção está correta e, em caso negativo, é possível validar a construção, passo a passo, para posterior retomada da atividade. Exploramos, também, outro recurso do software, em que uma mesma construção geométrica pode ser visualizada nos dois planos: euclidiano e hiperbólico. Figura 6: Cópia Parcial da Introdução

9 Exercícios de demonstrações (figura 7): com a evolução das atividades e a familiarização com a metodologia empregada nas demonstrações, o aluno é convidado a elaborar suas próprias demonstrações. Figura 7: Cópia Parcial da Atividade 8 Análise de situações (figura 8): após a apresentação de uma determinada definição ou teorema é solicitado ao aprendiz a análise de uma determina situação, cuja solução exige o resgate de um conteúdo da geometria euclidiana e a aplicação dos novos conhecimentos. Figura 8: Cópia Parcial da Atividade 7 Lousa Eletrônica (figura 9): permite que o aluno realize suas construções geométricas nos planos euclidiano e hiperbólico e explore-as dinamicamente.

10 Figura 9: Cópia Parcial da Introdução 3 Conclusão Apresentamos um material didático como proposta de uma atividade complementar para o curso de engenharia, destinado ao aprendizado de uma geometria nãoeuclidiana, em um plano mais amplo. O estudo da passagem histórica, que permitiu o descobrimento das geometrias hiperbólica e elíptica, é uma situação impar que permite a integração das disciplinas de física, filosofia e geometria. Acreditamos que propostas que apresentem conteúdos multidisciplinares possam contribuir para consolidar os próprios conteúdos específicos dando-lhes maior significado na medida em que o aluno vislumbra suas relações com o mundo em que vive. Referências ALMOULOUD, Saddo Ag. Fundamentos da Didática da Matemática. UFPR, p. Paraná: BROUSSEAU, Guy. Fundamentos e Métodos da Didática da Matemática. In: BRUN, Jean (Org.). Didáticas das Matemáticas. Tradução de Maria José Figueiredo. Lisboa: Instituto Piaget, Cap.1. p (Coleção Horizontes Pedagógicos).

11 CONSELHO NACIONAL DE EDUCAÇÃO. Resolução CNE/CES 11/2002, aprovado em 11 de março de Institui as Diretrizes Curriculares Nacionais do Curso de Graduação em Engenharia. Diário Oficial da União, Brasília, 09 de abril de Seção 1, p.32. Disponível em Acesso em 10 de abril de DUVAL, Raymond. Quels sont les éléments constitutifs d'un raisonnement. Strasbourg : IREM de Strasbourg, p DUVAL, Raymond. Sémiosis et pensée humaine. Paris : Peter Lang, 1993a. p KALINKE, Marco Aurélio. Internet na Educação. Curitiba: Chain, 2003, 143p. ROCHA, Marília Valério. Uma proposta de ensino para o estudo da Geometria Hiperbólica em ambiente de geometria dinâmica f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) Pontifícia Universidade Católica, São Paulo.