φ R n > γ qi S ni Método dos Estados Limites No passado Normas de Dimensionamento Estrutural tensões admissíveis.

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Júlio Vilaverde Amado
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1 Método dos Estados Limites No passado Normas de Dimensionamento Estrutural tensões admissíveis. R n S F. S. > Normas de Dimensionamento Estrutural Atuais Estados limites i i φ R n > γ qi S ni

2 Exemplo 1 Bloco Área = 100mm 2 Colapso com 10000N σ f = P / A = 10000/100 = 100N/mm 2 = 100MPa Tensões admissíveis G = 2 σ w = σ f /2 = 50MPa CASO A A carga estimada é de 10000N; A Companhia

2 2 Exemplo 1 Bloco Área = 100mm 2 Colapso com 10000N σ f = P / A = 10000/100 = 100N/mm 2 = 100MPa Tensões admissíveis G = 2 σ w = σ f /2 = 50MPa CASO A A carga estimada é de 10000N; A Companhia Siderúrgica especifica σ f = 300MPa; O calculista adota σ w = 300/2 = 150MPa; O calculista especifica: A = 10000/150 = 67mm 2 ; Porém, o bloco possui apenas σ f = 100MPa. Isto implica na ruína com P = 6700N responsabilidade da Siderúrgica.

3 3 CASO B O bloco será projetado para resistir a uma carga de 10000N; O fabricante especifica σ f = 100MPa; O calculista especifica: A = 10000/( 100/2 ) = 200mm 2 ; Porém, o bloco só resiste a 67MPa = σ r ; Conseqüentemente, P u = = 13400KN; Não há falha pois > 10000KN. Todos satisfeitos mas ignorantes da segurança do bloco. CASO C O bloco para resistir a uma carga de 10000N; O fabricante atesta σ f = 100MPa; O calculista especifica: A = 10000/( 100/2 ) = 200mm 2 G =2; ; Porém, o bloco só resiste a 67MPa = σ r Consequentemente, P u = = 13400KN; Contudo, um aumento de sobrecarga ocorre elevando a mesma para KN. Isto leva à ruína todos insatisfeitos Porém σ r / σ w = 67/100 = 1 / 1,5 > 1/2 (50/100) adotado e P máx / P w = / = 1,5 < 2 Fator de Segurança único falsa expectativa de segurança de 100%. Principais motivações método onde expectativa de segurança mais uniforme.

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9 Estados limites de utilização deixa de ser adequada para o que se destina: * deformações excessivas; * vibrações; * corrosão; * fissuração; * fadiga (reparável). 9

10 Estados limites últimos parte da estrutura, ou toda estrutura, atinge a ruína: * plastificação não contida; * ruptura de seções críticas da estrutura; * flambagem (local ou global); * flambagem lateral; * deslizamento ou tombamento; * resistência; * fadiga; * esmagamento do material; * falha nas fundações. 10

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16 16 Método dos estados limites natureza não determinística das ações e das resistências Figura 1 - Magnitude de S, R Método dos Estados Limites definição parâmetros/grandezas fundamentais. σ 2 = n i= 1 ( R i R) n 2

17 17 V r = σ r R σ r = σ r 2 (desvio padrão) (coeficiente de variação) admensional (%) Função da variável aleatória X e a função de densidade do logaritmo de X: X = R - S X = ln R - ln S X = ln R S ln X < 0 ln (R/S) < 0 (R/S) < 1 R < S Figura 5a - Probabilidade de ruína (X = R - S) X < 0 R - S < 0 R < S ruína Figura 5b - Probabilidade de ruína (x = lnr - lns) ln X = ln R - ln S = ln R/S ln X = ln R / S = ln R ln S ln X = R S = β σ X ln /. ln β, índice de segurança, representa o número de desvios padrões que ln X > 0 Quanto maior for β, menor será a área hachurada e menor será a probabilidade de ruína. Todavia, a adoção de um parâmetro β muito grande leva a estruturas anti-econômicas.

18 18 Distribuição da resistência amostragem da tensão de escoamento Figura 2 - Resultados de laboratório Resistência de uma peça de aço é também afetada pela: -variação na geometria -incertezas das hipóteses simplificadoras adotadas no método de cálculo.

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22 22 Resistência da estrutura reduzida por um fator adequado seja sempre maior que o efeito das ações majoradas por fatores convenientes R d > S d φ R n > γ qi S ni φ e γ, probabilidade de ruína adequado período de recorrência adotado: n - anos P n = 1 - P a = 1 T T 1 T n (onde T corresponde ao tempo de recorrência) Probabilidades aceitáveis de ruptura Meus projetos ou minhas construções P r = 0 Outros projetos P r = 1 x 10-3 a 1 x 10-5 Riscos aceitáveis para a sociedade Riscos aceitáveis por pessoas ousadas 10-3 / ano Riscos aceitáveis por pessoaa cuidadosas 10-4 / ano Riscos inevitáveis 5 x 10-5 / ano Riscos aceitáveis nas estruturas (Rüsch, Rackwitz) Colapso sem aviso com sérias consequências (Ex. P r = 10-5 a 10-7 / ano ruína de colunas, ruptura do solo, fratura,etc. Ruptura com aviso (mecanismos plásticos ou Pr = 10-4 / ano concreto armado, recalque nas fundações, etc.) Comportamento insatisf. sem perigo de colapso P r = 10-2 a 10-3 / ano Probabilidades de eventos aceitáveis na sociedade

23 Figura 3 - Taxa anual de mortes de pessoas por ano 23

24 Ações Ações classificadas em três classes de acordo com a sua natureza: Permanentes (G): incluem peso próprio da estrutura e peso de todos os elementos componentes da construção. Variáveis (Q): sobrecargas decorrentes do uso e ocupação como equipamentos, divisórias, móveis, sobrecargas em coberturas, pressão hidrostática, empuxo de terra, vento e variação de temperatura. Excepcionais (E): ações de grande intensidade e baixa probabilidade de ocorrência como explosões, choques de veículos e efeitos sísmicos. Variação: carga permanente (G), variável tipo sobrecarga (Q) e variável tipo vento (W). Figura 4 - Ações

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27 27 Variações das ações e resistências podem ser expressas por: V s 2 = V e 2 + V t 2 * V e é o fator de incerteza no cálculo das cargas; * V t é a variância da carga nominal total. V r 2 = V m 2 + V g 2 + V p 2 * V m é a incerteza dos materiais (p. ex. resistência real de uma solda); * V g relaciona a geometria (p. ex. largura real da perna de uma solda ver figura 6); * V p é o fator profissional (p. ex. precisão na determinação dos efeitos das forças na solda relativo ao uso de uma determinada metodologia de cálculo). Figura 6 - Exemplo de uma solda Para relacionar o parâmetro β com γ, e φ, tem-se que: (σ ln X ) 2 = V r 2 + V s 2 R / S = e φ = R R β 2 2 ( Vr + Vs ) 2 2 ln R / S = β( Vr + Vs ) R = S. e β 2 2 ( Vr + Vs ) 2 2 ( R S ) γ S β + e S i i V V * O parâmetro φ depende doparâmetro γ e vice-versa; * Quando o parâmetro φ decersce, o parâmetro γ também decresce ; * O parâmetro φ é proporcional à razão R / R ; * Quando o parâmetro φ decresce, a variância das resistências cresce ; 1 2

28 * O parâmetro φ é influenciado pela razão S / S e pela variância das ações, V s ; Determinar um valor adequado para β e através dele quantificar os coeficientes de ponderação das ações e resistências γ e φ, 28 β P (X A) 1,0 0,1587 1,28 0,1 1,64 0,05 2,32 0,01 3,0 1,35 x ,5 1,1 x ,0 3,2 x ,5 - Figura 7 - Relação de β com as probabilidades de ocorrência * Tabela 2 - Valores de β e P f pela Norma Canadense (CAN S16-89): Concreto Armado Flexão β = 4,2 P f = 1,3 x 10-5 Compressão β = 5,22 P f = 2 x 10-7 Cisalhamento β = 3,64 P f = 1,3 x 10-4 Aço Estrutural Escoamento β = 3,86 P f = 5,8 x 10-5 Compressão β = 4,69 P f = 1,4 x 10-6 Figura 8 - Comparação dos valores de β

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31 31 Exemplo 2 - Dimensionamento de um chumbador de uma caixa d água. As cargas atuantes são: * P = 800KN (peso próprio); * W = 400KN (vento). A tração no chumbador pode ser avaliada através de: ( ) 400 4, T = 4 = 50KN Usando-se G = 2 prevê-se o colapso em 100KN espera-se majorar as cargas em 100%. Todavia, se P = 0,9P e W = 1,1W pode-se recalcular o valor da tração no chumbador: ( ) 1, ,5 0, T = 4 = 135KN o que leva à ruína do chumbador. Com o uso de uma combinação de carga que minore a carga permanente quando esta estiver em sentido reverso ao das outras cargas atuantes na estrutura, ou seja: γ i S i γ = 0,85 para o caso de solicitação reversa.

32 32 Exemplo 3 Seja a viga coluna ao lado: Esta viga coluna está submetida a: Força normal: P e Momento fletor: M 2 ql 8 P 1 P e (P e = carga de Euler) A tensão normal máxima pode ser avaliada por:σ = N A + M S Quando se dimensiona a seção para que σ = F y (onde F y é a 18, tensão de escoamento). Relação P, um acréscimo bem inferior a 80 % nas ações, pode esgotar esta segurança. P e Admita-se, por exemplo, que P P e = 0,5 e que as ações sofram um acréscimo de 40 %. N = P N = 1,4 P M = 2 ql 2 8 ql = , 8 M = 2 ql 1, ql = 4, 7 1 1, 4 x 0, 5 8 se o momento fletor influir muito na tensão normal, ultrapassa limite de escoamento. Para uma variação de 40%, o momento fletor foi amplificado em 235%.

33 PROPRIEDADES DAS DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE 33

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