Value-at-Risk: Overview, Parte 2. Análise de Risco (2) R.Vicente

Transcrição

1 Value-at-Risk: Overview, Parte Análise de Risco () R.Vicente

2 Resumo PARTE : MEDINDO VaR Fatores de Risco Valor em Risco (VaR) Profit & Loss (P&L) VaR Paramétrico Calculando o VaR PARTE : ESTIMANDO VOLATILIDADES E CORRELAÇÕES Exponentially Weighted Moving Averages (EWMA) Estimando Correlações GARCH PARTE 3: VaR DE ATIVOS NÃO-LINEARES Letras Gregas Aproximação Delta Aproximação Linear (Delta-Rô-Vega-Teta) Aproximação Delta-Gama Aproximação de Cornish-Fisher Transformações de Johnson Bibliografia

3 Parte Medindo VaR 3

4 Fatores de Risco Valor de Mercado de uma carteira depende de uma série de fatores de mercado: Estes fatores podem ser : Preços de mercado; Taxas de juro; Spreads de crédito; V( S, S,..., S N ) A Gestão de Risco consiste em monitorar possíveis alterações futuras no valor de mercado de uma carteira em uma janela de tempo definida: Δ V( S, S,..., S ) = V( S( t+δ t),..., S ( t+δt)) V( S( t),..., S ( t)) N N N Profit & Loss 4

5 Value at Risk x% VaR x P( Δ V < VaR ) = dv p( v) = x % FATOR x% Nível de confiança x FATOR Janela de Tempo VaR α Mark-to-market σ 5

6 Benchmark Value at Risk Retorno Esperado Livre de Risco B-VaR x Δ BV = V t+δt V t e () ( ) ( ( )) ( ( )) r t Δ S S S t 6

7 P&L como Combinação Linear dos Fatores de Risco Equivalente Delta V( S( t+δt)) V( S( t) +ΔS) N V V( S+ΔS) V( S) + ΔS S j= N V ΔS j ΔV S j j= S j Sj j j δ V ΔS N j j Sj Rj ΔV δjrj Sj Sj j= 7

8 P&L como Combinação Linear dos Fatores de Risco: Exemplo P&L em Reais de Ação negociada em Dólar: δ V( S, S ) = S S A FX A FX ΔV δ R + δ R A A FX FX V S = S S = V A A A FX S A δ V S = S S = V FX FX FX A SFX ΔV V R + R ( ) A FX 8

9 P&L com Benchmark Δ V V( S+ΔS) V( S) e B Δ V V( S) + δ R V( S)( + rδt) B j j j= N N Δ V δ R VrΔt B j j j= rδt 9

10 VaR Paramétrico Suposição I: Fatores de Risco seguem um movimento Browniano geométrico: ds () t St () = μ dt + σ dw () t onde dw(t) é um processo de Wiener com dw () t = ε dt ε ~ N(0,) Os log-retornos portanto apresentam o seguinte comportamento: t σ RΔ t = μ Δ t+ σε Δt t, 0

11 VaR Paramétrico Suposição II: Para janelas de tempo suficientemente pequenas os retornos têm valor esperado nulo: R Δ t = σε Δ t Δt O P&L futuro na janela de tempo para um ativo com um único fator de risco é, portanto uma variável aleatória da seguinte forma: ΔS Sσε Δt ε ~ N(0,)

12 VaR Paramétrico Δ t = Utilizando volatilidade diária e obtemos o P&L potencial para dia como: ΔS Sσε Empregando a definição de VaR: P() ε ε = ασ ε = 0 VaR Confiança = ασs α 95%,645 97,5%,960 99%,36 (-x) %

13 VaR Paramétrico com Benchmark A perda potencial considerando o benchmark é: ΔS ασs Sr Empregando a definição de VaR: VaR = ( ασ + r) S 3

14 VaR de uma Carteira Seja uma carteira cujo valor possa ser decomposto em N fatores de Risco: Os N fatores de risco acima são amostras de uma distribuição normal multidimensional: Temos que: p( R) = exp R C R πdet( C) R = 0 R R = C j j k jk 4

15 VaR de uma Carteira O VaR da carteira é: VaR Port = ασ Port V σ Port ( V) V = Δ Δ = δδ j k RR j k δj R j jk j = δδc j k jk onde C jk é a matriz de covariância. jk 5

16 VaR de uma Carteira Alternativamente podemos escrever: VaR Port = = αv ασ Port jk V δ δ C j k jk C = ( ) jk αvσ δ ( αvσ δ ) j j k k jk σσ j k = jk VaR ρ VaR j jk k = VaR ρvar Matriz de Correlação 6

17 Parte Estimando Volatilidades e Correlações 7

18 Estimando Volatilidades Média Móvel σ T MA() t = R ( t j) T j= EWMA(Exponentially Weighted Moving Average) T j EWMA() t = ( ) R ( t j) j= σ λ λ 8

19 9 MA ( d.u.) -0% -8% -6% -4% -% 0% % 4% 6% 8% 0% fev-0 mar-0 abr-0 mai-0 jun-0 jul-0 ago-0 set-0 out-0 nov-0 dez-0 jan-0 fev-0 mar-0 abr-0 mai-0 jun-0 jul-0 ago-0 EWMA (fator de decaimento=0,97) -% -0% -8% -6% -4% -% 0% % 4% 6% 8% 0% % fev-0 mar-0 abr-0 mai-0 jun-0 jul-0 ago-0 set-0 out-0 nov-0 dez-0 jan-0 fev-0 mar-0 abr-0 mai-0 jun-0 jul-0 ago-0 Estimando Volatilidades falhas 0 falhas Intervalo c/ 98%

20 Estimando Volatilidades EWMA (fator de decaimento=0,97) % 0% 8% 6% 4% % 0% -% -4% -6% -8% -0% -% falhas 0 fev-0 mar-0 abr-0 mai-0 jun-0 jul-0 ago-0 set-0 out-0 nov-0 dez-0 jan-0 fev-0 mar-0 abr-0 mai-0 jun-0 jul-0 ago-0 EWMA (fator de decaimento = 0,70) % 0% 8% 6% 4% % -% 0% -4% -6% -8% -0% -% falhas fev-0 mar-0 abr-0 mai-0 jun-0 jul-0 ago-0 set-0 out-0 nov-0 dez-0 jan-0 fev-0 mar-0 abr-0 mai-0 jun-0 jul-0 ago-0

21 EWMA: Exponentially Weighted Moving Average O estimador EWMA para volatilidades é definido como: T = τ λ ( Rt τ R) τ= T τ λ τ= < λ< σˆ, 0 t Observando que o fator de normalização é por uma progressão geométrica: T τ= λ τ λ = λ T +

22 EWMA: Exponentially Weighted Moving Average Assim: T τ ( λ) λ ( Rt τ R) τ= ˆ t = T +, 0< λ< σ λ Utilizando janelas infinitas teremos: σˆ t = ( λ) λ ( R R) τ= τ t τ

23 EWMA:Forma Recorrente O estimador pode ser obtido como uma equação de recorrência: τ t = Rt τ τ= σˆ ( λ) λ = ( λ)( R + λr + λ R + ) t t t 3 = ( λ) R + λ( λ)( R + λr + λ R + ) t t t 3 t 4 τ t R( t ) τ τ= = ( λ) R + λ( λ) λ = ( λ) R + λσˆ t t 3

24 EWMA: Janela Efetiva O estimador EWMA atribui pesos maiores a retornos mais recentes. A massa total de retornos ocorridos a mais de K dias passados é: Ω = ( λ) K τ= K λ τ = = K K λ ( λ)( λ λ ) λ Se fixarmos esta massa em um valor de confiança (e.g. 99%, 99,5%) podemos calcular a janela efetiva utilizada: K = = % ln( ϒ ) lnλ ϒ % 4

25 EWMA: Janela Efetiva Nível de Confiança Lambda 95,0% 98,0% 99,0% 99,5% 0, , , , , , , , , , , , , , ,

26 EWMA: Otimização de λ Definimos o erro na predição da variância como: ε = R σˆ t+ t t+ t+ t O parâmetro ótimo é aquele que minimiza a raiz do erro quadrado total em uma janela de T dias: T ( ) = ( ) t+ t t= E λ ε λ 6

27 EWMA: Correlações O EWMA pode ser generalizado para covariâncias: jk, t = τ λ λ τ= j, t τ k, t τ C ˆ ( ) R R A versão recorrente é: Cˆ = λcˆ + ( λ) R R jk, t jkt, j, t kt, 7

28 EWMA: Matrizes Positivas Semi-definidas O método EWMA produz matrizes que são positivas semi-definidas. Cˆ = λcˆ + ( λ) R R ˆ t C jk, t jkt, j, t kt, Suponha que seja positiva semi-definida, então: uc ˆ u 0 u t Analisando o segundo termo teremos: jk, u ( ) j Rj, t Rk, t uk = ujr j, t j 0 8

29 EWMA: Matrizes Positivas Semi-definidas Combinações lineares de matrizes positivas semi-definidas são positivas semidefinidas: ( ) ucˆ u = λ ucˆ u + ( λ) u R R u 0 j jk, t k j jk, t k j j, t k, t k jk jk jk Assim: ˆ ( uc ) ( ) t u 0 u ucu t 0 u ˆ Basta então garantirmos que Ĉ seja positiva semi-definida escolhendo : C ˆ, R jk j,0 R k,0 9

30 EWMA: Matrizes de Correlação As correlações são obtidas a partir das covariâncias: ρ = jk C jj jk CC kk 30

31 EWMA: Otimização de para Covariância λ Para garantirmos a produção de matrizes positivas semi-definidas é necessário que λ seja único. Definimos o erro na predição da covariância como: ε = R jk, t t jt, + Rkt, + C + jk, t+ t O parâmetro ótimo para o par jk é aquele que minimiza a raiz do erro quadrado total em uma janela de T dias: ˆ T jk ( ) = ( ) jk, t+ t t= E λ ε λ 3

32 EWMA: Otimização de para Covariância λ A prescrição RiskMetrics para o parâmetro único é ponderar λ jk com o inverso do erro mínimo: Onde: θ jk λ = θ λ * * jk jk j k * Ejk ( λjk ) = * jk Ejk ( λjk ) 3

33 GARCH Um modelo GARCH(p,q) é definido como: p q t = 0 + jrt j+ j t j j= j= σ α α β σ A versão mais simples é o GARCH(,): σ = α + αr + βσ t 0 t t 33

34 GARCH A versão mais simples é o GARCH(,): σ = α + αr + βσ t 0 t t A variância não-condicional é um ponto fixo da equação acima assumindo que R σ : = t α σ = α + ασ + βσ σ = 0 0 α β Para que a volatilidade faça sentido é necessário que: α+ β< 34

35 GARCH A curtose não-condicional é dada por: 6α κ = 3α αβ β, ou seja, leptocúrtica como as distribuições reais. 35

36 GARCH : Determinando Parâmetros O processo GARCH gera retornos independentes com distribuição condicional normal: Assumindo a dinâmica: R =εσ ε t t t t R prσ ( t t) = exp πσ σ ~ N(0,) T { R t } t = t t t σ = α + αr + βσ t 0 t t Dada a trajetória empírica defini-se uma função erro: T T R E( α, α, β) = ln ( σ ) = + ln πσ t ( p R ) t t t t= t= σt 0 A função erro pode ser minimizada utilizando um algoritmo standard de otimização (e.g. Gradiente Escalonado). 36

37 GARCH Volatilidade 0,40 0,0 0,00 0,080 0,060 0,040 0,00 0,

38 Parte 3 Risco de Ativos Não-Lineares 38

39 Gregas O P&L de uma opção é função de variações do ativo objeto, do prazo, da volatilidade implícita e da taxa de juros: ΔV( S, τσ,, r) Uma expansão em série de Taylor nos fornece: ΔV( S, τσ,, r) I I V V V ( ) S S r V V V τ Δ S+ Δ S + Δr ( r) σi r σi + Δ + Δ Δt 39

40 Gregas V Δ = S DELTA V Γ = S GAMA V ρ= [ ρ] = $ T r RÔ V Λ = [ Λ ] = $ σ VEGA I V ρ = [ ρ ] = $ r V Θ = [ Θ ] = $ T t TETA T Convexidade RÔ 40

41 P&L em função de Retornos Observando o retorno de preços com carregamento: ( τ Δt) rt+δ t( τ Δt) e RP = ln = ( ) ( ) [ rt( τ) rt( Δt) r ] Δt τδr τ t τ rt Δt Δt e e Δr R τ P ρ ΔV( S, τσ,, r) R SΔ R S Γ R τ ρ ( R ) τ I S + S P P σir σ +Θ t + +Λ Δ 4

42 Aproximação Delta ΔV( S, τσ,, r) R SΔ R S I = εσ Δt S ε ~ N(0;) S VaR Delta = ασ S Δ S contrato de opção = Δ unidades de ativo objeto 4

43 Aproximação Delta 43

44 Aproximação Linear ρ ΔV( S, τσ,, r) R SΔ R σ R σ +Θ τ I S P + Λ I Δt R R R = εσ Δt S S S = εσ Δt P P P σ = εσ Δt I I ε ε ε S P I ~ N(0, C) Variânciacovariância 44

45 Aproximação Linear VaR = α W CW ΘΔt Linear T W S Δ ρ = τ σ IΛ 45

46 Aproximação Delta-Gama Δ V= SΔ RS+ S ΓR S x Cumulantes e Todos Cumulantes 46

47 Aproximação Delta-Gama 47

48 Aproximação Delta-Gama 48

49 Aproximação Delta-Gama Truncada var var var cov, 4 4 ( ) ( ) ( ) 3 ( Δ V = S Δ R + S Γ R +ΔΓR S R R ) S S S S S R ( ) dr 3 S cov RS, RS = R e σ = 0 πσs var ( R ) S = var ( RS) VaR α var ( Δ V ) = α S Δ σ + S Γ σ 4 4 S S Truncamento até Segundo Cumulante 49

50 Aproximação Delta-Gama Δ V = V( x+δx) V( x) n n n V V Δ x + Δx Δx j j k j= xj j= k= xj xk n n n = δ r + Γ r r j j jk j k j= j= k= δ V = x Γ = x x j j jk j k xj xj xk V 50

51 Aproximação Delta-Gama n n n Δ V = δ r + Γ r r j j jk j k j= j= k= r ~ N(0, C) ΔV ϕ ln ˆ,, c, c,..., c 3 4 n ϕ ϕ μ σ Função Geratriz Cumulantes 5

52 Cumulantes ixw ϕˆ( w) = dxe ϕ( x) c n = ( i) n n ln ϕˆ ( w) w n w= 0 5

53 Cumulantes r ~ N(0, C) 4 μ = Δ V = Tr( ΓC) σ = ( ΔV μ) = δ Cδ+ Tr( ΓC) 3 T ( ) ( ) 3 T 3 c = ΔV μ = 3 δ CΓ Cδ+ Tr( ΓC) 4 T 4 4 c = ΔV μ = δ C( Γ C) δ+ 3 Tr( Γ C) + 3σ cn = ( ΔV ) = n Tr ( C) n C C Γ + Γ n n T n μ ( )!! δ ( ) δ 53

54 Aproximação de Cornish-Fisher Densidade arbitrária ϕ. O VaR é definido como: x Φ ( x) = du ϕ( u) VaR VaR du ϕ( u) = p ou = Φ ( p) 54

55 Aproximação de Cornish-Fisher z F( z) = du f( u) Seja uma distribuição com forma F ( p) analítica e quantis conhecidos (por ex: distribuição gaussiana). Cornish-Fisher Φ ( p) como função de F ( p) 55

56 Aproximação de Cornish-Fisher Os quatro primeiros termos da expansão de Cornish-Fisher para p percentil ΔV μ σ de é : ( ) c c c α p αp+ αp + 3 ( αp 3αp) 3 4 ( αp 5αp) 3 6 σ 4 σ 36 σ O VaR pode então ser calculado como: VaR = ασ + μ p 56

57 Transformação de Johnson f ( X ) X ~ N(0,) e tem distribuição similar a ΔV VaR f ( α ) p Função monotônica 57

58 Transformação de Johnson Transformação com limite inferior: X γ f( X) = exp + ξ f( X) ξ δ Transformação com limite superior: X γ exp ( ξ + λ ) + ξ δ f( X) = ξ f( X) ξ+ λ X γ + exp δ 58

59 Transformação de Johnson Transformação sem limites: f( X) sinh X γ = λ + ξ δ Os parâmetros das distribuições de Johnson podem ser obtido a partir dos quatro primeiros cumulantes. 59

60 Bibliografia Jorion P., Value at Risk, Irwin, 997. RiskMetrics Technical Document ( Duffie e Pan, An Overview of Value at Risk Bouchaud e Potters, Theory of Financial Risk; Mantegna R.N. e Stanley E., An Introduction to Econophysics; Leituras Complementares Jashke, S.R., The Cornish-Fisher-Expansion in the Context of Delta-Gamma- Normal Approximations Mina, J. e Ulmer, A., Delta-Gamma Four Ways 60