EXPLORAÇÕES EM GEOMETRIA ESPACIAL COM O SOFTWARE CABRI 3D

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1 EXPLORAÇÕES EM GEOMETRIA ESPACIAL COM O SOFTWARE CABRI 3D Ana Paula Jahn, UNIBAN/SP Vincenzo Bongiovanni, UNIBAN/SP Este mini-curso tem por objetivo explorar situações espaciais no ambiente de geometria dinâmica Cabri 3D. Algumas pesquisas em Educação Matemática assinalam dificuldades dos alunos na resolução de problemas de posição, referindo-se às relações entre os objetos geométricos tridimensionais e suas representações planas. De fato, os alunos tendem a considerar as propriedades do desenho como aquelas do próprio objeto geométrico. Formulamos a hipótese que os recursos disponíveis nesse tipo de ambiente podem auxiliar no tratamento e visualização de propriedades dos objetos espaciais, oferecendo meios para desqualificar algumas interpretações ilícitas do desenho. As atividades propostas inserem-se em uma perspectiva investigativa para o ensino de Geometria Espacial, compreendendo fases de experimentação, simulação e modelização. Cabri 3D é um software de geometria dinâmica que, além de preservar as propriedades de objetos geométricos tridimensionais quando manipulados, permite também mudar o ponto de vista em relação ao objeto representado. Ele foi apresentado oficialmente no Congresso Internacional Cabriworld, realizado em Roma, em setembro de É um software de manipulação direta em três dimensões, isto significa que, o usuário age diretamente sobre a representação gráfica dos objetos que estão na tela ao invés de agir sobre a sua representação interna (o código). Pesquisas realizadas ao longo de seis anos pelos educadores espanhóis Ildefonso Mazas e José Maria Arias, que incluem 400 professores e alunos, atestam que o uso de um software de geometria dinâmica provoca uma melhora significativa no rendimento dos alunos em Geometria 1. Em relação ao ensino e aprendizagem da Geometria Espacial desenvolvida tradicionalmente no ambiente papel e lápis o desenho tem um importante papel, pois relaciona o espaço sensível com a 1 Para mais detalhes ver: epiedu_5/tes

2 teoria. Por outro lado, para os alunos em situação de resolução dos problemas, ele cria uma problemática ligada à representação gráfica dos objetos. Quando passamos do objeto espacial à sua representação em um suporte bidimensional (uma folha de papel, por exemplo), há necessariamente perda de informações. Neste caso, problemas podem surgir quando se trata de identificar, com base no desenho, as propriedades do objeto tridimensional. O questionamento de Rommevaux (1999, p. 14) pode-se ensinar os alunos a verem no espaço? ilustra essa questão de representação e da visualização de figuras 3D, uma vez que, segundo a autora, é necessário enxergar três dimensões em um desenho que tem apenas duas. Alguns trabalhos (Bkouche 1983; Bessot, 1983) mostram que essa dificuldade pode ser minimizada com uma aprendizagem das regras da representação ou técnicas de perspectiva. Outras pesquisas (Parsysz, 1989) sugerem que o ensino da Geometria Espacial deve integrar não somente o auxílio das representações dos objetos espaciais, mas também o uso de maquetes tridimensionais, qualquer que seja a idade dos alunos implicados. Trabalhos recentes investigam a influência de ambientes informáticos tanto na elaboração da representação gráfica (codificação) quanto na interpretação de uma representação gráfica (decodificação). Alguns resultados destacam o interesse particular de uma abordagem de investigação para a Geometria, apoiada em fases de experimentação, de simulação e de modelização. É nesse sentido que estamos valorizando a difusão e uso de um ambiente de geometria dinâmica para o espaço. O objetivo da oficina é introduzir os participantes no ambiente informatizado de geometria dinâmica Cabri 3D. Para tanto, apresentamos algumas atividades representativas das inúmeras possibilidades que este software oferece no estudo de situações espaciais. Particularmente, estamos interessados em discutir em que medida uma abordagem do espaço com o Cabri 3D pode modificar as difíceis relações que geralmente professores e alunos têm com este tema de estudo. Consideramos que a simplicidade do Cabri 3D permite uma familiarização rápida com as principais ferramentas de construção. Além disso, a impressão de agir sobre os objetos de forma direta permite tratar rapidamente alguns temas que, no ambiente papel&lápis, necessitariam conhecimentos abstratos e relativamente complexos. Esta oficina organiza-se em três momentos, a saber: 1. Familiarização com as funcionalidades básicas do ambiente; 2. Construção, secção e decomposição de sólidos, em particular, de poliedros arquimedianos; 3. Construções com animações e algumas modelizações matemáticas.

3 Apresentamos abaixo, de forma ilustrativa, algumas propostas de atividades em cada uma das fases acima citadas. Na fase de familiarização, serão propostas atividades visando a exploração das principais ferramentas do ambiente, dando-se especial atenção aos atributos para a criação e manipulação de variados objetos geométricos tais como poliedros e corpos redondos, secções e planificações (Figuras 1a e 1b). Figura 1a: Esfera inscrita em um tetraedro regular Figura 1b: Secções de um cubo Na seqüência, partindo-se de poliedros regulares (tetraedro regular, cubo, icosaedro regular...), dividindo-se cada aresta em partes iguais e com o auxilio da ferramenta Recorte de poliedro, serão propostas algumas construções de sólidos arquimedianos (cf. Figuras 2a e 2b). Estão previstas ainda, explorações a partir da composição ou decomposição de sólidos e relações entre volumes (Figura 3a e 3b). Em tais atividades, além da ferramenta Volume, pode-se aprofundar o estudo passando-se a situações mais gerais, graças à função Redefinir. Figura 2a: Construção de um Cuboctaedro

4 Figura 2b: Construção de uma Bola de Futebol (1) ABCDE é uma pirâmide regular sendo as faces laterais triângulos eqüiláteros. (2) MNPQ é um tetraedro regular com MNP congruente a ABE Qual é o número de faces do poliedro obtido sobrepondo a face MNP à face ABE? Figura 3a: Decomposição de um prisma em 3 pirâmides Figura 3b: Composição de dois poliedros 2 Serão ainda discutidas algumas atividades do tipo Caixa-preta 3. No espaço, tais atividades podem ser potencializadas com a integração de recursos de animação, a partir de relações de dependência previamente estabelecidas (ver Figura 4). 2 Problema extraído do artigo do professor Geraldo Ávila, proposto na RPM, n o 3 (1983, p. 25). 3 Tarefa que corresponde a fornecer um arquivo com uma figura que deve ser reconstruída, a partir dos mesmos elementos e cujo comportamento deve ser análogo ao da figura dada.

5 Dado um balanço animado... Figura 4: Caixa-preta Balanço construir um novo balanço. Por fim, um ambiente como o Cabri 3D pode ser utilizado como ferramenta de modelização, permitindo a discussão de diferentes situações. Ao longo do processo em si de elaboração de modelos, bem como em sua exploração, diversas observações e verificações experimentais de conjecturas são possíveis graças às funcionalidades do ambiente, incluindo as de medidas (comprimento, área, volume, ângulo etc.). As figuras abaixo ilustram algumas dessas atividades que correspondem terceira e última fase da oficina. Figura 5: Como Eratóstenes calculou o raio da Terra?

6 Figura 6: Qual o menor caminho entre a Flórida e as Filipinas? Referências Bibliográficas ÁVILA, G. (1983) Geometria e Imaginação. Revista do Professor de Matemática (RPM), n o 3, pp BESSOT, D. (1983) Problèmes de représentation de l espace. In Enseignement de la géométrie, Bulletin Inter-IREM, Ed. IREM de Lyon, n o 23, pp BKOUCHE R., SOUFLET M. (1983) Axiomatique, formalisme, théorie. Enseignement de la géométrie Bulletin Inter-IREM, Ed. IREM de Lyon, n o 23, pp PARSYSZ, B. (1989) Representations planes et enseignement de la géométrie de l espace au Lycée. Contribution à l étude de la relation voir/savoir. Thèse de Doctorat, Université Paris VII. ROMMEVAUX, M. P. (1999) Le discernement des plans dans une situation tridimensionnelle. Educação Matemática Pesquisa Revista do Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática da PUC/SP, n. 1, pp